1.简介
Sturm–Liouville边值问题（BVP）是数学及其应用中一个活跃的研究领域[1,2]. 虽然公式最初来自应用问题[三,4]数学理论在分析和数值解方面都已成熟[5,6,7,8,9]. Sturm–Liouville BVP中一个有趣的问题是寻找本征值及其相应的本征函数。半个多世纪前，人们进行了一些估算特征值的尝试[10,11]. 已经发展了各种数值技术，包括瑞利-里兹方法[12]，矩阵变分法[13]，拍摄方法[14]，普鲁士系数近似法[15]，谱参数幂级数法[16]以及修正的积分级数方法等[17]. 通过对现有技术的修改和改进，以及Sturm–Liouville问题在许多物理情况下的应用，大量文献不断更新。 Sturm-Liouville问题的历史可以追溯到19世纪，当时数学家雅克·查尔斯·弗朗索瓦·斯图姆（1803-1855）来自当时的日内瓦，当时是法国的一部分，约瑟夫·刘维尔（1809-1882）来自法国，研究了二阶线性微分方程在适当边界条件下的特殊问题及其解的性质。他们的研究结果于1836-1837年发表在一系列论文中。
这些问题不仅作为基于牛顿力学的运动控制方程经常出现，而且在处理线性偏微分方程（PDE）的分离变量方法时也经常出现。在量子力学中也有一些应用，其中具有固定角动量量子数的粒子的与时间无关的薛定谔方程在与光谱相关的能级处的球对称势中运动[18,19]. 经典的Sturm–Liouville问题由线性二阶常微分方程（ODE）和定义问题的区间端点处的一组边界条件组成。它可以写在下面自伴随的（或规范的)形式 安特征值（或光谱)是的值这样ODE(1)拥有一个非平凡的解决方案受规定的边界条件约束。此解决方案称为对应的本征函数与每个并且在标量乘法中是唯一的。请注意，虽然一些作者采用了经典导数在边界处，我们选择拟导数相反，其中质数表示相对于变量的微分z（z）此外，两者都不是和也不是和都是零。 这个有规律的Sturm–Liouville问题是在系数函数表现良好的假设下运行的。在这种情况下，和严格来说是积极的，并且,,、和是有界闭区间上的连续函数因此，存在一个无限的特征值序列和本征函数,,……如此只有n个开区间上的零此外，不同的特征函数与权重函数正交即。， 这个单数的Sturm–Liouville问题包括系数函数在边界点处是否奇异，或者区间是否无界。虽然常规的Sturm–Liouville问题是由Sturm和Liouville's的著作介绍的，也是其著作的重点，但奇异的Sturm-Liouvill问题是由德国哥廷根的Hermann Weyl提出的，他研究了一些具有奇异性的常微分方程，并于1910年提出了本质谱的主题[20]. 事实上，20世纪20年代和30年代量子理论的逐步发展以及希尔伯特空间中无界自共轭算符的一般谱定理的突破为进一步研究Sturm–Liouville自共轭微分算符的谱理论提供了动力[6,21]. 关于Sturm–Liouville理论的文献非常丰富。由于计算软件和硬件的进步，Sturm–Liouville问题的数值方面是数学物理最活跃的研究领域之一。以下简要的文献综述绝非详尽无遗。而Sinc–Galerkin方法和微分变换方法的比较表明，后者比前者更有效[22]对Sinc–Galerkin方法和变分迭代方法的比较研究表明，前者在处理奇异问题时优于后者[23]. 在过去的十年中，正则和奇异分数阶导数Sturm–Liouville问题和算子得到了很多关注[24,25,26]. 特别是，Klimet和Agrawal首次证明了两类分数阶Sturm–Liouville算子的特征值是实值的，与两个不同特征值相关的特征函数是正交的[25]. 此外，利用分数阶变分分析方法证明了正则分数阶Sturm–Liouville问题的可数正交特征函数集的存在性[27]. 最近，提出了一种基于拉格朗日多项式插值估计Caputo型分数阶Sturm–Liouville问题特征值和特征函数的有效数值方法[28]. 当谈到应用时，Sturm–Liouville问题在应用数学和物理中具有丰富的特点。BVP本身最初起源于非均质细棒中的热传导问题，但PDE中同样经典的问题包括拨弦、薄膜和声波的振动。Sturm–Liouville BVP自然出现，是实施变量分离方法的直接结果。对于这些振动问题，特征值决定振动频率，而相关的特征函数对应于任何时间点的振动波形状[29]. Sturm–Liouville问题最直接的应用带来了各种傅里叶级数，而更复杂的应用则导致了涉及贝塞尔函数、Hermite多项式和其他特殊函数的傅里叶系列的推广。一个例子是球形电容器产生的静电场，其中球坐标系中的拉普拉斯方程作为控制方程，解中出现勒让德多项式[三]. 另一个例子来自量子力学系统，其中粒子的波函数由一维时间无关的薛定谔方程控制。在这种情况下，本征值代表原子系统的能级，本征函数是可观测物理量的波函数[30,31]. 本文的重点是所谓的修改后的第二个Paine–de Hoog–Anderssen（PdHA）BVP[32]. 我们所说的“第一”和“第二”PdHA问题处理的是Sturm–Liouville中规范形式的ODE的相应不变函数，在本例中为PdHA难题。而第一个PdHA问题采用指数不变函数，即。，，第二个“经典”PdHA问题采用倒数二次二项函数的特例，即。，在本文中，我们不研究前者。我们的重点是通过修改不变函数以涉及多个参数来研究后者，即。，，其中和。因此修改的第二个PdHA问题虽然经典问题出现在40多年前，但正如我们将在本文中遇到的那样，研究修改后的版本仍然具有启发性。 由于寻找本征值和本征函数是Sturm–Liouville问题的一个中心方面，我们的动机是提供一种估计前者的替代方法，而无需实际求解原始修改的第二个PdHA BVP。我们的主要贡献是将从估计中获得的特征值与数值解结果进行了定量比较。通过组合不同的参数，我们观察了当我们改变参数时特征值的行为。虽然对问题的具体选择相当狭隘和具体，但我们预计我们的贡献可能会阐明使用类似技术可以解决的其他问题。我们还邀请专业人士对提高估计准确性的潜在方法进行评论和辩论。
本文的结构如下。第2节处理修改后的第二个PdHA问题。利用Sturm–Liouville理论中众所周知的变换，我们验证了一个特殊的标准形式的Sturm-Liouvill问题可以转化为修改的第二个PdHA BVP，其中相应的不变函数承认倒数二次二项式函数的形式。第3节介绍了如何在不解决特征值问题的情况下，而是通过合并景观功能和有效潜力来估计频谱。第4节对Dirichlet和Neumann边界条件的特征值估计与数值模拟进行了比较。最后，第5节我们的讨论结束。 2.改进的第二痛苦-德胡格-安德森问题
我们从广义第二个PdHA问题的以下定义开始。
定义1。（广义第二Paine–de Hoog–Anderssen（PdHA）问题）。 以下Schrödinger（或Liouville正规）形式的Sturm–LiouvilleBVP定义为广义第二个Paine–de Hoog–Anderssen（PdHA）问题第三类（Robin）边界条件：其中，点表示关于的导数不变函数q由下式给出 对于，我们将上述内容称为修改的第二个PdHA问题.图1显示不变函数的绘图对于不同的参数值。的左侧面板图1绘制固定值的函数一和c（c）但对于不同的值b条以对数刻度。的右侧面板图1说明了q个什么时候一和b条是固定的，但参数c（c）多种多样。在这两种情况下，函数都随着值的增加而减小. 对于，问题似乎是公开的。我们的推测是，光谱与虽然对于Liouville范式中的BVP仍然可以用数值方法求解，但以规范形式恢复相应的Sturm–Liouvill问题是很重要的。
推论 1 特别是，对于修改后的第二个PdHA问题()，何时,通过施加Dirichlet条件,、和，选择端点为和，上述BVP归结为众所周知的经典第二个PdHA问题[32]: 我们需要以下关于Sturm–Liouville问题从规范形式到Schrödinger形式的转换的定理[8]: 定理 1 特征值为λ的标准形Sturm–Liouville问题及其对应的特征函数明确给出如下：可以在中转换为以下BVP薛定谔（或Liouville正常)形式通过执行刘维尔变换哪里q是对应的不变函数规范形式的ODE的，由 最近的一份预印本中提供了该定理证明的详细大纲，其中还通过WKB方法和数值模拟讨论了大气边界层中扰动位温分布的相关应用[33]. 提议 1 具有Dirichlet边界条件的标准型Sturm–Liouville问题哪里减少到修改后的第二个PdHA问题 证明。 自然后我们可以表达z（z）就我们表示函数u个根据转换变量:和功能v（v）使用转换:由此可见边界点和可以通过替换来获得和到表达式中分别是。证明已完成。□ 推论 2 经典的第二个PdHA问题可以通过以下方式实现,、和.
例子 1 考虑具有Dirichlet边界条件的正则Sturm–Liouville问题哪里和Liouville范式中的BVP由下式给出 图2显示了中的指数行为z（z）系数函数的（左面板）和相应的不变函数对数标度（右面板），这在经典的第二个PdHA问题中被考虑。 3.估计最小特征值
Arnold等人提出了一种新的技术，通过局部景观和有效势函数逼近Sturm–Liouville问题的最小特征值[34,35]. 让为景观函数，则满足ODE具有适当的边界条件。安有效电势 定义为即景观功能的倒数。然后，Sturm–Liouville问题的最低特征值由下式给出哪里是问题对应区间上有效势的最小值。 在不损失任何通用性的情况下，我们可以重写不变函数q个采用以下形式：因此，修改后的第二个PdHA问题的相应景观函数满足以下BVP：在下文中，我们将在端点处寻求广义条件，即第三类（Robin）边界条件，公式如下：观察到第一类和第二类Dirichlet和Neumann边界条件可以通过取和分别是。 让,，是齐次ODE的Ansatz，然后，通过替换，我们得到，解决了其中下标1和2分别对应正负号。注意，对于特殊情况，正根众所周知的黄金比率和共轭根，也称为银比率的负值。因此，齐次常微分方程的补充解由下式给出我们使用参数变化技术来寻求特定的解。将Ansatz编写为我们获得将这些替换为Ansatz以获得特定的解决方案将两者结合在一起和，我们得到了景观功能的一般解：通过施加Robin边界条件，常数系数和满足以下矩阵方程：其解为和，其中 相应的系数和对于Dirichlet边界条件如下所示：同样，我们也可以导出Neumann边界条件的系数相应的系数如下所示： 有效潜力的最小值或景观功能的最大值出现在这样的话即。，我们可以使用任何标准的寻根算法技术来数值求解该方程，例如牛顿-拉斐逊方法或类似的基于导数的技术。 图3显示景观功能的地块和有效潜力对于以下几个值但对于选定的固定值.景观函数满足修正的PdHA问题的BVP，该问题在两个端点都具有齐次Dirichlet条件。我们观察到增加，其斜率为也会增加，从而导致其最大值增加。因此，势函数的最小值减小为增加，一个直接的后果也是特征值估计值的减少。请参见的左侧面板图4. 图5显示了景观函数图和相应的有效势，其中前者满足非齐次Neumann边界条件下修正的第二个PdHA问题的BVP。斜率在左端和右端分别选择为正和负统一。两个面板都描述了固定值的曲线和以下几个值观察到，尽管两个端点处景观功能的斜率保持相同，但每个景观功能的初始条件随着增加。因此，最大值也相应地增加。相反，有效电势的最小值随着，即特征值的递减值为正在变大。请参阅图4和图6. 4.数值比较
在本节中，我们将通过景观函数获得的最低阶特征值与数值模拟获得的特征值进行比较。我们利用MATLAB软件的有限差分码bvp4c对于后者，伴随着ODE系统的调用函数、边界条件和初始猜测来求解具有未知参数的相应BVP。
4.1. 特征值比较
在本小节中，我们将对改进的第二个PdHA问题的特征值与从景观函数和数值模拟中获得的特征值进行比较。我们还进一步研究了指定边界条件是Dirichlet或Neumann类型的情况。
图4显示最低阶特征值的绘图作为参数的函数。的左侧面板图4描述了从景观函数获得的特征值与几个参数值的数值模拟结果之间的比较和特殊的狄利克雷边界条件。虽然近似值高估了数值计算，但特征值对于广泛的参数值通常表现出显著的定量一致性。 的右侧面板图4对特定Neumann边界条件的景观函数估计和数值模拟获得的特征值与。我们观察到，尽管两种结果的定性行为相似，即通常随着，其定量行为并非如此。对于，近似值远远不够准确，而对于尽管特征值估计仍然高估了数值估计，但特征值估计与数值估计具有更好的近似性。 图6显示了与右面板的类似比较图4但值很小（左侧面板）和的值其中景观功能几乎是单一的（右面板）。这一发现产生了一种独特的定性行为。对于小型特征值估计与数值结果有较好的定量一致性。作为结果表明，对于较小的值，正如我们在右侧面板中所观察到的图4。对于这种特殊情况，我们还注意到，估计值显著提高，但对于. 4.2. 数值特征函数
在本小节中，我们给出了Dirichlet和Neumann条件下修正的第二PdHA BVP的相应本征函数。我们只关注前两个最低阶本征函数，因为高阶本征函数可以通过简单地修改本征值和/或本征函数的初始猜测值来相应地计算。
图7显示了具有特定Dirichlet边界条件的修改后的第二个PdHA问题的特征函数。最低阶和二阶特征函数显示在图7分别是。固定值为规定，不同的曲线对应不同的。我们观察到，对于特征函数的最大值和最小值均减小。正如我们在前一小节中所讨论的，特征值也出现了类似的趋势。从这两个最低阶特征函数，即使相当大，例如值得注意的是，本征函数剖面并没有显著变化。当相对较小，即。，，特征函数的最大值和数量分布的减少非常显著。 图8说明了修改后的第二个PdHA BVP的类似本征函数，但具有指定的Neumann条件。左面板和右面板对应于不同值的一阶和二阶本征函数剖面和固定参数与之前的情况相比，我们认识到当我们将边界条件从Dirichlet修改为Neumann类型时，本征函数表现出完全不同的定量和定性行为。虽然本征函数的斜率在两个端点处保持相同，但初始值却不相同。相反，随着然而，右端点的边界值不一定遵循这一趋势。本征函数最大值的增加与我们之前证实的本征值的减少是一致的。与前一种情况不同，参数值的变化相对较大，例如到，似乎与特征函数分布的实质性变化在数量上相对应。 5.结论
在本文中，我们考虑了常规Sturm–Liouville BVP的一个特例。通过将问题转化为Liouville范式，我们将重点放在第二个PdHA问题上。虽然经典的PdHA问题是在四十年前提出的，但文献中似乎没有第二个PdHA的修改版本。上述说明表明，当涉及到特征值和对应特征函数相对于参数值变化的行为时，修正的第二个PdHA问题可能会提供额外的见解。
通过引入景观函数和有效势，我们可以在不求解相应特征值问题的情况下估计出最低阶特征值。我们发现，尽管数字技术可以在几秒钟内提供所需的输出，但这种方法还是非常显著的。特别是，对于对应于修改后的第二个PdHA问题的相应不变函数的特殊情况，景观和有效势函数都可以求解并解析表示。
通过规定Dirichlet型和Neumann型边界条件，我们证明了估计值和数值模拟值之间的特征值比较。通常，从景观函数获得的特征值在数量上高估了数值结果，但它们在定性上表现出相对良好的一致性。唯一的例外是当我们施加Neumann边界条件并选择较小的参数值时但对于更大的值.
