Switching Internal Times and a New Perspective on the ‘Wave Function of the Universe’

Höhn, Philipp A.

doi:10.3390/universe5050116

开放式访问编辑的选择第条

内部时间的转换与“宇宙波函数”的新视角

通过

菲利普·A·Höhn

^1,2

¹

奥地利科学院量子光学和量子信息研究所，奥地利维也纳1090号波尔兹曼加街3号

²

维也纳大学物理系维也纳量子科学与技术中心（VCQ），地址：奥地利维也纳1090，Boltzmanngasse 5

宇宙 2019,5(5), 116;https://doi.org/10.3390/universe5050116

收到的提交文件：2019年3月7日/修订日期：2019年5月5日/接受日期：2019年5月7日/发布日期：2019年5月14日

（本文属于特刊群场理论及相关量子引力公式的进展)

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版本注释

摘要

:

尽管广义协方差在广义相对论中具有重要意义，但在量子引力和宇宙学中还没有建立广义协方差的量子概念，在这种情况下，由于先天缺乏坐标，有必要用动态量子参考系取代经典框架。因此，量子一般协方差关系到相对于量子参考系的任意选择，在相同物理描述之间持续切换的能力。最近，开发了一种用于此类开关的系统方法。它通过参考系-中性Dirac量子化，将与不同量子参考系选择相关的描述联系起来，这些量子参考系被确定为相应简化的量子理论，类似于流形上的坐标变化。在这项工作中，我们将此方法应用于一个简单的宇宙学模型，以演示如何在量子宇宙学中一致地在不同的内部时间选择之间切换。我们证实了这样的论点，即狄拉克与该理论的约化量子化版本的结合定义了一个完整的关系量子理论，该理论不仅承认量子广义协方差，而且，我们认为，它还对“宇宙波函数”提出了一个新的观点。它承担着透视-中性全球状态的角色，没有直接的物理解释，然而，它同时编码了与所有可能的参考系选择相关的所有宇宙描述，并构成了这些内部透视之间的关键联系。虽然为了简单起见，我们使用了Wheeler-DeWitt公式，但该方法和参数也可能适用于循环量子宇宙学。

关键词：

量子关系动力学;切换关系时钟;量子对称性约简;量子宇宙学;量子广义协方差;狄拉克和简化量化;哈密顿约束;宇宙波函数

1.简介

广义协方差是广义相对论的一个著名特征。它断言所有物理定律在所有参考系中都是相同的，与坐标无关。它不仅允许我们从任意选择的参照系中描述物理，还允许我们在不同的描述之间随意切换。广义协方差是该理论微分同态不变性的起源，因此导致了深刻的概念后果[1]：物理系统既不是局部化的，也不是相对于背景时空演化的，而是相对的。因此，广义协方差已经经典地暗示坐标不是物理学中的基本概念。虽然它们对于物理的任何具体计算都是实用的在里面一个给定的时空，已经是经典的，可以用动力学自由度作为参考系来描述物理，包括动力学属于时空[1,2,三,4,5,6,7,8,9].

在量子宇宙学和量子引力中，情况变得更加极端：由于没有量化时空及其相对于背景的物质含量，因此坐标系在先验上完全不存在。因此，有必要使用动态自由度作为量子描述物理的参考系[1,2,三,4,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37]. 普通坐标系只能在半经典的大范围内从此类参考系重建。

到目前为止，量子引力和宇宙学中很少关注的一个问题是，如何建立广义协方差的量子概念，尽管它对本应量化的理论具有根本重要性。一个原因可能是量子引力中缺乏坐标和（试图）完全的微分同胚不变性。然而，从经典意义上讲，一般协方差与坐标无关，而在操作上，主要是与不同参考框架相关的描述相联系。同样，在没有坐标的情况下，量子广义协方差只能指相对于量子参考系的任意选择，在相同物理描述之间一致切换的能力。这包括空间和时间参考系统。

作为第一步，我们将在本文中用一个简单的各向同性和均匀的量子宇宙学模型来解决这个问题，为量子参考系开发一个新的框架[38,39,40,41]并在早期工程的基础上[20,21,22]. 因此，我们在此不涉及空间参考系[38,39,41]，但只有内部时间，人们通常用来定义量子宇宙学中的时间局域化[9,10,11,12,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37].

在参数化系统和宇宙学模型中，考虑使用不同的内部时间选择，例如[11,30,42,43,44]，但没有在不同的选择之间建立明确的切换。相反，所谓的多项选择问题与时间相关的问题被诊断[11,12]. 这就是所谓的问题，一般来说，没有不同的内部时间选择，内部时间的不同选择将导致统一的不公平量子理论。后来才用半经典的方法研究了不同内部时间选择之间的切换[20,21,22,45]并且，对于一组受限的选择，在减少量化的水平上[46,47,48,49]. 然而，量子广义协方差的含义仍然难以捉摸。

我们在这里的目标之一是开始从技术和概念上澄清什么是量子广义协方差，至少在量子宇宙学的简化背景下是这样的。然而，该方法和概念至少在原则上扩展到了全量子引力。为此，我将引用最近的一种统一方法来切换量子基础和引力中的量子参考系[38,39,40]. 这种方法融合了可操作的量子参考框架方法[41]中的半经典时钟开关的基本思想[20,21,22,45]以及关于“宇宙波函数”的概念性争论，以及如何在其中容纳不同的框架视角[50]. 特别是，在[40]已经表明，它提供了一种在不同选择的关系量子时钟之间切换的系统方法，下面将对此进行探讨。

中方法的关键特性[38,39,40]它确定了一个一致的量子约化过程，将狄拉克量子化理论映射到其相对于不同量子参考系选择的各种约化版本。它将狄拉克量子化的物理希尔伯特空间确定为参考系-中性量子超结构，并将各种简化量子理论确定为相对于相应参考系选择的物理描述。类似于流形上的坐标变化，人们可以通过反转给定的量子约简映射并将其与与新的参考系选择相关联的正向约简映射串联，在量子参考系的不同选择之间切换。正如坐标变化一样，这并不总是全局有效，但我认为，这是定义正则公式中量子广义协方差的结构[38,39,40]. 特别是完成承认量子广义协方差的关系量子理论是其Dirac和各种简化量子化版本的结合，就像经典理论包含约束面和简化相空间一样[40]. 通过将各种（通常是单位不相等的）简化量化联系起来，多选问题变成了一个多项选择功能完全关系量子理论[40]，就像广义协方差是广义相对论的一个特征一样。

在这项工作中，我将把这个方法应用于简单的平面Friedman-Robertson-Walker（FRW）宇宙，其中充满了无质量，齐次标量场，并展示了在经典和量子理论中，如何在选择标度因子或场作为内部时间之间进行一致切换，以及不同描述是如何明确关联的。这个模型已经成为惠勒-德维特型量子宇宙学中一个相当标准的例子[30,31,37]和环量子宇宙学[25,26,34,36]最近甚至从一个完整的量子引力理论中重建出来[27,28]. 我们的讨论将与这些方法中的每一种都相关，尽管在将该框架直接应用于后两种方法之前，需要考虑与循环量化相关的微妙之处（见后面的评论）。

在结论中，我将使用这种明确的结构来更广泛地论证量子广义协方差也需要对“宇宙波函数”的新观点。它提供了将其他子系统“看到的”子系统的量子状态与“宇宙的波函数”相关联的处理方法，将物理的框架依赖和框架依赖描述联系起来，从而提出了量子宇宙学中状态的新解释。特别是，我建议将“宇宙波函数”视为一种不允许直接物理解释的透视-中性全球状态，但它同时编码了相对于所有可能的参考系选择的所有宇宙描述，并构成了所有这些内部观点之间的关键联系。这将证实（并部分修正）早期关于解释“宇宙波函数”并使其与具有操作意义的相对状态兼容的建议[50]（另请参阅中前面的讨论[51]).

2.具有无质量标量场的平面FRW模型

考虑一个充满均匀标量场的各向同性均匀FRW宇宙

ϕ (t吨)

并用度量来描述

d日 秒^{2} = 负极 d日 {t吨}^{2} + 一^{2} (t吨) (d日 {第页}^{2} / (1 负极 k个 {第页}^{2}) + {第页}^{2} d日 Ω^{2})

，其中

一 (t吨)

是比例因数

k个 = 负极 1, 0, + 1

分别描述开放、平坦和封闭宇宙。对于以后的量化，可以方便地选择

α : = 自然对数 一

，所以

(α, ϕ) \in {R（右）}^{2}

将是我们的配置变量。这个选择也简化了哈密顿约束的形式，生成了动力学，并得出1

{C类}_{H（H）} = {第页}_{ϕ}^{2} 负极 {第页}_{α}^{2} 负极 4 k个 经验 (4 α) + 4 米^{2} ϕ^{2} 经验 (6 α)

，其中米是场的质量，例如，参见[25,26,30,31,32,33,34,35,36,37]. 为了便于说明，我们将从此将质量和曲率设置为零，

米 = k个 = 0

，使得哈密顿约束采用特别简单的Klein-Gordon形式

\begin{matrix} {C类}_{H（H）} = {第页}_{ϕ}^{2} 负极 {第页}_{α}^{2} \approx 0, \end{matrix}

（1）

其中≈表示弱等式[52,53]. 因此，我们可以等效地将动力学解释为具有无质量标量场的平坦FRW模型或1+1维的相对论粒子。

为了理解量子内部时间开关，有必要首先仔细回顾经典模型。

2.1、。经典关系动力学和内部时间开关

很明显

{第页}_{ϕ}, {第页}_{α}

是依赖的运动常数和狄拉克观测值

\begin{matrix} Λ = {第页}_{α} ϕ + {第页}_{ϕ} α, 我 = {第页}_{ϕ} ϕ + {第页}_{α} α . \end{matrix}

(2)

我们还没有选择一个时间参考来解释动力学。约束曲面

C类

由定义(1)同时对所有可能的内部时间选择进行编码，这也反映在其描述的冗余中，并构成一个内部时间中性超结构[40]（另请参见[38,39]). 像这样的，

C类

它本身不允许解释为相对于参考系所描述的物理；它也不是一个相空间，而是一个前符号流形。

使用

Λ

或我，我们可以建造关系的狄拉克观测值[1,三,5,6,7,8,9,14,15,16,17,18,19,20,21,22,40]以各种方式。为了简单起见，我们选择

α, ϕ

作为内部时间，利用它们的全局单调性。对于符号的紧凑性，用表示e（电子）和t吨进化自由度和时钟配置自由度，分别为

e（电子） = ϕ

和

t吨 = α

反之亦然。描述e（电子）关于t吨可以通过计算

Λ = {第页}_{α} ϕ + {第页}_{ϕ} α

沿着由

{C类}_{H（H）}

（带流量参数秒)并注意到

Λ

是一个运动常数，产生

\begin{matrix} e（电子） (τ) : = e（电子） (秒) |_{t吨 (秒) = τ} = \frac{1}{{第页}_{t吨}} (Λ 负极 {第页}_{e（电子）} τ) = 负极 \frac{{第页}_{e（电子）}}{{第页}_{t吨}} (τ 负极 t吨) + e（电子） . \end{matrix}

(3)

（情况完全对称

α

和

ϕ

）Dirac观测值的这个参数族给出了e（电子）当时钟t吨读取

τ

.我们必须小心地调整

{第页}_{t吨}

在随后的约化相空间和量子理论中。虽然这是可以做到的[40]，可以方便地在不断变化的自由度中进行变量更改，以避免这些复杂情况。而不是标准对

(e（电子）, {第页}_{e（电子）})

，我们将从此着眼于仿射一对

(E类 : = e（电子） {第页}_{e（电子）}, {第页}_{e（电子）})

，令人满意

{E类, {第页}_{e（电子）}} = {第页}_{e（电子）}

，关于t吨。这相当于评估我而不是

Λ

和产量

\begin{matrix} E类 (τ) : = E类 (秒) |_{t吨 (秒) = τ} \approx 我 负极 {第页}_{t吨} τ = 负极 {第页}_{t吨} (τ 负极 t吨) + E类, {第页}_{e（电子）} (τ) : = {第页}_{e（电子）} (秒) |_{t吨 (秒) = τ} = {第页}_{e（电子）}, \end{matrix}

(4)

这样我们就不会担心任何奇怪的行为。

我们希望通过简化从动态变量中删除冗余的时钟自由度[40]. 为此，可以方便地进行因子分解(1),

\begin{matrix} {C类}_{H（H）} = 秒_{t吨} {C类}_{+}^{t吨} {C类}_{负极}^{t吨}, {C类}_{\pm}^{t吨} : = {第页}_{t吨} \pm {小时}_{e（电子）}, {小时}_{e（电子）} : = | {第页}_{e（电子）} |, 秒_{t吨} : = \{\begin{matrix} + 1, & t吨 = ϕ, \\ 负极 1, & t吨 = α . \end{matrix} \end{matrix}

(5)

{小时}_{e（电子）}

将扮演哈密顿量的角色。我们有以下情况：

（i）: 打开 ${C类}_{\pm}^{t吨} \subset C类$ ，由定义 ${C类}_{\pm}^{t吨} = 0$ 和 ${第页}_{t吨} \neq 0$ ，我们有

$\begin{matrix} \frac{d日 \cdot}{d日秒} = {\cdot, {C类}_{H（H）}} \approx \mp 2 秒_{t吨} {小时}_{e（电子）} {\cdot, {C类}_{\pm}^{t吨}}, \end{matrix}$

(6)

以便 ${C类}_{\pm}^{t吨}$ 在上生成动力学 ${C类}_{\pm}^{t吨}$ .自 ${小时}_{e（电子）} > 0$ ，产生的流量 ${C类}_{+}^{t吨}$ 和 ${C类}_{负极}^{t吨}$ 与 ${C类}_{H（H）}$ 分别针对 $t吨 = ϕ$ 与 ${C类}_{H（H）}$ 分别针对 $t吨 = α$ 也就是说， $ϕ$ 在上“向后”运行 ${C类}_{+}^{ϕ}$ 并在上“转发” ${C类}_{负极}^{ϕ}$ ，同时 $α$ 展开于 ${C类}_{+}^{α}$ 和合同 ${C类}_{负极}^{α}$ 在量子理论中，向后/扩展和向前/收缩将分别对应于正频率解和负频率解。
（ii）: 套装 ${第页}_{α} = {第页}_{ϕ} = 0$ 是之间的共享边界 ${C类}_{+}^{ϕ}$ 和 ${C类}_{负极}^{ϕ}$ ，以及 ${C类}_{+}^{α}$ 和 ${C类}_{负极}^{α}$ 。请注意，使用 ${第页}_{α} = {第页}_{ϕ} = 0$ 都是点 $C类$ 因此后者是由不同维的规范轨道分层的。自 $d日 {C类}_{H（H）} = 0$ 对于 ${第页}_{α} = {第页}_{ϕ} = 0$ 没有固定轨距的表面可以穿透每个这样的轨距轨道一次且只能穿透一次。

情况概述如下图1为了方便起见。

打开

{C类}_{\pm}^{t吨}

因此我们可以使用

{C类}_{\pm}^{t吨}

作为进化生成器及其关系的动力学相当于

{C类}_{H（H）}

确实如此

{C类}_{\pm}^{t吨}

我们发现(

秒_{\pm}

表示的流量参数

{C类}_{\pm}^{t吨}

):

\begin{matrix} {E类}_{\pm} (τ) : = E类 (秒_{\pm}) |_{t吨 (秒_{\pm}) = τ} = \pm | {第页}_{e（电子）} | (τ 负极 t吨) + E类, {第页}_{e（电子） \pm} (τ) : = {第页}_{e（电子）} (秒_{\pm}) |_{t吨 (秒_{\pm}) = τ} = {第页}_{e（电子）}, \end{matrix}

(7)

哪个是(4)解决后(1). 关系Dirac观测值是规范限制量的规范不变扩张[5,6,40,53]，我们现在可以测量并固定时钟，例如。，

t吨 = 0

并进行评估(7)在这个表面上

{G公司}_{t吨 = 0}

不会丢失动态信息。这将产生两个独立的缩减相空间

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ≃ {\bar{C类}}_{\pm}^{t吨} \cap {G公司}_{t吨 = 0}

对于正/负频率模式，其中

{\bar{C类}}_{\pm}^{t吨}

是

{C类}_{\pm}^{t吨}

包括其边界

{第页}_{α} = {第页}_{ϕ} = 0

当然，由于（ii）这些规范固定的约化相空间将错过所有具有

{第页}_{α} = {第页}_{ϕ} = 0

和

t吨 \neq 0

他们的联盟也是如此不与轨道空间重合

C类 / \sim

，其中～表示同一轨道上的点。我们稍后对此进行评论。

任何函数的Dirac括号

F类, G公司

在

{C类}_{\pm}^{t吨}

读取

\begin{matrix} {F类, G公司}_{{D类}_{\pm}} = {F类, G公司} 负极 {F类, {C类}_{\pm}^{t吨}} {t吨, G公司} + {F类, t吨} {G公司, {C类}_{\pm}^{t吨}} . \end{matrix}

(8)

所有涉及冗余时钟变量的Dirac支架

(t吨, {第页}_{t吨})

消失，因此可以删除。此外，仿射括号

\begin{matrix} {E类, {第页}_{e（电子）}}_{{D类}_{\pm}} \equiv {E类, {第页}_{e（电子）}} = {第页}_{e（电子）} \end{matrix}

(9)

到处都有明确的定义。相比之下，规范

{e（电子）, {第页}_{e（电子）}}_{{D类}_{\pm}}

为未定义

{第页}_{e（电子）} = 0

因此，我们认为

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

通过仿射代数进行基本定义(9). 然后我们可以定义

e（电子） : = E类 / {第页}_{e（电子）}

在

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

，生成派生的典型关系

{e（电子）, {第页}_{e（电子）}}_{{D类}_{\pm}} = 1

.

打开

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

关系观测值(7)成为

\begin{matrix} {E类}_{\pm} (τ) = \pm | {第页}_{e（电子）} | τ + E类, {第页}_{e（电子） \pm} (τ) = {第页}_{e（电子）}, \end{matrix}

(10)

并满足以下运动方程

\begin{matrix} \frac{d日 {E类}_{\pm}}{d日 τ} = \pm | {第页}_{e（电子）} | = {{E类}_{\pm}, \pm {小时}_{e（电子）}}_{{D类}_{\pm}} \frac{d日 {第页}_{{e（电子）}_{\pm}}}{d日 τ} = 0 = {{第页}_{{e（电子）}_{\pm}}, \pm {小时}_{e（电子）}}_{{D类}_{\pm}}, \end{matrix}

(11)

由物理哈密顿量生成

\pm {小时}_{e（电子）}

.

现在，这可以真正解释为相对于时钟所描述的进化t吨作为参考系，它已经动态冗余，并且正在进化参数

τ

（另请参阅[40]). 还要注意，被忽略轨道的被测零集区分（的并集）

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

从轨道空间来看，关系动力学是多余的。事实上，被忽略的轨道对应于具有

{第页}_{α} = {第页}_{ϕ} = 0

和

t吨 \neq 0

，其中

(E类, {第页}_{e（电子）})

是直接独立的观测值。然而，他们的所有信息都已经编码在(10)：用于

{第页}_{e（电子）} = 0

,

{E类}_{\pm} (τ) = E类

不依赖于

τ

，但它会遍历所有可能的值t吨因此，在物理上有理由使用规范固定的缩减相空间

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

而不是抽象的简化相空间

C类 / \sim

我们还将看到狄拉克和约化量子化理论之间的关系与这个观察结果是一致的。

接下来，我们交换以下角色e（电子）和t吨，即我们切换到使用e（电子）作为时钟和t吨作为一个不断变化的变量[40]. 相应的约化相空间之间的对应映射

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

和

{P（P）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}

涉及由

{C类}_{H（H）}

哪些地图

C类 \cap {G公司}_{t吨 = 0}

到，例如。，

C类 \cap {G公司}_{e（电子） = 0}

.求解由

{C类}_{H（H）}

，人们很容易发现必须流动一个参数距离

秒 = 秒_{t吨} {t吨}_{0} / 2 {第页}_{t吨}

在里面

C类

，其中

{t吨}_{0}

是转换之前的时钟值。删除冗余变量后，将生成以下映射2

\begin{matrix} {S公司}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} : {P（P）}_{+}^{e（电子） (t吨)} \to {P（P）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}, (E类, {第页}_{e（电子）}) \mapsto (T型 = E类, {第页}_{t吨} = 负极 | {第页}_{e（电子）} |), \\ {S公司}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{\pm}} : {P（P）}_{负极}^{e（电子） (t吨)} \to {P（P）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}, (E类, {第页}_{e（电子）}) \mapsto (T型 = E类, {第页}_{t吨} = + | {第页}_{e（电子）} |), \end{matrix}

(12)

哪里

T型 = t吨 {第页}_{t吨}

是时钟切换后的进化仿射变量。请注意，规格转换保留

{C类}_{我}^{α} †========================================================================================= {C类}_{j个}^{ϕ}

,

我, j个 = +, 负极

，即图1因此，例如。，

{S公司}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}}

映射

{第页}_{e（电子）} < 0

和

{第页}_{e（电子）} > 0

一半

{P（P）}_{+}^{e（电子） (t吨)}

上的

{第页}_{t吨} < 0

一半

{P（P）}_{+}^{t吨 (e（电子）)}

和

{P（P）}_{负极}^{t吨 (e（电子）)}

等等（例如，

{S公司}_{α_{+} \to ϕ_{负极}}

从“向前扩展”扇区的描述切换（中的绿色象限图1)相对于

α

相对于其描述

ϕ

.）考虑到这一点，尽管时钟切换，人们还是获得了“持续”的关系演变：使用(10)和设置

τ_{e（电子）}^{我} = {E类}_{+} (τ_{t吨}^{（f）}) / {第页}_{e（电子）} = : {e（电子）}_{+} (τ_{t吨}^{（f）})

作为新时钟的初始值e（电子）时钟开关后，其中

τ_{t吨}^{（f）}

是旧钟的最终价值t吨在此之前，人们总是会发现三

\begin{matrix} {T型}_{\pm} (τ_{e（电子）}^{我}) = {第页}_{t吨} τ_{t吨}^{（f）}, 在 {P（P）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)} . \end{matrix}

(13)

稍后我们将看到这方面的量子模拟。我们强调，由于中间轨距变换，时钟开关通过内部时间中性点进行

C类

[40].

2.2. 相对于内部时间选择的简化量化

我们首先对规范固定的约化相空间进行量化

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

这个模型宇宙。随后，我们将链接各种简化量子理论通过内时-中性狄拉克量子化理论。为了简单起见，我们在Dirac程序中使用了Wheeler-DeWitt公式，但我们注意到，这个FRW模型的环路量化可以转换为非常相似的形式（模观测值）[34]. 因此，很有希望下面的内部时间转换框架可以适用于循环量子宇宙学。然而，在这样做之前，必须克服与循环量化相关的微妙之处，我在结论中对此进行了简要评论。

由于沿途我们将遇到几个希尔伯特空间和变换，因此我们总结了各种经典和量子约简步骤及其在图2以获取指导。

回想一下

{P（P）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

通过仿射代数定义(9). 然而，它等价于用仿射或标准规范方法量化这些相空间。我们推广Dirac支架

{., .}_{{D类}_{\pm}}

换向器

[., .]

和

(e（电子）, {第页}_{e（电子）})

共轭或

(E类, {第页}_{e（电子）})

Hilbert空间上的仿射相关算子

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} : = 我^{2} (R（右）)

在正则动量表示中，我们将状态表示为

\begin{matrix} {| ψ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} d日 {第页}_{e（电子）} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) {| {第页}_{e（电子）} 〉}_{e（电子）}, \end{matrix}

(14)

内积为

\begin{matrix} {〈 ψ | χ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} d日 {第页}_{e（电子）} {[ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）})]}^{*} χ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}), \end{matrix}

(15)

{\hat{第页}}_{e（电子）}

作为一个乘法运算符，配置可观察为4

\begin{matrix} \hat{e（电子）} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) = 我 \partial_{{第页}_{e（电子）}} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}), \hat{E类} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) = 我 ({第页}_{e（电子）} \partial_{{第页}_{e（电子）}} + \frac{1}{2}) ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) . \end{matrix}

(16)

这些是自伴随的，对于具有

林_{{第页}_{e（电子）} \to \pm \infty} \sqrt{| {第页}_{e（电子）} |} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) = 0

我们可以等效地使用

\hat{e（电子）}

或

\hat{E类}

这也满足了

\hat{E类} = \frac{1}{2} (\hat{e（电子）} {\hat{第页}}_{e（电子）} + {\hat{第页}}_{e（电子）} \hat{e（电子）})

.5演变中的观测值(10)成为

\begin{matrix} {\hat{E类}}_{\pm} (τ) = \pm | {\hat{第页}}_{e（电子）} | τ + \hat{E类}, {\hat{第页}}_{e（电子） \pm} (τ) = {\hat{第页}}_{e（电子）}, \end{matrix}

（17）

用哈密顿量满足海森堡方程

\hat{H（H）} = \pm {\hat{小时}}_{e（电子）} = \pm | {\hat{第页}}_{e（电子）} |

在

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

\begin{matrix} \frac{d日 {\hat{E类}}_{\pm}}{d日 τ} = \pm | {\hat{第页}}_{e（电子）} | = 负极 我 [{\hat{E类}}_{\pm}, \hat{H（H）}] \frac{d日 {\hat{第页}}_{{e（电子）}_{\pm}}}{d日 τ} = 0 = 负极 我 [{\hat{第页}}_{{e（电子）}_{\pm}}, \hat{H（H）}] . \end{matrix}

(18)

2.3. 内部时间中性狄拉克量子化

我们继续使用狄拉克量子化（参见图2)，正在升级

(α, {第页}_{α})

和

(ϕ, {第页}_{ϕ})

到运动学Hilbert空间上的共轭算子

{H（H）}_{家属} : = 我^{2} ({R（右）}^{2})

.量子约束的解决方案

\begin{matrix} {\hat{C类}}_{H（H）} {| ψ 〉}_{物理} = ({\hat{第页}}_{ϕ}^{2} 负极 {\hat{第页}}_{α}^{2}) {| ψ 〉}_{物理} \overset{!}{=} 0 . \end{matrix}

(19)

将定义物理希尔伯特空间

{H（H）}_{物理}

.使用组平均值[23,38,39,40,54,55,56,57],

{| ψ 〉}_{物理} = δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) {| ψ 〉}_{家属}

，并使用运动波函数进行动量表示

ψ_{家属} ({第页}_{ϕ}, {第页}_{α}

)，我们发现物理状态的形式

\begin{matrix} {| ψ 〉}_{物理} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{2 | {第页}_{e（电子）} |} [ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) | 负极 | {第页}_{e（电子）} | 〉_{t吨} | {第页}_{e（电子）} 〉_{e（电子）} + ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (| {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) | | {第页}_{e（电子）} | 〉_{t吨} {| {第页}_{e（电子）} 〉}_{e（电子）}] \end{matrix}

(20)

物理内积为

\begin{matrix} {〈 ψ | χ 〉}_{物理} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{2 | {第页}_{e（电子）} |} [{(ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}))}^{*} χ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) + {(ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (| {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}))}^{*} χ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (| {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）})], \end{matrix}

(21)

我们在哪里设置了符号的紧凑性

\begin{matrix} ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{t吨} = \mp | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) : = \{\begin{matrix} ψ_{家属} (\mp | {第页}_{α} |, {第页}_{α}), & t吨 = ϕ, e（电子） = α, \\ ψ_{家属} ({第页}_{ϕ}, \mp | {第页}_{ϕ} |), & t吨 = α, e（电子） = ϕ . \end{matrix} \end{matrix}

(22)

情况完全对称

α

和

ϕ

我们将利用这一点进行内部时间切换。对于解释，需要注意的是，状态的位置表示为

\begin{matrix} ψ_{物理}^{\pm} (e（电子）, t吨) = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{4 π | {第页}_{e（电子）} |} {e（电子）}^{我 (\mp | {第页}_{e（电子）} | t吨 + {第页}_{e（电子）} e（电子）)} ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (\mp | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}), \end{matrix}

(23)

哪里

ψ_{物理}^{\pm}

是Klein-Gordon方程的正/负频率解。很容易说服自己

\begin{matrix} {〈 ψ | χ 〉}_{物理} = 2 π [{(ψ_{物理}^{+}, χ_{物理}^{+})}_{公斤} 负极 {(ψ_{物理}^{负极}, χ_{物理}^{负极})}_{公斤}], \end{matrix}

(24)

哪里

{(ψ, χ)}_{公斤} = 我 \int d日 e（电子） (ψ^{*} \partial_{t吨} χ 负极 (\partial_{t吨} ψ^{*}) χ)

是通常的Klein-Gordon内积，其中正负频率解是正交的（另请参见[54]). 物理状态和内积因此分解为正负频率模式的总和。它源自图1那是为了

e（电子） = α

和

t吨 = ϕ

正/负频率解对应于

ϕ

相反，对于

e（电子） = ϕ

和

t吨 = α

，正/负频率解决方案对应于相对于扩张/收缩的演变

α

.忽略负频率解决方案是标准的（通常也是合理的）[25,26,34]; 在这里，我们不应该这样做，因为当切换内部时间时，它们会很有趣。特别是，使用(21)和图1物理状态的正负频率部分

e（电子） = α

与相同物理状态的正负频率部分重叠

e（电子） = ϕ

.

选择对称排序，关系Dirac可观察性(4)被量化为

\begin{matrix} \hat{E类} (τ) = 负极 {\hat{第页}}_{t吨} τ + \frac{1}{2} ({\hat{第页}}_{t吨} \hat{t吨} + \hat{t吨} {\hat{第页}}_{t吨} + \hat{e（电子）} {\hat{第页}}_{e（电子）} + {\hat{第页}}_{e（电子）} \hat{e（电子）}) + 我 = 负极 {\hat{第页}}_{t吨} τ + \hat{t吨} {\hat{第页}}_{t吨} + {\hat{第页}}_{e（电子）} \hat{e（电子）} + 我, {\hat{第页}}_{e（电子）} (τ) = {\hat{第页}}_{e（电子）} \end{matrix}

(25)

和通勤

{\hat{C类}}_{H（H）}

; 然而，

\hat{E类} (τ)

只有这样做了

{H（H）}_{物理}

这也是为什么

+ 我

术语，确保

\hat{E类} (τ)

就(21)并最终在

{H（H）}_{物理}

，请参阅附录A.

与古典音乐相似

C类

，我提议

{H（H）}_{物理}

作为内部时间-中性量子结构[40]. 在狄拉克量子化理论中，我们还没有选择一个时间参考系来解释动力学。这反映在状态表示的冗余上(20)，内部产品(21)和关系观测值(25); 我们还没有决定是否

t吨 = α

或

ϕ

我们可以选择一个完全不同的内部时间。正如

C类

,

{H（H）}_{物理}

一次对所有内部时钟选择进行编码，它没有海森堡演化方程用于关系观测。

2.4. 量子约化：从狄拉克到约化量子化

接下来，我们执行量子约化过程，将狄拉克映射到各种约化量子化理论[38,39,40]并最终允许我们在量子理论中切换内部时间。与经典情况类似，其进行如下（参见图2)：（i）选择内部时间；（ii）淡化对内部时间的限制，使其冗余；（iii）投射到与内部时间选择相对应的经典轨距固定条件上，以消除冗余。

我们定义平凡化图

\begin{matrix} {T型}_{t吨} : = {T型}_{t吨 +} + {T型}_{t吨 负极}, {T型}_{t吨 \pm} : = 经验 (\pm 我 \hat{t吨} ({\hat{小时}}_{e（电子）} 负极 ϵ)) θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}), \end{matrix}

(26)

哪里

θ (0) = \frac{1}{2}

θ函数将正负频率模式分开，转换类似于t吨时间，但后者显示为运算符。因此，

{T型}_{t吨}

做不与…通勤

{\hat{C类}}_{H（H）}

和地图

{H（H）}_{物理}

到一个新的希尔伯特空间

{H（H）}_{物理}^{e（电子） (t吨)} : = {T型}_{t吨} ({H（H）}_{物理})

.使用工具[40]，可以检查它的反转

{T型}_{t吨}^{负极 1} : {H（H）}_{物理}^{e（电子） (t吨)} \to {H（H）}_{物理}

由提供

\begin{matrix} {T型}_{t吨}^{负极 1} : = {T型}_{t吨 +}^{负极 1} + {T型}_{t吨 负极}^{负极 1}, {T型}_{t吨 \pm}^{负极 1} : = 经验 (\mp 我 \hat{t吨} ({\hat{小时}}_{e（电子）} 负极 ϵ)) θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}) . \end{matrix}

(27)

并且满足

{T型}_{t吨}^{负极 1} {T型}_{t吨} = θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + θ ({\hat{第页}}_{t吨}) = 𝟙

只有在

{H（H）}_{物理}

和只有对于

ϵ > 0

.参数的作用

ϵ

就是这样渲染(26)可逆的。

的键属性(26)是它淡化了

{\hat{C类}}_{H（H）}

到时钟变量。更准确地说，

\begin{matrix} {T型}_{t吨 \pm} {\hat{C类}}_{\pm}^{t吨} {T型}_{t吨 \pm}^{负极 1} = ({\hat{第页}}_{t吨} \pm ϵ) θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}), {T型}_{t吨 \mp} {\hat{C类}}_{\pm}^{t吨} {T型}_{t吨 \mp}^{负极 1} = ({\hat{第页}}_{t吨} \pm 2 {\hat{小时}}_{e（电子）} \mp ϵ) θ (\pm {\hat{第页}}_{t吨}), \end{matrix}

(28)

等等

{T型}_{t吨 \pm}

使琐碎

{\hat{C类}}_{\pm}^{t吨}

来自(5)在正/负频率扇区只有在转换时作用于时钟变量。一起

\begin{matrix} {T型}_{q个} {\hat{C类}}_{H（H）} {T型}_{q个}^{负极 1} = 秒_{t吨} ({\hat{第页}}_{t吨} 负极 2 {\hat{小时}}_{e（电子）} + ϵ) ({\hat{第页}}_{t吨} + ϵ) θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + 秒_{t吨} ({\hat{第页}}_{t吨} + 2 {\hat{小时}}_{e（电子）} 负极 ϵ) ({\hat{第页}}_{t吨} 负极 ϵ) θ ({\hat{第页}}_{t吨}) . \end{matrix}

(29)

因此，发现

{H（H）}_{物理}^{e（电子） (t吨)}

在表单中

\begin{matrix} {| ψ 〉}_{物理}^{e（电子） (t吨)} : = {T型}_{t吨} {| ψ 〉}_{物理} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{2 | {第页}_{e（电子）} |} [ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) {| 负极 ϵ 〉}_{t吨} | {第页}_{e（电子）} 〉_{e（电子）} + ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (| {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) {| ϵ 〉}_{t吨} {| {第页}_{e（电子）} 〉}_{e（电子）}] . \end{matrix}

(30)

因此，除了区分正/负频率扇区外，状态的时钟时隙也变得多余了。很容易说服自己

{T型}_{t吨}

构成等距

{H（H）}_{物理}

到

{H（H）}_{物理}^{e（电子） (t吨)}

.

经过简单的计算，我们发现关系型狄拉克观测值(25)如下转换为

{H（H）}_{物理}^{e（电子） (t吨)}

:

\begin{matrix} {T型}_{t吨} \hat{E类} (τ) {T型}_{t吨}^{负极 1} & = & (| {\hat{第页}}_{e（电子）} | τ + {\hat{第页}}_{e（电子）} \hat{e（电子）} + 我) θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + (负极 | {\hat{第页}}_{e（电子）} | τ + {\hat{第页}}_{e（电子）} \hat{e（电子）} + 我) θ ({\hat{第页}}_{t吨}), \\ {T型}_{t吨} {\hat{第页}}_{e（电子）} (τ) {T型}_{t吨}^{负极 1} & = & {\hat{第页}}_{e（电子）} θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + {\hat{第页}}_{e（电子）} θ ({\hat{第页}}_{t吨}) . \end{matrix}

(31)

在各自的正/负频率扇区上，这些几乎与减少的演变观测值一致(17)上的

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

.

为了完成量子约简

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

我们注意到以下几点：

\begin{matrix} {〈 ψ | χ 〉}_{物理} \equiv \frac{1}{2} {〈 ψ | χ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)} + \frac{1}{2} {〈 ψ | χ 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}, \end{matrix}

(32)

哪里

{〈 ψ | χ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

是内积(15)，提供了

\begin{matrix} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) : = \frac{ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (\mp | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）})}{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} . \end{matrix}

(33)

因此，约化状态本质上是与约束的正/负频率解相关联的牛顿-韦纳波函数(19). 然而，有一个小的区别：通常情况下，仅限于正频率解，在这种情况下，Newton-Winer波函数包含一个附加因子

1 / \sqrt{2}

[58]. 这意味着

{〈 ψ | χ 〉}_{物理} \equiv {〈 ψ | χ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)}

虽然可以做到这一点，但这里我们不应丢弃负频率模式，因为它们在物理上也很有趣，特别是在宇宙学中切换内部时间时，请参见图1（例如，我们将在

ϕ

). 因此，我们保持了(33)，以便正负频率模式可以同时归一化。

现在很容易看出，通过对度量进行额外的转换

\begin{matrix} \hat{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} {T型}_{t吨} {| ψ 〉}_{物理} = \frac{1}{2} {| 负极 ϵ 〉}_{t吨} {| ψ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)} + \frac{1}{2} {| + ϵ 〉}_{t吨} {| ψ 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}, \end{matrix}

(34)

我们可以识别

{| ψ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

具有简化状态(14)上的

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

.我们还恢复了减少的演变观测值(17)在相应的扇区中（此处为

+ 我

中的术语(25)至关重要）

\begin{matrix} \begin{matrix} \hat{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} {T型}_{t吨} \hat{E类} (τ) {T型}_{t吨}^{负极 1} \hat{{(\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |})}^{负极 1}} & = & (| {\hat{第页}}_{e（电子）} | τ + \hat{E类}) θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + (负极 | {\hat{第页}}_{e（电子）} | τ + \hat{E类}) θ ({\hat{第页}}_{t吨}) \\ = & {\hat{E类}}_{+} (τ) θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + {\hat{E类}}_{负极} (τ) θ ({\hat{第页}}_{t吨}), \\ \hat{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} {T型}_{t吨} {\hat{第页}}_{e（电子）} (τ) {T型}_{t吨}^{负极 1} \hat{{(\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |})}^{负极 1}} & = & {\hat{第页}}_{e（电子）} θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) + {\hat{第页}}_{e（电子）} θ ({\hat{第页}}_{t吨}) . \end{matrix} \end{matrix}

(35)

投影到经典规范固定条件

t吨 = 0

，类似于Page-Wootters结构[59]，删除多余的时钟槽，并最终生成简化理论的状态

\begin{matrix} {| ψ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = 2 \sqrt{2 π}_{t吨} 〈 t吨 = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}) \hat{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} {T型}_{t吨} {| ψ 〉}_{物理} . \end{matrix}

(36)

这个投影与可观测值和内积相一致。它的图像是海森堡的照片

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

; 例如(36)可以解释为初始状态

t吨 = 0

这就完成了从狄拉克量子化理论到相对于内部时间的约化理论的量子约化t吨，请参阅图2.

2.5. 量子内部时间开关

这个量子约简过程现在使我们能够从关系量子动力学切换到t吨相对于e（电子）[40]. 正如经典案例一样，我们可以互换t吨和e（电子）下面是它的量子模拟。类似于流形上的坐标变化，我们必须反转与t吨并将其与关联的e（电子）。这将从简化的希尔伯特空间映射

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

通过内部时间-中性

{H（H）}_{物理}

到

{H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}

:

\begin{matrix} \begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} : {H（H）}_{+}^{e（电子） (t吨)} \to {H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)} \\ {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} : = 2 \sqrt{2 π}_{e（电子）} 〈 e（电子） = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}) \hat{\sqrt{| {\hat{第页}}_{t吨} |}} {T型}_{e（电子） \pm} {T型}_{t吨 +}^{负极 1} \hat{{(\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |})}^{负极 1}} \frac{| {第页}_{t吨} = 负极 ϵ 〉_{t吨}}{2} \otimes, \end{matrix} \end{matrix}

(37)

哪里

{T型}_{e（电子）}

与相同(26)，除了那个t吨和e（电子）互换。在这里，

| {第页}_{t吨} = 负极 ϵ 〉_{t吨} \otimes

平均张量输入状态

{| ψ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)}

使用该系数，相当于恢复轨距不变性

| {第页}_{t吨} = 负极 ϵ 〉_{t吨} = 1 / \sqrt{2 π} \int d日 t吨 经验 (负极 我 t吨 ϵ) {| t吨 〉}_{t吨}

经典定规条件下的平均值

t吨 = c（c） o个 n个 秒 t吨

类似地，对于负频率模式，我们有

\begin{matrix} \begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{\pm}} : {H（H）}_{负极}^{e（电子） (t吨)} \to {H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)} \\ {\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{\pm}} : = 2 \sqrt{2 π}_{e（电子）} 〈 e（电子） = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}) \hat{\sqrt{| {\hat{第页}}_{t吨} |}} {T型}_{e（电子） \pm} {T型}_{t吨 负极}^{负极 1} \hat{{(\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |})}^{负极 1}} \frac{| {第页}_{t吨} = + ϵ 〉_{t吨}}{2} \otimes, \end{matrix} \end{matrix}

(38)

很明显，与经典情况一样，内部时间开关必须保持以下四个象限图1的确，在附录B我们证明了这一点

\begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} {| ψ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)} = θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) {| ψ 〉}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}, {\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{\pm}} {| ψ 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)} = θ ({\hat{第页}}_{t吨}) {| ψ 〉}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}, \end{matrix}

(39)

其中方程左侧和右侧的简化状态对应于(33)到相同的物理状态。我们还演示了附录B复杂的表情(37)和(38)大大简化，相当于

\begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} \equiv {P（P）}_{{e（电子）}_{\pm} \to {t吨}_{+}} θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}), {\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{\pm}} \equiv {P（P）}_{{e（电子）}_{\pm} \to {t吨}_{负极}} θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}), \end{matrix}

(40)

我们介绍了时钟开关操作器

\begin{matrix} {P（P）}_{{e（电子）}_{\pm} \to {t吨}_{+}} | {第页}_{e（电子）} 〉_{e（电子）} : = | 负极 | {第页}_{e（电子）} | 〉_{t吨}, {P（P）}_{{e（电子）}_{\pm} \to {t吨}_{负极}} | {第页}_{e（电子）} 〉_{e（电子）} : = {| | {第页}_{e（电子）} | 〉}_{t吨} \end{matrix}

(41)

与…相似[40]和平价互换运营商[38,41].

量子时钟开关过程可以用一个交换图来概括：

和类似的(38). 注意，量子时钟开关因此具有以下结构

φ_{e（电子）} \circ φ_{t吨}^{负极 1}

坐标变换，其中内部时间为中性

{H（H）}_{物理}

承担“歧管”的角色。这是广义协方差量子概念的适当结构，它涉及到相对于不同量子参考系的物理描述之间的切换，支持[38,39,40].

逆时钟开关e（电子）到t吨由于问题的对称性，除必须将e（电子）和t吨到处都是标签。现在很容易检查基本观测值是如何从

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

到

{H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}

:

\begin{matrix} \begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{\pm} \to {e（电子）}_{+}} \hat{E类} {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{\pm}} & = & \hat{T型} θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}), {\hat{S公司}}_{{t吨}_{\pm} \to {e（电子）}_{+}} {\hat{第页}}_{e（电子）} {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{\pm}} = \pm {\hat{第页}}_{t吨} θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}), \\ {\hat{S公司}}_{{t吨}_{\pm} \to {e（电子）}_{负极}} \hat{E类} {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{负极} \to {t吨}_{\pm}} & = & \hat{T型} θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}), {\hat{S公司}}_{{t吨}_{\pm} \to {e（电子）}_{负极}} {\hat{第页}}_{e（电子）} {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{负极} \to {t吨}_{\pm}} = \mp {\hat{第页}}_{t吨} θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}) . \end{matrix} \end{matrix}

(42)

请注意

{\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{\pm}}

是

θ (负极 {\hat{第页}}_{e（电子）}) ({H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)})

以便在第一行设置

{\hat{第页}}_{e（电子）} = 负极 | {\hat{第页}}_{e（电子）} |

类似地，在第二行中可以设置

{\hat{第页}}_{e（电子）} = | {\hat{第页}}_{e（电子）} |

很明显(42)正是对应的约化相空间之间经典映射的量子版本(12)通过规范变换得到。虽然量子理论中没有规范变换（除了

{H（H）}_{家属}

) [38,39,40]，这是它们的量子模拟。

这些关系允许我们转换简化的关系观测值(17)来自

{H（H）}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}

到

{H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}

:

\begin{matrix} \begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{\pm} \to {e（电子）}_{+}} {\hat{E类}}_{\pm} (τ_{t吨}) {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{\pm}} & = & (\pm | {\hat{第页}}_{t吨} | τ_{t吨} + \hat{T型}) θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}), \\ {\hat{S公司}}_{{t吨}_{\pm} \to {e（电子）}_{负极}} {\hat{E类}}_{\pm} (τ_{t吨}) {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{负极} \to {t吨}_{\pm}} & = & (\pm | {\hat{第页}}_{t吨} | τ_{t吨} + \hat{T型}) θ (\mp {\hat{第页}}_{t吨}) \end{matrix} \end{matrix}

(43)

(

{\hat{第页}}_{{e（电子）}_{\pm}} (τ_{t吨})

已在中转换(42)). 右侧是不

{\hat{T型}}_{\pm} (τ_{e（电子）})

尽管看起来很像，但由于

τ_{t吨}

，它超过了t吨，而不是

τ_{e（电子）}

，它超过了e（电子）相反，它是

{\hat{E类}}_{\pm} (τ_{t吨})

在

{H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}

并可用于设置初始值

τ_{e（电子）}^{我}

对于e（电子）在时钟开关之后。

与经典情况相反，考虑到

{\hat{E类}}_{\pm}

现在是操作员。然而，与经典情况类似，我们可以定义初始读数

τ_{e（电子）}^{我}

新时钟的e（电子）就期望值而言，例如：

\begin{matrix} τ_{e（电子）}^{我} : = \frac{{〈 {\hat{E类}}_{\pm} (τ_{t吨}^{（f）}) 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}}{{〈 {\hat{第页}}_{e（电子）} 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}} . \end{matrix}

(44)

事实上，我们证明了附录C这正好导致了经典的“连续性”关系(13)就期望值而言

\begin{matrix} {〈{\hat{T型}}_{\pm} (τ_{e（电子）}^{我})〉}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)} = τ_{t吨}^{（f）} {〈 {\hat{第页}}_{t吨} 〉}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)} 在 {H（H）}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)}, \end{matrix}

(45)

因此，人们也发现了一个连续的量子关系进化，尽管中间有时钟开关。

2.6. 混凝土状态图解

让我们以示例状态简要说明这个内部时间开关。我们选择了半经典运动状态，根据椭圆相干态的配方构建[60]（并调整标准化）：

\begin{matrix} ψ_{家属} ({第页}_{ϕ}, {第页}_{α}) = \sqrt{\frac{2}{Γ (n个)}} {({第页}_{ϕ} + 我 {第页}_{α})}^{n个} 经验 (负极 \frac{{第页}_{α}^{2} + {第页}_{ϕ}^{2}}{2}) . \end{matrix}

(46)

为了具体起见，我们限制在图1，我们在哪里

{第页}_{α} = 负极 {第页}_{ϕ} \leq 0

所以一个不断膨胀的宇宙

ϕ

.使用Newton-Winer类型标识(33)，这给出了关于

θ (负极 {\hat{第页}}_{α}) ({H（H）}_{负极}^{α (ϕ)})

和

θ ({\hat{第页}}_{ϕ}) ({H（H）}_{+}^{ϕ (α)})

分别为，

\begin{matrix} ψ_{负极}^{α (ϕ)} ({第页}_{α}) = \sqrt{\frac{2}{Γ (n个) | {第页}_{α} |}} {第页}_{α}^{n个} {(我 负极 1)}^{n个} 经验 (负极 {第页}_{α}^{2}), ψ_{+}^{ϕ (α)} ({第页}_{ϕ}) = \sqrt{\frac{2}{Γ (n个) {第页}_{ϕ}}} {第页}_{ϕ}^{n个} {(我 负极 1)}^{n个} 经验 (负极 {第页}_{ϕ}^{2}) . \end{matrix}

为了可视化，我们提供了它们的概率分布图图3.

人们很容易发现

{〈 \hat{A类} 〉}_{负极}^{α (ϕ)} = {〈 \hat{Φ} 〉}_{+}^{ϕ (α)} = 0

，其中

\hat{A类}, \hat{Φ}

是减少的量化(16)第页，共页

A类 = α {第页}_{α}

和

Φ = ϕ {第页}_{ϕ}

、和

\begin{matrix} \begin{matrix} {〈{\hat{A类}}_{负极} (τ_{ϕ})〉}_{负极}^{α (ϕ)} & = & τ_{ϕ} {〈 {\hat{第页}}_{α} 〉}_{负极}^{α (ϕ)} = 负极 τ_{ϕ} \frac{Γ (n个 + \frac{1}{2})}{\sqrt{2} Γ (n个)}, \\ {〈{\hat{Φ}}_{+} (τ_{α})〉}_{+}^{ϕ (α)} & = & τ_{α} {〈 {\hat{第页}}_{ϕ} 〉}_{+}^{ϕ (α)} = + τ_{α} \frac{Γ (n个 + \frac{1}{2})}{\sqrt{2} Γ (n个)} . \end{matrix} \end{matrix}

(47)

假设我们在

ϕ

然后切换到

α

时间。然后调用(44)立即收益

\begin{matrix} τ_{α}^{我} = τ_{ϕ}^{（f）} \Rightarrow {〈{\hat{Φ}}_{+} (τ_{α}^{我})〉}_{+}^{ϕ (α)} & = & τ_{ϕ}^{（f）} {〈 {\hat{第页}}_{ϕ} 〉}_{+}^{ϕ (α)} . \end{matrix}

(48)

这个简单的切换

ϕ

到

α

时间如所示图4.

3.关于“宇宙波函数”的观点

我们在一个非常简单的量子宇宙学模型中，即具有无质量标量场的平坦FRW宇宙中，说明了如何在相对于标度因子的量子关系动力学和相对于用作内部时间的场的量子关系力学之间一致地切换。特别是，正如经典情况一样，量子关系演化是连续的尽管有中间内部时间切换，但没有信息丢失。这扩展了量子时钟开关方法[40]（另请参见[38,39,41]对于空间参考系），并提供了一个完整的希尔伯特空间替代半经典有效方法[20,21,22].

由于模型的对称性

ϕ

和

α

内部时间开关在这里特别简单，相对于这两个可能的选择（直到重新标记演化变量），给定物理（即内部时间-中性）状态下的关系动力学看起来基本上“相同”。对于相对于不同内部时间选择不对称的模型，情况不再是这样，例如，参见[40]尤其是在所谓的全球时间问题面前[11,12,13,14,18,19,20,21,22,32,61,62]，例如，演化自由度和内部时间自由度之间的相互作用[16,17,22,63]. 然而，如果适当地考虑到Gribov问题以及与参考系选择相关的描述，就像坐标选择一样，通常不具有全局有效性，那么我们的方法是通用的，适用于一般模型[20,21,22,38,39,40].

事实上，内部时间开关进行完全类比以协调变化

φ_{t吨} \circ φ_{{t吨}^{'}}^{负极 1}

在歧管上[38,40]：它反转相对于一个时间选择的量子约化映射，将相应的约化量化理论映射回Dirac量子化的内部时间-中性物理Hilbert空间，然后将量子约化贴图应用于相对于其他内部时间选择的约化量子化。空间量子参考系的变化表现出相同的组成结构[38,39]. 这允许我们将狄拉克量子化理论的物理希尔伯特空间解释为编码“透视-中性”（即参考-系统-中性）物理[38,39,40,50]量子约化图定义了这些物理相对于量子参考系的“量子坐标”描述。这正是人们期望建立广义协方差真正量子概念的结构，广义协方差指的是在一个理论内，在任意选择的量子参考系之间持续切换的能力，其中每一个都可以作为一个有利的位置来描述剩余自由度的物理性质。

因此，根据我们之前在[38,39,40]，因此我们建议定义一个完成关系量子理论，承认量子广义协方差，作为结合量子参考系-中性狄拉克量子化理论以及与量子参考系的不同选择相关的众多简化量子理论。就像经典理论包含（透视-中性）约束曲面一样和如图所示，众多的简化相空间共同构成了完整的经典描述，完整的量子理论包含了它们相应的量子结构，这是一个完整的量子描述。具体来说，我们提出这种结合来克服时间问题的所谓多重选择面[11,12]（其论点也可应用于空间参考系）并将其转化为多项选择特征完全关系量子理论[40].

为了简单起见，我们说明了在狄拉克量子化中使用Wheeler-DeWitt方法的新过程；然而，本文中简单模型的循环量化实际上可以在相同的物理希尔伯特空间中表示[34]. 因此，这表明目前切换内部时间的框架也可以扩展到循环量子宇宙学。然而，为此，需要适当地考虑至少两个与环路量化相关的细微之处。例如，循环量化导致几何自由度中的超选择扇区[26]. 据推测，该框架应适用于每个超级选举部门，但由于不同部门可能具有不同的物理性质，因此仍需检查细微之处。其次，循环量化导致规范协方差的变形，这体现在约束代数中[64,65,66]. 虽然这对于齐次宇宙学模型来说不应该是一个问题，但当试图将框架扩展到非齐次模型的循环量化时，这又是一个额外的挑战，其中会出现非平凡的微分同态约束。这将是相关的，例如，当在“无边界”提议的环量子宇宙学修改的背景下研究关系动力学时[67].

我们的建议还需要对“宇宙波函数”（即整个宇宙的全球量子态）进行新的透视，这在量子宇宙学中无处不在，并以各种解释形式出现[24,25,26,31,35,68,69,70,71,72]. 在本文中，它通常被认为是惠勒-德威特方程的解(19)从而形成狄拉克量子化理论的物理状态。这里的建议建议将“宇宙波函数”视为一种透视-中性全球状态，从而做到这一点不接受直接的物理解释；它不是相对于任何物理参考系对宇宙的描述。相反，虽然在这里的简单模型中，我们只对两种可能的选择进行了说明，但它包含以下信息全部的同时的相对状态，即与量子参考系的所有可能选择相关的所有描述，并在所有这些相对描述之间提供了关键的链接结构。事实上，正是这些相对简化的状态允许直接的物理解释，并且应该被视为与观测和操作预测相关（尽管“宇宙波函数”也编码了这些信息）。

这就提供了量子宇宙学和引力中操作上重要的子系统结构（相对于量子参考系的选择）与包含所有自由度的透视-中性（尤其是观测者-依赖性）全局状态之间的一致联系[50]. 具体来说，这也为如何解释“宇宙波函数”定义的概率这一臭名昭著的问题提供了一个新的视角。而它通过物理内积定义的全局概率密度（此处(21))不接受直接的操作解释，“宇宙波函数”通过量子还原产生所有相对状态，而这些状态做接受直接的物理解释。事实上，相对状态承认一个物理上相关的简化概率分布（这里通过(15))量子约化总是通过相应物理状态的内积来暗示它们的内积(32)和[38,39,40]方法的更多示例）。然而，至关重要的是，这两种概率分布位于不同的空间：“宇宙波函数”从技术上定义了一种抽象的概率分布全部的宇宙的自由度，而相对状态定义了宇宙所有自由度的概率分布，相关参考系除外。因此，后者承认该解释为该参考系“看到”的概率分布。

请注意，这里的建议是一般性的，而不是针对量子理论及其概率的任何详细解释。它没有明显的理由与许多世界、关系、QBism、一致的历史、哥本哈根或现实主义的解释相冲突。特别值得指出的是，它实际上可能会调和关系状态和信息状态的解释[51,73,74,75,76,77,78,79,80]具有全球“宇宙波函数”。虽然细节取决于具体的解释，但关系解释采取了一种相对于代理或更一般地说，参考系统的待定义状态，这种状态被视为观察者关于所观察系统的“知识目录”。然后可以争论[50,51]这样的解释否定了作为自我参照问题的具有全局操作意义的量子态[81,82]阻止给定的观测器或参考系统从其与其他系统的相互作用中推断整个宇宙（包括其自身）的全局状态。因此，相对于任何子系统，人们可以指定有关宇宙其他部分的“知识目录”，但如果没有外部观测器和参考框架，则不可能有全局，关于整个宇宙的具有操作意义的“知识目录”（另请参阅[83,84,85,86]). 在这篇文章的提议中，全球“宇宙的波函数”确实不承认作为一种信息状态的即时操作解释，但它始终如一地将所有不同的关系参考系视角联系在一起[50]，缺少的东西，例如，在讨论[51,73,74,79,80,83,84,85].

具体来说，这可能会使看似主观的关系状态（观察者的“知识目录”）与客观的“宇宙波函数”相协调。作为一个物理系统，任何观测者关于其他系统状态的主观信念程度，即“知识目录”，都应该编码为该观测者的物理自由度。然而，“宇宙波函数”——从长远来看——中性全球状态编码全部的宇宙的物理自由度，因此“知道”，特别是任何观测系统的记忆中有什么信息。因此，虽然相对状态可以被解释为观测系统的主观“知识目录”，但这里提出的“宇宙波函数”同时包含了所有这些“知识目录“，并且实际上会持续客观地将它们联系起来。然而，为了体现这种更具体的解释，我们必须澄清在中性视角的测量交互的相对描述中状态崩溃是如何发生的，也就是说，我们必须重新审视测量问题（特别是Wigner朋友悖论[73,79,87,88,89])但现在手头有了一个完整的关系量子理论，正如这里提出的那样，它既包含透视-中性描述，也包含所有单独的透视，这种结构以前是不可用的。

最后，可以通过简单的例子表明，量子关联通常取决于量子参考系的选择[38,41]. 这立即引发了一些有趣的问题，因为量子参考系和量子关联在量子宇宙学中无处不在。例如，考虑到CMB关联和传播子在现象学上的重要性，关联的量子框架依赖性（量子宇宙学中肯定也会预料到）是否有任何观测意义？这个问题可以研究，例如，在具有非均匀扰动的Bianchi模型中，这些研究的工具现在原则上是可用的。

基金

根据第657661号Marie Sklodowska-Curie赠款协议，本出版物的项目最初获得了欧盟地平线2020研究和创新计划的资助。作者还感谢维也纳量子科学与技术研究中心的支持。

致谢

我感谢Bianca Dittrich、Steffen Gielen和Merce Martín-Benito的讨论。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A：关系可观测的气密性 $\hat{E类} (τ)$ 在 ${H（H）}_{物理}$

我们证明了这一说法

\hat{E类} (τ)

如中所示(25)就物质内部产品而言，是赫密特人。为此，只需考虑狄拉克观测值的对称量化即可我英寸(2)上的

{H（H）}_{家属}

\begin{matrix} \hat{我} = \frac{1}{2} ({\hat{第页}}_{ϕ} \hat{ϕ} + \hat{ϕ} {\hat{第页}}_{ϕ} + {\hat{第页}}_{α} \hat{α} + \hat{α} {\hat{第页}}_{α}) . \end{matrix}

（A1）

这是一个Hermitian运算符，尤其是上的自共轭运算符

{H（H）}_{家属}

然而，就物质的内在产品而言，它并不是一个神秘主义者。要看到这一点，请注意

\begin{matrix} [{\hat{C类}}_{H（H）}, \hat{我}] = 负极 2 我 {\hat{C类}}_{H（H）} . \end{matrix}

（A2）

因此，

\hat{我}

带着约束通勤只有在

{H（H）}_{物理}

.物理内部产品(21)来自组平均[23,40,54,55,56,57]并由给出

\begin{matrix} {〈 ψ | χ 〉}_{物理} : = 〈 ψ_{家属} | δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) | χ_{家属} 〉, \end{matrix}

（A3）

哪里

〈 \cdot | \cdot 〉

是标准的内部产品

{H（H）}_{家属}

和

\begin{matrix} δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) = \frac{1}{2 π} \int_{负极 \infty}^{+ \infty} d日 秒 {e（电子）}^{我 秒 {\hat{C类}}_{H（H）}} . \end{matrix}

（A4）

使用(A2类)很容易找到

[{\hat{C类}}_{H（H）}^{n个}, \hat{我}] = 负极 2 我 n个 {\hat{C类}}_{H（H）}^{n个}

因此

\begin{matrix} \begin{matrix} [δ ({\hat{C类}}_{H（H）}), \hat{我}] & = & \frac{1}{π} \int d日 秒 秒 {\hat{C类}}_{H（H）} {e（电子）}^{我 秒 {\hat{C类}}_{H（H）}} = 负极 2 我 \frac{d日}{d日 x个} \frac{1}{2 π} \int d日 秒 {e（电子）}^{我 x个 秒 {\hat{C类}}_{H（H）}} |_{x个 = 1} \\ = & 负极 2 我 \frac{d日}{d日 x个} δ (x个 {\hat{C类}}_{H（H）}) |_{x个 = 1} = 负极 2 我 \frac{d日}{d日 x个} {| x个 |}^{负极 1} |_{x个 = 1} δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) = 2 我 δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) . \end{matrix} \end{matrix}

（A5）

从这个结果可以清楚地看出

\hat{我}

是不埃尔米特人(A3号). 但是，使用(第5页)，我们有

\begin{matrix} 〈 ψ_{家属} | (\hat{我} + 我) δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) | χ_{家属} 〉 = 〈 ψ_{家属} | δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) (\hat{我} 负极 我) | χ_{家属} 〉 = 〈 (\hat{我} + 我) δ ({\hat{C类}}_{H（H）}) ψ_{家属} | χ_{家属} 〉, \end{matrix}

（A6）

在最后一步中，我们利用了这两个事实

\hat{我}

和

δ ({\hat{C类}}_{H（H）})

对称于

{H（H）}_{家属}

。因此，

\hat{我} + 我

是赫密特人对物质内在产品的尊重，反过来，也

\hat{E类} (τ)

英寸(25). 该算子也可以被密集定义，因此本质上是自共轭的。

附录B量子理论中的内时变化

我们首先证明左方程(39). 回想一下

\begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} : = 2 \sqrt{2 π}_{e（电子）} 〈 e（电子） = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}) \hat{\sqrt{| {\hat{第页}}_{t吨} |}} {T型}_{e（电子） \pm} {T型}_{t吨 +}^{负极 1} \hat{{(\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |})}^{负极 1}} \frac{| {第页}_{t吨} = 负极 ϵ 〉_{t吨}}{2} \otimes . \end{matrix}

（A7）

我们利用约化正负频率波函数的定义(33)和

\begin{matrix} \begin{matrix} ψ_{家属}^{t吨 (e（电子）)} ({第页}_{e（电子）} = \mp | {第页}_{t吨} |, | {第页}_{t吨} |) & = & ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (| {第页}_{e（电子）} |, \mp | {第页}_{e（电子）} |), \\ ψ_{家属}^{t吨 (e（电子）)} ({第页}_{e（电子）} = \mp | {第页}_{t吨} |, 负极 | {第页}_{t吨} |) & = & ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, \mp | {第页}_{e（电子）} |), \end{matrix} \end{matrix}

（A8）

这意味着(22). 然后，

\begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} {| ψ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)} & = & {\hat{S公司}}_{{t吨}_{+} \to {e（电子）}_{\pm}} \int_{负极 \infty}^{\infty} d日 {第页}_{e（电子）} \frac{ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）})}{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} {| {第页}_{e（电子）} 〉}_{e（电子）} \\ = & 2 \sqrt{2 π}_{e（电子）} 〈 e（电子） = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}) \hat{\sqrt{| {\hat{第页}}_{t吨} |}} {T型}_{e（电子） \pm} \int_{负极 \infty}^{\infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{2 | {第页}_{e（电子）} |} ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) | 负极 | {第页}_{e（电子）} | 〉_{t吨} {| {第页}_{e（电子）} 〉}_{e（电子）} \\ = & 2 \sqrt{2 π}_{e（电子）} 〈 e（电子） = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}) \hat{\sqrt{| {\hat{第页}}_{t吨} |}} {T型}_{e（电子） \pm} \\ \times \int_{负极 \infty}^{0} \frac{d日 {第页}_{t吨}}{2 | {第页}_{t吨} |} [ψ_{家属}^{t吨 (e（电子）)} (负极 | {第页}_{t吨} |, {第页}_{t吨}) | 负极 | {第页}_{t吨} | 〉_{e（电子）} | {第页}_{t吨} 〉_{t吨} + ψ_{家属}^{t吨 (e（电子）)} (| {第页}_{t吨} |, {第页}_{t吨}) | | {第页}_{t吨} | 〉_{e（电子）} {| {第页}_{t吨} 〉}_{t吨}] \\ = & \sqrt{2 π}_{e（电子）} 〈 e（电子） = 0 | θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）}) \int_{负极 \infty}^{0} d日 {第页}_{t吨} [ψ_{+}^{t吨 (e（电子）)} ({第页}_{t吨}) {| 负极 ϵ 〉}_{e（电子）} | {第页}_{t吨} 〉_{t吨} + ψ_{负极}^{t吨 (e（电子）)} ({第页}_{t吨}) {| + ϵ 〉}_{e（电子）} {| {第页}_{t吨} 〉}_{t吨}] \\ = & θ (负极 {\hat{第页}}_{t吨}) {| ψ 〉}_{\pm}^{t吨 (e（电子）)} . \end{matrix}

从第二行到第三行，我们执行了变量更改

{第页}_{e（电子）} = {第页}_{t吨}

对于

{第页}_{e（电子）} < 0

和

{第页}_{e（电子）} = 负极 {第页}_{t吨}

对于

{第页}_{e（电子）} > 0

和已使用(A8类).

为了证明此转换等价于

{P（P）}_{{e（电子）}_{\pm} \to {t吨}_{+}} θ (\mp {\hat{第页}}_{e（电子）})

，如中所述(40)，其中

{P（P）}_{{e（电子）}_{\pm} \to {t吨}_{+}}

定义于(41)，写入

\begin{matrix} {| ψ 〉}_{+}^{e（电子） (t吨)} = \int_{负极 \infty}^{0} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) | {第页}_{e（电子）} 〉_{e（电子）} + \int_{0}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{\sqrt{| {第页}_{e（电子）} |}} ψ_{家属}^{e（电子） (t吨)} (负极 | {第页}_{e（电子）} |, {第页}_{e（电子）}) | {第页}_{e（电子）} 〉_{e（电子）}, \end{matrix}

执行变量转换

{第页}_{e（电子）} = {第页}_{t吨}

在左侧和

{第页}_{e（电子）} = 负极 {第页}_{t吨}

在右积分中并调用(A8类)和定义(41).

中的右侧方程式(39)和(40)以完全类比的方式显示。

附录C.开关期间量子关系动力学的连续性

我们简要证明了量子关系动力学的连续性，如(45)，尽管有中间内部时间开关。为了具体起见，我们将注意力限制在图1例如，绿色或红色象限，其中

{第页}_{α} = 负极 {第页}_{ϕ}

首先注意(40)暗示

θ (负极 {\hat{第页}}_{e（电子）}) ({H（H）}_{负极}^{e（电子） (t吨)}) ⇄_{{\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{负极}}}^{{\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{+}}} θ (+ {\hat{第页}}_{t吨}) ({H（H）}_{+}^{t吨 (e（电子）)})

（A9）

显然，使用(17)，我们有

\begin{matrix} {〈{\hat{E类}}_{负极} (τ_{t吨})〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)} & = & 负极 τ_{t吨} 〈 | {\hat{第页}}_{e（电子）} {| 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)} + {〈 \hat{E类} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)} = τ_{t吨} {〈 {\hat{第页}}_{e（电子）} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)} + {〈 \hat{E类} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)} 在 θ (负极 {\hat{第页}}_{e（电子）}) ({H（H）}_{负极}^{e（电子） (t吨)}), \\ {〈{\hat{T型}}_{+} (τ_{e（电子）})〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} & = & + τ_{e（电子）} 〈 | {\hat{第页}}_{t吨} {| 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} + {〈 \hat{T型} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} = τ_{e（电子）} {〈 {\hat{第页}}_{t吨} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} + {〈 \hat{T型} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} 在 θ (+ {\hat{第页}}_{t吨}) ({H（H）}_{+}^{t吨 (e（电子）)}) . \end{matrix}

现在设置新时钟的初始值e（电子），如中所示(44)，至

\begin{matrix} τ_{e（电子）}^{我} : = \frac{{〈 {\hat{E类}}_{负极} (τ_{t吨}^{（f）}) 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}}{{〈 {\hat{第页}}_{e（电子）} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}} = τ_{t吨}^{（f）} + \frac{{〈 \hat{E类} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}}{{〈 {\hat{第页}}_{e（电子）} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}}, \end{matrix}

（A10）

我们发现

\begin{matrix} {〈{\hat{T型}}_{+} (τ_{e（电子）}^{我})〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} = τ_{t吨}^{（f）} {〈 {\hat{第页}}_{t吨} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} + \frac{{〈 \hat{E类} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}}{{〈 {\hat{第页}}_{e（电子）} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}} {〈 {\hat{第页}}_{t吨} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} + {〈 \hat{T型} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} . \end{matrix}

（A11）

现在我们调用(42)尤其是，

\begin{matrix} {\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{+}} \hat{E类} {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{负极}} & = & \hat{T型} θ (+ {\hat{第页}}_{t吨}), {\hat{S公司}}_{{t吨}_{负极} \to {e（电子）}_{+}} {\hat{第页}}_{e（电子）} {\hat{S公司}}_{{e（电子）}_{+} \to {t吨}_{负极}} = 负极 {\hat{第页}}_{t吨} θ (+ {\hat{第页}}_{t吨}) . \end{matrix}

（A12）

使用(15)和(39)，这意味着

\begin{matrix} \frac{{〈 \hat{E类} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}}{{〈 {\hat{第页}}_{e（电子）} 〉}_{负极}^{e（电子） (t吨)}} = 负极 \frac{{〈 \hat{T型} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)}}{{〈 {\hat{第页}}_{t吨} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)}} \end{matrix}

（A13）

因此

\begin{matrix} {〈{\hat{T型}}_{+} (τ_{e（电子）}^{我})〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)} = τ_{t吨}^{（f）} {〈 {\hat{第页}}_{t吨} 〉}_{+}^{t吨 (e（电子）)}, \end{matrix}

（A14）

如所述。其他象限的证明完全类似。

工具书类

罗维利，C。量子引力; 剑桥大学出版社：英国剑桥，2004年。[谷歌学者]
Rovelli，C.在经典引力和量子引力中可以观察到什么？班级。数量。重力。 1991,8, 297–316. [谷歌学者] [交叉参考]
Rovelli，C.量子参考系。班级。数量。重力。 1991,8, 317–332. [谷歌学者] [交叉参考]
Brown，J.D。；Kuchař，K.V.Dust作为经典量子引力中的空间和时间标准。物理学。版次D 1995,51, 5600–5629. [谷歌学者]
Dittrich，B.哈密顿约束系统的部分和完全可观测性。发电机相对重力。 2007,39, 1891–1927. [谷歌学者] [交叉参考]
Dittrich，B.规范广义相对论的部分和完全可观测性。班级。数量。重力。 2006,23, 6155–6184. [谷歌学者]
Dittrich，B。；Tambornino，J.狄拉克观测及其时空代数的微扰方法。班级。数量。重力。 2007,24, 757–784. [谷歌学者] [交叉参考]
Dittrichm，B。；Tambornino，J.关于对称性简化扇区的规范不变扰动：宇宙学的应用。班级。数量。重力。 2007,24, 4543–4586. [谷歌学者] [交叉参考]
Tambornino，J.《引力中的关系观测：综述》。对称积分。几何。 2012,8，17–30。[谷歌学者]
DeWitt，B.S.量子引力理论。一、规范理论。物理学。版次。 1967,160, 1113–1148. [谷歌学者] [交叉参考]
库查，K。《时间与量子引力的解释》。国际期刊修订版。物理学。程序。供应商D 2011,20, 3–86. [谷歌学者] [交叉参考]
经典量子引力与时间问题。在可积系统、量子群和量子场论; Kluwer学术出版社：荷兰多德雷赫特，1993年；第157-287页。[谷歌学者]
E.安德森。时间的问题; 施普林格国际出版公司：瑞士查姆，2017年；第190卷。[谷歌学者]
没有时间的量子力学：一个模型。物理学。版次D 1990,42, 2638–2646. [谷歌学者] [交叉参考]
量子引力中的时间：薛定谔机制之外的物理学。物理学。版次D 1991,43, 442–456. [谷歌学者] [交叉参考]
量子宇宙学中的几乎理想时钟：时间的简单推导。班级。数量。重力。 1995,12, 2469–2486. [谷歌学者] [交叉参考]
Marolf，D.在小超空间中解决时间问题：狄拉克观测值的测量。物理学。版次。 1995,12, 2469–2486. [谷歌学者]
Dittrich，B。；Höhn，P.A。；科斯洛夫斯基，T.A。；尼尔森，M.I.量子引力中能观察到混沌吗？物理学。莱特。B类 2017,769, 554–560. [谷歌学者] [交叉参考]
Dittrich，B。；Höhn，P.A。；科斯洛夫斯基，T.A。；Nelson，M.I.Chaos，Dirac观测和约束量化。arXiv公司 2015，arXiv:1508.01947。[谷歌学者]
Bojowald，M。；Höhn，P.A。；Tsobanjan，A.解决时间问题的有效方法。班级。数量。重力。 2011,28, 035006. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M。；Höhn，P.A。；解决时间问题的有效方法：一般特征和示例。物理学。版次D 2011,83, 125023. [谷歌学者] [交叉参考]
Höhn，P.A。；库巴洛娃，E。；Tsobanjan，A.不可积分宇宙学模型的有效关系动力学。物理学。版次D 2012,86, 065014. [谷歌学者] [交叉参考]
蒂曼，T。现代经典量子广义相对论; 剑桥大学出版社：英国剑桥，2007年。[谷歌学者]
博约瓦尔德，M。经典引力及其应用：宇宙学、黑洞和量子引力; 剑桥大学出版社：英国剑桥，2011年。[谷歌学者]
Ashtekar，A。；Singh，P.Loop量子宇宙学：现状报告。班级。数量。重力。 2011,28, 213001. [谷歌学者] [交叉参考]
Banerjee，K。；加尔卡尼，G。；Martín-Benito，M.《环形量子宇宙学导论》。对称积分。地理。 2012,8, 016. [谷歌学者] [交叉参考]
Oriti，D。；Sindoni，L。；Wilson-Ewing，E.从量子引力凝聚体中产生量子反弹的紧急弗里德曼动力学。班级。数量。重力。 2016,33, 224001. [谷歌学者] [交叉参考]
Gielen，S.群场理论中低自旋相的出现凝聚了。班级。数量。重力。 2016,33, 224002. [谷歌学者] [交叉参考]
Gielen，S.群场理论及其物质参照系中的宇宙学。宇宙 2018,4, 103. [谷歌学者] [交叉参考]
布莱斯·W。；Isham，C.充满标量场的弗里德曼宇宙的量子化。物理学。版次D 1975,11, 768–778. [谷歌学者] [交叉参考]
霍金，S.量子宇宙学。在相对论、群和拓扑II，Les Houches暑期学校，1983年; DeWitt，B.，Stora，R.，编辑。；北荷兰：荷兰阿姆斯特丹，1984年；第333页。[谷歌学者]
哈希切克，P.量子引力非均匀性的起源。物理学。版次D 1986,34, 1040. [谷歌学者] [交叉参考]
Kiefer，C.在超小空间中挥舞数据包。物理学。版次D 1988,38, 1761. [谷歌学者] [交叉参考]
阿什特卡，A。；科里奇，A。；环量子宇宙学关键特征的稳健性。物理学。版次D 2008,77, 024046. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M.量子宇宙学。莱克特。注释物理。 2011,835, 1–308. [谷歌学者]
Ashtekar，A。；帕沃斯基，T。；Singh，P.《大爆炸的量子本质：分析和数值研究》。一、。物理学。版次D 2006,73, 124038. [谷歌学者] [交叉参考]
卡门施奇克，A.Y。；Tronconi，A。；瓦丹扬，T。；量子理论中的时间、惠勒-德维特方程和博恩-奥本海默近似。arXiv公司 2018，arXiv:1809.08083。[谷歌学者] [交叉参考]
Vanrietvelde，A。；Höhn，P.A。；Giacomini，F。；Castro-Ruiz，E.视角的改变：通过视角-中性框架切换量子参考框架。arXiv公司 2018，arXiv:1809.00556。[谷歌学者]
Vanrietvelde，A。；Höhn，P.A。；Giacomini，F.在N体问题中切换量子参考框架以及缺乏全局关系视角。arXiv公司 2018，arXiv:1809.05093。[谷歌学者]
Höhn，P.A。；如何在关系量子时钟之间切换。arXiv公司 2018，arXiv:1810.04153。[谷歌学者]
Giacomini，F。；卡斯特罗·鲁伊斯（Castro-Ruiz），E。；加利福尼亚州布鲁克纳。量子力学和量子参考系中物理定律的协方差。国家公社。 2019,10, 494. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
Hartle，J.B.参数化非相对论量子力学中的时间和时间函数。班级。数量。重力。 1996,13, 361–376. [谷歌学者] [交叉参考]
Hajicek，P.量子引力规范的选择。无。物理学。程序。供应商。 2000,80, 1213. [谷歌学者]
甘比尼，R。；Porto，R.A.一般协变量子系统中的关系时间：四种模型。物理学。版次D 2001,63, 105014. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M。；量子宇宙学中的时间。物理学。版次D 2018,98, 066001. [谷歌学者] [交叉参考]
Malkiewicz，P.量子宇宙学中时间的多重选择。班级。数量。重力。 2015,32, 135004. [谷歌学者] [交叉参考]
Malkiewicz，P.什么是量子引力中的动力学？班级。数量。重力。 2017,34, 205001. [谷歌学者] [交叉参考]
Malkiewicz，P.重力量子模型中的时钟和动力学。班级。数量。格拉夫。 2017,34, 145012. [谷歌学者] [交叉参考]
Malkiewicz，P。；Miroszewski，A.量子力学的内部时钟公式。物理学。版次D 2017,96, 046003. [谷歌学者] [交叉参考]
Höhn，P.A.对量子和引力物理学中信息范式的思考。《物理学杂志》。Conf.序列号。 2017,880, 012014. [谷歌学者] [交叉参考]
Höhn，P.A.根据信息获取规则重建量子理论的工具箱。量子 2017,1, 38. [谷歌学者] [交叉参考]
P.A.迪拉克。量子力学讲课; 叶希瓦大学出版社：美国纽约州纽约市，1964年。[谷歌学者]
Henneaux，M。；Teitelboim，C。量规系统的量化; 普林斯顿大学出版社：美国新泽西州普林斯顿，1992年。[谷歌学者]
Hartle，J.B。；Marolf，D.比较重矩阵化-变分系统的广义量子力学公式。物理学。版次D 1997,56, 6247–6257. [谷歌学者] [交叉参考]
Marolf，D.精化代数量化：具有单一约束的系统。arXiv公司 1995，arXiv:gr-qc/9508015。[谷歌学者] [交叉参考]
群平均和精细代数量化：我们现在在哪里？arXiv公司 2000，arXiv:gr-qc/0011112。[谷歌学者]
Ashtekar，A。；Lewandowski，J。；D.马洛夫。；J.Mourao。；Thiemann，T.局部自由度连接的微分同态不变理论的量化。数学杂志。物理学。 1995,36, 6456–6493. [谷歌学者] [交叉参考]
哈格，R。局部量子物理：场、粒子、代数; 施普林格科技与商业媒体：德国柏林/海德堡，2012年。[谷歌学者]
页码，D.N。；Wootters，W.K.《没有进化的进化：静态观测描述的动力学》。物理学。版次D 1983,27, 2885. [谷歌学者] [交叉参考]
Pollet，J。；梅普兰，O。；量子谐振子的Gignoux，C.椭圆本征态。《物理学杂志》。数学。消息。 1995,28, 7287. [谷歌学者] [交叉参考]
Hájíček，P.参数化系统的群量子化。一、时间层次。数学杂志。物理学。 1995,36, 4612–4638. [谷歌学者] [交叉参考]
Hájíček，P.受限系统中的时间演化和观测。班级。数量。重力。 1996,13, 1353–1376. [谷歌学者] [交叉参考]
Giddings，S.B.公司。；D.马洛夫。；哈特尔，J.B.有效引力中的可观测物。物理学。版次D 2006,74, 064018. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M。；G.M.Paily变形了广义相对论。物理学。版次D 2013,87, 044044. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M。；布拉马，S。；环路量子引力模型中的协方差：球对称性。物理学。版次D 2015,92, 045043. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M。；圈量子引力模型中的协方差：Gowdy系统。物理学。版次D 2015,92, 065002. [谷歌学者] [交叉参考]
Bojowald，M。；Brahma，S.Loops拯救了无边界提议。物理学。修订稿。 2018,121, 201301. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
Everett，H.，III.普适波函数理论。1956年，美国新泽西州普林斯顿市普林斯顿大学博士论文。在线可用：http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/desertation.pdf（2019年5月10日访问）。
Everett，H.量子力学的相对状态公式。修订版Mod。物理学。 1957,29, 454–462. [谷歌学者] [交叉参考]
Hartle，J。；霍金，S.宇宙波函数。物理学。版次D 1983,28, 2960–2975. [谷歌学者] [交叉参考]
霍金，S。宇宙的量子状态。无。物理学。B类 1984,239, 257. [谷歌学者] [交叉参考]
佩奇，D.N.霍金的宇宙波函数。在时空中的量子概念; Penrose，R.，Isham，C.，编辑。；克拉伦登出版社：英国牛津，1986年；第274页。[谷歌学者]
Rovelli，C.关系量子力学。国际J.Theor。物理学。 1996,35, 1637–1678. [谷歌学者] [交叉参考]
罗维利，C。空间是蓝色的，鸟儿在其中飞翔。菲洛斯。事务处理。R.Soc.A公司 2018,376, 20170312. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
Höhn，P.A。；Wever，C.S.P.《问题的量子理论》。物理学。版次A 2017,95, 012102. [谷歌学者] [交叉参考]
Höhn，P.A.信息获取规则中的量子理论。熵 2017,19，98。[谷歌学者] [交叉参考]
Martin-Dussaud，P。；罗维利，C。；关系量子力学中的局域性概念。已找到。物理学。 2019,49, 96–106. [谷歌学者] [交叉参考]
Koberinski，A。；缪勒，M.P。作为原理理论的量子理论：从信息论重建中获得的启示; 剑桥大学出版社：英国剑桥，2018；第257页。[谷歌学者]
加利福尼亚州布鲁克纳。关于量子测量问题。在量子[Un]扬声器II; 施普林格：德国柏林/海德堡，2017年；第95-117页。[谷歌学者]
富克斯，C.A。；史黛西，B.C.QBist量子力学：量子理论英雄手册。arXiv公司 2016，arXiv:1612.07308。[谷歌学者]
Breuer，T.不可能实现精确的状态自测量。菲洛斯。科学。 1995,62, 197–214. [谷歌学者] [交叉参考]
Dalla Chiara，M.L.逻辑自参照，设定了量子力学中的理论悖论和测量问题。J.菲洛斯。逻辑 1977,6, 331–347. [谷歌学者] [交叉参考]
《时钟与范畴：量子引力是代数的吗？数学杂志。物理学。 1995,36, 6180–6193. [谷歌学者] [交叉参考]
Markopoulou，F.普朗克尺度的宇宙模型。arXiv公司 2002，arXiv:gr-qc/0210086。[谷歌学者]
Markopoulou，F.背景无关量子引力的新方向。arXiv公司 2007，arXiv:gr-qc/0703097。[谷歌学者]
哈克尔，L.F。；Neiman，Y.椭圆de Sitter空间中的Horizon互补性。物理学。版次D 2015,91，2016年4月4日。[谷歌学者] [交叉参考]
Wigner，E.P.关于身心问题的评论。在哲学反思与综合; 施普林格：柏林/海德堡，德国，1995年；第247-260页。[谷歌学者]
量子理论是一种普遍的物理理论。国际J.Theor。物理学。 1985,24, 1–41. [谷歌学者] [交叉参考]
Frauchiger博士。；Renner，R.量子理论无法始终如一地描述其自身的用途。国家公社。 2018,9, 3711. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]

1	事实上，我们已经包括了一个延迟函数的选择 $N个 = {e（电子）}^{三 α}$ .
2	有关不同模型中此过程的更多详细信息，请参见[40].
三	请注意，通常 ${T型}_{\pm} (τ_{e（电子）}^{我}) \neq {E类}_{+} (τ_{t吨}^{（f）})$ ，尽管形式如此(12).
4	我们设置了 $ℏ = 1$ .
5	在仿射动量表示中，状态表示为 ${\| ψ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{\| {第页}_{e（电子）} \|} {\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）}) {\| {第页}_{e（电子）} 〉}_{空军}$ ，其中 ${\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = \sqrt{\| {第页}_{e（电子）} \|} ψ_{\pm}^{e（电子） (t吨)}$ 和 ${〈 {第页}_{e（电子）} \| {第页}_{e（电子）}^{'} 〉}_{空军} = \| {第页}_{e（电子）} \| δ ({第页}_{e（电子）} 负极 {第页}_{e（电子）}^{'})$ 。然后内部产品显示 ${〈 ψ \| χ 〉}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = \int_{负极 \infty}^{+ \infty} \frac{d日 {第页}_{e（电子）}}{\| {第页}_{e（电子）} \|} {[{\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）})]}^{*} {\tilde{χ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} ({第页}_{e（电子）})$ 配置观测值表示为 $\hat{E类} {\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = 我 {第页}_{e（电子）} \partial_{{第页}_{e（电子）}} {\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}$ 和 $\hat{e（电子）} {\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)} = (我 \partial_{{第页}_{e（电子）}} 负极 \frac{我}{2 {第页}_{e（电子）}}) {\tilde{ψ}}_{\pm}^{e（电子） (t吨)}$ 很容易检查这个仿射表示是否等价于上面的规范表示。

图1。约束曲面的示意图

C类

，由定义(1)作为动量空间中的“光锥”。它的四个组成部分具有以下物理解释。红色：宇宙收缩，但

ϕ

“向后”运行。蓝色：收缩的宇宙和

ϕ

“向前”运行。绿色：膨胀的宇宙和

ϕ

“向前”运行。紫色：宇宙在膨胀，但

ϕ

“向后”运行。在交点（原点）处，动力学是静态的。

图1。约束曲面的示意图

C类

，由定义(1)作为动量空间中的“光锥”。它的四个组成部分有以下物理解释。红色：收缩的宇宙，但是

ϕ

“向后”运行。蓝色：收缩的宇宙和

ϕ

“向前”运行。绿色：膨胀的宇宙和

ϕ

“向前”运行。紫色：宇宙在膨胀，但

ϕ

向后跑。在交点（原点）处，动力学是静态的。

图2。狄拉克和四个约化量子化之间关系的图解概述。简而言之，物理希尔伯特空间被映射到四个（正或负频率）简化希尔伯特空间中的任何一个，方法是首先通过

{T型}_{ϕ}

或

{T型}_{α}

对内部时间变量进行相应的选择，然后投影到经典的内部时间规固定条件上。（详见正文。）

图2。狄拉克和四个约化量子化之间关系的图解概述。简而言之，物理希尔伯特空间被映射到四个（正或负频率）简化希尔伯特空间中的任何一个，方法是首先通过

{T型}_{ϕ}

或

{T型}_{α}

对内部时间变量进行相应的选择，然后投影到经典的内部时间规固定条件上。（详见正文。）

图3。来自相同物理状态的简化概率分布（通过(20)和(46)还有这里

n个 = 100

)，但相对于以下选项进行了描述(一)

ϕ

和(b条)

α

作为“向前扩展”（绿色）象限中的内部时间图1回想一下，在约化理论中，波函数的通常模平方是概率分布，参见(15). 由于中模型的对称性

α

和

ϕ

，约化概率分布将始终对称。

图3。来自相同物理状态的简化概率分布（通过(20)和(46)还有这里

n个 = 100

)，但相对于以下选项进行了描述(一)

ϕ

和(b条)

α

作为“向前扩展”（绿色）象限中的内部时间图1回想一下，在约化理论中，波函数的通常模平方是概率分布，参见(15). 由于中模型的对称性

α

和

ϕ

，约化概率分布将始终对称。

图4。中给出的量子关系演化说明(47)和(48)对于内部时间开关

ϕ

到

α

在

τ_{ϕ}^{（f）} = τ_{α}^{我} = 0

蓝色分支对应于

{〈{\hat{A类}}_{负极} (τ_{ϕ})〉}_{负极}^{α (ϕ)} / {〈 {\hat{第页}}_{α} 〉}_{负极}^{α (ϕ)}

在里面

τ_{ϕ}

而金枝则描绘了

{〈{\hat{Φ}}_{+} (τ_{α})〉}_{+}^{ϕ (α)} / {〈 {\hat{第页}}_{ϕ} 〉}_{+}^{ϕ (α)}

在里面

τ_{α}

它们共同描绘出一条连续的经典轨迹，描述了一个膨胀的宇宙。

图4。中给出的量子关系演化说明(47)和(48)用于内部时间切换

ϕ

到

α

在

τ_{ϕ}^{（f）} = τ_{α}^{我} = 0

蓝色分支对应于

{〈{\hat{A类}}_{负极} (τ_{ϕ})〉}_{负极}^{α (ϕ)} / {〈 {\hat{第页}}_{α} 〉}_{负极}^{α (ϕ)}

在里面

τ_{ϕ}

而金枝则描绘了

{〈{\hat{Φ}}_{+} (τ_{α})〉}_{+}^{ϕ (α)} / {〈 {\hat{第页}}_{ϕ} 〉}_{+}^{ϕ (α)}

在里面

τ_{α}

它们共同描绘出一条连续的经典轨迹，描述了一个膨胀的宇宙。

分享和引用

MDPI和ACS样式

霍恩，P.A。转换内部时间和“宇宙波函数”的新观点。宇宙 2019,5, 116.https://doi.org/10.3390/universe5050116

AMA风格

宾夕法尼亚州Höhn。转换内部时间和“宇宙波函数”的新观点。宇宙. 2019; 5(5):116.https://doi.org/10.3390/universe5050116

芝加哥/图拉宾风格

菲利普·A·Höhn。2019.“转换内部时间和‘宇宙波函数’的新视角”宇宙5，编号5:116。https://doi.org/10.3390/universe5050116

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。查看更多详细信息在这里.

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内部时间的转换与“宇宙波函数”的新视角

摘要

1.简介

2.具有无质量标量场的平面FRW模型

2.1、。经典关系动力学和内部时间开关

2.2. 相对于内部时间选择的简化量化

2.3. 内部时间中性狄拉克量子化

2.4. 量子约化：从狄拉克到约化量子化

2.5. 量子内部时间开关

2.6. 混凝土状态图解

3.关于“宇宙波函数”的观点

基金

致谢

利益冲突

附录A：关系可观测的气密性 $\hat{E类} (τ)$ 在 ${H（H）}_{物理}$

附录B量子理论中的内时变化

附录C.开关期间量子关系动力学的连续性

工具书类

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指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

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内部时间的转换与“宇宙波函数”的新视角

摘要

1.简介

2.具有无质量标量场的平面FRW模型

2.1、。经典关系动力学和内部时间开关

2.2. 相对于内部时间选择的简化量化

2.3. 内部时间中性狄拉克量子化

2.4. 量子约化：从狄拉克到约化量子化

2.5. 量子内部时间开关

2.6. 混凝土状态图解

3.关于“宇宙波函数”的观点

基金

致谢

利益冲突

附录A：关系可观测的气密性 E类 ^ ( τ ) 在 H（H） 物理

附录B量子理论中的内时变化

附录C.开关期间量子关系动力学的连续性

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附录A：关系可观测的气密性 $\hat{E类} (τ)$ 在 ${H（H）}_{物理}$