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宇宙
第6卷
第12版
10.3390/通用6120238
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审查

引力规范理论中的基本对称性和时空几何——统一场论的展望

通过
弗朗西斯科·卡布拉尔
1,*,
弗朗西斯科·诺·洛博
1和
迭戈·鲁比埃拉·加西亚
2
1
葡萄牙里斯本，里斯本大学天体物理研究所，埃迪菲西奥C8，Campo Grande，P-1749-016
2
西班牙马德里Complutense大学，西班牙马德里E-28040
*
信件应寄给的作者。
宇宙 2020,6(12), 238;https://doi.org/10.3390/universe6120238
收到的提交文件：2020年11月13日/修订日期：2020年12月7日/接受日期：2020年12月7日/发布日期：2020年12月11日
（本文属于特刊维格纳教授“关于非齐次洛伦兹群的统一表示”专题研究80年)
版本注释

摘要

以下为：
通过将对称原理和几何方法结合在一个一致的数学框架中，可以将引力表述为规范理论。引力的规范方法直接导致非欧几里德、后黎曼时空几何，为曲率的度量仿射引力理论提供了充分的形式，扭转和非测量性。本文分析了引力规范理论的结构，考虑了基本几何物体与对称原理以及不同时空范式之间的关系。特别关注引力的庞加莱规范理论、它们的场方程和诺特守恒流，它们是引力的来源。然后，我们讨论了引力现象规范方法的几个主题，即二次Poincaré规范模型、Einstein-Cartan-Sciama-Kibble理论、广义相对论的远平行等价物、二次度量仿射拉格朗日、非洛伦兹联系、，以及在非度量性存在下洛伦兹不变性的破坏。我们还强调了用测试物质探索后黎曼几何。最后，我们简要讨论了几何方法和对称性原则对统一场论和新时空范式的作用的一些观点，这些观点是从引力的规范方法出发的。

1.简介

爱因斯坦的广义相对论（GR）成功地描述了引力相互作用的行为，这继续让我们感到惊讶。它已经通过了迄今为止进行的所有测试：太阳系观测和双星脉冲星[1]，恒星围绕中央星系黑洞的轨道[2]，来自凝聚致密物体（黑洞和中子星）的引力波[三,4,5,6]或用事件视界望远镜间接观测黑洞视界[7]等等。同时，当补充（冷）暗物质和暗能量假说时，它为我们提供了标准宇宙学范式的观测有效框架[8].
在爱因斯坦提出GR的最终形式后不久，Weyl引入了规范变换的概念，试图统一重力和电磁[9]. 通过扩展局部洛伦兹群以包括尺度变换（膨胀），他被引导假设为我们现在所称的黎曼-韦尔时空几何，即除了熟悉的GR曲率之外，还具有非度量性的后黎曼几何，发现电磁场本身与局部内部对称性密切相关 U型 ( 1 ) 作用于带电物质的四旋量场的群[10]. 20世纪50年代，杨和米尔斯[11]进一步探讨了场论中规范对称的概念，超越了 U型 ( 1 ) 包含非阿贝尔李群的群( 秒 U型 ( 2 ) )为了解决核物理问题，而尤蒂亚马[12]将规范原理推广到包括洛伦兹群在内的所有半单李群。
规范原理基于场论的刚性全局对称群的局部化，引入了规范势描述的新的相互作用。后者是一个补偿场，使物质拉格朗日量在对称群下可能是局部不变的，并包含在理论的协变导数中。规范电位作为光纤束的连接有一个明确的几何解释，光纤束是从基本时空流形和所有光纤集获得的流形。它们附着在每个时空点上，是表示局部对称性的（向量、张量或旋量）空间。在几何解释中，局部对称性的强加意味着纤维束的几何形状是非欧几里德的，规范场强是这种流形的曲率。
通过Sciama的工作恢复了重力的规范公式[13]和Kibble[14]他测量了闵可夫斯基时空对称的（刚性）庞加莱群。他们得到了现在所知的黎曼-卡坦（RC）几何，以及相应的爱因斯坦-卡坦-西亚玛-基布尔（ECSK）引力，具有非零挠率和曲率。这是GR的一个自然延伸，它能够成功地将费米子的固有自旋作为重力源，同时通过所有弱场极限测试。此外，该理论没有自由参数，而是由Cartan密度给出的一个新尺度，这在宇宙学和天体物理学中产生了许多相关应用[15,16,17,18,19,20,21,22,23]. 值得注意的是，ECSK是所有庞加莱规范引力理论（PGTG）中最简单的。例如，除了庞加莱群之外，我们还有Weyl群和共形群，它们生活在一般度量仿射几何的子集上，具有非零曲率、扭转和非度量性（有关重力规范方法的几个主题的详细分析和评论，请参阅参考文献中的杰出著作[24,25,26]). 通过扩展引力规范对称群，人们自然也会扩展时空几何范式。受引力规范理论启发的几何方法和对称原理，以及后黎曼几何和杨-米尔规范场，有望在统一场理论中发挥关键作用。相应的物理描述可能会导致一种新的时空范式，扩展经典时空流形的概念，物理场在其上传播并影响其几何形状。相反，似乎可以期待一个一致的统一物理流形，其中时空、物质场和真空的特性是相同（统一）基本物理现实的表现。
本工作的主要目的是回顾和讨论重力规范理论和后黎曼几何的基础和最新发展，以及它们实现统一场论的观点。在GR提供的标准图像可能会崩溃的情况下，这是理解时空和重力性质的努力的重要组成部分，挑战了我们目前关于时空范式的想法。本文补充了我们之前的工作：扩展了爱因斯坦-卡坦-狄拉克理论，其中引入了电磁（麦克斯韦）对扭转的最小耦合作用（这打破了 U型 ( 1 ) 规范对称性[27])，及其扩展，以详细分析该模型的物理性质，其中狄拉克和麦克斯韦场与时空扭转的耦合最小[28,29].
这项工作安排如下：第2节我们在外部形式形式中介绍了时空流形的基本几何对象及其与时空对称性的关系。在第3节我们简要总结了利用这些几何方法和对称性原理对重力进行度量仿射的方法，并讨论了时空几何的几种范式，包括一般的度量仿射几何。在第4节，我们概述了重力测量方法的一般结构。我们以PGTG为例进行了说明，考虑了场方程、Noether守恒流（重力源），并讨论了引力规范理论中的几个主题，如二次Poincaré规范模型、ECSK理论、GR的远平行等效物（平移规范模型的一个例子）、，二次度量仿射拉格朗日，在非度量性存在下洛伦兹不变性的破坏，超动量流的性质以及用实验物质探索后黎曼几何。最后，在第5节我们讨论了统一场论的一些观点和一种新的时空范式，该范式是从引力规范方法的几何方法和对称原理出发的。

2.时空对称性和后黎曼几何

2.1. 时空的基本几何结构

让我们从考虑四维微分流形开始 M（M） 作为物理时空的近似表示，介绍了基本几何对象及其与时空对称群论的关系。在每个点对在时空流形中，我们引入了四个线性无关向量的集合 { e（电子） ¯ 0 , e（电子） ¯ 1 , e（电子） ¯ 2 , e（电子） ¯ 三 } ，使用 e（电子） ¯ 0 ≡ ∂ 0 , e（电子） ¯ 1 ≡ ∂ 1 , e（电子） ¯ 2 ≡ ∂ 2 , e（电子） ¯ 三 ≡ ∂ 三 ，构成向量坐标（完整）基础，其中每个向量都与坐标线相切。这称为线性框架基础。同样，在同一点上，我们引入了对偶共框架基础 { θ ¯ 0 , θ ¯ 1 , θ ¯ 2 , θ ¯ 三 } ，使用 θ ¯ 0 ≡ d日 x个 0 , θ ¯ 1 ≡ d日 x个 1 , θ ¯ 2 ≡ d日 x个 2 , θ ¯ 三 ≡ d日 x个 三 ，满足 e（电子） ¯ b条 ⌟ θ ¯ 一 = δ b条 一 1任何这些基础都可以称为自然（坐标/完整）框架/协同框架。这种几何结构与时空流形上的坐标概念是天然的，因为它是坐标结构的固有特征。
请注意，可以选择任何一组线性无关向量/共向量来形成任意线性帧和共帧。为此，我们考虑独立组合 e（电子） b条 = e（电子） b条 ν ∂ ν 和 θ 一 = θ μ 一 d日 x个 μ .指数 一 , b条 = 0 , 1 , 2 , 三 称为非完整指数，有时称为对称指数或群指数，由于其与时空对称性的联系，在重力规范方法中发挥着基本作用。很明显，对于自然框架/协同框架，我们有 e（电子） ¯ b条 = δ b条 ν ∂ ν 和 θ ¯ 一 = δ μ 一 d日 x个 μ 对于任意（非坐标）完整向量基，李括号是非零的， U型 , V（V） ≡ £ U型 V（V） ≠ 0 ，对于任意两个矢量 U型 , V（V） 在基础上。与此相关，可以使用已经介绍的定义和对偶关系显示以下代数 e（电子） 一 , e（电子） b条 = （f） 一 b条 c（c） e（电子） c（c） ，其中对象 （f） 一 b条 c（c） 通常称为（群）结构常数。该代数可用于刻画切线/余切空间的局部时空对称性。
在四维中，向量值1的集合形成 θ 一 构成16个独立组件 θ 一 μ （四分体）和是（局部）时空平移组的潜力 T型 ( 4 ) 2该组有四个发电机，因此需要四个电势和四个场强 T型 一 = 1 2 T型 一 μ ν d日 x个 μ ∧ d日 x个 ν 后者是一个向量值的2形式场，对应于时空流形的扭转。它是由
T型 一 = D类 θ 一 = d日 θ 一 + Γ b条 一 ∧ θ b条 ,
哪里D类是（规范）协变外部导数，d日是外导数，是一种卷曲算子，可以提高任意第页-形式，∧是楔形产品三在右边的第二项中，有时称为非平凡部分，是线性连接1形式 Γ b条 一 .扭转2型有 4 × 6 = 24 由明确给出的独立组件
T型 μ ν 一 = 2 ∂ [ μ θ ν ] 一 + 2 Γ c（c） [ μ 一 θ ν ] c（c）
其中括号表示反对称。
现在让我们将注意力转向线性（仿射）连接 Γ 一 b条 ，它是连接流形相邻点的张量值1形式。因此，如果 v（v） = v（v） 一 e（电子） 一 是由无穷小位移平行传输的向量 δ x个 ，平行位移矢量和原始矢量之间的差值由下式给出
v（v） ‖ 一 ( x个 + δ x个 ) − v（v） 一 ( x个 ) = δ ‖ v（v） 一 = − Γ b条 一 v（v） b条 ,
具有 Γ b条 一 = Γ b条 μ 一 d日 x个 μ 因此，在时空流形中给定点的任意无穷小位移下，线性框架被变换（例如，在洛伦兹旋转或一些更一般的线性变换下），并且该连接给出了线性框架中这种变化的度量。值得强调的是，引入了时空流形的仿射结构 M（M） 是必需的，以便能够比较不同时空点上的张量。实际上，仿射连接允许定义协变导数，并以此方式建立了张量沿曲线平行传输的规则 M（M） 此外，它允许确定上的仿射测地线（最直线） M（M） 不一定与极值测地线（“最短”路径）重合。
仿射连接在数学上是一个非常丰富的对象。在它的许多性质中，我们强调了以下两个：（i）两个连接的差是张量；（ii）进行改造 Γ → Γ + ø ，其中 ø 是张量，张量的协变导数保持其协方差。这意味着张量协变导数的分量仍然转换为张量，这意味着可以在时空的几何（仿射）结构中加入新的自由度，同时保持方程的协方差。这种连接的扩展涉及扩展的时空几何，而在场论中包含额外的（规范）自由度则需要扩展局部对称群。在引力规范理论中，这两个事实不可避免地相互关联。
在四维中，张量值1-的集合形成 Γ b条 一 由64个独立组件组成 Γ b条 μ 一 和是一般线性变换四维群的势 克 L（左） ( 4 , ℜ ) 通过线性框架/余框架的定义，可以定义时空坐标的任意（一般）非退化线性变换 Γ b条 一 结果是这样一组转换的生成器。它有16个发电机，因此我们有16个电势，类似于 秒 U型 ( 三 ) 小组。相关场强 R（右） b条 一 是张量值的2形式字段 R（右） b条 一 = 1 2 R（右） b条 μ ν 一 d日 x个 μ ∧ d日 x个 ν ，对应于时空流形的曲率，可以明确写成
R（右） b条 一 = d日 Γ b条 一 + Γ c（c） 一 ∧ Γ b条 c（c） .
曲率2形式具有 16 × 6 = 96 独立分量，由
R（右） b条 μ ν 一 = 2 ∂ [ μ Γ b条 | ν ] 一 + 2 Γ c（c） [ μ 一 Γ b条 | ν ] c（c） .
线性连接1-形式可以根据
Γ 一 b条 = Γ ˜ 一 b条 + N个 一 b条 = Γ ˜ 一 b条 + 1 2 问 一 b条 + N个 [ 一 b条 ] ,
其中，连接的Levi-Civita部分， Γ ˜ 一 b条 ，遵循Cartan结构方程 d日 θ 一 + Γ ˜ b条 一 ∧ θ b条 = 0 、和 N个 b条 一 是描述后黎曼几何的所谓畸变1形式。特别是，人们发现 问 一 b条 = 2 N个 ( 一 b条 ) 和 T型 一 = N个 b条 一 ∧ θ b条 .如果线性连接符合条件 Γ 一 b条 = − Γ b条 一 则称为洛伦兹连接（或自旋连接），对应于24个独立分量。这是当线性连接是洛伦兹群的势时的情况 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) （不是全线性组GL（4，ℜ)). 因此，我们将在后面看到，洛伦兹连接是PGTG的线性连接。
尽管有人会争辩说，时空度量并不像仿射连接那样基本（实际上，重力的纯仿射公式是可能的，参见参考文献[31])，可以引入它来测量时间和空间间隔以及角度。因此，让我们将洛伦兹度量定义为 ( 0 , 2 ) 张量 克 = 克 一 b条 θ 一 ⊗ θ b条 ，其中 一 , b条 = 0 , 1 , 2 , 三 是非霍洛omic指数，坐标系中的时空度量分量由下式给出 克 μ ν = θ μ 一 θ ν 一 克 一 b条 .洛伦兹度量 克 一 b条 是计算非完整向量之间内积并在这些向量和相应的对偶共向量之间建立映射所需的切线空间的度量 v（v） b条 = 克 一 b条 v（v） 一 至于时空度量 克 μ ν 它在坐标系（完整基）中建立向量的逆变分量与对应对偶向量的协变分量之间的映射，并定义内积 克 ( u个 , v（v） ) = 克 α β u个 α v（v） β = u个 α v（v） β 因此，时空度量可以视为洛伦兹（切线空间）度量的变形，根据 克 μ ν = Ω μ ν 一 b条 克 一 b条 ，使用 Ω μ ν 一 b条 ≡ θ μ 一 θ ν 一 是一个变形张量。由于切线空间具有伪核素几何，因此如果时空流形具有非欧几里德几何，则变形张量必须随点而异。从现在开始，我们考虑时空度量对称的几何体 克 α β = 克 β α ，非退化， 克 = det（探测） ( 克 μ ν ) ≠ 0 ，并确定局部线条元素 d日 秒 2 = 克 α β d日 x个 α d日 x个 β 带有洛伦兹签名( ± 2 ). 至于度量标准 克 一 b条 ，可以将其视为一种电势，其相应的场强， 问 一 b条 = D类 克 一 b条 = d日 克 一 b条 + Γ 一 c（c） ∧ 克 c（c） b条 + Γ b条 c（c） ∧ 克 一 c（c） = 2 Γ ( 一 b条 ) ，是张量值的1-形式 问 一 b条 = 问 一 b条 μ d日 x个 μ 具有 10 × 4 = 40 独立组件 问 一 b条 μ 该场强对应于非度量张量值1形式，我们得出结论，如果连接是非洛伦兹的( Γ 一 b条 ≠ − Γ b条 一 )，那么非度量就是不消失的。
在（伪）欧几里德几何中，如闵可夫斯基时空中，总是存在一个坐标系，其中连接的分量（克里斯托弗符号）及其导数消失，而在曲率非消失的（伪）黎曼几何中，人们可以找到一个局部测地线坐标系，其中连接消失，度量由Minkowski度量（自由下落的框架）给出，但连接的导数不能设置为零。在这种几何学中，所谓的Levi-Civita连接和度量基本上是相关的，因此并不相互独立。事实上，在这种情况下，度量条件（度量的协变导数消失）成立，这意味着连接与度量的一阶导数成比例（记住，Levi-Civita连接是唯一符合度量条件的对称连接），因此，在GR中，物理引力场的存在可以追溯到度量的二阶导数不消失。在自由落体框架中，黎曼曲率的韦尔部分并不缺失，这转化为潮汐效应。但连接的对称性和度量条件都可以放松，从而分别得到具有扭转和非度量的更一般的几何图形，我们将在下文中看到。

2.2. 仿射连接的分解

我们现在准备在这里带来一个众所周知的结果，即任何仿射连接都可以分解为三个独立的组件。在完整（坐标）分量中，它们表示为
Γ λ μ ν = Γ ˜ λ μ ν + K λ μ ν + L（左） λ μ ν ,
哪里 Γ ˜ λ μ ν 是与黎曼曲率相关的Levi-Civita连接
R（右） ˜ α β μ ν = 2 ∂ [ μ Γ ˜ α ν ] β + 2 Γ ˜ α [ μ | λ | Γ ˜ λ ν ] β ,
术语 K λ μ ν 与扭转有关， T型 α β λ ≡ Γ [ α β ] λ ，表示扭曲：
K λ μ ν ≡ T型 λ μ ν − 2 T型 ( μ λ ν ) ,
而术语 L（左） λ μ ν 与非韵律性有关 问 ρ μ ν ≡ ∇ ρ 克 μ ν ，称为变形：
L（左） λ μ ν ≡ 1 2 克 λ β − 问 μ β ν − 问 ν β μ + 问 β μ ν .
这种分解自然地突出了由曲率、扭转和非度量组成的最一般时空几何体的度量仿射特性。让我们分别简要分析每个组件。

2.2.1. 曲率

在完整的基础上，连接的曲率有96个独立的分量
R（右） β μ ν α = ∂ μ Γ β ν α − ∂ ν Γ β μ α + Γ λ μ α Γ β ν λ − Γ λ ν α Γ β μ λ .
在某个时候考虑对向量的流形 U型 = d日 / d日 λ 和 V（V） = d日 / d日 σ ，与两条相交的曲线相切对，其中 λ 和 σ 是标记每条曲线的一些各自的仿射参数。因为曲率张量是 ( 1 , 三 ) 类型，它可以应用于U型和V（V）然后到另一个向量场Z，生成生成的向量场
R（右） ( U型 , V（V） ) Z = ∇ U型 ∇ V（V） Z − ∇ V（V） ∇ U型 Z − ∇ [ U型 , V（V） ] Z ,
哪里 [ U型 , V（V） ] = £ U型 V（V） 表示Lie导数V（V）关于U型). 为了阐明它的几何意义，让我们考虑一个无穷小的闭环 d日 秒 μ ν 由这样一个环跨越的表面元素。在一些向量的并行传输之后v（v）沿着环路，我们发现初始向量和最终向量不重合：存在一个与差向量的旋转
δ v（v） α ≈ R（右） β μ ν α v（v） β d日 秒 μ ν .
因此，向量的平行传输导致曲率驱动的旋转。为了进一步参考，让我们在此介绍同调曲率张量，定义为
克 α β R（右） α β μ ν = R（右） α μ ν α ≡ Ω μ ν ,
这将在以后有用。曲率可以分解为11个不可约分量。在形式语言中，其中六个属于曲率2形式的反对称部分 R（右） [ 一 b条 ] （36个分量），而其他五个分量构成对称部分 R（右） ( 一 b条 ) （60个成分），在没有非对称性的情况下消失。

2.2.2. 扭转

扭转张量可以作为仿射连接的反对称部分引入完整坐标系 Γ [ β γ ] α 它有24个独立组件，由
T型 β γ α ≡ Γ [ β γ ] α .
如果我们将其应用于向量U型和V（V）我们得到了新的向量场
T型 ( U型 , V（V） ) = ∇ U型 V（V） − ∇ V（V） U型 − [ U型 , V（V） ] .
这个表达式可以可视化扭转的几何效应。事实上，从流形上的给定点开始并行传输V（V）沿（的积分曲线）U型通过无穷小的距离，与U型也就是说，并行传输V（V），如果流形具有非零扭转，则预期的平行四边形不会闭合。两个端点通过（时空）平移相互分离，如下所示
ξ α ≈ 2 T型 μ ν α d日 秒 μ ν .
扭转场有三个不可约部分，完成了24个独立分量， T型 μ ν λ = T型 ¯ μ ν λ + 2 三 δ [ ν λ T型 μ ] + 克 λ σ ϵ μ ν σ ρ T型 ˘ ρ ，其中无迹张量（16个分量）服从 T型 ¯ μ λ λ = 0 和 ϵ λ μ ν ρ T型 ¯ μ ν ρ = 0 ，同时 T型 μ 是轨迹向量，并且 T型 ˘ λ ≡ 1 6 ϵ λ α β γ T型 α β γ 伪迹（轴向）矢量。

2.2.3. 非计量学

在完整坐标系中，非度量张量可以定义为时空度量的协变导数 克 β γ 它有40个独立组件
问 α β γ = ∇ α 克 β γ .
追踪矢量部分 问 μ ≡ 问 μ α α 是Weyl几何体（例如Riemann-Weyl或Cartan-Whyl，稍后将讨论）中唯一非度量性的非消失部分，称为Weyl共向量。它实际上与同调曲率有关(14)通过方程式
Ω μ ν = − 1 2 ∂ μ 问 ν − ∂ ν 问 μ .
向量沿无穷小闭环并行传输后，长度发生变化，如下所示
δ 我 ≈ 我 ( v（v） ) Ω μ ν d日 秒 μ ν .
的确，如果 问 μ 是唯一不消失的部分 问 α β γ ，然后 ∇ α 克 β γ ∼ 问 α 克 β γ 向量范数因Weyl共向量而改变
∇ ν ( V（V） 2 ) ∼ 问 ν V（V） 2 , V（V） 2 = 克 β γ V（V） β V（V） γ .
因此，在非对称性存在的情况下，向量的平行传输涉及其长度的变化。
根据非度量张量的定义，可以导出以下Bianchi恒等式关系：
∇ [ μ 问 ν ] α β = − R（右） ( α β ) μ ν + 问 λ α β T型 μ ν λ .
因此，如果 问 α β γ ≠ 0 然后 R（右） ( α β ) μ ν ≠ 0 .数量 R（右） ( α β ) μ ν 可以确定为曲率的非黎曼部分，它与非洛伦兹线性联系和洛伦兹不变性的破缺有关。最后，非度量可以分解为其迹向量部分和无迹张量部分 问 ¯ α β γ ，根据 问 α β γ = 问 ¯ α β γ + 1 4 克 β γ 问 α 在形式语言中，后者可以进一步分解为剪切共向量和剪切2-形式部分，这样在一天结束时，张量值非度量1-形式就洛伦兹群有四个不可约部分。
为了总结连接的三个部分的几何解释，可以说它们与平行传输时矢量性质的变化有关：曲率产生旋转，扭转产生平行四边形的不闭合，非对称性产生长度的变化。反过来，这些几何解释对建立在任何此类碎片上的物理模型都有着深刻的影响，正如我们几十年前从含缺陷固态系统的物理中所了解到的那样[32].

2.3。关于时空几何的共形结构和度量结构的一点注记

场论中几何方法的重要发展表明，时空度量可能不被视为一个基本领域。事实上，度量的保角不变部分可以从局部电动力学和线性电动力学中导出[33,34,35,36,37]. 电动力学的预度量方法给出了完全通用的、无坐标的、协变的非均匀方程
d日 H（H） = J型 ,
和齐次场方程
d日 F类 = 0 ,
分别从电荷守恒和磁通量守恒出发。由于不涉及度量，电动力学在基本层面上与闵可夫斯基时空没有联系。为了关闭系统，本构关系的假设 H（H） = H（H） ( F类 ) 在真空中，它可以被解释为时空本身的本构关系[38]. 另一方面，线性、局部和齐次本构关系 H（H） = λ ★ F类 介绍时空度量4也涉及更一般的线性关系 H（H） α β = κ α β μ ν F类 μ ν .自励磁以来H（H）和场强F类是2-形式，张量 κ α β μ ν 具有表征时空电磁（传播）特性的36个独立分量。
从预度量电动力学加上线性、局部、齐次本构关系，可以导出时空度量的保角不变部分。一旦考虑了电磁场的传播并考虑了几何光学极限，就会发现四次菲涅尔曲面，在真空中施加零双折射（双折射）后，该曲面会变成二次曲面。这个二次曲面定义了光锥。因此，预度量电动力学，加上线性、局部、均匀的本构时空电磁关系和零双折射，使时空度量达到保角因子。量度的保角不变部分（因果结构）是从线性电动力学推导出来的。
我们可以通过说明所产生的光锥或因果电磁结构是一个共形几何体来总结这一部分，该几何体具有与每个时空点的光锥相关联的局部共形对称性。在这种几何学中，如果一个光锥从一个给定点平行传输到相邻点，它将根据非度量张量发生变形，而非度量张量与非洛伦兹线性连接的存在有关( Γ 一 b条 ≠ − Γ b条 一 ). 仅此一点就足以打破洛伦兹对称。我们很清楚地看到，除了度量不是基本的以外，共形结构（超过度量）也是首要的，它本身是一个电磁导出的量。此外，电动力学从根本上与共形几何结构（和共形群）有关，但既不与Poincaré/Lorentz群有关，也不与Minkowski时空有关。

3.度量仿射形式主义与经典时空

3.1. 米芬重力简介

现在让我们总结一下时空的基本结构及其与对称群的关系。我们有基本的1型，即线性坐标系 θ 一 和线性连接 Γ b条 一 ，这是四维平移的潜力 T型 ( 4 ) 和一般的线性 克 L（左） ( 4 , ℜ ) 组。相应的场强对应于微分几何中众所周知的物体，即扭转 T型 一 = D类 θ 一 = d日 θ 一 + Γ b条 一 ∧ θ b条 和曲率 R（右） b条 一 = d日 Γ b条 一 + Γ c（c） 一 ∧ Γ b条 c（c） 分别为2种形式。度量被引入为0形式的势，相应的场强是非度量1形式 问 一 b条 = D类 克 一 b条 线性框架在局部切线光纤和时空流形（对称性）之间建立了联系，而线性连接可视为一个引导场，反映了在时空流形上传播的物质场的惯性特征。最后，该度量允许确定空间和时间距离和角度。具有所有这些结构的时空几何体称为度量仿射几何（MAG）具有非零挠率、曲率和非度量性，其基本的时空对称局部群是仿射群 A类 ( 4 , ℜ ) = T型 ( 4 ) ⋊ 克 L（左） ( 4 , ℜ ) 它是翻译群和一般线性群的半直积。
真正独立的线性连接由中的分解给出(6)这对于分析非洛伦兹度量、洛伦兹不变性的破坏和非度量性的存在之间的关系是有用的。自 问 一 b条 = 2 N个 ( 一 b条 ) ，如果非对称性为零，那么连接是洛伦兹的，时空几何是具有曲率和扭转的RC几何。这样的时空从根本上与彭加莱变换的局部对称群有关 对 ( 1 , 三 ) = T型 ( 4 ) ⋊ 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) ，这是翻译之间的半直接产品 T型 ( 4 ) 和洛伦兹集团 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) 从场强（扭转和曲率）的表达式中可以看出，连接也包含在联合框架场强的表达式中。这一术语不可避免地出现，是由于半直接产品5Poincaré群（或仿射群）的结构以及曲率和挠率以某种方式交织在一起。
在自洽度量仿射形式主义中，引力相互作用被描述为仿射群的规范理论 A类 ( 4 , ℜ ) 以及度量的假设，以及势( θ 一 , Γ 一 b条 )与相应的Noether电流耦合( τ 一 , Δ b条 一 ). 后者是向量值的正则能量动量 τ 一 = δ L（左） 米 一 t吨 / δ θ 一 张量值超动量 Δ b条 一 = δ L（左） 米 一 t吨 / δ Γ 一 b条 3型电流6，而度量 克 一 b条 耦合到对称（希尔伯特）能量动量 T型 一 b条 = 2 δ L（左） 米 一 t吨 / δ 克 一 b条 .超动量可以根据表达式进行分解
Δ 一 b条 = 秒 一 b条 + 1 4 克 一 b条 Δ c（c） c（c） + Δ ¯ 一 b条 ,
包括旋转 秒 一 b条 = − 秒 b条 一 ，扩张 Δ c（c） c（c） 和剪力 Δ ¯ 一 b条 电流。Noether电流是MAG的基本来源。MAG中真正独立的连接可以写为
Γ 一 b条 = Γ [ 一 b条 ] + 1 4 克 一 b条 Γ c（c） c（c） + Γ 一 b条 − 1 4 克 一 b条 Γ c（c） c（c） ,
包括洛伦兹作品 Γ [ 一 b条 ] ，跟踪部分 1 4 克 一 b条 Γ c（c） c（c） 和剪切部分 Γ 一 b条 − 1 4 克 一 b条 Γ c（c） c（c） 洛伦兹连接分别与自旋流耦合，迹线和剪切部分与膨胀流和剪切流耦合。如前所述，连接的非洛伦兹部分意味着非度量性不消失，因此，扩张和剪切超动量流与度量仿射时空几何的非度量性密切相关。
通过相对于仿射群的规范势改变变分原理，将变分原理应用于该理论的作用（包括引力部分和物质拉格朗日量）( θ 一 , Γ 一 b条 ). 这导致了两组动力学方程，而第三组方程是通过改变与公制势有关的作用而获得的 克 一 b条 最后，动力学仅通过两组方程来描述，因为通过相对于公制势变化而获得的引力方程或通过相对于平动势变化而获取的引力方程可以去掉，只要满足另一个引力方程（从线性连接的变化中导出）。这一过程以及这里所揭示的基本量和关系概括了MAG形式主义的基础。

3.2. 经典时空范式

我们现在修订了一些重要的经典时空范式，它们在引力理论的形成中起着基础性的作用。

3.2.1. 闵可夫斯基时空- M（M） 4

这是一个具有消失曲率、扭转和非度量性的伪核素几何。它具有全局/刚性Poincaré对称性和全局绝对因果结构。对于惯性参考系，连接消失。惯性系和物质的惯性性质是相对于这个绝对时空来定义的。特别地，粒子的质量和自旋可以被认为是粒子的固有性质，并利用Poincaré群的不可约表示在Casimir算子的帮助下进行分类。

3.2.2. GR的（伪）黎曼几何- V（V） 4

具有曲率、消失扭转和非度量性的后欧几里德几何。它遵循局部洛伦兹对称性，在局部测地线框架中，（Levi-Civita）连接消失，但（Weyl部分）曲率非零。因果结构 d日 秒 2 = 0 在局部洛伦兹对称下是局部不变的。物质的惯性性质是相对于绝对时空局部定义的。

3.2.3. 黎曼-卡坦几何- U型 4

这个几何有曲率和扭转，但没有非对称性，因此连接是洛伦兹连接（自旋连接）。它服从当地的庞加莱 对 ( 1 , 三 ) 对称性和因果结构在这种群下是局部不变的。物质的惯性性质是相对于绝对时空局部定义的。相应的曲率及其收缩（RC几何中的Ricci张量和Ricci标量）由以下表达式给出
R（右） β μ ν α = R（右） ˜ β μ ν α + ∇ ˜ μ K β ν α − ∇ ˜ ν K β μ α + K λ μ α K β ν λ − K λ ν α K β μ λ R（右） β ν = R（右） ˜ β ν + ∇ ˜ α K β ν α − ∇ ˜ ν K β α α + K λ α α K β ν λ − K λ ν α K β α λ , R（右） = R（右） ˜ − 2 ∇ ˜ λ K λ α α + 克 β ν ( K λ α α K β ν λ − K λ ν α K β α λ ) ,
分别是。曲率张量遵循以下第一和第二Bianchi恒等式
∇ [ γ R（右） β | μ ν ] α = 2 R（右） β λ [ μ α T型 ν γ ] λ ,
R（右） [ β μ ν ] α = − 2 ∇ [ ν T型 β μ ] α + 4 T型 λ [ β α T型 μ ν ] λ .
这些关系可以从曲率和扭转2形式的相应表达式中推导出来，即7
D类 R（右） b条 一 = 0 , D类 T型 c（c） = R（右） d日 c（c） ∧ θ d日 .
非完整或框架指数也称为对称指数，因为它们与表征局部时空对称性的切线光纤有关。在这种情况下，这些也被称为洛伦兹指数。自旋连接与旋转有关（两个洛伦兹指数），四分体或共框架与平移有关（一个洛伦茨指数）。这同样适用于相应的场强。对称指数通过群论和几何学之间的紧密联系，与几何解释有直接联系。曲率的两个对称指数表示它与旋转有关，而扭转的一个对称指数则表示它与平移有关。另一方面，由于曲率和扭转都由2个形式表示，因此作为几何对象，它们与2个曲面相连。因此，可以说，Cartan通过将旋转和平移与每个无穷小的曲面元素关联起来，描绘了一个RC几何体。
根据四分体和自旋连接，曲率和扭转2形式的分量为
R（右） b条 μ ν 一 = ∂ μ Γ b条 ν 一 − ∂ ν Γ b条 μ 一 + Γ c（c） μ 一 Γ b条 ν c（c） − Γ d日 ν 一 Γ b条 μ d日 ,
T型 μ ν 一 = ∂ μ θ ν 一 − ∂ μ θ ν 一 + Γ b条 μ 一 θ ν b条 − Γ b条 ν 一 θ μ b条 ,
分别是。另一方面，1形自旋连接的组件
Γ b条 ν 一 = Γ ˜ b条 ν 一 + K b条 ν 一 ,
哪里 K b条 μ 一 是扭曲1形式的组件，通过关系与仿射连接的完整（时空）组件相关
Γ b条 ν 一 = θ μ 一 ∂ ν e（电子） b条 μ + θ μ 一 Γ β ν μ e（电子） b条 β
Γ ν μ λ = e（电子） 一 λ ∂ μ θ ν 一 + e（电子） 一 λ Γ b条 μ 一 θ ν b条 .
由于连接表征了线性框架/共线框架点到点的变化方式，因此可以从方程式中推导出这些关系
∂ ν e（电子） b条 μ + Γ β ν μ e（电子） b条 β ≡ Γ b条 ν c（c） e（电子） c（c） μ ,
它表示四分体相对于完整和非完整（洛伦兹）指数的总协变导数正在消失，即， ∂ ν e（电子） b条 μ + Γ β ν μ e（电子） b条 β − Γ b条 ν c（c） e（电子） c（c） μ = 0 和 ∂ μ θ ν 一 − Γ ν μ β θ β 一 + Γ b条 μ 一 θ ν b条 = 0 。通过在帧/余帧中从一个时空点改变到另一个，四分体也会改变。新四分体 e（电子） ¯ b条 μ 可以用原始值表示为 e（电子） ¯ b条 μ = Λ b条 一 e（电子） 一 μ ，并通过使用关系
η 一 b条 = e（电子） 一 μ e（电子） b条 ν 克 μ ν , 克 μ ν = θ μ 一 θ ν b条 η 一 b条 , − 克 = d日 e（电子） t吨 ( θ μ 一 ) ,
可以证明这一点 Λ b条 一 是洛伦兹矩阵，即四分体在从一个时空点到另一时空点的运动下经历洛伦兹旋转。因此，表征框架/协同框架变化的线性连接被称为洛伦兹或自旋连接。如前所述，六个洛伦兹连接是与洛伦兹群发生器相关的电势。
矩阵 e（电子） 一 μ 它们的逆函数建立了切/余切平面上局部时空度量和Minkowski度量之间的对应关系，构成了完整基和非完整基之间的映射。例如，对于向量
v（v） μ = v（v） 一 e（电子） 一 μ , v（v） b条 = v（v） ν θ ν b条 , 小时 μ = 小时 一 θ μ 一 , 小时 b条 = 小时 ν e（电子） b条 ν .
由于正切和共切空间， T型 第页 ( M（M） ) 和 T型 第页 * ( M（M） ) 当从流形上的一个点移动到另一个点时，协变导数的概念被扩展到具有洛伦兹指数的量。这是通过自旋连接完成的。对于（洛伦兹）向量和共向量，我们有
秒 ∇ μ v（v） 一 = ∂ μ v（v） 一 + Γ b条 μ 一 v（v） b条 , 秒 ∇ ν 小时 c（c） = ∂ ν 小时 c（c） − Γ c（c） ν d日 小时 d日 .
非完整基础 e（电子） 一 和 θ b条 还刻画了切线光纤中的局部时空对称性，因为局部对称群代数隐含在关系中
[ e（电子） 一 , e（电子） b条 ] = （f） 一 b条 c（c） e（电子） c（c） , （f） 一 b条 c（c） = e（电子） 一 μ e（电子） b条 ν ( ∂ ν θ μ c（c） − ∂ μ θ ν c（c） ) ,
其中（组）结构常数 （f） b条 c（c） 一 称为Ricci旋转系数。
在RC几何中，仿射（自平行）测地线通常与极值测地线不同，由下式给出
d日 u个 α d日 秒 + Γ β γ α u个 β u个 γ = 0 ⇔ d日 u个 α d日 秒 + Γ ˜ β γ α u个 β u个 γ = − K ( β γ ) α u个 β u个 γ ,
分别，其中 u个 α 是曲线的（4-速度）切线向量的分量。然而，在RC时空中，内禀自旋为零的物质粒子对几何中的非黎曼部分不敏感，因此对扭转也不敏感。这些粒子遵循从Levi-Civita连接计算出的极值路径。此外，如果扭转是完全反对称的，如ECSK理论，那么 K ( β γ ) α = 0 极值测地线与自平行测地线重合。在任何情况下，对RC时空中具有内禀自旋的粒子（费米子）的运动的适当评估都应该从相应的狄拉克方程的分析中进行，然后再进行经典近似，例如使用WKB方法。
如前所述，由于曲率和扭转是两种形式，可以将RC几何体想象为在每个点上都有一个关联的无限小曲面元素，该元素具有旋转（曲率）和平移（扭转）变换。具有离散结构的RC流形的图像可以通过施加一个有限的最小表面元素（比无限小元素更快速）自然地显现出来，这在一定程度上意味着扭转和曲率将被量化。事实上，正如我们将看到的那样，引力规范理论中Cartan外部微积分（微分形式）的数学方法有助于阐明适当的物理自由度和应在量子引力规范理论（Yang-Mills）中量化的数学对象。在这种形式主义中，这个过程可以以无度量（预度量）的方式完成，避免了微扰方法中经常遇到的困难，这些微扰方法需要一些（行为良好的）背景（时空真空），可以根据这些背景来定义微扰。由于任何这样的引力理论都应该（度量）与背景无关，这通常是一个巨大的问题，因为背景也是人们想要量化的东西，应该作为动力学方程的解。外部形式的引力可以揭示这一挑战，至少可以通过建立一个与度量无关的框架和一组明确的要量化的经典共轭变量来揭示这一挑战。正如我们稍后将看到的，在Yang-Mills型引力规范理论中，这将不需要完整的度量结构，而只需要度量的共形不变部分，即共形因果结构。后者通过Hodge星算子引入场强和共轭动量之间的本构关系。

3.2.4. Riemann-Weyl几何- W公司 4

这是Weyl规范理论中隐含的时空几何，通过扩展局部洛伦兹对称性来包括膨胀，从而统一重力和电磁。它具有曲率和（的迹矢部分）非度量但扭转消失，并且在Weyl群下服从局部对称性 W公司 ( 1 , 三 ) ，其中包括 对 ( 1 , 三 ) 组和扩张。因果结构在 W公司 ( 1 , 三 ) 组，但时空（度量）不是绝对的，在膨胀型坐标变换下会发生变化。因此，物质的惯性性质不能用绝对度量结构来定义。人们可以假定物质具有共形不变的物理性质。
Weyl连接如下所示 Γ β ν α = Γ ˜ β ν α + q个 β ν α ，其中本例中的畸变张量与Weyl共向量相关 问 μ ≡ 问 μ λ λ 作为
q个 β ν α ≡ 1 2 ( δ β α 问 γ + δ γ α 问 β − 问 α 克 β γ ) ,
而Weyl连接的曲率由下式给出
R（右） β μ ν α = R（右） ˜ β μ ν α + ∇ ˜ μ q个 β ν α − ∇ ˜ ν q个 β μ α + q个 λ μ α q个 β ν λ − q个 λ ν α q个 β μ λ .
Weyl协向量是非对称性的迹向量部分，因此，几何中存在尺度（膨胀）类型的失真，隐含在关系中 ∇ α 克 β γ ∼ 问 α 克 β γ 并且，如前所述，向量的长度在该几何体中变化为 ∇ ν ( V（V） 2 ) ∼ 问 ν V（V） 2 Weyl将Weyl共向量确定为电磁4势，以及之前定义的相似曲率(14)作为电磁法拉第张量。我们强调，电动力学的预度量基础确实表明了电磁学与共形几何和共形对称之间的深层联系，这为洛伦兹对称的破缺提供了一个自然的框架。

3.2.5. Riemann-Cartan-Weyl几何- Y（Y） 4

这是包含扭转的Weyl几何的推广，因此，扭转是Weyl规范重力理论的适当流形。只有超动量物质(25)，包括自旋流和膨胀流，对扭转和（Weyl-covactor部分）非度量很敏感。

3.2.6. 公制仿射几何( L（左） 4 , 克 )

这是这里考虑的最丰富的一种几何，具有非零曲率、扭转和非度量。自然对称群是仿射群 A类 ( 4 , ℜ ) 。仿射连接可以写为 Γ β ν α = Γ ˜ β ν α + N个 β ν α ，其中畸变张量 N个 β ν α = K β ν α + L（左） β ν α 包括扭曲和变形，如中所述第2.2节。曲率可以写为
R（右） β μ ν α = R（右） ˜ β μ ν α + ∇ ˜ μ N个 β ν α − ∇ ˜ ν N个 β μ α + N个 λ μ α N个 β ν λ − N个 λ ν α N个 β μ λ ,
或者，作为替代
R（右） β μ ν α = R（右） ¯ β μ ν α + ∇ ¯ μ L（左） β ν α − ∇ ¯ ν L（左） β μ α + L（左） λ μ α L（左） β ν λ − L（左） λ ν α L（左） β μ λ ,
哪里 R（右） ¯ β μ ν α 和 ∇ ¯ μ 是Riemann-Cartan连接的曲率和协变导数。
上述讨论仅代表了亲缘关系世界8，根据决定保留/删除的连接件，会出现不同的几何图形。在下一节中，我们将提请大家注意重力的规范公式及其与所有这些时空几何的关系。

4.重力规范理论

引力规范方法拓宽了我们对对称原理（群论）和几何方法之间深层关系的研究。与我们的分析特别相关的是PGTG类，它是对经典引力进行适当描述（包括后爱因斯坦强场预测）的一个很有希望的候选者。为了展示重力规范方法的结构，首先重温规范场的Weyl-Yang-Mills公式是有用的。

4.1. Weyl-Yang-Mills形式主义

Yang-Mills场的规范方法遵循两个主要步骤，即物质拉格朗日描述的物理系统的刚性（全局）对称，以及这些对称的局部化（规范）。
第一步考虑刚性（全局）对称性，如下所示：
  • 从场论开始： L（左） 米 = L（左） 米 ( Ψ , d日 Ψ ) 一些物质场 Ψ .
  • 物质拉格朗日在某些内部对称群下是不变的，由带有生成元的（半简单）李群描述 T型 一 .
  • Noether的第一个定理意味着守恒电流： d日 J型 = 0 .
在第二步中，根据以下程序进行对称性定位（测量）：
  • 在引入补偿（规范）场的每个时空点上描述对称性 A类 = A类 μ 一 T型 一 d日 x个 μ .
  • 这是一个新的领域，夫妻关系最不重要，代表着一种新的互动。
  • 为了保持对称性，这个规范势A类以适当的方式进行变换，允许构造（规范）协变导数 d日 Ψ ⟶ D类 Ψ = ( d日 + A类 ) Ψ .
  • 拉格朗日函数包括物质场和规范势之间的最小耦合 L（左） ( Ψ , d日 Ψ ) ⟶ L（左） ( Ψ , D类 Ψ ) .
  • 规范电势作用于参照系定义的物质场分量。几何上，它是与对称群相关的框架束（光纤束）的连接。
  • 守恒方程概括为 d日 J型 = 0 → D类 J型 = 0 .
为了A类为了用它自己的自由度表示一个真正的动力学变量，理论的拉格朗日必须包括一个动力学项，代表新的相互作用 L（左） = L（左） 米 + L（左） A类 .的不变性 L（左） A类 通过用规范不变场强构造它来保证安全 F类 = D类 A类 = d日 A类 + A类 ∧ A类 从几何学上来说，这可以解释为光纤束的曲率2形式。请注意，要有第二个订单（在A类)非均匀Yang-Mills场方程，必须选择 L（左） A类 = L（左） A类 ( F类 ) .
用外部形式表示，规范势的非齐次Yang-Mills方程为
D类 H（H） = J型 ,
哪里 H（H） = ∂ L（左） / ∂ F类 是激励2形式，以及 J型 = ∂ L（左） 米 / ∂ A类 是守恒的Noether电流，它是电势的来源。在这里， D类 H（H） ≡ d日 H（H） + A类 ∧ H（H） 齐次场方程对应于Bianchi恒等式，该恒等式是通过两次推导势能得到的，即
D类 F类 = 0 ⇔ d日 F类 = − A类 ∧ F类 .
还要注意，Noether电流守恒方程是通过规范协变外导数推广的
D类 J型 = 0 ⇔ d日 J型 = − A类 ∧ J型 .
对于非阿贝尔群，规范场与相关（“同位旋”）电流有关， − A类 ∧ H（H） .在这种情况下 d日 J型 ≠ 0 ，而（规范）相互作用场是带电的，这与阿贝尔群的情况不同，例如 U型 ( 1 ) 电磁学组。
为了得到一个类似波的非均匀Yang-Mills（准线性）方程，并将其与电磁学的情况相平行， L（左） 可以平方依赖于F类至多，因此，H（H）必须线性相关，例如 H（H） = H（H） ( F类 ) = α ★ F类 Yang-Mills非均匀方程然后变成
D类 ★ F类 = d日 ★ F类 + A类 ∧ ★ F类 = α − 1 J型 ⇔ d日 ★ F类 = α − 1 ( J型 + J型 A类 ) ,
哪里 J型 A类 ≡ − α A类 ∧ ★ F类 在这一形式主义中，我们可以看到经典力学和杨美尔场论之间的明确类比，我们在表1特别是，很明显F类是激励时的广义速度H（H）是共轭动量。本构关系 H（H） ( F类 ) 它隐含在拉格朗日公式中，与经典力学的广义速度和共轭动量之间的函数关系非常相似。作为这些类比的延伸，人们自然会识别出相应（正则）量子场论中应量化的规范共轭变量对（参见表2).

4.2. 重力测量方法

现在出现的问题是我们是否可以对重力应用同样的程序。Yang、Mills和Utiyama的方法超越了Weyl介绍的关于规范不变性的最初想法。事实上，虽然杨和米尔斯[11]将Weyl规范原理推广到 秒 U型 ( 2 ) 试图描述核相互作用的同位旋，Utiyama[12]将规范原理推广到包括洛伦兹群在内的所有半单李群，并尝试从洛伦兹组的规范推导GR。尽管他的方法有一定的有效性，而且洛伦兹群在GR中的重要性毋庸置疑，但他的推导与规范场理论的形式结构并不完全一致。这主要是因为洛伦兹群的Noether守恒流不是能量动量，乌提亚马为了获得GR而强迫它成为重力源。9尽管这些努力并没有始终如一地包括重力，但它揭示了在基本层面上，规范对称性是现代物理相互作用场论的核心。然而，当60年代Sciama和Kibble将时空对称性的Poincaré群局部化时，这种规范形式最终回归到了引力，并以此方式成功地表明，引力也可以被一致地描述为规范理论。事实上，可以很容易地建立与杨美尔规范理论的类比，如下所述表3.
引力规范方法最显著的特点之一是群体考虑和时空几何之间的密切联系。非刚性（局部）时空对称需要非刚性（非欧几里得）几何。此外，如前所述，通过扩展对称群，还可以扩展时空几何，这样，后黎曼几何在引力规范理论中就有了天然的位置。例如，虽然平移规范理论（TGTG）包括非零挠率和非度量性，但Poincaré规范重力需要RC几何，Weyl（-Cartan）规范重力（WGTG）和共形规范重力（CGTG）都位于曲率更一般的度量仿射几何的子集上，扭转和非测量性。特别是，在WGTG中，非度量的无迹部分消失了。10参数Poincaré群和11参数Weyl群都是非简单的，这意味着它们可以分为两个较小的群（一个非平凡正规子群和相应的商群），并且从相应的引力理论自然扩展到一个具有简单群的群，这导致了CGTG。15参数共形群 C类 ( 1 , 三 ) 很简单（它唯一的正规子群是平凡群和群本身），但这种扩展需要Kibble规范程序的推广，因为尽管局部 C类 ( 1 , 三 ) 与同构 秒 O（运行） ( 2 , 4 ) 它在中的实现 M（M） 4 （闵可夫斯基时空）是非线性的[41].
PGTG可以通过定位 秒 O（运行） ( 1 , 4 ) 或 秒 O（运行） ( 2 , 三 ) 组。由于（A）dS空间是一个最大对称空间，可以嵌入到5维Minkowski空间中（分别具有AdS或dS的两个或一个时间坐标），因此它的等距服从洛伦兹代数类型。在特定限制下（通过设置 我 → ∞ ，其中我是群代数的一个参数），则群进入Poincaré代数。根据拉格朗日的选择，人们可以有明确的[42]或自发[43]对称性破缺 秒 O（运行） ( 2 , 三 ) 到 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) 例如。
另一类重要的扩张需要超越李代数，考虑带有反交换子的代数，以得到超π-π群[44]包含通常的Poincaré生成器和适当的超对称（SUSY）变换。它们是由马略那旋量产生的，马略那自旋是费米子和玻色子之间转换的（反交换）发生器。简单（带有一个超对称生成器）AdS超对称推广了简单的超Poincaré代数，尽管它具有相同的生成器，并且它在与AdS组返回到PGTG相同的极限下返回到超Poincaré代数学。进一步扩展包括考虑数字 1 < N个 < 8 超对称发电机。这些超代数的测量直接通向玻色重力扇区，因此，超重力（SUGRA）是一类重要的超对称重力规范理论，它通过在外部（时空）对称性和内部对称性之间建立联系，与玻色子和费米子的统一方法极为相关。在自洽规范方法中，这类理论需要考虑后黎曼时空几何，尽管许多方法都是在黎曼几何中进行的[24].
为了说明重力测量方法的结构，我们接下来将更详细地考虑PGTG。

4.3. Poincaré规范引力理论的重力Yang-Mills方程

通过将与杨·米尔斯规范场方法类似的程序应用于引力，我们得出了引力规范理论的数学结构。我们从物质拉格朗日相对于一组特定时空坐标变换的（刚性）全局对称性开始，并确定了守恒的诺埃尔流。然后，通过定位（测量）对称群，引入规范引力势以及规范协变导数和各自的场强，这些都是微分几何中众所周知的对象。事实上，规范势代表局部对称群的发生器，并耦合到各自的守恒Noether电流，作为重力源。实际上，适当规范场势的识别来自于协方差的要求 D类 Ψ .
在PGTG中，四分体和自旋连接1-形式是与平移相关的规范势， T型 ( 4 ) 和洛伦兹旋转， 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) 分别是。扭转和曲率2形式是各自的场强。扭转可以分解为3个不可约部分 T型 一 = T型 ( 1 ) 一 + T型 ( 2 ) 一 + T型 ( 三 ) 一 ，由包含16个独立分量的张量部分、一个矢量部分和一个轴向（伪）矢量组成，均包含4个独立分量10就曲率而言，它有36个独立分量，可分解为6个不可约部分：Weyl（10）、Paircom（9）、Ricsymf（9），Ricanti（6）、标量（1）和伪标量（l）。此外，洛伦兹群中有6个发电机，具有6个电位( Γ 一 b条 = − Γ b条 一 )和6个自旋（Noether）电流( 秒 一 b条 = − 秒 b条 一 ). 类似地，在时空平移组中有4个发生器，需要4个规范电位 θ 一 和4个保守的Noether电流 τ 一 通过构造具有曲率和扭转不变量的引力拉格朗日函数，势能通过 24 + 16 = 40 二阶场方程。
现在让我们建立物质和重力场对PGTG的不同贡献。对于前者，我们考虑拉格朗日问题 L（左） 米 = L（左） 米 ( 克 一 b条 , θ c（c） , D类 Ψ ) 使得关于RC连接的协变导数， D类 Ψ ，允许它在局部Poincaré时空变换下保持不变。有两类Noether守恒流：正则能量动量张量密度，它等价于动力学四分体能量动量密度， τ 一 ≡ δ L（左） 米 / δ θ 一 ; 以及正则自旋密度，它相当于动力学自旋密度， 秒 一 b条 ≡ δ L（左） 米 / δ Γ 一 b条 这些电流与重力势耦合，作为重力源，并遵循广义守恒方程。至于作用中的重力扇区，它是由与重力自由度动力学相关的动力学部分的规范不变重力场强度构成的。
因此，拉格朗日总密度为
L（左） = L（左） 克 ( 克 一 b条 , θ 一 , T型 一 , R（右） 一 b条 ) + L（左） 米 ( 克 一 b条 , θ 一 , D类 Ψ ) .
通过改变重力规范场的作用( θ 一 , Γ 一 b条 )和物质场 Ψ ，我们得到了相应的场方程。对于费米子物质场，变分原理 δ L（左） 米 / δ Ψ = 0 导致狄拉克方程的推广。对于玻色子扇区（重力），PGTG中的非均匀Yang-Mills方程为
D类 H（H） 一 − π 一 = τ 一 , D类 H（H） 一 b条 − ς 一 b条 = 秒 一 b条 ,
哪里 H（H） 一 = − ∂ L（左） 克 / ∂ T型 一 和 H（H） 一 b条 = − ∂ L（左） 克 / ∂ R（右） 一 b条 是与扭转和曲率相关的2形式激励（场动量），以及 τ 一 ≡ δ L（左） 米 / δ θ 一 和 秒 一 b条 ≡ δ L（左） 米 / δ Γ 一 b条 是3形式的正则能量动量和自旋流。这三种形式 π 一 和 ς 一 b条 可以解释为引力规范场的能量动量和自旋，分别定义为
π 一 ≡ e（电子） 一 ⌟ L（左） 克 + ( e（电子） 一 ⌟ T型 b条 ) ∧ H（H） b条 + ( e（电子） 一 ⌟ R（右） c（c） d日 ) ∧ H（H） c（c） d日 ,
ς 一 b条 ≡ − θ [ 一 ∧ H（H） b条 ] .
对于给定的理论，只需根据拉格朗日密度计算激发、源电流和引力流(50)直接代入非齐次方程(51). 请注意，在这种外部形式的形式中，这些场方程是完全无量纲、完全通用和无坐标的，具有定义明确的引力能量、动量和自旋流。PGTG有两组Bianchi身份，以前称为 D类 R（右） b条 一 = 0 和 D类 T型 c（c） = R（右） d日 c（c） ∧ θ d日 这是RC时空几何结构所固有的。通过场方程，这些可以与能量动量和自旋流的广义守恒方程相关。
关于这些理论中的本构关系，以场强（扭转和曲率）表示的2形式激励， H（H） 一 = H（H） 一 ( T型 c（c） , R（右） b条 d日 ) 和 H（H） 一 b条 = H（H） 一 b条 ( T型 c（c） , R（右） b条 d日 ) 表示两组本构关系，并隐含在拉格朗日公式中。这些激励与经典力学的经典共轭动量完全相似，而扭转和曲率是规范势表示的重力自由度的广义速度。这些真空中的本构关系可以解释为描述时空物理流形的引力传播特性。正是通过这些关系引入了度量的共形不变部分，例如通过霍奇星算子。此外，在这些关系中，需要理论的耦合常数，以便将场强（场速度）的尺寸充分转换为激励（场动量）。作为时空真空本身的本构关系，可以假设这种耦合常数表征了具有引力几何动力学的时空流形的物理性质。该假设与进入相应本构关系的电磁特性的类似解释明显相似（参见参考文献[38]更多详细信息）。

4.3.1. 二次Poincaré规范引力

在宇宙学、引力波和球面解中研究了曲率和扭转不变量为拉格朗日二次的PGTG，参见参考文献[45,46,47,48,49]. 考虑到相对论场论中庞加莱对称性的重要性，以及最一般的二次拉格朗日函数，PGTG类是基本的(a la（拉丁语）Yang-Mills）包含由曲率和扭转更丰富的RC几何体引起的奇偶破缺项[45]. 它可以写成
L（左） = 1 2 κ 2 ( 一 0 η 一 b条 + 一 0 ¯ θ 一 ∧ θ b条 ) ∧ R（右） 一 b条 − 2 Λ η − T型 一 ∧ ∑ 我 = 1 三 一 我 ( ★ T型 一 ( 我 ) ) + 一 ¯ 我 T型 一 ( 我 ) − 1 2 ρ R（右） 一 b条 ∧ ∑ 我 = 1 6 b条 我 ( ★ R（右） 一 b条 ( 我 ) ) + b条 ¯ 我 R（右） 一 b条 ( 我 ) .
第一行中的第一项对应于ECSK理论和Holst项 ∼ ( θ 一 ∧ θ b条 ) ∧ R（右） 一 b条 ，其中 η 一 b条 ≡ e（电子） b条 ⌟ η 一 = ★ ( θ 一 ∧ θ b条 ) 11第二项对应于宇宙常数。第二行包含扭转场强和指数中的二次项 我 = 1 , 2 , 三 在三个不可约的扭力上运行。在第三行中，我们有曲率二次项和指数 我 = 1 , . . . , 6 在六个不可约的曲率段上运行。自由参数包括 2 + 6 + 12 = 20 ( 一 , b条 )系数，加上宇宙常数和有时称为“强引力”参数 ρ 在这个拉格朗日方程中，所有项的系数都带有一个条 一 0 ¯ , 一 ¯ 我 , b条 ¯ 我 在奇偶变换下破坏对称性。对于具体的选择和假设，这个拉格朗日函数包括，例如，GR本身，GR的远程并行等价物，或ECSK理论。在后者中，狄拉克费米子具有具有排斥特性的轴-轴接触相互作用（Hehl-Data项），而在一般的二次PGTG中，这种接触自旋-自旋相互作用是通过预测传播相互作用来推广的。特别是具有自旋的中间规范玻色子 秒 = 0 , 1 , 2 预测，对应于质量或无质量标量、矢量12张量传播模式。在这些GW场中，存在奇偶校验（奇偶破缺）模式，这些模式可能表现为早期宇宙GW宇宙学背景中手性的特征13。让我们也注意到，在PGTG中，可以识别出也可以量化的无鬼拉格朗日函数[50,51].

4.3.2. GR的远并行等效

为PGTG选择Weitzenböck时空几何，这意味着在将曲率和非度量都设置为零的情况下仅保持扭转，可以根据一些特定的限制（例如Weitzennöck-连接的适当选择）来制定扭转的拉格朗日二次曲线。这个理论可以从重力透视的平移规范理论来表述。启发性地，在这种情况下
D类 α T型 c（c） α γ + ( . . . ) ∼ κ 2 τ c（c） γ ,
或者，就四分体而言
□ θ μ 一 + ( . . . ) ∼ κ 2 τ μ 一 ,
其中，左侧缺失的项是非线性项，以及□ 是d'Alembertian操作员。最后一个方程类似于它的GR对应方程， □ 克 μ ν + . . . ∼ κ 2 T型 μ ν 结果表明，对于由基本标量场或麦克斯韦场描述的物质，这两个方程产生了相同的引力现象学，其中正则 τ μ ν 和动力学（爱因斯坦-希尔伯特） T型 μ ν 能量动量张量是一致的。对于费米子来说，这些理论并不完全等价。有趣的是，该远平行等效GR（TEGR）的二次（扭转）拉格朗日是局部洛伦兹不变量，并等价于Hilbert-Einstein拉格朗夫[39]但如果要将GR表述为规范理论，则必须规范平移群，而不是洛伦兹群。这提供了超越GR的另一个动机，在这种情况下，使用重力的远平行公式来探索精确解、后牛顿极限、引力波等，参考文献[52,53,54,55,56]，因为似乎可以认为《自然》中的整个庞加莱对称性是有效的，而不仅仅是平移组。

4.3.3. 爱因斯坦-卡坦-西亚马-基布尔重力

在外部形式的形式主义中，ECSK拉格朗日可以写成
L（左） = 1 2 κ 2 η 一 b条 ∧ R（右） 一 b条 .
然后通过改变四分体和（洛伦兹）自旋连接的这个作用，得到场方程。在更常见的张量形式中，这个拉格朗日函数对应于曲率标量中的线性拉格朗夫函数，从而产生作用
秒 欧盟委员会 = 1 2 κ 2 ∫ d日 4 x个 − 克 R（右） ( Γ ) + ∫ d日 4 x个 − 克 L（左） 米 .
在这个表达式中 κ 2 = 8 π 克 具有克牛顿耦合常数，以及克是时空度量的行列式 克 μ ν 在RC时空中，曲率标量 R（右） ( Γ ) 通过定义(28)包括扭转二次项，而拉格朗日项， L（左） 米 = L（左） 米 ( 克 μ ν , Γ , Ψ 米 ) 取决于度量和物质字段， Ψ 米 以及通过协变导数研究扭曲（即扭转）。
通过改变作用可以得到Cartan方程(58)关于扭曲张量 K β γ α （或者，关于自旋连接），相应的结果可以写成
T型 β γ α + T型 γ δ β α − T型 β δ γ α = κ 2 秒 β γ α ,
哪里
秒 γ α β ≡ δ L（左） 米 δ K α β γ ,
是自旋密度张量，而 T型 β ≡ T型 β γ γ 是扭转（轨迹）矢量。卡坦方程(59)这意味着扭转通过线性和代数关系与物质场的自旋密度有关，因此，在没有自旋的情况下（如在真空中），扭转消失。另一方面，动作的变化(58)关于时空度量 克 μ ν （或者，关于四分体）产生广义爱因斯坦方程，可以写成 克 μ ν = κ 2 τ μ ν ，其中 克 μ ν 是RC几何的爱因斯坦张量 τ μ ν 是正则能量动量。这些方程也可以方便地写成
克 ˜ μ ν = κ 2 T型 μ ν 有效 ,
哪里 克 ˜ μ ν 是用Levi-Civita连接计算的爱因斯坦张量，而有效应力能张量
T型 μ ν 有效 = T型 μ ν + U型 μ ν = − 2 − 克 δ ( − 克 L（左） 米 有效 ) δ 克 μ ν ,
包括物质场的（动力学）度量能量动量张量， T型 μ ν = − 2 − 克 δ ( − 克 L（左） 米 ) δ 克 μ ν ，以及附加件 U型 μ ν = − 2 − 克 δ ( − 克 C类 ) δ 克 μ ν ，使用 C类 ≡ − 1 2 κ 2 K β γ γ K α α β + K α λ β K λ β α ，其中包含扭转二次修正 U型 ∼ κ − 2 T型 2 这个片段也可以用Cartan方程用自旋张量表示(59)即。， U型 ∼ κ 2 秒 2 还请注意，一般来说，扭转也会影响能量动量张量 τ μ ν ，因为协变导数存在于 L（左） 米 通过最小或非最小联轴器，根据扭转引入新术语。自 U型 ∼ κ 2 秒 2 ，方程式(61)定义了一种典型的密度，称为卡坦密度，由 ρ C类 ∼ 10 54 克/厘米 三 （如果考虑核物质14). 因此，原则上，ECSK理论只能在自旋密度非常大的环境中引入显著的物理效应，这种环境可能出现在早期宇宙或黑洞最深处。
为了总结这一部分，让我们提到，一旦考虑到与费米子的耦合，RC时空中旋量的广义Dirac（Hehl-Data）方程，耦合到ECSK引力，在旋量中是立方的，并且包括扭转诱导的自旋-自旋（轴-轴）接触相互作用。这类相互作用已在粒子物理中进行了探索，包括HERA、LEP和Tevatron在电子质子散射中的研究[57,58].

4.4. 米仿射重力中的二次规范重力模型

将仿射群视为引力规范对称群，可以推广PGTG。如果执行此操作a la（拉丁语）la Yang-Mills，然后得到二次PGTG中的二次模型，其中二次项有时被称为（假设的）“强引力”项。这种想法不时被恢复，就像在Yang身上一样[59]，在张量优势模型中[60]或者在色球引力中[61]. 根据拉格朗日函数的选择，强引力（玻色子扇区）可以是非常巨大的，也可以是无质量的。在某些方面，这些规范玻色子重力场类似于杨-米尔玻色斯，如果它们是大质量的，则通常假设其质量与普朗克质量相当或甚至更高。与二次PGTG一样，在二次度量仿射模型中，存在带自旋的中间规范玻色子( 秒 = 0 , 1 , 2 )对应于标量、矢量或张量模式（质量或无质量）。在这方面，方程中的二次模型(54)对于PGTG，可以通过包含以下项扩展到度量仿射重力 问 一 b条 和 R（右） ( 一 b条 ) 根据洛伦兹连接的选择，其在PGTG中均为零，因此非度量为零（参见参考文献[62,63,64]).
作为二次度量仿射模型的一个例子，可以考虑形式（示意图）的拉格朗日密度（对于玻色度扇区）
L（左） M（M） A类 克 ∼ 1 κ 2 R（右） + T型 2 + T型 问 + 问 2 + 1 ρ W公司 2 + Z 2 ,
哪里 W公司 一 b条 ≡ R（右） [ 一 b条 ] 、和 Z 一 b条 ≡ R（右） ( 一 b条 ) 分别称为“转动曲率”和“应变曲率”。与耦合常数成比例的项 ρ 与与“弱”重力耦合常数成比例的项相比，被称为强重力项 κ 2 注意，在这个模型中，连接是非洛伦兹的，非度量1形式（表示为问)不消失。例如，参考文献中分析了度量仿射引力的玻色子扇区[62,63,64,65]费米子部分更精细（参见参考文献[66,67,68,69]). 在这方面，没有有限维旋量表示 克 L（左） ( 4 , ℜ ) 这导致了Ne'eman的“世界旋量”（具有无限分量）的引入，以及Dirac方程的相应推广。世界旋量形式与Regge轨迹有关，Regge轨迹本身与强子的自旋2激发有关（见参考文献[70]).
有关MAG中精确解的有趣评论，请参阅参考[71]. 在此背景下的进一步研究涉及宇宙学场景[72]，还应该提到精确的球对称解 问 ∼ 1 / 第页 d日 [73]这表明存在无质量模式。

4.5. 用试题探讨非黎曼几何

众所周知，在具有内禀自旋的系统中，如电子等基本粒子或中子等重子，扭转可以引起进动效应[74,75]. 这是一个模型相关的结果，可以从RC时空中狄拉克费米子动力学的（WKB）半经典近似中获得。原则上，这种预测可用于区分GR和TEGR的时空范式。如果v（v）是（本征）自旋的极化矢量，则可以推导出简单的表达式
v（v） ˙ = 三 t吨 ˘ v（v） ,
其中轴向矢量 t吨 ˘ 由提供 t吨 ˘ α ≡ − ϵ α β γ δ T型 β γ δ 从这个意义上说，类似于重力探测器B的实验，但使用具有内在（宏观）自旋的陀螺仪，可以用来限制或检测地球（假设）扭转的影响，这是合理的[76]. 关于扭转引起的自旋进动效应已有相当多的研究（另见参考文献[77]). 另一方面，Lammerzahl为检测扭转设置了实验极限( | T型 | ∼ 10 − 15 米 − 1 )使用Hughes-Drever（光谱）类型的实验[78].
此外，可以预测量子系统能级的扭转效应。从费米子的狄拉克拉格朗日量最小耦合到背景RC几何
L（左） 狄拉克 = 我 ℏ 2 ψ ¯ γ μ D类 μ ψ − ( D类 μ ψ ¯ ) γ μ ψ − 米 ψ ¯ ψ ,
（对于旋量 ψ 和它们的伴随词 ψ ¯ )一个人推导出狄拉克方程
我 ℏ γ μ D类 ˜ μ ψ − 米 ψ = − 三 ℏ 2 T型 ˘ λ γ λ γ 5 ψ ,
可以在平面度极限内进行分析。如果我们假设静态轴向扭转矢量 T型 ˘ λ 沿着 x个 三 -方向，然后我们得到与时间无关的波动方程
− 我 ℏ γ k个 ∂ k个 ψ + 米 − 三 ℏ 2 T型 ˘ 三 γ 三 γ 5 ψ ( 第页 → ) = γ 0 电子 ψ ( 第页 → ) .
根据这个方程，我们可以得到两个可能的能级值，这取决于费米子自旋相对于背景（轴向）扭转是对齐的还是反对齐的，即[79],
电子 2 = 第页 2 + 米 ± 三 ℏ 2 T型 ˘ 三 2 .
类似地，如果扭转轨迹矢量和狄拉克轴矢量之间和/或扭转轴矢量和狄拉克矢量之间存在非最小耦合 ψ ¯ γ μ ψ ，则宇称对称性被破坏，相应的由扭转引起的能级修正将包含这些宇称破坏相互作用的特征。因此，用先进的光谱仪进行测试可能能够探测量子系统的扭转效应。此外，前面提到的ECSK理论中的自旋-自旋接触相互作用，或引力规范介导的传播自旋-自旋相互作用( 秒 = 0 , 1 , 2 )玻色子可以在实验室实验和宇宙GW探测器中进行测试/约束。
关于非对称性，重力规范方法清楚地表明，超动量流，如膨胀流或剪切流，分别与非对称性的轨迹矢量部分和剪切部分耦合。这种耦合是显而易见的，因为正如我们所看到的，连接耦合到超动量，而非洛伦兹连接意味着非度量性。进一步的发展表明，如果扭转可以通过具有本征自旋的测试物质的自旋进动来测量，那么时空的非对称性可以通过具有（非平凡的）超动量流的测试物质的脉动（质量四极激发）来测量。为了对非黎曼几何“敏感”，测试物质应携带膨胀、剪切或自旋流，无论是宏观的还是基本场/粒子的水平。在后一种情况下，Regge轨迹提供了一个充分的数学说明，证明了测试物质是Ne'eman的带剪切的世界旋量。
我们还要指出，奥布霍夫和普埃茨菲尔德[80]导出了度量仿射引力中物质场的运动方程。通过使用Bianchi恒等式，可以得出平移Noether电流的以下表达式：
D类 ˜ τ 一 + Δ b条 c（c） e（电子） 一 ⌟ N个 b条 c（c） + Δ b条 c（c） ∧ £ e（电子） 一 N个 b条 c（c） = 秒 b条 c（c） ∧ ( e（电子） 一 ⌟ R（右） c（c） b条 ˜ ) ,
其中，波浪号通常指黎曼几何中定义的量，而 τ 一 , Δ b条 c（c） , 秒 b条 c（c） 分别是正则能量动量、超动量流和自旋流，以及 N个 b条 c（c） = Γ b条 c（c） − Γ ˜ b条 c（c） 给出了连接1-形式的非黎曼段，即畸变1-形式。注意，在这个方程的右侧，我们可以确定自旋物质的马蒂松-帕帕彼得鲁力密度。在标准GR中，获得 D类 ˜ τ 一 = 0 ，给出了具有能量动量的无自旋物质的测地线方程，而对于 N个 b条 c（c） = 0 我们得到 D类 ˜ τ 一 = 秒 b条 c（c） ∧ ( e（电子） 一 R（右） ˜ c（c） b条 ) 这是GR中关于自旋物质的Mathisson-Pappetrou方程。在这个方程中，如果物质既没有（固有）自旋，也没有膨胀/剪切流，那么它就遵循黎曼（极值长度）测地线，而不管时空的几何形状或度量仿射几何中的拉格朗日形式。

4.6条。度量仿射几何与洛伦兹对称破缺

关于 克 L（左） ( 4 , ℜ ) 我们有Noether电流
D类 Δ b条 一 + θ 一 ∧ τ b条 = τ b条 一 .
在PGTG中，连接是Lorentzian Γ 一 b条 = − Γ b条 一 ，而在WGTG中，连接的跟踪部分 1 4 克 一 b条 Γ c（c） c（c） 也是不消失的。度量仿射理论中的一个完全独立的联系由(6). 正是这种线性连接与（固有的）超动量流耦合（见方程式(25)). 特别是洛伦兹连接对自旋 秒 一 b条 运送 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) 电荷，而痕迹部分与膨胀电流耦合 Δ c（c） c（c） 和连接件的剪切部分（见方程式(26))与剪切流耦合 Δ ¯ 一 b条 携带 秒 L（左） ( 4 , ℜ ) / 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) （固有）剪切电荷。剪切流似乎与Regge轨迹有关[69]这些代表了具有相同内部量子数的强子的自旋2激发。Regge轨迹之间的关系（可由小组描述 秒 L（左） ( 三 , ℜ ) 这可以嵌入到 秒 L（左） ( 4 , ℜ ) 一）和超动量剪切电荷，仍然是一个有待研究的问题，其有效性似乎表明强子的强相互作用与后黎曼几何之间存在着非常显著和有希望的联系。剪切电荷实际上是洛伦兹不变性破坏的量度。底线是，为了获得洛伦兹对称破缺，不需要引入额外的粒子自由度，但这只能通过时空的几何结构，即非洛伦兹连接来获得。非洛伦兹连接的存在意味着非消失的非度量性和非消失的应变曲率 R（右） ( 一 b条 ) .

4.7. 关于GR公式的一句话

GR的（规范）度量公式需要一个具有对称、， Γ μ ν α = Γ ν μ α 和公制兼容， ∇ α Γ 克 μ ν = 0 ，仿射连接（Levi-Civita连接）。然而，众所周知，在韦岑伯克时空中形成的GR的远平行等效物产生了与度量GR完全相同的动态等效理论[39,81,82,83]. 除了在特定假设下从平移规范原理出发的这种方法外，还有另一种基于零曲率和扭转但非零非度量性的GR等效公式，称为对称远平行引力，其性质最近才开始被揭示[84,85,86,87,88].
由于这些在某种程度上是不同时空范式下的等效引力模型，人们可能会问，是否有任何指导原则可以确定什么时空几何和自由度可以在其最基本的层面上代表引力。规范方法在重力中的应用清楚地表明，GR可以表述为平移规范理论，因此，它位于RC时空的子集上。另一方面，将平移对称推广到庞加莱对称，指向RC时空几何中制定的PGTG的方向。需要再次强调的是，上述三种GR方法对时空几何范式有不同的假设，但一旦考虑到自旋（旋量）的物质，它们的等价性就会中断。事实上，如果我们能够测量非黎曼几何对物质的不同影响，我们就可以区分这些时空范式。

5.讨论和未来展望

5.1. 时空范式

在这项工作中，我们探索了引力规范方法中的几何方法（后黎曼时空几何和Cartan的形式外演算）和对称原理，以及这些主题如何指向时空范式的新视角。我们还简要考虑了经典电动力学的预度量公式。在这个广阔的视角下，共形因果结构被认为比度量结构更基本（共形几何的首要性），时空度量的绝对性随后被放弃在基本层面上。我们还建立了引力规范理论的预度量规范公式与一般杨米尔场的预度量方程和数学对象之间的类比。这些理论中拉格朗日函数的理论公式（重力和杨美尔）隐含地假设了场强（广义场速）和激励（共轭场动量）之间所谓本构关系的特定形式。这些关系可以解释为时空本身的构成关系。此外，在本次讨论中，我们强调了这样一个假设，即进入这种关系的物理常数或耦合参数反映了时空流形的物理特性，而时空流形本身被视为代表真正物理系统的数学对象。
通过赋予经典时空物理属性，经典真空的概念具有诸如介电常数、磁导率等属性，从而在某种程度上成为可抛弃的，或者说是物理时空概念的简单对偶。此外，这个物理时空的属性可能会随着点的变化而变化，这种情况很适合于标量传感器（Brans-Dicke等）、向量张量或张量传感器对GR的扩展。时空的这些属性可以用场来描述的想法可能会对时空对称性考虑产生影响，即：。，时空坐标变换组下物理学的不变性，以及与马赫思想和打破时空（度量）绝对性的联系。因此，具有非黎曼几何和由场描述的物理性质的物理时空的这一场景自然非常适合共形因果结构的首要假设。这意味着所谓的常数可以随着空间方向（各向异性）在空间中的不同位置发生变化，并且仍然保持局部共形因果对称性，因此，通过扩展因果结构。因此，假设与物理相关的是保角不变性质。换句话说，我们必须寻找一个具有后黎曼几何、物理性质和基本共形对称性的扩展时空流形。
根据这一思路，我们可以得出这样的结论：时空的固有物理特性包括能量-动量、超动量（包括自旋）、与引力和时空相关的电磁和热力学特性。后者实际上表明微观自由度的存在，如果假设这些自由度构成一个可数集合，那么一致的图像应该超越经典流形，并包含某种程度的离散性或重力量化。因此，具有局部不变共形偶然结构、具有内在物理性质（电磁、热力学等）和可能的量子性质的物理时空流形似乎是解决时空、物质场、量子真空和经典真空统一性的自然假设。

5.2. 关于基本场论统一方法的观点

现在让我们更详细地探讨上述假设，以及它与物理学统一的各个方面的关系。我们将在这里强调由数学考虑，特别是几何方法和对称原则激发的概念背景。
首先，电磁学、Yang-Mills和重力场方程的预度量形式中的几何方法，使用外部形式演算，以及相应的本构关系（可以解释为（时空）本构关系），提出以下建议：（i）共形因果结构（度量的共形不变部分）在全度量结构上的首要地位，因此，（ii）在基本层面上放弃了时空度量（“绝对时空”）的绝对性假设。还有一种假设是，进入（真空）本构关系的基本耦合常数代表时空的物理特性，不一定是空间均匀和各向同性的（常数），同时尊重局部共形对称性。因此，我们在此再次强调第一个统一：物理经典真空与物理经典时空的识别。
其次，从引力和后黎曼几何中的规范对称性出发，我们发现需要考虑具有一般度量仿射几何的经典时空，即具有非零曲率、扭转和非度量性。事实上，引力规范方法要求存在与引力现象相关的后黎曼几何。这促使人们通过天体物理和宇宙学效应（包括GW探测器和粒子物理效应）来寻找其特征。另一方面，时空度量可能不是基本的概念来源于引力规范理论的数学一致性，它将坐标变换下的物理对称性与时空几何范式联系起来。该理论清楚地确定了每个特定规范群的基本时空几何、Noether电流（引力场的来源）和规范势（几何自由度）及其场强。在这种形式主义中，时空度量不是一个基本领域。这在形式语言中可以清楚地看到，其中场方程的显式预度量方法是完全通用的、无坐标的和协变的。
可以假设度量结构后部特别是，通过本构关系（将场强或场速，即曲率和扭转，与规范共轭场动量联系起来）。更具体地说，利用这些关系，通过霍奇星运算，只有度量结构的保角不变部分涉及场强和Noether源之间的耦合，而不是整个度量结构。因此，引力规范理论中的对称原理和几何方法再次表明，（完整的）度量结构不是基本的，在庞加莱群之外具有更大对称群的模型中，时空（度量）绝对性的范式是无效的，也就是说，度量在局部观察者之间的特定坐标变换下发生变化。如果存在非度量性，则连接是非洛伦兹的，因此，会破坏洛伦兹对称性。正是这种几何形状与线性电动力学产生的共形结构有关[89].
关于统一对称群和对称破缺，众所周知，一般对称群可以在相变中破缺为较小的群。原则上，这些现象预计发生在早期宇宙中，与相互作用的标准模型（以及标准模型以外的模型）有明显的相似性，导致一阶相变，并以随机GW背景的形式产生GW发射。这种宇宙起源的GW特征（可能包括一般二次Yang-Mills引力规范理论的宇称破缺引力物理导致的极化特征）可能会被LISA等未来任务探测到[90]. 特别令人感兴趣的是CGTG的共形群，它可以被分解为Poincaré群。这必然包括打破尺度不变性，出现自然物理尺度和相应的（洛伦兹不变量）基本常数。这就假定存在一个尺度不变的宇宙纪元，其中物理时空的性质服从完美的共形对称及其几何学，也假设存在向破缺对称阶段的过渡，其中时空度量具有（局部）绝对性质。是否还有其他极端的物理状态（例如超致密物体和黑洞的最内部区域）可以恢复尺度不变性，甚至恢复完全共形对称，这仍然是一个悬而未决的问题。
另一个建议是曲率、扭转和非度量可能是相互转换的。从广义Bianchi恒等式的观点来看，这似乎是合适的(29)和(22)的度量仿射几何，与引力规范理论的场强（曲率、扭转和非度量）有关。这有点类似于电磁学的磁电相互转换。回想一下 d日 F类 = 0 是一个Bianchi恒等式，给出了磁通量守恒和法拉第定律。这些后黎曼-比安奇恒等式对时空几何结构是隐式的，表达了某种引力通量守恒，并且与规范方法中的诺特流守恒相一致。这些关系指向相互转换的概念，这可能为研究极端状态下的引力现象开辟新的途径。
此外，这个假设类似于GR中宇宙学中的Weyl-Ricci转换（Weyl猜想）。根据它，Ricci曲率完全支配早期宇宙，Weyl曲率支配晚期宇宙，这样Riemann张量的Ricci部分就被转换（转换）了随着宇宙膨胀，形成引力约束结构，逐渐被黑洞所控制。类似地，MAG的全曲率内的三个部分之间的动力学变换（转换）可以与涉及全曲率的（广义）Bianchi恒等式兼容。这种解释进一步得到了形式映射的支持，因为在仅具有扭转、曲率或非度量的时空中，GR的“等价”描述之间存在形式映射（以及在各自的时空范式中GR的推广之间）。虽然在特定的形式条件下，这些理论的现象学可能是等价的，但时空范式明显不同，费米子场与这些几何体的最小/非最小耦合可能会打破等价性。庞加莱或 克 L（左） ( 4 , ℜ ) 群应该是通过PGTG或MAG在任何这些准等价描述中推广GR的基本点，在这种情况下，规范方法的数学结构似乎与曲率、扭转和非度量确实可以相互转换的解释相一致。
除了上面讨论的主题之外，值得一提的是，规范方法是横截于粒子和相互作用标准模型的重力场和杨-米尔场的。虽然在第一种情况下，人们提到了外部对称或时空对称，而在第二种情况下基本粒子/场的旋量特征需要内部对称，但在这两种情况下都通过几何方法在群论（对称）和基本场的动力学之间有着深刻的联系。因此，规范形式主义强调了它在时空几何和重力与其他基本相互作用之间架起桥梁的潜力。挑战正是如何将内部空间及其对称性与时空几何体及其对称性统一起来。在这方面，我们简要提到了超对称引力规范理论，它的目的是通过扩大规范形式并在相同的数学结构下统一玻色子和费米子来实现这一目标。

5.3. 最后备注

本文中描述的几何方法和对称原理在不同相互作用之间建立类比和联系的潜力，清楚地支持了它们对统一场论的重要贡献。统一和量子引力的道路将不可避免地导致一种新的时空范式，这在社会上是相当一致的。这种统一是否意味着时空场和物理场之间的某种收敛“物理时空-物质‘实体’尚待观察。值得一提的是，在这样一个层次上，有可能对时空的基本几何体进行离散化，这是基于多种理由提出的，特别是在度量仿射几何和微观结构有缺陷的固态物理系统之间的联系上关于[91]或者从内部微观状态来看引力场的热力学和时空区域（视界）的熵。这与使时空的因果/共形和度量结构兼容的挑战有关[92]以及物理场的不确定性原理。如果后者与时空合并为一个统一的实体，那么这样的流形就必须被量化，因为它需要在其内在的几何性质中包含不确定性原理。
上述统一时空物质流形猜想可能包含以下成分：基本水平上的共形对称（可能在SUSY-SUGRA中的某个统一对称群内）；具有四个以上的时空维度；包括复数（这样旋量的内部对称性就嵌入到物理统一流形中，并且是内在的）；具有内部和外部物理特性，例如能量动量、超动量、， U型 ( 1 ) 和 秒 U型 ( N个 ) 收费；具有电磁（介电常数和磁导率）和热力学特性，包括由内部连接的内部自由度 秒 U型 ( N个 ) 对称性是物理自由度（类似于统计物理学中宏观系统的微观状态）。
最后，我们补充了一些意见。首先，似乎很明显，引力规范方法中的基本对称原理和几何方法导致了对时空和引力性质的非常显著的预测，这可以用天体物理（致密物体）进行测试[93])和宇宙学（膨胀，晚期进化[94])观察结果。其次，这些方法提供了对引力流性质的见解，从而激发了对物质基本性质及其物理守恒性质的研究。事实上，从基本观点理解超动量流可能会导致引力和强子物理之间的显著联系。类似的评论适用于探测后黎曼几何所需的适当测试物质属性，这是在实验上区分不同经典时空范式所必需的。最后，这些方法可以为搜索统一场论提供强大的数学框架，其中时空、费米子和玻色子可能在一个共同的统一物理框架内紧密相连。

作者贡献

所有作者对手稿的贡献都是均等的。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

F.C.由葡萄牙技术基金会（FCT，葡萄牙）第PD/BD/128017/2016号博士学位授予资助。F.S.N.L.承认FCT科学就业刺激合同的支持，参考号为CEECIND/04057/2017。D.R.-G由塔伦托投资公司马德里委员会（西班牙）第2018-T1/TIC-10431号计划，并感谢西班牙Innovación y Universidades Ciencia部PID2019-108485GB-I00/AEI/10.13039/501100011033号项目、西班牙FIS2017-84440-C2-1-P号项目（MINECO/FEDER，EU）、PROMETEO/2020/079号项目（巴伦西亚将军）的进一步支持，以及编辑006/2018 PRONEX（FAPESQ-PB/CNPQ，巴西）第0015/2019号拨款。作者还感谢FCT项目UID/FIS/04434/2020号、CERN/FIS-PAR/0037/2019号和PTDC/FIS-OUT/29048/2017号的资助。本文基于COST Actions CA15117和CA18108的工作，由COST（欧洲科技合作组织）支持。

致谢

F.C.感谢马德里Complutense大学理论物理系和IPARCOS的盛情款待，在那里开展了部分工作。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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1
符号⌟代表微分拓扑和线性代数中定义的内积，也称为收缩算子，它给出了第页-形式和向量，导致 ( 第页 − 1 ) -形式。
2
这个群体实际上与微分同态有关（以及我们在不改变物理描述的情况下选择任何坐标系的自由，无论我们使用的是引力场理论），扮演着引力规范变换的角色[30].
三。
因此， d日 θ 一 是由给定的2形式 d日 θ 一 = ∂ [ μ θ ν ] 一 d日 x个 μ ∧ d日 x个 ν 类似地，如果v（v）是一个第页形式和w个是一个k个-形式，然后 v（v） ∧ w个 是一个 ( 第页 + k个 ) -表单，带有 v（v） ∧ w个 = ( − 1 ) 第页 × k个 w个 ∧ v（v） .值一般张量的（规范）协变外导数第页-形式，表示为 V（V） b条 一 本文中使用的是 D类 V（V） b条 一 = d日 V（V） b条 一 + Γ c（c） 一 ∧ V（V） b条 c（c） + ( − 1 ) 第页 Γ b条 c（c） ∧ V（V） c（c） 一 .
4
在d日霍奇星算子映射的维数第页-表单到 ( d日 − 第页 ) -表单。在我们获得的组件中 H（H） μ ν = λ 2 − 克 克 α λ 克 β γ ϵ μ ν α β F类 λ γ .
5
半直积意味着 T型 ( 4 ) 和 克 L（左） ( 4 , ℜ ) （或 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) )不要通勤。
6
这些电流可以表示为1-形式或3-形式。事实上，在重力的规范方法中，它们自然地从Noether方程中以3种形式出现，是体积积分的自然对象。作为1-表格，可以书写 τ 一 = τ μ 一 d日 x个 μ 和 Δ b条 一 = Δ b条 μ 一 d日 x个 μ 。这种3形式或1形式表示之间的映射与以下事实有关：d日-尺寸ak个-表单具有 d日 ! k个 ! ( d日 − k个 ) ! 独立组件。在四个维度中，3形式和1形式都有四个独立的组件。
7
在这里 D类 R（右） b条 一 = d日 R（右） b条 一 + Γ c（c） 一 ∧ R（右） b条 c（c） + Γ b条 c（c） ∧ R（右） c（c） 一 和 D类 T型 c（c） = d日 T型 c（c） + Γ d日 c（c） ∧ T型 d日 .
8
这一奇闻轶事的概念最初是由何塞·贝尔特兰-吉梅内斯（JoséBeltrán-Jiménez）在一次关于引力三位一体的演讲中提出的[39].
9
从规范理论的角度来看，洛伦兹群不是爱因斯坦引力的对称群。几年后，人们清楚地认识到，从规范原理推导GR的合适方法是将其视为平移规范重力理论。这类理论是建立在一个具有扭转、消失曲率和非度量性的Weitzenböck时空几何上的。例如，在所谓的远平行公式引力的第一个阶段（直到1938年），Weitzenböck、Cartan和Einstein研究出了这些几何学及其在统一经典场论中的应用。穆勒和其他人在60年代的第二个时期重新激发了人们对这些理论的兴趣，这些理论最近重新引起了人们的关注，尤其是通过其 （f） ( T型 ) 扩展（参见参考[40]).
10
在与费米子的最小耦合中，只涉及轴向矢量扭转。
11
在这里 η 一 = e（电子） 一 ⌟ η = ★ θ 一 是一个3-形式，并且 η = ★ 1 是自然体积4形式。
12
这实际上是一个与基本粒子耦合的扭转轴矢量。
13
为此，需要非平面探测器、三点相关函数分析和足够的信噪比，以及与具有类似功率谱特征的其他可能GW源的明确区分。
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在宇宙学应用中，临界密度可以写成 ρ 致命一击 ∼ 米 / λ Comp公司 我 Pl公司 2 ，其中 我 Pl公司 和 λ Comp公司 分别是普朗克长度和康普顿波长。对于电子，我们得到 ρ 致命一击 ∼ 10 52 克/厘米 三 ，对应于 T型 致命一击 ∼ 10 24 K 和周围 t吨 ∼ 10 − 34 大爆炸之后。
表
表1。在外部形式的语言中，经典力学、杨美尔场和引力杨美尔理论之间的类比。
表1。在外部形式的语言中，经典力学、杨美尔场和引力杨美尔理论之间的类比。
重力式阳山杨·米尔斯经典力学
L（左） = L（左） ( A类 , 达 ) L（左） = L（左） ( q个 , q个 ˙ )
配置 ( Γ b条 一 , ϑ 一 ) A类q个
变量
广义速度 R（右） b条 一 = D类 Γ b条 一 F类 ≡ D类 A类 q个 ˙
T型 一 = D类 ϑ 一
拉格朗日方程 D类 ∂ L（左） ∂ R（右） 一 b条 − ς 一 b条 = 秒 一 b条 D类 ∂ L（左） ∂ F类 = J型 d日 d日 t吨 ∂ L（左） ∂ q个 ˙ = ∂ L（左） ∂ q个
D类 ∂ L（左） ∂ T型 一 − π 一 = τ 一 J型 = ∂ L（左） 米 ∂ A类
共轭动量 H（H） 一 b条 = ∂ L（左） ∂ R（右） 一 b条 H（H） = ∂ L（左） ∂ D类 A类 = ∂ L（左） ∂ F类 第页 = ∂ L（左） ∂ q个 ˙
H（H） 一 = ∂ L（左） ∂ T型 一
本构关系 H（H） 一 b条 = H（H） 一 b条 ( R（右） 一 b条 , T型 一 ) H（H） 一 = H（H） 一 ( R（右） 一 b条 , T型 一 ) H（H） = H（H） ( F类 ) 第页 = 第页 ( q个 ˙ )
H（H） 一 b条 ∼ ★ R（右） 一 b条 H（H） 一 ∼ ★ T型 一 （线性） H（H） ∼ ★ F类 （线性）
规范变量 ( Γ b条 一 , H（H） b条 一 ) ( ϑ 一 , H（H） 一 ) ( A类 , H（H） ) ( q个 , 第页 )
哈密顿量 H（H） ≡ R（右） 一 b条 ∧ H（H） 一 b条 + T型 一 ∧ H（H） 一 − L（左） ( Γ , ϑ , R（右） , T型 ) H（H） ≡ F类 ∧ H（H） − L（左） H（H） ≡ q个 ˙ 第页 − L（左） ( q个 , q个 ˙ )
R（右） 一 b条 = R（右） 一 b条 ( H（H） 一 b条 , H（H） 一 ) T型 一 = T型 一 ( H（H） 一 b条 , H（H） 一 ) F类 = F类 ( H（H） ) q个 ˙ = q个 ˙ ( 第页 )
哈密尔顿方程 D类 Γ 一 b条 = ∂ H（H） ∂ H（H） 一 b条 D类 H（H） 一 b条 = − ∂ H（H） e（电子） （f） （f） ∂ Γ 一 b条 D类 A类 = F类 = ∂ H（H） ∂ H（H） d日 d日 t吨 q个 = ∂ H（H） ∂ 第页 d日 d日 t吨 第页 = − ∂ H（H） ∂ q个
D类 ϑ 一 = ∂ H（H） ∂ H（H） 一 D类 H（H） 一 = − ∂ H（H） e（电子） （f） （f） ∂ ϑ 一 D类 H（H） = − ∂ H（H） 米 ∂ A类 = J型
表
表2。量子力学中的正则量子化与杨美尔理论和引力规范理论的外部微积分方法之间的类比(a la（拉丁语）Yang-Mills）。
表2。量子力学中的正则量子化与杨美尔理论和引力规范理论的外部微积分方法之间的类比(a la（拉丁语）杨·米尔斯）。
重力式阳山杨·米尔斯量子力学
H（H） ^ = H（H） ^ ( Γ ^ ab公司 , ϑ ^ 一 , H（H） ^ ab公司 , H（H） ^ 一 ) H（H） ^ = H（H） ^ ( A类 ^ , H（H） ^ ) H（H） ^ = H（H） ^ ( q个 ^ , 第页 ^ )
量子算符 Γ 一 b条 → Γ ^ 一 b条 ϑ 一 → ϑ ^ 一 A类 → A类 ^ q个 → q个 ^
H（H） 一 b条 → H（H） ^ 一 b条 H（H） 一 → H（H） ^ 一 H（H） → H（H） ^ ∼ − 我 ∂ ∂ A类 第页 → 第页 ^ = − 我 ℏ d日 d日 q个
交换关系 [ Γ ^ 一 b条 , H（H） ^ 一 b条 ] ≠ 0 [ ϑ ^ 一 , H（H） ^ 一 ] ≠ 0 [ A类 ^ , H（H） ^ ] ≠ 0 [ q个 ^ , 第页 ^ ] = − 我 ℏ
表
表3。杨美尔场与重力杨美尔理论在外部形式语言中的类比。
表3。杨-米尔斯场和引力杨-米尔斯理论在外部形式语言中的类比。
重力式杨磨机杨·米尔斯
L（左） = L（左） 克 + L（左） 米 L（左） = L（左） A类 + L（左） 米
L（左） 克 = L（左） 克 ( 克 ab公司 , ϑ 一 , D类 Γ b条 一 , D类 ϑ 一 ) L（左） = L（左） ( A类 , 达 )
测量 ( Γ b条 一 , ϑ 一 ) A类
电位1-表格1-形式
字段 R（右） b条 一 = D类 Γ b条 一 F类 ≡ D类 A类
优势 T型 一 = D类 ϑ 一
对 克 T型 克 以下为： 秒 O（运行） ( 1 , 三 ) ⋊
对称 T型 ( 4 ) 秒 U型 ( N个 )
组 M（M） A类 克 以下为： 克 L（左） ( 4 , ℜ ) ⋊
T型 ( 4 )
对 克 T型 克 以下为：
秒 μ 一 b条 正则自旋密度， 秒 一 b条 ≡ δ L（左） 米 / δ Γ 一 b条 J型 = ∂ L（左） 米 ∂ A类
Noether电流 τ μ 一 正则能量动量密度， τ 一 ≡ δ L（左） 米 / δ ϑ 一
M（M） A类 克 以下为： （电荷、同位旋等）
（来源） Δ μ 一 b条 超动量， Δ 一 b条 ≡ δ L（左） 米 / δ Γ 一 b条
τ μ 一 正则能量动量密度， τ 一 ≡ δ L（左） 米 / δ ϑ 一
对 克 T型 克 以下为：
激励 H（H） 一 b条 = − δ L（左） A类 / δ R（右） 一 b条 H（H） = − δ L（左） A类 / δ F类
H（H） 一 = δ L（左） A类 / δ T型 一
对 克 T型 克 以下为：
场方程 D类 H（H） 一 b条 − ς 一 b条 = 秒 一 b条 D类 H（H） = J型
D类 H（H） 一 − π 一 = τ 一
对 克 T型 克 以下为： d日 F类 = − F类 ∧ A类
比安奇身份 d日 R（右） b条 一 + Γ c（c） 一 ∧ R（右） b条 c（c） = − R（右） c（c） 一 ∧ Γ b条 c（c） ( D类 R（右） b条 一 = 0 ) ( D类 F类 = 0 )
D类 T型 一 = R（右） c（c） 一 ∧ ϑ c（c）
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分享和引用

MDPI和ACS样式

卡布拉尔，F。；洛博，F.S.N。；D.鲁比埃拉·加西亚。引力规范理论中的基本对称性和时空几何——统一场论的展望。宇宙 2020,6, 238.https://doi.org/10.3390/universe6120238

AMA风格

Cabral F、Lobo FSN、Rubiera-Garcia D。引力规范理论中的基本对称性和时空几何统一场论的展望。宇宙2020年；6(12):238.https://doi.org/10.3390/universe6120238

芝加哥/图拉宾风格

卡布拉尔（Cabral）、弗朗西斯科（Francisco）、弗朗西斯科·S·N·洛博（Francis S.N.Lobo）和迭戈·鲁比埃拉·加西亚（Diego Rubiera-Garcia）。2020年，“引力规范理论中的基本对称性和时空几何——统一场论的展望”宇宙6，编号12:238。https://doi.org/10.3390/universe6120238

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