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第12卷
第10版
10.3390/sym12101653
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第条

具有非奇异核的时间分数反应扩散模型的数值方法

通过
塔亚巴·阿克兰
1,*,
穆罕默德·阿巴斯
2,*,
阿杰马尔·阿里
三,
阿扎尔·伊克巴尔
4和
杜米特鲁·巴莱阿努
5,6,7
1
马来西亚槟城塞恩斯大学数学科学学院，邮编：11800
2
巴基斯坦萨戈达40100萨戈达大学数学系
三
巴基斯坦拉合尔54000巴基斯坦虚拟大学数学系
4
沙特阿拉伯Al Khobar 31952 Mohammad Bin Fahd王子大学数学与自然科学
5
土耳其安卡拉坎卡亚大学文理学院数学系，邮编：06530
6
台湾台中40402中国医科大学医院医学研究部
7
罗马尼亚马古雷-布查尔斯特空间科学研究所，邮编：077125
*
应向其发送信件的作者。
对称 2020,12(10), 1653;https://doi.org/10.3390/sym12101653
收到的提交文件：2020年9月6日/修订日期：2020年9月22日/接受日期：2020年10月1日/发布日期：2020年10月9日
（本文属于特刊对称问题的高级微积分)
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版本说明

摘要

:
时间-分数反应-扩散（TFRD）模型具有广泛的物理观点和理论解释，其数值技术具有重要的概念和应用价值。构造了一种数值方法来求解具有非奇异核的TFRD模型。时间层离散采用Caputo–Fabrizio算子，空间方向采用扩展三次B样条函数。ECBS函数保持了几何不变性、凸壳和对称性。并证明了其无条件稳定性和收敛性。投影数值方法在两个数值例子上进行了测试。理论和数值结果表明，在时间和空间方向上，收敛阶为2。

1.简介

分数阶微积分是对任意非整数阶常微分的一种推广。由于其在工程和科学领域的广泛应用，其研究在过去几年中取得了相当重要的地位。FC被用于通过分数阶微分方程（FODE）模拟物理现象。如今，在化学、电学、生物学、力学、地质学、经济学、信号处理和图像理论等众多应用领域中都发现了光纤通道的其他相关领域[1,2,三,4]. 尽管如此，分数阶导数对于检测各种条件和治疗的遗传特征具有重要的模型。
反应扩散方程（RDEs）自然而然地成为解释物理世界中几个问题适应的模型，如化学、生物等。RDEs用于解释Pt（11 0）上的共氧化作用，概述Pt（10）的时空变化 C类 一 2 + T细胞在 C类 一 2 + -激活释放渠道，金融和水文问题。几种细胞和亚细胞生物学机制可以定义为以化学扩散和反应的形式存在的物种[5,6,7]. 扩散结构由与 t吨 ν 订单的 ν 许多物理模型都是以FODE的形式更准确地建立的。分数导数在模型中效率更高，并且提供了一个极好的工具来解释变量的历史和不同动态系统的继承属性。TFRD模型对由非势能松弛和不规则扩散定义的复杂过程的动力学提供了有价值的描述[8,9]. 在TFRD模型中，时间导数定义了基于可拓的物理现象，被认为是历史物理依赖，空间导数解释了物理过程的路径依赖和全局特征[10].
考虑表单的TFRD模型[11]:
∂ ν Ψ ( x个 , t吨 ) ∂ t吨 ν = d日 ∂ 2 Ψ ( x个 , t吨 ) ∂ x个 2 − α Ψ ( x个 , t吨 ) + 克 ( x个 , t吨 ) , x个 ∈ [ 0 , L（左） ] , t吨 ≥ 0 , 0 < ν < 1 ,
具有初始条件和边界条件：
Ψ ( x个 , 0 ) = 克 ( x个 ) , x个 ∈ [ 0 , L（左） ] Ψ ( 0 , t吨 ) = 小时 1 ( t吨 ) , t吨 ≥ 0 Ψ ( L（左） , t吨 ) = 小时 2 ( t吨 ) ,
哪里 α > 0 是一个常量， d日 > 0 是扩散系数常数 克 ( x个 , t吨 ) , 克 ( x个 ) , 小时 1 ( t吨 ) , 小时 2 ( t吨 ) 是已知函数。 ⏴ ν Ψ ( x个 , t吨 ) ∂ t吨 ν 是Caputo–Fabrizio分数阶导数（CFFD） ν ∈ ( 0 , 1 ) CFFD为FODE的研究带来了一个新的方面。然而，Caputo、Riemann–Liouville等算子表现出幂律的内核，并且在物理问题建模方面存在缺陷。CFFD算子的优点在于它包含一个指数衰减的非奇异核[12]. 它是用指数函数和普通导数卷积构造的，但对于Caputo和Riemann–Liouville分数导数，它保留了不同尺度下异质性和构型的相同固有激发特性[13,14]. 最近有几篇文章讨论了CFFD的应用，例如在质量-弹簧阻尼器系统中[15]，非线性Fisher扩散模型[16]，电路[13]扩散传输系统[14]，分数麦克斯韦流体[17].
在许多情况下，由于分数阶导数的非局部性，分数阶反应扩散模型（FRDM）没有解析精确解。因此，TFRD方程的数值求解具有根本的科学意义和实用意义。Rida等人[18]通过广义微分变换方法求解TFRD模型。Turut和Güzel[19]应用卡普托导数和多元Padé逼近对TFRD模型进行数值求解。Gong等人[20]发展了一种基于区域分解算法求解TFRD方程的数值方法。Sungu和Demir[21]推导了求解TFRD模型的混合广义微分法和有限差分法。在文献中可以看到TFRD模型的几种数值技术；例如显式FDM[22], H（H） 1 -Galerkin混合有限元法[23]，隐式FDM[24]，显式-隐式和隐式-显式方法[10]，勒让德-陶谱法[25]. 埃尔索伊和达格[26]使用指数三次B样条技术求解FRDM。Zheng等人[27]提出了基于FDM和谱逼近的移动边界FRDM的数值算法。Owelabi和Dutta[28]考虑拉普拉斯变换和傅里叶变换对FRDM进行数值求解。Zeynab和Habibollah[29]利用小波运算矩阵和B样条尺度函数对分数反应-对流-扩散模型进行了数值求解。Kanth和Garg[11]提出了指数三次B样条函数来求解具有Dirichlet边界条件的TFRD方程。Pandey等人[30]利用同位微扰和拉普拉斯变换得到了多孔介质中TFRD方程的数值解。
ECBS是一种非常著名的近似方法，由区间内的自由参数和类的分段多项式函数组成 C类 2 [ 一 , b条 ] Akram等人[31,32]在Caputo和Riemann–Liouville意义下，利用ECBS解决了时间分数扩散问题。基于ECBS函数的各种数值技术已被用于近似分数阶偏微分模型，例如线性和非线性时间分数阶电报模型[33,34]，分数费希尔模型[35]，时间分数Burger模型[36]，分数Klein–Gordon模型[37]，时间分数阶扩散波模型[38]，分数平流扩散模型[39].
本研究的目标是探索TFRD模型的数值技术，这是一种隐式方法，基于ECBS和CFFD方法。这种非奇异核算子首次用于B样条方法。到目前为止，使用ECBS近似法，TFRD模型还没有发展到作者所理解的最高水平。本文内容如下：CFFD算子和ECBS函数定义于第2节FDM方面的时间离散化在第3节为了求解TFRD模型，在中实现了CFFD和ECBS第4节.在中证明了无条件稳定性和收敛性第5节和第6节分别是。第7节和第8节包括数值结果和结论。

2.前期工作

定义 1
CFFD公司[12]公式如下：
∂ ν F类 ( t吨 ) ∂ t吨 ν = M（M） ( ν ) 1 − ν ∫ 0 t吨 F类 ′ ( ξ ) 经验 [ − ν ( t吨 − ξ ) 1 − ν ] d日 ξ ,
哪里 M（M） ( ν ) 是一个规范化函数，所以 M（M） ( 0 ) = M（M） ( 1 ) = 1 .
根据定义1，可以得出以下结论： F类 ( t吨 ) 是一个常数函数，则CFFD为 F类 ( t吨 ) 与卡普托导数类似，为零。然而，内核没有奇异性。带订单的CFFD 0 < ν < 1 可以定义为[40]:
∂ ν F类 ( t吨 ) ∂ t吨 ν = 1 1 − ν ∫ 0 t吨 F类 ′ ( ξ ) 经验 [ − ν ( t吨 − ξ ) 1 − ν ] d日 ξ ,

基本函数

考虑 { x个 k个 } 是基于现有间隔的等长分区 k个 ∈ Z轴 因此，假定节距被划分为N个等效子间隔为 x个 k个 = x个 0 + k个 小时 ，其中小时是步长。ECBS功能[41]在网格点 x个 k个 在假定区间上的公式如下：
E类 我 ( x个 , δ ) = 1 24 小时 4 4 小时 ( 1 − δ ) ( x个 − x个 k个 − 2 ) 三 + 三 δ ( x个 − x个 k个 − 2 ) 4 , x个 ∈ [ x个 k个 − 2 , x个 k个 − 1 ) , ( 4 − δ ) 小时 4 + 12 小时 三 ( x个 − x个 k个 − 1 ) + 6 小时 2 ( 2 + δ ) ( x个 − x个 k个 − 1 ) 2 − 12 小时 ( x个 − x个 k个 − 1 ) 三 − 三 δ ( x个 − x个 k个 − 1 ) 4 , x个 ∈ [ x个 k个 − 1 , x个 k个 ) , ( 4 − δ ) 小时 4 + 12 小时 三 ( x个 k个 + 1 − x个 ) + 6 小时 2 ( 2 + δ ) ( x个 k个 + 1 − x个 ) 2 − 12 小时 ( x个 k个 + 1 − x个 ) 三 − 三 δ ( x个 k个 + 1 − x个 ) 4 , x个 ∈ [ x个 k个 , x个 k个 + 1 ) , 4 小时 ( 1 − δ ) ( x个 k个 + 2 − x个 ) 三 + 三 δ ( x个 k个 + 2 − x个 ) 4 , x个 ∈ [ x个 k个 + 1 , x个 k个 + 2 ) , 0 , 否则 .
哪里 k个 = − 1 ( 1 ) N个 + 1 , δ ∈ 对 在中 [ − 8 , 1 ] 是一个参数，并且 x个 ∈ 对 是一个变量。对于 δ ∈ [ − 8 , 1 ] 三次B样条函数和ECBS函数具有相同的属性，例如对称性，如果控制点定义为相反的顺序，则会产生相同的曲线形状，凸包和不变性也分别称为旋转、平移和缩放。对于 δ = 0 ，ECBS转换为三次B样条曲线。图1描述了不同节点处的基图，彩色部分是分段函数。当控制点描述方向相反时，将生成相同的曲线形状。
对于函数 Ψ ( x个 , t吨 ) 有一种独特的 Ψ ^ ( x个 , t吨 ) ，以确保规定的条件
Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 米 ( t吨 ) E类 k个 ( x个 , δ ) ,
其中基于时间的待定系数 C类 j个 ( t吨 ) 的是由这种独特的约束执行的。关系(5)和(6)得出以下方程式
Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 ( t吨 ) E类 k个 ( x个 , δ ) = 4 − δ 24 C类 j个 − 1 + 8 + δ 12 C类 j个 + 4 − δ 24 C类 j个 + 1
Ψ ^ ′ ( x个 , t吨 ) = ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 ( t吨 ) E类 k个 ′ ( x个 , δ ) = − 1 2 小时 C类 j个 − 1 + 1 2 小时 C类 j个 + 1
Ψ ^ ′ ′ ( x个 , t吨 ) = ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 ( t吨 ) E类 k个 ′ ′ ( x个 , δ ) = 2 + δ 2 小时 2 C类 j个 − 1 + − 4 + 2 δ 2 小时 2 C类 j个 + 2 + δ 2 小时 2 C类 j个 + 1 .

3.CFFD的有限差分逼近

在这一部分中，我们考虑了CFFD在时间维度上的离散化。假设 t吨 米 = t吨 0 + 米 τ , 米 = 0 , 1 , . . . , M（M） 在哪儿 τ = T型 M（M） 是时间方向上的步长。FDM用于CFFD的离散化。使用方程式(4)，CFFD可以描述为：
⏴ Ψ ν ( x个 , t吨 米 + 1 ) ∂ t吨 ν = 1 1 − ν ∫ 0 t吨 米 + 1 ∂ Ψ ( x个 , η ) ∂ η 经验 [ − ν 1 − ν ( t吨 米 + 1 − η ) ] d日 η = 1 1 − ν ∑ 第页 = 0 米 ∫ t吨 米 t吨 米 + 1 ∂ Ψ ( x个 , η ) ∂ η 经验 [ − ν 1 − ν ( t吨 米 + 1 − η ) ] d日 η = 1 1 − ν ∑ 第页 = 0 米 [ Ψ ( x个 , t吨 第页 + 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 第页 ) τ + 哦 ( τ ) ] ∫ t吨 米 t吨 米 + 1 经验 [ − ν 1 − ν ( t吨 米 + 1 − η ) ] d日 η = 1 τ ( 1 − ν ) ∑ 第页 = 0 米 [ Ψ ( x个 , t吨 第页 + 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 第页 ) ] 经验 [ − ν 1 − ν ( t吨 米 + 1 − η ) ] ν 1 − ν t吨 第页 t吨 第页 + 1 + 对 τ ν
对于 米 = 0 ，则上述等式变为
∂ Ψ ν ( x个 , t吨 米 + 1 ) ∂ t吨 ν ≈ 1 τ ν [ Ψ ( x个 , t吨 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 0 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] 经验 [ − ν 1 − ν τ ]
对于 米 = 1 ，我们获得
∂ Ψ ν ( x个 , t吨 米 + 1 ) ∂ t吨 ν ≈ 1 τ ν [ Ψ ( x个 , t吨 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 0 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] 经验 [ − ν 1 − ν 2 τ ] + 1 τ ν [ Ψ ( x个 , t吨 2 ) − Ψ ( x个 , t吨 1 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] 经验 [ − ν 1 − ν τ ]
广义形式可以写成
∂ Ψ ν ( x个 , t吨 米 + 1 ) ∂ t吨 ν = 1 τ ν ∑ 第页 = 0 米 ω 第页 [ Ψ ( x个 , t吨 米 − 第页 + 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 米 − 第页 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] + 对 τ ν ,
哪里 ω 第页 = 经验 [ − ν 1 − ν τ 第页 ] ，的特点 ω 第页 系数可以很容易地证明：
  • ω 0 = 1
  • ω 0 > ω 1 > ω 2 > … > ω 第页 , ω 第页 → 0 作为 第页 → ∞
  • ω 第页 > 0 对于 第页 = 0 , 1 , … , 米
  • ∑ 第页 = 0 米 ( ω 第页 − ω 第页 + 1 ) + ω 第页 + 1 = ( 1 − ω 1 ) + ∑ 第页 = 1 米 − 1 ( ω 第页 − ω 第页 + 1 ) + ω 米 = 1 .
备注 1
的图形结果 ω 第页 = 经验 [ − ν 1 − ν τ 第页 ] 显示了渐近行为。
定理 1
假设 Ψ ( x个 ) 是一个函数满足 C类 2 [ 一 , b条 ] 和分数导数 0 < ν < 1 然后在结处计算CFFD t吨 米 + 1 是
∂ Ψ ν ( x个 , t吨 米 + 1 ) ∂ t吨 ν = 1 τ ν ∑ 第页 = 0 米 ω 第页 [ Ψ ( x个 , t吨 米 − 第页 + 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 米 − 第页 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] + 哦 ( τ 2 ) .
证明。 
发件人(10)，我们有
对 τ ν = 1 1 − ν ∑ 第页 = 0 米 ∫ t吨 米 t吨 米 + 1 经验 [ − ν 1 − ν ( t吨 米 + 1 − η ) ] 哦 ( τ ) d日 η = 1 1 − ν ∑ 第页 = 0 米 经验 [ − ν 1 − ν ( t吨 米 + 1 − η ) ] ν 1 − ν t吨 第页 t吨 第页 + 1 哦 ( τ ) = 1 ν ∑ 第页 = 0 米 经验 [ − ν 1 − ν ( 米 − 第页 ) τ ] − 经验 [ − ν 1 − ν ( 米 − 第页 + 1 ) τ ] 哦 ( τ )
通过扩张，我们
对 τ ν = 1 − 经验 [ − ν 1 − ν ( 米 + 1 ) τ ] 哦 ( τ ) .
从指数函数的泰勒级数，我们得到
对 τ ν ≈ ν 1 − ν ( 米 + 1 ) τ 哦 ( τ ) .
因此，我们获得了预期的结果
∂ Ψ ν ( x个 , t吨 米 + 1 ) ∂ t吨 ν = 1 τ ν ∑ 第页 = 0 米 ω 第页 [ Ψ ( x个 , t吨 米 − 第页 + 1 ) − Ψ ( x个 , t吨 米 − 第页 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] + 哦 ( τ 2 ) .
 □

4.方法说明

在这一部分中，我们使用CFFD和ECBS建立了求解TFRD方程的数值方法。使用关系(6)和(10)在方程式中(1)，我们获得
1 τ ν ∑ 第页 = 0 米 ω 第页 [ Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 − 第页 + 1 ) − Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 − 第页 ) ] 1 − 经验 [ − ν 1 − ν τ ] − d日 ∂ 2 Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) ∂ x个 2 + α Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) = 克 ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) .
重新排列方程式(13)，我们有
α 1 τ ν Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) − d日 Ψ ^ ′ ′ ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) + α Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) = α 1 τ ν Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 ) − α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 ω 第页 [ Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 − 第页 + 1 ) − Ψ ^ ( x个 我 , t吨 米 − 第页 ) ] + 克 ( x个 我 , t吨 米 + 1 ) .
上述方程式可以写成
α 1 τ ν ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 米 + 1 E类 k个 − d日 ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 米 + 1 E类 k个 ′ ′ + α ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 米 + 1 E类 k个 = α 1 τ ν ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 0 E类 k个 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] ∑ k个 = j个 − 1 j个 + 1 C类 k个 米 − 第页 E类 k个 + 克 k个 米 + 1 .
方程式(14)可以用矩阵形式表示为
A类 C类 米 + 1 = B类 C类 0 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] C类 米 − 第页 + H（H）
哪里
A类 = q个 1 q个 2 q个 1 0 … … 0 0 q个 1 q个 2 q个 1 … … 0 ⋮ … ⋱ ⋱ ⋱ … ⋮ ⋮ … … q个 1 q个 2 q个 1 0 0 … … … q个 1 q个 2 q个 1
B类 = 第页 1 第页 2 第页 1 0 … … 0 0 第页 1 第页 2 第页 1 … … 0 ⋮ … ⋱ ⋱ ⋱ … ⋮ ⋮ … … 第页 1 第页 2 第页 1 0 0 … … … 第页 1 第页 2 第页 1
第页 1 = 4 − δ 24 , 第页 2 = 8 + δ 12 , 第页 三 = 1 2 小时 , 第页 4 = 2 + δ 2 小时 2 , 第页 4 = − 2 + δ 小时 2 , q个 1 = α 1 τ ν + α 第页 1 − d日 第页 4 , q个 2 = α 1 τ ν + α 第页 2 − d日 第页 5 和 H（H） = [ 克 0 米 + 1 , 克 1 米 + 1 , . . . , 克 N个 + 1 米 + 1 ] T型 .上述矩阵系统具有顺序 ( N个 + 1 ) × ( N个 + 1 ) .边界条件中的两个线性方程是唯一解所必需的。要在系统上开始迭代，必须获得初始向量，我们将对初始向量使用以下初始条件：
Ψ ^ 0 ′ = Ψ ( x个 0 ) , Ψ ^ k个 0 = Ψ ( x个 k个 ) , k个 = 0 , 1 , 2 , . . . , N个 Ψ ^ N个 ′ = Ψ ( x个 N个 ) .

5.稳定性分析

稳定性原则与计算方法误差有关，这些误差不会随着程序的继续而增加。我们将使用冯·诺依曼方法分析稳定性。假设 ξ 米 以傅里叶模式的形式表示生长因子和 ξ ^ 米 是计算出的解。因此，我们将错误项定义为米第个时间段为
Φ 米 = ξ 米 − ξ ^ 米 .
替代方程式(19)英寸(14)，我们得到了如下的误差方程：
α 1 τ ν Φ 米 + 1 − d日 Φ x个 x个 米 + 1 + α Φ 米 + 1 = α 1 τ ν Φ 0 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] Φ 米 − 第页 .
假设一个傅里叶模式下ECBS函数的差分方程为
Φ k个 米 = λ 米 e（电子） 我 γ 小时 k个 ,
哪里 小时 . λ , γ 和 我 = − 1 分别是元素的大小、傅里叶系数、模式数。使用方程式(21)和ECBS功能(20)，我们获得
α 1 τ ν + α ( 第页 1 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 − 1 ) + 第页 2 e（电子） 我 γ 小时 k个 + 第页 1 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 + 1 ) ) − d日 ( 第页 4 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 − 1 ) + 第页 5 e（电子） 我 γ 小时 k个 + 第页 4 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 + 1 ) ) λ 米 + 1 = α 1 τ ν ( 第页 1 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 − 1 ) + 第页 2 e（电子） 我 γ 小时 k个 + 第页 1 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 + 1 ) ) λ 0 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] ( 第页 1 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 − 1 ) + 第页 2 e（电子） 我 γ 小时 k个 + 第页 1 e（电子） 我 γ 小时 ( k个 + 1 ) ) λ 米 − 第页 .
全部除以 e（电子） 我 γ 小时 k个 以及条款的重组，我们实现了
α 1 τ ν + α ( 第页 2 + 2 第页 1 余弦 ( γ 小时 ) ) − d日 ( 第页 5 + 2 第页 4 余弦 ( γ 小时 ) ) λ 米 + 1 = α 1 τ ν ( 第页 2 + 2 第页 1 余弦 ( γ 小时 ) ) λ 0 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] ( 第页 2 + 2 第页 1 余弦 ( γ 小时 ) ) λ 米 − 第页 ,
取双方通用的术语，然后除以 第页 2 + 2 第页 1 余弦 ( γ 小时 ) ，我们达到
α 1 τ ν + α + d日 μ λ 米 + 1 = α 1 τ ν λ 0 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] λ 米 − 第页 ,
哪里 μ = 12 ν ( 2 + δ ) 罪 2 γ 小时 / 2 小时 2 ( 6 + ( δ − 4 ) 罪 2 γ 小时 / 2 ) > 0 , δ ≠ − 2 .
提议 1
让 λ 米 , 米 = 0 , 1 , … , M（M） 是TFRD方程的解(1)，我们有
| λ 米 | ≤ | λ 0 | , 米 = 0 , 1 , … , M（M） .
证明。 
我们借助数学归纳法验证了这一结果。替代 米 = 0 在方程式中(22)，我们收购
α 1 τ ν + α + d日 μ λ 1 = α 1 τ ν λ 0 .
自 α 1 τ ν + α + d日 μ > α 1 τ ν ，我们有
| λ 1 | ≤ | λ 0 | .
假设 | λ 米 | ≤ | λ 0 | 对于 米 = 0 , 1 , … , M（M） − 1 . 对于 米 + 1 ，我们有
α 1 τ ν + α + d日 μ λ 米 + 1 = α 1 τ ν λ 0 + α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 − 1 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] λ 米 − 第页 α 1 τ ν + α + d日 μ | λ 米 + 1 | ≤ α 1 τ ν | λ 0 | + α 1 τ ν ∑ 第页 = 0 米 − 1 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] | λ 米 − 第页 | = α 1 τ ν ω 第页 + ∑ 第页 = 0 米 − 1 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] | λ 0 | | λ 米 + 1 | ≤ | λ 0 | .
因此 | λ 米 + 1 | = | Φ k个 米 + 1 | ≤ | λ 0 | = | Φ k个 0 | ，所以 ∥ Φ k个 米 + 1 ∥ 2 ≤ ∥ λ 0 ∥ 2 . 这意味着所提出的TFRD模型方法是无条件稳定的。□

6.收敛性分析

首先，我们回顾一些重要的发现来解释收敛性分析。
定理 2
([42,43]).请注意 Ψ ( x个 , t吨 ) ∈ C类 4 [ 一 , b条 ] , 克 ∈ C类 2 [ 一 , b条 ] 和 [ 一 , b条 ] 在等距节点处细分，步长为h。如果 Ψ ˜ ( x个 , t吨 ) 是在节处求解TRFD模型的ECBS近似值 x个 0 , . . . , x个 N个 ∈ [ 一 , b条 ] ，那么就有 σ k个 不含h，因此
∥ D类 k个 ( Ψ ( x个 , t吨 ) − Ψ ˜ ( x个 , t吨 ) ) ∥ ∞ ≤ σ k个 小时 4 − k个 , k个 = 0 , 1 , 2
引理 1
([31,44]).ECBS功能集 { E类 − 1 , E类 0 , . . . , E类 N个 + 1 } 在中进行了解释(5)获得结果
∑ k个 = − 1 N个 + 1 | E类 k个 ( x个 , δ ) | ≤ 7 4 , 0 ≤ x个 ≤ 1 .
定理 三。
这个 Ψ ^ ( x个 , t吨 ) 是分析的计算解 Ψ ( x个 , t吨 ) TFRD模型的。此外，如果 克 ∈ C类 2 [ 0 , 1 ] ，我们获得
∥ Ψ ( x个 , t吨 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 ) ∥ ∞ ≤ S公司 小时 2 , t吨 ≥ 0 ,
其中常量 σ > 0 是h的自由值，h足够小。
证明。 
假设 Ψ ˜ ( x个 , t吨 ) = ∑ k个 = 0 N个 β k个 E类 k个 是确定的解决方案 Ψ ^ ( x个 , t吨 ) .允许TFRD方程的当前方法实现如下配置条件
L（左） Ψ ( x个 k个 , t吨 ) = L（左） Ψ ^ ( x个 k个 , t吨 ) = 克 ( x个 k个 , t吨 ) , k个 = 0 , … , N个
L（左） Ψ ˜ ( x个 k个 , t吨 ) = 克 ˜ ( x个 k个 , t吨 ) , k个 = 0 , … , N个 .
TFRD模型在第m个时间层的ECBS方法的差分方程可以表述为
α 1 τ ν + α ( 第页 1 Φ k个 − 1 米 + 1 + 第页 2 Φ k个 米 + 1 + 第页 1 Φ k个 + 1 米 + 1 ) − d日 ( 第页 4 Φ k个 − 1 米 + 1 + 第页 5 Φ k个 米 + 1 + 第页 4 Φ k个 + 1 米 + 1 ) = α 1 τ ν ( 第页 1 Φ k个 − 1 米 + 第页 2 Φ k个 米 + 第页 1 Φ k个 + 1 米 ) − α 1 τ ν ∑ 第页 = 1 米 ω 第页 [ 第页 1 ( Φ k个 − 1 米 − 第页 + 1 − Φ k个 − 1 米 − 第页 + 1 ) + 第页 2 ( Φ k个 米 − 第页 + 1 − Φ k个 米 − 第页 ) + 第页 1 ( Φ k个 + 1 米 − 第页 − Φ k个 + 1 米 − 第页 ) ] + 克 米 + 1 ,
并且边界条件如下所述：
第页 1 Φ k个 − 1 米 + 1 + 第页 2 Φ k个 米 + 1 + 第页 1 Φ k个 + 1 米 + 1 = 0 , k个 = 0 , N个 ,
哪里
Φ k个 米 = β k个 米 − C类 k个 米 , k个 = − 1 , 0 , … , N个 + 1 .
从定理2可以清楚地看出
κ k个 米 = 小时 2 [ 克 k个 米 − 克 ˜ k个 米 ] ≤ σ 小时 4 .
定义 κ 米 = 最大值 { | κ k个 米 | ; 0 ≤ k个 ≤ N个 } , E类 k个 米 = | Φ k个 米 | 和 E类 米 = 最大值 { | E类 k个 米 | ; 0 ≤ k个 ≤ N个 } . 对于 米 = 0 英寸(27)，我们有
α 1 τ ν + α ( 第页 1 Φ k个 − 1 1 + 第页 2 Φ k个 1 + 第页 1 Φ k个 + 1 1 ) − d日 ( 第页 4 Φ k个 − 1 1 + 第页 5 Φ k个 1 + 第页 4 Φ k个 + 1 1 ) = α 1 τ ν ( 第页 1 Φ k个 − 1 0 + 第页 2 Φ k个 0 + 第页 1 Φ k个 + 1 0 ) + 克 1 .
这意味着
α 1 τ ν + α 第页 2 − d日 第页 5 Φ k个 1 = α 1 τ ν + α 第页 1 − d日 第页 4 ( Φ k个 − 1 1 − Φ k个 + 1 1 ) + 克 1 .
取的绝对值 κ k个 1 , Φ k个 1 从初始条件 E类 0 = 0 ，我们获得
E类 k个 1 ≤ 6 σ 小时 4 ( 2 + δ ) [ ( α 1 τ ν + α ) 小时 2 + 12 d日 ] , k个 = 0 , 1 , … , N个
从边界条件可以得到以下关系：
E类 − 1 1 ≤ ( 20 + δ ) 6 σ 小时 4 ( 4 − δ ) ( 2 + δ ) [ ( α 1 τ ν + α ) 小时 2 + 12 d日 ] ,
E类 N个 + 1 1 ≤ ( 20 + δ ) 6 σ 小时 4 ( 4 − δ ) ( 2 + δ ) [ ( α 1 τ ν + α ) 小时 2 + 12 d日 ] .
因此
E类 1 ≤ σ 1 小时 2 .
在这里 σ 1 独立于h。假设 E类 米 ≤ σ k个 小时 2 , 对于 k个 = 1 , … , N个 .让 σ = 最大值 { σ k个 : 0 ≤ k个 ≤ N个 } , 然后从(27)，我们达到
α 1 τ ν + α ( 第页 1 Φ k个 − 1 米 + 1 + 第页 2 Φ k个 米 + 1 + 第页 1 Φ k个 + 1 米 + 1 ) − d日 ( 第页 4 Φ k个 − 1 米 + 1 + 第页 5 Φ k个 米 + 1 + 第页 4 Φ k个 + 1 米 + 1 ) = ω 第页 α 1 τ ν ( 第页 1 Φ k个 − 1 0 + 第页 2 Φ k个 0 + 第页 1 Φ k个 + 1 0 ) + α 1 τ ν ∑ 第页 = 0 米 − 1 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] ( 第页 1 Φ k个 − 1 米 − 第页 + 第页 2 Φ k个 米 − 第页 + 第页 1 Φ k个 + 1 米 − 第页 ) + 克 米 + 1 .
取的绝对值 κ k个 米 , Φ k个 米 ，我们获得
E类 米 + 1 ≤ 6 σ 小时 2 ( 2 + δ ) [ ( α 1 τ ν + α ) 小时 2 + 12 d日 ] ∑ 第页 = 0 米 − 1 [ ω 第页 − ω 第页 + 1 ] σ 小时 2 + σ 小时 2 .
类似地，从边界条件，我们得到
E类 − 1 米 + 1 ≤ σ 小时 2 , E类 N个 + 1 米 + 1 ≤ σ 小时 2 .
因此，对于每m，我们都有
E类 米 + 1 ≤ σ 小时 2 .
根据上述不等式和定理1，我们得到
Ψ ˜ ( x个 , t吨 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = ∑ k个 = − 1 N个 + 1 ( C类 k个 − β k个 ) E类 k个 ( x个 , δ ) ≤ 7 4 σ 小时 2 .
通过使用三角不等式，我们得到
∥ Ψ ( x个 , t吨 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 ) ∥ ∞ ≤ ∥ Ψ ( x个 , t吨 ) − Ψ ˜ ( x个 , t吨 ) ∥ ∞ + ∥ Ψ ˜ ( x个 , t吨 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 ) ∥ ∞ .
通过使用不等式(24)和(30)，我们获得
∥ Ψ ( x个 , t吨 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 ) ∥ ∞ ≤ σ 0 小时 4 + 7 4 σ 小时 2 = S公司 小时 2 ,
哪里 S公司 = σ 0 小时 2 + 7 4 因此，可以从定理1和3推导出：
∥ Ψ ( x个 , t吨 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 ) ∥ ∞ ≤ S公司 小时 2 + 哦 ( τ 2 ) .
 □

7.数值结果图解

在本部分中，我们将介绍ECBS技术的一些数值结果。理论陈述被验证有误。所有计算结果都可以用任何编程语言进行。ECBS所得结果与分析结果之间的误差 E类 ∞ ( 小时 , τ ) 和 E类 2 ( 小时 , τ ) 估计为
E类 ∞ ( 小时 , τ ) = 最大值 0 ≤ 米 ≤ M（M） ∥ Ψ ( x个 , t吨 米 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 米 ) ∥ ∞ ,
E类 2 ( 小时 , τ ) = ∑ 米 = 0 M（M） | Ψ ( x个 , t吨 米 ) − Ψ ^ ( x个 , t吨 米 ) | 2 ,
可以使用以下定义对收敛顺序进行数值计算：
哦 第页 d日 e（电子） 第页 = 日志 ( E类 ∞ ( N个 k个 ) ) − 日志 ( E类 ∞ ( N个 k个 + 1 ) ) 日志 ( 2 ) ,
哪里 E类 ∞ ( N个 k个 ) 和 E类 ∞ ( N个 k个 + 1 ) 是节点处的误差吗 N个 k个 和 N个 k个 + 1 .
例子 1
考虑表格的TFRD：
∂ ν Ψ ( x个 , t吨 ) ∂ t吨 ν = ∂ 2 Ψ ( x个 , t吨 ) ∂ x个 2 − Ψ ( x个 , t吨 ) + 克 ( x个 , t吨 ) ,
具有
Ψ ( x个 , 0 ) = 0 , 0 ≤ x个 ≤ 1 Ψ ( 0 , t吨 ) = Ψ ( 1 , t吨 ) = t吨 2 , t吨 ≥ 0 .
哪里 克 ( x个 , t吨 ) = 2 ( 1 − x个 ) 罪 ( x个 ) ν t吨 − 1 − ν ν ( 1 − e（电子） − ν t吨 1 − ν ) + 2 t吨 2 [ 余弦 ( x个 ) + ( 1 − x个 ) 罪 ( x个 ) ] 解析解是 Ψ ( x个 , t吨 ) = t吨 2 ( 1 − x个 ) 罪 ( x个 ) [11].
表1显示了对应于各种 ν , N个 = 100 和 τ = 0.005 在 t吨 = 1 2 .表2显示最大误差和收敛顺序 ν = 0.7 , N个 = 40 和 τ = 0.01 , ν = 0.5 分别对应于众多 τ 和小时在 T型 = 1 .表3显示 E类 ∞ 和 E类 2 错误位于 t吨 = 0.5 , t吨 = 0.75 和 T型 = 1 相应的 ν = 0.5 示例1的分段解决方案 N个 = 100 , ν = 0.4 , τ = 0.0025 在 T型 = 1 如方程式所示(31). 多项式还表明，该解基于4次基函数。图2和图3描述不同时间大小的计算结果图和不同错误 τ 相应的 ν = 0.6 .图4显示了 ν = 0.7 , N个 = 80 和 τ = 0.006 在 T型 = 0.6 图形和计算结果表明，随着我们在时间-空间方向上增加分区数量，错误会减少。
分段解决方案如下：
Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = C类 j个 − 1 米 E类 j个 − 1 ( x个 , δ ) + C类 j个 米 E类 j个 ( x个 , δ ) + C类 j个 + 1 米 E类 j个 + 1 ( x个 , δ )
Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = − 1.94072 × 10 − 16 + 1.00666 x个 − x个 2 − 6.73094 x个 三 + 331.117 x个 4 , x个 ∈ [ 0 100 , 01 100 ) , 0.0000132708 + 1.00268 x个 − 0.601559 x个 2 − 20.0333 x个 三 + 332.168 x个 4 , x个 ∈ [ 01 100 , 02 100 ) , 0.000119841 + 0.986686 x个 + 0.198911 x个 2 − 33.4144 x个 三 + 333.165 x个 4 , x个 ∈ [ 02 100 , 03 100 ) , 0.000480787 + 0.950566 x个 + 1.40462 x个 2 − 46.8677 x个 三 + 334.109 x个 4 , x个 ∈ [ 03 100 , 04 100 ) , 0.00133918 + 0.886129 x个 + 3.01837 x个 2 − 60.3869 x个 三 + 334.999 x个 4 , x个 ∈ [ 04 100 , 05 100 ) , ⋮ ⋮ 16.3425 − 136.628 x个 + 433.632 x个 2 − 610.188 x个 三 + 321.231 x个 4 , x个 ∈ [ 47 100 , 48 100 ) , 17.6788 − 144.812 x个 + 449.979 x个 2 − 620.079 x个 三 + 319.709 x个 4 , x个 ∈ [ 48 100 , 49 100 ) , 19.0882 − 153.256 x个 + 466.455 x个 2 − 629.744 x个 三 + 318.134 x个 4 , x个 ∈ [ 49 100 , 50 100 ) , ⋮ ⋮ 162.168 − 678.223 x个 + 1065.79 x个 2 − 744.798 x个 三 + 195.068 x个 4 , x个 ∈ [ 95 100 , 96 100 ) , 165.943 − 686.831 x个 + 1068.11 x个 2 − 738.684 x个 三 + 191.463 x个 4 , x个 ∈ [ 96 100 , 97 100 ) , 169.645 − 694.963 x个 + 1069.65 x个 2 − 732.161 x个 三 + 187.88 x个 4 , x个 ∈ [ 97 100 , 98 100 ) , 173.264 − 702.59 x个 + 1070.39 x个 2 − 725.228 x个 三 + 184.162 x个 4 , x个 ∈ [ 98 100 , 99 100 ) , 176.787 − 709.682 x个 + 1070.31 x个 2 − 717.885 x个 三 + 180.467 x个 4 , x个 ∈ [ 99 100 , 100 100 ) .
例子 2
考虑表格的TFRD：
⏴ ν Ψ ( x个 , t吨 ) ∂ t吨 ν = ∂ 2 Ψ ( x个 , t吨 ) ⏴ x个 2 − Ψ ( x个 , t吨 ) + 克 ( x个 , t吨 ) ,
具有
Ψ ( x个 , 0 ) = 0 , 0 ≤ x个 ≤ 2 Ψ ( 0 , t吨 ) = Ψ ( 2 , t吨 ) = 0 , t吨 ∈ [ 0 , 1 ] .
哪里 克 ( x个 , t吨 ) = 2 x个 ( 2 − x个 ) ν t吨 − 1 − ν ν ( 1 − e（电子） − ν t吨 1 − ν ) + t吨 2 ( 2 − x个 ) x个 + 2 t吨 2 解析解是 Ψ ( x个 , t吨 ) = t吨 2 ( 2 − x个 ) x个 [10,11].
表4显示了最大误差和收敛阶 ν = 0.6 ，不同 τ 和小时.表5证明了计算值和精确值的比较对应于不同的 ν , N个 = 100 和 τ = 0.005 .表6显示 E类 ∞ 和 E类 2 错误发生在 t吨 = 0.5 , t吨 = 0.75 和 T型 = 1 相应的 ν = 0.5 计算值表明，这些结果与精确解是一致的。示例2的分段解 N个 = 100 , ν = 0.4 , τ = 0.002 在 T型 = 1 以公式表示(32). 该多项式还表明我们利用了4次基函数来获得计算结果。图5显示不同时间级别的数值，而图6和图7描述错误的比较 ν = 0.5 在 t吨 = 0.5 绝对误差的时空图 ν = 0.4 , N个 = 100 和 τ = 0.006 在 t吨 = 06 10 .
分段解决方案可以通过以下方式获得：
Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = C类 j个 − 1 米 E类 j个 − 1 ( x个 , δ ) + C类 j个 米 E类 j个 ( x个 , δ ) + C类 j个 + 1 米 E类 j个 + 1 ( x个 , δ )
Ψ ^ ( x个 , t吨 ) = − 8.67362 × 10 − 18 + 2.04601 x个 − x个 2 − 14.201 x个 三 + 358.103 x个 4 , x个 ∈ [ 0 , 02 100 ) , 0.000227971 + 2.01183 x个 + 0.706653 x个 2 − 42.541 x个 三 + 355.496 x个 4 , x个 ∈ [ 02 100 , 04 100 ) , 0.00203554 + 1.87643 x个 + 4.08378 x个 2 − 70.4828 x个 三 + 352.985 x个 4 , x个 ∈ [ 04 100 , 06 100 ) , 0.0080838 + 1.57454 x个 + 9.09789 x个 2 − 98.0488 x个 三 + 350.567 x个 4 , x个 ∈ [ 06 100 , 08 100 ) , 0.022302 + 1.04254 x个 + 15.718 x个 2 − 125.26 x个 三 + 348.238 x个 4 , x个 ∈ [ 08 100 , 10 100 ) , ⋮ ⋮ 248.472 − 1044.27 x个 + 1651.08 x个 2 − 1159.38 x个 三 + 305.1 x个 4 , x个 ∈ [ 94 100 , 96 100 ) , 270.008 − 1111.5 x个 + 1720.99 x个 2 − 1183.52 x个 三 + 305.032 x个 4 , x个 ∈ [ 96 100 , 98 100 ) , 292.945 − 1181.69 x个 + 1792.54 x个 2 − 1207.79 x个 三 + 304.998 x个 4 , x个 ∈ [ 98 100 , 1 ) , ⋮ ⋮ 4634.71 − 9704.42 x个 + 7621.88 x个 2 − 2660.65 x个 三 − 50.7798 x个 4 , x个 ∈ [ 190 100 , 192 100 ) , 4864.23 − 10079.5 x个 + 7834.42 x个 2 − 2706.49 x个 三 + 350.567 x个 4 , x个 ∈ [ 192 100 , 194 100 ) , 5103.99 − 10467 x个 + 8052.84 x个 2 − 2753.4 x个 三 + 352.985 x个 4 , x个 ∈ [ 194 100 , 196 100 ) , 5354.46 − 10870.2 x个 + 8277.37 x个 2 − 2801.43 x个 三 + 355.496 x个 4 , x个 ∈ [ 196 100 , 198 100 ) , 5616.13 − 11286.9 x个 + 8508.26 x个 2 − 2850.62 x个 三 + 358.103 x个 4 , x个 ∈ [ 198 100 , 2 ) .

8.结论

本文报道了一种求解TFRD模型的ECBS配置方法。空间离散采用ECBS方法，时间方向采用CFFD方法。CFFD算子首次用于B样条方法。该运算符已成功用于ECBS方法。这种方法在时间和空间维度上具有二阶精度。因此，具有非奇异核的ECBS方法可以获得准确的计算结果。各种计算实例验证了ECBS配置方法。

作者贡献

概念化，T.A。；方法学、技术与硕士。；软件、T.A.和A.A。；验证、T.A.和M.A。；形式分析、T.A.、M.A.和A.I。；书面原稿编制，T.A。；讨论，T.A.，A.A.和D.B.写作评论和编辑，M.A.，D.B。；融资收购，D.B。；所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者要感谢匿名审稿人仔细阅读了这份手稿，也感谢他们提出的建设性建议，这些建议大大改进了文章。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿使用以下缩写：
芦丁降解酶反应扩散方程
TFRD公司时间分数反应扩散
欧洲商业银行扩展三次B样条
常设费用分数阶微积分
食品和药物分数阶微分方程
CFFD公司Caputo–Fabrizio分数导数
FRDM公司分数反应扩散模型
飞行数据管理有限差分法

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对称12 01653 g001 550
图1。扩展三次B样条（ECBS）函数的绘图。
图1。扩展三次B样条（ECBS）函数的绘图。
对称12 01653 g001
对称12 01653 g002 550
图2。与时间相对应的数值解 ν = 0.7 .
图2。时间对应的数值解 ν = 0.7 .
对称12 01653 g002
对称12 01653 g003 550
图3。对应的错误图 τ 对于 ν = 0.8 , N个 = 100 在 t吨 = 0.5 .
图3。对应的错误图 τ 对于 ν = 0.8 , N个 = 100 在 t吨 = 0.5 .
对称12 01653 g003
对称12 01653 g004 550
图4。相应错误的时空图 ν = 0.3 , N个 = 80 .
图4。相应错误的时空图 ν = 0.3 , N个 = 80 .
对称12 01653 g004
对称12 01653 g005 550
图5。示例2的数值解 ν = 0.5 , N个 = 30 .
图5。示例2的数值解 ν = 0.5 , N个 = 30 .
对称12 01653 g005
对称12 01653 g006 550
图6。对应的绝对误差 ν = 0.5 , N个 = 100 在 t吨 = 0.5 .
图6。对应的绝对误差 ν = 0.5 , N个 = 100 在 t吨 = 0.5 .
对称12 01653 g006
对称12 01653 g007 550
图7。的时空误差图 ν = 0.4 , N个 = 100 在 t吨 = 0.6 .
图7。的时空误差图 ν = 0.4 , N个 = 100 在 t吨 = 0.6 .
对称12 01653 g007
表
表1。的计算值和精确值 N个 = 100 在 T型 = 0.5 .
表1。的计算值和精确值 N个 = 100 在 T型 = 0.5 .
x个 ν = 0.2 ν = 0.4 ν = 0.6 ν = 0.8 精确值
1/200.01187870.01187010.01196120.01230150.0118701
1/100.02247500.02252080.02259320.02307700.0224625
3/200.03176830.03175560.03188790.03237310.0317556
1/50.03974430.03979710.03984150.04023230.0397339
1/40.0463949.046388200.04645500.04669420.0463882
3/100.05171820.05175890.05173440.05179620.0517160
7/200.05571840.05572090.05569010.05557410.0557209
2/50.05840610.05843000.05833770.05806310.0584128
9/200.05979770.05980780.05969730.05929770.0598078
1/20.05991590.05992720.05979400.05931220.0599282
11/200.05878900.05843050.05865760.05814120.0588023
3/50.05645110.05645820.05632240.05581940.0564642
13/200.05294210.05211490.05282720.05238180.0529538
7/100.04830690.04831760.04821510.04786360.0483163
3/40.04259600.04133530.04253330.04229990.0426024
4/50.03586460.03588180.03583330.03572600.0358678
17/200.02817280.02652450.02816990.02817610.0281730
9/100.01958490.01960280.01960160.01968410.0195832
19/200.01016980.01016770.01019010.01028200.0101677
表
表2。的最大错误和顺序 ν = 0.7 , ν = 0.5 相应的 τ 和小时.
表2。的最大错误和顺序 ν = 0.7 , ν = 0.5 相应的 τ 和小时.
τ E类 ∞ 订单小时 E类 ∞ 订单
1 04 0.074687677… 1 05 0.072071696…
1 08 0.0189543321.97834 1 10 0.0177267922.02350
1 16 0.0048141441.97718 1 20 0.0042856292.04835
1 32 0.0012172571.98365 1 40 0.0010148812.07820
表
表3。 E类 ∞ 和 E类 2 对于 ν = 0.5 在不同的时间。
表3。 E类 ∞ 和 E类 2 对于 ν = 0.5 在不同的时间。
τ 小时t=0.5t=0.75T=1
E类 ∞ E类 2 E类 ∞ E类 2 E类 ∞ E类 2
1 100 1 100 0.009085700.000663390.033677500.002450020.063235200.00459440
1 120 1 120 0.005601410.000373910.020261300.001344590.025637100.00169206
1 140 1 140 0.001604970.000099940.007616170.000465340.009307150.00055838
1 160 1 160 0.000846530.000049730.002766160.000155240.004849700.00026462
1 180 1 180 0.000295630.000016790.000445910.000023210.000675430.00002429
表
表4。的错误和顺序 ν = 0.6 相应的 τ 和小时.
表4。的错误和顺序 ν = 0.6 相应的 τ 和小时.
τ E类 ∞ 订单小时 E类 ∞ 订单
1 05 0.055515805… 1 5 0.124485059…
1 10 0.0140379281.98357 1 10 0.0308076752.01461
1 20 0.0035405451.98729 1 20 0.0078022631.98133
1 40 0.0008501802.05813 1 40 0.0019145592.02688
表
表5。实施例2的计算值和精确值对应 N个 = 100 在 T型 = 1 .
表5。实例2的计算值和精确值对应 N个 = 100 在 T型 = 1 .
x个 ν = 0.1 ν = 0.3 ν = 0.5 ν = 0.7 精确值
0.10.1904560.1918390.1962210.2215920.19000
0.20.3606610.3625180.3685660.4015530.36000
0.30.5106880.5123920.5182550.5481090.51000
0.40.6405980.6417530.6462760.6671100.64000
0.50.7504430.7508400.7534190.7627050.75000
0.60.8402620.8398470.8403070.8378200.84000
0.70.9100890.9089240.9074200.8944910.91000
0.80.9599480.9581860.9551140.9341020.96000
0.90.9898570.9877120.9836360.9575400.99000
10.9998260.9975490.9931270.9653001
1.10.9898570.9877120.9836360.9575400.99000
1.20.9599480.9581860.9551140.9341020.96000
1.30.9100890.9089240.9074200.8944910.91000
1.40.8402620.8398470.8403070.8378200.84000
1.50.7504430.7508400.7534190.7627050.75000
1.60.6405980.6417530.6462760.6671100.64000
1.70.5106880.5123920.5182550.5481090.51000
1.80.3606610.3625180.3685660.4015530.36000
1.90.1904560.1918390.1962210.2215920.19000
表
表6。 E类 ∞ 和 E类 2 对于 ν = 0.5 在不同的时间。
表6。 E类 ∞ 和 E类 2 对于 ν = 0.5 在不同的时间。
τ 小时t=0.5t=0.75T=1
E类 ∞ E类 2 E类 ∞ E类 2 E类 ∞ E类 2
1 10 1 10 0.054977500.012868800.048251500.011017500.082072500.01848099
1 20 1 20 0.017838020.002888690.011499500.002442210.019259400.00249855
1 30 1 30 0.007787360.000972530.008534990.001251640.009779950.00107384
1 40 1 40 0.003572660.000345420.005546950.000581490.008072560.00087769
1 50 1 50 0.001068230.000099820.003355850.000336040.006737420.000677613

分享和引用

MDPI和ACS样式

阿克兰，T。；阿巴斯，M。；A.阿里。；伊克巴尔，A。；巴莱努，D。非奇异核时间分数反应扩散模型的数值方法。对称 2020,12, 1653.https://doi.org/10.3390/sym12101653

AMA风格

Akram T、Abbas M、Ali A、Iqbal A、Baleanu D。非奇异核时间分数反应扩散模型的数值方法。对称. 2020; 12(10):1653.https://doi.org/10.3390/sym12101653

芝加哥/图拉宾风格

阿克兰、塔亚巴、穆罕默德·阿巴斯、阿杰马尔·阿里、阿扎尔·伊克巴尔和杜米特鲁·巴利亚努。2020年，“时间分数反应的数值方法——非奇异核扩散模型”对称第12页，第10页：1653。https://doi.org/10.3390/sym12101653

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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