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10.3390/sym8030015
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第条

二阶常微分方程的低维Vessiot-Guldberg李代数

通过
Rutwig Campoamor-Stursberg公司
马特马提卡跨学科研究所（Instituto de Matemática Inter-disciplinar and Depto）。Geometría y Topología，马德里Complutense de Madrid大学，Plaza de Ciencias 3，Madrid E-28040，西班牙
对称 2016,8(3), 15;https://doi.org/10.3390/sym8030015
收到的提交文件：2015年12月1日/修订日期：2016年2月24日/接受日期：2016年2月26日/发布日期：2016年3月17日
（本文属于特刊对称性和可积性)
版本注释

摘要

:
利用维不超过3的Vessiot-Guldberg-Lie代数，发展了一种直接求解非线性二阶常微分方程的方法，该方程具有叠加原理。这个过程允许我们描述受某些约束的二阶常微分方程的一般类型，并将给定的李代数作为Vessiot-Guldberg-Lie代数。特别是，众所周知的类型，如Milne-Pinney或Kummer-Schwarz方程，作为这种分类的特殊情况进行恢复。考虑了实平面上二阶微分方程组的类似问题，并将其推广到广义Ermakov系统。

1.简介

李系统理论，即非自治一阶常微分方程组是一个古老的方程组，它承认（通常是非线性的）叠加原理，主要产生于19世纪末李、维西奥和古德堡的开创性工作[1]. 长期以来，李系统被视为微分方程的一种特殊技术，其在物理应用中的重要性，特别是在可积系统以及控制理论中的重要性在过去几十年中激发了对该主题的广泛研究（参见，例如[2,三])导致了谎言系统概念的自然推广[4,5,6]. 这些经典分析公式的推广使得我们能够根据Fröbenius意义上的分布和纤维束理论对Lie系统进行优雅而有效的描述，从而提供了更广泛的应用范围，以及它们对量子系统的适应性（关于Lie系统几何基础的优秀论文[2]包含枚举这些应用程序的广泛且更新的引用列表）。
在这项工作中，我们主要针对标量二阶常微分方程（标量SODE李系统）的情况，重新考虑了维不超过三的Vessiot-Guldberg-Lie代数的直接方法。基于二维Vessiot-Guldberg-Lie代数的特殊性，得到了三维向量场的可容许实现，从而可以直接构造与这些代数相关的微分方程。
我们强调，关于向量场李代数的多个结果可以使用（参见，例如[7])许多作者都从这个角度研究了叠加问题[8,9,10]. 我们直接构建的目的是实用的，以说明巧妙选择的实现约束允许构建包含Vessiot–Guldberg–Lie代数的相当一般的微分方程（系统）。
定义： 
常微分方程组：
d日 x 我 d日 t吨 = Ψ 我 t吨 , x , 1 ≤ 我 ≤ n个
如果系统的一般解可以用有限个数表示，则称为承认一个基本的解系统米功能独立的特殊解 年 1 , ⋯ , 年 米 和n个有效常数 C 1 , ⋯ , C n个 :
x 我 = φ 我 年 1 , ⋯ , 年 米 , C 1 , ⋯ , C n个
哪里 年 k个 = 年 k个 1 , ⋯ , 年 k个 n个 。我们说，方程式(2)是系统方程式的叠加规则(1)，而设置 年 1 , ⋯ , 年 米 被称为基本解系统。中的向量场 R（右） n个 定义单位：
X（X） t吨 , x = ∑ 我 = 1 n个 Ψ 我 t吨 , x ∂ ∂ x 我
又称为t吨-与系统方程相关的相关向量场(1). 立即验证系统和这种类型的向量场之间是否存在一对一的对应关系。
关于基本解系统存在性的基本准则是由于李本人[1]可以用以下公式表示[2,11]:
Lie–Scheffers定理[1]: 
ODE方程组(1)拥有一个通用的基本解决方案系统，如果它可以用以下形式表示：
d日 x 我 d日 t吨 = ∑ k个 = 1 第页 F类 k个 t吨 ξ k个 我 x
这样，向量场：
X（X） α = ∑ 我 = 1 n个 ξ α 我 x ∂ ∂ x 我 , 1 ≤ α ≤ 第页
跨度an第页-维李代数 L（左） V（V） G公司 此外，所谓的Lie-condition：
n个 米 ≥ 第页 = 昏暗的 L（左） V（V） G公司
感到满意。
该标准特别意味着t吨-相关向量场方程(三)可以写为：
X（X） t吨 , x , v（v） = ∑ α = 1 第页 F类 α ( t吨 ) X（X） α
李代数 L（左） V（V） G公司 通常称为系统的Vessiot–Guldberg–Lie代数。因此，这种代数的存在确保了（非线性）叠加原理的存在[2,12,13]，它可以（至少在形式上）根据与Vessiot–Guldberg–Lie代数的生成器相关联的微分不变量导出。
然而，应该注意到，与微分方程的点对称性的李代数相反[11,12]，Vessiot–Guldberg–Lie代数通常不提供系统的不变量。实际上，相同的系统方程式(1)可能承认不同的叠加规则，因此非同构的Vessiot–Guldberg–Lie代数可以具有不同的维数。Riccati方程和其他与之相关的ODE构成了该病理学的典型示例[2]. 从这个意义上讲，这个问题与包含某些类型对称代数的微分方程的构造有很大不同[14].

2.Vessiot–Guldberg–李代数 第页 ≤ 三 用于Scalar SODE系统

在本节中，对于标量二阶常微分方程，直接分析了Vessiot–Guldberg–Lie代数在低维中的实现，形式上对应于具有 n个 = 2 .
标量二阶常微分方程：
x ¨ − F类 t吨 , x , x ˙ = 0
始终可以重写为一阶系统：
x ˙ = v（v） , v（v） ˙ = F类 t吨 , x , v（v）
具有 n个 = 2 。在这种情况下t吨-相关向量场 X（X） ( t吨 , x , v（v） ) 具有以下形式：
X（X） ( t吨 , x , v（v） ) = v（v） ∂ ∂ x + F类 t吨 , x , v（v） ∂ ∂ v（v）
我们称之为方程式(7)如果它具有Vessiot–Guldberg–Lie代数，则它是一个SODE Lie系统 L（左） V（V） G公司 几何上，向量场 X（X） ( t吨 , x , v（v） ) 取李代数中的值 L（左） V（V） G公司 ; 因此，特别是对于两个给定值 t吨 0 ≠ t吨 1 ，向量场：
X（X） t吨 0 , x , v（v） = v（v） ∂ ∂ x + F类 t吨 0 , x , v（v） ∂ ∂ v（v） , X（X） t吨 0 , x , v（v） − X（X） t吨 1 , x , v（v） = F类 t吨 0 , x , v（v） − F类 t吨 1 , x , v（v） ∂ ∂ v（v）
必须是的元素 L（左） V（V） G公司 .考虑这些向量场系数矩阵的行列式，我们发现：
v（v） F类 t吨 0 , x , v（v） 0 F类 t吨 0 , x , v（v） − F类 t吨 1 , x , v（v） = v（v） F类 t吨 0 , x , v（v） − F类 t吨 1 , x , v（v）
现在，如果 昏暗的 L（左） V（V） G公司 = 1 ，然后是方程式(10)对于的所有值都必须为零t吨由此我们得出结论：
F类 t吨 0 , x , v（v） = F类 t吨 , x , v（v）
为所有人 t吨 ∈ R（右） 意味着约束 ∂ F类 ∂ t吨 = 0 必须满足。因此，SODE谎言系统减少为：
x ¨ − F类 x , x ˙ = 0
和发电机 L（左） V（V） G公司 由提供 X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + F类 x , v（v） ∂ ∂ v（v） .
替代 x ˙ = 第页 进一步简化方程式(11)恢复了自治二阶常微分方程承认叠加原理这一众所周知的性质。同样的结论也适用于更高维的自主SODE-Lie系统[5,13].

2.1. 昏暗的 L（左） V（V） G公司 = 2

非平凡Vessiot–Guldberg–Lie代数的最简单情况由二维Lie代数给出，因为它是Abelian代数或与仿射代数同构 一 2 在飞机上[15]（在下文中，读者将阅读李代数基本性质的参考文献；关于低维分类，请参阅[15,16]). 因此假设系统方程(8)承认Vessiot–Guldberg–Lie代数 L（左） V（V） G公司 维2的（隐式假设它不允许更小维的李代数 L（左） V（V） G公司 ). 按公式(6)，我们的身份是：
X（X） t吨 , x , v（v） = v（v） ∂ ∂ x + F类 t吨 , x , v（v） ∂ ∂ v（v） = F类 1 t吨 X（X） 1 + F类 2 t吨 X（X） 2
哪里 X（X） 1 , X（X） 2 是两个独立的元素 L（左） V（V） G公司 再次使用向量场方程(9)，存在 t吨 0 ≠ t吨 1 ，如行列式方程(10)不会消失：
v（v） F类 t吨 0 , x , v（v） − F类 t吨 1 , x , v（v） ≠ 0
表明向量场是线性无关的。在不丧失通用性的情况下，我们可以定义 L（左） V（V） G公司 作为：
X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + F类 t吨 0 , x , v（v） ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = F类 t吨 0 , x , v（v） − F类 t吨 1 , x , v（v） ∂ ∂ v（v）
我们重写方程的生成器(13)作为：
X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + （f） x , v（v） ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = 克 x , v（v） ∂ ∂ v（v）
其中，通过方程式(12)，因此 F类 1 t吨 = 1 和 （f） x , v（v） + F类 2 t吨 克 x , v（v） = F类 t吨 , x , v（v） 对于某些非恒定函数 F类 2 t吨 和 克 x , v（v） ≠ 0 。换向器由以下公式给出：
X（X） 1 , X（X） 2 = − 克 x , v（v） ∂ ∂ x + v（v） ∂ 克 ∂ x + （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） − 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ v（v） ∂ ∂ v（v） ≠ 0
唯一的可能性是 X（X） 1 , X（X） 2 生成二维李代数是 X（X） 1 , X（X） 2 = λ X（X） 1 + μ X（X） 2 对一些人来说 λ ≠ 0 。此假设得出以下方程式：
克 x , v（v） + λ v（v） = 0 v（v） ∂ 克 ∂ x + （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） − 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ v（v） − λ （f） x , v（v） − μ 克 x , v（v） = 0
求解第一个方程并将结果插入到第二个方程中，我们得到了一般解：
（f） x , v（v） = μ v（v） + v（v） 2 （f） 1 x
进一步的线性变化允许我们假设 μ = 0 . Thet吨-相关向量场由下式给出：
X（X） t吨 , x , v（v） = v（v） ∂ ∂ x + （f） 1 x v（v） 2 + λ F类 2 t吨 v（v） ∂ ∂ v（v）
相关的SODE-Lie系统很容易被视为Liouville型方程（在各种应用中，这种SODE-Lee系统也称为广义Buchdahl方程[4]):
x ¨ − （f） 1 x x ˙ 2 − λ F类 2 t吨 x ˙ = 0
众所周知，该方程包含一个积分因子，第一个积分由以下公式给出：
自然对数 | x ˙ | + ∫ （f） 1 x d日 x + λ ∫ F类 2 t吨 d日 t吨 = C 1
在这个意义上，二维维西奥-古德堡-谎言 L（左） V（V） G公司 对于那些已经从微分方程理论中导出的结果，没有提供新的结果。

2.2. 昏暗的 L（左） V（V） G公司 = 三

对于三维Vessiot-Guldberg李代数的情况，对代数生成器实现的一般形式的分析与已经为二维代数开发的分析非常相似。假设方程式(7)承认Vessiot–Guldberg–Lie代数 昏暗的 L（左） V（V） G公司 = 三 。通过在二维中使用相同的参数，向量字段：
X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + （f） x , v（v） ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = 克 x , v（v） ∂ ∂ v（v）
包含在 L（左） V（V） G公司 ，其中 （f） x , v（v） = F类 t吨 0 , x , v（v） 和 克 x , v（v） = F类 t吨 0 , x , v（v） − F类 t吨 1 , x , v（v） 对于某些任意值 t吨 0 ≠ t吨 1 此外，换向器：
X（X） 1 , X（X） 2 = − 克 x , v（v） ∂ ∂ x + v（v） ∂ 克 ∂ x + （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） − 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ v（v） ∂ ∂ v（v） ≠ 0
也属于Vessiot–Guldberg–Lie代数 L（左） V（V） G公司 .尺寸要求 L（左） V（V） G公司 意味着 X（X） 1 , X（X） 2 必须线性独立于 X（X） 1 , X（X） 2 ，除非另有规定 L（左） V（V） G公司 化简为仿射李代数 一 2 因此，存在第三个向量场 X（X） 三 = ξ 三 1 x , v（v） ∂ ∂ x + ξ 三 2 x , v（v） ∂ ∂ v（v） ∈ L（左） V（V） G公司 具有 ξ 三 1 x , v（v） ≠ 0 ，因此 X（X） 1 , X（X） 2 , X（X） 三 构成…的基础 L（左） V（V） G公司 并满足身份：
X（X） 1 , X（X） 2 = α X（X） 1 + β X（X） 2 + γ X（X） 三
对于某些常数 α , β , γ ，必要时 γ ≠ 0 .
因此，三维Vessiot–Guldberg–Lie代数 L（左） V（V） G公司 始终可以通过以下方式实现：
X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + （f） x , v（v） ∂ ∂ v（v） ; X（X） 2 = 克 x , v（v） ∂ ∂ v（v） ; X（X） 三 = ξ 三 1 x , v（v） ∂ ∂ x + ξ 三 2 x , v（v） ∂ ∂ v（v）
特别是t吨-相关向量场由下式给出 X（X） t吨 , x , v（v） = X（X） 1 + F类 2 t吨 X（X） 2 .
对于后一种实现方式，剩余的换向器如下所示：
X（X） 1 , X（X） 三 = v（v） ∂ ξ 三 1 ∂ x + v（v） ∂ ξ 三 1 ∂ v（v） − ξ 三 2 x , v（v） ∂ ∂ x + v（v） ∂ ξ 三 2 ∂ x + （f） x , v（v） ∂ ξ 三 2 ∂ v（v） − ξ 三 2 x , v（v） ∂ ∂ v（v） X（X） 2 , X（X） 三 = 克 x , v（v） ∂ ξ 三 2 ∂ v（v） − ξ 三 2 x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） ∂ ∂ v（v）
作为中的组件 ∂ ∂ x 属于 X（X） 2 为零，基的改变总是使我们能够将第一个换向器简化为：
X（X） 1 , X（X） 2 = λ X（X） 1 + μ X（X） 三
哪里 μ ≠ 0 。通过在 X（X） 2 ，我们可以进一步假设 μ = 1 （我们观察到 X（X） 1 , X（X） 2 = α X（X） 2 无法按前面指出的原因出现）。其余括号的形式如下：
X（X） 1 , X（X） 三 = 一 1 X（X） 1 + 一 2 X（X） 2 + 一 三 X（X） 三 , X（X） 2 , X（X） 三 = b条 1 X（X） 1 + b条 2 X（X） 2 + b条 三 X（X） 三
对于某些常数 一 我 , b条 我 ∈ R（右） .如果 λ = 0 ，然后：
X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三
一个例行计算表明，只要关系满足雅可比恒等式 b条 2 = − 一 1 和：
一 1 一 三 + 一 2 b条 三 = 0 , b条 1 一 三 − 一 1 b条 三 = 0
都很满意。在这个阶段，这个问题基本上对应于分类三维李代数，这是任何标准参考文献中都解决的一个众所周知的问题[15]. 我们只是指出，考虑以下三种情况就足够了：
（a） b条 三 = 0 , b条 1 = 0 , 一 1 = 0 ; （b） b条 三 = 0 , 一 三 = 0 ; （c） 一 三 = 0 , 一 1 = 0 , 一 2 = 0 .
我们在换向器方程中观察到(16)，角色 X（X） 1 和 X（X） 2 是对称的，这意味着情况（a）和（c）是等价的。对于其余的每一种可能性，换向器方程(16)可以通过基础的连续变化进一步减少。由于这是一个常规计算，所以我们跳过了细节，只表示得到的三维李代数。
如果 λ ≠ 0 与雅可比恒等式和实现方程类似的推理(15)显示只能出现一个同构类，对应于方程式中的以下常量值(16): 一 1 = 一 2 = 一 三 = b条 2 = 0 , b条 1 = 1 , b条 三 = − λ .
提议1： 
如果矢量场方程(15)生成三维Vessiot–Guldberg–Lie代数 L（左） V（V） G公司 ，则它属于以下类型之一：
  • 第页 1 , ε :
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = ε X（X） 2 , X（X） 2 , X（X） 三 = X（X） 1 , ε = − 1 , 1 .
  • 第页 2 :
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = X（X） 1 , X（X） 2 , X（X） 三 = − X（X） 2 .
  • 第页 三 , λ :
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 X（X） 1 , X（X） 三 = 0 , X（X） 2 , X（X） 三 = λ X（X） 1 , λ ∈ R（右） .
  • 第页 4 :
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = 0 , X（X） 2 , X（X） 三 = 0 .
  • 第页 5 :
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = − X（X） 2 , X（X） 2 , X（X） 三 = 0 .
  • 第页 6 , λ :
    X（X） 1 , X（X） 2 = − λ X（X） 1 + X（X） 三 X（X） 1 , X（X） 三 = 0 , X（X） 2 , X（X） 三 = X（X） 1 + λ X（X） 三 , λ > 0 .
关于这些李代数的同构类，我们有 第页 1 , 1 和 第页 2 与简单李代数同构 sl（sl） ( 2 , R（右） ) ，同时 第页 1 , − 1 与同构 所以 ( 三 ) .其余代数是可解的。遵循以下列表[16]，我们有同构 第页 三 , λ ≃ A类 三 , 8 , 第页 4 ≃ A类 三 , 三 , 第页 5 ≃ A类 三 , 8 和 第页 6 , λ ≃ A类 三 , 9 .
曾经可能的李代数 克 推导了实现方程中的精确函数(15)，以及允许 克 as Vessiot–Guldberg–李代数 L（左） V（V） G公司 通过求解以下换向器施加的连续条件得到 克 作为过程的说明，我们给出了李代数的细节 第页 1 , ε 剩下的案例是以完全类似的方式获得的。
让 L（左） V（V） G公司 有括号方程式(18)带有 ε = ± 1 。从前两台发电机：
X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + （f） x , v（v） ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = 克 x , v（v） ∂ ∂ v（v）
由此可知，第三生成器具有以下形式：
X（X） 三 : = X（X） 1 , X（X） 2 = − 克 x , v（v） ∂ ∂ x + v（v） ∂ 克 ∂ x + （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） − 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ v（v） ∂ ∂ v（v）
原则上，以下四个条件 （f） ( x , v（v） ) 和 克 ( x , v（v） ) 对应于其余换向器的组件 X（X） 1 , X（X） 三 和 X（X） 2 , X（X） 三 必须解决。以下内容明确给出：
X（X） 1 , X（X） 三 = 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ v（v） − 2 v（v） ∂ 克 ∂ x − 2 （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） ∂ ∂ x + 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ x − ε + ∂ （f） ∂ v（v） 2 ∂ ∂ v（v） + （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ x − 克 x , v（v） ∂ 2 （f） ∂ v（v） 2 − ∂ （f） ∂ v（v） ∂ 克 ∂ v（v） + 2 v（v） ∂ 2 克 ∂ x ∂ v（v） + （f） x , v（v） ∂ 2 克 ∂ v（v） 2 ∂ ∂ v（v） + v（v） ∂ （f） ∂ x ∂ 克 ∂ v（v） − 2 ∂ （f） ∂ v（v） ∂ 克 ∂ x + v（v） ∂ 2 克 ∂ x 2 − 克 x , v（v） ∂ 2 （f） ∂ x ∂ v（v） ∂ ∂ v（v） X（X） 2 , X（X） 三 = − 克 x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） ∂ ∂ x + 克 x , v（v） ∂ （f） ∂ v（v） ∂ 克 ∂ v（v） + 2 ∂ 克 ∂ x + v（v） ∂ 2 克 ∂ x ∂ v（v） + （f） x , v（v） ∂ 2 克 ∂ v（v） 2 ∂ ∂ v（v） − 克 x , v（v） 2 ∂ 2 （f） ∂ v（v） 2 + （f） x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） 2 − v（v） ∂ 克 ∂ v（v） ∂ 克 ∂ x ∂ ∂ v（v）
作为 X（X） 2 , X（X） 三 = X（X） 1 保持，从中的组件 ∂ ∂ x ，我们提取一阶PDE：
− 克 x , v（v） ∂ 克 ∂ v（v） = v（v）
使用通用解决方案：
克 x , v（v） = G公司 x − v（v） 2
对于某些功能 G公司 x .插入 克 x , v（v） 到换向器中 ∂ ∂ x 换向器的 X（X） 1 , X（X） 三 进一步导致以下情况：
v（v） d日 G公司 d日 x − 2 v（v） （f） x , v（v） + v（v） 2 ∂ （f） ∂ v（v） − G公司 x ∂ （f） ∂ v（v） = 0
后一个PDE具有通用解决方案：
（f） x , v（v） = G公司 x − v（v） 2 k个 x + 1 2 d日 小时 d日 x
事实证明，有了这个选择 （f） x , v（v） ，换向器 X（X） 2 , X（X） 三 = X（X） 1 完全满意。只需考虑中组件指定的条件 ∂ ∂ v（v） 属于 X（X） 1 , X（X） 三 ，由以下人员提供：
d日 2 G公司 d日 x 2 − 三 k个 x d日 G公司 d日 x − 2 G公司 x d日 k个 d日 x + 2 G公司 x k个 2 x − 2 ε = 0
该约束方程表明，实现方程(24)和(25)取决于任意函数 G公司 ( x ) .对于任何一对函数 { G公司 x , k个 x } 满足方程式(26)，换向器方程(18)满足并定义了（非线性）二阶ODE的三维Vessiot–Guldberg–Lie代数：
x ¨ = k个 x x ˙ 2 + F类 2 t吨 G公司 x − x ˙ 2 + 1 2 d日 G公司 d日 x − G公司 x k个 x = 0
回忆一下 ε = 1 ，Vessiot–Guldberg–Lie代数同构于 sl（sl） 2 , R（右） ，而对于 ε = − 1 ，它与 所以 三 .

2.3. 具有三维Vessiot–Guldberg–Lie代数的二阶常微分方程

对于每个李代数 克 在命题1中列出，我们列举了向量场的实现、组件中函数的可能约束以及通用SODE-Lie系统 克 作为Vessiot-Guldberg李代数。
  • L（左） V（V） G公司 ≃ 第页 1 , ε :
    换向器：
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = ε X（X） 2 , X（X） 2 , X（X） 三 = X（X） 1
    实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + G公司 ′ x 2 − k个 x G公司 x − v（v） 2 ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = G公司 x − v（v） 2 ∂ ∂ v（v） X（X） 三 = − G公司 x − v（v） 2 ∂ ∂ x + v（v） k个 x ∂ ∂ v（v）
    二阶微分方程：
    x ¨ = k个 x x ˙ 2 + F类 2 t吨 G公司 x − x ˙ 2 + 1 2 G公司 ′ x − k个 x G公司 x
    约束条件：
    G公司 ″ x − 2 k个 ′ x G公司 x + 2 k个 2 x G公司 x − 三 k个 x G公司 ′ x − 2 ε = 0
  • L（左） V（V） G公司 ≃ 第页 2 :
    换向器：
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = X（X） 1 , X（X） 2 , X（X） 三 = − X（X） 2
    实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + k个 x + 1 + 2 G公司 ′ x 2 G公司 x v（v） 2 ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = G公司 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = − G公司 x ∂ ∂ x − v（v） G公司 ′ x + 1 ∂ ∂ v（v）
    二阶微分方程：
    x ¨ = x ˙ 2 2 1 + 2 G公司 ′ x G公司 x + k个 x + F类 2 t吨 G公司 x
    约束条件：
    k个 ′ x G公司 x − k个 x G公司 ′ x − 2 k个 x = 0
  • L（左） V（V） G公司 ≃ 第页 三 , λ :
    换向器：
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = 0 , X（X） 2 , X（X） 三 = λ X（X） 1
    实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + k个 x G公司 x − λ v（v） 2 + G公司 ′ x 2 λ ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = G公司 x − λ v（v） 2 ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = − G公司 x − λ v（v） 2 ∂ ∂ x − λ v（v） k个 x ∂ ∂ v（v）
    二阶微分方程：
    x ¨ = − λ k个 x x ˙ 2 + G公司 x k个 x + G公司 ′ x 2 λ + F类 2 t吨 G公司 x − λ x ˙ 2
    约束条件：
    2 λ 2 G公司 ′ x k个 2 x + 2 λ G公司 x k个 ′ x + 三 λ G公司 x k个 x + G公司 ″ x = 0
  • L（左） V（V） G公司 ≃ 第页 4 :
    换向器：
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = 0 , X（X） 2 , X（X） 三 = 0
    实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + G公司 ′ x v（v） 2 + μ G公司 2 x G公司 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = G公司 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = − G公司 x ∂ ∂ x − v（v） G公司 ′ x ∂ ∂ v（v）
    二阶微分方程：
    x ¨ = G公司 ′ x G公司 x x ˙ 2 + F类 2 t吨 + μ G公司 x
  • L（左） V（V） G公司 ≃ 第页 5 :
    换向器：
    X（X） 1 , X（X） 2 = X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = − X（X） 2 , X（X） 2 , X（X） 三 = 0
    实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + G公司 ′ x G公司 x v（v） 2 + k个 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = G公司 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = − G公司 x ∂ ∂ x − v（v） G公司 ′ x ∂ ∂ v（v）
    二阶微分方程：
    x ¨ = G公司 ′ x G公司 x x ˙ 2 + k个 x + F类 2 t吨 G公司 x
    约束条件：
    k个 ′ x G公司 x − k个 x G公司 ′ x + G公司 x = 0
  • L（左） V（V） G公司 ≃ 第页 6 , λ :
    换向器：
    X（X） 1 , X（X） 2 = − λ X（X） 1 + X（X） 三 , X（X） 1 , X（X） 三 = 0 , X（X） 2 , X（X） 三 = X（X） 1 + λ X（X） 三
    实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + G公司 2 v（v） β + 1 + λ 2 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = G公司 v（v） ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = λ v（v） − G公司 v（v） ∂ ∂ x − G公司 2 v（v） G公司 ′ v（v） − λ β + 1 + λ 2 x ∂ ∂ v（v）
    二阶微分方程：
    x ¨ = G公司 2 x ˙ β + 1 + λ 2 x + F类 2 t吨 G公司 x ˙
    约束条件：
    2 λ G公司 v（v） − G公司 v（v） G公司 ′ v（v） − 1 + λ 2 v（v） = 0
我们观察到，在大多数情况下，前面的SODE Lie系统总是包含速度的二次项，方程除外(36)，其中更一般的功能是 x ˙ 是允许的。

2.4. 示例

Vessiot–Guldberg–Lie代数的前面的一般实现必须特别覆盖条件为dim的已知SODE Lie系统 L（左） V（V） G公司 ≤ 三 持有。
在低维李代数中 第页 2 ≃ sl（sl） 2 , R（右） 起着特殊的作用，因为它与SODE-Lie系统的各种最相关和研究最好的案例有关（参见，例如[2,4,5]以及其中的参考）。
  • 著名的Milne–Pinney方程：
    x ¨ = F类 t吨 x + c（c） x 三 , c（c） ∈ R（右）
    似乎在做选择 G公司 x = − 1 2 x 在方程式中(29). 这里是约束方程(30)由以下人员提供：
    − x 2 k个 ′ x − 三 2 k个 x = 0
    这个方程的解是直接的，等于 k个 x = c（c） x − 三 现在，设置 F类 2 t吨 = − 2 F类 t吨 ，我们恢复方程式(38). 特别是，对于 c（c） = 0 和 F类 t吨 = ω 2 t吨 ，我们得到了频率随时间变化的谐振子。李代数 L（左） V（V） G公司 由向量场实现：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + c（c） x 三 ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = − x 2 ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = − x 2 ∂ ∂ x − v（v） 2 ∂ ∂ v（v）
    我们观察到Milne–Pinney方程是唯一一个具有Vessiot–Guldberg–李代数的SODE李系统 第页 2 ，使得微分方程不包含 x ˙ 2 .
  • Kummer–Schwarz方程：
    x ¨ = 三 2 x x ˙ 2 − 2 c（c） x 三 + 2 克 t吨 x
    也可从方程式中恢复(29). 在这种情况下，我们认为 G公司 x = x ，导致约束方程(30):
    x k个 ′ x − 三 k个 x = 0
    解决方案如下所示 k个 x = c（c） x 三 .实现李代数的向量场 第页 2 是：
    X（X） 1 = v（v） ∂ ∂ x + c（c） x 三 + 三 2 x ∂ ∂ v（v） , X（X） 2 = x ∂ ∂ v（v） , X（X） 三 = − x ∂ ∂ x − 2 v（v） ∂ ∂ v（v）
我们观察到，这两个方程实际上都是数值的特殊情况 一 = 0 更通用的SODE Lie系统：
x ¨ = 三 + 米 + 2 一 米 米 − 1 x 米 − 1 2 2 + 一 米 − 1 x 米 − 1 x ˙ 2 + 2 + 一 米 − 1 x 米 − 1 米 − 1 F类 2 t吨 + b条 x 米
哪里 一 , b条 , 米 ∈ R（右） 和 米 ≠ 1 .

3.飞机上的SODE测谎系统

确定二阶常微分方程组的类似问题：
x ¨ 1 = F类 1 t吨 , x 1 , x 2 , x ˙ 1 , x 2 , x ¨ 2 = F类 2 t吨 , x 1 , x 2 , x ˙ 1 , x 2
在承认Vessiot–Guldberg–Lie代数的平面上 L（左） V（V） G公司 更为复杂，因为代数是在 R（右） 4 使用坐标 x 1 , x 2 , v（v） 1 = x ˙ 1 , v（v） 2 = x ˙ 2 以及由交换子确定的约束导致（非线性）偏微分方程，这些方程很少能在完全通用的情况下求解。从这个意义上讲，除非在实现中引入了一些简化，否则为标量方程开发的直接方法是不实用的。
使用实现方程的直接推广(14)可以很容易地证明，最一般的SODE李系统承认二维Vessiot–Guldberg–李代数 L（左） V（V） G公司 具有通用形式：
x ¨ 1 − F类 x 1 , x 2 , x ˙ 2 x ˙ 1 x ˙ 1 2 + λ F类 2 t吨 x ˙ 1 = 0 , x ¨ 2 − G公司 x 1 , x 2 , x ˙ 2 x ˙ 1 x ˙ 1 2 + λ F类 2 t吨 x ˙ 2 = 0
我们特别有 X（X） 1 = v（v） 1 ∂ ∂ x 1 + v（v） 2 ∂ ∂ x 2 + F类 x 1 , x 2 , x ˙ 2 x ˙ 1 x ˙ 1 2 ∂ ∂ v（v） 1 + G公司 x 1 , x 2 , x ˙ 2 x ˙ 1 x ˙ 1 2 ∂ ∂ x 2 和 X（X） 2 = − λ v（v） 1 ∂ ∂ v（v） 1 + v（v） 2 ∂ ∂ v（v） 2 带换向器 X（X） 1 , X（X） 2 = λ X（X） 1 （用于 λ = 0 ，该系统是自治的，并明确承认叠加原理[2]).
这一结果表明了一种基于类型方程实现的分析(18)–(23)向量场的分量 X（X） 2 是坐标中的线性函数 x 1 , x 2 , v（v） 1 , v（v） 2 .我们只考虑一种情况，即与特殊情况相对应的情况：
X（X） 2 = λ x 1 ∂ ∂ v（v） 1 + μ x 2 ∂ ∂ v（v） 2
对于非零常数 λ , μ .在不失一般性的情况下，我们可以始终假设 μ = 1 .服用：
X（X） 1 = v（v） 1 ∂ ∂ x 1 + v（v） 2 ∂ ∂ x 2 + （f） 1 x , v（v） ∂ ∂ v（v） 1 + （f） 2 x , v（v） ∂ ∂ v（v） 2
向量场 X（X） 三 = X（X） 1 , X（X） 2 由以下人员提供：
X（X） 三 = − λ x 1 ∂ ∂ x 1 − x 2 ∂ ∂ x 2 + λ v（v） 1 − λ x 1 ∂ （f） 1 ∂ v（v） 1 − x 2 ∂ （f） 1 ∂ v（v） 2 ∂ ∂ v（v） 1 + v（v） 2 − λ x 1 ∂ （f） 2 ∂ v（v） 1 − x 2 ∂ （f） 2 ∂ v（v） 2 ∂ ∂ v（v） 2
作为换向器 X（X） 2 , X（X） 三 中没有非零组件 ∂ ∂ x 1 和 ∂ ∂ x 2 ，唯一的可能性是：
X（X） 2 , X（X） 三 = α X（X） 2
对于一些常量α这意味着，通过这种实现，可能的Vessiot–Guldberg–Lie代数是 第页 2 , 第页 4 和 第页 5 .从假设方程开始(42)，中的组件 ∂ ∂ v（v） 1 和 ∂ ∂ v（v） 2 暗示约束：
2 λ 2 x 1 − λ 2 x 1 2 ∂ 2 （f） 1 ∂ v（v） 1 2 − 2 λ x 1 x 2 ∂ 2 （f） 1 ∂ v（v） 1 ∂ v（v） 2 − x 2 2 ∂ 2 （f） 1 ∂ v（v） 2 2 − α λ x 1 = 0 2 x 2 − λ 2 x 1 2 ∂ 2 （f） 2 ∂ v（v） 1 2 − 2 λ x 1 x 2 ∂ 2 （f） 2 ∂ v（v） 1 ∂ v（v） 2 − x 2 2 ∂ 2 （f） 2 ∂ v（v） 2 2 − α x 2 = 0
引入辅助变量 W公司 0 = λ x 1 v（v） 2 − x 2 v（v） 1 ，系统的解决方案可以写为：
（f） 1 x , v（v） = v（v） 1 2 x 1 − α v（v） 1 2 2 λ x 1 + F类 11 x 1 , x 2 , W公司 0 + v（v） 1 x 1 F类 12 x 1 , x 2 , W公司 0 （f） 2 x , v（v） = 1 λ 2 x 2 v（v） 1 2 x 1 2 − α x 2 v（v） 1 2 2 λ 2 x 1 2 + F类 21 x 1 , x 2 , W公司 0 + v（v） 1 x 1 F类 22 x 1 , x 2 , W公司 0
根据雅可比恒等式，在选择函数时，括号 X（X） 1 , X（X） 三 必须具有以下形式：
X（X） 1 , X（X） 三 = ε X（X） 1 + γ X（X） 2
中的术语 X（X） 2 是无关紧要的，所以在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设 γ = 0 。分析中的组件 ∂ ∂ x 1 和 ∂ ∂ x 2 ，我们看到条件：
F类 12 x 1 , x 2 , W公司 0 − α + ε v（v） 1 = 0 ; F类 22 x 1 , x 2 , W公司 0 − ε + 2 W公司 0 + α + ε = 0
必须满足。只有在以下情况下才会发生这种情况 ε = − α 由此我们得出结论：
F类 12 x 1 , x 2 , W公司 0 = 0 , F类 22 x 1 , x 2 , W公司 0 = − α + 2 W公司 0
使用这些值，只需计算中的组件 ∂ ∂ v（v） 1 和 ∂ ∂ v（v） 2 属于 X（X） 1 , X（X） 三 ：就变量而言 x 1 , x 2 , W公司 0 ，条件如下：
λ x 1 ∂ F类 11 ∂ x 1 + x 2 ∂ F类 11 ∂ x 2 + 1 + λ − α ∂ F类 11 ∂ W公司 0 + 2 α − λ F类 11 x 1 , x 2 , W公司 0 = 0 λ x 1 ∂ F类 21 ∂ x 1 + x 2 ∂ F类 21 ∂ x 2 + 1 + λ − α ∂ F类 21 ∂ W公司 0 + 2 α − 1 F类 21 x 1 , x 2 , W公司 0 = 0
因此，我们获得了以下函数：
F类 11 x 1 , x 2 , W公司 0 = Ψ 1 x 2 λ x 1 , W公司 0 λ x 1 λ + 1 − α x 1 1 − 2 α λ ; F类 21 x 1 , x 2 , W公司 0 = Ψ 2 x 2 λ x 1 , W公司 0 λ x 1 λ + 1 − α x 1 1 − 2 α λ
从t吨-相关向量场 X（X） t吨 , x , v（v） = X（X） 1 + F类 2 t吨 X（X） 2 并更换 v（v） 我 通过一阶导数 x ˙ 我 ，我们得到了以下SODE李系统，其中包含由方程生成的李代数(40)和(41)作为Vessiot–Guldberg–李代数：
x ¨ 1 − 1 − α 2 λ x ˙ 1 2 x 1 − Ψ 1 x 2 λ x 1 , W公司 0 λ x 1 λ + 1 − α x 1 1 − 2 α λ − λ F类 2 t吨 x 1 = 0 x ¨ 2 + 2 − α 2 λ 2 x 2 x ˙ 1 2 x 1 2 + α − 2 λ x ˙ 1 x ˙ 2 x 1 − Ψ 2 x 2 λ x 1 , W公司 0 λ x 1 λ + 1 − α x 1 1 − 2 α λ − λ F类 2 t吨 x ˙ 2 = 0
从交换子中，我们立即看到代数同构于 第页 2 = sl（sl） 2 , R（右） 如果 α ≠ 0 和至 第页 4 如果 α = 0 特别是对于特殊值 λ = 1 , α = 2 和 F类 2 t吨 = − ω 2 t吨 ，之前的SODE谎言系统简化为：
x ¨ 1 − Ψ 1 x 2 x 1 , W公司 0 x 1 − 三 + ω 2 t吨 x 1 = 0 , x ¨ 2 − Ψ 2 x 2 x 1 , W公司 0 x 1 − 三 + ω 2 t吨 x 2 = 0
对应于众所周知的Ermakov系统的推广（参见例如[5,17]以及其中的参考）。
我们注意到，前面的论证中的一个微小变化也允许我们获得具有李代数的SODE李系统 第页 5 作为Vessiot–Guldberg–Lie代数。系统 X（X） t吨 , x , v（v） = X（X） 1 + F类 2 t吨 X（X） 2 特别是具有以下形式：
x ¨ 1 − x ˙ 1 2 x 1 − x 1 Ψ 1 x 2 λ x 1 , W公司 0 λ x 1 λ + 1 + x 1 自然对数 x 1 − λ F类 2 t吨 x 1 = 0 x ¨ 2 + 1 λ 2 x 2 x ˙ 1 2 x 1 2 − 2 λ x ˙ 1 x ˙ 2 x 1 − Ψ 2 x 2 λ x 1 , W公司 0 λ x 1 λ + 1 x 1 1 − λ + x 2 自然对数 x 1 λ − λ F类 2 t吨 x ˙ 2 = 0

4.结论

通过一种直接的方法，构造了一个最多包含三个维的Vessiot–Guldberg–Lie代数的标量SODE李系统。这些方程包含一些众所周知的SODE-Lie系统类型，如Liouville型方程和Milne–Pinney和Kummer–Schwarz方程。平面上SODE李系统的情况，由于约束引起的复杂偏微分方程，更为复杂，但已被考虑为包含一个重要类的特殊情况，即广义Ermakov系统[5].
确定Vessiot–Guldberg–Lie代数的问题在形式上对应于根据向量场研究Lie代数在 R（右） n个 因此，安萨茨可以用实现的原始类来表示[7,8]. 这种方法，结合李代数的子代数格和低维Vessiot–Guldberg–李代数获得的障碍，最终可能导致标量SODE李系统的完整分类。然而，从纯实用的角度来看，有时选择一种泛化某些固定实现的实现可能更方便，目的是获得一类自然泛化已知类型SODE-Lie系统的方程或系统。沿着这些线继续，也使我们能够考虑依赖于参数的实现，从而可以同时使用非同构李代数。在此背景下，一个有趣的问题涉及李代数（实现）的压缩概念与维西奥-古尔德伯格-李代数的压缩概念的结合，特别是与最近发展的强压缩概念有关[18].

致谢

作者感谢裁判的宝贵意见和建议，这些意见和建议极大地改善了演讲。这项工作得到了西班牙经济竞争力部研究项目MTM2013-43820-P的部分支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

鲁特威格·坎波莫·斯图斯伯格。2016.“二阶常微分方程的低维Vessiot-Guldberg-Lie代数”对称第8页，第3页：第15页。https://doi.org/10.3390/sym8030015

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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