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第11卷
第6版
10.3390/sym11060829
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第条

基于不动点定理的非局部Riemann-Liouville分数积分条件的非线性Caputo分数导数

通过
皮亚查特·鲍里苏特
1,2,
蓬库姆
1,2,*,
伊德里斯·艾哈迈德
1, 2, 3和
Kanokwan Sitthithakengkiet公司
4,*
1
KMUTT固定点研究实验室，SCL 802室，固定点实验室，科学实验室大楼，科学系，通武里国王蒙古特科技大学（KMUTT），126 Pracha-Uthit Road，Bang Mod，Thrung Khru，Bangkok 10140，Thongburi
2
KMUTT-不动点理论与应用研究小组（KMUTT-FPTA），理论与计算科学中心（TaCS），泰国曼谷10140，通古鲁，Bang Mod，Pracha-Uthit Road 126，King Mongkut’s University of Technology Thonburi（KMUTT）科学学院科学实验室大楼
三
尼日利亚吉加瓦州Kafin Hausa P.M.B 048 Sule Lamido大学数学与计算机科学系
4
泰国曼谷10800，Bangshue，Wongsawang，Pracharat 1 Road 1518，King Mongkut’s University North Bangkok应用科学学院数学系
*
应向其发送信件的作者。
对称 2019,11(6), 829;https://doi.org/10.3390/sym11060829
收到的提交文件：2019年5月10日/修订日期：2019年6月14日/接受日期：2019年6月18日/发布日期：2019年6月22日
（本文属于特刊非线性分析与优化进展)
版本注释

摘要

:
在本文中，我们研究了一个有趣的Caputo分数阶导数和Riemann–Liouville积分边值问题（BVP）：c（c） D类 0 + q个 u个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , u个 ( t吨 ) ) , t吨 ∈ [ 0 , T型 ] , u个 ( k个 ) ( 0 ) = ξ k个 , u个 ( T型 ) = ∑ 我 = 1 米 β 我 R（右） L（左） 我 0 + 第页 我 u个 ( η 我 ) , 哪里 n个 − 1 < q个 < n个 , n个 ≥ 2 , 米 , n个 ∈ N个 , ξ k个 , β 我 ∈ R（右） , k个 = 0 , 1 , … , n个 − 2 , 我 = 1 , 2 , … , 米 、和c（c） D类 0 + q个 是卡普托分数导数， （f） : [ 0 , T型 ] × C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) → E类 ，其中E类是巴纳赫空间。空间E类被选择为任意Banach空间；它也可以是 R（右） （使用绝对值）或 C类 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) 具有上确界范数。RL公司 我 0 + 第页 我 是Riemann–Liouville分数阶积分 第页 我 > 0 , η 我 ∈ ( 0 , T型 ) 、和 ∑ 我 = 1 米 β 我 η 我 第页 我 + n个 − 1 Γ ( n个 ) Γ ( n个 + 第页 我 ) ≠ T型 n个 − 1 通过Krasnoselskii和Darbo的不动点定理，作者研究了这个问题解的存在性。通过一个例子来说明其结果的适用性。

1.简介

分数阶微分方程在数学家、物理学家和工程师开展的众多研究领域中发挥着重要作用。他们基本上用它来开发数学建模、许多物理应用和工程学科，如粘弹性、控制、多孔介质、电磁学现象等（参见[1,2,三]). 分数阶微分算子与经典微积分的主要区别在于其非局部行为，即基于分数阶微分运算符的特征未来状态取决于其当前和过去的状态。有关分数微积分、分数微分方程和分数积分方程基本概念的更多详细信息，请参阅A.A.Kilbas、H.M Srivastava和J.J.Trujillo等书籍[1]、K.S Miller和B.Ross[2]、J.Banas和K.Goebel[4]. 许多研究人员从不同的角度研究了涉及Caputo–Fabrizio导数的分数阶积分微分方程（例如，参见[5,6,7,8]以及其中的参考文献）。微分方程的定性理论有着重要的应用，分数阶微分方程的解和正解的存在性也受到了广泛的关注。为了研究这类问题，需要使用不同的技术，例如不动点定理[9,10,11]，不动点指数[10,12]上下解法[13]，巧合理论[14]等等都很流行。例如，在[15,16,17]，作者研究了初值问题解的存在性。
D类 0 + α c（c） u个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , u个 ( t吨 ) , c（c） D类 0 + β u个 ( t吨 ) ) , t吨 ∈ ( 0 , 1 ] , u个 ( k个 ) ( 0 ) = η k个 , k个 = 0 , 1 , … , n个 − 1 ,
哪里 n个 − 1 < β < α < n个 , ( n个 ∈ N个 ) 是实数和c（c） D类 0 + α 和c（c） D类 0 + β 是Caputo分数阶导数 α , β 、和 （f） ∈ C类 ( [ 0 , 1 ] × R（右） ) .
在[18]，作者研究了下列边值问题解的存在性：
D类 0 + α c（c） 年 ( t吨 ) = − （f） ( t吨 , 年 ( t吨 ) , c（c） D类 0 + α 年 ( t吨 ) ) , t吨 ∈ ( 0 , 1 ] , 1 < α < 2
一 年 ( 0 ) − b条 年 ′ ( 0 ) = 0 , 年 ( 1 ) = ∫ 0 1 k个 ( 秒 ) 克 ( t吨 , 年 ( 秒 ) ) d日 秒 + μ ,
哪里 D类 0 + α c（c） 是Caputo分数阶导数 α , E类 是巴纳赫空间， （f） : [ 0 , 1 ] × C类 ( [ 0 , 1 ] , E类 ) × E类 → E类 , 克 : [ 0 , 1 ] × C类 ( [ 0 , 1 ] , E类 ) → E类 , k个 ∈ C类 ( [ 0 , 1 ] , E类 ) , k个 ≠ 0 .
在[19]研究了非局部分数次积分条件解的存在唯一性。
D类 0 + q个 R（右） L（左） x个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , x个 ( t吨 ) ) , t吨 ∈ [ 0 , T型 ] ,
x个 ( 0 ) = 0 , x个 ( T型 ) = ∑ 我 = 1 n个 α 我 H（H） 我 0 + 第页 我 x个 ( η 我 ) ,
哪里 1 < q个 ≤ 2 , R（右） L（左） D类 0 + q个 是Riemann–Liouville分数阶导数q个, 我 0 + 第页 我 H（H） 是Hadamard分数阶积分 第页 我 > 0 , η 我 ∈ ( 0 , T型 ) , （f） : [ 0 , T型 ] × R（右） → R（右） 、和 α 我 ∈ R（右） , 我 = 1 , 2 , ⋯ , n个 是实际常数，因此 ∑ 我 = 1 n个 α 我 η 我 q个 − 1 ( q个 − 1 ) 第页 我 ≠ T型 q个 − 1 .
受上述论文的启发[15,16,17,18,19]，本文的目的是导出分数阶微分方程的存在解和非局部分数阶积分条件：
D类 0 + q个 c（c） u个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , u个 ( t吨 ) ) , t吨 ∈ [ 0 , T型 ] u个 ( k个 ) ( 0 ) = ξ k个 , u个 ( T型 ) = ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 R（右） L（左） u个 ( η 我 ) ,
哪里 n个 − 1 < q个 < n个 , n个 ≥ 2 , 米 , n个 ∈ N个 , ξ k个 , β 我 ∈ R（右） , k个 = 0 , 1 , … , n个 − 2 , 我 = 1 , 2 , … , 米 、和 D类 0 + q个 c（c） 是卡普托分数导数， （f） : [ 0 , T型 ] × C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) → E类 、和 我 第页 我 R（右） L（左） 是Riemann–Liouville分数阶积分 第页 我 > 0 , η 我 ∈ ( 0 , T型 ) 、和 ∑ 我 = 1 米 β 我 η 我 第页 我 + n个 − 1 Γ ( n个 ) Γ ( n个 + 第页 我 ) ≠ T型 n个 − 1 .
本文的结果是基于Krasnoselskii和Darbo的不动点定理。此外，我们还提供了一些示例来说明我们的结果的适用性。本文的下一部分按以下顺序组织：我们回顾了关于分数微分学和Kuratowski非压缩测度（Kuratowski MNC）的一些符号、定义和初步事实，以及第2节.英寸第3节基于Kransnoselskii不动点定理和Darbo不动点理论以及非紧性测度的思想，给出并证明了主要结果。我们还展示了一个主要结果的示例。

2.背景材料

在本节中，我们回顾了分数阶微分方程的一些基本符号、定义和引理，以获得我们的主要结果。请参见[1,三,4,17,20,21]以及其中的参考文献。表示方式 C类 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) 所有连续函数的空间 [ 0 , T型 ] 进入之内 R（右） .授予规范：
∥ u个 ∥ ∞ : = 啜饮 { | u个 ( t吨 ) | : t吨 ∈ [ 0 , T型 ] } , u个 ∈ C类 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) ,
这个空间是巴纳赫空间。让 ( E类 , ∥ · ∥ ) 成为巴拿赫空间。我们还表示：
C类 n个 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) : = { u个 ∈ C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) : u个 ( k个 ) ∈ C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) , 0 ≤ k个 ≤ n个 } .
配备规范 ∥ u个 ∥ C类 n个 : = ∑ k个 = 0 n个 ∥ u个 ( k个 ) ∥ C类 对于 u个 ∈ C类 n个 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) ，这个空间也是巴纳赫空间。在这里， ∥ u个 ∥ C类 : = 啜饮 0 < t吨 < T型 ∥ u个 ( t吨 ) ∥ .对于可测量的功能 克 : [ 0 , T型 ] → R（右） ，定义规范 ∥ 克 ∥ L（左） 第页 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) = ∫ [ 0 , T型 ] | 克 ( t吨 ) | 第页 d日 t吨 1 第页 , 1 ≤ 第页 < ∞ 。我们还表示为 L（左） 第页 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) 所有勒贝格可测函数的巴拿赫空间克对于其中 ∥ 克 ∥ L（左） 第页 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) < ∞ .
定义 1
([1,三]). 让 u个 : ( 0 , ∞ ) → R（右） 是一个函数，并且 q个 > 0 u阶q的Riemann–Liouville分数阶积分定义为：
我 0 + q个 R（右） L（左） u个 ( t吨 ) = 1 Γ ( q个 ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) q个 − 1 u个 ( 秒 ) d日 秒
只要积分存在。u的q阶Caputo分数导数定义为：
D类 0 + q个 c（c） u个 ( t吨 ) = 1 Γ ( n个 − q个 ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) n个 − q个 − 1 u个 ( n个 ) ( 秒 ) d日 秒
前提是右侧在 ( 0 , ∞ ) ，其中n是大于或等于q的最小整数，Γ表示gamma函数。如果 q个 = n个 ，然后 D类 0 + q个 c（c） u个 ( t吨 ) = u个 ( n个 ) ( t吨 ) .
引理 1
([1,三]). 让 n个 − 1 < q个 < n个 .如果 u个 ∈ C类 n个 ( [ 一 , b条 ] ) ，然后：
我 0 + q个 R（右） L（左） ( D类 0 + q个 c（c） u个 ) ( t吨 ) = u个 ( t吨 ) + c（c） 0 + c（c） 1 t吨 + c（c） 2 t吨 2 + ⋯ + C类 n个 − 1 t吨 n个 − 1
对一些人来说 c（c） 我 ∈ R（右） , 我 = 0 , 1 , 2 , … , n个 − 1 ，其中n是大于或等于q的最小整数。
对于给定的集合V（V）函数的 v（v） : [ 0 , T型 ] → E类 ，让我们表示 V（V） ( t吨 ) = { v（v） ( t吨 ) : v（v） ∈ V（V） } , t吨 ∈ [ 0 , T型 ] 、和 V（V） ( [ 0 , T型 ] ) = { v（v） ( t吨 ) : v（v） ∈ V（V） , t吨 ∈ [ 0 , T型 ] } 接下来，我们给出了不一致性度量的定义和一些辅助结果；有关详细信息，请参阅[11,13,15]以及其中的参考文献。
定义 2
设E是Banach空间 Ω E类 E.的子集集合。Kuratowski跨国公司是地图 α : Ω E类 → [ 0 , ∞ ] 由定义 α ( X（X） ) = inf公司 { d日 > 0 : X（X） ⊆ ⋃ 我 = 1 n个 X（X） 我 一 n个 d日 d日 我 一 米 ( X（X） 我 ) ≤ d日 } ，其中：
d日 我 一 米 ( X（X） 我 ) = 啜饮 { ‖ x个 − 年 ‖ : x个 , 年 ∈ X（X） 我 } .
我们还采用了Kuratowski MNC和引理3中Arzela–Ascoli定理的一些技巧。
引理 2
([4,20,22]). 设E是Banach空间。X和Y是有界集，
（a） 
α ( X（X） ) = 0 ↔ X（X） ¯ 是紧凑的（X相对紧凑），其中 X（X） ¯ 表示X的闭包，
（b） 
非奇异性：每个元素集上的α等于零，
（c） 
α ( X（X） ) = α ( X（X） ¯ ) = α ( c（c） o个 n个 v（v） X（X） ) ，其中 c（c） o个 n个 v（v） X（X） 是X的凸包，
（d） 
单调性： X（X） ⊂ Y（Y） → α ( X（X） ) ⊂ α ( Y（Y） ) ,
（e） 
代数半加性： α ( X（X） + Y（Y） ) ≤ α ( X（X） ) + α ( Y（Y） ) ，其中 X（X） + Y（Y） = { x个 + 年 : x个 ∈ X（X） , 年 ∈ Y（Y） } ,
（f） 
半均质性： α ( λ X（X） ) = ∣ λ ∣ α ( X（X） ) , λ ∈ R（右） ，其中 λ X（X） = { λ x个 : x个 ∈ X（X） } ,
（g） 
半加性： α ( X（X） ∪ Y（Y） ) = 最大值 { α ( X（X） ) , α ( Y（Y） ) } .
（h） 
平移不变性： α ( X（X） + x个 0 ) = α ( X（X） ) 对于任何 x个 0 ∈ E类 .
引理 三（Ascoli–Arzela定理）.
如果一个家庭 F类 = { （f） ( t吨 ) } 在里面 C类 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) 在上一致有界且等连续 [ 0 , T型 ] ，则F具有一致收敛的子序列 { （f） n个 ( t吨 ) } n个 = 1 ∞ 如果一个家庭 F类 = { （f） ( t吨 ) } 在里面 C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) 在上一致有界且等连续 [ 0 , T型 ] 以及任何 t吨 * ∈ [ 0 , T型 ] , { （f） ( t吨 * ) } 在Banach空间E中相对紧，则F具有一致收敛的子序列 { （f） n个 ( t吨 ) } n个 = 1 ∞ .
定理 1（克拉斯诺塞尔斯基的不动点定理
[21]). 设N是Banach空间E的有界闭凸非空子集 一 1 , 一 2 : E类 → E类 是具有以下属性的运算符：
（a） 
一 1 x个 + 一 2 年 ∈ N个 无论何时 x个 , 年 ∈ N个 ;
（b） 
一 1 是连续的，并且 一 1 N个 是E的紧子集；
（c） 
一 2 是收缩映射（即。， ∥ 一 2 x个 − 一 2 年 ∥ ≤ k个 ∥ x个 − 年 ∥ 对一些人来说 k个 ∈ ( 0 , 1 ) 以及所有人 x个 , 年 ∈ N个 ). 然后，存在 z（z） ∈ N个 这样的话 z（z） = 一 1 z（z） + 一 2 z（z） .
定理 2（达尔博不动点定理
[23]). 设E是Banach空间，N是E的有界闭凸非空子集 一 : N个 → N个 对于N的所有闭子集M，
α ( 一 ( M（M） ) ) ≤ k个 α ( M（M） ) ,
哪里 0 ≤ k个 < 1 那么，A在N中有一个不动点。

3.主要成果

在本节中，我们考虑非局部Riemann–Liouville分数阶积分条件和Caputo非线性分数阶微分方程解的存在性(6).
定义 三。
A函数 u个 ∈ C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) 据说是解决(6)如果u满足方程 D类 0 + q个 c（c） u个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , u个 ( t吨 ) ) 在 [ 0 , T型 ] ，以及分数次积分条件 u个 ( k个 ) ( 0 ) = ξ k个 , u个 ( T型 ) = ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 R（右） L（左） u个 ( η 我 ) .
我们证明了以下引理，以确定问题解的存在性(6).
引理 4
让函数h属于 C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) 。假设函数 u个 ∈ C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) 是以下边值问题（BVP）的解：
D类 0 + q个 c（c） u个 ( t吨 ) = 小时 ( t吨 ) , t吨 ∈ [ 0 , T型 ] , u个 ( k个 ) ( 0 ) = ξ k个 , u个 ( T型 ) = ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 R（右） L（左） u个 ( η 我 ) ,
哪里 n个 − 1 < q个 < n个 , n个 ≥ 2 , 米 , n个 ∈ N个 , ξ k个 , β 我 ∈ R（右） , η ∈ ( 0 , T型 ) , k个 = 0 , 1 , … , n个 − 2 , 我 = 1 , 2 , … , 米 .给， D类 0 + q个 c（c） 表示卡普托分数导数，以及 我 0 + 第页 我 R（右） L（左） 是Riemann–Liouville阶非局部分数积分 第页 我 > 0 假设：
Λ : = T型 n个 − 1 − ∑ 我 = 1 米 β 我 η 我 第页 我 + n个 − 1 Γ ( n个 ) Γ ( n个 + 第页 我 ) ≠ 0 .
那么，上述BVP的解有一个唯一的解，如下所示：
u个 ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 Λ [ ∑ 我 = 1 米 β 我 R（右） L（左） 我 0 + 第页 我 + q个 小时 ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 第页 我 + k个 − R（右） L（左） 我 0 + q个 小时 ( T型 ) − ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 t吨 k个 k个 ! .
证明。 
从引理（1），我们得到，对于某些常数向量 c（c） 0 , … , c（c） n个 − 1 属于 E类 ,
u个 ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( t吨 ) + c（c） 0 + c（c） 1 t吨 + c（c） 2 t吨 2 + … + c（c） n个 − 1 t吨 n个 − 1 .
从BVP的第一个条件来看，
c（c） 0 = ξ 0 , c（c） 1 = ξ 1 , c（c） 2 = ξ 2 2 ! , … , c（c） n个 − 2 = ξ n个 − 2 ( n个 − 2 ) ! ,
所以，
u个 ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( t吨 ) + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 t吨 k个 k个 ! + c（c） n个 − 1 t吨 n个 − 1 .
替代 T型 = t吨 产量，
u个 ( T型 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( T型 ) + c（c） n个 − 1 T型 n个 − 1 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! ,
并应用运算符 我 0 + 第页 我 R（右） L（左） 结果如下：
我 0 + 第页 我 R（右） L（左） u个 ( t吨 ) = ( R（右） L（左） 我 0 + 第页 我 + q个 小时 ) ( t吨 ) + c（c） n个 − 1 Γ ( n个 ) Γ ( 第页 我 + n个 ) t吨 第页 我 + n个 − 1 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) t吨 第页 我 + k个 k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) .
通过使用第二个边界值条件，我们推断：
我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( T型 ) + c（c） n个 − 1 T型 n个 − 1 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! = ∑ 我 = 1 米 β 我 { ( 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） 小时 ( η 我 ) ) + c（c） n个 − 1 Γ ( n个 ) Γ ( 第页 我 + n个 ) η 我 第页 我 + n个 − 1 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 } .
因此，我们得到，
c（c） n个 − 1 = 1 Λ [ ∑ 我 = 1 米 β 我 ( 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） 小时 ) ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 − 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( T型 ) − ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! ] .
因此，结果是：
u个 ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 Λ [ ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） 小时 ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 − 我 0 + q个 R（右） L（左） 小时 ( T型 ) − ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 t吨 k个 k个 !
如下。□
让E类是定义在上的所有实值连续函数的实向量空间 [ 0 , T型 ] ，这是 E类 = C类 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) .配备最高规范 ∥ u个 ∥ ∞ : = 啜饮 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] | u个 ( t吨 ) | , u个 ∈ E类 ，空间E类是巴纳赫空间。定义非线性运算符 一 : E类 → E类 如下：
( 一 u个 ) ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 Λ [ − 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( T型 ) + ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 第页 我 + k个 ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 k个 ! ( t吨 k个 − T型 k个 t吨 n个 − 1 Λ ) .
然后，操作员一有固定点当且仅当问题(6)拥有解决方案。在下一个定理中，我们证明了问题解的存在性(6)通过Krasnoselskii和Darbo的不动点定理。

3.1. Krasnoselskii不动点定理的存在性结果

我们首先通过Krasnoselskii的不动点定理得到一个存在性结果。
定理 三。
让函数 （f） : [ 0 , T型 ] × R（右） → R（右） 是一个连续函数，在第二个变量中是Lipschitz连续的，即存在一个有限常数L，这样 | （f） ( t吨 , u个 ) − （f） ( t吨 , v（v） ) | ≤ L（左） | u个 − v（v） | 为所有人 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] 和 u个 , v（v） ∈ R（右） .假设存在一个连续函数 φ : [ 0 , T型 ] → R（右） + 这样的话 | （f） ( t吨 , u个 ) | ≤ φ ( t吨 ) ，对于所有人 ( t吨 , u个 ) ∈ [ 0 , T型 ] × R（右） 然后，边值问题(6)至少有一个解决方案，前提是 γ : = L（左） T型 n个 + q个 − 1 | Λ | Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | η 我 第页 我 + q个 Γ ( 第页 我 + q个 + 1 ) .
证明。 
除此之外 ∥ φ ( t吨 ) ∥ ∞ = 啜饮 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] | φ ( t吨 ) | ，我们写 ϕ = T型 q个 Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 + q个 − 1 | Λ | Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | η 我 第页 我 + q个 Γ ( 第页 我 + q个 + 1 ) ,
M（M） = T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + 1 + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! ,然后选择 ρ ≥ ∥ φ ∥ ∞ ϕ + M（M） .让 B类 ρ = { u个 ∈ E类 : ∥ u个 ∥ ≤ ρ } 是半径球 ρ ≥ ∥ φ ∥ ∞ ϕ + M（M） 以原点为中心E类.此外，介绍操作员 一 1 和 一 2 在 E类 = C类 ( [ 0 , T型 ] , R（右） ) 签署人：
一 1 u个 ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( t吨 ) 一 2 u个 ( t吨 ) = − t吨 n个 − 1 Λ 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( T型 ) + t吨 n个 − 1 Λ ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( η 我 ) + t吨 n个 − 1 Λ ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 k个 ! ( t吨 k个 − t吨 n个 − 1 Λ T型 k个 ) .
对于任何 u个 , v（v） ∈ B类 ρ ，我们得到：
| ( 一 1 u个 ) ( t吨 ) + ( 一 2 v（v） ) ( t吨 ) | ≤ 啜饮 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] { 我 0 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 | Λ | 我 0 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , v（v） ( 秒 ) ) | ( T型 ) + t吨 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | 我 第页 我 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , v（v） ( 秒 ) ) | ( η 我 ) + t吨 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | k个 ! ( t吨 k个 + t吨 n个 − 1 | Λ | T型 k个 ) } ≤ ∥ φ ∥ { T型 q个 Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 + q个 − 1 | Λ | Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | η 我 第页 我 + q个 Γ ( 第页 我 + q个 + 1 ) } + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) + ( 1 + T型 n个 − 1 | Λ | ) ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! = ∥ φ ∥ ϕ + M（M） ≤ ρ .
这些不平等表明 一 1 u个 + 一 2 v（v） ∈ B类 ρ 为了证明 一 2 我们认为是收缩 u个 , v（v） ∈ E类 并且得到，
| ( 一 2 u个 ) ( t吨 ) − ( 一 2 v（v） ) ( t吨 ) | ≤ T型 n个 − 1 | Λ | R（右） L（左） 我 0 + q个 | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , v（v） ( 秒 ) ) | ( T型 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | ( R（右） L（左） 我 0 + 第页 我 + q个 | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , v（v） ( 秒 ) ) | ( η 我 ) ) ≤ L（左） | u个 − v（v） | T型 n个 + q个 − 1 | Λ | Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | η 我 第页 我 + q个 Γ ( 第页 我 + q个 + 1 ) ≤ γ ∥ u个 − v（v） ∥ .
这意味着 ∥ 一 2 u个 − 一 2 v（v） ∥ ≤ γ ∥ u个 − v（v） ∥ 因此， 一 2 是一种收缩。因此，操作员 一 1 是连续的（f）。自 u个 ∈ E类 ，我们有 ∥ 一 1 u个 ∥ ≤ ∥ φ ∥ T型 q个 Γ ( q个 + 1 ) ，操作员 一 1 一致有界于 B类 ρ . 接下来，我们显示操作符 一 1 结构紧凑。
我们定义 啜饮 ( t吨 , u个 ) ∈ [ 0 , T型 ] × B类 ρ | （f） ( t吨 , u个 ) | = θ < ∞ ，对于任何 0 < τ 1 < τ 2 < T型 ，我们得到：
| 一 1 u个 ( τ 2 ) − 一 1 u个 ( τ 1 ) | = 1 Γ ( q个 ) | ∫ 0 τ 1 ( τ 2 − 秒 ) q个 − 1 − ( τ 1 − 秒 ) q个 − 1 （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) d日 秒 + ∫ τ 1 τ 2 ( τ 2 − 秒 ) q个 − 1 （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) d日 秒 | ≤ θ Γ ( q个 + 1 ) [ τ 2 q个 − τ 1 q个 ] .
这些不平等的结果是 { 一 1 u个 : u个 ∈ B类 ρ } 是一个在E类因此，根据Arzela–Ascoli定理 一 1 是紧凑的 B类 ρ 。运算符的此属性的组合 一 1 具有包含属性 一 1 B类 ρ + 一 2 B类 ρ ⊂ B类 ρ 根据克拉斯诺塞尔斯基定理，问题(6)上至少有一个解决方案 [ 0 , T型 ] . □
例子 1
考虑分数边值问题：
D类 0 + 三 2 c（c） u个 ( t吨 ) = | u个 ( t吨 ) | | u个 ( t吨 ) | + 1 余弦 2 ( 三 t吨 ) ( e（电子） 2 t吨 + 三 ) 2 + 三 t吨 2 , （f） o个 第页 e（电子） 一 c（c） 小时 t吨 ∈ [ 0 , 三 ] , u个 ( 0 ) = π , u个 ( 三 ) = 我 0 + 2 5 R（右） L（左） ( 1 ) + 2 我 0 + 三 5 R（右） L（左） ( 2 ) + 三 我 0 + 4 5 R（右） L（左） ( 5 2 ) .
通过比较系统（7）和（6），我们得出以下值： q个 = 三 2 , 米 = 三 , T型 = 三 , n个 = 2 , β 1 = 1 , β 2 = 2 , β 三 = 三 , 第页 1 = 2 5 , 第页 2 = 三 5 , 第页 三 = 4 5 , η 1 = 1 , η 2 = 2 , η 三 = 5 2 .
在这里， （f） ( t吨 , u个 ) = u个 ( t吨 ) u个 ( t吨 ) + 1 余弦 2 ( 三 t吨 ) ( e（电子） 2 t吨 + 三 ) 2 + 三 t吨 2 .
作为， ∥ （f） ( t吨 , u个 ) − （f） ( t吨 , v（v） ) ∥ ≤ 1 16 ∥ u个 − v（v） ∥ ，因此满足定理3的条件 L（左） = 1 16 此外，我们还有 γ ≈ 0.380034 < 1 和：
| （f） ( t吨 , u个 ( t吨 ) ) | = | u个 ( t吨 ) u个 ( t吨 ) + 1 余弦 2 ( 三 t吨 ) ( e（电子） 2 t吨 + 三 ) 2 + 三 t吨 2 | ≤ 1 ( e（电子） 2 t吨 + 三 ) 2 + 三 t吨 2 .
因此，系统（7）至少有一个关于 [ 0 , 三 ] .

3.2. 基于Darbo不动点定理的存在性结果

为了证明我们的主要结果，我们假设满足以下假设：
假设 1 （H1）。
（f） : [ 0 , T型 ] × E类 → E类 是一个连续函数。
假设 2 （H2）。
存在一个常量 L（左） > 0 这样的话 ∥ （f） ( t吨 , u个 ) − （f） ( t吨 , v（v） ) ∥ ≤ L（左） ∥ u个 − v（v） ∥ 对于每个 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] 和 u个 , v（v） ∈ E类 .
现在，我们证明了问题的存在性结果(6)通过Kuratowski MNC和Darbo的不动点定理。
定理 4
假设（H1）-（H2）成立。如果：
ϕ L（左） < 1
哪里 ϕ = T型 q个 Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 + q个 − 1 | Λ | Γ ( q个 + 1 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | η 我 第页 我 + q个 Γ ( 第页 我 + q个 + 1 ) ，然后是问题(6)上至少有一个解决方案 [ 0 , T型 ] .
证明。 
边值问题的一种解法(6)可以认为是算子的不动点 一 : E类 → E类 ，定义为：
( 一 u个 ) ( t吨 ) = 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 Λ [ − 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( T型 ) + ∑ 我 = 1 米 β 我 我 第页 我 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 k个 ! ( t吨 k个 − T型 k个 t吨 n个 − 1 Λ ) .
第1步：一是连续的。
让 { u个 n个 } 是这样的序列 u个 n个 → u个 在里面E类，何时 n个 → ∞ .如果 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] ，我们得到：
| ( 一 u个 n个 ) ( t吨 ) − ( 一 u个 ) ( t吨 ) | ≤ 我 0 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 n个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( t吨 ) + T型 n个 − 1 | Λ | 我 0 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 n个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( T型 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 n个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( η 我 ) ≤ L（左） ϕ ∥ u个 n个 − u个 ∥
这意味着：
∥ 一 u个 n个 − 一 u个 ∥ ≤ L（左） ϕ ∥ u个 n个 − u个 ∥ ,
以便 ∥ 一 u个 n个 − 一 u个 ∥ → 0 ，如果 n个 → ∞ .
因此，操作员一是连续的。
定义 B类 第页 = { u个 ∈ C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) : ∥ u个 ∥ ≤ 第页 } ，其中 第页 = N个 ϕ + M（M） 1 − L（左） ϕ ，并让 啜饮 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] | （f） ( t吨 , 0 ) | = N个 < ∞ .
显然，这套 B类 第页 是Banach空间的封闭、有界、凸子集 C类 ( [ 0 , T型 ] , E类 ) .
第二步： 一 ( B类 第页 ) ⊂ B类 第页 .
让u个属于 B类 第页 为了证明 一 u个 ∈ B类 第页 ，这足以表明 | 一 u个 ( t吨 ) | ≤ 第页 对于 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] 。但是，对于 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] ，我们有：
| 一 u个 ( t吨 ) | ≤ 啜饮 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] { 我 0 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 | Λ | [ ∑ 我 = 1 米 | β 我 | ( 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + 我 0 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) | ( T型 ) + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | t吨 k个 k个 ! } .
因此，我们得到：
| 一 u个 ( t吨 ) | ≤ 啜饮 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] { 我 0 + q个 R（右） L（左） ( | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , 0 ) | + | （f） ( 秒 , 0 ) | ) ( t吨 ) + T型 n个 − 1 | Λ | [ ∑ 我 = 1 米 | β 我 | ( 我 第页 我 + q个 R（右） L（左） | （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , 0 ) | + | （f） ( 秒 , 0 ) | ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + 我 0 + q个 R（右） L（左） | ( （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) − （f） ( 秒 , 0 ) + | （f） ( 秒 , 0 ) | ) ( T型 ) + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! }
因此，我们看到：
| 一 u个 ( t吨 ) | ≤ ( L（左） ∥ u个 ∥ + N个 ) 我 0 + q个 R（右） L（左） ( t吨 ) + ( L（左） ∥ u个 ∥ + N个 ) T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 | β 我 | 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） ( η 我 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ( L（左） ∥ u个 ∥ + N个 ) 我 0 + q个 R（右） L（左） ( T型 ) + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + ( T型 n个 − 1 | Λ | + 1 ) ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! .
这意味着，
| 一 u个 ( t吨 ) | ≤ ( L（左） 第页 + N个 ) ϕ + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + ( T型 n个 − 1 | Λ | + 1 ) ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! ≤ 第页 ,
哪里，
第页 ≥ N个 ϕ + T型 n个 − 1 | Λ | ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + ( T型 n个 − 1 | Λ | + 1 ) ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! 1 − L（左） ϕ .
因此，我们得到 一 ( B类 第页 ) ⊂ B类 第页 .
第三步： 一 ( B类 第页 ) 一致有界且等连续。
从第2步，我们得到 一 ( B类 第页 ) = { 一 u个 : u个 ∈ B类 第页 } ⊂ B类 第页 因此，对于每个 u个 ∈ B类 第页 ，我们得到 ∥ 一 u个 ∥ ≤ 第页 ，这意味着 一 ( B类 第页 ) 一致有界。让 τ 1 , τ 2 ∈ [ 0 , T型 ] , τ 1 < τ 2 ，定义 啜饮 ( t吨 , u个 ) ∈ [ 0 , T型 ] × B类 第页 | （f） ( t吨 , u个 ) | ≤ θ < ∞ ，然后选择 u个 ∈ B类 第页 然后，我们得到，
| ( 一 u个 ) ( τ 2 ) − ( 一 u个 ) ( τ 1 ) | ≤ | ∫ 0 τ 1 ( τ 2 − 秒 ) q个 − 1 − ( τ 1 − 秒 ) q个 − 1 （f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) + ∫ τ 1 τ 2 ( τ 2 − 秒 ) q个 − 1 （f） ( 秒 , x个 ( 秒 ) ) d日 秒 + τ 2 n个 − 1 − τ 1 n个 − 1 Λ [ ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( T型 ) + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 k个 ! ( τ 2 k个 − τ 1 k个 ) | .
这意味着，
| ( 一 u个 ) ( τ 2 ) − ( 一 u个 ) ( τ 1 ) | ≤ θ Γ ( q个 + 1 ) ( τ 2 q个 − τ 1 q个 ) + τ 2 n个 − 1 − τ 1 n个 − 1 | Λ | [ θ ∑ 我 = 1 米 | β 我 | η 我 第页 我 + q个 Γ ( 第页 我 + q个 + 1 ) + θ T型 q个 Γ ( q个 + 1 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 | β 我 | | ξ k个 | Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 | ξ k个 | k个 ! ( τ 2 k个 − τ 1 k个 ) .
作为 τ 2 → τ 1 ，右侧趋于零。因此， 一 ( B类 第页 ) 是等连续且一致有界的。因此，根据Arzela–Ascoli定理，可以得出 一 B类 第页 相对紧凑 B类 第页 .
第4步：操作员 一 : B类 第页 → B类 第页 是一个严格的集合收缩。对于子集 V（V） ⊂ B类 第页 和 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] ，我们有：
α ( 一 V（V） ( t吨 ) ) = α ( ( 一 u个 ) ( t吨 ) , u个 ∈ V（V） ) ≤ α ( 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( t吨 ) + t吨 n个 − 1 Λ [ ∑ 我 = 1 米 β 我 我 0 + 第页 我 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( η 我 ) + ∑ 我 = 1 米 ∑ k个 = 0 n个 − 2 β 我 ξ k个 Γ ( k个 + 1 ) k个 ! Γ ( 第页 我 + k个 + 1 ) η 我 第页 我 + k个 + 我 0 + q个 R（右） L（左） （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ( T型 ) − ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 T型 k个 k个 ! ] + ∑ k个 = 0 n个 − 2 ξ k个 t吨 k个 k个 ! , u个 ∈ V（V） )
引理（2）和Kuratowski非紧性测度意味着 t吨 ∈ [ 0 , T型 ] ,
α ( 一 V（V） ( t吨 ) ) ≤ α ( 1 Γ ( q个 ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) q个 − 1 （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) d日 秒 + t吨 n个 − 1 Λ Γ ( q个 ) ∫ 0 T型 ( T型 − 秒 ) q个 − 1 （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) d日 秒 + t吨 n个 − 1 Λ ∑ 我 = 1 米 β 我 Γ ( 第页 我 + q个 ) ∫ 0 η 我 ( η 我 − 秒 ) 第页 我 + q个 − 1 （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) d日 秒 , u个 ∈ V（V） ) .
由此可见，
α ( 一 V（V） ( t吨 ) ) ≤ 1 Γ ( q个 ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) q个 − 1 { α ( （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ) , u个 ∈ V（V） } d日 秒 + t吨 n个 − 1 Λ Γ ( q个 ) ∫ 0 T型 ( T型 − 秒 ) q个 − 1 { α ( （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ) , u个 ∈ V（V） } d日 秒 + t吨 n个 − 1 Λ Γ ( 第页 我 + q个 ) ∑ 我 = 1 米 | β 我 | ∫ 0 n个 我 ( η 我 − 秒 ) 第页 我 + q个 − 1 { α ( （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ) , u个 ∈ V（V） } d日 秒 ≤ ( 1 Γ ( q个 ) ∫ 0 t吨 ( t吨 − 秒 ) q个 − 1 d日 秒 + t吨 n个 − 1 Λ Γ ( q个 ) ∫ 0 T型 ( T型 − 秒 ) q个 − 1 d日 秒 + t吨 n个 − 1 Λ Γ ( 第页 我 + q个 ) ∑ 我 = 1 米 | β 我 | ∫ 0 η 我 ( η 我 − 秒 ) 第页 我 + q个 − 1 d日 秒 ) { α ( （f） ( 秒 , u个 ( 秒 ) ) ) , u个 ∈ V（V） } ≤ ϕ L（左） { α ( u个 ( 秒 ) , u个 ∈ V（V） ) } , 秒 ∈ [ 0 , T型 ] ≤ ϕ L（左） α ( V（V） ( 秒 ) ) .
因此，我们得出，
α c（c） ( 一 V（V） ) ≤ ϕ L（左） α c（c） ( V（V） ) .
因此，操作员一是固定收缩。根据Darbo不动点定理，算子一有一个固定点，这是问题的解决方案（6）。□
例子 2
考虑分数边值问题：
D类 0 + 5 2 c（c） u个 ( t吨 ) = | u个 ( t吨 ) | | u个 ( t吨 ) | + 1 罪 4 ( t吨 ) ( 10 t吨 + 9 ) 2 + t吨 2 5 + 7 三 , （f） o个 第页 e（电子） 一 c（c） 小时 t吨 ∈ [ 0 , π ] , u个 ( 0 ) = u个 ′ ( 0 ) = − 1 , u个 ( π ) = 三 2 我 0 + 1 2 R（右） L（左） ( 1 2 ) + 三 4 我 0 + 1 三 R（右） L（左） ( 1 ) + 三 5 我 0 + 1 4 R（右） L（左） ( 2 ) .
通过比较系统（8）和（6），我们得出以下值： q个 = 5 2 , 米 = 三 , T型 = π , n个 = 三 , β 1 = 三 2 , β 2 = 三 4 , β 三 = 三 5 , 第页 1 = 1 2 , 第页 2 = 1 三 , 第页 三 = 1 4 , η 1 = 1 2 , η 2 = 1 , η 三 = 2 、和 （f） ( t吨 , u个 ) = | u个 ( t吨 ) | | u个 ( t吨 ) | + 1 罪 4 ( t吨 ) ( 10 t吨 + 9 ) 2 + t吨 2 5 + 7 三 .自 ∥ （f） ( t吨 , u个 ) − （f） ( t吨 , v（v） ) ∥ ≤ 1 10 2 ∥ u个 − v（v） ∥ ，条件 L（左） ϕ < 1 对…感到满意 L（左） = 1 100 此外，我们发现 ϕ ≈ 47.656474 和 L（左） ϕ ≈ 0.47656474 < 1 因此，系统（8）至少有一个关于 [ 0 , π ] .

4.结论

本文利用非局部Riemann-Liouville分数阶积分条件证明了非线性Caputo分数阶导数解的存在性。我们分别基于分数阶微积分、Krasnoselskii和Darbo的不动点定理得到了我们的结果。最后给出了一些例子来说明我们的结果。

作者贡献

作者在写这篇文章时贡献均等。所有作者阅读并批准了最终手稿。

基金

该项目得到了“通武里国王蒙库特理工大学Petchra Pra Jom Klao博士研究奖学金”的支持。

致谢

该项目得到了KMUTT理论与计算科学卓越中心（TaCS）的支持。此外，这项研究工作还得到了蒙库特国王的通武里理工大学通过KMUTT 55周年纪念基金的资助。第三位作者感谢“蒙古特国王科技大学通布里分校佩奇拉·普拉·乔姆·克劳博士研究奖学金”（批准号：21/2558）的支持。此外，Kanokwan Sitthithakengkiet还得到了曼谷北部蒙古特国王科技大学的财政支持，合同号为KMUTNB-62-KNOW-40。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

Borisut P、Kumam P、Ahmed I、Sittithakengkiet K。基于不动点定理的非局部Riemann-Liouville分数积分条件的非线性Caputo分数导数。对称. 2019; 11(6):829.https://doi.org/10.3390/sym11060829

芝加哥/图拉宾风格

Borisut、Piyachat、Poom Kumam、Idris Ahmed和Kanokwan Sittithakengkiet。2019.“基于不动点定理的非局部Riemann-Liouville分数积分条件的非线性Caputo分数导数”对称11，6号：829。https://doi.org/10.3390/sym11060829

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