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标题: 梯度流的能量变分神经网络离散
摘要: 我们提出了求解$L^2$-梯度流的结构保护欧拉算法和求解广义扩散的结构保护拉格朗日算法。 这两种算法都使用神经网络作为空间离散化的工具。 与大多数基于潜在PDE的强形式或弱形式构造数值离散化的现有方法不同,所提出的方案是直接基于能量耗散定律构造的。 这保证了系统自由能的单调衰减,避免了解的非物理状态,对数值计算的长期稳定性至关重要。 为了解决非线性神经网络离散化带来的挑战,我们在空间离散化之前对这些变分系统进行时间离散化。 在实现基于神经网络的算法时,这种方法具有计算内存效率。 所提出的基于神经网络的方案是无网格的,允许我们求解高维梯度流。 通过各种数值实验证明了所提出的数值格式的准确性和能量稳定性。