Linear Diophantine Fuzzy Relations and Their Algebraic Properties with Decision Making

Ayub, Saba; Shabir, Muhammad; Riaz, Muhammad; Aslam, Muhammad; Chinram, Ronnason

doi:10.3390/sym13060945

开放式访问第条

线性丢番图模糊关系及其代数性质与决策

¹

巴基斯坦伊斯兰堡Quaid-i-Azam大学数学系，邮编：45320

²

巴基斯坦拉合尔市旁遮普大学数学系54590

^三

沙特阿拉伯阿布哈哈立德国王大学科学院数学系，邮编61413

⁴

泰国松克拉王子大学科学院计算科学系代数与应用研究部，松克拉90110 Hat Yai

^*

信件应寄给的作者。

对称 2021,13(6), 945;https://doi.org/10.3390/sym13060945

收到的提交文件：2021年4月20日/修订日期：2021年5月15日/接受日期：2021年5月19日/发布日期：2021年5月26日

（本文属于特刊不确定多准则优化问题II)

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摘要

:

二元关系在纯科学和应用科学的各个领域中都是最重要的。由Riaz和Hashmi提出的线性丢番图模糊集（LDFSs）概念是一种新的数学方法，用于建模决策问题中的模糊性和不确定性。在LDFS理论中，使用对应于隶属度和非隶属度等级的参考或控制参数，使其最适合于建模现实问题中的不确定性。本文的主要目的是建立二元关系和LDFS的稳健融合，并利用隶属度和非隶属度模糊关系对应的参考参数引入线性丢番图模糊关系（LDF关系）的概念。LDF-关系的新概念在讨论两个或多个对象之间的对称性时更加灵活，这优于目前流行的直觉模糊关系（IF-relation）概念。定义了一些基本操作来研究一些对解决实际问题非常有用的重要结果。基于这些运算及其相关结果，分析了所有LDF关系的集合产生了一些代数结构，如半群、半环和半环，引入LDF关系得分函数的概念，分析了最优决策的对称性和可行方案的排序。此外，基于LDFS和LDF关系，提出了一种新的决策问题不确定性建模算法。通过一个数值例子说明了所提出的决策方法的实际应用。拟议的LDF关系、其操作和相关结果可作为决策问题中计算智能和建模不确定性的基础。

关键词：

线性丢番图模糊集;线性丢番图模糊关系;等价线性丢番图模糊关系;对称;决策

1.简介

在这个现代技术时代，工程、计算机科学、社会科学、医学和经济学中的建模不确定性正在广泛增长。要解决这类问题，经典的数学方法并不总是有用的。1965年，扎德[1]为了处理日常语言中的不确定性，提出了模糊集的概念。在FS理论中，一个病得很重的人的病情可能接近0.89。相反，患病程度为0.12的人表示他已基本康复。自1965年以来，在决策（DM）和运筹学中，FS理论的概念得到了广泛研究（参见[2,三,4]).

然而，只有隶属函数并不总是足以描述现实生活中问题的复杂性。在[5,6,7]Atanassov提出了直觉模糊集（IFS）的概念，作为FS的扩展。Atanassov的IFS通过允许对象的非隶属度以及满足其总和不超过1的条件的现有隶属度，增强了FS的概念。阿塔纳索夫[8]介绍了IFS上的IF-relations的概念。自那时以来，人们对IFS进行了大量的研究，并且它们有许多实际应用，例如在IF环境中的优化[9]，多属性决策（MADM）[10,11,12]. Feng等人[13]介绍了IF-值的字典序及其关系。

尽管在一些实际问题中，对象的隶属度和非隶属度的总和可能超过1。为了消除这个问题，亚格[14,15]将IFS的概念推广到毕达哥拉斯模糊集（PFS），其中其隶属度和非隶属度的平方和不得超过1。Yager的PFS概念也被称为Atanassov的2型IFS[16]. 许多科学家对PFS进行了多方面的研究（见[17,18,19]). 此外，Yager在[20]推广了PFS的概念，定义了q-rung正射模糊集（q-ROFS）的新概念。年，对q-ROFS进行了进一步研究，取得了重大进展[21,22]. 张[23]介绍了两极FS及其关系，以及陈[24]提议的m-polar FS。阿克兰[25]研究了m极F图、理论、方法及其在DM中的应用。

FSs、IFS、PFS和q-ROFS的概念在现实生活中有很多研究和应用。然而，这些设置对会员和非会员等级有一些严格的条件。为了放宽这些严格的条件，Riaz和Hashmi[26]引入了线性丢番图模糊集（LDFS）的新概念。LDFS通过添加与成员和非成员等级对应的参考参数来扩展上述集合的空间。LDFS是MADM中最合适的数学结构，决策者可以自由选择等级[26]. 最近几天，对LDFS的研究正在迅速发展。Riaz等人[27]建立了混合模型的概念，即线性丢番图模糊软粗糙集（LDFSRSs）和软粗糙线性丢番图模糊集（SRLDFSs）。他们还将这些概念应用于稳健的MCDM问题，以选择可持续的物料搬运设备。最近，卡马西[28]将LDFS推广到各种代数结构，如群、环和域，并研究了一些相关的重要性质。阿尔马格拉比[29]介绍了新型冠状病毒肺炎q-线性丢番图模糊应急决策支持系统的一种新方法。

在纯科学和应用科学的不同领域中，二元关系是描述各种对象之间对应关系的重要基础。因为有许多现实生活中的物体可能不满足二价条件，并且可能在一定程度上相互关联。1971年，扎德[2]模糊化了二元关系的概念，引入了模糊关系（F-关系）的概念。F关系在FS理论及其应用中起着重要作用。为了对元素之间的相互作用或多或少很强的情况进行建模，F关系非常有用。FS和FS关系在不同类型的领域有很多重要的应用，例如在F建模、F控制和不确定性推理、神经网络、数据库、模式识别、人工智能（AI）、聚类、医学、经济和MCDM中。Wang等人在“模糊数学-基本问题”中详细研究了FSs和F-关系。英寸[30].

Zadeh的F关系提供了两个对象相互关联的程度。然而，在现实生活中，可能会有一些对象在一定程度上相互关联，但可能没有。也就是说，对于分配给对象关系的程度，可能会有一些犹豫或不确定。Atanassov在年解决了这个问题[8]并引入直觉模糊关系（IF-relation）的概念作为F关系的扩展。IF-relation基本上是一对F关系，称为隶属和非隶属F关系，它代表给定信息的消极和积极方面。在医学诊断中，干扰素是治疗糖尿病最有效的方法。研究了两个IF关系式的组成及其一些性质[31,32,33]. 此外，Hur等人研究了IF-等效关系的概念。英寸[34]. Naeem等人。提出了毕达哥拉斯的新概念米-极性FSs在MCDM中的应用。莫洛德索夫[35]引入软集理论，通过参数化处理模糊和不确定的现实问题。Riaz等人介绍了m极中子学集合和m极中子拓扑的概念及其在MADM中的应用[36].

本文的主要目的是引入线性丢番图模糊关系（LDF-relation）的概念，作为IF-relation的扩展。LDF关系的第二个目标是解决MCDM中的建模不确定性。因为LDF关系更有效地放宽了国际单项体育联合会对会员和非会员等级的严格限制。研究了LDF关系的一些运算及其性质。此外，还研究了所有LDF关系集合中的代数结构，如半群、半环和半环。第三个目标是引入LDF关系的得分函数的概念，并分析最优决策的对称性和可行方案的排序。第四个目标是开发一种新的算法，并介绍其在基于LDFS和LDF关系的MCDM问题中的实际应用。

这份手稿按以下顺序组成：第2节包含FSs、IFS、LDFSs、F-关系、IF-关系、半群、半环和半环的一些基本概念。第3节介绍了LDF关系的概念和一些具有重要性质的基本运算。借助于这些运算和性质，在所有LDF关系集合中引入了一些代数结构，如半群、半环和半环。第4节通过一个数值例子，致力于构造DM的算法。最后，第5节给出了本文的研究结论。

2.前期工作

本节包括一些在手稿其余部分中有用的基本概念。有关详细研究，我们请读者参阅[1,2,8,26,32,37]. 在整个手稿中，

问

应该是一个通用的集合。

定义 1

[1]A FSδ开

问

是一个映射

δ : 问 \to [0, 1]

称为隶属度函数，它为每个对象指定隶属度等级

υ \in 问

在δ中。上的所有FS集

问

表示为

F类 (问)

.

来自的二进制关系

问_{1}

到

问_{2}

是笛卡尔积的子集

问_{1} \times 问_{2}

，其中

问_{1}

和

问_{2}

是两个宇宙。1971年，扎德[2]模糊化了二元关系的结构，并引入了一个新的概念，称为F关系。

定义 2

[2]F关系

R（右）

从

问_{1}

到

问_{2}

只是的F子集

问_{1} \times 问_{2}

也就是说，来自

问_{1}

到

问_{2}

是成员函数

R（右） : 问_{1} \times 问_{2} \to [0, 1]

将会员等级分配给每一对

(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

在里面

R（右）

中所有F关系的集合

问_{1}

到

问_{2}

由表示

F类 (问_{1} \times 问_{2})

.

定义三。

[5]国际单项体育联合会

问

是以下形式的对象：

我 = {(υ, < δ^{M（M）} (υ), δ^{N个} (υ) >) : υ \in 问}

其中映射

δ^{M（M）}, δ^{N个} : 问 \to [0, 1]

分别表示满足以下条件的成员函数和非成员函数：

0 \leq δ^{M（M）} (υ) + δ^{N个} (υ) \leq 1 .

为所有人

υ \in 问

迟滞部分定义为

λ (υ) = 1 - (δ^{M（M）} (υ) + δ^{N个} (υ))

对于每个

υ \in 问

所有IFS的集合表示为

如果 (问)

.

1984年，阿塔纳索夫[8]也推广了F关系的概念[2]并介绍了IF-relation的概念。

定义 4

[8]IF版本

问_{1}

到

问_{2}

是的IF子集

问_{1} \times 问_{2}

，即以下形式的表达式：

{R（右）}_{我} = {((υ_{1}, υ_{2}), < δ_{{R（右）}_{我}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{我}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >) : υ_{1} \in 问_{1}, υ_{2} \in 问_{2}}

其中，成员和非成员F关系

δ_{{R（右）}_{我}}^{M（M）}, δ_{{R（右）}_{我}}^{N个} : 问_{1} \times 问_{2} \to [0, 1]

满足条件

0 \leq δ_{{R（右）}_{我}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + δ_{{R（右）}_{我}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1

为所有人

(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

。所有IF版本的集合

问_{1}

到

问_{2}

表示为

国际财务报告 (问_{1} \times 问_{2})

.

定义 5

[26]上的LDFS

问

是一个定义如下的对象：

£_{D类} = {(υ, < δ_{D类}^{M（M）} (υ), δ_{D类}^{N个} (υ) >, < α (υ), β (υ) >) : υ \in 问}

哪里

δ_{D类}^{M（M）}, δ_{D类}^{N个} : 问 \to [0, 1]

是会员和非会员职能，以及

α (υ), β (υ) \in [0, 1]

是的参考参数

δ_{D类}^{M（M）} (υ), δ_{D类}^{N个} (υ)

分别使用

0 \leq α (υ) δ_{D类}^{M（M）} (υ) + β (υ) δ_{D类}^{N个} (υ) \leq 1

令人满意的

0 \leq α (υ) + β (υ) \leq 1

为所有人

υ \in 问

.迟滞部分定义为

ξ (υ) π_{D类} (υ) = 1 - (α (υ) δ_{D类}^{M（M）} (υ) + β (υ) δ_{D类}^{N个} (υ))

，其中

π_{D类} (υ)

已知为γ到的不确定度

£_{D类}

、和

ξ (υ)

是与不确定性程度相关的参考参数。我们将表示所有LDFS的集合

问

通过

低密度光纤 (问)

.

在本节的下文中，我们将回顾半群、半环和半环的一些定义。

定义 6

非空集合

S公司

与上定义的关联二进制运算*一起使用

S公司

称为半群。通常用成对表示

(S公司, *)

.

定义 7

半群

(S公司, *)

称为：

(1): 单半群，如果存在一个元素 $e（电子） \in S公司$ 这样的话 $e（电子） * 一 = 一 * e（电子） = 一$ 为所有人 $一 \in S公司$ .
(2): 幂等，如果 $一 * 一 = 一$ 为所有人 $一 \in S公司$ .

定义 8

非空集合

R（右）

使用两个二进制操作+，和

\cdot

称为半环，如果

(1)

(R（右）, +)

是半群。

(2)

(R（右）, \cdot)

是半群。

(3)

乘法是对两边加法的分配，即，

（i）: $一 \cdot (b条 + c（c）) = (一 \cdot b条) + (一 \cdot c（c）)$ .
（ii）: $(b条 + c（c）) \cdot 一 = (b条 \cdot 一) + (c（c） \cdot 一)$ .

为所有人

一, b条, c（c） \in R（右）

.我们将用两个二进制操作+表示半环，

\cdot

通过

(R（右）, +, \cdot)

.

(4)

半环

(R（右）, +, \cdot)

称为可交换，如果

(R（右）, \cdot)

是交换半群，即，

一 \cdot b条 = b条 \cdot 一

为所有人

一, b条 \in R（右）

.

(5)

半环

(R（右）, +, \cdot)

被称为具有身份元素e，如果对于任何

一 \in R（右）

一 \cdot e（电子） = e（电子） \cdot 一

对一些人来说

e（电子） \in R（右）

.

(6)

半环

(R（右）, +, \cdot)

如果有，则称其具有零元素0

一 \in R（右）

（i）: $一 + 0 = 0 + 一 = 一$ .
（ii）: $一 \cdot 0 = 0 \cdot 一 = 0$ .

对一些人来说

0 \in R（右）

.

定义 9

半环是半环

(R（右）, +, \cdot)

这样的话

(1): $(R（右）, +)$ 是交换半群。
(2): $(R（右）, +, \cdot)$ 具有零元素0。

3.线性丢番图模糊关系（Ldf-关系）

我们知道二元关系只是两个宇宙笛卡尔积的子集，它们在纯科学和应用科学中都起着至关重要的作用。为了扩展现有的IF-relation概念，我们应用了LDFS的概念[26]二元关系消除了IF关系对成员和非成员F关系的限制。在这方面，在Riaz和Hashmi的工作动机中引入了LDF关系的新概念[26]只需添加分别对应于隶属度和非隶属度F关系的参考参数。

定义 10

LDF关系

{R（右）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{2}

是以下形式的表达式：

{R（右）}_{D类} = {((υ_{1}, υ_{2}), < δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) >) : υ_{1} \in 问_{1}, υ_{2} \in 问_{2}}

其中映射

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）}, δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} : 问_{1} \times 问_{2} \to [0, 1]

表示成员关系和非成员F关系

问_{1}

到

问_{2}

分别为和

α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) \in [0, 1]

是对应的参考参数

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2})

和

δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})

分别是。这些成员关系和非成员关系满足条件

0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1

为所有人

(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

具有

0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1

。对于来自的LDF关系

问_{1}

到

问_{2}

，我们将使用

{R（右）}_{D类} = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) >)

(1)

为了简单起见。F关系

π_{D类} : 问_{1} \times 问_{2} \to [0, 1]

与每个LDF关系关联1，其中

γ_{D类} (υ_{1}, υ_{2}) π_{D类} (υ_{1}, υ_{2}) = 1 - (α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}))

数字

π_{D类} (υ_{1}, υ_{2})

是犹豫的指标（程度）

υ_{1}

和

υ_{2}

是关系

{R（右）}_{D类}

或者没有，以及

γ_{D类} (υ_{1}, υ_{2})

是犹豫度的参考参数。我们将从中表示所有LDF关系的集合

问_{1}

到

问_{2}

通过

低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

.

根据定义10，LDF关系

{R（右）}_{D类}

只是上的LDFS

问_{1} \times 问_{2}

.

备注1。

（i）: 因为每个二元关系都是一个F关系，每个F关系都是具有非零隶属度和零非隶属度的IF关系。对于参数值 $α (υ_{1}, υ_{2}) \neq 0$ , $β (υ_{1}, υ_{2}) = 0$ 、和 $δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \neq 0$ ，LDF关系 ${R（右）}_{D类}$ 是F关系。对于任何参考参数 $α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) \in [0, 1]$ 具有 $0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1$ ，IF版本满足条件

$0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1$

因此，每个IF关系也是LDF关系。然而，通常情况下并非如此，因为LDFS的情况证明了这一点[26]，第5423页。
（ii）: 如果参考参数 $α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) \in [0, 1]$ 不满足条件 $0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1$ ，那么 $α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})$ 可能超过1例如，如果 $δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) = 0.88$ , $δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) = 0.91$ 、和 $α (υ_{1}, υ_{2}) = 0.55$ , $β (υ_{1}, υ_{2}) = 0.71$ 很明显 $α (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) > 1$ ，因此 $α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) = 1.130 ≰ 1$ .
（iii）: 如果 $δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \neq 0$ , $δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) = 1$ 、和 $α (υ_{1}, υ_{2}) \neq 0$ ，那么 $β (υ_{1}, υ_{2}) \neq 1$ .因为，那么 $α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \geq 1$ .
（iv）: LDF关系的定义10可以扩展到 $n个 -$ 通用集合 $问_{1} \times 问_{2} \times \cdot \times 问_{n个}$ 以类似的方式。

在中定义的F关系的矩阵表示法的动机中[30]LDF关系的矩阵表示法定义如下。

定义 11

让

{R（右）}_{D类} = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} ({x个}_{我}, {x个}_{j个}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) >, < α ({x个}_{我}, {x个}_{j个}), ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) >)

是来自的LDF关系

问_{1}

到

问_{2}

，其中

问_{1} = {{x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{米}}

、和

问_{2} = {年_{1}, 年_{2}, \dots, 年_{n个}}

是有限的宇宙。考虑

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) = {(一_{我 j个})}_{米 \times n个}

,

δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) = {({b条}_{我 j个})}_{米 \times n个}

、和

α ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) = {(α_{我 j个})}_{米 \times n个}

,

β ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) = {(β_{我 j个})}_{米 \times n个}

，使用

0 \leq α_{我 j个} + β_{我 j个} \leq 1

令人满意的

0 \leq α_{我 j个} 一_{我 j个} + β_{我 j个} {b条}_{我 j个} \leq 1

为所有人

我, j个

，其中

1 \leq 我 \leq | 问_{1} |

和

1 \leq j个 \leq | 问_{2} |

然后，LDF关系

{R（右）}_{D类}

可以用四个矩阵的形式表示，如下所示：

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} = {(一_{我 j个})}_{米 \times n个} = (\begin{matrix} 一_{11} & 一_{12} & \cdot & 一_{1 n个} \\ 一_{21} & 一_{22} & \dots & 一_{2 n个} \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \dots & . \\ 一_{米 1} & 一_{米 2} & \dots & 一_{米 n个} \end{matrix}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} = {({b条}_{我 j个})}_{米 \times n个} = (\begin{matrix} {b条}_{11} & {b条}_{12} & \dots & {b条}_{1 n个} \\ {b条}_{21} & {b条}_{22} & \dots & {b条}_{2 n个} \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \dots & . \\ {b条}_{米 1} & {b条}_{米 2} & \dots & {b条}_{米 n个} \end{matrix})

此外，

α = {(α_{我 j个})}_{米 \times n个} = (\begin{matrix} α_{11} & α_{12} & \dots & α_{1 n个} \\ α_{21} & α_{22} & \dots & α_{2 n个} \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \cdot & . \\ . & . & \dots & . \\ α_{米 1} & α_{米 2} & \dots & α_{米 n个} \end{matrix}), β = {(β_{我 j个})}_{米 \times n个} = (\begin{matrix} β_{11} & β_{12} & \dots & β_{1 n个} \\ β_{21} & β_{22} & \dots & β_{2 n个} \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \dots & . \\ β_{米 1} & β_{米 2} & \dots & β_{米 n个} \end{matrix})

或采用如下矩阵形式：

{R（右）}_{D类} = (\begin{matrix} ((一_{11}, {b条}_{11}), (α_{11}, β_{11})) & ((一_{12}, {b条}_{12}), (α_{12}, β_{12})) & \dots & ((一_{1 n个}, {b条}_{1 n个}), (α_{1 n个}, β_{1 n个})) \\ ((一_{21}, {b条}_{21}), (α_{21}, β_{21})) & ((一_{22}, {b条}_{22}), (α_{22}, β_{22})) & \dots & ((一_{2 n个}, {b条}_{2 n个}), (α_{2 n个}, β_{2 n个})) \\ . & . & \dots & . \\ . & . & \cdot & . \\ . & . & \dots & . \\ ((一_{米 1}, {b条}_{米 1}), (α_{米 1}, β_{米 1})) & ((一_{米 2}, {b条}_{米 2}), (α_{米 2}, β_{米 2})) & \dots & ((一_{米 n个}, {b条}_{米 n个}), (α_{米 n个}, β_{米 n个})) \end{matrix}),

哪里

{R（右）}_{D类} = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} ({x个}_{我}, {x个}_{j个}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) >, < α ({x个}_{我}, {x个}_{j个}), β ({x个}_{我}, {x个}_{j个}) >) = {(< 一_{我 j个}, {b条}_{我 j个} >, < α_{我 j个}, β_{我 j个} >)}_{米 \times n个}

.

由于LDF关系是上的LDFS

问_{1} \times 问_{2}

，它们具有与LDFS相同的集合理论操作。

定义 12

让

{R（右）}_{1_{D类}} = (< δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α_{1} (υ_{1}, υ_{2}), β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) >)

、和

{R（右）}_{2_{D类}} = (< δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α_{2} (υ_{1}, υ_{2}), β_{2} (υ_{1}, υ_{2}) >)

是两个LDF关系

问_{1}

到

问_{2}

.然后，

(1): ${R（右）}_{1_{D类}} \subseteq {R（右）}_{2_{D类}}$ 当且仅当

$δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \leq δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) 一 n个 d日 δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \geq δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}),$

$α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \leq α_{2} (υ_{1}, υ_{2}), 一 n个 d日 β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \geq β_{2} (υ_{1}, υ_{2})$

为所有人 $(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}$ .
(2): ${R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{2_{D类}} = (< (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2}), (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} †======================================================= δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{2}) >, < α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \lor α_{2} (υ_{1}, υ_{2}), β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land β_{2} (υ_{1}, υ_{2}) >)$ ，其中

$(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2}) = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \lor δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), 一 n个 d日$

$(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} †======================================================= δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{2}) = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})$

为所有人 $(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}$ .
(3): ${R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}} = (< (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} †======================================================= δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2}), (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} Ş δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{2}) >, < α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land α_{2} (υ_{1}, υ_{2}), β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \lor β_{2} (υ_{1}, υ_{2}) >)$ ，其中

$(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} †======================================================= δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2}) = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), 一 n个 d日$

$(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} \cup δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{2}) = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \lor δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})$

为所有人 $(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}$ .
(4): ${R（右）}_{1_{D类}}^{- 1} = (< δ_{{R（右）}_{1_{D类}}^{- 1}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{1}), δ_{{R（右）}_{1_{D类}}^{- 1}}^{N个} (υ_{2}, υ_{1}) >, < α_{1}^{- 1} (υ_{2}, υ_{1}), β_{1}^{- 1} (υ_{2}, υ_{1}) >)$ 是来自的LDF关系 $问_{2}$ 到 $问_{1}$ ，其中

$δ_{{R（右）}_{1_{D类}}^{- 1}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{1}) = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), 一 n个 d日 δ_{{R（右）}_{1_{D类}}^{- 1}}^{N个} (υ_{2}, υ_{1}) = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})$

$α_{1}^{- 1} (υ_{2}, υ_{1}) = α_{1} (υ_{1}, υ_{2}), 一 n个 d日 β_{1}^{- 1} (υ_{2}, υ_{1}) = β_{1} (υ_{1}, υ_{2})$

为所有人 $(υ_{2}, υ_{1}) \in 问_{2} \times 问_{1}$ .
(5): ${R（右）}_{1_{D类}}^{c（c）} = (< δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) >, < β_{1} (υ_{1}, υ_{2}), α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) >)$ .

提议 1

如果

{R（右）}_{1_{D类}}

,

{R（右）}_{2_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

，然后：

（i）: ${R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{2_{D类}}, {R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}}, {R（右）}_{1_{D类}}^{c（c）} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})$ .
（ii）: ${R（右）}_{1_{D类}}^{- 1} \in 低密度耐火材料 (问_{2} \times 问_{1})$ .

证明。

从定义12来看，证明很简单。 □

为了说明定义12，我们给出了以下示例。

例子 1

让

问_{1} = {{x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三}}

、和

问_{2} = {年_{1}, 年_{2}}

LDF关系

{R（右）}_{D类}

和

{P（P）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{2}

定义于表1和表2分别是。

经过简单的计算

{R（右）}_{D类} \cup {P（P）}_{D类}

在中获得表3.

他们的十字路口

{R（右）}_{D类} †======================================================= {P（P）}_{D类}

在中给出表4.

此外，LDF关系

{P（P）}_{D类}^{- 1}

从

问_{2}

到

问_{1}

在中计算表5.

此外，

{R（右）}_{D类}^{c（c）}

显示在中表6.

提议 2

使用与定义12中相同的符号，以下属性保持不变：

(1): ${R（右）}_{1_{D类}} \subseteq {R（右）}_{2_{D类}}$ 意味着 ${R（右）}_{1_{D类}}^{- 1} \subseteq {R（右）}_{2_{D类}}^{- 1}$ .
(2): ${({R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{2_{D类}})}^{- 1} = {R（右）}_{1_{D类}}^{- 1} \cup {R（右）}_{2_{D类}}^{- 1}$ .
(3): ${({R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}})}^{- 1} = {R（右）}_{1_{D类}}^{- 1} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}}^{- 1}$ .
(4): ${({R（右）}_{1_{D类}}^{- 1})}^{- 1} = {R（右）}_{1_{D类}}$ .

证明。

鉴于定义12，证明非常容易。□

定义 13

在

低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

，我们表示并定义了完全LDF关系和空LDF关系，如下所示：

{\hat{1}}_{D类} = {((υ_{1}, υ_{2}), < {\hat{1}}_{D类} (υ_{1}, υ_{2}), {\hat{0}}_{D类} (υ_{1}, υ_{2}) >, < \hat{1} (υ_{1}, υ_{2}), \hat{0} (υ_{1}, υ_{2}) >) : υ_{1} \in 问_{1}, υ_{2} \in 问_{2}},

{\hat{0}}_{D类} = {((υ_{1}, υ_{2}), < {\hat{0}}_{D类} (υ_{1}, υ_{2}), {\hat{1}}_{D类} (υ_{1}, υ_{2}) >, < \hat{0} (υ_{1}, υ_{2}), \hat{1} (υ_{1}, υ_{2}) >) : υ_{1} \in 问_{1}, υ_{2} \in 问_{2}}

哪里，

{\hat{1}}_{D类} (υ_{1}, υ_{2}) = \hat{1} (υ_{1}, υ_{2}) = 1, 对于 全部的 (υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

{\hat{0}}_{D类} (υ_{1}, υ_{2}) = \hat{0} (υ_{1}, υ_{2}) = 0, 对于 全部的 (υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

定义的直接结果12

(2)

和

(三)

和定义13，我们得到以下结果。

提议三。

让

{R（右）}_{1_{D类}}, {R（右）}_{2_{D类}}, {R（右）}_{三_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

。然后，以下属性保持不变：

(1): ${R（右）}_{1_{D类}} Ş {\hat{0}}_{D类} = {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(2): ${R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {\hat{0}}_{D类} = {\hat{0}}_{D类}$ .
(3): ${R（右）}_{1_{D类}} \cup {\hat{1}}_{D类} = {\hat{1}}_{D类}$ .
(4): ${R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {\hat{1}}_{D类} = {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(5): ${R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{1_{D类}} = {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(6): ${R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{1_{D类}} = {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(7): ${R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{2_{D类}} = {R（右）}_{2_{D类}} \cup {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(8): ${R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}} = {R（右）}_{2_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(9): $({R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{2_{D类}}) \cup {R（右）}_{三_{D类}} = {R（右）}_{1_{D类}} (\cup {R（右）}_{2_{D类}} \cup {R（右）}_{三_{D类}})$ .
(10): $({R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}}) †======================================================= {R（右）}_{三_{D类}} = {R（右）}_{1_{D类}} (†======================================================= {R（右）}_{2_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{三_{D类}})$ .

上述命题3非常重要，它产生了以下代数结构（见推论1）。

推论 1

这对搭档

(低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2}), \cup)

和

(低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2}, †=======================================================))

是具有单位元的幂等交换幺半群

{\hat{0}}_{D类}

、和

{\hat{1}}_{D类}

分别是。

下一个结果非常重要，它产生了其他一些代数结构。

提议 4

使用与上述命题3相同的符号，以下断言成立：

(1): ${R（右）}_{1_{D类}} \cup ({R（右）}_{2_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{三_{D类}}) = ({R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{2_{D类}}) †======================================================= ({R（右）}_{1_{D类}} \cup {R（右）}_{三_{D类}})$ .
(2): ${R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= ({R（右）}_{2_{D类}} \cup {R（右）}_{三_{D类}}) = ({R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{2_{D类}}) \cup ({R（右）}_{1_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{三_{D类}})$ .
(3): 如果 ${R（右）}_{2_{D类}} \subseteq {R（右）}_{1_{D类}}$ 、和 ${R（右）}_{三_{D类}} \subseteq {R（右）}_{1_{D类}}$ ，暗示 ${R（右）}_{2_{D类}} Ş {R（右）}_{三_{D类}} \subseteq {R（右）}_{1_{D类}}$ .
(4): 如果 ${R（右）}_{1_{D类}} \subseteq {R（右）}_{2_{D类}}$ 、和 ${R（右）}_{1_{D类}} \subseteq {R（右）}_{三_{D类}}$ ，那么 ${R（右）}_{1_{D类}} \subseteq {R（右）}_{2_{D类}} †======================================================= {R（右）}_{三_{D类}}$ .

证明。

(1)

让

(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

.然后，

\begin{matrix} [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} †======================================================= δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）})] (υ_{1}, υ_{2}) & = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \lor [(δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} †======================================================= δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2})] \\ = δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \lor [δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2})] \\ = [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \lor δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2})] \land [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \lor δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2})] \\ = [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2})] \land [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{2})] \\ = [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) †======================================================= (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）})] (υ_{1}, υ_{2}) \end{matrix}

以类似的方式，可以证明

[δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} †======================================================= (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个} \cup δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{N个})] (υ_{1}, υ_{2}) = [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} †======================================================= δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个}) \cup (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} †======================================================= δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{N个})] (υ_{1}, υ_{2}) .

此外，

α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \lor (α_{2} (υ_{1}, υ_{2}) \land α_{三} (υ_{1}, υ_{2})) = (α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \lor α_{2} (υ_{1}, υ_{2})) \land (α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \lor α_{三} (υ_{1}, υ_{2}))

此外，

β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land (β_{2} (υ_{1}, υ_{2}) \lor β_{三} (υ_{1}, υ_{2})) = (β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land β_{2} (υ_{1}, υ_{2})) \lor (β_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land β_{三} (υ_{1}, υ_{2}))

（自

α_{我} (υ_{1}, υ_{2}), β_{我} (υ_{1}, υ_{2}) \in [0, 1]

、和

([0, 1], \lor, \land)

是分配格[38]，其中

我 = 1, 2, 三

).

(2)

该证明类似于

(1)

.

(三)

和

(4)

使用定义12可以很容易地证明

(1)

,

(2)

. □

根据命题4，我们得到了以下推论。

推论 2

这套

低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

是以下代数结构：

(1): 交换半环 $(低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2}), \cup, †=======================================================)$ 带有标识元素 ${\hat{1}}_{D类}$ 、和零元素 ${\hat{0}}_{D类}$ .
(2): 交换半环 $(LDFR公司 (问_{1} \times 问_{2}), †=======================================================, \cup)$ 带有标识元素 ${\hat{0}}_{D类}$ 、和零元素 ${\hat{1}}_{D类}$ .

上述推论2得出以下结果。

推论三。

这套

低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

是半圆形的

(低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2}), \cup, †=======================================================)

带零元素

{\hat{0}}_{D类}

.

在构成F关系的动机中[2,30]，我们定义了两个LDF关系的组成，并在本手稿的续篇中研究了它的一些重要性质。

定义 14

让

{R（右）}_{D类} = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) >)

是来自的LDF关系

问_{1}

到

问_{2}

、和

{P（P）}_{D类} = (< δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}), δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三}) >, < α^{'} (υ_{2}, υ_{三}), β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) >)

是来自的LDF关系

问_{2}

到

问_{三}

。我们将其组成表示如下：

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类} = (< (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}), (δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{三}) >, < (α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}), (β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) >)

其中，

(δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))

(δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{三}) = \land_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \lor δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三}))

和

(α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三})),

(β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) = \land_{υ_{2} \in 问_{2}} (β (υ_{1}, υ_{2}) \lor β^{'} (υ_{2}, υ_{三})) .

为所有人

(υ_{1}, υ_{三}) \in 问_{1} \times 问_{三}

.

提议 5

使用与定义14中相同的符号，我们有

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{三})

.

证明。

首先，我们证明

0 \leq (α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) + (β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) \leq 1

.自

0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1

和

0 \leq α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) + β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) \leq 1

，那么

α (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1 - β (υ_{1}, υ_{2})

和

α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) \leq 1 - β^{'} (υ_{2}, υ_{三})

所以，

\begin{matrix} (α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) & = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三})) \\ \leq \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} ((1 - β (υ_{1}, υ_{2})) \land (1 - β^{'} (υ_{2}, υ_{三}))) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (1 - (β (υ_{1}, υ_{2}) \lor β^{'} (υ_{2}, υ_{三}))) \\ = 1 - \land_{υ_{2} \in 问_{2}} (β (υ_{1}, υ_{2}) \lor β^{'} (υ_{2}, υ_{三})) \\ = 1 - (β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) \end{matrix}

这证明了

0 \leq (α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) + (β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) \leq 1

现在，为了证明这一点

0 \leq (α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) + (β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{2}) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{三}) \leq 1 .

(2)

为所有人

(υ_{1}, υ_{三}) \in 问_{1} \times 问_{三}

.自

0 \leq α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) + β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1

，对于所有人

(υ_{1}, υ_{2}) \in 问_{1} \times 问_{2}

、和

0 \leq α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}) + β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}) \leq 1

为所有人

(υ_{2}, υ_{三}) \in 问_{2} \times 问_{三}

如下所示：

α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \leq 1 - β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}), 和

(3)

α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}) \leq 1 - β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三})

(4)

让

(υ_{1}, υ_{三}) \in 问_{1} \times 问_{三}

然后，通过使用定义14，

\begin{matrix} (α \hat{\circ} α) (υ_{1}, υ_{三}) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) & = [\lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三}))] [\lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [(α (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三})) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [[α (υ_{1}, υ_{2}) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ \land [α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))]] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [[α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三})] \\ \land [α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三})]] \\ \leq \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [α (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三})] \\ \leq \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [(1 - β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})) \\ \land (1 - β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [1 - (β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \lor β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = 1 - \land_{υ_{2} \in 问_{2}} \land_{υ_{2} \in 问_{2}} [β (υ_{1}, υ_{2}) δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \lor β^{'} (υ_{2}, υ_{三}) δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三})] \\ \leq 1 - [\land_{υ_{2} \in 问_{2}} (β (υ_{1}, υ_{2}) \lor β^{'} (υ_{2}, υ_{三}))] [\land_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) \lor δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = 1 - (β \hat{\circ} β^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) (δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个}) (υ_{1}, υ_{三})) \end{matrix}

（参见方程式(三)和(4)). 这证明了方程式(2)。因此，

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类} \in LDFR公司 (问_{1} \times 问_{三})

. □

定理 1

在与上述命题5相同的假设下，以下断言成立：

{({R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类})}^{- 1} = {P（P）}_{D类}^{- 1} \hat{\circ} {R（右）}_{D类}^{- 1}

证明。

让

(υ_{三}, υ_{1}) \in 问_{三} \times 问_{1}

.根据定义12

(4)

和定义14，

\begin{matrix} {(δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）})}^{- 1} (υ_{三}, υ_{1}) & = (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三})) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}^{- 1}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{1}) \land δ_{{P（P）}_{D类}^{- 1}}^{M（M）} (υ_{三}, υ_{2})) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{P（P）}_{D类}^{- 1}}^{M（M）} (υ_{三}, υ_{2}) \land δ_{{R（右）}_{D类}^{- 1}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{1})) \\ = (δ_{{P（P）}_{D类}^{- 1}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{D类}^{- 1}}^{M（M）}) (υ_{三}, υ_{1}) \end{matrix}

同样，可以证明

{(δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个})}^{- 1} (υ_{三}, υ_{1}) = (δ_{{P（P）}_{D类}^{- 1}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{D类}^{- 1}}^{N个}) (υ_{三}, υ_{1})

此外，

\begin{matrix} {(α \hat{\circ} α^{'})}^{- 1} (υ_{三}, υ_{1}) & = (α \hat{\circ} α^{'}) (υ_{1}, υ_{三}) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α (υ_{1}, υ_{2}) \land α^{'} (υ_{2}, υ_{三})) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α^{- 1} (υ_{2}, υ_{1}) \land α^{' - 1} (υ_{三}, υ_{2})) \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α^{' - 1} (υ_{三}, υ_{2}) \land α^{- 1} (υ_{2}, υ_{1})) \\ = (α^{' - 1} \hat{\circ} α^{- 1}) (υ_{三}, υ_{1}) \end{matrix}

类似证据

{(β \hat{\circ} β^{'})}^{- 1} (υ_{三}, υ_{1}) = (β^{' - 1} \hat{\circ} β^{- 1}) (υ_{三}, υ_{1})

。这就完成了证明。□

定理 2

如果

{R（右）}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

、和

{P（P）}_{1_{D类}}, {P（P）}_{2_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{2} \times 问_{三})

这样的话

{P（P）}_{1_{D类}} \subseteq {P（P）}_{2_{D类}}

.然后，

(1): ${R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{1_{D类}} \subseteq {R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{2_{D类}}$ .
（2）: ${P（P）}_{1_{D类}} \hat{\circ} {P（P）}_{1_{D类}} \subseteq {P（P）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {P（P）}_{2_{D类}}$ .

证明。

(1)

根据定义12，证明很简单

(1)

和14。

(2)

发件人

(1)

我们有，

{P（P）}_{1_{D类}} \hat{\circ} {P（P）}_{1_{D类}} \subseteq {P（P）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {P（P）}_{1_{D类}} \subseteq {P（P）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {P（P）}_{2_{D类}}

. □

定理三。

如果

{P（P）}_{1_{D类}}, {P（P）}_{2_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

、和

{R（右）}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{2} \times 问_{三})

具有

{P（P）}_{1_{D类}} \subseteq {P（P）}_{2_{D类}}

，然后：

{P（P）}_{1_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{D类} \subseteq {P（P）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{D类} .

证明。

这个证明类似于定理2的证明

(1)

. □

下面的定理4告诉我们，LDF-关系满足与定义14中定义的成分相关的结合定律。

定理 4

让

{R（右）}_{1_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

,

{R（右）}_{2_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{2} \times 问_{三})

、和

{R（右）}_{三_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{三} \times 问_{4})

然后：

{R（右）}_{1_{D类}} \hat{\circ} ({R（右）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{三_{D类}}) = ({R（右）}_{1_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{2_{D类}}) \hat{\circ} {R（右）}_{三_{D类}} .

证明。

让

υ_{1} \in 问_{1}, υ_{4} \in 问_{4}

那么，根据定义14

\begin{matrix} [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \hat{\circ} (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）})] (υ_{1}, υ_{4}) & = \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) \land δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{三}, υ_{4})] \\ = \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三})) \land δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{三}, υ_{4})] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}) \land δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{三}, υ_{4}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{三}) \land (\lor_{υ_{三} \in 问_{三}} (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}) \land δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{三}, υ_{4})))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）}) ((υ_{2}, υ_{4}))] \\ = (δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{4}) \end{matrix}

同样，

[δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} \hat{\circ} (δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{N个})] (υ_{1}, υ_{4}) = [(δ_{{R（右）}_{1_{D类}}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{2_{D类}}}^{N个}) \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{三_{D类}}}^{N个}] (υ_{1}, υ_{4})

。现在，让我们

υ_{1} \in 问_{1}

,

υ_{4} \in 问_{4}

.根据定义14，

\begin{matrix} [α_{1} \hat{\circ} (α_{2} \hat{\circ} α_{三})] (υ_{1}, υ_{4}) & = \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} [(α_{1} \hat{\circ} α_{2}) (υ_{1}, υ_{三}) \land α_{三} (υ_{三}, υ_{4})] \\ = \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} [(\lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land α_{2} (υ_{2}, υ_{三}))) \land α_{三} (υ_{三}, υ_{4})] \\ = \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [(α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land α_{2} (υ_{2}, υ_{三})) \land α_{三} (υ_{三}, υ_{4})] \\ = \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land (α_{2} (υ_{2}, υ_{三}) \land α_{三} (υ_{三}, υ_{4}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} \lor_{υ_{三} \in 问_{三}} [α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land (α_{2} (υ_{2}, υ_{三}) \land α_{三} (υ_{三}, υ_{4}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land (\lor_{υ_{三} \in 问_{三}} (α_{2} (υ_{2}, υ_{三}) \land α_{三} (υ_{三}, υ_{4})))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [α_{1} (υ_{1}, υ_{2}) \land (α_{2} (\hat{\circ} α_{三}) (υ_{2}, υ_{4}))] \\ = [(α_{1} \hat{\circ} α_{2}) \hat{\circ} α_{三}] (υ_{1}, υ_{4}) \end{matrix}

类似证据

[β_{1} \hat{\circ} (β_{2} \hat{\circ} β_{三})] (υ_{1}, υ_{4}) = [(β_{1} \hat{\circ} β_{2}) \hat{\circ} β_{三}] (υ_{1}, υ_{4})

。因此证明是完整的。□

在下面的两个结果中，证明了并集和交集在复合上的分布规律。

定理 5

让

{R（右）}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

、和

{P（P）}_{1_{D类}}, {P（P）}_{2_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{2} \times 问_{三})

。然后，以下属性保持不变：

(1): ${R（右）}_{D类} \hat{\circ} ({P（P）}_{1_{D类}} \cup {P（P）}_{2_{D类}}) = ({R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{1_{D类}}) \cup ({R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{2_{D类}})$ .
(2): ${R（右）}_{D类} \hat{\circ} ({P（P）}_{1_{D类}} †======================================================= {P（P）}_{2_{D类}}) = ({R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{1_{D类}}) †======================================================= ({R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{2_{D类}})$ .

证明。

(1)

让

(υ_{1}, υ_{三}) \in 问_{1} \times 问_{三}

根据定义14和12，

\begin{matrix} [δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} (δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）})] (υ_{1}, υ_{三}) & = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land (δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）} \cup δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{2}, υ_{三})] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land (δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}) \lor δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = \lor_{υ_{2} \in 问_{2}} [(δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三})) \\ \lor (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = [\lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ \lor [\lor_{υ_{2} \in 问_{2}} (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) \land δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）} (υ_{2}, υ_{三}))] \\ = (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) \lor (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）}) (υ_{1}, υ_{三}) \\ = ((δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{M（M）}) \cup (δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{M（M）})) (υ_{1}, υ_{三}) \end{matrix}

以类似的方式，可以证明

[δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} (δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{N个} †======================================================= δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{N个})] (υ_{1}, υ_{三}) = [(δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{1_{D类}}}^{N个}) †======================================================= (δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{P（P）}_{2_{D类}}}^{N个})] (υ_{1}, υ_{三}) .

此外，由于

α (υ_{1}, υ_{2}), α_{1} (υ_{2}, υ_{三}), α_{2} (υ_{2}, υ_{三}) \in [0, 1]

和

([0, 1], \lor, \land)

是一个分配格。因此，

[α \hat{\circ} (α_{1} \lor α_{2})] (υ_{1}, υ_{三}) = [(α \hat{\circ} α_{1}) \lor (α \hat{\circ} α_{2})] (υ_{1}, υ_{三})

和

[β \hat{\circ} (β_{1} \lor β_{2})] (υ_{1}, υ_{三}) = [(β \hat{\circ} β_{1}) \lor (β \hat{\circ} β_{2})] (υ_{1}, υ_{三})

.

(2)

可以通过遵循相同的模式来证明。这就完成了证明。□

定理 6

让

{P（P）}_{1_{D类}}, {P（P）}_{2_{D类}} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2})

、和

{R（右）}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{2} \times 问_{三})

。然后，以下属性保持不变：

(1): $({P（P）}_{1_{D类}} \cup {P（P）}_{2_{D类}}) \hat{\circ} {R（右）}_{D类} = ({P（P）}_{1_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{D类}) \cup ({P（P）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{D类})$ .
(2): $({P（P）}_{1_{D类}} †======================================================= {P（P）}_{2_{D类}}) \hat{\circ} {R（右）}_{D类} = ({P（P）}_{1_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{D类}) †======================================================= ({P（P）}_{2_{D类}} \hat{\circ} {R（右）}_{D类})$ .

证明。

该证明类似于定理5的证明。□

定理4、5和5给出了以下代数结构。

推论 4

三胞胎

(低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{1}), \cup, \hat{\circ})

是：

(1): 具有单位元的半环 ${\hat{1}}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{1})$ 和零元素 ${\hat{0}}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{1})$ .
(2): 零元素半环 ${\hat{0}}_{D类} \in 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{1})$ .

现在我们定义了等价LDF关系的概念。让我们假设

{R（右）}_{D类} = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) >)

是上的LDF关系

问

.

定义 15

LDF关系

{R（右）}_{D类}

称为自反，如果：

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (ϵ, ϵ) = 1, δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (ϵ, ϵ) = 0, 一 n个 d日 α (ϵ, ϵ) = 1, β (ϵ, ϵ) = 0

为所有人

ϵ \in 问

.

如果

| 问 | = n个

，其中

| . |

表示元素的数量，以及

\begin{matrix} {R（右）}_{D类} & = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (ϵ_{我}, ϵ_{j个}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (ϵ_{我}, ϵ_{j个}) >, < α (ϵ_{我}, ϵ_{j个}), β (ϵ_{我}, ϵ_{j个}) >) \\ = (< {(一_{我 j个})}_{n个 \times n个}, {(一_{我 j个})}_{n个 \times n个} >, < {(α_{我 j个})}_{n个 \times n个}, {(β_{我 j个})}_{n个 \times n个} >), \end{matrix}

哪里

我, j个 = 1, 2, \dots, n个

。那么

低密度光纤 -

关系

{R（右）}_{D类}

是自反的，如果：

一_{我 我} = α_{我 我} = 1, 和 {b条}_{我 我} = β_{我 我} = 0 .

定义 16

LDF关系

{R（右）}_{D类}

称为对称，如果：

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (ϵ_{1}, ϵ_{2}) = δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (ϵ_{2}, ϵ_{1}),

δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (ϵ_{1}, ϵ_{2}) = δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (ϵ_{2}, ϵ_{1}),

α (ϵ_{1}, ϵ_{2}) = α (ϵ_{2}, ϵ_{1}),

β (ϵ_{1}, ϵ_{2}) = β (ϵ_{2}, ϵ_{1})

为所有人

ϵ_{1}, ϵ_{2} \in 问

.

由于关系是对称的，当且仅当其矩阵与其转置相同。所以，

{R（右）}_{D类}

对称，当且仅当，

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} = {(δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）})}^{T型}, δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} = {(δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个})}^{T型} 和 α = α^{T型}, β = β^{T型} .

定义 17

LDF关系

{R（右）}_{D类}

称为传递，如果

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {R（右）}_{D类} \subseteq {R（右）}_{D类}

也就是说，

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} \subseteq δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）}, δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \hat{\circ} δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} \supseteq δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个}, 一 n个 d日 α \hat{\circ} α \subseteq α, β \hat{\circ} β \supseteq β

定义 18

LDF关系

{R（右）}_{D类}

称为等价LDF关系，如果

{R（右）}_{D类}

是自反的、对称的和传递的。

为了进行说明，我们构造了以下示例。

例子 2

让

问 = {{x个}_{1}, {x个}_{2}, {x个}_{三}}

。考虑一个

低密度光纤 -

关系

{R（右）}_{D类}

在

问

如下：

ϑ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} = (\begin{matrix} 1 & 0.98 & 0.46 \\ 0.98 & 1 & 0.67 \\ 0.46 & 0.67 & 1 \end{matrix}), ϑ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} = (\begin{matrix} 0 & 0.47 & 0.32 \\ 0.47 & 0 & 0.71 \\ 0.32 & 0.71 & 0 \end{matrix}),

此外，

α = (\begin{matrix} 1 & 0.33 & 0.26 \\ 0.33 & 1 & 0.47 \\ 0.26 & 0.47 & 1 \end{matrix}), β = (\begin{matrix} 0 & 0.46 & 0.63 \\ 0.46 & 0 & 0.34 \\ 0.63 & 0.34 & 0 \end{matrix}) .

那么，很容易看出

{R（右）}_{D类}

是等价的LDF关系。

4.LDF关系在决策（DM）中的应用

由于LDF关系是LDFS，因此它的应用可以在人工智能、工程、医学、DM和MADM领域中找到[26]. 数据挖掘作为一种抽象技术，是各种选择中的最佳选择。在本节中，根据Naeem等人的动机，利用LDF-关系的概念，提出了一种算法来解决一些DM问题。[19]，这得到了一个数值示例的支持。

首先，我们根据Riaz等人的动机，定义了LDF关系的得分函数。[26].

定义 19

让

{R（右）}_{D类} = (< δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}), δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2}) >, < α (υ_{1}, υ_{2}), β (υ_{1}, υ_{2}) >)

是来自的LDF关系

问_{1}

到

问_{2}

。在上定义分数函数

{R（右）}_{D类}

通过地图

S公司 : 低密度耐火材料 (问_{1} \times 问_{2}) \to [- 1, 1]

给出如下：

S公司 ({R（右）}_{D类}) = \frac{1}{2} [(δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）} (υ_{1}, υ_{2}) - δ_{{R（右）}_{D类}}^{N个} (υ_{1}, υ_{2})) + (α (υ_{1}, υ_{2}) - β (υ_{1}, υ_{2}))]

现在，我们针对LDF关系提出了一种算法1到DM的方法，如下所示：

算法1

(1): 输入数据集 $问_{1}$ , $问_{2}$ 和 $问_{三}$ .
(2): 计算LDF关系 ${R（右）}_{D类}$ 从 $问_{1}$ 到 $问_{2}$ 、和 ${P（P）}_{D类}$ 从 $问_{2}$ 到 $问_{三}$ .
(3): 执行合成操作 $\hat{\circ}$ 在…之间 ${R（右）}_{D类}$ 和 ${P（P）}_{D类}$ 也就是说， ${R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类}$ .
(4): 根据定义10计算的误差或迟滞值，即：， $ε_{我 k个} = γ_{我 k个} π_{我 k个} = 1 - (θ_{我 k个} η_{我 k个}^{M（M）} + θ_{我 k个}^{'} η_{我 k个}^{N个})$ ，其中 $η_{我 k个}^{M（M）} = δ_{我 j个}^{M（M）} \hat{\circ} δ_{j个 k个}^{M（M）}$ , $η_{我 k个}^{N个} = δ_{我 j个}^{N个} \hat{\circ} δ_{j个 k个}^{N个}$ 、和 $θ_{我 k个} = α_{我 j个} \hat{\circ} α_{j个 k个}^{'}$ , $θ_{我 k个}^{'} = β_{我 j个} \hat{\circ} β_{j个 k个}^{'}$ 、和 $1 \leq 我 \leq | 问_{1} |$ , $1 \leq j个 \leq | 问_{2} |$ 、和 $1 \leq k个 \leq | 问_{三} |$ ，其中 $| 问_{我} |$ , $我 = 1, 2, 三$ ，表示的元素数 $| 问_{我} |$ .
(5): 计算集合元素之间的关联等级 $问_{1}$ 和 $问_{三}$ 通过使用 $\ddot{A类} = η_{我 k个}^{M（M）} - η_{我 k个}^{N个} ε_{我 k个}$ .
(6): 找出这对 $({q个}_{我}, {q个}_{k个})$ ，其中 ${q个}_{我} \in 问_{1}$ , ${q个}_{k个} \in 问_{三}$ 具有最大关联等级值 ${\ddot{A类}}_{我 k个}$ .
(7): 决定：两人 $({q个}_{我}, {q个}_{k个})$ 是最佳选择。

为了解释上述算法，详细阐述了以下示例。

例子三。

假设一个人X先生想买一栋新的一运河双层平房，而房地产商参观了四栋平房

问_{1} = {{u个}_{1}, {u个}_{2}, {u个}_{三}, {u个}_{4}}

按照他的要求

问_{2} = {我_{1} = 近的 到 玩 地面, 我_{2} = 近的 到 公园, 我_{三} = 近的 到 主要的 服务 路}

以合理的价格，其中一组价格是

问_{三} = {{第页}_{1} = 低的, {第页}_{2} = 中等的, {第页}_{三} = 高的}

.

现在，我们考虑LDF关系

{R（右）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{2}

它描述了平房在某个会员和非会员度函数中的位置

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）}

、和

δ_{{R（右）}_{D类}}^{M（M）}

以及参数值

α =

位置优越

β =

位置不好，分别位于表7.

此外，我们考虑LDF关系

{P（P）}_{D类}

从

问_{2}

到

问_{三}

它通过会员制和非会员制F关系描述了平房位置和价格之间的关系

δ_{{P（P）}_{D类}}^{M（M）}, δ_{{P（P）}_{D类}}^{N个}

以及参数值

α^{'} =

合理的价格，

β^{'} =

价格不合理表8.

通过简单计算成分14，LDF关系

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{三}

在中给出表9描述了平房之间的关系以及根据位置确定的价格。

现在，使用定义19，犹豫度

η_{我 k个} = 1 - (γ_{我 k个} θ_{我 k个}^{M（M）} + γ_{我 k个}^{'} θ_{我 k个}^{N个})

属于

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类}

在中给出表10.

其次，对象之间的关联等级

问_{1}

和

问_{三}

通过使用公式

{\ddot{A类}}_{我 k个} = θ_{我 k个}^{M（M）} - θ_{我 k个}^{N个} η_{我 k个}

在中给出表11.

显然，这对

({u个}_{4}, {第页}_{2})

具有最高的关联等级。因此，

{u个}_{4}

是X先生购买位置好、价格合理的房产的最佳选择。为了确认我们的结果，我们计算了

问_{1}

和

问_{三}

使用定义19计算表12.

在最后一排很容易看到这对

({u个}_{4}, {第页}_{2})

具有最高的分值。因此，我们的决定是正确的。因此，我们的结果是有效的，因此我们提出的算法是一种可靠的方法。

5.结论

二元关系在纯科学和应用科学的各个领域都发挥着重要作用。本手稿致力于研究Riaz和Hashmi工作动机中的LDF关系概念。LDF关系的新概念消除了IF关系的局限性，并通过添加参考或控制参数来增强成员和非成员等级的空间。定义了一些主要操作，并建立了某些重要结果。借助于这些运算，研究了所有LDF关系的集合产生了一些代数结构，即半群、半环和半环。此外，引入LDF关系得分函数的概念，分析了最优决策的对称性和可行方案的排序。作为LFD关系在DM中的应用，给出了一个算法和一个数值例子。在未来的研究中，这项新的工作可能会应用于MCDM和粗糙集理论的各个方向，使用不同的混合技术进行进一步的研究工作。LDF关系提出了一个严格的数学模型，用于建模决策问题中的不确定性，包括人工智能、机器人、机器学习、医学分析、医学、，经济学和许多其他现实生活问题。我们希望，所提出的LDF关系模型和本文中的所有思想将作为LDFS理论的基础而存在，并将产生新的丰硕成果。

作者贡献

S.A.、M.S.、M.R.和M.A.共同构思并合作完成了这篇手稿，M.S.，R.C.和M.A.构建了数据分析的思想和算法，并设计了手稿的模型，S.A.，M.R.，和R.C.处理了数据收集并撰写了论文。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

致谢

作者对沙特阿拉伯阿布哈61413哈立德国王大学的科学研究院长表示感谢，感谢他通过研究小组项目资助了这项工作，拨款编号为R.G.P-1/23/42。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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表1。LDF关系

{R（右）}_{D类}

.

表1。LDF关系

{R（右）}_{D类}

.

${R（右）}_{D类}$	$年_{1}$	$年_{2}$
${x个}_{1}$	$((0.71, 0.21), (0.42, 0.58))$	$((0.95, 0.41), (0.74, 0.25))$
${x个}_{2}$	$((0.93, 0.52), (0.51, 0.47))$	$((0.87, 0.83), (0.64, 0.36))$
${x个}_{三}$	$((0.37, 0.61), (0.61, 0.33))$	$((0.68, 0.71), (0.49, 0.48))$

表2。LDF关系

{P（P）}_{D类}

.

表2。LDF关系

{P（P）}_{D类}

.

${P（P）}_{D类}$	$年_{1}$	$年_{2}$
${x个}_{1}$	$((0.42, 0.65), (0.46, 0.52))$	$((0.46, 0.39), (0.22, 0.86))$
${x个}_{2}$	$((0.63, 0.99), (0.34, 0.64))$	$((0.56, 0.75), (0.75, 0.23))$
${x个}_{三}$	$((0.75, 0.71), (0.45, 0.47))$	$((0.95, 0.35), (0.43, 0.59))$

表3。工会

{R（右）}_{D类} \cup {P（P）}_{D类}

.

表3。工会

{R（右）}_{D类} \cup {P（P）}_{D类}

.

${R（右）}_{D类} \cup {P（P）}_{D类}$	$年_{1}$	$年_{2}$
${x个}_{1}$	$((0.71, 0.21), (0.46, 0.52))$	$((0.95, 0.39), (0.74, 0.25))$
${x个}_{2}$	$((0.93, 0.52), (0.51, 0.47))$	$((0.87, 0.75), (0.75, 0.23))$
${x个}_{三}$	$((0.75, 0.61), (0.61, 0.33))$	$((0.95, 0.35), (0.49, 0.48))$

表4。交叉

{R（右）}_{D类} †======================================================= {P（P）}_{D类}

.

表4。交叉

{R（右）}_{D类} †======================================================= {P（P）}_{D类}

.

${R（右）}_{D类} †======================================================= {P（P）}_{D类}$	$年_{1}$	$年_{2}$
${x个}_{1}$	$((0.42, 0.65), (0.42, 0.58))$	$((0.46, 0.41), (0.22, 0.86))$
${x个}_{2}$	$((0.63, 0.99), (0.34, 0.64))$	$((0.56, 0.83), (0.64, 0.36))$
${x个}_{三}$	$((0.37, 0.71), (0.45, 0.47))$	$((0.68, 0.71), (0.43, 0.59))$

表5。LDF关系

{P（P）}_{D类}^{- 1}

从

问_{2}

到

问_{1}

.

表5。LDF关系

{P（P）}_{D类}^{- 1}

从

问_{2}

到

问_{1}

.

${P（P）}_{D类}^{- 1}$	${x个}_{1}$	${x个}_{2}$	${x个}_{三}$
$年_{1}$	$((0.42, 0.65), (0.46, 0.52))$	$((0.63, 0.99), (0.34, 0.64))$	$((0.75, 0.71), (0.45, 0.47))$
$年_{2}$	$((0.46, 0.39), (0.22, 0.86))$	$((0.56, 0.75), (0.75, 0.23))$	$((0.95, 0.35), (0.43, 0.59))$

表6。

{R（右）}_{D类}^{c（c）}

.

表6。

{R（右）}_{D类}^{c（c）}

.

${R（右）}_{D类}$	$年_{1}$	$年_{2}$
${x个}_{1}$	$((0.21, 0.71), (0.58, 0.42))$	$((0.41, 0.95), (0.25, 0.74))$
${x个}_{2}$	$((0.52, 0.93), (0.47, 0.51))$	$((0.83, 0.87), (0.36, 0.64))$
${x个}_{三}$	$((0.61, 0.37), (0.33, 0.61))$	$((0.71, 0.68), (0.48, 0.49))$

表7。LDF关系

{R（右）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{2}

.

表7。LDF关系

{R（右）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{2}

.

${R（右）}_{D类}$	$我_{1}$	$我_{2}$	$我_{三}$
${u个}_{1}$	$((0.86, 0.34), (0.75, 0.24))$	$((0.56, 0.49), (0.50, 0.37))$	$((0.78, 0.35), (0.65, 0.25))$
${u个}_{2}$	$((0.75, 0.34), (0.60, 0.24))$	$((0.46, 0.74), (0.28, 0.60))$	$((0.45, 0.41), (0.32, 0.27))$
${u个}_{三}$	$((0.56, 0.44), (0.48, 0.26))$	$((0.34, 0.66), (0.25, 0.53))$	$((0.78, 0.59), (0.61, 0.49))$
${u个}_{4}$	$((0.95, 0.11), (0.80, 0.10))$	$((0.99, 0.21), (0.88, 0.08))$	$((0.86, 0.35), (0.75, 0.24))$

表8。LDF关系

{P（P）}_{D类}

从

问_{2}

到

问_{三}

.

表8。LDF关系

{P（P）}_{D类}

从

问_{2}

到

问_{三}

.

${P（P）}_{D类}$	${第页}_{1}$	${第页}_{2}$	${第页}_{三}$
$我_{1}$	$((0.86, 0.50), (0.70, 0.25))$	$((0.89, 0.42), (0.75, 0.20))$	$((0.75, 0.31), (0.65, 0.20))$
$我_{2}$	$((0.65, 0.42), (0.60, 0.18))$	$((0.78, 0.32), (0.62, 0.17))$	$((0.75, 0.27), (0.65, 0.15))$
$我_{三}$	$((0.70, 0.40), (0.41, 0.28))$	$((0.86, 0.21), (0.48, 0.21))$	$((0.89, 0.10), (0.56, 0.10))$

表9。成分LDF关系

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{三}

.

表9。成分LDF关系

{R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类}

从

问_{1}

到

问_{三}

.

${R（右）}_{D类} \hat{\circ} {P（P）}_{D类}$	${第页}_{1}$	${第页}_{2}$	${第页}_{三}$
${u个}_{1}$	$((0.86, 0.40), (0.70, 0.25))$	$((0.86, 0.35), (0.75, 0.24))$	$((0.78, 0.34), (0.65, 0.24))$
${u个}_{2}$	$((0.75, 0.41), (0.60, 0.25))$	$((0.75, 0.41), (0.60, 0.24))$	$((0.75, 0.34), (0.60, 0.24))$
${u个}_{三}$	$((0.70, 0.50), (0.48, 0.26))$	$((0.78, 0.44), (0.48, 0.26))$	$((0.78, 0.44), (0.56, 0.26))$
${u个}_{4}$	$((0.86, 0.40), (0.70, 0.18))$	$((0.89, 0.32), (0.75, 0.17))$	$((0.86, 0.27), (0.65, 0.15))$

表10。迟滞度

η_{我 k个} = 1 - (γ_{我 k个} θ_{我 k个}^{M（M）} + γ_{我 k个}^{'} θ_{我 k个}^{N个})

.

表10。迟滞度

η_{我 k个} = 1 - (γ_{我 k个} θ_{我 k个}^{M（M）} + γ_{我 k个}^{'} θ_{我 k个}^{N个})

.

$η_{伊克}$	${第页}_{1}$	${第页}_{2}$	${第页}_{三}$
${u个}_{1}$	$0.298$	$0.271$	$0.4114$
${u个}_{2}$	$0.4475$	$0.4516$	$0.4684$
${u个}_{三}$	$0.534$	$0.5112$	$0.4488$
${u个}_{4}$	$0.326$	$0.2781$	$0.3951$

表11。与关联等级

{\ddot{A类}}_{我 k个} = θ_{我 k个}^{M（M）} - θ_{我 k个}^{N个} η_{我 k个}

.

表11。与关联等级

{\ddot{A类}}_{我 k个} = θ_{我 k个}^{M（M）} - θ_{我 k个}^{N个} η_{我 k个}

.

${\ddot{A类}}_{伊克}$	${第页}_{1}$	${第页}_{2}$	${第页}_{三}$
${u个}_{1}$	$0.7408$	$0.76515$	$0.640124$
${u个}_{2}$	$0.566525$	$0.564844$	$0.573904$
${u个}_{三}$	$0.433$	$0.555072$	$0.582528$
${u个}_{4}$	$0.7296$	$0.80104$	$0.75335$

表12。得分值。

${S公司}_{伊克}$	${第页}_{1}$	${第页}_{2}$	${第页}_{三}$
${u个}_{1}$	$0.455$	$0.51$	$0.425$
${u个}_{2}$	$0.345$	$0.35$	$0.385$
${u个}_{三}$	$0.21$	$0.28$	$0.32$
${u个}_{4}$	$0.49$	$0.575$	$0.545$

出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

阿尤布，S。；沙比尔，M。；Riaz，M。；Aslam，M。；R.钦拉姆。线性丢番图模糊关系及其代数性质与决策。对称 2021,13, 945.https://doi.org/10.3390/sym13060945

AMA风格

Ayub S、Shabir M、Riaz M、Aslam M、Chinram R。线性丢番图模糊关系及其代数性质与决策。对称. 2021; 13(6):945.https://doi.org/10.3390/sym13060945

芝加哥/图拉宾风格

Ayub、Saba、Muhammad Shabir、Muhammad Riaz、Muhammad Aslam和Ronnason Chinram。2021.“线性丢番图模糊关系及其代数性质与决策”对称13，编号6:945。https://doi.org/10.3390/sym13060945

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线性丢番图模糊关系及其代数性质与决策

摘要

1.简介

2.前期工作

3.线性丢番图模糊关系（Ldf-关系）

4.LDF关系在决策（DM）中的应用

5.结论

作者贡献

基金

机构审查委员会声明

知情同意书

数据可用性声明

致谢

利益冲突

参考文献

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