Applying the Dijkstra Algorithm to Solve a Linear Diophantine Fuzzy Environment

Parimala, Mani; Jafari, Saeid; Riaz, Muhamad; Aslam, Muhammad

doi:10.3390/sym13091616

开放式访问第条

应用Dijkstra算法求解线性丢番图模糊环境

¹

印度泰米尔纳德邦Sathyamangalam 638401 Bannari Amman理工学院数学系

²

丹麦斯拉格尔斯4200，维茨杰兰南方学院及数学和物理科学基金会（College of Vestsjaelland South&Mathematical and Physical Science Foundation）

^三

巴基斯坦拉合尔54590旁遮普大学数学系

⁴

沙特阿拉伯阿布哈哈立德国王大学科学院数学系，邮编61413

^*

应向其寄送信件的作者。

对称 2021,13(9), 1616;https://doi.org/10.3390/sym13091616

收到的提交文件：2021年6月28日/修订日期：2021年7月28日/接受日期：2021年8月10日/发布日期：2021年9月2日

（本文属于特刊模糊逻辑与数学及其应用研究)

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版本注释

摘要

:

线性丢番图模糊集（LDFS）理论扩展了直觉模糊集（IFS）和毕达哥拉斯模糊集（PyFS）理论，通过参考参数扩大了模糊和不确定信息的空间，因为它具有广阔的可允许双重值描述区域的壮丽特征。我们编码了线性丢番图的最短路径（SP）问题。线性丢番图模糊数（LDFN）用于表示与弧关联的权重。本文的主要目的是通过引入线性丢番图模糊（LDF）最优性约束，建立一种求解有向网络图的方法。使用改进的分数函数（SF）和LDFN表示的弧值计算不同路径的权重。基于这些增强的得分函数和优化要求，对传统的Dijkstra方法进行了进一步改进，以找到线性丢番图模糊最短路径（LDFSP）和同端LDFSP的弧权。与当前方法进行了比较分析，证明了新算法的优点。最后，为了验证所提技术的可能用途，提出了一个小型电信网络。

关键词：

线性丢番图;Dijkstra算法;线性丢番图模糊数;记分函数;最短路径问题

1.简介

网络流的核心是最短路径问题（SPP）。广泛的现实网络问题的主要挑战是在两个定义的节点之间高效、廉价地传输任何产品。因此，应该使用最短路径（SP）来制定这样的实际应用程序，例如根据从起始节点（SN）到终端节点（TN）的最低成本、时间或距离来发现路由。传统上，人们认为边的遍历代价可以表示为清晰的数字（CN）。然而，由于价格随交通模式和天气而波动，因此这些值在性质上通常不精确或模棱两可。Zadeh引入了模糊集（FS）概念[1]来解决这种模糊性。经济学、医学科学研究和许多其他领域每天都在为不明确、不精确、有时甚至不充分的数据建模知识而斗争。在模糊集理论提出之后，为了各种特殊目的，人们提出了非经典和高阶模糊集的建议。扎德的[1]FS理论是处理SPP中不精确知识的一种有价值的方法。因此，研究人员在模糊领域中进行了大量尝试来解决各种形式的SPP。

冈田[2]根据可能性原理，提出了一种求解模糊SPP的算法，以确定每条弧的机会度。基于模糊SPP，Keshavarz和Khorram[三]将模糊SPP推广到一个双层规划问题，并提出了相应的算法。固定数量是SP在解决由此产生的问题时面临的一个困境。Dou等人利用模糊多准则决策（MCDM）方法重点进行相似性测试[4]解决了多重约束网络中的模糊SP问题。Deng等人[5]利用模糊数的秩平均积分定义，将Dijkstra算法推广到求解模糊SPP问题。此外，一些专家[6,7]专注于使用基于模糊弧值的启发式算法的异构形式来解决网络中的SPP。

然而，FS只采用满意等级，并不表示不满意等级。这里的不满意等级与满意等级对应。直觉主义FS（IFS）是FS理论的推广，由Atanassov提出[8]，在分析过程中纳入了不满意等级。这里，满意等级和不满意等级之和小于或等于1。在IFS环境中，一些研究人员正在使用IFS弧值求解SPP。穆克吉[9]在IFS理论世界中发现SP。为了解决IFS理论SPP问题，Geetharamani和Jayagowri提出了最短路径长度协议的替代算法和直觉模糊集的相似性度量[10]. Biswas等人[11]建立了在起始节点（SN）和终端节点（TN）之间寻找直觉模糊集理论SPP的协议。Kumar等人开发了一种算法[12]在区间值直觉模糊集下，利用弧权识别网络中的SP和最短距离（SD）。苏加塔和风信子[13]设想了两种不同的方法来解决IFS设置中的SP问题。在直觉主义模糊设置下，莫塔梅尼和易卜拉欣内贾德还有一个额外的限制[14]专注于解决SPP。

IFS已经引起了人们的广泛关注，并在现实生活的许多不同方面得到了体现。在IFS中，成员的约束和

μ

和非会员资格

ν

不超过1，这将选项限制为满意和不满意类。为了避免这种情况，亚格[15,16,17]提出了毕达哥拉斯模糊集（PyFS），用满意度表示

(μ)

和不满意等级

(ν)

约束条件是

μ

和

ν

不超过一。毕达哥拉斯模糊数（PyFN）的原理是由Zhang和Xu介绍的[18]解释元素的双重性：专家给出满意分数为的选项的详细信息

0.9

不满意等级为

0.3

在决策环境中；国际单项体育联合会努力解决这个案件，因为

0.9 + 0.3 > 1

; 然而，

{(0.9)}^{2} + {(0.3)}^{2} \leq 1

Akram等人[19,20]最近实现了一些新的勾股格模糊图（PyFG）操作，如排除、对称视差、剩余积和最大积。为了扩展模糊集，一些研究人员[21,22,23,24,25,26,27,28]实现并检查了不同形式的SP算法。

IFS和PyFS在多种现实环境中有不同的应用，但这两个概念在满意度和不满意度方面都有各自的局限性。Riaz和Hashmi等人[29,30]为了消除这些约束，提出了包含比较参数的线性丢番图模糊集（LDFS）方法。由于采用了参考参数，与其他概念相比，LDFS更灵活、更高效，近年来出现了蓬勃发展[31,32,33,34,35]. 最近，在2021年，Riaz等人[30]将他们的研究扩展到线性丢番图（LDFG）理论。

SPP是最突出的图论问题。对于基本上所有的模糊结构，它都经过了广泛的测试（参见[2,36,37,38])使用一种相对简单的算法，并为我们提供最佳的预测性能，如[7]，当时。Warshall提出了一些解决SPP的通用方法[39]，迪克斯特拉[40]，行李员[41]和弗洛伊德[42]. 其中最经典也是最好的方法之一是Dijkstra算法（DA）。Dijkstra的动态编程（DDP）[5,43]该方法可以通过将网络边缘的权重视为不确定或模糊的，来解决模糊最短路径问题（FSPP）。LDFS和LDFGs比现有的模糊概念更高效、更灵活、更兼容，因为它们具有参考参数。这两个概念之间的研究差距促使我们通过Dijkstra算法引入线性丢番图模糊最短路径。本工作根据上述富有成果的研究扩展了传统的Dijkstra算法，允许我们计算线性丢番图模糊SPP的最低成本（LDFSPP）。LDFSPP试图为决策者提供LDFSP的长度以及具有线性丢番图模糊弧长的网络中的最短路径。假设LDFN是电弧的成本参数。基于Dijkstra的技术，为这个问题提供了一个伪代码。描述了几个操作要求，以及预期的LDFN值和使用分数和精度函数的相似性度量LDFN。最后，通过一个数值例子说明了该方法的有效性和实用性。此外，我们的发现与当前的研究进行了比较。

本手稿的目的如下：

1: 线性丢番图模糊集（LDFS）理论优于直觉模糊集（IFS）、勾股模糊集（PyFS）和q阶正射空气模糊集（q-ROFS）理论，由于其允许对偶的描绘区域很宽的华丽特征，通过参考参数可以获得很宽的模糊和不确定信息空间；
2: 在决策分析中，成员和非成员等级不足以分析宇宙中的对象。参考参数的添加为决策者选择成员和非成员等级提供了自由。带有相关参考参数的LDFS为建模不确定性提供了一种稳健的方法；
三。: 我们对线性丢番图的最短路径（SP）问题进行了编码；
4: 线性丢番图模糊数用于表示与弧相关的权重（LDFN）；
5: 本文的主要目的是通过引入线性丢番图模糊（LDF）最优性约束，建立一种求解有向网络图的方法；
6: 然后使用改进的分数函数（SF）计算不同路径的权重，弧值由LDFN表示；
7: 基于这些增强的得分函数和11个最优性要求，对传统的Dijkstra方法进行了进一步改进，以找到线性丢番图模糊最短路径（LDFSP）和同端LDFSP的弧权；
8: 与当前方法进行了比较分析，证明了新算法的优点。最后，为了验证所提技术的可能用途，提出了一个小型电信网络；
9: 通过一个描述通信网络的数值例子，验证了该方法的效率、合理性和优越性；然后比较了最优决策的对称性和可能方案的排序。
10: 通过一个描述通信网络的数值例子，检验了所提出方法的有效性、合理性和优越性；
11: 比较分析遵循最佳决策的对称性和可行备选方案的排名。

因此，本文旨在提出一种在LDFG环境中解决SP问题的技术。为此，首先讨论SP问题的数学公式，其中弧的遍历代价用LDFN表示。然后，我们定义了LDF网络中解算法设计的最优性条件。为此，使用一个增强的评分功能来比较不同路线的成本，LDFN表示其弧成本。然后使用标准Dijkstra算法计算LDFSP和相应LDFSP的成本。使用LDF设置中的最小通信网络来解释该算法。论文的其余部分组织如下：第2节涵盖了线性丢番图模糊集的一些基本原理，而第3节介绍了LDF网络环境下SP问题的统计公式、LDF最短路径优化条件和扩展的Dijkstra算法。第4节提供了一个数值示例，说明了所建议的求解方法。这篇文章的最后结论是第5节.

2.准备工作

定义来自[8,15,16,17,29,30]在续集中使用。

定义 1

([8]). 国际单项体育联合会

我

关于宇宙

问

定义如下：

我 = {ζ, 米 (ζ), n个 (ζ) | ζ \in 问}

哪里

米, n个 : 问 \to [0, 1]

分别是满意和不满意等级。IFS的条件是

米 + n个 \leq 1

.一对

(米, n个)

被称为直觉模糊数（IFN）。IFS的二维（2D）和三维（3D）图的图形表示如所示图1.

定义 2

([15,16,17]). 一个PyFS

对

关于宇宙

U型

定义如下：

对 = {ζ, 米 (ζ), n个 (ζ) | ζ \in 对}

哪里

米, n个 : 对 \to [0, 1]

分别是满意和不满意等级。PyFS的条件是

米^{2} + {n个}^{2} \leq [0, 1]

.一对

(米, n个)

据说是PyFN。PyFS的2D和3D图的图形表示如所示图2.

定义三

([29,30]). 一个LDFS

L（左）

是非空引用集中的对象

问

形式：

{L（左）}_{D类} = {(ζ, 〈 米_{D类} (ζ), {n个}_{D类} (ζ) 〉, 〈 α, β 〉) : ζ \in 问}

哪里

米_{D类} (ζ), {n个}_{D类} (ζ)

是满意等级和不满意等级

α, β \in [0, 1]

分别是参考参数。这些等级满足约束条件

0 \leq α 米_{D类} (ζ) + β {n个}_{D类} (ζ) \leq 1

为所有人

ζ \in 问

和

0 \leq α + β \leq 1

在描述或分类特定系统时，这些比较参数将有所帮助。通过移动这些参数的物理意义，我们可以对系统进行分类。它们扩大了LDFS中用于年级的空间，并解除了对它们的限制。拒绝等级定义为

γ π_{D类} = (ζ) = 1 负极 (α 米_{D类} (ζ) + β {n个}_{D类} (ζ))

，其中γ是拒绝参考参数。线性丢番图模糊数（LDFN）定义为

{T型}_{D类} = (〈 米_{D类}, {n个}_{D类} 〉, 〈 α, β 〉)

具有

0 \leq α + β \leq 1

和

0 \leq α 米_{D类} + β {n个}_{D类} \leq 1

LDFS 2D和3D图的图形表示见图3中给出了IFS、PyFS和LDFS的比较空间图4.

例子 1

如果

米_{D类} = 0.96

和

{n个}_{D类} = 0.62

，然后

0.96 + 0.62 = 1.58 ≰ 1

和

{(0.96)}^{2} + {(0.62)}^{2} ≰ 1.306

，但用于任意选择参考参数

(α, β) \in [0, 1]

具有

0 \leq α + β \leq 1

，我们有

0 \leq α 米_{D类} + β {n个}_{D类} \leq 1

.至于

(α, β) = (0.46, 0.58)

，我们有

(0.46) (0.96) + (0.58) (0.62) = 0.8012 < 1

因此，我们成功地建立了一个比IFS和PyFS更大的空间，并且我们有更多的选项可以为其赋值

米_{D类}

和

{n个}_{D类}

，这在IFS和PyFS中是无法实现的。

定义 4

上的LDFS

问

据说是：

（i）: 绝对LDFS，如果其形式为 ${L（左）}_{D类}^{1} = {ζ, (〈 1, 0 〉, 〈 1, 0 〉) : ζ \in 问}$ ;
（ii）: 空或空LDFS，如果其形式为 ${L（左）}_{D类}^{0} = {ζ, (〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉) : ζ \in 问}$ .

定义 5

让

{T型}_{D类} = (〈 米_{D类}, {n个}_{D类} 〉, 〈 α, β 〉)

为LDFN，则得分函数（SF）表示为

{S公司}_{({T型}_{D类})}

和精度函数（AF）

{A类}_{({T型}_{D类})}

在

D类

可以通过映射定义

S公司 : {T型}_{D类} (问) ⟶ [负极 1, 1]

并由以下人员提供：

1: ${S公司}_{({T型}_{D类})} = \frac{1}{2} [(米_{D类} 负极 {n个}_{D类}) + (α 负极 β)]$
2: ${A类}_{({T型}_{D类})} = \frac{1}{2} [\frac{(米_{D类} + {n个}_{D类})}{2} + (α + β)]$

哪里

{T型}_{D类} (问)

所有LDFNs的组装是否已启动

问

.

定义 6

让

{T型}_{{D类}_{我}} = (〈 米_{{D类}_{我}}, {n个}_{{D类}_{我}} 〉, 〈 α_{{D类}_{我}}, β_{{D类}_{我}} 〉)

对于

我 \in Δ

是LDFN的集合

问

和

X（X） > 0

，则：

（i）: ${T型}_{{D类}_{1}}^{c（c）} = (〈 {n个}_{{D类}_{1}}, 米_{{D类}_{1}} 〉, 〈 β_{{D类}_{1}}, α_{{D类}_{1}} 〉)$ ;
（ii）: ${T型}_{{D类}_{1}} = {T型}_{{D类}_{2}} \Leftrightarrow 米_{{D类}_{1}} = 米_{{D类}_{2}}, {n个}_{{D类}_{1}} = {n个}_{{D类}_{2}}, α_{{D类}_{1}} = α_{{D类}_{2}}, β_{{D类}_{1}} = β_{{D类}_{2}}$ ;
（iii）: ${T型}_{{D类}_{1}} \subseteq {T型}_{{D类}_{2}} \Leftrightarrow 米_{{D类}_{1}} \leq 米_{{D类}_{2}}, {n个}_{{D类}_{1}} \geq {n个}_{{D类}_{2}}, α_{{D类}_{1}} \leq α_{{D类}_{2}}, β_{{D类}_{1}} \geq β_{{D类}_{2}}$ ;
（iv）: ${T型}_{{D类}_{1}} \oplus {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 米_{{D类}_{1}} + 米_{{D类}_{2}} 负极米_{{D类}_{1}} 米_{{D类}_{2}}, {n个}_{{D类}_{1}} {n个}_{{D类}_{2}} 〉, 〈 α_{{D类}_{1}} + α_{{D类}_{2}} 负极 α_{{D类}_{1}} α_{{D类}_{2}}, β_{{D类}_{1}} β_{{D类}_{2}} 〉)$ ;
（v）: ${T型}_{{D类}_{1}} \otimes {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 米_{{D类}_{1}} 米_{{D类}_{2}}, {n个}_{{D类}_{1}} + {n个}_{{D类}_{2}} 负极 {n个}_{{D类}_{1}} {n个}_{{D类}_{2}} 〉, 〈 α_{{D类}_{1}} α_{{D类}_{2}}, β_{{D类}_{1}} + β_{{D类}_{2}} 负极 β_{{D类}_{1}} β_{{D类}_{2}} 〉)$ ;
（vi）: ${XT公司}_{{D类}_{1}} = (〈 (1 负极 {(1 负极米_{{D类}_{1}})}^{X（X）}), {n个}_{{D类}_{1}}^{X（X）} 〉, 〈 (1 负极 {(1 负极 α_{{D类}_{1}})}^{X（X）}), β_{{D类}_{1}}^{X（X）} 〉)$ ;
（vii）: ${T型}_{{D类}_{1}}^{X（X）} = (〈 米_{{D类}_{1}}^{X（X）}, (1 负极 {(1 负极 {n个}_{{D类}_{1}})}^{X（X）}) 〉, 〈 α_{{D类}_{1}}^{X（X）}, (1 负极 {(1 负极 β_{{D类}_{1}})}^{X（X）}) 〉)$ ;
（viii）: ${T型}_{{D类}_{1}} \cup {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 米_{{D类}_{1}} \lor 米_{{D类}_{2}}, {n个}_{{D类}_{1}} \land {n个}_{{D类}_{2}} 〉, 〈 α_{{D类}_{1}} \lor α_{{D类}_{2}}, β_{{D类}_{1}} \land β_{{D类}_{2}} 〉)$ ;
（ix）: ${T型}_{{D类}_{1}} \cap {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 米_{{D类}_{1}} \land 米_{{D类}_{2}}, {n个}_{{D类}_{1}} \lor {n个}_{{D类}_{2}} 〉, 〈 α_{{D类}_{1}} \land α_{{D类}_{2}}, β_{{D类}_{1}} \lor β_{{D类}_{2}} 〉)$ .

例子 2

让

{T型}_{{D类}_{1}} = (〈 0.72, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.41 〉)

和

{T型}_{{D类}_{2}} = (〈 0.93, 0.31 〉, 〈 0.66, 0.25 〉)

是两个LDFN，然后：

（i）: ${T型}_{{D类}_{1}}^{c（c）} = (〈 0.37, 0.72 〉, 〈 0.41, 0.51 〉)$ ;
（ii）: ${T型}_{{D类}_{1}} \subseteq {T型}_{{D类}_{2}}$ 定义6（iii）；
（iii）: ${T型}_{{D类}_{1}} \oplus {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 0.9804, 0.1147 〉, 〈 0.8334, 0.1025 〉)$ ;
（iv）: ${T型}_{{D类}_{1}} \otimes {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 0.6696, 0.5653 〉, 〈 0.3366, 0.5575 〉)$ ;
（v）: ${T型}_{{D类}_{1}} \cup {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 0.93, 0.31 〉, 〈 0.66, 0.25 〉) = {T型}_{{D类}_{2}}$ ;
（vi）: ${T型}_{{D类}_{1}} \cap {T型}_{{D类}_{2}} = (〈 0.72, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.41 〉) = {T型}_{{D类}_{1}}$ .
如果 $X（X） = 0.2$ ，则我们有以下内容：
（vii）: ${XT公司}_{{D类}_{1}} = (〈 0.2248, 0.8197 〉, 〈 0.1330, 0.8367 〉)$ ;
（viii）: ${T型}_{{D类}_{1}}^{X（X）} = (〈 0.9364, 0.0883 〉, 〈 0.8740, 0.0214 〉)$ .

定义 7

两个LDFN

{T型}_{{D类}_{1}}

和

{T型}_{{D类}_{2}}

可以使用SF和AF进行比较。定义如下：

（i）

{T型}_{{D类}_{1}} > {T型}_{{D类}_{2}}

如果

S公司 ({T型}_{{D类}_{1}}) > S公司 ({T型}_{{D类}_{2}})

;

（ii）

{T型}_{{D类}_{1}} < {T型}_{{D类}_{2}}

如果

S公司 ({T型}_{{D类}_{1}}) < S公司 ({T型}_{{D类}_{2}})

;

（iii）

如果

S公司 ({T型}_{{D类}_{1}}) = S公司 ({T型}_{{D类}_{2}})

，则：

（a）: ${T型}_{{D类}_{1}} > {T型}_{{D类}_{2}}$ 如果 $A类 ({T型}_{{D类}_{1}}) > A类 ({T型}_{{D类}_{2}})$ ;
（b）: ${T型}_{{D类}_{1}} < {T型}_{{D类}_{2}}$ 如果 $A类 ({T型}_{{D类}_{1}}) < A类 ({T型}_{{D类}_{2}})$ ;
（c）: ${T型}_{{D类}_{1}} = {T型}_{{D类}_{2}}$ 如果 $A类 ({T型}_{{D类}_{1}}) = A类 ({T型}_{{D类}_{2}})$ .

定义 8

一对

G公司 = (M（M）, N个)

在基础集上称为LDFG

V（V）

，其中

M（M）

是中的LDFS

V（V）

和

N个

是上的线性丢番图模糊关系

V（V） \times V（V）

这样：

米_{N个} (一 b条) \leq 米 我 n个 {米_{M（M）} (一), 米_{M（M）} (b条)}, α_{M（M）} (ab公司) \leq 米 我 n个 {α_{M（M）} (一), α_{M（M）} (b条)}

{n个}_{N个} (一 b条) \leq 米 一 x个 {{n个}_{M（M）} (一), {n个}_{M（M）} (b条)}, β_{N个} (ab公司) \leq 米 一 x个 {β_{M（M）} (一), β_{M（M）} (b条)}

哪里

米

称为满意度，

n个

称为不满意等级

α, β

是满足条件的参考参数

0 \leq α + β \leq 1

和

0 \leq α_{N个} (ab公司) 米_{N个} (一 b条) + β_{N个} (ab公司) {n个}_{N个} (一 b条) \leq 1

为所有人

一, b条 \in V（V）

，其中

M（M）

是线性丢番图模糊顶点集

N个

是线性丢番图模糊边集

G公司

.

定义 9

具有基础集的线性丢番图或线性丢番模糊有向图（LDFDG）

V（V）

定义为一对

G公司 = ({L（左）}_{D类}; {L（左）}_{对})

哪里

{L（左）}_{D类}

是顶点集上的LDF集

V（V）

和

{L（左）}_{对}

是边集上的LDF集

E类 \subseteq V（V） \times V（V）

这样：

米_{对} (一 b条) \leq 米 我 n个 {米_{D类} (一), 米_{D类} (b条)}, {n个}_{对} (一 b条) \leq 米 一 x个 {{n个}_{D类} (一), {n个}_{D类} (b条)}

α_{对} (ab公司) \leq 米 我 n个 {α_{D类} (一), α_{D类} (b条)}, β_{对} (ab公司) \leq 米 一 x个 {β_{D类} (一), β_{D类} (b条)}

为所有人

一, b条 \in V（V）

，其中

α_{D类} (一), α_{D类} (b条)

是与顶点关联的参考参数

一

,

β_{D类} (一), β_{D类} (b条)

是与顶点关联的参考参数

b条

、和

α_{对} (ab公司), β_{对} (ab公司)

是与边关联的参考参数

ab公司

.

备注 1

顾名思义，LDFDG在

V（V）

，当LDFG保持

V（V）

.

例子三。

让

G公司 = (V（V）; E类)

带有顶点

V（V） = {{v（v）}_{1}, {v（v）}_{2}, {v（v）}_{三}, {v（v）}_{4}, {v（v）}_{5}, {v（v）}_{6}}

其中每个顶点的LDFN

V（V）

是

{v（v）}_{1} = (〈 0.98, 0.11 〉, 〈 0.43, 0.10 〉)

,

{v（v）}_{2} = (〈 0.52, 0.23 〉, 〈 0.25, 0.61 〉)

,

{v（v）}_{三} = (〈 0.69, 0.33 〉, 〈 0.74, 0.12 〉)

,

{v（v）}_{4} = (〈 0.73, 0.61 〉, 〈 0.63, 0.33 〉)

,

{v（v）}_{5} = (〈 0.95, 0.14 〉, 〈 0.57, 0.31 〉)

、和

{v（v）}_{6} = (〈 0.85, 0.24 〉, 〈 0.51, 0.29 〉)

边值为

{v（v）}_{12} = {e（电子）}_{1} = (〈 0.51, 0.23 〉, 〈 0.25, 0.60 〉)

,

{v（v）}_{13} = {e（电子）}_{2} = (〈 0.69, 0.33 〉, 〈 0.42, 0.61 〉)

,

{v（v）}_{23} = {e（电子）}_{三} = (〈 0.52, 0.32 〉, 〈 0.25, 0.50 〉)

,

{v（v）}_{24} = {e（电子）}_{4} = (〈 0.45, 0.61 〉, 〈 0.21, 0.59 〉)

,

{v（v）}_{25} = {e（电子）}_{5} = (〈 0.52, 0.14 〉, 〈 0.23, 0.61 〉)

,

{v（v）}_{34} = {e（电子）}_{6} = (〈 0.65, 0.60 〉,

〈 0.61, 0.12 〉)

,

{v（v）}_{36} = {e（电子）}_{7} = (〈 0.64, 0.21 〉, 〈 0.43, 0.10 〉)

,

{v（v）}_{45} = {e（电子）}_{8} = (〈 0.71, 0.11 〉, 〈 0.52, 0.29 〉)

,

{v（v）}_{46} = {e（电子）}_{9} = (〈 0.70, 0.22 〉, 〈 0.49, 0.28 〉)

、和

{v（v）}_{56} = {e（电子）}_{10} = (〈 0.81, 0.13 〉, 〈 0.49, 0.25 〉)

LDFDG及其索引矩阵如下所示图5和表1.

3.网络中最短路径的Dijkstra算法

SPP是图论中最突出的问题。对于基本上所有的模糊结构，它都经过了广泛的测试（参见[2,36,37,38]))使用一种相对简单的算法，它可以为我们提供最佳的预测性能，如[7]，当时。

图表

G公司 = (V（V）, E类)

是LDF定向图，其中

V（V） = {秒 = 1, 2, . . ., e（电子） = 米}

和

V（V） \times V（V） = E类 = {(我, j个) : 我, j个 \in V（V）, 我 \neq j个}

分别表示顶点和边集。有序的配对

(我, j个)

表示连接两个不同顶点的图形边

我, j个 \in V（V）

。它被视为具有给定弧和节点的连接网络，其中

秒

是序列号

e（电子）

是TN。假设从节点

我

到节点

j个

，只有一个有向弧。路线（路径）

{第页}_{ij公司}

来自节点

我

到节点

j个

是一系列弧

{第页}_{ij公司} = {(我, 我_{1}), (我_{1}, 我_{2}), . . ., (我_{k个}, j个)}

其中每个弧的初始节点与序列中相应弧的终端节点相同。定向路径的成本被指定为路由成本与弧的总和。问题是要确定两个路径之间的SP

秒

和

e（电子）

每个与电弧相关的参数的成本（或时间或空间等）。就LDFN而言，假设该参数为

{C类}_{我} j个 = 〈 α_{M（M）} (ab公司) 米_{N个} (一 b条), β_{N个} (ab公司) {n个}_{N个} (一 b条) 〉

，其中

米_{N个} (一 b条)

是满意度，

{n个}_{N个} (一 b条)

是不满意等级，以及

α_{M（M）} (ab公司)

,

β_{M（M）} (ab公司)

是弧的参考参数

我 负极 j个

这包括在最短路径中，与沿弧行驶的成本有关

我 负极 j个

.

与每个弧关联的参数

我, j个

反映所考虑的弧的费用。SPP的目标是从起始节点找到成本最低的路径或路线

秒

到目标节点

e（电子）

常规SP问题中考虑了弧的某些精确值。随着时间和成本在有效载荷、天气和交通条件方面的波动，可以使用各种模糊集扩展来反映不精确和不明确的电弧成本。在这项工作中，LDFN被用来代表所讨论的SP问题的模糊标准。因此，随后的问题被称为线性丢番图模糊SP（LDFSP）问题。在LDFN用于弧长设置的LDFSP问题中，必须解决两个主要问题：

1: 对线性丢番图模糊弧价格，增加了两条边；
2: 分数函数用于比较具有LDFN描述的边缘长度的两条不同路径之间的距离值。

线性丢番图模糊Dijkstra算法是基于预测值的模糊Dijkstra算法的一种推广形式。在下一小节中，我们给出了线性丢番图模糊Dijkstra算法，然后给出了一个示例。

3.1. Dijkstra算法：我们通过LDFG的扩展

该算法为每个点分配一个状态，节点的状态由两个特性组成：距离值和状态标记。节点的“距离值”是对其源距离的测量，“状态标记”是决定节点距离值何时等于最短距离的函数。如果是这种情况，则状态标签是永久性的；否则，它是暂时的。该算法增量地保留和更新节点。每个阶段都会将单个节点分配为当前节点。下面的算法和中介绍了建议过程的伪代码和流程图图6分别是。表2解释了算法1中使用的符号集。

算法1：提出的线性丢番图模糊Dijkstra算法（LDFDA）的伪码。

1功能线性丢番图模糊Dijkstra

(G公司, 秒)

2对于每个节点

j个 \in G公司

//初始化
3.状态标签

[j个] \leftarrow (\infty, t吨);

//指定节点距离值的属性

j个

4.以前

[j个] \leftarrow

未定义//从起始节点到优化路径中的前一个节点
5结束
6.状态标签

[秒] \leftarrow (0, 第页);

//起始节点到自身的距离
7

T型 \leftarrow

中包含临时标签的所有可能节点的集合

G公司

8虽然

T型

是非oid//主循环
9

我 \leftarrow

中的节点

T型

具有最小距离值

{d日}_{我};

10如果状态标签

[我] \leftarrow (\infty, 第页), 然后

11.停止；//所有其他节点都无法从起始节点穿过
12结束条件为
13.删除

我

从

T型;

14对于每一个

j个

这样就存在链接

(我, j个)

15

一 我 t吨 \leftarrow {d日}_{我} + {c（c）}_{ij公司};

//线性丢番图模糊数的解模糊
16如果

一 我 t吨 < {d日}_{我}

,然后//比较距离值以获得最小距离值
17

{d日}_{我} \leftarrow 一 我 t吨;

18.之前

[j个] \leftarrow [我];

19结束条件为
20.状态标签

[j个] \leftarrow (一 我 t吨, 第页);

//更新的距离标签
21结束
22结束while
23返回状态标签[]；
24end函数

3.2. 拟议的Dijkstra算法：观点

与现有技术相比，本文中建议的方法在寻找SP时更有用。使用FN预测值的主要好处是它们只产生一个值。如果没有评级FN的方法，则可以快速实现决策。在参数高度模糊的区域，这在计算上对于寻址SPP是有用的。可用于SPP评估的四种系统的特征和比较分析总结如下表3.

我们认为线性丢番图模糊集比普通模糊集和模糊函数集更具优势，因为它们对函数情况有更公正的观点。因此，我们的方法使用从SN到TN具有线性丢番图模糊弧长的网络来处理SPP。

线性丢番图模糊集的最短路径分析如下：

首先，我们的方法修改了LDFN预测值的原理。对于LDFN的预测值，我们获得了新的结果；
我们使用这种实现方法来求解一种著名的最短路径算法，即所谓的Dijkstra算法，在该算法下，通过计算分配给网络弧的LDFN的预测值来执行去模糊化方法；
为了计算SD值，根据分数函数对LDFN进行并列，从预测的LDFN值中收集，直接得出一个清晰的数字。

因此，与其他模糊最短路径方法相比，我们的成果结构合理，完善，添加简单。

4.数值应用

无论何时发生灾难，拯救任何受害者都是非常重要的。时间紧迫性是时间敏感决策的最显著特征。救援计划必须在短时间内完成，帮助救援人员立即了解任何被困人员的位置是决策者的工作。到达救援地点所需的时间几乎总是直接影响救援任务的执行；因此，主要目标函数被认为是最快可实现的到达时间。当救援队和警察有固定的到达时间时，可以将最短救援时间简化为所需的最短路径，进一步简化为最短运输时间。对于可能存在障碍的其他因素，例如桥梁损坏、道路积水和道路损坏，坡度值由运输基础设施损坏的数量定义，路径的重量由LDFN表示。这种组合优化困境是SPP的典型。Dijkstra的算法用于解决这些类型的问题。在实时应用中，数字矢量地图通常是城市道路网的描述性模型。抽象出与顶点和边缘相关的地图布局，以有效分析SP。在紧急情况下，很难找到到达目的地/目标的SP。有效的部署将提高救援队的快速反应能力和总指挥能力。针对有向图提出了一种SP算法，所有边的权重都用LDFN表示。由于属性等级的无限制选择和LDFS的参数化分类，该模型优于其他模型。因此，该模型为选择适当的操作提供了最佳选项。

救援位置和每个救援队的位置由图的顶点表示。这个

N个

应急团队现场、通过点和救援点组成了灾区。在有向图中

G公司 (V（V）, E类)

,

V（V）

表示救援队的位置、通过点和恢复位置，以及

E类

表示两个救援地点之间的路径。路径的长度对于找到到达救援地点、路况等的最短时间非常重要。边缘权重表示为LDFN。节点

{v（v）}_{1}

考虑到地理、地理位置、灾害影响程度等因素，是救援的起点，救援点为节点

{v（v）}_{n个}

。来自节点的定向路径

{v（v）}_{1}

到节点

{v（v）}_{n个}

可以表示为

({v（v）}_{1}; {v（v）}_{2}); ({v（v）}_{2}; {v（v）}_{三}); . . ., ({v（v）}_{k个}; {v（v）}_{n个})

作为有向图中的一系列有向边序列。根据有向图的关系强度，连接节点的路径数

{v（v）}_{1}

到节点

{v（v）}_{n个}

可能会有所不同。

4.1. 案例研究

2019年8月10日，浙江省温岭市沿海地区遭遇强台风“利基马”袭击。最高风力为16级（52米/秒），中心的平均气压为930百帕。由于这次强台风，道路被洪水、岩石和树木堵塞，桥梁被毁等。由于这种情况，无法根据先前的条件穿越公路网。鉴于道路条件，重要的是确定到达救援点的最安全方式，并为相关部门的应急救援团队提供决策支持。在此期间，道路网络的拓扑结构如所示图7。我们在LDFS的背景下构建了输入数据，其中满意和不满意等级告诉我们对相关路线及其交通信号参数的满意和不满

α, β

它象征着“交通量非常少”和“交通量很大”。表4表示考虑的边长。福州的救援队必须从第（1）点出发，前往第（7）点救援被困人员，因此必须确定从第（一）点到第（七）点的最短路线；下面说明了该序列。

让

T型 =

{标记为临时节点的节点}，并让

对 =

{标记为永久节点的节点}。开始节点（1）从集合中移动

T型

设置

对

在初始点，因为从（1）到（1）的距离为零，这是最短的。由定义的步骤图7定义网络中的最短路径，所有路径的SD值定义如下：

让

T型

是临时标记的节点集，并让

对

是永久标记的节点集。开始节点（1）从集合中移动

T型

设置

对

在初始点，因为从（1）到（1）的距离为零，这是最短的：

迭代0：指定节点（1）=永久标签= $[(〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉), 负极]$ ;

迭代1：我们计算了从开始（最后一个永久标记的）节点（1）到其可访问的相邻节点（2）和（3）的距离。因此，标记节点的词汇（临时和永久）为：

节点	标签	状态
1	$[(〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉), 负极]$	$对$
2	$[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]$	$T型$
三	$[(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉), 1]$	$T型$

为了进行比较

(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉)

,

(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉)

和

(〈 0.74, 0.47 〉, 〈 0.43, 0.32 〉)

，我们使用了定义5（1）

S公司 (〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉) = \frac{1}{2} [(0.81 负极 0.37) + (0.51 负极 0.18)] = 0.385

S公司 (〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉) = \frac{1}{2} [(0.93 负极 0.68) + (0.53 负极 0.12)] = 0.33

.

由于

[(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉), 1]

小于的分值

[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]

，节点（3）的状态更改为永久；

迭代2：可以从（最后一个永久标记的）节点（3）访问节点（2）、（4）和（6）。因此，标记节点的列表（临时和永久）变为：

节点	标签	状态
1	$[(〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉), 负极]$	$对$
2	$[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]$ （或） $[(〈 0.9958, 0.3944 〉, 〈 0.8026, 0.0156 〉), 三]$	$T型$
三	$[(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉), 1]$	$对$
4	$[(〈 0.95060 . 1739 〉, 〈 0.72070 . 0576 〉), 2]$ （或） $[(〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉), 三]$	$T型$
6	$[(〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉), 三]$ （或） $[(〈 0.9935780 . 067821 〉, 〈 0.7905250 . 012672 〉), 4]$	$T型$

S公司 (〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉) = \frac{1}{2} [(0.81 负极 0.37) + (0.51 负极 0.18)] = 0.385

S公司 (〈 0.9958, 0.3944 〉, 〈 0.8026, 0.0156 〉) = 0.6942

S公司 ((〈 0.95060 . 1739 〉, 〈 0.72070 . 0576 〉) = 0.7199

S公司 (〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉) = 0.75115

S公司 (〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉) = 0.61095

S公司 (〈 0.9935780 . 067821 〉, 〈 0.7905250 . 012672 〉) = 0.851805

.

由于

[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]

小于剩余节点，

节点（2）的状态更改为永久；

迭代3：可以从（最后一个永久标记的）节点（2）访问节点（4）和（5）。因此，标记节点的列表（临时和永久）变为：

节点	标签	状态
1	$[(〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉), 负极]$	$对$
2	$[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]$	$对$
三	$[(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉), 1]$	$对$
4	$[(〈 0.95060 . 1739 〉, 〈 0.72070 . 0576 〉), 2]$ （或） $[(〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉), 三]$	$T型$
5	$[(〈 0.9867, 0.2331 〉, 〈 0.7354, 0.0522 〉), 2]$ （或） $[(〈 0.9822160 . 050431 〉, 〈 0.824041, 0.016128 〉), 4]$	$T型$
6	$[(〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉), 三]$ （或） $[(〈 0.9935780 . 067821 〉, 〈 0.7905250 . 012672 〉), 4]$	$T型$

S公司 (〈 0.9506, 0.1739 〉, 〈 0.7207, 0.0576 〉) = 0.7199

S公司 (〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉) = 0.75115

S公司 (〈 0.9867, 0.2331 〉, 〈 0.7354, 0.0522 〉) = 0.7184

S公司 (〈 0.9822160 . 050431 〉, 〈 0.8240410 . 016128 〉) = 0.869849

S公司 (〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉) = 0.61095

S公司 (〈 0.9935780 . 067821 〉, 〈 0.7905250 . 012672 〉) = 0.851805

.

由于

[(〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉), 三]

小于剩余值

节点，节点（6）的状态更改为永久；

迭代4：可以从（最后一个永久标记的）节点（6）访问节点（7）。因此，标记节点的列表（临时和永久）变为：

节点	标签	状态
1	$[(〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉), 负极]$	$对$
2	$[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]$	$对$
三	$[(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉), 1]$	$对$
4	$[(〈 0.9506, 0.1739 〉, 〈 0.7207, 0.0576 〉), 2]$ （或） $[(〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉), 三]$	$T型$
5	$[(〈 0.9867, 0.2331 〉, 〈 0.7354, 0.0522 〉), 2]$ （或） $[(〈 0.982216, 0.050431 〉, 〈 0.824041, 0.016128 〉), 4]$	$T型$
6	$[(〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉), 三]$	$对$
7	$[(〈 0.989132, 0.099123 〉, 〈 0.846385, 0.012096 〉), 4]$ （或） $[(〈 0.996409, 0.158508 〉, 〈 0.843886, 0.019314 〉), 5]$ （或） $[(〈 0.998929, 0.213452 〉, 〈 0.8756380 . 00324 〉), 6]$	$对$

S公司 (〈 0.989132, 0.099123 〉, 〈 0.846385, 0.012096 〉) = 0.862149

,

S公司 (〈 0.996409, 0.158508 〉, 〈 0.843886, 0.019314 〉) = 0.8312365

,

S公司 (〈 0.998929, 0.213452 〉, 〈 0.8756380 . 00324 〉) = 0.8289375

.

由于

[(〈 0.998929, 0.213452 〉, 〈 0.8756380 . 00324 〉), 6]

小于

其余节点，第七个节点的位置转换为永久节点。

由于点TN 7具有永久标签，我们可以在此时停止操作，要将其余点更改为永久标签

S公司 (〈 0.9506, 0.1739 〉, 〈 0.7207, 0.0576 〉) = 0.7199

S公司 (〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉) = 0.75115

.

这里是

[(〈 0.9506, 0.1739 〉, 〈 0.7207, 0.0576 〉), 2]

小于分数

[(〈 0.9748, 0.1428 〉, 〈 0.7039, 0.0336 〉), 三]

S公司 (〈 0.9867, 0.2331 〉, 〈 0.7354, 0.0522 〉) = 0.7184

S公司 (〈 0.982216, 0.050431 〉, 〈 0.824041, 0.016128 〉) = 0.869849

.

这里是

[(〈 0.9867, 0.2331 〉, 〈 0.7354, 0.0522 〉), 2]

小于分数

[(〈 0.982216, 0.050431 〉, 〈 0.824041, 0.016128 〉), 4]

:

节点	标签	状态
1	$[(〈 0, 1 〉, 〈 0, 1 〉), 负极]$	$对$
2	$[(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉), 1]$	$对$
三	$[(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉), 1]$	$对$
4	$[(〈 0.9506, 0.1739 〉, 〈 0.7207, 0.0576 〉), 2]$	$对$
5	$[(〈 0.9867, 0.2331 〉, 〈 0.7354, 0.0522 〉), 2]$	$对$
6	$[(〈 0.9937, 0.4964 〉, 〈 0.7462, 0.0216 〉), 三]$	$对$
7	$[(〈 0.998929, 0.213452 〉, 〈 0.8756380 . 00324 〉), 6]$	$对$

从终点“7”向后工作，可以方便地创建最短路径，方法是移动到当前节点从中接收其永久名称的前置节点。往回走，最短或最便宜的路线变成

1 \to 三 \to 6 \to 7

在这里，

L（左） (7) = (〈 0.998929, 0.213452 〉, 〈 0.875638, 0.00324 〉)

，最小代价路径或最短路径的加权聚合LDFN，以沿最短路径运行的整体线性丢番图模糊代价/时间表示，如所示图8.

以下对用于SPP评估的四种系统中Dijkstra算法的特性进行了比较分析表5.

4.2. 摘要

当参考参数添加到弧权重时，LDF环境下的SPP非常重要。许多国家的人民及其生计都受到洪水、大风、滑坡、海啸等自然灾害的影响。我们考虑了浙江省温岭市发生的灾害。Dijkstra的算法在LDF环境下用于在紧急情况下做出正确的决策。在LDF设置下引入并开发了一种新的Dijkstra算法，以借助SF找到SP。经典的、模糊的、IF和PyF理论在寻找最短路径方面有其自身的局限性，并且无法解决对我们的问题很重要的参考参数。因此，使用Dijkstra算法的LDFSPP帮助救援队在短时间内到达救援目的地。该算法更适用于任何涉及参考参数满意度和不满意度等级的网络。

5.结论

最短路径问题是一个非常重要的分析领域，它用于解决各种现实问题。在本文中，提出了一种在不可预测的世界中解决SPP的新的开创性方法。在实际设置中，可能无法获得相对于网络弧的精确成本、时间或距离值。模糊数可以用来描述不精确的参数，以解释这种模糊性。为了反映每条弧的未知权重，使用了最通用的模糊数LDFN。LDFN代表了决策者充满希望和愤世嫉俗的观点。LDFDA的建议技术是利用LDF算子及其分数函数成功开发的，这是LDFS的基本领域。在这项工作之前，文献中从未提及或解决过具有LDF边缘权重/距离的SPP。这种现实世界中的问题是使用提议的LDFDA成功解决的，它成功地应用了LDFS的各种现有理论。本文的优点和目标是，在有向网络图中建立LDF最优性约束，并创建一种求解方法，然后使用改进的SF计算以LDFN表示的边权重的备选路径的权重。为了找到建立在这些增强分数上的LDFSP和共终端LDFSP，对传统Dijkstra方法的分数函数和最优性约束进行了修改。最后，为了确认所建议技术的潜在用途，提出了一个小型通信网络，并与现有方法进行了比较研究，证明了所建议算法的价值。这是本文最重要的贡献。未来可以提出解决某些问题的其他方法，并对结果进行比较。对于大型网络，可以设计计算机程序来结合建议的技术。在未来的工作中，我们将应用现有算法解决线性丢番图模糊环境中的大规模实时问题，并将结果与现有算法在效率、计算时间、最优性等方面进行比较。

作者贡献

所有作者对这篇论文贡献均等。所有作者的个人责任和贡献可以描述为：整个论文的想法是由M.P.、M.R.、S.J.和M.A.提出的，完成了论文的准备工作。M.R.和M.A.分析了现有的工作。本文的修订和提交由S.J.和M.P.完成。所有作者阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究由沙特阿拉伯阿布哈61413哈立德国王大学的科学研究院长资助，拨款号为R.G.P-2/29/42。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：

可行性研究	模糊集
国际单项体育联合会	提出了直觉模糊集
PyFS公司	勾股模糊集
低密度消防系统	线性丢番图模糊集
中国	清晰的数字
陆军部	Dijkstra算法
FN公司	模糊数
干扰素	直觉模糊数
PyFN公司	勾股模糊数
低密度纤维蛋白原	线性丢番图模糊数
锡	开始节点
TN公司	终端节点
服务提供商	最短路径
旧金山	记分函数
SPP公司	最短路径问题
2D绘图	二维绘图
3D绘图	三维绘图
标准偏差	最短距离
LDFSP公司	线性丢番图模糊最短路径
MCDM公司	多标准决策

工具书类

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图1。IFS的图形表示。

图2。PyFS的图形表示。

图3。LDFS的图形表示。(一)LDFS的二维表示；(b条)LDFS的3D表示(α,β) = (0.1, 0.1); (c（c）)LDFS的3D表示(α,β)=（0.5，0.2）。

图3。LDFS的图形表示。(一)LDFS的二维表示；(b条)LDFS的3D表示(α,β) = (0.1, 0.1); (c（c）)LDFS的3D表示(α,β) = (0.5, 0.2).

图4。IFS、PyFS和LDFS的空间。

图5。

G公司

：线性丢番图模糊有向图（LDFDG）。

图5。

G公司

：线性丢番图模糊有向图（LDFDG）。

图6。建议算法的流程图。

图7。具有线性丢番图模糊距离的路网图。

图8。具有线性丢番图模糊距离的路网图的最短路径。

表1。图的索引矩阵

G公司

.

表1。图的索引矩阵

G公司

.

顶点	${v（v）}_{1}$	${v（v）}_{2}$	${v（v）}_{三}$	${v（v）}_{4}$	${v（v）}_{5}$	${v（v）}_{6}$
${v（v）}_{1}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${e（电子）}_{1}$	${e（电子）}_{2}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$
${v（v）}_{2}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${e（电子）}_{三}$	${e（电子）}_{4}$	${e（电子）}_{5}$	${L（左）}_{D类}^{0}$
${v（v）}_{三}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${e（电子）}_{6}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${e（电子）}_{7}$
${v（v）}_{4}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${e（电子）}_{8}$	${e（电子）}_{9}$
${v（v）}_{5}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${e（电子）}_{10}$
${v（v）}_{6}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$	${L（左）}_{D类}^{0}$

表2。拟议算法1中使用的符号。

$T型$	{所有临时标记节点}
$对$	{所有永久标记节点}
$我$	从开始节点到节点的SD
$j个$	变体
${d日}_{j个}$	与起始节点的更新距离
${c（c）}_{ij公司}$	节点之间的成本价值 $我$ 和 $j个$
$中高音$	替代变体

表3。与脆模型和其他模糊模型的比较。

模型下的SPP	链接或边	满意度等级	不满意等级	参数化
脆皮套装	中国	-	-	-
可行性研究	FN公司	✓	-	-
国际单项体育联合会	干扰素	✓	✓	-
PyFS公司	PyFN公司	✓	✓	-
低密度消防系统	低密度纤维蛋白原	✓	✓	✓

表4。根据LDFN的边缘信息的细节。

表4。关于LDFN的边缘信息的详细信息。

边缘	低密度纤维蛋白原	边缘	低密度纤维蛋白原
(1,2)	$(〈 0.81, 0.37 〉, 〈 0.51, 0.18 〉)$	(3,6)	$(〈 0.91, 0.73 〉, 〈 0.46, 0.18 〉)$
(1,3)	$(〈 0.93, 0.68 〉, 〈 0.53, 0.12 〉)$	(4,5)	$(〈 0.64, 0.29 〉, 〈 0.37, 0.28 〉)$
(2,4)	$(〈 0.74, 0.47 〉, 〈 0.43, 0.32 〉)$	(4,6)	$(〈 0.87, 0.39 〉, 〈 0.25, 0.22 〉)$
(2,5)	$(〈 0.93, 0.63 〉, 〈 0.46, 0.29 〉)$	(4,7)	$(〈 0.78, 0.57 〉, 〈 0.45, 0.21 〉)$
(3,2)	$(〈 0.94, 0.58 〉, 〈 0.58, 0.13 〉)$	(5,7)	$(〈 0.73, 0.68 〉, 〈 0.41, 0.37 〉)$
(3,4)	$(〈 0.64, 0.21 〉, 〈 0.37, 0.28 〉)$	(6,7)	$(〈 0.83, 0.43 〉, 〈 0.51, 0.15 〉)$

表5。不同环境下Dijkstra算法的比较分析。

DA类型	优势	限制
经典DA[40]	当精确的弧权重可用时，可以应用它	当弧权重不精确时，其性能会下降
模糊DA[5]	当弧权重不精确时，可以应用此选项	它因弧权重中存在的拒绝程度而降低
国际单项体育联合会DA[9]	它处理不精确的弧权重，包括接受度和拒绝度	如果弧权重的验收等级和拒收等级之和超过1，则不起作用
PyF DA公司[44]	它可以处理不精确的弧权重，即使验收等级和拒收等级的总和在某些约束条件下超过1	如果将参考参数添加到弧权重中，则它不起作用
LDF DA（拟议方法）	它可以应用于许多具有参考参数的实时情况	如果弧权重中存在不确定等级，则无法工作

出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

帕里马拉，M。；贾法里，S。；里亚兹，M。；M.阿斯兰。应用Dijkstra算法求解线性丢番图模糊环境。对称 2021,13, 1616.https://doi.org/10.3390/sym13091616

AMA风格

Parimala M、Jafari S、Riaz M、Aslam M。应用Dijkstra算法求解线性丢番图模糊环境。对称. 2021; 13(9):1616.https://doi.org/10.3390/sym13091616

芝加哥/图拉宾风格

帕里马拉（Parimala）、马尼（Mani）、萨伊德·贾法里（Saeid Jafari）、穆罕默德·里亚斯（Muhamad Riaz）和穆罕默德·阿斯拉姆（Muhammad Aslam）。2021.“应用Dijkstra算法求解线性丢番图模糊环境”对称13，编号9:1616。https://doi.org/10.3390/sym13091616

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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应用Dijkstra算法求解线性丢番图模糊环境

摘要

1.简介

2.准备工作

3.网络中最短路径的Dijkstra算法

3.1. Dijkstra算法：我们通过LDFG的扩展

3.2. 拟议的Dijkstra算法：观点

4.数值应用

4.1. 案例研究

4.2. 摘要

5.结论

作者贡献

基金

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利益冲突

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