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第12卷
第4版
10.3390/sym12040610
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第条

Riemann–Liouville分数次积分的Hermite–Hadamard不等式的新版本

通过
普什蒂万·奥斯曼·穆罕默德
1和
艾弗·布列维克
2,*
1
伊拉克库尔德斯坦地区苏莱曼尼苏莱曼尼46001，苏莱曼尼大学教育学院数学系
2
挪威科技大学能源与工艺工程系，挪威特隆赫姆N-7491
*
信件应寄给的作者。
对称 2020,12(4), 610;https://doi.org/10.3390/sym12040610
收到的意见：2020年3月18日/修订日期：2020年3月25日/接受日期：2020年3月25日/发布时间：2020年4月12日
版本说明

摘要

:
积分不等式在理论和应用数学领域都发挥着重要作用。很明显，不等式旨在发展不同的数学方法。因此，现在需要寻找精确的不等式来证明数学方法的存在性和唯一性。凸性概念由于其定义的行为，在不等式领域发挥着重要作用。凸性和对称性之间有很强的关系。无论我们从事哪一项工作，我们都可以将其应用于另一项，因为它们之间产生了强烈的相关性，特别是在过去几年。在本文中，我们首先指出与我们的主要发现相关的已知Hermite–Hadamard（HH）型不等式。有鉴于此，我们得到了黎曼-刘维尔分数次积分的一个新的Hermite–Hadamard型不等式。此外，我们还建立了黎曼积分和黎曼-刘维尔分数次积分的几个Hermite–Hadamard型不等式。最后，给出了三个例子来证明我们得到的不等式在修正贝塞尔函数和q个-洋地黄功能。

1.简介

一般来说，积分不等式在数学分析的巨大领域中形成了一个强大而繁荣的研究领域。他们参与了许多常见领域的研究，例如常微分方程、积分方程和偏微分方程[1,2]。特别是，他们参与了分数阶微分方程，特别是分数阶积分不等式的研究，这些不等式在提供分数阶微积分初值和边值问题的边界方面起着至关重要的作用，以及确定某些分数阶微分方程解的存在唯一性[三,4,5,6].
数学分析中最有效的分支是分数微积分，它涉及分数阶或整数或自然数以外的阶的积分和导数。在这里，我们给出了黎曼–刘维尔（RL）定义，以便于讨论上述运算，这些运算最常用于分数导数和积分。
定义 1
([7,8])。让 x个 ∈ J型 : = [ α 三 , α 4 ] 那么，对于任何 L（左） 1 功能 G公司 ¯ 关于区间 J型 ，的ηth left-RL和right-RL分数积分 G公司 ¯ ( x个 ) 分别定义为：
我 α 三 + η G公司 ¯ ( x个 ) = 1 Γ η ∫ α 三 x个 x个 − χ ¯ η − 1 G公司 ¯ ( χ ¯ ) d日 χ ¯ ,
和
我 α 4 − η G公司 ¯ ( x个 ) = 1 Γ η ∫ x个 α 4 χ ¯ − x个 η − 1 G公司 ¯ ( χ ¯ ) d日 χ ¯ ,
哪里 重新 ( η ) > 0 和 Γ ( · ) 表示已知的伽马函数：
Γ ( η ) = ∫ 0 ∞ χ ¯ η − 1 e（电子） − χ ¯ d日 χ ¯ , η > 0 .
最著名的不等式是Hermite–Hadamard（HH）不等式，它与凸函数的积分平均值有很强的关系[9]:
G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ 1 α 4 − α 三 ∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( χ ¯ ) d日 χ ¯ ≤ G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 ,
哪里 G公司 ¯ : J型 ⊆ 对 → 对 假设为凸函数 α 三 , α 4 ∈ J型 具有 α 三 < α 4 .
方程中的HH不等式(2)给出了凸函数平均值的两边近似值，并保证了凸函数的可积性。此外，这是一个备受关注的问题，我们必须注意到，在特殊凸函数的作用下，一些经典的均值不等式可以从Hadamard不等式得到 G公司 ¯ .方程式中的不等式(2)在数学分析以及其他纯数学和应用数学领域中起着至关重要的作用。经典不等式的典型应用是：概率问题、结构工程中的决策和疲劳寿命。
方程中不等式的左右部分不等式(2)称为梯形和中点不等式。有两种类型的研究人员致力于方程式中的不等式(2). 他们中的许多人只研究了梯形不等式[10,11,12]或中点型不等式[13,14]而其他人则同时在这两个方面工作[15,16,17]。梯形不等式和中点不等式都可以用以下定义来解释：
定义 2
([15])。假设 G公司 ¯ : [ α 三 , α 4 ] ⊆ 对 → 对 是开区间上的二次可微函数 ( α 三 , α 4 ) 具有 G公司 ¯ ” ∞ : = 啜饮 x个 ∈ ( α 三 , α 4 ) G公司 ¯ ” ( x个 ) < ∞ 然后，梯形和中点型不等式定义为：
∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( χ ¯ ) d日 χ ¯ − α 4 − α 三 2 [ G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) ] ≤ ( α 4 − α 三 ) 三 12 G公司 ¯ ” ∞ ,
和
∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( χ ¯ ) d日 χ ¯ − α 4 − α 三 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ ( α 4 − α 三 ) 三 24 G公司 ¯ ” ∞ ,
分别是。
从互补的观点看Ostrowski型不等式[18]梯形和中点型不等式提供了通过广义中点和梯形公式估计黎曼积分的先验误差界[15,19]。我们知道奥斯特罗斯基不等式的发展在过去十年中取得了引人注目的进展，发表了2000多篇论文。在离散和积分情况下，发现了许多改进、推广和扩展（参见[16,17]). 讨论了广义形式，例如时间尺度、形式时间可微函数、多重积分或向量值函数的相应形式（参见[15,20]). 在特殊函数、数值分析、概率模型和其他领域的许多应用已经被证明（参见[16])还有。
2013年，Sarikaya等人[12]推广了方程中的Hermite–Hadamard不等式(2)到黎曼-刘维尔类型的分数积分。结果如下：
G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ Γ ( η + 1 ) 2 ( α 4 − α 三 ) η 我 一 + η G公司 ¯ ( α 4 ) + 我 b条 − η G公司 ¯ ( α 三 ) ≤ G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 ,
哪里 G公司 ¯ : [ α 三 , α 4 ] → 对 假设为 L（左） 1 凸函数 η > 0 同时，他们在同一篇论文中得到了一些梯形类型的不等式。
另一方面，Sarikaya和Yildirim[13]引入了新版本的HH不相等（方程式(2))对于Riemann–Liouville分数积分：
G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + α 4 2 + η G公司 ¯ ( α 4 ) + 我 α 三 + α 4 2 − η G公司 ¯ ( α 三 ) ≤ G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 .
同时，他们在同一篇论文中得到了一些中点型不等式。
有许多论文研究Riemann–Liouville分数次积分的积分不等式以及Hermite–Hadamard型不等式的一些新的相关推广（参见[11,12,19,21,22,23,24,25,26,27]更多详细信息）。
本文的目的是引入一个新的Hermite–Hadamard型不等式，并建立Riemann–Liouville分数次积分的几个相关不等式。

2.新厄米特-哈达玛不等式

鉴于方程式中的HH不相等(5)等式中的HH不相等(6)，我们可以推导出HH不相等的以下版本。
提议 1
让 G公司 ¯ : [ α 三 , α 4 ] → 对 成为 L（左） 1 上的凸函数 [ α 三 , α 4 ] 具有 α 三 < α 4 .然后针对 η > 0 ，我们有
2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 三 + α 4 2 + η G公司 ¯ ( α 4 ) + 我 α 三 + α 4 2 − η G公司 ¯ ( α 三 ) ≤ G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 .
此外，我们有以下新的HH不平等
G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 .
证明。 
将HH不等式的右半部分加倍应用于方程式(5)带有 α 三 替换为 α 三 + α 4 2 和 α 4 替换为 α 三 + α 4 2 ，获得
2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + α 4 2 + η G公司 ¯ ( α 4 ) + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ 1 2 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 1 2 G公司 ¯ ( α 4 ) ; 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 三 + α 4 2 − η G公司 ¯ ( α 三 ) ≤ 1 2 G公司 ¯ ( α 三 ) + 1 2 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 .
将这些加在一起，我们可以看到方程式中的不等式(7)是直接证明的。
另一方面，我们可以从方程中的不等式推导(6)和(7),
2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 ,
这给出了等式中不等式的正确部分(8).
通过凸性 G公司 ¯ ，我们可以写
G公司 ¯ x个 ¯ + 年 ¯ 2 ≤ G公司 ¯ x个 ¯ + G公司 ¯ 年 ¯ 2
和用于 x个 ¯ = χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 和 年 ¯ = 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 ，写入
2 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ G公司 ¯ χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 + G公司 ¯ 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 , χ ¯ ∈ [ 0 , 1 ] .
将方程式的两边相乘(10)由 ( 1 − χ ¯ ) η − 1 然后整合双方 χ ¯ 结束 [ 0 , 1 ] ，我们得到
2 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η − 1 d日 χ ¯ ≤ ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η − 1 G公司 ¯ χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ + ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η − 1 G公司 ¯ 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ .
通过改变右侧积分中的变量，我们得到
2 η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ 2 η ( α 4 − α 三 ) η ∫ α 三 + α 4 2 α 4 x个 − α 三 + α 4 2 η − 1 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 + 2 η ( α 4 − α 三 ) η ∫ α 三 α 三 + α 4 2 α 三 + α 4 2 − x个 η − 1 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 .
这可以表示为
G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ,
因此，等式中不等式的左边部分(8)已被证明。因此，方程中的不等式(9)和(11)可以重新排列为方程式中所需的不等式(8).  □
备注 1
方程中的不等式(7)带有 η = 1 变为：
1 α 4 − α 三 ∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 ≤ 1 2 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 1 2 G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 .
备注 2
方程中的不等式(8)带有 η = 1 成为方程式中的不等式(2).
引理 1
如果 G公司 ¯ : [ α 三 , α 4 ] → 对 是一个 L（左） 1 函数，则我们有以下梯形公式等式：
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 = α 4 − α 三 4 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ − ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ .
证明。 
通过使用逐部分积分，然后改变变量，我们得到
ϵ 1 : = ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ = − 2 ( 1 − χ ¯ ) η α 4 − α 三 G公司 ¯ χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 | χ ¯ = 0 1 − 2 η α 4 − α 三 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η − 1 G公司 ¯ χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ = 2 α 4 − α 三 G公司 ¯ ( α 4 ) − 2 η + 1 η ( α 4 − α 三 ) η + 1 ∫ α 三 + α 4 2 α 4 u个 − α 三 + α 4 2 η − 1 G公司 ¯ ( u个 ) d日 u个 = 2 α 4 − α 三 G公司 ¯ ( α 4 ) − 2 η + 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η + 1 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 .
类似地，我们有
ϵ 2 : = ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ = 2 ( 1 − χ ¯ ) η α 4 − α 三 G公司 ¯ 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 | χ ¯ = 0 1 + 2 η α 4 − α 三 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η − 1 G公司 ¯ 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ = − 2 α 4 − α 三 G公司 ¯ ( α 三 ) + 2 η + 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η + 1 ∫ α 三 α 三 + α 4 2 α 三 + α 4 2 − v（v） η − 1 G公司 ¯ ( v（v） ) d日 v（v） = 2 η + 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η + 1 G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 2 η + 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η + 1 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 .
因此，我们
α 4 − α 三 4 ϵ 1 − ϵ 2 = G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 .
这就结束了引理1的证明。 □
备注 三。
注意：
1 
等式中的等式(12)带有 1 − χ ¯ 替换为 χ ¯ 成为以下中点公式等式：
2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + α 4 2 + η G公司 ¯ ( α 4 ) + 我 α 三 + α 4 2 − η G公司 ¯ ( α 三 ) − G公司 ¯ α 三 + α 4 2 = α 4 − α 三 4 ∫ 0 1 χ ¯ η G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ − ∫ 0 1 χ ¯ η G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ ,
这在之前的[13]Sarikaya和Yildirim。
2 
等式中的等式(12)带有 η = 1 变为以下梯形公式等式
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 1 α 4 − α 三 ∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 = α 4 − α 三 4 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ − ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ .
定理 1
如果 G公司 ¯ : [ α 三 , α 4 ] → 对 是一个 L（左） 1 函数的凸性 | G公司 ¯ ' | ϱ , ϱ ≥ 1 在 [ α 三 , α 4 ] 具有 α 三 < α 4 ，我们有以下梯形公式不等式：
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ α 4 − α 三 4 ( η + 1 ) 1 − 1 ϱ { B类 ( 2 , η + 1 ) 2 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 2 − ( η + 1 ) B类 ( 2 , η + 1 ) 2 ( η + 1 ) | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 1 ϱ + 2 − ( η + 1 ) B类 ( 2 , η + 1 ) 2 ( η + 1 ) | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + B类 ( 2 , η + 1 ) 2 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 1 ϱ } ,
哪里 B类 ( · , · ) 表示beta函数：
B类 ( ξ 1 , ξ 2 ) = ∫ 0 1 χ ξ 1 − 1 ( 1 − χ ) ξ 2 − 1 d日 χ .
证明。 
起初，我们让 ϱ = 1 然后，通过利用引理1和 | G公司 ¯ ' | ，我们有
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ α 4 − α 三 4 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 + G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 d日 χ ¯ ≤ α 4 − α 三 4 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η d日 χ ¯ = α 4 − α 三 4 ( η + 1 ) | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | .
对于 ϱ > 1 ，我们使用引理1、幂-曼不等式和 | G公司 ¯ ' | ϱ 得到
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ α 4 − α 三 4 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η d日 χ ¯ 1 − 1 ϱ { ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ + ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ } ≤ α 4 − α 三 4 ( η + 1 ) 1 − 1 ϱ { ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 2 − χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ + ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η 2 − χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ } = α 4 − α 三 4 ( η + 1 ) 1 − 1 ϱ { B类 ( 2 , η + 1 ) 2 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 2 − ( η + 1 ) B类 ( 2 , η + 1 ) 2 ( η + 1 ) | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 1 ϱ + 2 − ( η + 1 ) B类 ( 2 , η + 1 ) 2 ( η + 1 ) | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + B类 ( 2 , η + 1 ) 2 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 1 ϱ } ,
其中使用了以下事实：
∫ 0 1 χ ¯ 2 ( 1 − χ ¯ ) η d日 χ ¯ = B类 ( 2 , η + 1 ) 2 ; ∫ 0 1 χ ¯ 2 ( 1 − χ ¯ ) η d日 χ ¯ = 1 η + 1 − B类 ( 2 , η + 1 ) 2 .
这样，我们就完成了。 □
备注 4
注意：
1 
方程中的不等式(13)带有 η = 1 变为以下梯形公式不等式：
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 1 α 4 − α 三 ∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 ≤ α 4 − α 三 8 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ 6 + 5 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 6 1 ϱ + 5 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ 6 + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 6 1 ϱ .
2 
方程中的不等式(13)带有 η = 1 和 ϱ = 1 变为以下梯形公式不等式：
G公司 ¯ α 三 + G公司 ¯ α 4 2 − 1 α 4 − α 三 ∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 ≤ α 4 − α 三 8 G公司 ¯ ' ( α 三 ) + G公司 ¯ ' ( α 4 ) .
定理 2
如果 G公司 ¯ : [ α 三 , α 4 ] → 对 是一个 L（左） 1 函数的凸性 | G公司 ¯ ' | ϱ , ϱ ≥ 1 在 [ α 三 , α 4 ] 具有 α 三 < α 4 ，我们有以下梯形公式不等式：
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ α 4 − α 三 4 ( η 第页 + 1 ) 1 ϱ ¯ | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 三 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 4 1 ϱ + 三 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 4 1 ϱ ,
哪里 1 ϱ ¯ + 1 ϱ = 1 .
证明。 
利用引理1、Hölder不等式和 | G公司 ¯ ' | ϱ ，我们得到
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 2 η − 1 Γ ( η + 1 ) ( α 4 − α 三 ) η 我 α 三 + η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 + 我 α 4 − η G公司 ¯ α 三 + α 4 2 ≤ α 4 − α 三 4 ∫ 0 1 ( 1 − χ ¯ ) η d日 χ ¯ 1 − 1 ϱ { ∫ 0 1 G公司 ¯ ' χ ¯ 2 α 三 + 2 − χ ¯ 2 α 4 ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ + ∫ 0 1 G公司 ¯ ' 2 − χ ¯ 2 α 三 + χ ¯ 2 α 4 ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ } ≤ α 4 − α 三 4 ( η 第页 + 1 ) 1 − 1 ϱ { ∫ 0 1 χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 2 − χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ + ∫ 0 1 2 − χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + χ ¯ 2 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ d日 χ ¯ 1 ϱ } = α 4 − α 三 4 ( η 第页 + 1 ) 1 ϱ ¯ | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 三 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 4 1 ϱ + 三 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 4 1 ϱ ,
重新安排到证明中。 □
备注 5
方程中的不等式(16)带有 η = 1 变为以下梯形公式不等式：
G公司 ¯ ( α 三 ) + G公司 ¯ ( α 4 ) 2 − 1 α 4 − α 三 ∫ α 三 α 4 G公司 ¯ ( x个 ) d日 x个 ≤ α 4 − α 三 4 ( 第页 + 1 ) 1 ϱ ¯ | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + 三 | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 4 1 ϱ + 三 | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | ϱ + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | ϱ 4 1 ϱ ≤ α 4 − α 三 4 4 ϱ ¯ + 1 1 ϱ ¯ | G公司 ¯ ' ( α 三 ) | + | G公司 ¯ ' ( α 4 ) | .

3.示例

有许多应用可以证明积分不等式的使用，特别是在实数的特殊方法上的应用[10,14,16]。在本节中，我们给出了一些示例来演示我们所得结果在修正贝塞尔函数和q个-digamma函数。修正的贝塞尔函数在介质球的卡西米尔理论中起着重要作用（参见，例如[28,29,30])。
例子 1
考虑功能 我 ϱ ¯ : 对 → [ 1 , ∞ ) ，由定义
我 ϱ ¯ ( z ) = 2 ϱ ¯ Γ ( ϱ ¯ + 1 ) z − v（v） 我 ϱ ¯ ( z ) , z ∈ 对 .
这里，我们考虑第一类修正贝塞尔函数 我 ϱ ¯ ，由定义[31]:
我 ϱ ¯ ( z ) = ∑ n个 = 0 ∞ z 2 ϱ ¯ + 2 n个 n个 ！ Γ ( ϱ ¯ + n个 + 1 ) .
的一阶导数公式 我 ϱ ¯ ( z ) 由提供[31]:
我 ϱ ¯ ' ( z ) = z 2 ( ϱ ¯ + 1 ) 我 ϱ ¯ + 1 ( z ) .
利用备注2和方程式中的恒等式(17)，我们可以推断
我 ϱ ¯ ( α 4 ) − 我 ϱ ¯ ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ α 三 我 ϱ ¯ + 1 ( α 三 ) + α 4 我 ϱ ¯ + 1 ( α 4 ) 4 ( 第页 + 1 )
对于 ϱ ¯ > − 1 , α 三 , α 4 ∈ 对 具有 0 < α 三 < α 4 具体来说 我 − 1 2 ( z ) = 科什 ( z ) 和 我 1 2 ( z ) = 新几内亚 ( z ) z ，我们得到
科什 ( α 4 ) − 科什 ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ 新几内亚 ( α 三 ) + 新几内亚 ( α 4 ) 2 .
对于备注1中提出的不等式，我们也可以使用上述相同的方法得到以下不等式：
我 ϱ ¯ ( α 4 ) − 我 ϱ ¯ ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ α 三 + α 4 8 ( ϱ ¯ + 1 ) 我 ϱ ¯ + 1 α 三 + α 4 2 + α 三 我 ϱ ¯ + 1 ( α 三 ) + α 4 我 ϱ ¯ + 1 ( α 4 ) 8 ( ϱ ¯ + 1 ) .
特别地，
科什 ( α 4 ) − 科什 ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ 1 2 新几内亚 α 三 + α 4 2 + 新几内亚 ( α 三 ) + 新几内亚 ( α 4 ) 4 .
例子 2
这里，我们考虑第二类修正贝塞尔函数 K（K） ϱ ¯ ，由定义[31]:
K（K） ϱ ¯ ( z ) = π 2 我 − ϱ ¯ ( z ) + 我 ϱ ¯ ( z ) 罪 ( ϱ ¯ π ) .
让 G公司 ¯ ϱ ¯ ( z ) : = − K（K） ϱ ¯ ( z ) z ϱ ¯ ' 具有 ϱ ¯ ∈ 对 考虑积分表示[31]:
K（K） ϱ ¯ ( z ) = ∫ 0 ∞ e（电子） − z 科什 t吨 科什 ( ϱ ¯ t吨 ) d日 t吨 , z > 0 .
很明显 z ↦ K（K） ϱ ¯ ( z ) 是区间上的完全单调函数 ( 0 , ∞ ) 为所有人 ϱ ¯ ∈ 对 .由于两个完全单调函数的乘积也是完全单调的， z ↦ G公司 ¯ ϱ ¯ ( z ) 是一个严格完全单调的函数 ϱ ¯ > 1 因此，函数
G公司 ¯ ϱ ¯ ( z ) = − K（K） ϱ ¯ ( z ) z ϱ ¯ ' = K（K） ϱ ¯ + 1 ( z ) z ϱ ¯
在区间上严格地完全单调 ( 0 , ∞ ) 为所有人 ϱ ¯ > 1 因此 G公司 ¯ ϱ ¯ 是一个凸函数。然后，利用备注2和方程式中的恒等式(2)，我们可以推断
α 三 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ ( α 4 ) − α 4 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ α 4 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ + 1 ( α 三 ) + α 三 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ + 1 ( α 4 ) 2
对于每个 ϱ ¯ > 1 和 α 三 , α 4 ∈ 对 具有 0 < α 三 < α 4 .
对于备注1中提出的不等式，我们也可以使用上述相同的方法得到以下不等式：
α 三 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ ( α 4 ) − α 4 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ 1 2 2 α 三 α 4 α 三 + α 4 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ + 1 α 三 + α 4 2 + α 4 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ + 1 ( α 三 ) + α 三 ϱ ¯ K（K） ϱ ¯ + 1 ( α 4 ) 4
对于每个 ϱ ¯ > 1 和 α 三 , α 4 ∈ 对 具有 0 < α 三 < α 4 .
例子 三。
考虑q-digama函数 Ψ ϱ ，由定义[31]:
Ψ ϱ ( z ) = − 在 ( 1 − ϱ ) + 在 ( ϱ ) ∑ ℓ = 0 ∞ ϱ ℓ + z 1 − ϱ ℓ + z = − 在 ( 1 − ϱ ) + 在 ( ϱ ) ∑ ℓ = 1 ∞ ϱ ℓ z 1 − ϱ ℓ z
对于 0 < ϱ < 1 、和
Ψ ϱ ( z ) = − 在 ( ϱ − 1 ) + 在 ( ϱ ) z − 1 2 − ∑ ℓ = 0 ∞ ϱ − ( ℓ + z ) 1 − ϱ − ( ℓ + z ) = − 在 ( ϱ − 1 ) + 在 ( ϱ ) z − 1 2 − ∑ ℓ = 1 ∞ ϱ − ℓ z 1 − ϱ − ℓ z
对于 ϱ > 1 和 z > 0 .
从这些定义中，我们可以看到 z ↦ Ψ ϱ ' ( z ) 是区间上的完全单调函数 ( 0 , ∞ ) 为所有人 ϱ > 0 ，因此 z ↦ Ψ ϱ ' ( z ) 在同一区间上是凸的。
让 G公司 ¯ ϱ ( z ) : = Ψ ϱ ' ( z ) 具有 ϱ > 0 因此， G公司 ¯ ϱ ' ( z ) : = Ψ ϱ ” ( z ) 在区间上是完全单调的 ( 0 , ∞ ) 然后，根据备注1，我们有
Ψ ϱ ' α 三 + α 4 2 ≤ Ψ ϱ ( α 4 ) − Ψ ϱ ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ Ψ ϱ ' ( α 三 ) + Ψ ϱ ' ( α 4 ) 2 .
组合方程式中的不等式(15)和(19)，我们得到
Ψ ϱ ' ( α 三 ) + Ψ ϱ ' ( α 4 ) 2 − Ψ ϱ ( α 4 ) − Ψ ϱ ( α 三 ) α 4 − α 三 ≤ α 4 − α 三 8 Ψ ϱ ” ( α 三 ) + Ψ ϱ ” ( α 4 ) .

4.结论

在本文中，我们考虑了Riemann–Liouville分数次积分的Hermite–Hadamard型的新积分不等式和一些相关不等式。积分不等式是分析的一个重要分支，它与各种类型的分数积分结合在一起，但以前从未以这种形式进行过。为此，我们通过黎曼-刘维尔分数积分研究了Hermite–Hadamard型不等式和相关不等式，概括了Sarikaya et al[12,13].

作者贡献

作者们为这项工作做出了同等的贡献。所有作者都阅读并批准了最终的手稿。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者感谢匿名审稿人对本文原文的认真更正和宝贵评论。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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