2.前期工作
在本节中，我们给出了本文所需的一些基本预备知识。由，我们表示一个完整的DeMorgan代数[16,17]（即。，L（左）是一个具有反序对合的完全分配格，其中⋁和⋀分别是连接和满足操作），是一个集合，并且是每个人的家庭吗L（左）-模糊集定义于X（X）。中最大和最小的成员L（左）和用⊤、和表示,分别是。对于每两个L（左）-模糊集,和任何映射，我们定义对所有人来说和对所有人来说对于每个,,表示元素下面是楔形在里面L（左）[18]即。，如果对于每个任意子集,暗示对一些人来说.一个元素如果意味着或和称为素数当且仅当是共同质数。中的非零余素数（相对非单位素数）成员族L（左）表示为（分别为。). 由和，我们表示的是分别是。和对所有人来说. 安L（左）-模糊集被称为有价值的如果.收集有价值的L（左）-上的模糊集X（X）表示为换句话说，对于每个，我们定义集合通过事实上，介绍的powersetL（左）-模糊集.让和，限制在A类即。，前提是，据说是对L（左）-模糊函数(-模糊函数）A类到B类，由提供如果。与L（左）-模糊集在下面由定义很明显. The
伪补足属于B类相对于A类[13,14]，表示为，由以下公式给出：哪里和.伪补全操作的一些属性在以下建议中列出： 提议 1 [13,14]如果,、和，然后： - (1)
当且仅当.
- (2)
暗示.
- (三)
.
- (4)
和如果.
引理 1 [13]让,,是-模糊函数，以及.那么对于任何，我们有 安L（左）-拓扑[16,17,19](L（左）-t、 简称）是的子家族其中包含,对于任何上确界和有限中缀都是封闭的。此外，被称为L（左）-上的拓扑空间X（X）。此外，成员被称为开放L（左）-模糊集及其补集称为闭集L（左）-模糊集。映射被称为L（左）-连续的当且仅当对于任何.概念L（左）-拓扑是由库比亚克推广的[20]和什斯塔克[21]独立如下： 定义 1 [20,21,22]集合X上的L-fuzzy拓扑是函数，满足以下条件： - (1)
.
- (2)
，每个.
- (三)
，每个.
这对称为L-fuzzy拓扑空间（简称L-fts）。价值观和分别表示L-fuzzy集A的开放度和封闭度。A函数称为L-fuzzy连续iff对于任何.
泛化的尝试之一L（左）-拓扑空间是-拓扑在上L（左）-模糊集A类作者：李和李[13]如下： 定义 2 [13]让.相对L拓扑(-t、 简称）ϰ在L模糊集A上，是，满足以下声明： - (1)
和，每个.
- (2)
，对于任何,.
- (三)
，对于任何.
这对称为a上的相对L-拓扑空间(-ts，简称）。ϰ的元素被称为相对开L-模糊集(-开模糊集）和L模糊集B称为相对L闭模糊集(-闭模糊集，简称）当且仅当.所有-关于ϰ的闭模糊集表示为即。，.让,、和,是两个-ts的。相对L-模糊函数据说是一个-连续iff对于任何等效地，据说是一个-连续iff对于任何.三重由L-fuzzy集组成被赋予-拓扑和在A上称为-双拓扑空间(-简称bts）。对于任何,--开（关）模糊集是指，用于很明显，如果.
以下两个定义扩展了（强）的概念-盖子，-盖子，（坚固）-阴影，（强）-远程采集[23]设置为-拓扑空间： 定义 三。 对于任何,-拓扑ϰ在A上，、和，一个集合称为：
- (1)
-B的封面（如果有），因此和被称为强大-B的封面，如果.
- (2)
-B的封面（如果有），因此.
定义 4 对于任何,-拓扑ϰ在A上，和，一个集合称为：
- (1)
α-B的阴影（如果有）,.
- (2)
B的强α阴影if.
- (三)
α-远程收集B（如果有）,.
- (4)
强α-B的远程采集if.
定理 1 [13]对于任何-ts秒，以下陈述是正确的： - (1)
和对所有人来说.
- (2)
对于每个,,
- (三)
对于每个.
定义 5 [14]让.一个-A上的模糊拓扑是一个函数这样ϰ满足以下条件： - (1)
，每个,.
- (2)
，每个,.
- (三)
，每个.
这对据说是一个-模糊拓扑空间(-fts，简称fts）对于任何、等级（分别为。)可以分别视为B相对于ϰ的开放度（相对封闭度）。此外，（分别为。)确认-开放性（分别。-L模糊集B的贴近度）。显然，如果，然后-A上的模糊拓扑退化为Kubiak-Šostak的L-fuzzy拓扑，即，-A上的模糊拓扑是L模糊拓扑的推广。如果是一个-拓扑空间和是由给定的函数如果、和如果，然后代表一种特殊-英尺，即。，也可以被视为-英尺。
定理 2 [14]对于每个和-英尺关于A.函数由提供对于任何，满足以下条件： - (1)
，每个,.
- (2)
，每个,.
- (三)
，每个.
据说是一个-模糊共拓扑(-cft，简称）在A和对上据说是一个-模糊共拓扑空间(-cfts）。
定义 6 [14]让,、和,是两个-分别在A和B上的模糊拓扑空间。相对L-模糊函数据说是一个-模糊连续iff等效地，对于每个.如果和是相关联的-模糊共拓扑空间和那么据说是一个-模糊连续iff对于每个. 施[24]引入L（左）-模糊闭包算子L（左）-模糊拓扑空间。在下面的定义中，我们在-模糊拓扑空间。 定义 7 让、和成为-fts on A.函数由定义对于每个和被称为-由ϰ导出的模糊闭包算子。 定义 8 [14]对于任何和一个-英尺关于L-模糊集被称为-关于ϰ的模糊紧性（如果有），以下不等式成立： 定理 三。 [14]如果，则以下语句成立： - (1)
,⇔.
- (2)
-模糊紧性被简化为L-fuzzy紧性。
- (三)
B是-模糊紧当且仅当B是L-fuzzy紧。
定理 4 [14]对于任何和一个-ftϰon A，我们得出以下结论： - (1)
如果,和,是-模糊紧凑，那么是-模糊紧集。
- (2)
如果,这样的话是一个-模糊紧和是一个-闭模糊集，那么是一个-模糊紧集。
3.半开放的分级RL公司-模糊双拓扑空间
一个系统由L（左）-模糊集有两个-模糊拓扑和在A类被称为-模糊双拓扑空间。贯穿本文我,，2其中如果P（P）那么是任何拓扑性质-P（P）指财产P（P）关于-模糊拓扑.一个L（左）-模糊集的-双拓扑空间被称为--如果存在L（左）-模糊集这样的话.
定义 9 让和成为-A上的模糊双拓扑空间，定义函数通过 然后被称为--B的半开放性分级和这样的话，其中表示B的程度--半开放式和表示B的程度--半封闭。
根据上述定义和定义7，我们可以说明以下推论：
推论 1 让和成为-A上的模糊双拓扑空间，我们有 定理 5 让,,是-A上的拓扑，以及是…的等级--诱导的半开放性和这样的话.然后如果B是--半开放式。
定理 6 让,成为-A上的模糊双拓扑空间，和是…的等级--诱导的半开放性和这样的话然后针对每个，我们有.
推论 2 让,成为-A上的模糊双拓扑空间，和是…的等级--诱导的半开放性和这样的话然后针对每个，我们有.
定理 7 如果,成为-A上的模糊双拓扑空间，和是…的等级--诱导的半开放性和这样的话，然后对于每个.
证明。 让和，那么就存在这样的话和对于任何.因此和.自我们有 这表明.□
推论 三。 让,成为-A上的模糊双拓扑空间，和是…的等级--诱导的半开放性和这样的话.然后对于任何.
4.之间的成对模糊半连续函数RL公司-模糊双拓扑空间
让,、和,是-联邦调查局正在调查A类和B类分别是。安-模糊函数据说是成对的-模糊连续（resp.open）iff和是-模糊连续（相对开放）。
定义 10 让,,和是-fbts分别在A和B上,它们相应的等级--半开放。安-模糊函数称为：
- (1)
成对地-模糊半连续iff各持有.
- (2)
成对地-模糊不定iff为每个人保留.
推论 4 让,,和是-fbts分别在A和B上,它们相应的等级--半开放。然后：
- (1)
是成对的-模糊半连续iff对于每个.
- (2)
是成对的-模糊不定iff对于每个.
定理 8 让,,和是-fbts分别在A和B上,它们相应的等级--半开放。然后：
- (1)
是成对的-模糊半连续iff是成对的-每个都是半连续的.
- (2)
是成对的-模糊不定iff:是成对的-每个人都犹豫不决.
证明。 - (1)
让对于每个和，然后.自是成对的-模糊半连续，那么即。，.因此是--半开放式L（左）-模糊集合.因此是成对的-半连续函数。
相反，让对于每个和，然后.通过成对的半连续性，我们有是--关于因此，对于每个，其中。由此可见.
- (2)
假设C类是--半开放式L（左）-模糊集合，然后.自是成对的-那么模糊的犹豫不决，所以，因此是--半开放式L（左）-模糊集合。所以是成对的-犹豫不决。
相反，让对于每个，然后C类是一个--半开放式.自是成对的-那么，犹豫不决是--半开放式因此，对于任何，其中。由此可见.
□
定理 9 让,、和,是-FBT分别在A和B上。如果-模糊函数是成对的-模糊连续，那么也是成对的-模糊半连续。
证明。 让成对地-模糊连续，那么对于每个和.根据定理6，我们有对于每个.因此是成对的-模糊半连续。□ 定理 10 让,、和,是两个-FBT分别在A和B上。如果是成对的-那么模糊的犹豫不决是成对的-模糊半连续。
证明。 让成对地-那么模糊的犹豫不决对于每个.根据定理6，我们有.因此是成对的-模糊半连续的。□
定理 11 让,,、和,,是-fbts分别在A、B和C上。如果是成对的-模糊半连续和是成对的-模糊连续，那么是成对的-模糊半连续的。
5.中的成对模糊半紧性RL公司-模糊双拓扑空间
定义 11 对于任何和-联邦调查局关于L-模糊集据说是成对的-关于的模糊半紧如果每个，以下不等式成立：哪里是指的所有有限子集合的集合. 定理 12 让和-联邦调查局关于A.一个L-fuzzy集据说是成对的-关于的模糊半紧如果每个，因此 定理 13 如果,成为-A上的fbt，以及，则以下语句等效：
- (1)
B是成对的-模糊半紧。
- (2)
对于所有人，每个强α-远程采集B的情况下具有有限的子集合这是B的（强）α远程收集。
- (三)
对于所有人，每个强α-远程采集B的情况下，存在有限的子集合属于和这样的话是B的（强）β-远程集合。
- (4)
对于所有人，每个强α阴影B的情况下具有有限的子集合这是B的（强）α阴影。
- (5)
对于所有人，每个强α阴影B的情况下，存在有限集合属于和这样的话是B的（强）β阴影。
- (6)
对于所有人和，每个-盖子B的情况下（针对每个)具有有限的子集合这是一个-B的封面。
- (7)
对于所有人以及任何,-盖子B的情况下（针对每个)具有有限的子集合这是一个（强）-B的封面。
定理 14 让,成为-在A上的fbt，、和对于所有α，，则以下语句等效：
- (1)
B是成对的-模糊半紧。
- (2)
对于所有人，每个强者-盖子B的情况下具有有限的子集合这是一个（强）-B的封面。
- (三)
对于所有人，每个强者-盖子B的情况下，存在有限的子集合属于和具有这样的话是（强）-B的封面。
定义 12 让,成为-双拓扑空间，、和L模糊集B称为α-成对-任意函数的模糊半紧iff,---半开盖B的具有有限的子集合这是一个---B的半开盖。
定理 15 让、和成为-双拓扑空间。一个L-模糊集是成对的-模糊半紧iff B是任意α-对偶模糊半紧.
证明。 让B类成双成对-模糊半紧，那么对于任何,和是任何---半开盖B类，我们有和，所以 然后就有了具有.这证明了是---的半开封面B类.
相反，假设每个---半开盖属于B类具有有限次碰撞这是一个---半开盖B类对所有人来说因此，屈服于.因此意味着.所以意味着即，意味着 □
定理 16 让、和成为-模糊双拓扑空间。L-模糊集是成对的-模糊半紧当且仅当B是α成对-模糊半紧对所有人来说.
证明。 让成双成对-模糊半紧，然后针对每个集合，我们有 那么，对所有人来说和，我们有 因此，对于每个，有具有即，针对所有人和，每---半开盖属于B类在里面具有有限的子集合这是一个---半开盖。那么对于每个,B类是-成对地-模糊半紧.
相反，假设,B类是-成对地-模糊半紧然后让每，然后和，即，和≤因此，有具有 然后B类是成对的-模糊半紧.□
引理 2 让、和成为-双拓扑空间，、和.如果B是α-成对-模糊半紧和C是--那么是半封闭的是α-成对的-模糊半紧。
下一个定理是引理2的直接结果：
定理 17 让、和成为-模糊双拓扑空间，以及如果B是成对的-模糊半紧和，然后是成对的-模糊半紧。
引理 三。 让、和成为-双拓扑空间，、和.如果B，C是α成对的-模糊半紧，那么是α-成对的-模糊半紧。
定理 18 让、和成为-模糊双拓扑空间，以及如果B、C是成对的-模糊半紧，那么是成对的-模糊半紧。
引理 4 让,、和,是-bts分别位于A和B上，,、和成双成对-不确定映射。如果D是α-对偶模糊半紧，然后中的α-成对模糊半紧.
定理 19 让,、和,是两个-FBT分别在A和B上，、和成双成对-模糊不定映射。如果D是成对的-模糊半紧，然后是成对的-模糊半紧.
证明。 让天成双成对-模糊半紧.根据定理16，我们有天是-中的成对模糊半紧对所有人来说.根据定理16，是成对的-犹豫不决。因此，通过使用引理4，是-成对地-模糊半紧。那么是成对的-模糊半紧.□
