1.简介
1916年，卡尔·施瓦西首次导出了静态球对称源外部区域的时空度量[1]; 仅在大约50年后，人们才正确地理解到，这个时空可以向内外推来描述黑洞。在没有任何通用性损失的情况下，任何静态球对称时空都可以用以下形式的度量来描述 对于标准Schwarzschild指标，一组和在过去的一个世纪里，多名研究人员对大量黑洞时空进行了研究，这些时空在质量上与史瓦西的不同[2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]. 此外，该领域现在不仅包括经典黑洞，还包括量子修饰黑洞[15,16,17,18]，规则黑洞[19,20,21,22,23]以及其他各种奇异的球对称时空，它们与黑洞有着根本的不同，但却模拟了许多可观察到的现象（例如可穿越的虫洞[24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39]，引力星[40,41,42,43,44,45,46]，超致密物体[47,48]等[49,50,51]; 参见[52]进行深入讨论）。在此，我们研究了一个表示规则黑洞的特定时空模型。也就是说，时空具有定义明确的视界结构，但曲率不变量在任何地方都是有限的。 由于观测和引力波天文学的最新进展，研究黑洞模拟物变得越来越重要。事件地平线望远镜等项目[53,54,55,56,57,58]、LIGO[59,60]和计划中的LISA[61]正在并将继续探索更接近致密大质量物体（CMO）的视界，因此有希望这些项目最终能够区分经典黑洞的近视界物理和可能的天体物理模拟者[52]. 在此，我们将重点介绍光子环、ISCO和OSCO。对光子环的修改可能会影响EHT收集的图像。对ISCO的修改可能会影响吸积盘以及LIGO检测到的最终吸气和骤降事件。相比之下，施瓦西黑洞或克尔黑洞不存在OSCO（最外层稳定圆轨道），因此任何OSCO存在的证据将立即引起天体物理学的兴趣。 本文研究的模型时空是一个特定的规则黑洞，其具有渐近的闵可夫斯基核，如[62,63]. 这是指数质量抑制度量的一个示例，由线元素描述 库莱图之前曾讨论过基于非线性电动力学的该模型时空的一个完全不同的（极值）版本[64]，对非特雷米尔案件的某些方面进行了跟进[65,66,67]（另请参见[68,69]). 大多数规则黑洞的核心是渐近的德西特（具有恒定的正曲率）[19,20,21,22]. 然而，度量描述的规则黑洞(2)具有渐近Minkowski核（在应力能张量渐近线为零的意义上）。与更常见的德西特核心规则黑洞相比，这种模型具有一些吸引人的特征：应力-能量张量在核心处消失，大大简化了该区域的物理；许多混乱的代数表达式被包含指数和Lambert的简单表达式所取代W公司函数，同时仍然允许物理量的显式闭合形式表达式[62]. 此外，本文中获得的结果通过使用参数重现了Schwarzschild度量的标准结果因此，参数的值一决定了“偏离”施瓦西时空的程度。 如果，然后度量描述的时空(2)有两个地平线位于 在这里，和是兰伯特真正有价值的分支W公司功能。我们也可以写 令人不安的是，对于小一，我们有在限制。对于内部地平线，因为,暗示，其中我们有一个严格的上限，由简单的解析表达式给出： 当然，正如我们所期望的那样，恢复史瓦西；然而不是分析型的。这个界限也可以看作是渐近展开式中的第一项[70]基于（as) 更具体地说（作为或), 如果然后两个地平线在一个有一个极端黑洞。如果，那么就没有地平线了，我们要处理的是一个规则的无水平延伸但紧凑的物体（能量密度峰值在).
这个对象可以一直扩展到，或者在某个有限值处截断第页，用作某些静态和球对称质量源的外部几何形状不是黑洞。这作为行星、恒星等的模型可能很有用。因此，我们还结合了当需要生成天体物理观测值时(2)正在建模一个紧凑的物体而不是黑洞。 2.测地学和有效势
继续分析[62]，我们现在用方程给出的线元计算正则黑洞的光子球位置和极值稳定圆轨道（ESCO）(2). 最近，在大质量物体M87和Sgr A*上观察到了光子球（或者更准确地说是密切相关的黑洞轮廓）[53,54,55,56,57,58]. 因此，它们与密切相关的ESCO一起，是为黑洞模拟者计算的实用而有用的量。 我们首先考虑在我们的时空中一个大质量或无质量粒子的世界线的仿射参数化切线向量(2):哪里，使用对应于大质量（类时间）粒子，0对应于无质量（零）粒子。（案例将对应于遵循类太空测地线的超光速粒子，这种情况在物理上没有已知的适用性。）由于我们使用的是球对称时空，因此可以设置在不损失通用性的情况下，简化方程(11)至 由于存在时间平移和角度Killing向量，我们现在可以定义守恒量分别对应于粒子的能量和角动量。因此，方程式(12)暗示 这定义了测地轨道的“有效势”圆轨道对应于这个势的极值。 3.光子球
我们将讨论细分为两个主题：首先存在圆形光子轨道（光子球），然后稳定性圆形光子轨道。这一讨论比施瓦西时空的讨论要复杂得多，因为在施瓦西空间中只有一个圆形光子轨道圆形光子轨道是不稳定的。一旦额外的参数一是非零的，特别是足够大的光子轨道集表现出更多的多样性。
3.1. 光子球体的存在
为了明确这一点，圆形光子轨道的位置，，由方程式隐式给出哪里一和米由时空的几何形状固定。1这些圆形光子轨道的轨迹所描述的曲线以两种不同的方式绘制在图1. 为了清楚起见，定义和，我们可以将圆形光子轨道的条件重写为 内在和外在的视野在，即，在。对于，即针对，一个是处理一个无水平紧致物体，我们看到有一个区域二圆形光子轨道。注意，圆形光子轨道轨迹所描述的曲线在到达地平线时终止，即.常数的亚平面曲线第页像太空一样（超高速），并且不能要像灯一样轻，所以它们被明确排除在外。也就是说，光子球体只能存在在该地区.
我们能否更明确地说明这一情节的关键定性和定量特征？具体来说，现在让我们分析稳定性与不稳定性，并找出各种转折点的确切位置。
3.2. 圆形光子轨道的稳定性与不稳定性
3.2.1. 扰动分析（小一)
我们注意到来自方程式(18)在分析上不可行，但当然可以对小一.我们有 因此，对于较小的值一，我们恢复了光子球在Schwarzschild时空中位置的标准结果。
估算现在将光子球的近似位置替换为我们发现 这个数量对于较小的一也就是说，（在当前小-一近似值），光子处于不稳定轨道-一光子球体。
3.2.2. 非扰动分析
然而，如果我们重新表述这个问题，那么我们可以做出一些更明确的精确陈述，这些陈述在小范围内不再令人不安一：鉴于确定在分析上是不可行的，应该注意，相比之下和很容易通过分析确定： 关于稳定性，在第一种情况下，替换(23)（左）进入(20)，我们有 使用Lambert的属性W公司函数，我们很快就会发现这对，意味着该区域内圆形光子轨道的不稳定性（以及该区域外的稳定性）。
也就是说，在圆形光子轨道的曲线上，在点上 在第二种情况下，替换(23)（右）进入(20)，我们有 这对这意味着该区域内的圆形光子轨道不稳定（以及该区域外的稳定性）。
即在圆形光子轨道的曲线上，在点上 因此，在圆形光子轨道的曲线上，我们有存在和稳定性在该地区和存在和不稳定性在该地区.恰到好处，光子球表现出中性稳定性。
3.3. 转折点
要评估圆形光子轨道轨迹所描述曲线上转折点的准确位置，请回忆一下使用和我们可以把这条曲线写成 这使我们能够计算其零点位于，我们已经看到了. 请注意，当如上图所示，. 可以看出，最初在图1，现在在中的放大图中详细介绍图2，对于无水平紧凑的大质量物体，有一个区域，其中光子球有两个可能的位置，其固定值为米和一此外，当发生这种情况时，上部分支对应于不稳定光子轨道，而下部分支是稳定光子轨道。 4.类时圆轨道
让我们首先检查存在，然后是稳定性时间型圆形轨道。即使在施瓦西时空()这并不完全是小事一桩：时间型圆形轨道存在为所有人; 它们不稳定，在以下条件下表现出中性稳定性、和的稳定性.一旦参数一非零的情况要复杂得多。
4.1. 圆形时间轨道的存在性
对于时间轨道，有效势由下式给出所以圆轨道的位置可以从 也就是说，所有类时圆形轨道（将有无限多个）必须满足 这是不可解析的但我们可以求出所需的角动量这些圆形轨道中： 身体上，我们必须要求，所以存在圆形轨道的区域（无论稳定还是不稳定）由下式给出 第一个条件是，来自这样一个事实，即在这个时空中，重力对。记住重力产生的伪作用力取决于具体来说，此更改签于因此，对于，重力将你吸引到中心，但重力使你远离中心。 如果重力排斥你，就没有办法用离心力来平衡它，所以根本没有办法得到一个圆形轨道，无论它是稳定的还是不稳定的。精确到，有稳定的“轨道”，测试粒子就在那里，角动量为零，不需要侧向运动。自施工以来，此约束仅适用于无水平CMO。
第二个条件就是前面小节中考虑的光子轨道的位置。（从物理上讲，情况是这样的：在很远的距离上，很容易将一个巨大的粒子放入一个圆形轨道。当向内移动并接近光子轨道时，大质量粒子必须越来越快地移动，当具有非零不变质量的粒子尝试在光子轨道上轨道时，单位质量的角动量必须发散。）
因此，类时圆形轨道的存在区域（而不仅仅是其边界）是（参见图3): 4.2. 圆形时间轨道的稳定性与不稳定性
现在，考虑一下一般表达式并替换已知值对于圆形轨道（请参见(38)). 然后， 请注意在光子轨道上（分母为零）。
要查找边界区域的稳定的圆轨道，ESCO（极值稳定圆轨道），我们现在需要设置，得出方程式 我们注意到，定位这个边界相当于极值。要看到这一点，请考虑数量和差异化： 然而，很容易检查到光子球外非零（即在圆形时间测地线的存在区域内）。从那里， 因此，也可能会极端化，如方程式所示(38)，然后再次找到方程式(44). 定义和，描述稳定类时圆形轨道区域边界的曲线可以改写为 方程隐含的边界图(44)，或等效(49)，可以在中看到图4对于光子球，我们得到了一个有趣的结果，即ESCO扩展到无水平致密大质量物体会导致最多两个可能的ESCO位置，其固定值为一和米可能出乎意料的是，ESCO的曲线并没有在水平方向终止——一旦它在一个非常特殊的点上碰到圆形光子轨道的曲线，它就会终止。现在让我们来详细分析一下图4和图5注意，如果ESCO是单值的，则它是ISCO（最内层稳定圆形轨道）。如果ESCO是双值的，则上部分支是ISCO，下部分支是OSCO（最外层稳定圆轨道）[71]. 4.2.1、。扰动分析（小一)
注意，这种近似在施瓦西光子球上发散因此，对于小型一的区域边界存在类时圆形轨道的.
现在，我们调查稳定性小扰动区域一.重新排列方程式(44)，我们明白了 从那里，它明智地将Schwarzschild ISCO复制到了一，并解释中的渐近线图4b。 此外，对于小型一，替换进入之内和扩展 要求这个数量为零的自始至终会产生.
4.2.2。非扰动分析
我们在上面展示了，定义和，描述稳定类时圆形轨道区域边界的曲线可以改写为 有一个明显的局部极值，对应于物理上，这对应于内外地平线合并并成为极值的点，但从图4，的描述性绘图图5和放大图图6，我们看到ESCO的曲线在到达这一点之前到达光子轨道（并变得非物理）。根据绘图时使用的变量图4,图5和图6，这一非物理（从ESCO的角度来看）观点对应于 虽然这可以通过分析来解决，但结果太杂乱，难以启迪，所以我们求助于数字。两个根是复杂的，一个是负的，唯一的物理根是，对应于从物理上来说，这意味着ESCO曲线应显示出非平凡的局部极值图4我们看到，此时ESCO曲线确实存在局部极值。根据绘图时使用的变量图4，此极值点对应于和 4.3. ESCO与光子球的相交
同样，对于ESCO的所在地，我们重写了(55)作为 物理相关的根是，这是我们在上面确定光子球变得稳定的地方，在光子球曲线最大化.
4.4. 角动量的显式结果
同样，对于ESCO的所在地，我们可以重写(55)作为 这有一个极点，然后对所有人来说都是正的和有限的（当然，重点是在ESCO曲线上，ESCO曲线正好与光子曲线相交，因此我们预计角动量将在此处趋于无穷大。）渐进地，对于大型第页（大型)，我们有和，所以正如大直径牛顿极限所预期的那样。
4.5. 总结
总的来说，我们看到类时圆轨道的稳定区域的边界相当复杂。就变量而言以下为：
对于，我们有一个ESCO。
然后，该ESCO细分如下：
- -
对于，我们有一个ISCO。
- -
对于，我们有一个OSCO。
对于，稳定区域由稳定的光子轨道限定。
这条线从下面限定了类时圆轨道的稳定性和存在区域。
这比合理预期的要复杂得多。
5.结论
在这项工作中，我们研究了基于渐近Minkowski核的特定新型规则黑洞模型的天体物理可观测量[62,63]：具体来说，我们研究了光子球和ESCO。正在考虑的时空是一个黑洞模拟者的例子。对于规则黑洞模型，光子球和ESCO都存在，并且都位于外地平线之外，因此（至少在理论上）可以从天体物理上观察到。光子球和ESCO的分析扩展到了无水平的致密大质量物体，导致了令人惊讶的结果，对于固定值的米和一，我们的模型时空中存在最多两个可能的光子球和最多两个潜在的ESCO位置；光子球和ESCO的存在，明确地取决于比率。出乎意料的是，由于靠近核心区域的重力具有有效排斥性，我们发现一些情况下光子轨道是稳定的，而一些情况下ESCO是OSCO而不是ISCO。这里有一个丰富的现象学，比施瓦西时空要复杂得多。
