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第9卷
第11期
10.3390/sym9110254
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第条

离散模糊随机变量线性规划问题的概率期望模型

通过
片垣喜树
1,*,
加藤小助
2和
武士·乌诺（Takeshi Uno）
三
1
神奈川大学工程学院工业工程系，3-27-1 Rokkakubashi，横滨市，神奈川221-8686，日本
2
广岛理工学院计算机科学系，日本广岛731-5193，Saeki-ku Miyake 2-1-1
三
德岛大学技术、工业和社会科学研究生院数学科学系，2-1，Minamijosanjima-cho，Dekushima 770-8506，Japan
*
信件应寄给的作者。
对称 2017,9(11), 254;https://doi.org/10.3390/sym9110254
收到的提交文件：2017年9月7日/修订日期：2017年10月6日/接受日期：2017年10月6日/发布日期：2017年10月30日
（本文属于特刊决策的模糊技术)
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版本注释

摘要

:
本文研究了目标函数包含离散模糊随机变量（模糊集值离散随机变量）的线性规划问题。基于可能性理论和概率理论，提出了适用于模糊随机环境的新决策模型。在多目标情况下，新定义了所提出模型的Pareto最优解。给出了获得所提模型Pareto最优解的计算算法。研究表明，含有离散模糊随机变量的问题可以转化为确定性非线性数学规划问题，在实际合理的假设下，可以通过传统的数学规划求解器求解。以农业生产问题为例，说明了所提出模型对模糊随机环境中实际问题的适用性。

1.简介

考虑数学规划问题中涉及的参数不确定性的传统工具之一是随机规划[1,2]. 随机规划方法隐含地假设问题中涉及的不确定参数可以表示为随机变量。例如，要求数量的产品通常在数学上被建模为随机变量。在这种情况下，假设事件发生时随机参数的实现值用确定性值（如实际值）表示。
另一方面，当人类的判断和/或知识需要数学处理时，随机变量并不总是适合于估计问题的参数。它不仅值得利用历史或过去的数据，还值得利用专家的知识或判断，这些知识或判断涉及模糊性或模糊性，通常表示为模糊集。
同时考虑模糊性和随机性在决策问题建模中非常重要，因为人类在随机环境中的决策本质上不仅基于随机性，也基于模糊性。近十年来，在线性规划等决策研究领域，同时考虑模糊性和随机性的数学模型备受关注[三,4,5,6,7,8,9,10,11,12]，整数编程[13]，库存[14,15]，运输[16]，设施布局[17]、洪水管理[18]和网络优化[19,20].
本文主要研究模糊随机决策情形下的数学优化模型，其中线性规划问题（LPP）中随机参数的可能实现值被专家模糊地估计为模糊集或模糊数。这种模糊集值随机变量，即实现值用模糊集表示的随机参数，可以表示为模糊随机变量[21,22,23,24,25,26].
以往对模糊随机LPP的研究主要集中在目标函数和约束的系数由连续模糊随机变量表示的情况，这是连续随机变量的扩展概念。模糊随机优化模型首先由Luhandjula和他的同事开发[27,28]作为具有模糊随机变量系数的LPP，并由Liu进一步研究[29,30]Katagiri等人[4,6]和亚诺[11]Luhandjula在论文中简要介绍了主要的模糊随机规划模型，包括使用模糊随机变量的数学规划模型[8].
另一方面，有一些研究[13,31,32]具有离散模糊随机变量的LPP。正如后面将要详细讨论的那样，为了拓宽模糊随机规划的应用范围，提出更通用的模糊随机LPP模型是非常重要的，这促使本文提供带有离散模糊随机变量的新的广义数学规划模型。
本文的结构如下：第2节介绍了模糊随机变量的定义。新定义了一些类型的模糊随机变量。第3节重点研究离散模糊随机变量，并定义了一些类型的离散模糊随机变数。第4节在目标函数的系数为离散模糊随机变量的情况下，建立了单/多目标LPP。在第5节在概率论和可能性理论的基础上，构造了离散模糊随机变量优化问题的新的优化准则。第6节使用中引入的优化标准提出决策模型第5节，并定义了多目标情况下所提模型的（弱）Pareto最优解。第7节讨论了该模型的求解方法，并构造了一个算法来获得该模型的Pareto最优解。在第8节我们以农业生产问题为例进行了数值实验，以证明所提出的模型对现实决策问题的适用性。结果表明[33]语言可以在实际计算时间内解决数百个决策变量的问题。最后，第9节对本文进行了总结，并对未来的研究工作进行了探讨。

2.前期工作

在本节中，我们回顾了一些与离散模糊随机变量有关的数学概念，如凸模糊集和模糊数。还提供了模糊随机变量的定义。

2.1. 模糊集与模糊数

作为引入模糊随机变量的准备，我们首先介绍了模糊集的定义。
定义 1
（正规凸模糊集）
正规凸模糊集的特征是隶属函数 μ A类 ˜ : R（右） → [ 0 , 1 ] 也就是说， μ A类 ˜ ( x个 ) ∈ [ 0 , 1 ] ，对于所有人 x个 ∈ R（右） ，因此 A类 α 是非空紧区间
A类 α = { x个 ∈ R（右） | μ A类 ˜ ( x个 ) ≥ α } 我 （f） α ∈ ( 0 , 1 ] c（c） 我 ( 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ ) 我 （f） α = 0 ,
哪里 c（c） 我 ( 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ ) 表示集合的闭包 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ 、和 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ 表示对隶属函数的支持 μ A类 ˜ .
安我-R（右）模糊数是由Dubois和Prade引入的[34]并基于正规凸模糊集定义。
定义 2
（L-R模糊数）
正规凸模糊集 F类 ˜ 称为L-R模糊数，表示为 ( d日 , β , γ ) 我 R（右） ，如果其成员函数 μ F类 ˜ 定义如下：
μ F类 ˜ ( τ ) = 我 d日 − τ β 我 （f） τ ≤ d日 R（右） τ − d日 γ 我 （f） τ > d日 ,
其中L和R是满足以下条件的参考函数：
1 
我 ( t吨 ) 和 R（右） ( t吨 ) 没有任何增长 t吨 > 0 .
2 
我 ( 0 ) = R（右） ( 0 ) = 1 .
3 
我 ( t吨 ) = 我 ( − t吨 ) 和 R（右） ( t吨 ) = R（右） ( − t吨 ) 对于任何 t吨 ∈ R（右） .
4 
存在一个 t吨 0 我 > 0 使得 我 ( t吨 ) = 0 对于任何t大于 t吨 0 我 。同样，存在一个 t吨 0 R（右） > 0 使得 R（右） ( t吨 ) = 0 对于任何t大于 t吨 0 R（右） .
模糊数被视为实数的扩展概念，因为 F类 ˜ 减为实数d日如果 β = γ = 0 在定义2中。模糊数是表示人类知识和/或估计的有用工具。图1显示了我-R（右）模糊数。
在定义2中，如果 我 = R（右） 和 β = γ ，我们称之为我-R（右）模糊数an我模糊数。换句话说，我模糊数是定义如下的对称模糊数：
定义 3
（L模糊数）
正规凸模糊集 F类 ˜ 称为L模糊数，如果其隶属函数 μ F类 ˜ 定义如下：
μ F类 ˜ ( τ ) = 我 d日 − τ β ,
其中L是满足以下条件的参考函数：
1 
我 ( t吨 ) 任何情况下都不会增加 t吨 > 0 .
2 
我 ( 0 ) = 1 .
3 
我 ( t吨 ) = 我 ( − t吨 ) 对于任何 t吨 ∈ R（右） .
4 
存在一个 t吨 0 我 > 0 使得 我 ( t吨 ) = 0 对于任何大于 t吨 0 我 .
图2显示了我模糊数。
在定义2中，如果 我 ( t吨 ) = R（右） ( t吨 ) = 最大值 { 0 , 1 − | t吨 | } ，我们称之为我-R（右）模糊数三角形模糊数。
定义 4
（三角模糊数）
一个L-R模糊数 F类 ˜ 称为三角模糊数，表示为 ( d日 , β , γ ) t吨 第页 我 ，如果L-R模糊数的参考函数L和R为 我 ( t吨 ) = R（右） ( t吨 ) = 最大值 ( 1 − | t吨 | , 0 ) 换句话说，三角模糊数 F类 ˜ 其特征在于以下分段线性隶属函数：
μ F类 ˜ ( τ ) = 最大值 1 − | d日 − τ | β , 0 我 （f） τ ≤ d日 最大值 1 − | τ − d日 | γ , 0 我 （f） τ > d日 .
图3显示了三角模糊数的典型隶属函数。

2.2. 模糊随机变量

在本节中，我们回顾并定义了模糊随机规划问题背后的一些重要概念。模糊随机变量主要有两种定义。Kwakernaak首先定义了模糊随机变量[24]作为随机变量的扩展概念，给定事件或场景的实现值不是实数，而是模糊数。克鲁斯和迈耶[35]提供了一些与Kwakernaak的模型类似的概念。普里和雷莱斯库[25]将模糊随机变量定义为随机模糊集，并用Klemment建立了模糊随机变量的数学基础[23]. Gil等人对模糊随机变量进行了概述[22]和夏皮罗[26].
我们基于Kwakernaak的工作介绍了模糊随机变量的一般定义[24]、克鲁斯和梅耶[35]和Gil等人[21]:
定义 5
（模糊随机变量）
让 ( Ω , F类 , P（P） ) 是概率空间，并且 F类 ( R（右） ) 表示中所有模糊数的集合 R（右） ，其中 F类 ( R（右） ) 表示的一类正规凸模糊子集 R（右） 具有紧α水平集 α ∈ [ 0 , 1 ] 模糊随机变量是一种映射 A类 ¯ ˜ : Ω → F类 ( R（右） ) 这样，对于任何 α ∈ [ 0 , 1 ] 以及所有 ω ∈ Ω ，实值映射
inf公司 A类 ¯ ˜ α : Ω → R（右） , 秒 一 t吨 我 秒 （f） 年 我 n个 克 inf公司 A类 ˜ α ( ω ) = inf公司 ( A类 ˜ ( ω ) ) α
和
支持 A类 ¯ ˜ α : Ω → R（右） , 秒 一 t吨 我 秒 （f） 年 我 n个 克 支持 A类 ˜ α ( ω ) = 支持 ( A类 ˜ ( ω ) ) α
是实值随机变量，即Borel可测量的实值函数。 ( A类 ˜ ( ω ) ) α 是由定义的非空紧区间
( A类 ˜ ( ω ) ) α = { x个 ∈ R（右） | μ A类 ˜ ( ω ) ( x个 ) ≥ α } 我 （f） α ∈ ( 0 , 1 ] c（c） 我 ( 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ ( ω ) ) 我 （f） α = 0 ,
哪里 μ A类 ˜ ( ω ) 是模糊集的隶属函数 A类 ˜ ( ω ) , c（c） 我 ( 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ ( ω ) ) 表示集合的闭包 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ ( ω ) 、和 秒 u个 对 对 μ A类 ˜ ( ω ) 表示功能支持 μ A类 ˜ ( ω ) .

2.3. 决策中使用的特殊类型的模糊随机变量

为了将模糊随机变量应用于决策问题，Katagiri等人[4,6,20,36,37]介绍了一些特殊类型的模糊随机变量，其中给定事件或场景的随机变量的实现值为我-R（右）模糊数或三角模糊数。由于这些模糊随机变量对各种决策问题的建模很有用，我们将这些模糊随机变数分为以下几种类型我-R（右）模糊随机变量，我模糊随机变量和三角模糊随机变量，以及它们的示例，它们最初是在前面的文章中介绍的。
首先，我们定义我-R（右）模糊随机变量如下：
定义 6
（L-R模糊随机变量）
让 d日 ¯ , β ¯ 和 γ ¯ 是随机变量，其对给定事件的实现 ω ∈ Ω 是 d日 ( ω ) , β ( ω ) 和 γ ( ω ) ，其中Ω是一个示例空间，并且 β ( ω ) 和 γ ( ω ) 是任何 ω ∈ Ω 然后，一个模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 称为L-R模糊随机变量，表示为 ( d日 ¯ , β ¯ , γ ¯ ) 我 R（右） ，如果其实现值 F类 ˜ ( ω ) = ( d日 ( ω ) , β ( ω ) , γ ( ω ) ) 我 R（右） 对于任何事件 ω ∈ Ω L-R模糊数定义为
μ F类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 我 d日 ( ω ) − τ β ( ω ) 我 （f） τ ≤ d日 ( ω ) R（右） τ − d日 ( ω ) γ ( ω ) 我 （f） τ > d日 ( ω ) .
我-R（右）将模糊随机变量引入投资组合问题等决策问题[38]，LPP[36]和一个多目标规划问题[4]. 在这些研究中，目标函数的系数表示为我-R（右）模糊随机变量，其中扩散参数 β 和 γ 是常量，而不是随机变量，如下例所示：
例子 1
在定义6中，让 克 ¯ 是高斯（正态）随机变量 N个 ( 米 , σ 2 ) 其中m是平均值，σ是标准偏差。此外，让 β ¯ 和 γ ¯ 是正常数，而不是随机变量。然后， F类 ¯ ˜ 是一种L-R模糊随机变量，如果隶属函数的实现 F类 ¯ ˜ 定义为
μ F类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 我 克 ( ω ) − τ β 我 （f） τ ≤ 克 ( ω ) R（右） τ − 克 ( ω ) γ 我 （f） τ > 克 ( ω ) ,
哪里 克 ( ω ) 是实现的价值 克 ¯ 对于给定事件 ω ∈ Ω 、和Ω是一个示例空间。
另一个例子我-R（右）模糊随机变量显示在多目标LPP的研究中[6]如下：
例子 2
让 d日 ¯ , β ¯ 和 γ ¯ 是随机变量，表示为
d日 ¯ = d日 1 · t吨 ¯ + d日 2 , β ¯ = β 1 · t吨 ¯ + β 2 , γ ¯ = γ 1 t吨 ¯ + γ 2 ,
哪里 t吨 ¯ 是均值和方差为m的随机变量 σ 2 分别为和 d日 1 , d日 2 , β 1 , β 2 , γ 1 和 γ 2 是常量值。然后， A类 ¯ ˜ 是一种L-R模糊随机变量，如果隶属函数的实现 A类 ¯ ˜ 定义为
μ A类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 我 d日 1 · t吨 ( ω ) + d日 2 − τ β 1 · t吨 ( ω ) + β 2 我 （f） τ ≤ d日 1 · t吨 ( ω ) + d日 2 R（右） τ − d日 1 · t吨 ( ω ) + d日 2 γ 1 · t吨 ( ω ) + γ 2 我 （f） τ > d日 1 · t吨 ( ω ) + d日 2 ,
哪里 t吨 ( ω ) 是实现的价值 t吨 ¯ 对于给定事件 ω ∈ Ω 、和Ω是一个示例空间。
当定义6中左侧和右侧的参考函数相同时，即，如果它成立 我 = R（右） ，我们称之为我-R（右）模糊随机变量an我模糊随机变量定义如下：
定义 7
（L模糊随机变量）
让 d日 ¯ 和 β ¯ 是随机变量，其对给定事件的实现 ω ∈ Ω 是 d日 ( ω ) 和 β ( ω ) ，其中Ω是一个示例空间，并且 β ( ω ) 对于任何 ω ∈ Ω 然后，一个模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 如果任何事件的实现值为L模糊随机变量 ω ∈ Ω L-R模糊数定义为
μ F类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 我 d日 ( ω ) − τ β ( ω ) .
我在瓶颈最小生成树等网络优化问题中引入了模糊随机变量[20,39]. 在这些研究中，在最优网络构建问题中构建每条边的成本表示为我如下例所示的模糊随机变量：
例子 3
在定义7中，让 克 ¯ 是高斯（正态）随机变量 N个 ( 米 , σ 2 ) 其中m是平均值，σ是标准偏差。另外，让β是一个正常数，而不是一个随机变量。然后， F类 ¯ ˜ 是一种L模糊随机变量，如果隶属函数的实现 F类 ¯ ˜ 定义为
μ F类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 我 克 ( ω ) − τ β ,
哪里 克 ( ω ) 是实现的价值 克 ¯ 对于给定事件 ω ∈ Ω 、和Ω是一个示例空间。
这个我例3中显示的模糊随机变量可以解释为“混合数”。混合数最初由考夫曼和古普塔引入[40]，由一系列模糊数组成，通过沿横坐标随机移动模糊数获得。
特别是如果 我 ( t吨 ) = R（右） ( t吨 ) = 最大值 { 0 , 1 − | t吨 | } 在定义6中，我们称之为我-R（右）模糊随机变量三角形模糊随机变量。
定义 8
（三角模糊随机变量）
一个L-R模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 称为三角模糊随机变量，表示为 ( d日 ¯ , β ¯ , γ ¯ ) t吨 第页 我 ，如果实现 F类 ˜ ( ω ) 对于每个 ω k个 ∈ Ω 用三角模糊数表示 ( d日 ( ω ) , β ( ω ) , γ ( ω ) ) t吨 第页 我 ，其中Ω是一个示例空间。换句话说，离散三角模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 是一个离散模糊随机变量，其对每个事件的实现ω是一个三角形模糊数，其特征在于以下隶属函数：
μ F类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 最大值 1 − | d日 ( ω ) − τ | β ( ω ) , 0 我 （f） τ ≤ d日 ( ω ) 最大值 1 − | τ − d日 ( ω ) | γ ( ω ) , 0 我 （f） τ > d日 ( ω ) .
在多目标LPP的研究中引入了三角模糊随机变量[37]. 在本研究中，传播参数 β ¯ 和 γ ¯ 不是随机变量，而是常量，如下例所示：
例子 4
在定义8中，让 β ¯ 和 γ ¯ 是正常数，而不是随机变量。然后， F类 ¯ ˜ 是一种三角模糊随机变量的隶属函数的实现 F类 ¯ ˜ 定义为
μ F类 ˜ ( ω ) ( τ ) = 最大值 1 − | d日 ( ω ) − τ | β , 0 我 （f） τ ≤ d日 ( ω ) 最大值 1 − | τ − d日 ( ω ) | γ , 0 我 （f） τ > d日 ( ω ) ,
哪里 d日 ( ω ) 是实现的价值 d日 ¯ 对于给定事件 ω ∈ Ω 、和Ω是一个示例空间。

3.离散模糊随机变量

在本节中，我们讨论了离散模糊随机变量，为提出具有离散模糊随机变量的LPP的新框架做准备。
首先，我们回顾了Kawakernaak给出的离散模糊随机变量的定义[41]. 其次，我们提供了离散的定义我-R（右）模糊随机变量和离散三角模糊随机变量在网络优化问题中的应用[31]，LPP[32]和一个多目标0-1规划问题[13].

离散模糊随机变量的定义

20世纪70年代，夸克纳克[41]最初提出了离散模糊随机变量的概念。本文给出了离散模糊随机变量的定义如下：
定义 9
（离散模糊随机变量）
让Ω是一组事件，每个事件的发生概率 ω k个 ∈ Ω 是 对 k个 还有那个 ∑ k个 对 k个 = 1 .让 F类 ˜ k个 是一个以隶属函数为特征的模糊集 μ F类 ˜ k个 ，并让 F类 是一组 F类 k个 , ∀ k个 ∈ K（K） ，其中K是K的索引集 F类 ¯ ˜ 是来自的映射Ω到 F类 使得 F类 ¯ ˜ ( ω k个 ) = ▵ F类 ˜ k个 然后，映射 F类 ¯ ˜ 称为离散模糊随机变量。
考虑到离散模糊随机变量在实际决策中的适用性，我们定义了离散我-R（右）模糊随机变量是一类特殊的离散模糊随机变量。
定义 10
（离散L-R模糊随机变量）
离散模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 称为离散的L-R模糊随机变量，表示为 ( d日 ¯ , β ¯ , γ ¯ ) 我 R（右） ，如果实现 F类 ¯ ˜ = ( d日 ¯ , β ¯ , γ ¯ ) 我 R（右） 对于任何事件 ω k个 ∈ Ω 是L-R模糊数 F类 ˜ k个 = ( d日 k个 , β k个 , γ k个 ) 我 R（右） ，其中 d日 k个 , β k个 和 γ k个 是实现的价值 d日 ¯ , β ¯ 、和 γ ¯ 对于给定的事件 ω k个 ∈ Ω 分别为和Ω是一个示例空间。然后， F类 ¯ ˜ 是一个L-R模糊随机变量，其中实现的隶属函数 F类 ˜ k个 对于每个事件 ω k个 ∈ Ω 定义为
μ F类 ˜ k个 ( τ ) = 我 d日 k个 − τ β k个 我 （f） τ ≤ d日 k个 R（右） τ − d日 k个 γ k个 我 （f） τ > d日 k个 .
以下是离散的示例我-R（右）模糊随机变量：
例子 5
考虑 β k个 和 γ k个 因事件或场景而异。然后， F类 ¯ ˜ 是一个离散的L-R模糊随机变量，其中实现的模糊数的隶属函数为 F类 ˜ k个 , k个 = 1 , 2 , 三 定义如下：
μ F类 ˜ 1 ( τ ) = 我 300 − τ 35 我 （f） τ ≤ 300 R（右） τ − 300 20 我 （f） τ > 300 , μ F类 ˜ 2 ( τ ) = 我 200 − τ 25 我 （f） τ ≤ 200 R（右） τ − 200 10 我 （f） τ > 200 , μ F类 ˜ 三 ( τ ) = 我 100 − τ 30 我 （f） τ ≤ 100 R（右） τ − 100 15 我 （f） τ > 100 ,
图4显示了离散变量的典型隶属函数我-R（右）模糊随机变量。
特别是，如果 我 ( t吨 ) = R（右） ( t吨 ) = 最大值 { 0 , 1 − | t吨 | } 在定义10中，我们称这种离散我-R（右）模糊随机变量一个离散的三角形模糊随机变量。
定义 11
（离散三角模糊随机变量）
离散L-R模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 称为离散三角模糊随机变量，表示为 ( d日 ¯ , β ¯ , γ ¯ ) t吨 第页 我 ，如果实现 F类 k个 ˜ 对于每个 ω k个 ∈ Ω 用三角模糊数表示 ( d日 k个 , β k个 , γ k个 ) t吨 第页 我 ，其中Ω是一个示例空间。换句话说，离散三角模糊随机变量 F类 ¯ ˜ 是一个离散模糊随机变量，其对每个事件的实现 ω k个 是一个三角模糊数，具有以下隶属函数：
μ F类 ˜ k个 ( τ ) = 最大值 1 − | d日 k个 − τ | β k个 , 0 我 （f） τ ≤ d日 k个 最大值 1 − | τ − d日 k个 | γ k个 , 0 我 （f） τ > d日 k个 .
例子 6
当它持有这个 我 ( t吨 ) = R（右） ( t吨 ) = 最大值 { 0 , 1 − | t吨 | } 在示例5中， F类 ¯ ˜ 是离散三角模糊随机变量，其实现值 F类 ˜ k个 , k个 = 1 , 2 , 三 具有以下隶属函数：
μ F类 ˜ 1 ( τ ) = 最大值 1 − | 300 − τ | 35 , 0 我 （f） τ ≤ 300 最大值 1 − | τ − 300 | 20 , 0 我 （f） τ > 300 , μ F类 ˜ 2 ( τ ) = 最大值 1 − | 200 − τ | 25 , 0 我 （f） τ ≤ 200 最大值 1 − | τ − 200 | 10 , 0 我 （f） τ > 200 , μ F类 ˜ 三 ( τ ) = 最大值 1 − | 100 − τ | 30 , 0 我 （f） τ ≤ 100 最大值 1 − | τ − 100 | 15 , 0 我 （f） τ > 100 .
图5显示了离散三角模糊随机变量的典型隶属函数。
在之前的一些网络优化问题研究中，首次引入了离散三角模糊随机变量[31]，LPP[32]和一个多目标0-1规划问题[13].
在这些研究中，传播参数 β k个 和 γ k个 不随事件而变化 ω k个 但对于任何事件，它们都是固定不变的。据作者所知，还没有研究过线性规划模型，其中扩散参数 β k个 和 γ k个 离散模糊随机变量随不同事件而变化 ω k个 ∈ Ω .
在下一节中，我们将提出具有离散模糊随机变量的新的线性规划模型，其中扩散参数随随机事件而变化。

4.问题制定

假设目标函数的系数为离散模糊随机变量，我们考虑以下模糊随机规划问题：
减少 C类 ¯ ˜ 我 x个 , 我 = 1 , 2 , … , q个 主题 到 A类 x个 ≤ b条 , x个 ≥ 0 ,
哪里 C类 ¯ ˜ 我 = ( C类 ¯ ˜ 我 1 , … , C类 ¯ ˜ 我 n个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 是n个元素为离散模糊随机变量的维数系数行向量，x个是一个n个维度决策变量列向量，A类是一个 米 × n个 系数矩阵，以及b条是一个米维度列向量。当目标函数数等于1时( q个 = 1 )则问题（15）成为单目标模糊随机规划问题；否则，当 q个 ≥ 2 ，（15）是一个多目标模糊随机规划问题。在问题（15）中，所有目标函数都要最小化。在不损失一般性的情况下，本文考虑最小化问题，因为任何最大化问题都可以通过将最大化问题中的原始目标函数乘以 − 1 .

4.1. 离散L-R模糊随机变量模型

在问题（15）中，我们首先考虑每个元素 C类 ¯ ˜ 我 j个 系数向量的 C类 ¯ ˜ 我 = ( C类 ¯ ˜ 我 1 , … , C类 ¯ ˜ 我 n个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 in（15）是离散的我-R（右）模糊随机变量 ( d日 ¯ 我 j个 , β ¯ 我 j个 , γ ¯ 我 j个 ) 我 R（右） 其对给定事件的实现 ω 我 k个 ∈ Ω 我 是一个我-R（右）模糊数 C类 ˜ 我 j个 k个 = ▵ ( d日 我 j个 k个 , β 我 j个 k个 , γ 我 j个 k个 ) 我 R（右） , 我 = 1 , 2 , … , q个 , j个 = 1 , 2 , … , n个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 成员函数定义为
μ C类 ˜ 我 j个 k个 ( τ ) = 我 d日 我 j个 k个 − τ β 我 j个 k个 如果 τ ≤ d日 我 j个 k个 R（右） τ − d日 我 j个 k个 γ 我 j个 k个 如果 τ > d日 我 j个 k个 ,
哪里 Ω 我 = ▵ { ω 我 1 , ω 我 2 , … , ω 我 第页 我 } 表示与我目标函数。在（16）中 d日 我 j个 k个 , β 我 j个 k个 和 γ 我 j个 k个 是常数，并且 β 我 j个 k个 和 γ 我 j个 k个 都是积极的。每个事件发生的概率 ω 我 k个 occurrence表示为 对 我 k个 ，其中 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 = 1 , ∀ 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } .图6显示了我-R（右）由（16）定义的模糊数。
通过模糊数的扩展和[42]基于Zadeh的可拓原理[43]，目标函数 C类 ¯ ˜ 我 x个 由单个模糊随机变量表示，该变量在事件或场景中的实现值 ω 我 k个 是一个我-R（右）模糊数 C类 ˜ 我 k个 x个 = ( d日 我 k个 x个 , β 我 k个 x个 , γ 我 k个 x个 ) 我 R（右） 以隶属函数为特征
μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( υ ) = 我 d日 我 k个 x个 − υ β 我 k个 x个 如果 υ ≤ d日 我 k个 x个 R（右） υ − d日 我 k个 x个 γ 我 k个 x个 如果 υ > d日 我 k个 x个 ,
哪里 d日 我 k个 , β 我 k个 和 γ 我 k个 是n个其值随事件而变化的维度列向量 ω 我 k个 ∈ Ω 我 , 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } .图7显示了我-R（右）由（17）定义的模糊数。

4.2. 离散三角模糊随机变量模型

作为一种特殊类型的离散我-R（右）定义在（17）中的模糊随机变量，我们还考虑以下情况 C类 ¯ ˜ 我 j个 是一个离散的三角模糊随机变量，其中事件或场景的实现值是三角模糊数 C类 ˜ 我 j个 k个 = ( d日 我 j个 k个 , β 我 j个 k个 , γ 我 j个 k个 ) t吨 第页 我 对于 ω k个 我 ∈ Ω 我 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , j个 = 1 , 2 , … , n个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 具有以下成员功能：
μ C类 ˜ 我 j个 k个 ( τ ) = 最大值 1 − | d日 我 j个 k个 − τ | β 我 j个 k个 , 0 如果 τ ≤ d日 我 j个 k个 最大值 1 − | τ − d日 我 j个 k个 | γ 我 j个 k个 , 0 如果 τ > d日 我 j个 k个 .
然后，通过Zadeh的可拓原理，每个目标函数的实现值 C类 ¯ ˜ 我 x个 对于给定事件 ω 我 k个 由单个三角模糊数表示 ( d日 我 k个 x个 , β 我 k个 x个 , γ 我 k个 x个 ) t吨 第页 我 其特点是
μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( υ ) = 最大值 1 − | d日 我 k个 x个 − υ | β 我 k个 x个 , 0 如果 υ ≤ d日 我 k个 x个 最大值 1 − | υ − d日 我 k个 x个 | γ 我 k个 x个 , 0 如果 υ > d日 我 k个 x个 .
图8和图9显示的成员函数 C类 ˜ 我 j个 k个 和 C类 ˜ 我 k个 x个 .

5.基于可能性/必要性的概率期望

本节专门讨论用离散模糊随机变量解决问题（15）的优化准则，其实现值如下所示我-R（右）由（17）定义的模糊数或由（19）定义的三角模糊数。
这里应该注意的是，问题（15）不是一个定义明确的数学规划问题，因为即使在决策向量x个确定，目标函数值 C类 ˜ 我 k个 x个 由于 C类 ˜ 我 k个 换句话说，比较模糊随机目标函数的值需要一定的优化准则。
在本节中，我们基于可能性和概率测度提出了一些有用的优化准则，称为基于可能性/必要性的概率期望。

5.1. 初步：可能性和必要性措施

作为模糊随机决策环境中优化准则的准备，我们回顾了可能性测度和必要性测度的定义，并讨论了如何将这些测度应用于离散模糊随机变量问题。

5.1.1. 可能性度量

考虑到模糊集的隶属函数可以看作是可能变量的可能分布[44]，给出了可能性测度的定义[34,44]如下：
定义 12
（可能性度量）
让 A类 ˜ 和 B ˜ 以隶属函数为特征的模糊集 μ A类 ˜ 和 μ B ˜ 分别是。然后，在可能的分布下 μ A类 ˜ 关于可能性变量α，α在模糊集合中事件的可能性测度 B ˜ 定义如下：
Π A类 ˜ ( B ˜ ) = ▵ 支持 v（v） 最小值 μ A类 ˜ ( v（v） ) , μ B ˜ ( v（v） ) .
在目标函数最小化的决策情况下，决策者通常有一个模糊目标，例如“目标函数值 C类 ˜ 我 k个 x个 实质上小于或等于某个值 （f） 我 ，”表示为 C类 ¯ ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 ，其中 ∼ < 表示（12）中定义的“实质上小于或等于”。让 μ G公司 ˜ 我 是模糊集的隶属函数 G公司 ˜ 我 这样年基本上小于或等于某个值 （f） 我 用表示 μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) .
假设某个事件 ω 我 k个 已经发生了，基于可能性理论和符号（20）。那么 C类 ˜ 我 k个 x个 满足模糊目标 G公司 ˜ （即目标函数值的可能性程度 C类 ¯ ˜ 我 k个 x个 对于任何事件 ω 我 k个 ∈ Ω 我 实质上小于或等于某一期望水平 （f） 我 )定义为
Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ Π C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = 支持 年 最小值 μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 ) , μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
图10说明了由（21）定义的固定事件的可能性程度 ω 我 k个 ，它是模糊目标隶属函数之间交叉点的纵坐标 G公司 ˜ 我 以及目标函数 C类 ˜ 我 k个 x个 .

5.1.2. 必要性措施

对于从悲观观点做出决策的决策者，建议采取必要措施。扎德定义的必要性措施[44]还有Dubois和Prade[34]如下所示：
定义 13
（必要性措施）
让 A类 ˜ 和 B ˜ 以隶属函数为特征的模糊集 μ A类 ˜ 和 μ B ˜ 分别是。然后，在可能的分布下 μ A类 ˜ 关于可能变量α，α在模糊集合中事件的必然测度 B ˜ 定义如下：
N个 A类 ˜ ( B ˜ ) = ▵ inf公司 v（v） 最大值 1 − μ A类 ˜ ( v（v） ) , μ B ˜ ( v（v） ) .
然后，鉴于（22），目标函数值的必要性程度 C类 ¯ ˜ 我 k个 x个 对于任何事件 ω 我 k个 ∈ Ω 我 满足模糊目标 G公司 ˜ 我 定义为
N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = inf公司 年 最大值 1 − μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 ) , μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 .
图11说明了由（23）定义的必要度，它是模糊目标隶属函数之间交叉点的纵坐标 G公司 ˜ 我 目标函数的隶属函数的升降 C类 ˜ 我 k个 x个 .
可能性编程[45,46]是处理参数不明确的数学优化问题的最有前途的工具之一。

5.2. 模糊随机环境中的优化准则

可能性规划方法不能直接应用于求解离散模糊随机变量问题。这是因为（21）或（23）中定义的可能性或必要性程度不是常数，而是根据事件而变化的 ω 我 k个 .
在本节中，考虑到问题系数的模糊性和随机性，我们新提出了一些有用的离散模糊随机变量问题的优化准则。作为一种新的优化标准，我们提供了基于可能性的概率期望（PPE）和基于必要性的概率预期（NPE），如下所示：
定义 14
（基于可能性的概率期望（PPE））
让 C类 ¯ ˜ 我 = ( C类 ¯ ˜ 我 1 , … , C类 ¯ ˜ 我 n个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 是（多目标）LPP（15）中模糊随机变量的n维系数行向量。假设 C类 ¯ ˜ 我 j个 是模糊集（或特殊情况下的模糊数） C类 ¯ ˜ 我 j个 k个 .让 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 是固定事件的可能性程度 ω 我 k个 定义见（21）。通过使用 对 我 k个 这是一个事件或场景 w个 我 k个 发生这种情况时，称为基于可能性的概率期望（PPE）的优化标准的定义和计算如下：
E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · Π C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 支持 年 最小值 μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 ) , μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
哪里 E类 [ · ] 表示概率期望。
建议采取可行的措施以乐观地对待DM。另一方面，由于决策模型通常并不总是乐观的，为了构建悲观决策模型的优化准则，我们引入了以下基于必要性测度的新优化准则：
定义 15
（基于必要性的概率期望（NPE））
让 C类 ¯ ˜ 我 = ( C类 ¯ ˜ 我 1 , … , C类 ¯ ˜ 我 n个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 是（多目标）LPP（15）中模糊随机变量的n维系数行向量。假设 C类 ¯ ˜ 我 j个 是模糊集（或特殊情况下的模糊数） C类 ¯ ˜ 我 j个 k个 .让 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 是固定事件的必要程度 ω 我 k个 定义见（21）。然后，以下优化标准被认为是基于必要性的概率期望（NPE）：
E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · inf公司 年 最大值 1 − μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 ) , μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 .

6.基于概率期望的离散模糊随机线性规划模型

基于上一节中定义为（24）或（25）的新优化准则，我们提出了模糊随机环境中基于线性规划的新决策模型。

6.1. 基于可能性的概率期望（PPE）模型

当DM乐观时，使用基于PPE的模型是合理的。然后，我们考虑以下问题以最大化可能性程度的概率期望：
[基于可能性的概率期望模型（PPE模型）]
最大化 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 , 我 = 1 , 2 , … , q个 主题 到 x个 ∈ X（X） ,
其中，问题（26）的目标函数如（24）所示。
一般来说，问题（26）是一个多目标规划问题。尤其是在以下情况下 q个 = 1 ，（26）成为一个单目标规划问题，最优解是使目标函数最大化的可行解。另一方面，当 q个 ≠ 1 ，待解决问题具有多个目标函数，这意味着通常不存在同时使所有目标函数最大化的完整解。在这种多目标情况下，（26）的合理求解方法之一是寻求满足Pareto最优的解，称为Pareto最佳解。我们定义了（26）的Pareto最优解。首先，我们引入弱Pareto最优解的概念如下：
定义 16
（PPE模型的弱Pareto最优解）
x个 * ∈ X（X） 称为基于可能性的概率期望模型的弱Pareto最优解当且仅当不存在 x个 ∈ X（X） 使得
E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 > E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 为所有人 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } .
作为一个比弱Pareto最优解更强的概念，（26）的（强）Pareto最佳解定义如下：
定义 17
（PPE模型的（强）Pareto最优解）
x个 * ∈ X（X） 称为基于可能性的概率期望模型的（强）Pareto最优解当且仅当不存在 x个 ∈ X（X） 使得 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 ≥ E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 为所有人 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ，还有那个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 > E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 至少一个 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } .
为了获得PPE模型的（弱/强）Pareto最优解，我们考虑以下最大化问题，这是获得多目标规划问题的（弱/强）Pareto最优解的标量化方法之一[47]:
[PPE模型的Maximin问题]
最大化 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 主题 到 x个 ∈ X（X） .
在多目标优化理论中，众所周知，maximin问题的最优解至少保证弱Pareto最优性。然后，我们展示以下命题：
提议 1
（PPE模型极大极小问题的弱帕累托最优）
让 x个 * 是问题（27）的最优解。然后， x个 * 是问题（26）的弱Pareto最优解，即PPE模型的弱Paret最优解。
证明。 
假设最佳解决方案 x个 * （27）不是定义16中定义的PPE模型的弱Pareto最优解。那么，有一个可行的解决方案 x个 ^ ∈ X（X） 第（27）条，以便 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ^ ∼ < （f） 我 > E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 为所有人 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } 然后，它如下
最小值 我 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ^ ∼ < （f） 我 > 最小值 我 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 .
这与以下事实相矛盾： x个 * 是（27）的最优解。⏹
由于（27）的最优解通常不是（强）Pareto最优解，而是弱Pareto最佳解，因此我们考虑以下增广极大值问题，以找到满足强Pareto最优性而不是弱Pareto最优性的解。
[PPE模型的增广极大极小问题]
最大化 z（z） Π ( x个 ) = ▵ 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 + ρ ∑ 我 = 1 q个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 主题 到 x个 ∈ X（X） ,
哪里 ρ 是一个足够小的正常数 10 − 6 .
在多目标优化理论中[47]众所周知，增广极大极小问题的最优解保证了（强）Pareto最优性。然后，我们得到以下命题：
提议 2
（PPE模型增广极大极小问题的（强）Pareto最优性）
让 x个 * 是问题（28）的最优解。然后， x个 * 是（26）的（强）Pareto最优解，即PPE模型的（强”Pareto最佳解。
证明。 
假设（28）的最优解，表示为 x个 * 不是PPE模型的（强）Pareto最优解。然后，存在 x个 ^ 使得
E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 ≥ E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 为所有人 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ，还有那个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 > E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 至少一个 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } 然后，它如下
最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ^ ∼ < （f） 我 ≥ 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 ρ ∑ 我 = 1 q个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ^ ∼ < （f） 我 > ρ ∑ 我 = 1 q个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 .
因此，它认为
最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ^ ∼ < （f） 我 + ρ ∑ 我 = 1 q个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ^ ∼ < （f） 我 > 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 + ρ ∑ 我 = 1 q个 E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 .
这与以下事实相矛盾： x个 * 是增广极大极小问题的最优解。 ☐

6.2. 基于必要性的概率期望模型（NPE模型）

与上一节讨论的情况不同，当DM悲观时，建议使用NPE模型，而不是PPE模型。本节致力于解决基于（25）的基于必要性的概率期望（NPE）模型在线性隶属函数情况下如何求解。
使用（25）中定义的基于必要性的概率均值，我们考虑另一种新的决策模型，称为NPE模型，并将数学规划问题公式化如下：
[基于必要性的概率期望模型（NPE模型）]
最大化 E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 , 我 = 1 , 2 , … , q个 主题 到 x个 ∈ X（X） .
什么时候？ q个 = 1 ，（29）是一个单目标问题。否则，即当 q个 ≥ 2 ，（29）是一个多目标问题，其中满足（强）Pareto最优的解，称为（强）Pareto最优解，被认为是合理的最优解。我们定义了（29）的（强）Pareto最优解。NPE模型的弱Pareto最优解的概念定义如下：
定义 18
（NPE模型的弱Pareto最优解）
x个 * ∈ X（X） 称为基于必要性的概率期望模型的弱Pareto最优解当且仅当不存在 x个 ∈ X（X） 使得
E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 > E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 为所有人 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } .
作为一个比弱Pareto最优解更强的概念，（29）的（强）Pareto最佳解定义如下：
定义 19
（强）NPE模型的Pareto最优解
x个 * ∈ X（X） 称为基于必要性的概率期望模型的（强）Pareto最优解当且仅当不存在 x个 ∈ X（X） 使得 E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 ≥ E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 为所有人 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ，还有那个 E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 > E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 * ∼ < （f） 我 至少一个 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } .

基于标量化的帕累托最优解获取问题

为了获得NPE模型的（弱）Pareto最优解，我们考虑以下maximin问题，这是解决多目标优化问题的著名标量化方法之一：
[NPE模型的Maximin问题]
最大化 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 主题 到 x个 ∈ X（X） .
与上一节讨论的PPE模型的情况类似，我们得到了以下命题：
提议 3
（NPE模型极大极小问题的弱Pareto最优性）
让 x个 * 是问题（30）的最优解。然后， x个 * 是（29）的弱Pareto最优解，即NPE模型的弱Paret最优解。
因为命题3的证明与命题1的证明非常相似，所以我们省略了它的证明。与问题（29）最优解的性质类似，（30）的最优解并不总是（强）Pareto最优解，而通常只是弱Pareto最佳解。
为了找到满足（强）Pareto最优性而不是弱Pareto最优性的解，我们考虑以下增广极大极小问题。
[NPE模型的增广极大极小问题]
最大化 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 + ρ ∑ 我 = 1 q个 E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 最大化 到 x个 ∈ X（X） ,
哪里 ρ 是一个足够小的正常数 10 − 6 .
然后，我们得到以下命题：
提议 4
NPE模型增广极大极小问题的（强）Pareto最优性
让 x个 * 是问题（31）的最优解。然后， x个 * 是（29）的（强）Pareto最优解，即NPE模型的（强”Pareto最佳解。
我们省略了命题4的证明，因为它与命题2的证明相似。

7.求解算法

7.1. PPE模型的求解算法

现在我们讨论如何求解问题（28），以便获得PPE模型的（强）Pareto最优解。在这里，我们重点讨论模糊数和模糊目标的所有隶属函数都由线性隶属函数表示的情况。更具体地说，我们限制自己考虑（15）中目标函数的系数是（11）中定义的三角模糊随机变量，以及模糊目标的隶属函数 G公司 ˜ 我 对于我目标函数是以下分段线性隶属函数，称为线性隶属函数：
μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) = 1 如果 年 < （f） 我 1 , 我 = 1 , 2 , … , q个 年 − （f） 我 0 （f） 我 1 − （f） 我 0 如果 （f） 我 1 ≤ 年 ≤ （f） 我 0 0 如果 年 > （f） 我 0 ,
哪里 （f） 我 0 和 （f） 我 1 是指其值由DM确定的参数。图12显示了模糊目标的隶属度 G公司 ˜ 我 用线性隶属函数表示。
从实际角度来看，演示如何确定参数值很重要 （f） 我 0 和 （f） 我 1 模糊目标的线性隶属函数（32） G公司 ˜ 我 , 我 = 1 , 2 , … , q个 当DM可以容易地设置 （f） 我 0 和 （f） 我 1 , 我 = 1 , 2 , … , q个 这些值应由DM自己的想法或选择决定。另一方面，当DM难以确定模糊目标的参数值时，我们建议 （f） 我 1 和 （f） 我 0 确定如下：
（f） 我 1 = ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 ^ j个 我 * （f） 我 0 = 最大值 第页 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 ^ j个 第页 * 对于 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
哪里 x个 ^ 我 * 表示以下各项的最佳解决方案我具有单一目标函数的优化问题：
减少 ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 j个 主题 到 x个 ∈ X（X） 对于 我 = 1 , 2 , … , q个 .
上述计算方法与Zimmermann方法类似[48]它最初是为模糊（非随机）线性规划引入的。
我们考虑目标函数的系数作为离散三角模糊随机变量的情况。假设 μ C类 ˜ 我 j个 k个 和 μ G公司 ˜ 我 分别由（18）和（32）给出，我们可以证明以下定理成立：
定理 1
假设 C类 ¯ ˜ 我 j个 是一个离散的三角模糊随机变量，其事件的实现值是三角模糊数，其特征为（18），并且每个模糊目标的隶属函数 G公司 ˜ 我 其特征在于（32）和（33）。然后，基于可能性的概率期望（PPE）计算为
E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
哪里
克 我 k个 Π ( x个 ) = ▵ ∑ j个 = 1 n个 ( β 我 j个 k个 − d日 我 j个 k个 ) x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 β 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
证明。 
计算 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 分为三种情况，即1）情况1：如果 d日 我 k个 x个 < （f） 我 1 ，2）情况2：如果 （f） 我 1 ≤ d日 我 k个 x个 ≤ （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 ，3）情况3：如果 d日 我 k个 x个 > （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 .
  • 案例1：如果 d日 我 k个 x个 < （f） 我 1 的价值 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 等于1，如所示图13.
  • 案例2：如果 （f） 我 1 ≤ d日 我 k个 x个 ≤ （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 ，的值 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 作为模糊目标隶属函数之间交叉点的纵坐标计算 G公司 ˜ 我 和目标函数 C类 我 k个 x个 ，如所示图14.两个函数交叉点的横坐标( μ C类 ˜ 我 k个 x个 和 μ G公司 ˜ 我 )通过求解方程得到
    1 − d日 我 k个 x个 − 年 β 我 k个 x个 = 年 − （f） 我 0 （f） 我 1 − （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
    然后，解决方案 年 我 k个 Π * （37）的是
    年 我 k个 Π * = （f） 我 1 ∑ j个 = 1 n个 β 我 j个 k个 x个 j个 + ( （f） 我 0 − （f） 我 1 ) ∑ j个 = 1 n个 d日 我 j个 k个 x个 j个 ∑ j个 = 1 n个 β 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
    因此，交叉点的纵坐标计算为
    μ G公司 ˜ 我 年 我 k个 Π * = μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 我 k个 Π * ) = ∑ j个 = 1 n个 ( β 我 j个 k个 − d日 我 j个 k个 ) x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 β 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 = ▵ 克 我 k个 Π ( x个 )
    对于 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
  • 案例3：如果 d日 我 k个 x个 > （f） 我 0 + γ 我 k个 ，的值 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 等于0，如所示图15.
因此，上述三种情况的计算结果可以集成并表示为单一形式
Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ Π C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = 1 如果 d日 我 k个 x个 < （f） 我 1 克 我 k个 Π ( x个 ) 如果 （f） 我 1 ≤ d日 我 k个 x个 ≤ （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 0 如果 d日 我 k个 x个 > （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 = 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) .
因此， E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 根据定义14计算如下：
E类 Π C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · Π C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 .
☐
图13,图14和图15说明模糊目标的可能性程度 G公司 ˜ 我 在可能性分布下实现 μ C类 ˜ 我 k个 x个 分别对应于案例1、案例2和案例3。在每个图中，粗体线表示 最小值 μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 ) , μ G公司 ˜ 我 ( 年 ) .英寸图13，粗线的最大值为1。在图14，粗体行的最大值介于0和1之间。在图15，粗体行的最大值为0。
从命题2来看，增广极大极小问题（28）的最优解是一个（强）Pareto最优解。在线性隶属函数的情况下，PPE模型的增广最大化问题（28）使用（35）和（36）公式化如下：
[PPE模型的增广极大极小问题（线性隶属函数情形）]
最大化 z（z） Π ( x个 ) = ▵ 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) + ρ ∑ 我 = 1 q个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) 主题 到 x个 ∈ X（X） ,
哪里 克 我 k个 Π 由（36）给出，即，
克 我 k个 Π ( x个 ) = ▵ ∑ j个 = 1 n个 ( β 我 j个 k个 − d日 我 j个 k个 ) x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 β 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 ,
和 ρ 是一个足够小的正常数。
现在，我们总结了一种在多目标情况下获得基于可能性的概率期望模型（PPE模型）的（强）Pareto最优解的算法。
[获得PPE模型（强）Pareto最优解的算法（线性隶属函数情况）]
第1步： 
（可能目标函数值的计算）
使用线性规划技术，解决单个最小化问题（34） 我 = 1 , 2 , … , q个 ，即
减少 ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 j个 主题 到 x个 ∈ X（X） 对于 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
并获得最佳解决方案 x个 我 * 的我的th最小化问题 我 = 1 , 2 , … , q个 .
第二步： 
（模糊目标隶属函数的设置）
要求DM指定 （f） 我 0 和 （f） 我 1 , 我 = 1 , 2 , … , q个 .如果DM不知道如何 （f） 我 0 和 （f） 我 1 , 我 = 1 , 2 , … , q个 则DM可以将通过（33）计算出的以下值设置为
（f） 我 1 = ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 ^ j个 我 * （f） 我 0 = 最大值 第页 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 ^ j个 第页 * 对于 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
使用最佳解决方案 x个 我 * 在步骤1中获得。
第三步： 
（推导PPE模型的强Pareto最优解）
使用非线性规划技术，解决以下增广极大极小问题（38）：
最大化 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) + ρ ∑ 我 = 1 q个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 Π ( x个 ) 主题 到 x个 ∈ X（X） ,
哪里
克 我 k个 Π ( x个 ) = ▵ ∑ j个 = 1 n个 ( β 我 j个 k个 − d日 我 j个 k个 ) x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 β 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 ,
和 ρ 是一个足够小的正常数。
这里应该注意的是，（38）是一个具有线性约束的非线性规划问题（NLPP），其中目标函数具有不计算梯度的点。在这种情况下，可以使用某种启发式或元启发式算法来解决问题。另一种适用的解决方法是Nelder-Mead方法[49]它可以求解线性约束的NLPP，而不需要任何关于目标函数导数和约束的信息。

7.2. NPE模型的求解算法

当DM对获得的目标函数值感到悲观时，建议使用基于必要性的概率期望（NPE）模型。以与PPE模型适用的定理1类似的方式，我们获得了关于NPE模型的以下定理：
定理 2
假设 C类 ¯ ˜ 我 j个 是一个离散的三角模糊随机变量，其事件的实现值是三角模糊数，其特征为（18），并且每个模糊目标的隶属函数 G公司 ˜ 我 其特征在于（32）和（33）。然后，将（25）中定义的基于必要性的概率期望计算为
E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
哪里
克 我 k个 N个 ( x个 ) = ▵ − ∑ j个 = 1 n个 d日 我 j个 k个 x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 γ 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
证明。 
从必要性措施的定义来看 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 除以三种情况，即1）情况1：如果 d日 我 k个 x个 < （f） 我 1 ，2）情况2：如果 （f） 我 1 ≤ d日 我 k个 x个 ≤ （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 ，3）情况3：如果 d日 我 k个 x个 > （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 .
  • 案例1：如果 ( d日 我 k个 + γ 我 k个 ) x个 < （f） 我 1 ，的值 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 等于1，如所示图16.
  • 情况2：如果 （f） 我 1 − γ 我 k个 x个 ≤ d日 我 k个 x个 ≤ （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 ，的值 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 作为模糊目标隶属函数之间交叉点的纵坐标计算 G公司 ˜ 我 和目标函数 C类 我 k个 x个 ，如所示图17.两个函数交叉点的横坐标( μ C类 ˜ 我 k个 x个 和 μ G公司 ˜ 我 )通过求解方程得到
    年 − d日 我 k个 x个 γ 我 k个 x个 = 年 − （f） 我 0 （f） 我 1 − （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
    那么，（41）的解是
    年 我 k个 N个 * = （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 γ 我 j个 k个 x个 j个 + ( （f） 我 0 − （f） 我 1 ) ∑ j个 = 1 n个 d日 我 j个 k个 x个 j个 ∑ j个 = 1 n个 γ 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
    因此，交叉点的纵坐标计算为
    μ G公司 ˜ 我 年 我 k个 N个 * = 1 − μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 我 k个 N个 * ) = − ∑ j个 = 1 n个 d日 我 j个 k个 x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 γ 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 = ▵ 克 我 k个 N个 ( x个 )
    对于 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 .
  • 案例3：如果 d日 我 k个 x个 > （f） 我 0 ，的值 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 等于0，如所示图18.
上述三种情况的计算结果可以集成并表示为单一形式
N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = 1 如果 d日 我 k个 x个 < （f） 我 1 − γ 我 k个 x个 克 我 k个 N个 ( x个 ) 如果 （f） 我 1 − γ 我 k个 x个 ≤ d日 我 k个 x个 ≤ （f） 我 0 + γ 我 k个 x个 0 如果 d日 我 k个 x个 > （f） 我 0 = 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) .
因此，（25）中定义的基于必要性的概率期望计算如下
E类 N个 C类 ¯ ˜ 我 x个 ∼ < （f） 我 = ▵ ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · N个 C类 ¯ ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ( G公司 ˜ 我 ) = ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) , 我 = 1 , 2 , … , q个 .
☐
图16,图17和图18说明模糊目标的必要性程度 G公司 ˜ 我 在可能性分布下实现 μ C类 ˜ 我 k个 x个 分别对应于案例1、案例2和案例3。在每个图中，粗体线表示 最大值 { 1 − μ C类 ˜ 我 k个 x个 ( 年 我 ) , μ G公司 ˜ 我 ( 年 我 ) } .英寸图16，粗体线的最小值为1。在图17，粗体线的最小值介于0和1之间。在图18，粗体线的最小值为0。
从命题4来看，增广极大极小问题（31）的最优解是NPE模型的（强）Pareto最优解。在线性隶属函数的情况下，NPE模型的增广极大值问题（42）用（39）和（40）表示如下：
[NPE模型的增广极大极小问题（线性隶属函数情形）]
最大化 z（z） N个 ( x个 ) = ▵ 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) + ρ ∑ 我 = 1 q个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) 主题 到 x个 ∈ X（X） ,
哪里 克 我 k个 N个 ( x个 ) 由（40）给出，即，
克 我 k个 N个 ( x个 ) = ▵ − ∑ j个 = 1 n个 d日 我 j个 k个 x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 γ 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 ,
和 ρ 是一个足够小的正常数。
现在，我们总结了在多目标情况下获得基于必要性的概率期望模型（NPE模型）的（强）Pareto最优解的算法。
[获得NPE模型（强）Pareto最优解的算法（线性隶属函数情况）]
第1步： 
（可能目标函数值的计算）
通过使用线性规划技术，解决单个最小化问题（34） 我 = 1 , 2 , … , q个 ，即
减少 ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 j个 主题 到 x个 ∈ X（X） 对于 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
并获得最佳解决方案 x个 我 * 的我的th最小化问题 我 = 1 , 2 , … , q个 .
第二步： 
（模糊目标隶属函数的设置）
要求DM指定 （f） 我 0 和 （f） 我 1 , 我 = 1 , 2 , … , q个 .如果决策不知道如何 （f） 我 0 和 （f） 我 1 , 我 = 1 , 2 , … , q个 则DM可以将（33）计算的值设置为
（f） 我 1 = ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 ^ j个 我 * （f） 我 0 = 最大值 第页 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ j个 = 1 n个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 d日 我 j个 k个 x个 ^ j个 第页 * 对于 我 = 1 , 2 , … , q个 ,
使用最佳解决方案 x个 我 * 在步骤1中获得。
第三步： 
（NPE模型（强）Pareto最优解的推导）
使用非线性规划技术求解以下增广极大极小问题（42）：
最大化 最小值 我 ∈ { 1 , 2 , … , q个 } ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) + ρ ∑ 我 = 1 q个 ∑ k个 = 1 第页 我 对 我 k个 · 最小值 1 , 最大值 0 , 克 我 k个 N个 ( x个 ) 主题 到 x个 ∈ X（X） ,
哪里 克 我 k个 N个 ( x个 ) 由（40）给出，即，
克 我 k个 N个 ( x个 ) = ▵ − ∑ j个 = 1 n个 d日 我 j个 k个 x个 j个 + （f） 我 0 ∑ j个 = 1 n个 γ 我 j个 k个 x个 j个 − （f） 我 1 + （f） 我 0 , 我 = 1 , 2 , … , q个 , k个 = 1 , 2 , … , 第页 我 ,
和 ρ 是一个足够小的正常数。
与上一节中PPE模型的情况类似，（42）是一个具有线性约束的非线性规划问题，可以通过某种非线性规划技术来解决。

8.数值实验

为了证明该模型的可行性和有效性，我们考虑了一个农业生产问题的示例。作物计划问题的经典方法之一是随机规划[1]使用与气候和/或经济条件相关的几个随机事件或场景。然而，由于缺乏数据和/或一些因素（如人类技能），有时很难确定作物计划问题中利润和工作时间的准确值。Zeng等人[50]考虑用模糊多目标规划方法求解作物计划问题。在本节中，我们将所提出的模型应用于解决模糊随机环境中的作物计划问题，其中利润和工作时间是作为离散模糊随机变量给定的。
为了解决这个问题，我们使用了“constrOptim”函数，它是作为R语言中的标准函数准备的[33]通常用作具有线性约束的NLPP的解算器。这里应该强调的是，一些最先进的基于启发式或元启发式的算法[51]可以更有效地解决问题。尽管如此，我们没有为本文中提出的模型提出特定的求解算法，因为提出特定的解算法不是本文的目的。R语言对于许多研究人员和实践者来说很容易使用，即使他们不擅长编写自己的编程代码。

8.1. 模糊随机环境下的作物面积规划问题

假设一家农业公司（DM）生产5种夏季蔬菜（甜椒、黄瓜、茄子、番茄和西瓜）。我们考虑以下具有双目标函数的模糊随机LPP( q个 = 2 )，5个决策变量( n个 = 5 )和5个约束( 米 = 5 ):
最大化 C类 ¯ ˜ 11 x个 1 + C类 ¯ ˜ 12 x个 2 + C类 ¯ ˜ 13 x个 三 + C类 ¯ ˜ 14 x个 4 + C类 ¯ ˜ 15 x个 5 减少 C类 ¯ ˜ 21 x个 1 + C类 ¯ ˜ 22 x个 2 + C类 ¯ ˜ 23 x个 三 + C类 ¯ ˜ 24 x个 4 + C类 ¯ ˜ 25 x个 5 主题 到 一 11 x个 1 + 一 12 x个 2 + 一 13 x个 三 + 一 14 x个 4 + 一 15 x个 5 ≤ b条 1 一 21 x个 1 + 一 22 x个 2 + 一 23 x个 三 + 一 24 x个 4 + 一 25 x个 5 ≤ b条 2 一 31 x个 1 + 一 32 x个 2 + 一 33 x个 三 + 一 34 x个 4 + 一 35 x个 5 ≤ b条 三 一 41 x个 1 + 一 42 x个 2 + 一 43 x个 三 + 一 44 x个 4 + 一 45 x个 5 ≤ b条 4 一 51 x个 1 + 一 52 x个 2 + 一 53 x个 三 + 一 54 x个 4 + 一 55 x个 5 ≤ b条 5 x个 j个 ≥ 0 , j个 = 1 , 2 , … , 5 ,
其中第一个目标函数代表利润( × 10 千日元），第二个表示总工作时间( × 8 h） ●●●●。让 x个 j个 , j个 = 1 , 2 , … , 5 表示生长区域( × 10 三   米 2 )蔬菜 j个 = 1 （甜椒）， j个 = 2 （黄瓜）， j个 = 三 （茄子）， j个 = 4 （番茄）和 j个 = 5 （西瓜）。
在目标函数中，让 C类 ¯ ˜ 1 j个 和 C类 ¯ ˜ 2 j个 是单位蔬菜的利润和工作时间 j个 = 1 , 2 , … , 5 分别是。假设 C类 ¯ ˜ 1 j个 和 C类 ¯ ˜ 2 j个 , j个 = 1 , 2 , … , 5 估计为离散三角模糊随机变量。基于蔬菜病害与湿度关系的研究成果[52]，我们假设与第一个目标函数和第二个目标函数相关的事件（场景）数量为5( 第页 1 = 第页 2 = 5 ). 更具体地说，事件集如下 Ω 1 = { ω 11 , ω 12 , … , ω 15 } 和 Ω 2 = { ω 21 , ω 22 , … , ω 25 } 如所示表1.
表2和表3显示实现的模糊数的参数值 C类 ˜ 1 j个 k个 = ( d日 1 j个 k个 ,   β 1 j个 k个 ,   γ 1 j个 k个 ) t吨 第页 我 和 C类 ˜ 2 j个 k个 = ( d日 2 j个 k个 ,   β 2 j个 k个 ,   γ 2 j个 k个 ) t吨 第页 我 , j个 = 1 , 2 , … , 5 , k个 = 1 , 2 , … , 5 ，用于描述模糊随机变量 C类 ¯ ˜ 1 j个 和 C类 ¯ ˜ 2 j个 , j个 = 1 , 2 , … , 5 分别是。的值 d日 1 j个 k个 在中给出表2这些数据均基于日本农林水产省（JMAFF）2007年的统计数据[53]. 的值 d日 2 j个 k个 在中给出表3，每一项都基于Mekonnen等人的报告[54]. 考虑到生产不同蔬菜的风险程度，假设 β 我 j个 k个 和 γ 我 j个 k个 对于 j个 = 1 , 2 , 5 大于 j个 = 三 , 4 .
如问题（43）所示，作物计划问题有五个约束条件。表4和表5显示这些约束的系数。第一个限制反映了种植、销售等总成本的上限 一 1 j个 和 b条 1 根据JMAFF 2007年的统计数据，第一个限制条件是将单位面积换算为1万日元[53]. 第二个限制和第三个限制分别代表蔬菜总种植面积的上限和下限。第四和第五个限制条件是，农业公司与两个主要客户签订合同，销售一定数量的特定蔬菜。在这两个约束条件中，根据JMAFF 2007年的统计数据，将这些约束条件的单位从面积转换为千克[53].
在问题（43）中，第一个目标函数是利润最大化。由于中提出的算法第5节对于最小化问题有效，我们通过将原始第一目标函数乘以 − 1 如下所示：
减少 − C类 ¯ ˜ 11 x个 1 − C类 ¯ ˜ 12 x个 2 − C类 ¯ ˜ 13 x个 三 − C类 ¯ ˜ 14 x个 4 − C类 ¯ ˜ 15 x个 5 减少 C类 ¯ ˜ 21 x个 1 + C类 ¯ ˜ 22 x个 2 + C类 ¯ ˜ 23 x个 三 + C类 ¯ ˜ 24 x个 4 + C类 ¯ ˜ 25 x个 5 主题 到 一 11 x个 1 + 一 12 x个 2 + 一 13 x个 三 + 一 14 x个 4 + 一 15 x个 5 ≤ b条 1 一 21 x个 1 + 一 22 x个 2 + 一 23 x个 三 + 一 24 x个 4 + 一 25 x个 5 ≤ b条 2 一 31 x个 1 + 一 32 x个 2 + 一 33 x个 三 + 一 34 x个 4 + 一 35 x个 5 ≤ b条 三 一 41 x个 1 + 一 42 x个 2 + 一 43 x个 三 + 一 44 x个 4 + 一 45 x个 5 ≤ b条 4 一 51 x个 1 + 一 52 x个 2 + 一 53 x个 三 + 一 54 x个 4 + 一 55 x个 5 ≤ b条 5 x个 j个 ≥ 0 , j个 = 1 , 2 , … , 5 .
为了利用前面章节中获得的结果，我们通过设置 C类 ¯ ˜ 我 j个 ′ = ▵ − C类 ¯ ˜ 我 j个 如下所示：
减少 C类 ¯ ˜ 11 ′ x个 1 + C类 ¯ ˜ 12 ′ x个 2 + C类 ¯ ˜ 13 ′ x个 三 + C类 ¯ ˜ 14 ′ x个 4 + C类 ¯ ˜ 15 ′ x个 5 减少 C类 ¯ ˜ 21 x个 1 + C类 ¯ ˜ 22 x个 2 + C类 ¯ ˜ 23 x个 三 + C类 ¯ ˜ 24 x个 4 + C类 ¯ ˜ 25 x个 5 主题 到 一 11 x个 1 + 一 12 x个 2 + 一 13 x个 三 + 一 14 x个 4 + 一 15 x个 5 ≤ b条 1 一 21 x个 1 + 一 22 x个 2 + 一 23 x个 三 + 一 24 x个 4 + 一 25 x个 5 ≤ b条 2 一 31 x个 1 + 一 32 x个 2 + 一 33 x个 三 + 一 34 x个 4 + 一 35 x个 5 ≤ b条 三 一 41 x个 1 + 一 42 x个 2 + 一 43 x个 三 + 一 44 x个 4 + 一 45 x个 5 ≤ b条 4 一 51 x个 1 + 一 52 x个 2 + 一 53 x个 三 + 一 54 x个 4 + 一 55 x个 5 ≤ b条 5 x个 j个 ≥ 0 , j个 = 1 , 2 , … , 5 ,
哪里 C类 ¯ ˜ 我 j个 ′ 离散三角模糊随机变量表示为 C类 ˜ 我 j个 k个 ′ = ( d日 我 j个 k个 ′ , β 我 j个 k个 ′ , γ 我 j个 k个 ′ ) t吨 第页 我 然后，应注意以下备注：
备注 1
让 C类 ¯ ˜ 和 C类 ¯ ˜ 我 j个 ′ 为L-R模糊随机变量，表示为 C类 ˜ 我 j个 k个 = ( d日 我 j个 k个 , β 我 j个 k个 , γ 我 j个 k个 ) t吨 第页 我 和 C类 ˜ 我 j个 k个 ′ = ( d日 我 j个 k个 ′ , β 我 j个 k个 ′ , γ 我 j个 k个 ′ ) t吨 第页 我 .如果 C类 ¯ ˜ 我 j个 ′ = − C类 ¯ ˜ 我 j个 ，它认为
d日 我 j个 k个 ′ = − d日 我 j个 k个 , β 我 j个 k个 ′ = γ 我 j个 k个 , γ 我 j个 k个 ′ = β 我 j个 k个 .
然后，第一个目标函数中的参数值如所示表2可以替换为表6，其中我们使用了备注1中描述的三角模糊随机变量的特性。
基于上一节提出的算法，获得了作物计划问题的Pareto最优解。首先，通过求解步骤1中的LPP并计算得到每个目标函数的模糊目标 （f） 我 1 和 （f） 我 0 对于 我 = 1 , 2 在步骤2中，作为 ( （f） 1 1 , （f） 1 0 ) = ( − 57026.56 , − 19396.41 ) 和 ( （f） 2 1 , （f） 2 0 ) = ( 20447.14 , 63438.03 ) 在步骤3中，基于DM的偏好，求解了增广极大极小问题（38）和/或（42），分别对应于基于可能性的概率期望模型（PPE模型）和基于必要性的概率期望模式（NPE模型）。由于通过R语言中的函数获得的解并不总是满足全局最优，而是满足局部最优，因此我们将此函数应用于随机生成的100个初始解，并从100个局部最优解中选择最佳解。因此，我们获得了PPE模型和NPE模型的以下最优解：
x个 Π = ( 65.74 , 240.25 , 0 , 4.87 , 189.10 ) , z（z） Π ( x个 Π ) = 0.5693 ,
x个 N个 = ( 0.13 , 163.08 , 50.35 , 114.48 , 134.89 ) , z（z） N个 ( x个 N个 ) = 0.4668 ,
哪里 x个 Π 和 x个 N个 分别是（38）和（42）的最优解，以及 z（z） Π ( x个 Π ) 和 z（z） N个 ( x个 N个 ) 分别是它们的目标函数值。从计算结果来看，基于可能性的概率期望模型（PPE模型）倾向于种植高风险高回报蔬菜，如甜椒、黄瓜和西瓜，并且很少分配给其他蔬菜。另一方面，基于需求的概率期望模型（NPE模型）有增加番茄等低风险低回报蔬菜种植面积和减少甜椒等高风险低回报作物种植面积的趋势。

8.2. 不同尺寸问题的计算时间

如前所述，我们没有为所建议的模型提出特定的求解算法，因为即使我们提出新的求解算法也可能需要研究人员或实际人员花费大量时间和精力来编写编程代码。
我们没有提出具体的求解算法，而是使用R语言，并表明R语言可以在实际计算时间内解决数百个决策变量的问题。我们期望R语言的使用能够促进我们模型在模糊随机环境中解决实际问题的使用。
为了证明R语言在计算时间方面对我们的模型的适用性，我们使用5个决策变量数量和约束数量不同的数值示例进行了额外的实验。更准确地说，7个示例中的决策变量的数量如下 10 , 30 , 60 , 100 , 150 , 200 , 250 分别是。每个示例中的约束数设置为决策变量的一半。
为了关注决策变量的数量和约束的数量的影响，目标函数的数量和事件（场景）的数量是固定的。更具体地说，我们将目标函数和事件（场景）的数量固定为5( q个 = 5 )和10( 第页 我 = 10 , 我 = 1 , 2 , … , 5 )分别是。
参数值 d日 我 j个 k个 在中随机选择 { − 5 , − 4 , … , 5 } , β 我 j个 k个 和 γ 我 j个 k个 是以下产品的绝对值 d日 我 j个 k个 和随机选择的值 [ 0.1 , 0.2 ] 对于 我 = 1 , 2 , … , 5 , j个 = 1 , 2 , … , n个 , k个 = 1 , 2 , … , 10 对于约束 一 我 j个 在矩阵中A类在中随机选择 { 1 , 2 , … , 10 } 和的值 b条 我 表示为中元素的总和 一 我 对于任何 我 = 1 , 2 , … , 米 , j个 = 1 , 2 , … , n个 与中的实验类似第8.1节，我们在R语言中使用constrOptim函数，并进行了30次运行，其中随机生成初始解。我们在iMac（OS X Yosemite版本10.10.3，CPU:3.4 GHz Intel Core i7，RAM:32 GB 1600 MHz DDR3）上使用R版本3.2.0进行了这个数值实验。表7显示了解决7个问题实例的计算时间。
图19显示了决策变量数量与计算时间之间的关系表7从该图中可以看出，随着决策变量和约束数量的增加，计算时间线性增加。

9.结论

在本文中，我们考虑了目标函数的系数是离散模糊随机变量的LPP。将可能性和必要性测度引入概率测度中，我们提出了模糊随机环境中新的决策模型，称为基于可能性/必要性的概率期望模型（PPE/NPE模型），即最大化期望目标函数值满足给定模糊目标的可能性或必要性程度。研究表明，基于所提出模型的公式化问题可以转化为确定性非线性（多目标）规划问题，特别是当使用线性隶属函数时，可以转化为更简单的问题。此外，在多目标情况下，我们定义了所提出模型的（强）Pareto最优解，并提出了获得满足（强）Pareto最优的解的算法。为了说明该模型如何应用于实际问题，我们对一个农业生产问题进行了数值实验。我们还证明了R语言中的标准函数适用于在实际计算时间内解决数百个决策变量的问题。
在不久的将来，我们将展示一个广义方差最小化模型，它是先前研究中讨论的扩展版本[32]. 此外，将在其他地方讨论所提出模型在实际问题中的一些应用。

致谢

这项工作得到了JSPS KAKENHI批准号17K01276的支持。

作者贡献

Hideki Katagiri提出了这个方法并撰写了论文。Kosuke Kato和Takeshi Uno分析了该方法的有效性，并进行了数值实验。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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对称09 00254 g001 550
图1。 我-R（右）模糊数。
图1。 我-R（右）模糊数。
对称09 00254 g001
对称09 00254 g002 550
图2。 我模糊数。
图2。 我模糊数。
对称09 00254 g002
对称09 00254 g003 550
图3。三角模糊数。
图3。三角模糊数。
对称09 00254 g003
对称09 00254 g004 550
图4。离散的我-R（右）模糊随机变量。
图4。离散的我-R（右）模糊随机变量。
对称09 00254 g004
对称09 00254 g005 550
图5。离散三角模糊随机变量。
图5。离散三角模糊随机变量。
对称09 00254 g005
对称09 00254 g006 550
图6。实现的价值 C类 ˜ 我 j个 k个 对于k个离散事件的第个事件我-R（右）模糊随机变量 C类 ¯ ˜ 我 j个 .
图6。实现的价值 C类 ˜ 我 j个 k个 对于k个离散事件的第个事件我-R（右）模糊随机变量 C类 ¯ ˜ 我 j个 .
对称09 00254 g006
对称09 00254 g007 550
图7。实现的价值 C类 ˜ 我 j个 k个 对于k个离散事件的第个事件我-R（右）模糊随机变量 C类 ¯ ˜ 我 j个 .
图7。实现的价值 C类 ˜ 我 j个 k个 对于k个离散事件的第个事件我-R（右）模糊随机变量 C类 ¯ ˜ 我 j个 .
对称09 00254 g007
对称09 00254 g008 550
图8。实现的价值 C类 ˜ 我 j个 k个 对于k个离散三角模糊随机变量的th事件 C类 ¯ ˜ 我 j个 .
图8。实现的价值 C类 ˜ 我 j个 k个 对于k个离散三角模糊随机变量的th事件 C类 ¯ ˜ 我 j个 .
对称09 00254 g008
对称09 00254 g009 550
图9。实现的价值 C类 ˜ 我 k个 x个 对于k个离散三角模糊随机变量的th事件 C类 ¯ ˜ 我 x个 .
图9。实现的价值 C类 ˜ 我 k个 x个 对于k个离散三角形模糊随机变量的th事件 C类 ¯ ˜ 我 x个 .
对称09 00254 g009
对称09 00254 g010 550
图10。可能性程度 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 .
图10。可能性程度 Π C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 .
对称09 00254 g010
对称09 00254 g011 550
图11。必要性程度 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 .
图11。必要性程度 N个 C类 ˜ 我 k个 x个 ∼ < （f） 我 .
对称09 00254 g011
对称09 00254 g012 550
图12。线性隶属函数 μ G公司 ˜ 我 模糊目标的 G公司 ˜ 我 .
图12。线性隶属函数 μ G公司 ˜ 我 模糊目标的 G公司 ˜ 我 .
对称09 00254 g012
对称09 00254 g013 550
图13。定理1证明中的情况1。
图13。定理1证明中的情况1。
对称09 00254 g013
对称09 00254 g014 550
图14。定理1证明中的案例2。
图14。定理1证明中的案例2。
对称09 00254 g014
对称09 00254 g015 550
图15。定理1证明中的案例3。
图15。定理1证明中的案例3。
对称09 00254 g015
对称09 00254 g016 550
图16。定理2证明中的案例1。
图16。定理2证明中的案例1。
对称09 00254 g016
对称09 00254 g017 550
图17。定理2证明中的情况2。
图17。定理2证明中的情况2。
对称09 00254 g017
对称09 00254 g018 550
图18。定理2证明中的案例3。
图18。定理2的证明中的情况3。
对称09 00254 g018
对称09 00254 g019 550
图19。决策变量数量与计算时间之间的关系。
图19。决策变量数量与计算时间之间的关系。
对称09 00254 g019
表
表1。与第一和第二目标函数相关的事件。
表1。与第一和第二目标函数相关的事件。
事件概率形势
ω 11 对 11 = 0.50 年平均气温正常。
ω 12 对 12 = 0.25 年平均气温很高。
ω 13 对 13 = 0.15 年平均气温低。
ω 14 对 14 = 0.06 葫芦科蔬菜发生了一种流行病，如
如黄瓜和西瓜，由于温度很高。
ω 15 对 15 = 0.04 茄科蔬菜发生了一种流行病
如甜椒、茄子和番茄，由于温度很低。
ω 21 对 21 = 0.50 年平均湿度正常。
ω 22 对 22 = 0.20 年平均湿度高。
ω 23 对 23 = 0.16 年平均湿度低。
ω 24 对 24 = 0.08 葫芦科蔬菜发生了一种流行病，如
如黄瓜和西瓜，湿度很低。
ω 25 对 25 = 0.06 茄科蔬菜发生了一种流行病，如
如甜椒、茄子和番茄，由于温度很低。
表
表2。的参数 C类 ˜ 1 j个 k个 在第一个目标函数中。
表2。的参数 C类 ˜ 1 j个 k个 在第一个目标函数中。
参数 k个 = 1 k个 = 2 k个 = 三 k个 = 4 k个 = 5
d日 11 k个 89.5095.1083.8097.5061.80
d日 12 k个 118.50118.80117.9079.60117
d日 13 k个 122.60123.60125.60113.3083.40
d日 14 k个 90.3082.6093.1085.1066.10
d日 15 k个 25.8028.9024.4021.5023.70
γ 11 k个 8.208.607.4010.205.70
γ 12 k个 10.7010.9010.608.5011.20
γ 13 k个 98.708.808.705.90
γ 14 k个 8.107.608.407.305.80
γ 15 k个 2.603.202.502.102.20
β 11 k个 11.4011.8011.3012.208.60
β 12 k个 10.7010.3010.207.109.70
β 13 k个 9.709.109.808.605.10
β 14 k个 6.406.206.405.905
β 15 k个 3.904.203.603.303.60
表
表3。的参数 C类 ˜ 2 j个 k个 在第二个目标函数中。
表3。的参数 C类 ˜ 2 j个 k个 在第二个目标函数中。
参数 k个 = 1 k个 = 2 k个 = 三 k个 = 4 k个 = 5
d日 21 k个 97100.2090.30102.50124.50
d日 22 k个 116.50114.60119.50172.50121.90
d日 23 k个 131.10133.80128.10146.40172.50
d日 24 k个 88.6086.1093.5089.90139.70
d日 25 k个 27.6023.1028.1031.4029.50
β 21 k个 18.4018.8016.9020.2023.60
β 22 k个 11.7011.4012.2017.9013.20
β 23 k个 14.7015.6012.9015.9021.80
β 24 k个 5.405.205.805.307.20
β 25 k个 5.104.805.406.305.70
γ 21 k个 6.807.106.808.1011.70
γ 22 k个 19.1019.2019.9027.8020.50
γ 23 k个 6.607.206.6078.80
γ 24 k个 12.3012.7012.1012.6026.70
γ 25 k个 3.302.903.703.803.50
表
表4。约束条件中的左侧系数。
表4。约束条件中的左侧系数。
LHS值 j个 = 1 j个 = 2 j个 = 三 j个 = 4 j个 = 5
一 1 j个 53.2058.8057.7063.7033
一 2 j个 11111
一 三 j个 −1.00−1.00−1.00−1.00−1.00
一 4 j个 −53.90−80.50−75.3000
一 5 j个 000−75.00−48.40
表
表5。约束中的右侧值。
表5。约束中的右侧值。
RHS值 我 = 1 我 = 2 我 = 三 我 = 4 我 = 5
b条 我 30,000.00500−300.00−10,500.00−7000.00
表
表6。的参数 C类 ˜ 1 j个 k个 ′ ( = ▵ − C类 ˜ 1 j个 k个 ) 在第一个目标函数中。
表6。的参数 C类 ˜ 1 j个 k个 ′ ( = ▵ − C类 ˜ 1 j个 k个 ) 在第一个目标函数中。
参数 k个 = 1 k个 = 2 k个 = 三 k个 = 4 k个 = 5
d日 11 k个 ′ −89.50−95.10−83.80−97.50−61.80
d日 12 k个 ′ −118.50−118.80−117.90−79.60−117.00
d日 13 k个 ′ −122.60−123.60−125.60−113.30−83.40
d日 14 k个 ′ −90.30−82.60−93.10−85.10−66.10
d日 15 k个 ′ −25.80−28.90−24.40−21.50−23.70
β 11 k个 ′ 11.4011.8011.3012.208.60
β 12 k个 ′ 10.7010.3010.207.109.70
β 13 k个 ′ 9.709.109.808.605.10
β 14 k个 ′ 6.406.206.405.905
β 15 k个 ′ 3.904.203.603.303.60
γ 11 k个 ′ 8.208.607.4010.205.70
γ 12 k个 ′ 10.7010.9010.608.5011.20
γ 13 k个 ′ 98.708.808.705.90
γ 14 k个 ′ 8.107.608.407.305.80
γ 15 k个 ′ 2.603.202.502.102.20
表
表7。不同尺寸问题的计算时间。
表7。不同尺寸问题的计算时间。
决策变量数量103060100150200250
CPU时间 34.08 106.26 116.95 309.49 515.94 741.12 769.94

分享和引用

MDPI和ACS样式

Katagiri，H。；加藤，K。；尤诺，T。离散模糊随机变量线性规划问题基于可能性/必要性的概率期望模型。对称 2017,9, 254.https://doi.org/10.3390/sym9110254

AMA风格

Katagiri H、Kato K、Uno T。离散模糊随机变量线性规划问题基于可能性/必要性的概率期望模型。对称2017年；9(11):254.https://doi.org/10.3390/sym9110254

芝加哥/图拉宾风格

Katagiri、Hideki、Kosuke Kato和Takeshi Uno。2017.“离散模糊随机变量线性规划问题基于可能性/必要性的概率期望模型”对称9，11号：254。https://doi.org/10.3390/sym9110254

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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