Noether Symmetries Quantization and Superintegrability of Biological Models

Nucci, Maria Clara; Sanchini, Giampaolo

doi:10.3390/sym8120155

开放式访问第条

生物模型的Noether对称量化和超可积性

通过

玛丽亚·克拉拉·努奇

^*和

詹保罗·桑奇尼

意大利佩鲁贾第06123号佩鲁贾大学信息学硕士

^*

应向其寄送信件的作者。

对称 2016,8(12), 155;https://doi.org/10.3390/sym8120155

收到的提交文件：2016年10月17日/修订日期：2016年12月2日/接受日期：2016年12月12日/发布日期：2016年12月20日

（本文属于特刊李和条件对称及其在非线性模型求解中的应用)

下载版本注释

摘要

:

结果表明，量子化和超可积性并不是经典物理本身固有的概念。事实上，人们可以通过Noether对称性量化并检测生物模型的超可积性。我们使用Basener和Ross（2005）提出的数学模型举例说明了该方法，该模型描述了复活节岛人口增长和突然减少的动态。

关键词：

Lie对称;雅可比最后乘数;拉格朗日人;Noether对称;经典量子化;超可整合性;复活节岛人口

1.简介

在纪念50周年的回顾中理论生物学杂志[1]，其中一个显示：

“人们经常声称，像牛顿发明的计算生物学理论一样，需要“新数学”……然而，理论生物学忽视了许多数学领域，这些领域可能被证明具有巨大价值。例如，爱因斯坦关于广义相对论的工作很好地利用了数学思想，特别是微分几何，以前是以完全不同的动机发展起来的。更有可能的是，形式结构已经在某种背景下提出，等待着它们的发现和随后在代表生物理论方面的发展。”

由于物理学中使用的许多数学工具也在生物学中得到了不同的成功应用，我们提出了一个有点被遗忘和忽视的工具，这个工具的结果之一是Noether对称性，它帮助爱因斯坦和克莱因就广义相对论的能量动量守恒问题与希尔伯特争论[2]. 这个工具是Lie连续对称，它产生守恒定律、变分设置和最终量化。

李对称性在各种生物模型中的应用已经被证明可以提供更准确的预测[三]或实施[4,5,6,7,8]与定性和数值分析相关的常用技术，这是任何数学生物学家的常用工具。

我们想引发一些争议，目的是让数学家和生物学家思考一些错失的机会[9].

在[10]，提出了一个描述复活节岛人口增长和突然减少动态的数学模型。该模型是由两个一阶常微分方程组成的非线性系统，即。，

\begin{matrix} {\dot{w个}}_{1} & = & c（c） {w个}_{1} (1 负极 \frac{{w个}_{1}}{K（K）}) 负极 小时 {w个}_{2}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {\dot{w个}}_{2} & = & 一 {w个}_{2} (1 负极 \frac{{w个}_{2}}{{w个}_{1}}), \end{matrix}

（2）

哪里

{w个}_{1}

是资源量，

{w个}_{2}

是人口，c（c）是资源的增长率，K（K）承载能力，小时收获常数，以及一人口增长率。有关此模型构造的更多详细信息，请参阅[10]其中系统的数值解(1)——(2)并对有限时间和无限时间内解的一般行为进行了定性分析。

在[11]，我们将李群分析应用于该系统，发现如果涉及的参数满足一定的关系，则可以通过求积对其进行积分。我们还发现了隐藏的线性。此外，我们还确定了一般系统的雅可比最后乘数和拉格朗日乘数[12]，并发现了其他独立于和依赖于对称性考虑的情况，以构造相应的变分问题，从而使我们能够通过诺特定理找到守恒定律。与中给出的定性分析的比较[10]已提供。

在本文中，我们对系统进行量化(1)——(2); 即，我们通过保持Noether对称性的方法导出Schrödinger方程[13].

此外，在沃尔泰拉的最后一篇论文之后[14,15]，相同的数学模型(1)——(2)将其转化为两个二阶拉格朗日方程，证明了该系统的超可积性；利用诺埃尔定理，得到了包括哈密顿量在内的三个守恒定律。

2.Noether对称量化

六十五年来，人们已经知道量子化和非线性正则变换不能保证一致性[16]. 有关最近的观点，请参见[17]其中还提供了处理规范变换的各种方法的最新说明。

在[13,18]提出了一种消除一致量化与非线性正则变换下哈密顿描述不变性之间冲突所带来的约束的方法。它基于从经典力学到量子力学时诺特对称性的保持。经典问题的量化是通过构造一个合适的含时薛定谔方程来实现的。

该方法在[19]对于可通过李点对称性线性化的问题，并成功应用于各种经典问题：二阶Riccati方程[20]带电粒子在均匀磁场和非等时Calogero金鱼系统中的动力学[18]，一个与Calogero的金鱼方程相关的方程[21]，两个与黎曼问题有些关联的非线性方程[22]，一个Liénard I非线性振荡器[19]，Liénard II非线性振子族[23],N个平面旋翼和等时Calogero金鱼系统[24]双锥上自由粒子和谐振子的运动[25].

如果考虑二阶方程组，即。，

\ddot{x个} (t吨) = F类 (t吨, x个, \dot{x个}), x个 \in 我 {R（右）}^{N个},

（3）

这源于一阶拉格朗日变分原理，然后是年首次提出的量化方法[13]包括以下步骤：

步骤 一、。: 求拉格朗日方程的Lie对称性

$Υ = W公司 (t吨, x个) \partial_{t吨} + \sum_{k个 = 1}^{N个} {W公司}_{k个} (t吨, x个) \partial_{{x个}_{k个}} .$
步骤 二、。: 其中，找到Noether对称性

$Γ = 五 (t吨, x个) \partial_{t吨} + \sum_{k个 = 1}^{N个} 五_{k个} (t吨, x个) \partial_{{x个}_{k个}} .$

这可能需要搜索拉格朗日量，从而产生最大可能数量的Noether对称性[26,27,28,29].
步骤 三、。: 构造薛定谔方程，其中我们假设 $ħ = 1$ 在不失一般性的情况下，承认这些Noether对称为Lie对称，即

$2 我 ψ_{t吨} + \sum_{k个, j个 = 1}^{N个} {（f）}_{k个 j个} (x个) ψ_{{x个}_{j个} {x个}_{k个}} + \sum_{k个 = 1}^{N个} {小时}_{k个} (x个) ψ_{{x个}_{k个}} + {（f）}_{0} (x个) ψ = 0$

(4)

承认Lie对称性

$Ω = 五 (t吨, x个) \partial_{t吨} + \sum_{k个 = 1}^{N个} 五_{k个} (t吨, x个) \partial_{{x个}_{k个}} + G公司 (t吨, x个, ψ) \partial_{ψ},$

除了线性齐次偏微分方程中存在的两个对称之外，不添加任何其他对称，即

$ψ \partial_{ψ}, α (t吨, x个) \partial_{ψ},$

哪里 $α = α (t吨, x个)$ 是薛定谔方程的任何解(4).

在[11]，我们推导出

{w个}_{1}

来自方程式(2)即。，

{w个}_{1} = 负极 \frac{一 {u个}^{2}}{\dot{u个} 负极 一 u个} .

(5)

从而得到了一个二阶常微分方程

u个 选择 {w个}_{2}

,

\ddot{u个} = \frac{(2 一 负极 小时) {\dot{u个}}^{2}}{一 u个} 负极 (一 + c（c） 负极 2 小时) \dot{u个} 负极 \frac{一 c（c）}{K（K）} {u个}^{2} + 一 (c（c） 负极 小时) u个 .

(6)

在其他情况下，我们发现如果参数之间存在以下关系

一, 小时

和c（c）都很满意

一 = 2 c（c）, 小时 = \frac{三}{2} c（c）

(7)

然后是方程式(6)即。，

\ddot{u个} = \frac{5 {\dot{u个}}^{2}}{4 u个} 负极 \frac{2 {c（c）}^{2}}{K（K）} {u个}^{2} 负极 {c（c）}^{2} u个

(8)

接受由生成的三维李对称代数

Γ_{1} = \partial_{t吨}, Γ_{2} = {e（电子）}^{负极 c（c） t吨} (\partial_{t吨} + 2 c（c） u个 \partial_{u个}) Γ_{三} = {e（电子）}^{c（c） t吨} (\partial_{t吨} 负极 2 c（c） u个 \partial_{u个}) .

(9)

在[11]，我们证明了这三个算子生成了方程的完全对称群的表示(8)确定了一个简单的雅可比最后乘数，即[11]

M（M） = \frac{\sqrt{u个}}{2 c（c） {u个}^{三}} .

(10)

然后是下面的拉格朗日

L（左） = \sqrt{u个} (\frac{{\dot{u个}}^{2}}{4 c（c） {u个}^{三}} + \frac{c（c）}{u个} 负极 \frac{2 c（c）}{K（K）}),

(11)

承认(9)Noether对称。三种对称(9)表示方程的完整对称组(8)，即通过代数表示完全指定给定微分方程的群[30]. 事实上，如果我们将下列一般二阶常微分方程

\ddot{u个} = F类 (t吨, u个, \dot{u个})

(12)

承认具有生成元的对称代数(9)，然后我们得到方程

\ddot{u个} = \frac{5 {\dot{u个}}^{2}}{4 u个} 负极 B类 {u个}^{2} 负极 {c（c）}^{2} u个,

（13）

即以参数为特征的方程组B类，可以替换为

负极 2 {c（c）}^{2} / K（K）

不失通用性。

我们注意到有一个拉格朗日函数很重要，否则方程的量子化(8)无法追查[31].

拉格朗日对应的哈密顿量(11)是

H（H） = c（c） \sqrt{u个} ({u个}^{2} {第页}^{2} 负极 \frac{1}{u个} + \frac{2}{K（K）}) .

(14)

在本文中，我们量化了方程(8)即我们通过保持Noether对称性导出Schrödinger方程。我们遵循上述三个步骤，即。，

步骤 一、。: 我们发现了三个Lie对称性，即(9).
步骤 二、。: 这些对称性也是拉格朗日函数的诺特对称性(11).
步骤 三、。: 我们考虑一般方程

$2 我 Ψ_{t吨} + {（f）}_{11} (u个) Ψ_{u个 u个} + {小时}_{1} (u个) Ψ_{u个} + {（f）}_{0} (u个) Ψ = 0$

(15)

并规定它应该承认以下三个Lie对称性

$Ω_{1} = Γ_{1} + {G公司}_{1} (t吨, u个, Ψ) \partial_{Ψ}, Ω_{2} = Γ_{2} + {G公司}_{2} (t吨, u个, Ψ) \partial_{Ψ}, Ω_{三} = Γ_{三} + {G公司}_{三} (t吨, u个, Ψ) \partial_{Ψ},$

(16)

除了线性齐次偏微分方程中存在的两个对称之外，不添加任何其他对称，即

$Ψ \partial_{Ψ}, α (t吨, u个) \partial_{Ψ},$

哪里 $α = α (t吨, u个)$ 是薛定谔方程的任何解(15).

使用即席REDUCE交互式程序[32]，我们推导出以下薛定谔方程：

2 我 Ψ_{t吨} + {u个}^{2} \sqrt{u个} Ψ_{u个 u个} 负极 \sqrt{u个} (η + 4 \frac{{c（c）}^{2}}{u个}) Ψ = 0,

(17)

具有η任何任意常数。

事实上，方程式(17)接受由以下运算符生成的Lie对称代数：

\begin{matrix} Ω_{1} & = & Γ_{1}, \\ Ω_{2} & = & Γ_{2} + c（c） {e（电子）}^{负极 c（c） t吨} (\frac{三}{2} + 4 我 \frac{c（c）}{\sqrt{u个}}) Ψ \partial_{Ψ} \\ Ω_{三} & = & Γ_{三} + c（c） {e（电子）}^{c（c） t吨} (负极 \frac{三}{2} + 4 我 \frac{c（c）}{\sqrt{u个}}) Ψ \partial_{Ψ} . \end{matrix}

(18)

这个薛定谔方程的谱是连续的。这并不奇怪。事实上，在[11]我们导出了方程的一般解(8)为指数型，即。，

u个 = \frac{64 {A类}_{2}^{2} K（K）}{经验 (2 c（c） t吨) {(8 + {A类}_{1}^{2} K（K） + 4 {A类}_{2}^{2} K（K） 经验 (负极 2 c（c） t吨) + 4 {A类}_{1} {A类}_{2} K（K） 经验 (负极 c（c） t吨))}^{2}},

(19)

具有

{A类}_{1}, {A类}_{2}

任意常数。

然而，如果我们更换t吨具有

τ = 我 t吨

，然后是方程式(8)变为：

\frac{{d日}^{2} u个}{d日 τ^{2}} = \frac{5}{4 u个} {(\frac{d日 u个}{d日 τ})}^{2} + \frac{2 {c（c）}^{2}}{K（K）} {u个}^{2} + {c（c）}^{2} u个 .

(20)

这个方程是等时Liénard II方程之一[33],

\forall 小时 = 小时 (u个)

即。，

\frac{{d日}^{2} u个}{d日 τ^{2}} + \frac{{小时}^{″}}{{小时}^{'}} {(\frac{d日 u个}{d日 τ})}^{2} + ω^{2} \frac{小时}{{小时}^{'}} + \frac{A类}{{小时}^{'} {小时}^{三}} = 0,

(21)

带有标识

{c（c）}^{2} = 4 ω^{2}

、和

小时 (u个) = {(A类 K（K） / (2 ω^{2} u个))}^{1 / 4}

.方程的量化(21)在中给出[34]. 在[23]，将保持Noether对称性的量化应用于所有方程(21). 方程式(20)产生了以下薛定谔方程

2 我 ψ_{τ} + \frac{ψ_{u个 u个}}{{({小时}^{'})}^{2}} 负极 \frac{{小时}^{″} ψ_{u个}}{{({小时}^{'})}^{三}} + (\frac{A类}{{小时}^{2}} 负极 ω^{2} {小时}^{2}) ψ = 0 .

(22)

其特征函数为：

ψ_{n个} = {小时}^{\frac{k个 + 1}{2}} {e（电子）}^{负极 我 \frac{k个 + 2}{2} ω t吨 负极 \frac{ω}{2} {小时}^{2}} {L（左）}_{n个}^{k个 / 2} (ω {小时}^{2}),

(23)

具有

k个 = \sqrt{1 负极 4 A类}

、和

{L（左）}_{n个}^{k个 / 2}

关联的拉盖尔多项式，而能量特征值为：

{E类}_{n个} = 2 ω (n个 + \frac{1}{2} + \frac{k个}{4}) .

(24)

有关更多详细信息，请参阅[23].

3.在Volterra的尾迹中：一个超可积系统

1939年，沃尔泰拉写道[15]:

“我已经能够证明，生存斗争的方程式取决于变分法（omissis）问题。为了获得这个结果，我替换了人口由生命的数量[14]. 通过这种方式，我还获得了一些结果，从而将动力学与生存斗争问题联系起来。”

生命的数量X（X）和人口N个物种之间的联系

N个 = \frac{d日 X（X）}{d日 t吨} .

(25)

很明显，这种提高每个方程阶数的想法与Trubach和Franco的想法完全不同[35]，他提供了一种为一阶方程组寻找线性拉格朗日的方法。此外，Volterra的方法不同于从两个一阶方程组导出一个二阶方程的方法：事实上，Volterra采用一阶方程系统并将其转换为二阶方程系统。

在[12]对Volterra的例子进行了分析，并显示了它们与Jacobi最后一个乘数的关系。

让我们将沃尔特拉的方法应用于该系统(1)——(2).

我们通过引入我们所称的自然生命量来模仿沃尔特拉

{u个}_{2}

，使得：

{w个}_{2} = \frac{d日 {u个}_{2}}{d日 t吨} .

(26)

然后，方程式(1)变为线性微分形式

{w个}_{1}

和

{u个}_{2}

和替换

{w个}_{1} = {第页}_{1} 负极 小时 {u个}_{2}

因此，得到了一个Riccati方程，并进行了以下线性化变换

{第页}_{1} = \frac{K（K）}{c（c）} \frac{d日 {u个}_{1}}{d日 t吨},

(27)

产量

{\ddot{u个}}_{1} = \frac{c（c）}{{K（K）}^{2}} (K（K） (2 小时 {u个}_{2} + K（K）) {\dot{u个}}_{1} 负极 小时 c（c） (小时 {u个}_{2} + K（K）) {u个}_{2} {u个}_{1}),

(28)

while公式(2)变为：

{\ddot{u个}}_{2} = \frac{一 {\dot{u个}}_{2}}{K（K） {\dot{u个}}_{1} 负极 小时 c（c） {u个}_{2} {u个}_{1}} (K（K） {\dot{u个}}_{1} 负极 小时 c（c） {u个}_{2} {u个}_{1} 负极 c（c） {u个}_{1} {\dot{u个}}_{2}) .

(29)

接下来，我们检查系统是否(28)——(29)应用道格拉斯方法承认拉格朗日函数[36]它包括确定（至少）满足给定条件的两个二阶常微分方程组是否存在拉格朗日方程。我们发现拉格朗日函数（并且只有一个）存在于

一 = 小时 = c（c）

，即如果系统(28)——(29)变为以下内容：

\begin{matrix} {\ddot{u个}}_{1} & = & \frac{{c（c）}^{2} {u个}_{2}}{{K（K）}^{2}} (2 K（K） {\dot{u个}}_{1} 负极 {c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2}) 负极 \frac{c（c）}{K（K）} ({c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}), \end{matrix}

(30)

\begin{matrix} {\ddot{u个}}_{2} & = & c（c） {\dot{u个}}_{2} + \frac{{c（c）}^{2} {u个}_{1} {\dot{u个}}_{2}^{2}}{{c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}} . \end{matrix}

(31)

在[11]，案例

一 = 小时 = c（c）

在第4节备注3中讨论了

{w个}_{2}

英寸(1)——(2)以隐式形式确定，即。，

\frac{{A类}_{1} 负极 三 ({c（c）}^{2} + 1) u个}{三 u个 \sqrt{u个}} + \sqrt{\frac{K（K）}{2 {A类}_{1}}} 日志 (\frac{K（K）}{{A类}_{1} u个}) + \sqrt{\frac{2 K（K）}{{A类}_{1}}} 日志 ({A类}_{1} + \sqrt{{A类}_{1} ({A类}_{1} 负极 {c（c）}^{2} u个)}) = t吨 + {A类}_{2} .

独特的拉格朗日函数是

L（左） = 2 K（K） 日志 ({c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}) {\dot{u个}}_{2} + c（c） {u个}_{2} (c（c） {u个}_{2} + 2 K（K）) .

(32)

它允许以下操作符生成三个Noether对称：

Γ_{1} = \partial_{t吨}, Γ_{2} = {c（c）}^{2} t吨 {u个}_{1} \partial_{{u个}_{1}} + K（K） \partial_{{u个}_{2}}, Γ_{三} = {u个}_{1} \partial_{{u个}_{1}} .

(33)

相应的第一个积分为：

\begin{matrix} 我_{1} & = & 负极 c（c） {u个}_{2} (c（c） {u个}_{2} + 2 K（K）) 负极 \frac{2 {K（K）}^{2} {\dot{u个}}_{1} {\dot{u个}}_{2}}{{c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}}, \\ 我_{2} & = & 2 K（K） 日志 ({c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}) 负极 2 {c（c）}^{2} t吨 {u个}_{2} 负极 2 c（c） K（K） t吨 负极 \frac{2 {c（c）}^{2} K（K） t吨 {u个}_{1} {\dot{u个}}_{2}}{{c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}}, \\ 我_{三} & = & {u个}_{2} + \frac{K（K） {u个}_{1} {\dot{u个}}_{2}}{{c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}}, \end{matrix}

(34)

带仪表功能

{F类}_{1} = 0

,

{F类}_{2} = 2 c（c） K（K） t吨 (c（c） {u个}_{2} + K（K）)

、和

{F类}_{三} = {u个}_{2}

分别是。

第一个积分

我_{1}

英寸(34)是哈密顿量。的确，如果有人介绍动量

{第页}_{1}, {第页}_{2}

通过对拉格朗日函数进行勒让德变换(32)即。，

\begin{matrix} {第页}_{1} & 选择 & \frac{\partial L（左）}{\partial {\dot{u个}}_{1}} = 负极 \frac{2 {K（K）}^{2} {\dot{u个}}_{2}}{{c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}}, \\ {第页}_{2} & 选择 & \frac{\partial L（左）}{\partial {\dot{u个}}_{2}} = 2 K（K） 日志 ({c（c）}^{2} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 K（K） {\dot{u个}}_{1}), \end{matrix}

（35）

然后是相应的哈密顿量，即。

H（H） 选择 {第页}_{1} {\dot{u个}}_{1} + {第页}_{2} {\dot{u个}}_{2} 负极 L（左）

，是

H（H） = 负极 c（c） {u个}_{2} (c（c） {u个}_{2} + 2 K（K）) + \frac{1}{K（K）} ({c（c）}^{2} {第页}_{1} {u个}_{1} {u个}_{2} 负极 {第页}_{1} 经验 (\frac{{第页}_{2}}{2 K（K）})),

(36)

那就是

我_{1}

英寸(34)，如果

{\dot{u个}}_{1}, {\dot{u个}}_{2}

被替换为

{第页}_{1}, {第页}_{2}

，如中所示(35).

将动量引入

我_{2}

、和

我_{三}

英寸(34)产量：

\begin{matrix} 我 n个 {t吨}_{2} & = & {第页}_{2} 负极 2 {c（c）}^{2} t吨 {u个}_{2} 负极 2 c（c） K（K） t吨 + \frac{{c（c）}^{2} t吨 {第页}_{1} {u个}_{1}}{K（K）}, \\ 我 n个 {t吨}_{三} & = & {u个}_{2} 负极 \frac{{第页}_{1} {u个}_{1}}{2 K（K）}, \end{matrix}

(37)

分别是。那么哈密顿系统是超可积的，因为我们已经能够确定三个第一积分。

4.讨论和总结

我们已经证明，量化和检测生物模型的超集成性是可能的。关键是要找到拉格朗日函数及其公认的诺特对称性。复活节岛模型(1)——(2)被用作示例。如果涉及的参数满足某些关系，即：

一 = 2 c（c）, 小时 = \frac{三}{2} c（c）

、和

一 = 小时 = c（c）

分别是。

经典量化是通过应用保持Noether对称性的量化方法实现的[13]. 我们导出了与方程相对应的薛定谔方程(8)通过保持三个Noether对称性(9). 此外，我们还证明了如果我们替换自变量t吨具有

τ = 我 t吨

，然后是方程式(8)转换为方程式(20)，这是等时Liénard II方程之一[33]. 其对应的薛定谔方程推导于[23,34]. 本征函数和能量本征值如下所示(23)和(24)分别是。

关于超可积性，我们应用了沃尔泰拉的思想[14]到系统(1)——(2)通过引入自然生命的数量

{u个}_{2}

如中所示(26)从而提高系统的顺序(1)——(2). 因此，Riccati方程也出现了，我们应用了已知的变换(27)这就产生了一个二阶方程。因此，我们得到了两个二阶方程组(28)和(29). 然后，我们应用道格拉斯方法，导出了一个唯一的拉格朗日公式，如果所涉及的参数满足关系式

一 = 小时 = c（c）

最后，我们证明了相应的哈密顿量(36)得到了一个超可积哈密顿系统，因为我们已经能够确定三个第一积分(34)通过Noether定理。

最后，我们想发表以下声明[37]:

“在研究生水平上，很少有人提到与实际求解此类方程的过程相关的任何问题。电子计算机可能对此负有部分责任，因为许多人普遍认为几乎任何微分方程问题都可以仅仅放在机器上，因此findi分析解决方案在很大程度上是浪费时间。然而，这只是事实的一小部分，因为在更高的层次上，通常涉及太多的参数或边界条件，以至于即使可行，数值解也无法真正了解方程的性质。此外，任何敏感度分析人士都会觉得，回到数字技术上来，有点像是在不费吹灰之力就能找到钥匙的情况下用锤子敲门”。

致谢

M.C.N.通过以下方式感谢佩鲁贾大学的支持Fondi Ricerca di base 2015（2016-2017年）.

作者贡献

作者们为这项工作做出了同等贡献。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

Nucci、Maria Clara和Giampaolo Sanchini。2016.“生物模型的Noether对称量化和超可积性”对称8，编号12:155。https://doi.org/10.3390/sym8120155

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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生物模型的Noether对称量化和超可积性

摘要

1.简介

2.Noether对称量化

3.在Volterra的尾迹中：一个超可积系统

4.讨论和总结

致谢

作者贡献

利益冲突

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