数学>统计理论
标题: 稀疏采样路径下SDE的非参数估计:FDA视角
摘要: 我们考虑了随机微分方程(SDE)的漂移和扩散系数的非参数估计问题,基于$n$个独立的副本$\left\{X_i(t):::t\in[0,1]\right\}_{1 \leqi\leqn}$,在单位间隔上稀疏且不规则地观测到,并受到加性噪声破坏。 通过稀疏,我们的意思是每条路径的测量数量可以是任意的(小到两个),并且相对于$n$保持不变。 我们重点研究形式为$dX_t=\mu(t)X_t^{alpha}dt+\sigma(t)X_t^{beta}dW_t$的时间非均匀SDE,其中$\alpha\in\{0,1\}$和$\beta\in\}0,1/2.1\}$,其中包括一些突出的例子,如布朗运动、Ornstein-Uhlenbeck过程、几何布朗运动和布朗桥。 我们的估值器是通过一个明显新颖的偏微分方程(PDE)将扩散的局部(漂移/扩散)参数与其全局参数(平均值/协方差及其导数)相关联来构造的。 这允许我们使用受功能数据分析启发的方法,并跨稀疏测量的路径汇集信息。 我们开发的方法是完全非参数的,避免了对漂移函数或扩散函数的时滞进行任何函数形式的说明。 当观测曲线的数目$n$增长到无穷大时,我们建立了所提出估计量的几乎一致渐近收敛速度。 我们的速率在每条路径的测量次数上是非渐近的,这清楚地反映了不同的采样频率如何影响收敛速度。 我们的框架表明,FDA和SDE方法之间可能在复制问题上进一步进行富有成效的交互作用。