Equivalence Principle in Classical and Quantum Gravity

Paunković, Nikola; Vojinović, Marko

doi:10.3390/universe8110598

开放式访问第条

经典引力与量子引力的等价原理

通过

尼古拉·邦科维奇

^1,†

和

马尔科·沃吉诺维奇

^2,*,†

¹

葡萄牙里斯本罗维斯科佩斯大道1号里斯本里斯本大学高级技术研究所电信研究所和马特马提卡部门，邮编：1049-001

²

贝尔格莱德大学物理研究所，Pregrevica 118，11080贝尔格莱德，塞尔维亚

^*

信件应寄给的作者。

^†

这些作者为这项工作做出了同等贡献。

宇宙 2022,8(11), 598;https://doi.org/10.3390/universe8110598

收到的提交文件：2022年10月1日/修订日期：2022年11月5日/接受日期：2022年11月10日/出版日期：2022年11月12日

（本文属于特刊量子引力现象学II)

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摘要

:

我们对经典物理和量子物理中的各种等价原理进行了概述，特别强调了所谓的弱等价原理，并将其在力学和场论中的有效性进行了对比。我们还讨论了它对量子引力理论的推广。我们的分析表明，只有强等效原理才被认为是基本的，足以推广到量子引力的背景中，因为所有其他类型的等效原理仅在经典水平上大致成立。

关键词：

等效原理;广义相对论;量子引力

1.简介

量子力学（QM）和广义相对论（GR）是现代物理学的两大基石。然而，尽管大量物理学家和数学家付出了近百年的努力，将它们合并到量子引力理论（QG）中仍然是难以捉摸的。虽然大多数尝试都集中在试图构建量子化引力的完整理论，如弦论、圈量子引力、非交换几何和因果集理论等，最近的一些研究采用了一种较为温和的方法，探索了QM和GR的基本特征和原则的可能后果，以及它们在QG初步理论中的地位。由于认识到叠加原理作为任何量子理论的一个定义特征，QG中也必须包含叠加原理，因此产生了许多研究重物质纠缠的论文[1,2,三,4,5,6,7]，真正的不确定因果顺序[8,9,10,11,12,13,14,15]，量子参考系[16,17,18,19,20]洛伦兹对称的变形[21,22,23,24,25]，列举了几个主要的研究方向。探索质量的空间叠加，以及在一般引力场中的叠加，导致分析了各种版本的等效原理的状态，以及它们在QG背景下的精确公式。特别是，在[26]结果表明，在存在特定类型的引力场叠加时，弱等效原理（WEP）一般应被违反，该叠加描述了主导经典几何体周围的小量子涨落。另一方面，一些最近的研究建议将WEP推广到QG框架（参见示例[16,20,27,28,29,30,31])，认为在这种情况下它仍然满意，结果看似与…不一致[26]（有关详细信息，请参阅第5节).

WEP的现代公式是根据试验粒子而且它是弹道：它是一个定理在GR的数学公式中，说明测试粒子的轨迹满足所谓的测地方程[32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46]，尽管如此违反在QG的背景下，如[26]. 本文简要概述了GR中的WEP，并对经典力学和量子力学以及相应场论中的粒子和轨道概念进行了批判性分析。我们的分析表明，WEP，以及除强等效原则（SEP）之外的所有其他等效原则（EP），仅适用于近似值。由此我们得出结论，WEP或EP的任何其他风味（除了SEP）都不能被视为推广到量子引力框架的可行候选。

论文组织如下。在第2节，我们简要回顾了等价原则的各种风格，重点是WEP。在第3节，我们分析了经典力学和量子力学中的轨道概念，而在第4节我们在场论和量子力学中讨论了粒子的概念。最后，在结论中，我们简要回顾和讨论了我们的结果，并提出了未来可能的研究方向。

2.广义相对论中的等效原理

等效原理是现代物理学中最基本的原理之一。它是GR的两个基石基石之一，另一个是广义相对论原理。虽然它的重要性在重力的背景下得到了很好的理解，但在其他基本交互作用的背景下，它常常被低估。此外，对于EP是否也适用于量子物理，是否应该概括为包括量子现象等问题，人们进行了大量的研究并进行了长期的争论。最后，EP在历史上以大量不同的方式进行了表述，而这些方式往往并不相互等价，导致对该原则的实际陈述及其物理内容的大量混淆[47,48,49,50,51,52,53]. 鉴于EP的重要性，以及围绕它的大量困惑，尝试帮助澄清这些问题很重要。

等效原则最好通过陈述其传统意义上的目的来介绍，EP的目的是规定了重力与自然界所有其他场（统称物质）之间的相互作用（通过“物质”，我们不仅假设费米子场和标量场，还假设规范矢量玻色子，即非引力相互作用场）。这一点很重要，因为EP经常被错误地描述为重力性质，而没有提及任何物质。从更一般、更不传统且通常不被认可的意义上来说，EP的目的是规定任何仪表场以及自然界中的所有其他场（即费米子场和标量场，以及其他规范场，包括重力场），我们将在下面的电动力学案例中简要地思考这些。

鉴于这样的目的，让我们暂时专注于EP的引力版本，并提供它的现代公式，正如今天所知道和理解的那样。等效原则的陈述如下：

与重力耦合的物质的运动方程与没有重力时的物质运动方程在局部上保持一致。

这种语句需要一些解压缩和注释。

当比较存在和不存在重力时的运动方程时，声称它们保持一致的说法可能天真地暗示重力不会以任何方式影响物质的运动。然而，经过仔细检查，声明是这两组方程仍然存在局部的，局部的同样，强调地方性的概念是EP的一个重要特征。虽然运动方程在本质上已经是局部的（因为它们通常表示为有限阶偏微分方程），但物质和重力之间的实际相互作用只有在集成这些方程可以找到解决方案（请参见附录A有关详细示例）。
为了比较存在重力和不存在重力的物质的运动方程，方程本身需要以适当的形式表示（通常以一般曲线坐标表示，如张量方程）。EP的陈述依赖于一个定理，即这总是可以实现的，埃里希·克雷奇曼首先指出[54].
尽管EP主要是关于物质和引力之间的相互作用的声明，但它也暗示了描述引力场的最佳方法是作为时空几何的一种属性，例如其度量[55]. 在该设置中，EP可以重新定义为最小耦合在重力和物质之间，说明物质的运动方程可能取决于时空度量及其一阶导数，但不取决于其（反对称的）二阶导数，即时空曲率并没有明确地出现在物质运动方程中.
通过用其他规范场代替重力的作用，并适当地重新定义物质是什么，将EP推广到其他规范场是完全简单的。例如，在电动力学中，EP可以公式化为：

耦合到电磁场的物质的运动方程与没有电磁场的物质运动方程在局部上保持一致。

这一说法也可以适当地重新表述为电磁场与物质之间的最小耦合，即物质与电磁势的耦合 ${A类}_{μ}$ 但不是对应的场强 ${F类}_{μ ν} = \partial_{μ} {A类}_{ν} - \partial_{ν} {A类}_{μ}$ 事实上，这是电磁场与物质耦合的标准方式（参见附录A用于说明性示例）。更一般地说，整个基本粒子标准模型（SM）的规范场扇区是使用最小耦合公式建立的，这意味着EP的适当通用版本实际上规定了物质与自然界所有基本相互作用之间的相互作用，即强相互作用、弱相互作用、，电磁和引力。从这个意义上讲，EP是整个基础物理的基石原则，正如我们今天所理解的那样。

当然，关于EP的声明、其后果以及各种其他细节，我们可以说得更多。然而，在这项工作中，我们的注意力将集中在所谓的弱等价原理（WEP），这是EP的重新制定，适用于由机械颗粒组成的物质。为此，重要的是要了解历史上出现的EP的各种风味和改型。

与物理学中的任何深层概念一样，EP在历史上都是通过一个艰辛的循环来表达的，即精确地表述它，理解公式，理解公式的缺点，提出更好的公式，以及重复。从这个意义上说，如上所述，EP是经过几代科学家长期精心提炼而成的现代产品。不用说，这一过程中的每一步都进入了当代物理教科书，导致多年来文献中积累了大量不同的EP配方。这可能会给EP实际陈述的内容带来很多困惑[47,48,49,50]因为新旧文献中的各种表述往往不仅措辞不同，而且实际上在本质上是不公平的。为此，让我们评论一下EP的几种最常见的历史陈述（有关更详细的历史概述和分类，请参阅[56,57])，以及它们与现代版本的关系：

重力和惯性质量相等。这是EP最古老的变体之一，可以追溯到牛顿万有引力定律。该声明声称，物体的“引力电荷”与物体的加速度阻力相同，即牛顿第二运动定律左侧出现的质量正好抵消了牛顿引力定律右侧出现的质量。这使得人们可以将其与现代版本的EP联系起来，即适当加速的观测者可以将牛顿运动定律改写为自由粒子的方程，利用方程右侧的“惯性力”和重力的抵消。不幸的是，这个版本的EP本质上是非相对论的，只适用于牛顿引力的情况，因为在GR中，引力源已经成为物质场的全应力能量张量，而不仅仅是总质量。最后，当应用于光子时，这一原理显然失败了，正如光的引力弯曲所证明的那样。
自由落体的普遍性。回到伽利略，这句话声称物质和重力之间的相互作用并不取决于物质本身的任何固有性质，如质量、角动量、化学成分、温度或任何其他性质，从而产生了引力普遍耦合（即以相同的方式）的想法所有的事情。由伽利略的实验观测得出，它的有效性与用于验证它的实验的质量有关。正如我们将在下面看到的那样，在足够精确的设置下，人们可以通过实验观察物体的角动量与时空曲率之间的直接耦合[32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46]，声明无效。
重力和惯性之间的局部相等。该声明通常被称为爱因斯坦等效原理，声称局部且适当隔离的观测者无法区分均匀引力场中的加速和静止。虽然这一说法在精神上更接近EP的现代表述，但它模糊了原理的关键方面——物质与重力的耦合。换句话说，在这个公式中，它仅仅是隐含的，即观察者能够尝试区分惯性引力是通过使用某种形式的问题即研究物质在这两种情况下的运动方程，并通过观察物质的行为是否不同来区分它们。此外，这一说法经常在力学背景下讨论，认为任何给定的粒子都无法区分重力和惯性。这有两个主要的陷阱，第一，对粒子的依赖非常误导（正如我们将在下面更详细地讨论的那样），第二，它隐含地表明重力和惯性是相同的现象，这是完全错误的。也就是说，惯性可以理解为重力的一种特殊形式，但一般的重力场不能用惯性来模拟，因为惯性不能解释重力非均匀结构的潮汐效应。
弱等价原则。指出粒子的运动方程不依赖于时空曲率，或者等价地说，自由粒子的运动在时空中始终是测地线轨迹，WEP实际上是现代EP对机械点状粒子（即测试粒子）的应用。有人可能会说，就点状粒子的概念在物理学中是一个定义明确的概念而言，WEP是一个很好的原理。然而，正如我们将在下文中详细讨论的那样，点状粒子的概念是一种理想化，实际上在经典或量子物理中没有任何对应物。关于真实粒子（非零大小），WEP从不持有由于重力潮汐力对粒子大小的明显影响。从这个意义上说，WEP最多可以被视为近似该原理仅适用于粒径接近于零的情况。
强等价原则。这个版本的原理表明，自然界中所有基本场的运动方程都不依赖于时空曲率（参见[55]第387页第16.2节）。据我们目前所知，场确实是现代物理学（如SM）中最基本的组成部分，而引力场的强度确实是由时空曲率描述的（如GR）。从这个意义上说，SEP的陈述实际上是应用于场论的EP的一个实例，因此相当于EP的现代陈述。到目前为止，我们对自然现象的所有知识都与SEP的有效性相一致。

从上述综述中可以看出，EP的各种配方都是相互不等价的，并且具有不同的适用领域。具体来说，只有SEP具有普遍性，而所有其他EP风味仅具有近似性。在本文的其余部分，我们将重点关注WEP的研究，因为最近它在文献中得到了很多关注[20,27,28,29,31]主要是在将其推广到“量子WEP”的背景下，以及在不同引力配置的量子叠加中粒子运动的相关问题的背景下。后者是QG中自然出现的一种情况。由于WEP是根据测试粒子及其轨迹来描述的，为了尝试将其推广到QG的范围，我们应该首先在经典力学、量子力学和场论中更详细地分析这两个概念。

3.经典力学和量子力学中的轨道概念

三维空间中物理系统的轨迹是一组形成直线的点，通常由时间参数化。更正式地说，轨迹是一组

{(x个 (t吨), 年 (t吨), z（z） (t吨)) \in {R（右）}^{三} | t吨 \in [{t吨}_{我}, {t吨}_{（f）}] \subset R（右） \land {t吨}_{我} < {t吨}_{（f）}}

，由三个平滑函数给出

x个, 年, z（z） : R（右） \mapsto R（右）

。根据系统的性质，形成其轨迹的点的选择可能会有所不同。

在经典力学中，人们通常认为理想的“点状粒子”位于一个空间点上

(x个 (t吨), 年 (t吨), z（z） (t吨))

在每个时刻t吨在这种情况下，形成系统轨迹的点的选择是显而易见的。如果系统连续分布在某些体积上（“刚体”或“物体”）或由几个点状粒子或物体组成的复合系统，则自然会将其质心视为形成轨迹的点。虽然这一定义是自然的、被广泛接受的，并且在形式上适用于任何经典机械系统，但在某些情况下，轨迹的概念本身就失去了其直观和有用的含义。

例如，考虑一个电偶极子，即由两个质量相等且电荷相反的点状粒子组成的系统，它们之间的距离为

ℓ (t吨)

只要这个距离保持“小”且不随时间发生显著变化，偶极子轨道的概念（定义为两个粒子的质心集）就符合我们的直觉，并且可能有用。非正式地，如果两个粒子的轨迹彼此“接近”，则可以用系统质心的轨迹来近似表示它们。然而，如果这两个粒子各自的轨迹发散，则一个向“左”方向，另一个往“右”方向，人们可能很难谈论这样一个复合系统的轨迹，尽管其质心的位置仍然很明确。事实上，当偶极的组成部分之间的距离很大时，偶极本身就不再有物理意义了。

转到量子力学领域，由于叠加原理，即使是理想的点状粒子也没有明确的位置，这由著名的海森堡测不准关系进一步量化。因此，点状粒子的轨迹（以及在给定范围内可以近似为点状的任何系统）被定义为位置操作符的一组期望值。与复合经典系统的情况一样，在这里，点状粒子轨迹的定义在数学上总是很明确的，但出于非常相似的原因，它只适用于某些情况。也就是说，为了给上述轨迹定义一个有用的含义，所考虑的系统必须是很好地定位以双缝实验为例，在该实验中，点状粒子高度离域，因此我们可以这样说它的轨迹没有很好的定义，即使位置运算符的期望值集为。

我们看到，虽然在力学中，粒子及其轨迹的概念都相当简单，而且总是定义得很好，但只有当我们的系统在空间中很好地局部化时，后者才有意义（参见示例[58]其中，作者分析了波包传播对轨迹概念的影响）。

4.场论中的粒子概念

虽然在经典力学中，点状粒子总是很好地局部化的，但我们已经看到，在量子情况下，必须引入一个额外的约束，才能将其视为局部化，即粒子应该由波包表示。这一要求的来源在于，尽管量子粒子是机械的，但它由一个波函数因此，当我们进入领域本体论领域时，粒子的概念会变得更加复杂和技术化。

在场论中，基本概念是领域，而不是粒子。粒子的概念被认为是一个派生概念，事实上，在QFT中，人们可以区分两种截然不同的现象，称为“粒子”。

粒子的第一个概念是自由场的基本激发。例如，州

| Ψ 〉 = {\hat{一}}^{†} (\vec{k个}) | 0 〉,

称为单粒子态或平面波粒子。它具有以下属性：

它是粒子数操作符对于特征值1。
它的动量值很大 $\vec{k个}$ ，对应于场的完全离域平面波配置。
它没有质心，也没有空间中的“位置”概念，因为“位置操作符”对于场来说不是一个明确定义的概念。
这种状态被称为基本粒子，被理解为过去和未来无限的渐近自由状态，在S公司-散射过程的矩阵。这种类型的真实标量粒子的一个示例是希格斯粒子对于其他类型的字段（Dirac字段、向量字段等），示例为电子，a光子，a中微子，渐近自由夸克基本上，基本粒子标准模型中列出的所有粒子都是这种类型的。

请注意，上述所有概念都是在自由场理论的范围内定义的，并且不适用于相互作用场理论。换句话说，自由场理论是一种方便的理想化，它并没有真正反映现实物理学。因此，人们应该从这个意义上理解平面波粒子的概念，仅仅是作为一种方便的数学近似。此外，正如Unruh效应所证明的那样，粒子数操作符不是一个不变量。我们还应该强调，在相互作用的QFT中，理解粒子概念的正确方法是作为一个局部的波包，与其虚拟粒子云相互作用，虚拟粒子云在空间中确实有位置，其动量通过群速度定义。从这个意义上讲，作为波包的粒子可以更好地解释为扭结，如下所述。

场论中粒子的第二个概念是场的束缚态，也称为扭结溶液这需要一个相互作用理论，因为相互作用是形成束缚态所必需的。这种字段配置具有以下属性：

它不是粒子数算符的本征态，该算符的期望值通常不同于1。
它通常在空间中很好地定位，动量值不太大。
只要纽结保持稳定的结构（即，只要它不衰减），原则上可以将大小，因此质量中心,空间中的位置、和弹道在这个意义上，扭结可以起到测试粒子的作用。
这种状态被称为复合粒子给定一个相互作用理论，如标准模型，在某些情况下夸克和胶子形成束缚态，称为质子和a中子此外，质子和中子进一步形成束缚态，称为原子核与电子和光子一起形成原子,分子等等。

对于扭结，质量中心、空间位置和尺寸的概念仅描述为经典概念，即某些场算子的期望值，例如应力能张量。此外，考虑到纽结的非零尺寸，其质心和位置并不是唯一定义的，即使是经典定义，因为在相对论中，不同的观测者会指定不同的点作为质心。

给定QFT中粒子的两个概念，可以描述WEP的两个不同的对应概念。原则上，首先需要应用SEP，以便在基本水平上将物质场与重力耦合。假设这已经完成，平面波粒子和扭结粒子的运动都可以从爱因斯坦方程和物质场方程的组合集合中导出，而不需要任何WEP概念。从这个意义上说，一旦粒子在背景引力场中的轨迹由场方程确定，就可以验证作为一个定理粒子是否满足WEP。

具体来说，如果物质场与广义相对论耦合，使得其局部类似于平面波，那么可以应用WKB近似来证明波4矢量

{k个}^{μ} (x个)

，在波阵面的每个点都与波阵面正交

x个 \in {R（右）}^{4}

，将满足测地线方程，

{k个}^{μ} (x个) \nabla_{μ} {k个}^{λ} (x个) = 0 .

（1）

然而，考虑到平面波粒子在空间中完全离域，波4矢量满足测地线方程的事实很难解释为“粒子遵循测地线轨迹”，因此遵循WEP。事实上，将与波前正交的向量场确定为“粒子轨迹”的概念充其量是滥用术语。

其次，在扭结粒子与广义相对论耦合的情况下，假设背景引力场的配置是这样的，即粒子保持其结构，其大小可以完全忽略。然后可以应用中给出的程序[26,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46]来证明4向量

{u个}^{μ} (τ)

与纽结的世界线（即其轨迹）相切，将满足测地线方程(

τ \in R（右）

表示扭结的正确时间），

{u个}^{μ} (τ) \nabla_{μ} {u个}^{λ} (τ) = 0 .

(2)

因此，可以得出结论，纽结作为定理在场论中，没有必要实际假设它。

注意方程式之间的关键区别(1)和(2)-而前者具有四维变量x个，后者仅以一维固有时间表示

τ

这反映了一个事实，即平面波粒子是一个高度离域的物体，没有明确的位置和轨迹，而扭结是一个具有明确位置和轨迹的高度定域物体。因此，WEP只能用于扭结，而不能用于平面波粒子。

在扭结的情况下，同样重要的是要强调扭结的零尺寸近似是至关重要的。也就是说，如果没有这个假设，粒子将感受到整个尺寸的重力潮汐，有效地耦合其角动量

{J型}^{μ ν} (τ)

背景引力场的曲率[32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46]（另请参见[59]以便更精细地分析潮汐效应）。这将产生形式扭结的运动方程

{u个}^{μ} (τ) \nabla_{μ} {u个}^{λ} (τ) = {R（右）}^{λ}_{μ ρ σ} {u个}^{μ} (τ) {J型}^{ρ σ} (τ),

(3)

其特征是与曲率的显式耦合（不存在(2))因此未能遵守WEP。从这个意义上讲，对于实际的扭结解决方案，WEP是总是被侵犯与背景引力场的曲率半径相比，当粒子的大小可以完全忽略时，才可以认为是近似值。此外，如果纽结的总能量可以忽略不计，它可以用作点状测试粒子。

在上述讨论中，当物质场被描述为量子场时，使用QFT，背景引力场被认为是完全经典的。因此，如果允许引力场是量子的，例如物质场，WEP可能无法成立，这并不奇怪，人们需要从QG的角度重新审视上述分析的所有步骤。事实上，扭结粒子的情况正是在这种情况下研究的[26]结果表明，如果背景引力场处于不同组态的特定类型的量子叠加中，即使在零尺寸近似下，扭结也不会遵守WEP。简而言之，由于重力叠加配置之间的干涉效应，扭结的运动方程将包含额外的项，从而产生将扭结推离测地线轨道的有效力。此外，当然，与经典引力的情况类似，得出的结论是定理这是根据该理论的基本场方程得出的。该定理的一个假设是，场方程首先考虑扭结解。也就是说，在量子引力中，粒子完全不可能局域化，而在经典情况下，这种近似是可行的。如果是这样的话，那么人们甚至无法在量子引力设置中制定（即从经典理论中推广）WEP的概念。然而，可以假设扭结解决方案确实存在，正如在[26]，其中考虑了引力场的特殊叠加，描述了主导经典几何体周围的小量子涨落。然后有人认为，这种叠加与定义明确的局域粒子的近似相兼容（参见关于方程（2.2）和（3.15）以及该论文第3.4节的讨论）。事实证明，即使在这种情况下，扭结的轨迹也不符合WEP。因此，WEP的推广和EP的其他近似版本并不是分析量子引力性质的最佳候选。

此外，从非相对论极限的观点来看，QG框架中粒子概念定义明确的假设也可以得到支持。也就是说，在[4,5]提出了一个实验，通过测量非相对论粒子的运动，可以观察到QG涨落的影响。此外，还建议对该实验进行扩展[60]其目的是确定在这种装置中这些粒子的重力和惯性质量之间的潜在差异。事实上，在非相对论极限中，这两种质量之间的关系也曾在[26]，预测它们因几何量子涨落而产生的差异。从这个意义上讲，扭结的概念即使在QG设置中也应该有意义，至少在非相对论限制中是如此。

对于平面波质点在两种重力场组态的叠加背景中运动的情况，波矢场运动方程的分析

{k个}^{μ} (x个)

，在某种意义上[26,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46]到目前为止（据我们所知）尚未执行。然而，原则上，人们可以预期在WKB分析中会出现类似的干扰项，并产生波4矢量的非测地线方程。从这个意义上说，可以预期，一般来说，即使是这种平面波粒子的波前也会不服从WEP。

5.结论与讨论

本文概述了等价原理及其历史上形成的各种风味，特别强调了弱等价原理。我们在各种物理框架中对粒子和轨道的概念进行了批判性分析，表明点状粒子及其轨道的概念并不总是很明确的。这反过来表明，WEP可能不是推广QG的最佳起点，正如我们在下文中更详细地讨论的那样。

如中所述第4节，英寸[26]结果表明，如果允许重力状态和物质状态的叠加，则可能违反WEP。值得注意的是[26]其特征是三组状态的特定类型的叠加：第一组由一个所谓的主导状态组成——一个经典状态，其度量和应力能张量的期望值满足爱因斯坦场方程；第二种由类似于主导状态的任意系数的状态组成；第三种由准正交到主导的状态组成，但系数可以忽略不计。只有这样，人们才能谈论测试粒子在整体叠加状态下的（精确定位的）轨迹，从而可以直接将经典WEP推广到QG领域。考虑到对于经典的主导状态，测试粒子的轨迹遵循相应的测地线，我们可以看到，在叠加状态下，其轨迹将偏离主导国家的测地线，从而违反了WEP。请注意，如中所述第4节这种偏差，除了单个分支的经典加权轨迹外，还具有纯量子（即非对角）干涉项。

另一方面，一些最近的研究建议将WEP推广到QG框架，认为在这种情况下它仍然是令人满意的，因此看似与…不一致[26]. 例如，在[29,30,31]，作者考虑了任意数目的具有任意系数的经典准正交态的叠加，认为由于WEP在每个经典分支中都有效，因此它在其叠加中也有效。如果作为定义对于不同量子态的叠加满足某一原理的含义，上述说法显然是正确的。因此，作为一个定义，它很少涉及物理——它只是用另一个更简单的语句（“原理a在叠加的所有分支中分别满足”）重新表述了一个语句（“原则a在叠加中满足”）。也就是说，请注意[29,30]，在这些论文中进行的分析中，EP的这种通用版本没有发挥作用。真正起作用的是一个经典EP（具体地说，重力和惯性之间的局部相等）的一个版本的陈述，它应用于叠加中的每个特定状态。这两篇论文的所有物理相关（以及其他有趣的）结论都可以在不讨论广义EP的情况下获得。此外，在[31]EP本身甚至不是本文的重点，它的推广只是为了类比守恒定律的分析，这本身就是一个有趣的话题。另一方面，在弱叠加重力场的情况下，如在建议的实验中[4,5]，惯性质量和引力质量的相等性将被打破[26,60]. 此外，遵循上述定义的精神，人们可能会被误导，得出这样的结论：只要在叠加的每个（准经典）分支中定义了粒子的位置和轨迹的概念，它们就总是定义良好的。

在中提出了一种将EP推广到量子域的替代方法[16,20,27,28]. 在这些工作中，作者讨论了空间离域波粒与重力的耦合，目的是将这种情况推广到QG。为此，他们证明了一个定理，该定理基本上表明，对于这样一个离域的波粒子，即使它与引力场纠缠，也始终可以找到量子参考系变换，从而在给定时空点附近有一个局部惯性坐标系。该定理利用量子参考系（QRF）的新技术将微分几何的著名结果推广到量子域，即在任意时空点的无穷小邻域中，人们总是可以选择局部惯性坐标系。

然后，作者利用该定理将EP的一种风格推广到量子域。具体来说，即使波粒子与引力场纠缠，也可以使用适当的QRF变换切换到局部惯性坐标系，然后在该坐标系中“所有（非引力）物理定律都必须呈现出它们熟悉的非相对论形式”。在这里，据我们所知，“非引力物理定律”一词指的是量子力学波粒的运动方程，而“非相对论形式”意味着这些运动方程的形式与在特殊相对论背景下的形式相同。

我们的理解是，上述EP的波粒推广介于力学和场论之间，也就是说，它在某种意义上比WEP强，WEP讨论粒子，但比SEP弱，SEP讨论全面的物质场。由于它指的是波粒子而不是扭结，我们对WEP及其对粒子轨迹的依赖性的分析不适用于这个版本的EP。

中的方法[16,20,27,28]人们应该尝试概括EP的大致口味，作为更大研究计划的权宜之计，希望它们仍能为QG提供一些线索。这当然是一种合法的方法，从这个角度来看，EP在量子域的这种推广代表了有趣的结果。尽管如此，我们也认为最好对SEP进行概括，并且以一种完全不符合参考框架的方式，因为这更接近于EP声明的本质，如第2节.

综上所述，我们的分析表明，与其试图推广EP的各种近似公式，不如谈谈关于重力和惯性质量相等、可能偏离测试粒子测地线运动、自由落体的普遍性等可操作验证的陈述。，并研究其他原则及其对QG的可能推广，如SEP（参见第4.2节[26])背景无关性、量子非局域性等。

作者贡献

调查、N.P.和M.V。；书面原稿编制，N.P.和M.V。；所有作者都阅读并同意手稿的出版版本。

基金

NP的工作得到了通信研究所SQIG安全和量子信息小组、葡萄牙2020年框架计划（COMPETE 2020）【Q.DOT项目，编号039728（POCI-01-0247-FEDER-039728）】和联邦能源与经济研究所基金会（FCT）通过国家基金的部分支持，以及根据UIDB/50008/2020（行动QuRUNNER，QUESTS）、QuantumMining POCI-01-0145-FEDER-031826项目、PREDICT PTDC/CCI-CIF/29877/2017、CERN/FIS-PAR/0023/2019、Quantum Prime PTDC/EEI-TEL/8017/2020以及FCT Estímulo ao Emprego Científico批准号CEECIND/04594/2017/CP1393/CT000的里斯本区域运营计划。MV得到了塞尔维亚共和国教育、科学和技术发展部的支持，塞尔维亚共和国科学基金资助7745968，“2021年高规范理论的量子引力”-QGHG-2021。本出版物的内容由作者全权负责，绝不能反映塞尔维亚共和国科学基金会的观点。

机构审查委员会声明

不适用。

致谢

作者感谢采斯拉夫·布鲁克纳、弗拉米尼亚·贾科米尼、奇亚拉·马莱托和弗拉特科·维达尔的有益讨论。MV还感谢Milovan Vasilić和Igor Salom对对称局部化概念的澄清。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A

在这里，我们提供了EP的两种应用的详细示例。首先，我们讨论了引力EP，并将其应用于一个真实的标量场，给出了所有的数学细节，并讨论了各种相关的方面，如局域性、对称局域性等。然后，我们以电动力学为例，转向EP的规范场推广的应用。我们描述了如何将物质耦合到电磁场，模仿前面的引力例子，并强调了引力和电磁场在每个步骤中的相似性。还要注意，可以用完全相同的方法研究非阿贝尔规范场。最后，我们讨论了测试粒子的情况，以及在引力和电磁情况下WEP的破坏。

在本节中，我们假设Minkowski度量

η_{μ ν}

有签名

(-, +, +, +)

.

附录A.1。引力案例

让我们从闵可夫斯基时空中一个真实标量场的例子开始，通过将其与引力耦合来应用等效原理。在这种情况下，运动方程是普通的克莱因-戈登方程，

(η^{μ ν} \partial_{μ} \partial_{ν} - 米^{2}) ϕ (x个) = 0 .

（A1）

它描述了惯性坐标系下闵可夫斯基时空中的自由标量场。为了将其与重力耦合（在GR框架中），我们首先将此方程改写为任意曲线坐标系，如下所示

({\tilde{克}}^{μ ν} {\tilde{\nabla}}_{μ} {\tilde{\nabla}}_{ν} - 米^{2}) ϕ (\tilde{x个}) = 0 .

（A2）

这里是协变导数

{\tilde{\nabla}}_{μ}

定义为Levi-Civita连接，

{\tilde{Γ}}^{λ}_{μ ν} = \frac{1}{2} {\tilde{克}}^{λ σ} (\partial_{μ} {\tilde{克}}_{ν σ} + \partial_{ν} {\tilde{克}}_{μ σ} - \partial_{σ} {\tilde{克}}_{μ ν}),

（A3）

这又是根据曲线Minkowski度量定义的

{\tilde{克}}_{μ ν}

注意，波浪符号表示该度量是通过坐标变换获得的

{\tilde{x个}}^{μ} = {\tilde{x个}}^{μ} (x个)

根据惯性坐标系中的Minkowski公制，

η_{μ ν}

,

{\tilde{克}}_{μ ν} = \frac{\partial {x个}^{ρ}}{\partial {\tilde{x个}}^{μ}} \frac{\partial {x个}^{σ}}{\partial {\tilde{x个}}^{ν}} η_{ρ σ},

（A4）

因此，如果使用

{\tilde{克}}_{μ ν}

和

{\tilde{Γ}}^{λ}_{μ ν}

，根据方程式

{R（右）}^{λ}_{ρ μ ν} = \partial_{μ} {\tilde{Γ}}^{λ}_{ρ ν} - \partial_{ν} {\tilde{Γ}}^{λ}_{ρ μ} + {\tilde{Γ}}^{λ}_{σ μ} {\tilde{Γ}}^{σ}_{ρ ν} - {\tilde{Γ}}^{λ}_{σ ν} {\tilde{Γ}}^{σ}_{ρ μ},

（A5）

人们会得到

{R（右）}^{λ}_{μ ν ρ} = 0

由于转换成不同的坐标系，时空中的每一点都不会导致时空的曲率。

现在可以应用EP（在本例中特别是SEP）将标量场与重力耦合。SEP的说法是，在存在引力场的情况下（即在弯曲时空中），标量场的运动方程应局部保持与不存在引力场时相同的形式（即在平坦时空中）。自公式(A2类)该方程仅取决于给定时空点处的场及其同一点处的一阶和二阶导数，实际上是局部的&它是在一个点的无穷小邻域内定义的。有鉴于此，EP指出，存在重力时的相应运动方程应具有完全相同的形式：

(克^{μ ν} \nabla_{μ} \nabla_{ν} - 米^{2}) ϕ (x个) = 0 .

（A6）

波浪线的缺失表示协变导数

\nabla_{μ}

定义为通用Levi-Civita连接

Γ^{λ}_{μ ν}

这又是根据通用度量定义的

克_{μ ν}

，不一定满足(A4（A4）). 换句话说，EP假设方程式(A6级)现在即使在弯曲时空中也成立，因为对于一般度量和连接，黎曼曲率张量不必处处等于零。标量场和重力之间的相互作用，由EP假设并在方程中实现(A6级)，在文献中也称为最小耦合处方[61].

为了说服自己转变的准备步骤(A1类)至(A2类)是微不足道的，因为它不会对(A1类)，还可以证明(A6级)实际上在本地等价于(A1类)还有。也就是说，根据微分几何中的一个定理（例如，参见[62])，在任何特定的时空点

{x个}_{0}

可以选择局部惯性坐标系，其中通用度量

克_{μ ν}

，对应的连接

Γ^{λ}_{μ ν}

也就是协变导数

\nabla_{μ}

按照他们通常的闵可夫斯基价值观，

克_{μ ν} ({x个}_{0}) = η_{μ ν}, Γ^{λ}_{μ ν} ({x个}_{0}) = 0, \nabla_{μ} |_{x个 = {x个}_{0}} = \partial_{μ},

（A7）

因此在该点的无穷小邻域中

{x个}_{0}

方程式(A6级)获得精确等于(A1类).

然而，请注意，当集成(A6级)，必须考虑到时空是弯曲的，因为积分是非局部操作，并且局部惯性坐标系不能消除时空曲率。因此解决第页，共页(A6级)一般来说不同的从的解决方案(A1类)表示标量场与重力的物理相互作用，尽管在这两种情况下运动方程的形式是相同的。

另一件需要强调的事是，EP本身不是一个数学定理，而是一个包含物理内容的原则，因为它既可以满足也可以违反。具体来说，我们可以规定标量场与重力的不同耦合，例如，在弯曲时空中，其运动方程的形式

(克^{μ ν} \nabla_{μ} \nabla_{ν} - 米^{2} + {R（右）}^{2} + {K（K）}^{2}) ϕ (x个) = 0,

（A8）

哪里

R（右） \equiv {R（右）}^{μ ν}_{μ ν}

和

K（K） \equiv {R（右）}^{μ ν ρ σ} {R（右）}_{μ ν ρ σ}

分别是曲率标量和Kretschmann不变量。这个方程不等价于(A2类)并且没有坐标系可以使其形成(A1类)自R（右）和K（K）是不变量。从这个意义上说(A8类)是标量场与重力耦合从而违反EP的示例。物质和重力之间的这种相互作用在文献中也被称为非最小耦合[61].

最后，我们应该注意到(A1类)至(A2类)相当于文献中所称的对称局部化[61]. 特别是，可以验证(A1类)相对于组保持不变

{R（右）}^{4}

全球翻译，

{x个}^{μ} \to {\tilde{x个}}^{μ} = {x个}^{μ} + ζ^{μ}, (ζ \in {R（右）}^{4}),

（A9）

同时(A2类)相对于组保持不变

D类 我 （f） （f） ({R（右）}^{4})

通过平移对称群的局部化得到的时空微分同态，

{x个}^{μ} \to {\tilde{x个}}^{μ} = {x个}^{μ} + ζ^{μ} (x个) \equiv {\tilde{x个}}^{μ} (x个),

（A10）

表示一般曲线坐标变换，用于(A4（A4）). 可以明确验证所有三个方程(A2类), (A6级)和(A8类)相对于本地翻译保持不变(A10号机组)同时描述了无重力耦合、满足EP的重力耦合和违反EP的重力的耦合。从这个意义上讲，与一个常见的误解（通常在文献中陈述）相反，即对称局部化会引起相互作用，我们可以说对称局域化的过程不会以任何方式介绍或规定互动。特别是，一个直接的反例是(A4（A4）)，这显然做遵循局部平移对称，而不会引起任何相互作用（电动力学中的类似反例见下文）。

附录A.2。电磁案例

让我们从闵可夫斯基时空中狄拉克场的一个例子开始，通过将其耦合到电磁场来应用广义等效原理。在这种情况下，运动方程是普通的狄拉克方程，

(我 γ^{μ} \partial_{μ} - 米) ψ (x个) = 0,

（A11）

哪里

γ^{μ}

是标准Dirac伽马矩阵，满足Clifford代数的反交换恒等式

{γ^{μ}, γ^{ν}} = - 2 η^{μ ν}

.目前，方程式(第11页)描述了自由狄拉克场，未以任何方式与电磁场耦合。请注意，它相对于全局是不变的

U型 (1)

转换，定义为

ψ \to ψ^{'} = {e（电子）}^{- 我 λ} ψ, {e（电子）}^{- 我 λ} \in U型 (1), λ \in R（右） .

（A12）

为了将其与标准麦克斯韦电动力学耦合，我们首先将该方程改写为相对于局部不变的形式

U型 (1)

转换，

ψ \to ψ^{'} = {e（电子）}^{- 我 λ (x个)} ψ, \partial_{μ} \to {\tilde{D类}}_{μ} = \partial_{μ} + 我 \partial_{μ} λ (x个),

（A13）

所以方程的形式是

(我 γ^{μ} {\tilde{D类}}_{μ} - 米) ψ (x个) = 0,

（A14）

注意这里，

\tilde{D类}

表示关于“纯规范”连接的协变导数

{\tilde{A类}}_{μ} 选择 \partial_{μ} λ (x个),

（A15）

哪里

λ (x个)

表示任意规函数。此外，请注意(第11页)类似于(A1类), (答14)类似于(A2类)，而全球和本地

U型 (1)

规范变换(答12)和(答13)EM是全球和局部时空转换的类似物吗(答9)和(A10号机组)从引力情况来看。最后，请注意，如果要使用

{\tilde{A类}}_{μ}

来自(第15页)，根据方程式

{F类}_{μ ν} = \partial_{μ} {\tilde{A类}}_{ν} - \partial_{ν} {\tilde{A类}}_{μ},

（A16）

人们会得到

{F类}_{μ ν} = 0

在时空中的每一点，因为纯规范的电势不能感应电磁场。在这里(答16)类似于(第5页).

一旦狄拉克方程的形式(答14)在手边，可以应用EP的电磁泛化，以便将狄拉克场耦合到电磁场。在这种情况下，EP的说法是，在存在电磁场的情况下，狄拉克场的运动方程应局部保持与不存在电磁场时相同的形式。自公式(答14)它只依赖于给定时空点的场及其在同一点的一阶导数，因此定义在一个点的无穷小邻域内，换句话说，它是局部的。有鉴于此，电磁EP规定，在电磁场存在的情况下，相应的运动方程应具有完全相同的形式（类似于(A6级)):

(我 γ^{μ} {D类}_{μ} - 米) ψ (x个) = 0 .

（A17）

波浪线的缺失表示协变导数

{D类}_{μ} \equiv \partial_{μ} + 我 {A类}_{μ}

定义为泛型

U型 (1)

连接

{A类}_{μ}

不一定满足(第15页)，但确实遵守通常的规范转换规则，

{A类}_{μ} \to {A类}_{μ}^{'} = {A类}_{μ} + \partial_{μ} λ (x个) .

（A18）

换句话说，电磁EP假设方程(答17)即使在存在电磁场的情况下也能保持，因为对于通用连接

{A类}_{μ}

法拉第张量可能不是处处都等于零。狄拉克场和电磁场之间的相互作用，由电磁EP假设并在方程中实现(答17)在文献中又称为最小耦合处方[61,63].

如果一个人想说服自己，转变的准备步骤(第11页)至(答14)是微不足道的，因为它不会对(第11页)，还可以证明(答17)实际上在本地等价于(第11页). 为此，在任何特定的时空点

{x个}_{0}

人们可以选择以下选项

U型 (1)

仪表，

λ (x个) = - {A类}_{μ} ({x个}_{0}) {x个}^{μ},

（A19）

因此，根据(答18)

{A类}_{μ}^{'} (x个) = {A类}_{μ} (x个) - \partial_{μ} ({A类}_{ν} ({x个}_{0}) {x个}^{ν}) \Rightarrow {A类}_{μ}^{'} ({x个}_{0}) = 0, {D类}_{μ} |_{x个 = {x个}_{0}} = \partial_{μ} .

（A20）

这种量规的选择是本地惯性坐标系选择的EM模拟(答7). 将其替换为(答17)并在

x个 = {x个}_{0}

，它精确地简化为形式(第11页)在该点的无穷小邻域中，尽管存在非零电磁场。

再次注意，当集成(答17)，必须考虑到电磁场是非零的，因为积分是非局部操作，以及规范的选择(答19)消除了来自(答17)只是在这一点上

{x个}_{0}

，而法拉第张量是规范不变量。因此解决第页，共页(答17)一般来说不同的从的解决方案(第11页)表示狄拉克场与电磁场的物理相互作用，尽管狄拉克场的运动方程在这两种情况下的形式是相同的。

与重力的情况一样，我们应该强调，电磁EP不是一个数学定理，而是一个具有物理内容的原理，因为它既可以满足也可以违反。具体来说，我们可以规定狄拉克场与电动力学的不同耦合，例如，在存在电磁场的情况下，其运动方程的形式（类似于(A8类))

(我 γ^{μ} {D类}_{μ} - 米 + 我_{1} + 我_{2}) ψ (x个) = 0,

（A21）

哪里

我_{1} \equiv {F类}^{μ ν} {F类}_{μ ν}

和

我_{2} \equiv ε^{μ ν ρ σ} {F类}_{μ ν} {F类}_{ρ σ}

是法拉第张量的两个基本不变量。这个方程不等价于(答14)，并且不存在本地

U型 (1)

它可以形成的量规(第11页)，自

我_{1}

和

我_{2}

是不变量。从这个意义上说(答21)是Dirac场与电磁场耦合从而违反电磁EP的示例。这在文献中也被称为非最小耦合[61,63].

最后，我们还应该注意到(第11页)至(答14)相当于文献中所称的对称局部化[61,63]. 具体来说，可以明确验证所有三个方程(答14), (答17)和(答21)相对于局部保持不变

U型 (1)

规范变换描述了与电磁场的无耦合，与满足电磁EP的电磁场的耦合，与违反电磁EP的电场的耦合。在这个意义上，我们可以再次说对称局部化的过程不会以任何方式介绍或规定互动。在电动力学和其他规范理论的情况下，这在文献中经常被歪曲——对称定位的步骤与应用电磁版本EP的步骤无声无息地结合在一起；因此，最终，产生了一个相互作用理论，由此产生的相互作用被错误地归因于对称性的局部化，而不是EP的应用。与上述引力情况类似，运动方程(答14)是对这种归因的明确反例，因为做具有本地

U型 (1)

对称，但不会与电磁场有任何相互作用。

附录A.3。测试颗粒案例

我们应该解决的最后一个问题是，电磁EP的声明与洛伦兹力定律的存在相容，作用于带电测试粒子。也就是说，人们经常通过比较测地方程来区分测试粒子在引力场中的运动和测试粒子在电磁场中的运动(2)

{u个}^{μ} (τ) \nabla_{μ} {u个}^{λ} (τ) = 0,

（A22）

哪里

{u个}^{μ}

是测试粒子的4速度，使用洛伦兹力方程

{u个}^{μ} (τ) \nabla_{μ} {u个}^{λ} (τ) = \frac{q个}{米} {F类}^{λ ρ} {u个}_{ρ} (τ),

（A23）

哪里

q个 / 米

是在外部电磁场中运动的测试粒子的荷质比，由法拉第张量描述

{F类}_{μ ν}

从这种比较中得出的一个典型结论是，与电磁场的相互作用会产生“实际力”，而与引力场的相互作用则不会。

然而，进行比较具有高度误导性(答22)至(答23)首先。也就是说，正如我们在第4节在场论中，粒子的概念只能近似地定义，这同样适用于电动力学和引力。具体来说，根据上面讨论的例子，狄拉克场通过方程耦合到电磁场(答17)，我们已经看到在给定点的无穷小邻域中

{x个}_{0}

人们可以从以下位置完全测量出电磁场耦合的存在(答17). 在这个意义上，测试粒子的概念满足(答23)无法识别理想化的点-粒子，它的大小正好为零。相反，真实的测试粒子是狄拉克场（扭结）的波包配置，因此具有较小但非零的大小。随着它的发展，波包的不同部分与EM势相互作用

{A类}_{μ}

在不同的时空点，与法拉第张量产生有效的非最小耦合

{F类}_{μ ν}

这完全类似于由于潮汐力导致的小尺寸但非零尺寸的测试粒子与时空曲率相互作用的情况，这两种效应都是非局部的，因为两种扭结都具有非零尺寸。另一方面，满足以下条件的测试粒子(答22)表示理想化的点粒子（物质场多极展开中的前导阶近似），即大小为零的扭结。

从这个意义上说，洛伦兹力方程(答23)应该与帕帕彼得鲁方程进行比较(三),

{u个}^{μ} (τ) \nabla_{μ} {u个}^{λ} (τ) = {R（右）}^{λ}_{μ ρ σ} {u个}^{μ} (τ) {J型}^{ρ σ} (τ) .

（A24）

事实上，我们可以看到(答23)和(答24). 当然，由于各种扭结力矩耦合的精确性质，存在微小的技术差异，但尽管如此，这两个方程惊人地相似。鉴于此，虽然人们仍然可以得出结论，扭结与电磁场的相互作用会产生“实际力”，但对于扭结与引力场的相互作用，人们可以得出完全相同的结论。在这个水平上，引力和其他规范相互作用没有区别，自然界中的四种相互作用（强、弱、电磁和引力）都是“真实的”。此外，所有四种相互作用在基本场论水平上都满足EP（即强广义EP），而在力学水平上，在所有四种情况下都明显违反了相应的弱广义EP。

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芝加哥/图拉宾风格

Paunković、Nikola和Marko Vojinović。2022.“经典引力和量子引力的等效原理”宇宙8，编号11:598。https://doi.org/10.3390/universe8110598

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