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第11卷
第6版
10.3390/sym11060826
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第条

类NLS方程的N孤子解和基于Riemann-Hilbert问题的扰动理论

通过
林雨欣
,
环河洞
和
永芳
*
山东科技大学数学与系统科学学院，青岛266590
*
信件应寄给的作者。
对称 2019,11(6), 826;https://doi.org/10.3390/sym11060826
收到的提交文件：2019年6月6日/修订日期：2019年6月17日/接受日期：2019年6月20日/发布日期：2019年6月22日
（本文属于特刊常微分方程与偏微分方程：理论与应用)
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版本注释

摘要

:
本文研究了一类非线性薛定谔（NLS）方程，称为类NLS方程。我们构造一个 2 × 2 与NLS方程相关的Lax对，并结合谱分析来公式化黎曼-希尔伯特（R–H）问题。然后，我们主要使用势矩阵的对称关系问分析的零点 det（探测） P（P） + 和 det（探测） P（P） 负极 ; 类NLS方程的N孤子解用一个具有单位跳跃矩阵的特殊R–H问题显式表示。此外，还分析了单孤子解和两个孤子的碰撞，并以图形方式显示了单孤岛解和双孤子解的动力学行为。此外，基于R–H问题，导出了R–H数据在扰动下的演化方程。

1.简介

众所周知，孤子理论在许多领域都发挥着重要作用。研究孤子方程有很多方法，其中逆散射法[1,2,三]和Riemann–Hilbert（R–H）方法[4,5,6,7]是两项重要的技术。前者使用非线性傅里叶方法[8]其中计算过程极为复杂。相反，后者可以提供一种等效且更直接的方法来求解可积方程，尤其是孤立子解。因此，这种方法不断发展[9,10,11,12,13,14,15]. 此外，有许多技巧和变换可以用来寻找孤子方程的精确解，例如达布变换法[16,17,18]Bäcklund变换方法[19,20]，Hirota双线性方法[21,22,23]，均匀平衡法[24,25]，Frobenius可积分解[26,27,28]和Wronskian技术[29,30]. 这些方法极大地促进了孤子理论的发展。从一般孤子解的特定极限来看，块状解[31,32,33,34]，周期解[35,36]和复杂的解决方案[37,38]可以获得。近年来，半直线和有限区间上可积方程的初值问题[39,40,41]还通过制定相关的R–H问题进行了讨论。
众所周知，具有重要物理背景的孤子方程的孤子解已被广泛研究。其中，非线性薛定谔（NLS）方程是数学物理中一个非常重要的可积模型，它描述了水波理论、非线性光学、等离子体物理等
我 q个 t吨 + q个 x个 x个 ± 2 q个 | q个 | 2 = 0 .
在此基础上，给出了类NLS方程
我 q个 t吨 + q个 x个 x个 负极 2 q个 | q个 | 2 + 2 一 ( | q个 | 2 ) x个 q个 = 0 , 一 ∈ R（右）
推导如下。我们考虑具有以下Lax对的孤子方程：
Φ x个 = M（M） Φ , M（M） = 负极 我 λ 2 q个 第页 我 λ 2 ,
Φ t吨 = N个 0 Φ , N个 0 = A类 B类 C类 负极 A类 ,
哪里 Φ ( x个 , t吨 , λ ) 是一个矩阵函数，A类,B类,C类包含光谱参数 λ 和功能q个,第页及其衍生物。相关的静止零曲率方程为
N个 0 x个 = [ M（M） , N个 0 ] .
然后是方程式(5)成为
A类 x个 = q个 C类 负极 B类 第页 , B类 x个 = 负极 2 我 λ 2 B类 负极 2 A类 q个 , C类 x个 = 2 我 λ 2 C类 + 2 A类 第页 .
让我们接受A类,B类,C类作为的六次多项式 λ ,
A类 = ∑ j个 = 0 6 一 j个 λ j个 , B类 = ∑ j个 = 0 6 b条 j个 λ j个 , C类 = ∑ j个 = 0 6 c（c） j个 λ j个 .
因此，方程式(6)具有以下等价关系：
b条 6 = c（c） 6 = 0 , 一 6 x个 = 0 , 一 j个 x个 = q个 c（c） j个 负极 b条 j个 第页 , ( j个 = 0 , 1 , 2 , 三 , 4 , 5 ) b条 j个 负极 2 = 我 2 b条 j个 x个 + 我 一 j个 q个 , c（c） j个 负极 2 = 负极 我 2 c（c） j个 x个 + 我 一 j个 第页 .
我们选择 一 6 = α = 常数 、和具有
b条 4 = 我 2 b条 6 x个 + 我 一 6 q个 = 我 α q个 , c（c） 4 = 负极 我 2 c（c） 6 x个 + 我 一 6 第页 = 我 α 第页 , 一 4 x个 = q个 c（c） 4 负极 b条 4 第页 = 我 q个 α 第页 负极 我 q个 α 第页 = 0 .
通过设置以下方程式 一 4 = β = 常数 :
b条 2 = 我 2 b条 4 x个 + 我 一 4 q个 = 我 2 ( 我 α q个 ) x个 + 我 β q个 = 负极 α 2 q个 x个 + 我 β q个 , c（c） 2 = 负极 我 2 c（c） 4 x个 + 我 一 4 第页 = 负极 我 2 ( 我 α 第页 ) x个 + 我 β 第页 = α 2 第页 x个 + 我 β 第页 , 一 2 x个 = q个 c（c） 2 负极 b条 2 第页 = q个 ( α 2 第页 x个 + 我 β 第页 ) 负极 ( 负极 α 2 q个 x个 + 我 β q个 ) 第页 = α 2 ( q个 第页 x个 + q个 x个 第页 ) = α 2 ( q个 第页 ) x个 .
此外，我们可以 一 2 = α 2 q个 第页 + 一 20 ( 一 20 = 常数 )和
b条 0 = 我 2 b条 2 x个 + 我 一 2 q个 = 我 4 α ( 负极 q个 x个 x个 + 2 q个 2 第页 ) 负极 1 2 β q个 x个 + 我 q个 一 20 , c（c） 0 = 负极 我 2 c（c） 2 x个 + 我 一 2 第页 = 我 4 α ( 负极 第页 x个 x个 + 2 q个 第页 2 ) + 1 2 β 第页 x个 + 我 第页 一 20 , 一 0 x个 = q个 c（c） 0 负极 b条 0 第页 = 负极 我 4 α ( q个 第页 x个 负极 第页 q个 x个 ) x个 + 1 2 β ( q个 第页 ) x个 .
同样， 一 0 = 负极 我 4 α ( q个 第页 x个 负极 第页 q个 x个 ) + 1 2 β q个 第页 + 一 00 , ( 一 00 = 常数 ) 可以获得。我们也会选择 b条 5 = c（c） 5 = 0 ，通过与上述相同的步骤 一 5 = 0 , b条 三 = b条 1 = 0 , c（c） 三 = c（c） 1 = 0 因此，
A类 = 一 6 λ 6 + 一 5 λ 5 + 一 4 λ 4 + 一 三 λ 三 + 一 2 λ 2 + 一 1 λ 1 + 一 0 λ 0 = 负极 我 4 α ( q个 第页 x个 负极 第页 q个 x个 ) + 1 2 β q个 第页 + 一 00 + ( α 2 q个 第页 + 一 20 ) λ 2 + β λ 4 + α λ 6 , B类 = b条 6 λ 6 + b条 5 λ 5 + b条 4 λ 4 + b条 三 λ 三 + b条 2 λ 2 + b条 1 λ 1 + b条 0 λ 0 = 我 4 α ( 负极 q个 x个 x个 + 2 q个 2 第页 ) 负极 1 2 β q个 x个 + 我 q个 一 20 + ( 负极 α 2 q个 x个 + 我 β q个 ) λ 2 + ( 我 α q个 ) λ 4 , C类 = c（c） 6 λ 6 + c（c） 5 λ 5 + c（c） 4 λ 4 + c（c） 三 λ 三 + c（c） 2 λ 2 + c（c） 1 λ 1 + c（c） 0 λ 0 = 我 4 α ( 负极 第页 x个 x个 + 2 q个 第页 2 ) + 1 2 β 第页 x个 + 我 第页 一 20 + ( α 2 第页 x个 + 我 β 第页 ) λ 2 + ( 我 α 第页 ) λ 4 .
矩阵谱问题可以通过 α = 一 00 = 一 20 = 0 , β = 负极 2 我 , 第页 = 负极 q个 ¯ ,
M（M） = 负极 我 λ 2 q个 负极 q个 ¯ 我 λ 2 , N个 0 = 负极 2 我 λ 4 + 我 | q个 | 2 我 q个 x个 + 2 λ 2 q个 我 q个 ¯ x个 负极 2 λ 2 q个 ¯ 2 我 λ 4 负极 我 | q个 | 2 .
直接计算表明 q个 t吨 负极 我 q个 x个 x个 负极 2 我 q个 | q个 | 2 = 0 。请注意，术语 负极 2 我 q个 | q个 | 2 独立于 λ 因此，它可以像我们假设的那样变得积极
N个 1 = 负极 2 我 λ 4 负极 我 | q个 | 2 我 q个 x个 + 2 λ 2 q个 我 q个 ¯ x个 负极 2 λ 2 q个 ¯ 2 我 λ 4 + 我 | q个 | 2 ,
使用与上述相同的方法，我们得到
N个 = 负极 2 我 λ 4 负极 我 | q个 | 2 + A类 1 我 q个 x个 + 2 λ 2 q个 + B类 1 我 q个 ¯ x个 负极 2 λ 2 q个 ¯ + C类 1 2 我 λ 4 + 我 | q个 | 2 负极 A类 1 .
相应的零曲率方程为 M（M） t吨 负极 N个 x个 + [ M（M） , N个 ] = 0 ，我们得到
q个 t吨 负极 我 q个 x个 x个 负极 B类 1 x个 + 2 我 q个 | q个 | 2 负极 2 A类 1 q个 负极 2 我 λ 2 B类 1 = 0 , 负极 q个 ¯ t吨 负极 我 q个 ¯ x个 x个 负极 C类 1 x个 + 2 我 q个 ¯ | q个 | 2 负极 2 A类 1 q个 ¯ + 2 我 λ 2 C类 1 = 0 .
拿 B类 1 = C类 1 = 0 , A类 1 = 我 一 ( | q个 | 2 ) x个 ，的 2 × 2 可以获得松弛对：
Φ x个 = M（M） Φ , M（M） = 负极 我 λ 2 q个 负极 q个 ¯ 我 λ 2 ,
Φ t吨 = N个 Φ , N个 = 负极 2 我 λ 4 + 我 一 | q个 | x个 2 负极 我 | q个 | 2 我 q个 x个 + 2 λ 2 q个 我 q个 ¯ x个 负极 2 λ 2 q个 ¯ 2 我 λ 4 负极 我 一 | q个 | x个 2 + 我 | q个 | 2 ,
其中符号 “ 负极 ” 表示复合共轭。在我们的分析中，我们假设q个足够平滑，当 x个 → ± ∞ 此外，以后任何时候t吨，我们寻找解决方案 q个 ( x个 , t吨 ) 具有初始条件 q个 ( x个 , 0 ) .设置时 一 = 0 ，方程式(2)成为一个经典的非线性薛定谔方程(1).
本文研究类NLS方程的摄动理论。显然，可积条件的小扰动可以视为可积模型的扰动。我们的形式是考虑到与类NLS方程相关的R–H问题。该方法的主要优点是其代数性质，这与使用Gel'Fand Leviaon积分方程的方法不同[42]. R–H问题在处理受扰孤子动力学方面有许多应用[43]. R–H问题微扰理论的现代版本已发表在一系列论文中[44,45,46,47]. 直接微扰理论是孤子微扰理论的另一种形式，它是在微扰解展开为线性化孤子方程的平方本征函数的基础上发展起来的[48].
本文的主要结构如下。在第2节，我们给出类NLS方程的Lax对。然后，分析了矩阵特征函数的等价空间矩阵谱问题的性质，并给出了与新引入的空间矩阵谱相关的R–H问题。在第3节通过跳矩阵为单位矩阵的特殊约化R–H问题，得到了N孤子解的显式表达式。此外，还分析了单孤子解和双孤子解的碰撞。摄动理论基于第2节中给出了扰动下R–H数据的演化方程第4节最后，对本文进行了总结，并在中提出了进一步的问题第5节.

2.黎曼-希尔伯特问题

在以下内容中，我们设置 一 = 1 ，并构造了方程式的R–H公式(2)采用散射和逆散射方法。
让 T型 = ( t吨 1 , t吨 2 ) T型 是Lax对（8）和（9）的解，通过定义可以得到以下关系 μ = t吨 1 / t吨 2 :
( 自然对数 t吨 2 ) x个 = 我 λ 2 负极 q个 ¯ μ ,
( 自然对数 t吨 2 ) t吨 = ( 2 我 λ 4 负极 我 | q个 | x个 2 + 我 | q个 | 2 ) + ( 我 q个 ¯ x个 负极 2 λ 2 q个 ¯ ) μ .
通过对这两个方程右侧关于t吨和x个，我们得到
( 我 λ 2 负极 q个 ¯ μ ) t吨 = [ ( 2 我 λ 4 负极 我 | q个 | x个 2 + 我 | q个 | 2 ) + ( 我 q个 ¯ x个 负极 2 λ 2 q个 ¯ ) μ ] x个 .
在整个工作过程中，我们考虑 Φ 在（8）-（9）中是一个基本矩阵。此外， q个 → 0 作为 x个 → ± ∞ 然后我们得到 Φ ⑪ e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 负极 2 我 λ 4 σ 三 t吨 ，其中 σ 三 是对角常数矩阵，
σ 三 = 诊断 ( 1 , 负极 1 ) .
引入新的矩阵谱函数很方便 J型 = J型 ( x个 , t吨 ; λ ) ，可以定义为
Φ = J型 e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 负极 2 我 λ 4 σ 三 t吨 .
因此，变量x个和t吨在新矩阵中J型在无穷远处是独立的。通过插入方程式(14)在（8）–（9）中，原始Lax对（8）–（9）可以重写为
J型 x个 = 负极 我 λ 2 [ σ 三 , J型 ] + 问 J型 ,
J型 t吨 = 负极 2 我 λ 4 [ σ 三 , J型 ] + V（V） J型 ,
具有
问 = 0 q个 负极 q个 ¯ 0 , V（V） = 2 λ 2 问 + 我 | q个 | x个 2 负极 我 | q个 | 2 我 q个 x个 我 q个 ¯ x个 负极 我 | q个 | x个 2 + 我 | q个 | 2 .
和 [ σ 三 , J型 ] = σ 三 J型 负极 J型 σ 三 .根据方程式(17)，可以看出 t吨 第页 ( 问 ) = t吨 第页 ( V（V） ) = 0 、和
问 † = 负极 问 , V（V） † = 负极 V（V） ,
其中上标 “ † ” 表示矩阵的厄米特。在散射过程中，我们从x个-作为Lax搭档的一部分t吨作为参数并忽略它。
让我们首先介绍具有以下渐近性质的Jost解：
J型 ± ( x个 , λ ) → 我 , x个 → ± ∞ ,
哪里我是一个 2 × 2 单位矩阵和下标 J型 ± 表示边界条件为 ± ∞ 分别是。通过使用大型-x个渐近条件（19）x个方程式的一部分(15)可以转化为Volterra积分方程 J型 ±
J型 负极 ( x个 , λ ) = 我 + ∫ 负极 ∞ x个 e（电子） 我 λ 2 σ 三 ( 年 负极 x个 ) 问 ( 年 ) J型 负极 ( 年 , λ ) e（电子） 我 λ 2 σ 三 ( x个 负极 年 ) d日 年 ,
J型 + ( x个 , λ ) = 我 负极 ∫ x个 ∞ e（电子） 我 λ 2 σ 三 ( 年 负极 x个 ) 问 ( 年 ) J型 负极 ( 年 , λ ) e（电子） 我 λ 2 σ 三 ( x个 负极 年 ) d日 年 .
通过对方程（20）和（21）的直接分析，由于势的结构问在方程式中(17)，可以看出 J型 负极 只包含指数因子 e（电子） 我 λ 2 ( x个 负极 年 ) ，作为 λ ∈ C类 + = { λ | 参数 λ ∈ ( 0 , π 2 ) ∪ ( π , 三 π 2 ) } ，自 年 < x个 , e（电子） 我 λ 2 ( x个 负极 年 ) 腐烂。此外，第二列 J型 + 仅包括指数因子 e（电子） 我 λ 2 ( 年 负极 x个 ) ，作为 λ ∈ C类 + ，自 年 > x个 , e（电子） 我 λ 2 ( 年 负极 x个 ) 也会腐烂。因此，我们相信这两列可以分析 λ ∈ C类 + 并持续 λ ∈ C类 + ∪ R（右） ∪ 我 R（右） 通过使用类似的分析 J型 负极 以及 J型 + 也可以用于分析 λ ∈ C类 负极 = { λ | 参数 λ ∈ ( π 2 , π ) ∪ ( 三 π 2 , 2 π ) } 并持续 λ ∈ C类 负极 ∪ R（右） ∪ 我 R（右） .
备注 1
类NLS方程逆散射变换的实现不同于导数NLS方程的实现。差异如下所示：
（i） 我们需要看到 λ 2 不同；
（ii）有必要区分上半平面和下半平面 λ 2 .
Able的公式告诉我们
det（探测） Φ ( x个 ) = det（探测） Φ ( x个 0 ) e（电子） ∫ x个 0 x个 t吨 第页 A类 ( ζ ) d日 ζ ,
并将此恒等式应用于方程式(8)使用关系（14），我们可以看到，无论x个是， det（探测） J型 ( x个 , λ ) 是一个常量。然后，我们得到 det（探测） J型 ± ( x个 , λ ) = 1 利用边界条件（19）。因此，表示
E类 ( x个 , λ ) = e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 ,
和
φ ≡ J型 负极 E类 , Ψ ≡ J型 + E类 .
事实上，方程的两个解(8), φ ( x个 , λ ) 和 Ψ ( x个 , λ ) ，是线性相关的。它们的关系可以陈述如下：
φ ( x个 , λ ) = Ψ ( x个 , λ ) S公司 ( λ ) , λ ∈ R（右） ∪ 我 R（右） .
那就是，
J型 负极 E类 = J型 + E类 S公司 ( λ ) , λ ∈ R（右） ∪ 我 R（右） ,
哪里，
S公司 ( λ ) = 秒 11 秒 12 秒 21 秒 22 ,
这称为散射矩阵。根据方程(26)和 det（探测） J型 ± ( x个 , λ ) = 1 ，我们注意到散射矩阵 S公司 ( λ ) 满足
det（探测） ( S公司 ( λ ) ) = 1 .
因此，定义 ( φ , Ψ ) 作为列的集合，可以读取为
φ = ( φ 1 , φ 2 ) , Ψ = ( ψ 1 , ψ 2 ) .
此外，当Jost解决方案
P（P） + = ( φ 1 , ψ 2 ) e（电子） 我 λ 2 σ 三 x个 = J型 + E类 S公司 + E类 负极 1 = J型 负极 E类 S公司 负极 E类 负极 1 = J型 负极 H（H） 1 + J型 + H（H） 2 ,
在中进行分析 λ ∈ C类 + ，其中矩阵 S公司 ± ,
S公司 + ( λ ) = 秒 11 0 秒 21 1 , S公司 负极 ( λ ) = 1 秒 21 * 0 秒 22 * ,
和 H（H） 1 = 诊断 ( 1 , 0 ) , H（H） 2 = 诊断 ( 0 , 1 ) . 矩阵 S公司 ± 提供散射矩阵的因式分解 S公司 S公司 负极 = S公司 + . 此外，当Jost解决方案
( ψ 1 , φ 2 ) e（电子） 我 λ 2 σ 三 x个 = J型 + H（H） 1 + J型 负极 H（H） 2 ,
在中进行分析 λ ∈ C类 负极 此外，使用Volterra积分方程（20）–（21），这些分析函数的渐近性质在很大程度上- λ 可以获得：
P（P） + ( x个 , λ ) → 我 , λ ∈ C类 + → ∞ ,
和
( ψ 1 , φ 2 ) e（电子） 我 λ 2 σ 三 x个 → 我 , λ ∈ C类 负极 → ∞ .
为了得到相应的分析 P（P） + 在里面 C类 负极 ，方程的伴随方程(15)介绍：
K（K） x个 = 负极 我 λ 2 [ σ 三 , K（K） ] 负极 K（K） 问 .
由于这种关系
( J型 J型 负极 1 ) x个 = 0 = J型 x个 J型 负极 1 + J型 ( J型 负极 1 ) x个 ,
和散射方程(15)，我们有
( J型 负极 1 ) x个 = 负极 我 λ 2 [ σ 三 , J型 负极 1 ] 负极 J型 负极 1 问 ,
以便 J型 ± 负极 1 满足伴随散射方程(34). 使用与上面相同的技术 φ 负极 1 和 Ψ 负极 1 可以表示为
φ 负极 1 = φ ˜ 1 φ ˜ 2 , Ψ 负极 1 = ψ ˜ 1 ψ ˜ 2 .
可以看出，伴随Jost解是
P（P） 负极 = e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 φ ˜ 1 ψ ˜ 2 = E类 T型 + E类 负极 1 J型 + 负极 1 = E类 T型 负极 E类 负极 1 J型 负极 负极 1 = H（H） 1 J型 负极 负极 1 + H（H） 2 J型 + 负极 1 ,
在中进行分析 λ ∈ C类 负极 ，其中
T型 + ( λ ) = 秒 11 * 秒 21 * 0 1 , T型 负极 ( λ ) = 1 0 秒 21 秒 22 .
矩阵 T型 ± 还提供散射矩阵的分解： T型 + S公司 = T型 负极 . 此外，当伴随Jost解为
e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 ψ ˜ 1 φ ˜ 2 = H（H） 1 J型 + 负极 1 + H（H） 2 J型 负极 负极 1 ,
在中进行分析 λ ∈ C类 + 再次考虑Volterra积分方程，我们得到
P（P） 负极 ( x个 , λ ) → 我 , λ ∈ C类 负极 → ∞
和
e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 ψ ˜ 1 φ ˜ 2 → 我 , λ ∈ C类 + → ∞ .
上述Jost溶液的分析性质总结如下：
φ = ( φ 1 + , φ 2 负极 ) , Ψ = ( ψ 1 负极 , ψ 2 + ) ,
φ 负极 1 = ( φ ˜ 1 负极 , φ ˜ 2 + ) T型 , Ψ 负极 1 = ( ψ ˜ 1 + , ψ ˜ 2 负极 ) T型 .
这里，上标“±”表示基本量在 C类 ± 显然，我们知道约斯特解的解析性质，因此也知道散射矩阵的解析性质 S公司 ( λ ) 可以很容易地进行分析。因为这种关系
S公司 = Ψ 负极 1 φ = ψ ˜ 1 + ψ ˜ 2 负极 ( φ 1 + , φ 2 负极 ) ,
和
S公司 负极 1 = φ 负极 1 Ψ = φ ˜ 1 负极 φ ˜ 2 + ( ψ 1 负极 , ψ 2 + ) ,
散射矩阵的分析结构S公司和 S公司 负极 1 可以得到，表示为
S公司 = 秒 11 + 秒 12 秒 21 秒 22 负极 , S公司 负极 1 = 秒 ˜ 11 负极 秒 ˜ 12 秒 ˜ 21 秒 ˜ 22 + .
根据两者之间的关系 S公司 负极 1 和S公司，得出以下方程式：
秒 ˜ 11 = 秒 22 , 秒 ˜ 22 = 秒 11 , 秒 ˜ 12 = 负极 秒 12 , 秒 ˜ 21 = 负极 秒 21 .
到目前为止，矩阵函数 P（P） + ( x个 , λ ) 和 P（P） 负极 ( x个 , λ ) 构造，在中进行分析 C类 + 和 C类 负极 分别是。通过定义
G公司 + ( x个 , λ ) = 林 μ ∈ C类 + , μ → λ P（P） + ( x个 , μ ) , ( G公司 负极 ) 负极 1 ( x个 , λ ) = 林 μ ∈ C类 负极 , μ → λ P（P） 负极 ( x个 , μ ) , λ ∈ R（右） ∪ 我 R（右） ,
两个矩阵函数 G公司 + 和 G公司 负极 通过使用方程式（26）、（30）、（38）和（48）相互关联：
G公司 + ( x个 , λ ) ( G公司 负极 ) 负极 1 = G公司 ( x个 , λ ) ,
哪里
G公司 = E类 S公司 + T型 + E类 负极 1 = E类 S公司 负极 T型 负极 E类 负极 1 = E类 1 秒 ˜ 12 秒 21 1 E类 负极 1 .
方程式(49)精确地给出了相关矩阵的R–H问题。从方程（32）和（40）可以看出上述R–H的渐近性质
P（P） ± ( x个 , λ ) → 我 , λ ∈ C类 ± → ∞ ,
和正则归一化条件
G公司 ± ( x个 , λ ) → 我 , λ ∈ R（右） ∪ 我 R（右） → ∞ .
我们知道，求解孤子解的关键步骤是计算势矩阵问通过 P（P） ± ( x个 , λ ) .鉴于 P（P） + 作为散射问题（15）的解，我们将 P（P） + 在逃- λ 作为
P（P） + ( x个 , λ ) = 我 + λ 负极 1 P（P） 1 + ( x个 ) + λ 负极 2 P（P） 1 + ( x个 ) + o个 ( λ 负极 三 ) , λ → ∞ ,
并采用方程式(53)到方程式中(15)并比较 o个 ( 1 ) ，我们有
问 = 我 [ σ 三 , P（P） 1 + ] = 我 0 2 ( P（P） 1 + ) 12 负极 2 ( P（P） 1 + ) 21 0 .
因此，重构的解决方案q个可以表示为 P（P） + 作为
q个 = 2 我 ( P（P） 1 + ) 12 .
此时，逆散射过程已完成。
同样，我们得到
诊断 ( P（P） 1 + ) x个 = 诊断 ( 问 P（P） 1 + ) .
通过大-x个的渐近 P（P） + ( x个 , λ ) 来自方程式(19)和等式（55）–（56），我们可以找到完整的矩阵 P（P） 1 + ( x个 , λ ) 可以表示为
P（P） 1 + ( x个 ) = 1 2 我 ∫ 负极 ∞ x个 | q个 ( 年 ) | 2 d日 年 q个 ( x个 ) q个 ¯ ( x个 ) ∫ x个 ∞ | q个 ( 年 ) | 2 d日 年 .
通过同样的方法，我们可以得到 P（P） 负极 .
众所周知，带零的R–H问题的孤子解可以通过将其转化为无零的问题来获得。只要 det（探测） P（P） ± 指定为中的零 C类 ± ，以及的结构 克尔 P（P） ± 在这些零点处，可以确定方程（49）-（50）定义的每个相关R–H问题的解的唯一性。根据方程（30）和（38）的定义以及散射关系（26），我们得到
det（探测） P（P） + ( x个 , λ ) = 秒 ˜ 22 ( x个 , λ ) = 秒 11 ( x个 , λ ) ,
det（探测） P（P） 负极 ( x个 , λ ) = 秒 22 ( x个 , λ ) = 秒 ˜ 11 ( x个 , λ ) .
让N个是一种武断的天性，我们假设 秒 ˜ 22 有N个0 { λ k个 ∈ C类 + , 1 ≤ K（K） ≤ N个 } 和 秒 22 有N个0 { λ ^ k个 ∈ C类 负极 , 1 ≤ K（K） ≤ N个 } 。要获得N个-孤子，我们假设所有的零 λ k个 和 λ ^ k个 是简单的零。在这种情况下 克尔 P（P） + ( λ k个 ) , 1 ≤ K（K） ≤ N个 ，它仅包含一个列向量 v（v） k个 ; 每个 克尔 P（P） 负极 ( λ ^ k个 ) , 1 ≤ K（K） ≤ N个 ，它只包括一个单行向量 v（v） ^ k个 也就是说，
P（P） + ( λ k个 ) v（v） k个 = 0 , v（v） ^ k个 P（P） 负极 ( λ ^ k个 ) = 0 , 1 ≤ k个 ≤ N个 .
势矩阵问具有对称性（18），从而在散射矩阵和Jost函数中产生对称性。此外，我们注意到散射方程(15)具有厄米特性质，然后利用（18）中第一个方程的反厄米特特性，我们得到
J型 x个 † = 负极 我 λ ¯ 2 [ σ 三 , J型 † ] 负极 J型 † 问 .
因此，方程式(61)说明了这一点 J型 ± † ( x个 , λ ¯ ) 满足伴随散射方程(34). 来自方程式(35)，我们知道 J型 ± 负极 1 ( x个 , λ ) 也满足伴随方程。因此， J型 ± † ( x个 , λ ¯ ) 和 J型 ± 负极 1 ( x个 , λ ) 必须是线性相关的。那就是， J型 ± † ( x个 , λ ¯ ) = A类 J型 ± 负极 1 ( x个 , λ ) ，其中A类是x个-独立。我们可以得到 A类 = 1 利用Jost解的边界条件（19） J型 ± 也就是说，
J型 ± † ( x个 , λ ¯ ) = J型 ± 负极 1 ( x个 , λ ) .
利用这个对合性质和定义方程(30)以及（38） P（P） ± ，我们看到解析解 P（P） ± 还具有对合特性：
( P（P） + ) † ( λ ¯ ) = P（P） 负极 ( λ ) .
此外，从散射关系（26）可以看出 J型 + 和 J型 负极 ，对合特性也适用于S公司:
S公司 † ( λ ¯ ) = S公司 负极 1 ( λ ) .
考虑散射系数的零点 秒 ˜ 22 ( λ )和 秒 22 ( λ ) 是 λ k个 和 λ ^ k个 分别为；对合特性（64）的对合关系表示
λ ^ k个 = λ ¯ k个 .
为了得到特征向量的对称性 v（v） ^ k个 和 v（v） k个 ，我们使用公式中的厄米特 P（P） + ( λ k个 ) v（v） k个 = 0 ，取对合特性方程（63）和（65）。因此，我们有
v（v） k个 † P（P） 负极 ( λ ^ k个 ) = 0 .
然后，我们将其与方程式进行比较 v（v） ^ k个 P（P） 负极 ( λ ^ k个 ) = 0 ，看特征向量 ( v（v） k个 , v（v） k个 ^ ) 具有对合特性
v（v） ^ k个 = v（v） k个 † .
为了获得上述R–H问题中的孤子解，我们设置 G公司 = 我 。当我们设置时 秒 21 = 秒 ˜ 12 = 0 ，这意味着散射问题中不存在反射。通过分解有理矩阵 Γ ( λ ) ，带零的非正则R–H问题的解为
P（P） + ( λ ) = P（P） ˜ + ( λ ) Γ ( λ ) , P（P） 负极 ( λ ) = Γ 负极 1 ( λ ) P（P） ˜ 负极 ( λ ) .
P（P） ˜ ± 是以下正则化R–H问题的解决方案：
P（P） ˜ 负极 ( λ ) P（P） ˜ + ( λ ) = Γ ( λ ) G公司 ( λ ) Γ 负极 1 , λ ∈ R（右） ∪ 我 R（右） ,
和 P（P） ˜ ± → 我 作为 λ → ∞ .
有理矩阵函数 Γ 和 Γ 负极 1 ，定义为
Γ ( λ ) = 我 + ∑ k个 , 我 = 1 N个 v（v） k个 ( M（M） 负极 1 ) k个 我 v（v） ^ 我 λ 负极 λ ^ 我 , Γ 负极 1 ( λ ) = 我 负极 ∑ k个 , 我 = 1 N个 v（v） k个 ( M（M） 负极 1 ) k个 我 v（v） ^ 我 λ 负极 λ k个 ,
哪里
M（M） k个 我 = v（v） ^ k个 v（v） 我 λ ^ k个 负极 λ 我 , 1 ≤ k个 , 我 ≤ N个 ,
和 det（探测） Γ ( λ ) = Π 我 = 1 N个 λ 负极 λ 我 λ 负极 λ ^ 我 . Γ ( λ ) 和 Γ 负极 1 ( λ ) 零与 P（P） + ( λ ) 和 P（P） 负极 ( λ ) 以及空空格：
Γ ( λ k个 ) v（v） k个 = 0 , v（v） ^ k个 Γ 负极 1 ( λ ^ k个 ) = 0 .
因为零 λ k个 和 λ ^ k个 是内容，即它们不依赖于空间变量x个和时间变量t吨，很容易确定矢量的时间和空间演化 v（v） k个 ( x个 , t吨 ) 和 v（v） ^ k个 ( x个 , t吨 ) ( 1 ≤ k个 ≤ N个 ) 在里面 克尔 P（P） ± .我们计算了x个在方程的两边 P（P） + v（v） k个 = 0 .利用方程式(15)，我们有
P（P） + ( x个 , λ k个 ) d日 v（v） k个 d日 x个 + 我 λ k个 2 σ 三 v（v） k个 = 0 , 1 ≤ k个 ≤ N个 .
因此，我们可以得出以下结论： 1 ≤ k个 ≤ N个 ，向量 d日 v（v） k个 d日 x个 + 我 λ k个 2 σ 三 v（v） k个 必须位于的内核中 P（P） + ( x个 , λ k个 ) 它必须是向量的标量函数。我们设置常数为零
d日 v（v） k个 d日 x个 = 负极 我 λ k个 2 σ 三 v（v） k个 , 1 ≤ k个 ≤ N个 .
以类似的方式 v（v） k个 可通过使用（16）获得：
d日 v（v） k个 d日 t吨 = 负极 2 我 λ k个 4 σ 三 v（v） k个 , 1 ≤ k个 ≤ N个 .
最后，我们可以得到
v（v） k个 ( x个 , t吨 ) = e（电子） 负极 我 λ k个 2 σ 三 x个 负极 2 我 λ k个 4 σ 三 t吨 v（v） k个 0 , 1 ≤ k个 ≤ N个 ,
v（v） ^ k个 ( x个 , t吨 ) = v（v） ^ k个 0 e（电子） 我 λ ¯ k个 2 σ 三 x个 + 2 我 λ ¯ k个 4 σ 三 t吨 , 1 ≤ k个 ≤ N个 ,
哪里 v（v） k个 0 ( 1 ≤ k个 ≤ N个 ) 是任意常数列向量，并且 v（v） ^ k个 0 ( 1 ≤ k个 ≤ N个 ) 是任意常量行向量。

3.N孤子解及其Danamics

通过使用关系 P（P） + 方程（53）和（68）以及重构电位问在方程式中(54)，我们得到了方程的N孤子解(2)，表示为
P（P） 1 + = ∑ k个 , 我 = 1 N个 v（v） k个 ( M（M） 负极 1 ) k个 我 v（v） ^ 我
和
q个 ( x个 , t吨 ) = 2 我 ( P（P） 1 + ) 12 = 2 我 ∑ k个 , 我 = 1 N个 v（v） k个 ( M（M） 负极 1 ) k个 我 v（v） ^ 我 12 .
这里是向量 v（v） k个 由方程式给出(74), v（v） ^ k个 = v（v） k个 † 此外，矩阵M（M）已在方程式中定义(71). 在不失一般性的情况下，让 v（v） 我 0 = ( c（c） 我 , 1 ) T型 因此，解决方案q个可以明确表示为
q个 ( x个 , t吨 ) = 2 我 ∑ k个 , 我 = 1 N个 c（c） k个 e（电子） θ k个 负极 θ ¯ 我 ( M（M） 负极 1 ) k个 我 ,
其中 N个 × N个 矩阵M（M）是
M（M） k个 我 = 1 λ ¯ k个 负极 λ 我 e（电子） 负极 ( θ ¯ k个 + θ 我 ) + c（c） ¯ k个 c（c） 我 e（电子） θ ¯ k个 + θ 我 ,
哪里 θ k个 = 负极 我 λ k个 2 x个 负极 2 我 λ k个 4 t吨 .
为了简化计算q个也可以用矩阵行列式表示[48]:
q个 ( x个 , t吨 ) = 负极 2 我 det（探测） F类 det（探测） M（M） ,
哪里
F类 = 0 e（电子） 负极 θ ¯ 1 ⋯ e（电子） 负极 θ ¯ N个 c（c） 1 e（电子） θ 1 M（M） 11 ⋯ M（M） 1 N个 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c（c） N个 e（电子） θ N个 M（M） N个 1 ⋯ M（M） N个 N个 .

3.1. Single-Soliton解决方案

什么时候？ N个 = 1 ，解决方案 q个 ( x个 , t吨 ) 是
q个 ( x个 , t吨 ) = 2 我 ( λ ¯ 1 负极 λ 1 ) c（c） 1 e（电子） θ 1 负极 θ ¯ 1 e（电子） 负极 ( θ 1 + θ ¯ 1 ) + | c（c） 1 | 2 e（电子） θ 1 + θ ¯ 1 .
我们假设
λ 1 = ζ + 我 τ , c（c） 1 = e（电子） 负极 4 ζ τ x个 0 + 我 σ 0 ,
在这里， ζ 是真正的一部分 λ 1 、和 τ 是的虚部 λ 1 此外， x个 0 , σ 0 是实际参数；因此，方程的解(79)可以表示为
q个 ( x个 , t吨 ) = 2 τ 秒 { 4 ζ τ [ x个 + 4 ( ζ 2 τ 负极 ζ τ 2 ) t吨 ] 负极 x个 0 } 经验 负极 2 我 ( ζ 2 负极 τ 2 ) x个 负极 4 我 ( ζ 4 + τ 4 负极 6 ζ 2 τ 2 ) t吨 + 我 σ 0 } .
注意振幅函数的形状 | q个 ( x个 , t吨 ) | 是双曲正割，其峰值振幅为 2 τ 速度是 负极 4 ( ζ 2 τ 负极 ζ τ 2 ) 我们可以看到孤子的峰值振幅仅依赖于 τ 因此，孤子碰撞后峰值不会改变。解的相位不仅与空间成线性关系x个但也在t吨。此外，参数 x个 0 表示孤立波的初始位置，以及 σ 0 表示孤立波的相位。我们选择了合适的参数，并给出了单孤子解的演化特征图1.
备注 2
由于Lax对的不同，相应的空间矩阵谱问题的R–H问题也不同。通过解（85）我们可以清楚地看到，类NLS方程与导数NLS方程的单孤子解不同，这也使得类NLS方程式对应于导数NLS方程式的脉冲宽度和速度不同。

3.2. 双孤子解决方案

什么时候？ N个 = 2 ，也可以显式写出双孤子解；然而，这是相当复杂的。为了简单起见，我们采用 N个 = 2 到方程式中(81)然后得到
q个 ( x个 , t吨 ) = 负极 2 我 负极 c（c） 1 e（电子） θ 1 负极 θ ¯ 1 M（M） 22 + c（c） 2 e（电子） θ 2 负极 θ ¯ 1 M（M） 12 | M（M） | × c（c） 1 e（电子） θ 1 负极 θ ¯ 2 M（M） 21 负极 c（c） 2 e（电子） θ 2 负极 θ ¯ 2 M（M） 11 | M（M） | ,
哪里
M（M） 11 = e（电子） 负极 ( θ 1 + θ ¯ 1 ) + | c（c） 1 | 2 e（电子） θ 1 + θ ¯ 1 λ ¯ 1 负极 λ 1 , M（M） 12 = e（电子） 负极 ( θ 2 + θ ¯ 1 ) + c（c） ¯ 1 c（c） 2 e（电子） θ 2 + θ ¯ 1 λ ¯ 1 负极 λ 2 , M（M） 21 = e（电子） 负极 ( θ 1 + θ ¯ 2 ) + c（c） ¯ 2 c（c） 1 e（电子） θ 1 + θ ¯ 2 λ ¯ 2 负极 λ 1 , M（M） 22 = e（电子） 负极 ( θ 2 + θ ¯ 2 ) + | c（c） 2 | 2 e（电子） θ 2 + θ ¯ 2 λ ¯ 2 负极 λ 2 .
然后，我们展示了双孤子在图2和图3一个用于 ζ 1 ≠ ζ 2 另一个是针对 ζ 1 = ζ 2 .给，
λ k个 = ζ k个 + 我 τ k个 , k个 = 1 , 2 ,
哪里 ζ k个 是真正的一部分 λ k个 和 τ k个 是的虚部 λ k个 .
案例一。我们设置了 λ 1 = 1 + 0.75 我 , λ 2 = 0.65 + 0.55 我 .
在这种情况下，我们假设 ζ 1 > ζ 2 ，表示孤子2位于孤子1的左侧 t吨 → 负极 ∞ 以及快速移动。碰撞后，它们的位置和相位将被散射。通过渐近分析，我们可以解释这种变化。
什么时候？ t吨 → 负极 ∞ 通过简单计算，方程的渐近状态(86)可以表示为
q个 ( x个 , t吨 ) → 2 我 ( λ ¯ 1 负极 λ 1 ) c（c） 1 负极 e（电子） θ 1 负极 θ ¯ 1 e（电子） 负极 ( θ 1 + θ ¯ 1 ) + | c（c） 1 负极 | 2 e（电子） θ 1 + θ ¯ 1 , t吨 → 负极 ∞ ,
哪里 c（c） 1 负极 = c（c） 1 λ 1 负极 λ 2 λ 1 负极 λ ¯ 2 渐近解具有相同的峰值振幅 2 τ 1 和速度 负极 4 ( ζ 1 2 τ 1 负极 ζ 1 τ 1 2 ) 作为方程式(86).
什么时候？ t吨 → + ∞ ，方程的渐近状态(86)也可以表示为
q个 ( x个 , t吨 ) → 2 我 ( λ ¯ 1 负极 λ 1 ) c（c） 1 + e（电子） θ 1 负极 θ ¯ 1 e（电子） 负极 ( θ 1 + θ ¯ 1 ) + | c（c） 1 + | 2 e（电子） θ 1 + θ ¯ 1 , t吨 → + ∞ ,
哪里 c（c） 1 + = c（c） 1 λ 1 负极 λ ¯ 2 λ 1 负极 λ 2 . 渐近解也具有相同的峰值振幅 2 τ 1 和速度 负极 4 ( ζ 1 2 τ 1 负极 ζ 1 τ 1 2 ) 作为方程式(86). 作为图2结果表明，该解在碰撞后没有改变孤立波的速度和形状，但孤立波的初始位置和相位发生了偏移。
位置偏移为
Δ x个 01 = 负极 1 4 ζ 1 τ 1 ( 自然对数 | c（c） 1 + | 负极 自然对数 | c（c） 1 负极 | ) = 1 2 ζ 1 τ 1 自然对数 λ 1 负极 λ 2 λ 1 负极 λ ¯ 2 .
很容易看到 Δ x个 01 < 0 , 因为 λ k个 ∈ C类 + 然后，相移为
Δ σ 01 = 参数 ( c（c） 1 + ) 负极 参数 ( c（c） 1 负极 ) = 负极 2 参数 λ 1 负极 λ 2 λ 1 负极 λ ¯ 2 .
同样，作为 t吨 → ± ∞ , 渐近解具有相同的峰值振幅 2 τ 2 和速度 负极 4 ( ζ 2 2 τ 2 负极 ζ 2 τ 2 2 ) 单孤子，其中 c（c） 2 负极 = c（c） 1 λ 2 负极 λ ¯ 1 λ 2 负极 λ 1 , c（c） 2 + = c（c） 1 λ 2 负极 λ 1 λ 2 负极 λ ¯ 1 . 因此，第二个孤子位置偏移为
Δ x个 02 = 负极 1 2 ζ 2 τ 2 自然对数 λ 2 负极 λ 1 λ 2 负极 λ ¯ 1 > 0 ,
并且相移是
Δ σ 02 = 2 参数 λ 2 负极 λ 1 λ 2 负极 λ ¯ 1 .
从方程（90）和（92）中，我们得到
Δ x个 02 Δ x个 01 = 负极 ζ 1 τ 1 ζ 2 τ 2 .
这表明每个孤子的位置偏差与其振幅成反比。
案例二。我们设置了 λ 1 = 0.8 + 0.55 我 , λ 2 = 0.8 + 0.45 我 .
在第二种情况下，我们假设 ζ 1 = ζ 2 .作为图3结果表明，这两个孤子具有相同的速度和振幅函数 | q个 ( x个 , t吨 ) | 具有随时间的周期性振荡。

4.扰动NLS-Like方程中R–H数据的演变

在这一部分中，一个扰动的类NLS方程
我 q个 t吨 + q个 x个 x个 负极 2 q个 | q个 | 2 + 2 一 ( | q个 | 2 ) x个 q个 = R（右） ′ ( q个 )
分析，式中(95)被称为几乎可积系统。在这里， R（右） ′ 是扰动项，并且 ε ≪ 1 .我们给出了符号 δ δ t吨 以区分可积贡献和扰动贡献。因此，
我 δ 问 δ t吨 = R（右） , R（右） = 0 R（右） ′ 负极 R（右） ′ ¯ 0 .
通常，扰动会导致R–H数据的缓慢演变。事实上，扰动导致了变化 δ 问 谱方程的势(15)导致Jost解的变化，
δ J型 ± x个 = 负极 我 λ 2 [ σ 三 , δ J型 ± ] + δ 问 J型 ± + 问 δ J型 ± .
通过求解方程，我们得到
δ J型 ± = J型 ± E类 ( ∫ ± ∞ x个 d日 x个 ′ E类 负极 1 J型 ± 负极 1 δ 问 J型 ± E类 ) E类 负极 1 .
因此，通过利用方程（26）、（30）和（38），我们得到散射矩阵的变化：
δ S公司 δ t吨 = 负极 我 ε S公司 + ∫ 负极 ∞ ∞ d日 x个 E类 负极 1 ( P（P） + ) 负极 1 R（右） P（P） + E类 S公司 负极 负极 1 = 负极 我 ε T型 + 负极 1 ∫ 负极 ∞ ∞ d日 x个 E类 负极 1 P（P） 负极 R（右） ( P（P） 负极 ) 负极 1 E类 T型 负极 .
在这里， S公司 ± 和 T型 ± 矩阵定义于第2节注意，解析解 P（P） ± 自然安装在方程式中。因此，我们可以表示
Y（Y） + ( 一 , b条 ) = ∫ 一 b条 d日 x个 E类 负极 1 ( P（P） + ) 负极 1 R（右） P（P） + E类 , Y（Y） 负极 ( 一 , b条 ) = ∫ 一 b条 d日 x个 E类 负极 1 P（P） 负极 R（右） ( P（P） 负极 ) 负极 1 E类 , Y（Y） ± ( λ ) ≡ Y（Y） ± ( 负极 ∞ , ∞ ) .
然后，
δ S公司 δ t吨 = 负极 我 ε S公司 + Y（Y） + ( λ ) S公司 负极 负极 1 = 负极 我 ε T型 + 负极 1 Y（Y） 负极 ( λ ) T型 负极 .
矩阵 Y（Y） ± 通过矩阵相互关联G公司R–H问题（49）：
Y（Y） 负极 ( λ ) = G公司 Y（Y） + ( λ ) G公司 负极 1 .
从方程（30）和（38）可以看出，解析解的变化如下
δ P（P） + δ t吨 = 负极 我 ε P（P） + E类 H（H） + E类 负极 1 , δ P（P） 负极 δ t吨 = 我 ε E类 H（H） 负极 E类 负极 1 P（P） 负极 ,
哪里 H（H） + 是进化函数，定义为
H（H） + = Y（Y） + ( λ ) H（H） 1 负极 Y（Y） + ( x个 , ∞ ) , H（H） 负极 = H（H） 1 Y（Y） 负极 ( λ ) 负极 Y（Y） 负极 ( x个 , ∞ ) .
来自方程式(63)，我们得到了 H（H） + 和 H（H） 负极 , H（H） 负极 = H（H） + † , λ ∈ R（右） ∪ 我 R（右） 。它们包含有关扰动的所有基本信息。从扰动发展方程获得的附加项 P（P） ± 由定义 H（H） ± ,
( P（P） + ) t吨 = 负极 2 我 k个 4 [ σ 三 , P（P） + ] + V（V） P（P） + 负极 我 ε P（P） + E类 H（H） + E类 负极 1 , ( P（P） 负极 ) t吨 = 负极 2 我 k个 4 [ σ 三 , P（P） 负极 ] 负极 P（P） 负极 V（V） + 我 ε E类 H（H） 负极 E类 负极 1 P（P） 负极 .
此外，矩阵的演化方程G公司R–H问题的形式
G公司 t吨 = 负极 2 我 k个 4 [ σ 三 , G公司 ] 负极 我 ε ( G公司 H（H） + 负极 H（H） 负极 G公司 ) .
实际上，该方程提供了连续R–H数据的演变。
接下来，我们推导了离散R–H数据的扰动诱导演化方程，即零 λ k个 和特征向量 v（v） k个 .矢量 v（v） K（K） = ( v（v） K（K） 1 , v（v） K（K） 2 ) T型 是恒定的，没有扰动。在扰动下，矢量 v（v） K（K） = ( v（v） K（K） 1 , v（v） K（K） 2 ) T型 有缓慢的t吨依赖。让我们从方程式开始
P（P） + ( λ k个 ) v（v） k个 = P（P） + ( λ k个 ) e（电子） ( 负极 我 λ k个 2 x个 负极 2 我 ∫ d日 t吨 λ k个 4 ) σ 三 v（v） P（P） = 0
它不受扰动的影响。这里，指数中的积分考虑了零点的时间依赖性 λ k个 由可能的扰动引起的。取总导数t吨，我们得到
( P（P） + ( λ ) e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 负极 2 我 ∫ d日 t吨 λ k个 4 σ 三 ) t吨 + ( P（P） + ( λ ) e（电子） 负极 我 λ 2 σ 三 x个 负极 2 我 ∫ d日 t吨 λ k个 4 σ 三 ) λ λ t吨 λ = λ k个 + P（P） + ( λ k个 ) e（电子） 负极 我 λ k个 2 σ 三 x个 负极 2 我 ∫ d日 t吨 λ k个 4 σ 三 ( v（v） P（P） ) t吨 = 0 .
第一学期 ( P（P） + ) t吨 由方程式给出(98)，其中包括进化函数 H（H） + 注意，进化功能 H（H） + ( λ ) 由定义 Y（Y） + 在方程式中(97)这取决于 ( P（P） + ) 负极 1 反之亦然。因此，函数 H（H） + ，其中有一个简单的极点 λ k个 ，在中是亚纯的 C类 + ，其中 P（P） + 有零，
H（H） + ( λ ) = H（H） + ( 注册 ) ( λ ) + 1 λ 负极 λ k个 雷斯 [ H（H） + ( λ ) , λ k个 ] ,
哪里 H（H） + ( 雷斯 ) 表示的常规部分 H（H） + 在这一点上 λ k个 向量的扰动演化 v（v） K（K） 由提供
( v（v） K（K） ) t吨 = 我 ε e（电子） 2 我 ∫ d日 t吨 λ k个 4 σ 三 H（H） + ( 注册 ) ( λ k个 ) e（电子） 负极 2 我 ∫ d日 t吨 λ k个 4 σ 三 v（v） K（K） .
为了推导 λ k个 ，我们从方程式开始 det（探测） P（P） + ( λ k个 ) = 0 .取总导数t吨，我们得到
[ ( det（探测） P（P） + ( λ ) ) t吨 ] λ = λ k个 + [ ( det（探测） P（P） + ( λ ) ) λ ] λ = λ k个 ( λ k个 ) t吨 = 0 .
根据方程式（68）和（70），我们得到
det（探测） P（P） + ( λ ) = λ 负极 λ k个 λ 负极 λ ¯ k个 det（探测） P（P） ˜ + ( λ ) ,
哪里 det（探测） P（P） ˜ + ( λ ) ≠ 0 . 从方程式（73）–（74）中，我们得到
v（v） k个 = 经验 ( θ k个 σ 三 ) v（v） k个 0 = 经验 ( θ k个 + 一 k个 + 我 σ 0 k个 ) e（电子） 负极 θ k个 .
在这里， θ k个 = 负极 我 λ k个 2 x个 负极 2 我 λ k个 4 t吨 , 并定义 经验 ( 一 k个 + 我 σ 0 k个 ) = ( v（v） k个 0 ) 1 / ( v（v） k个 0 ) 2 ，使用 一 k个 和 σ 0 k个 是实际常数。表示 [ det（探测） P（P） + ( λ ) ] t吨 = 我 ε 信托收据 H（H） + det（探测） P（P） + ( λ ) ，我们最终得到了一个简单的光谱演化方程 λ k个 , 一 k个 , σ 0 k个 ,
( λ k个 ) t吨 = 负极 我 ε 雷斯 [ Y（Y） + 22 ( λ ) , λ k个 ] ,
和
( 一 k个 + 我 σ 0 k个 ) t吨 = Y（Y） 22 ( 注册 ) ( λ k个 ) 负极 经验 4 我 ∫ 0 t吨 d日 t吨 λ k个 4 负极 一 k个 负极 我 σ 0 k个 Y（Y） 12 ( 注册 ) ( λ k个 ) .
R–H数据的扰动诱导演化由方程（99）、（102）和（103）确定。注意，这些方程是准确的，因为我们没有提到 ε 此外，这些方程不能直接应用，因为 Y（Y） ± 进入并依赖于未知的解决方案 P（P） ± 扰动势的谱问题问.

5.结论

本文中，一个类NLS方程与 2 × 2 研究了松弛对。我们从Lax对方程的谱分析开始(2). 通过使用R-H方法，当散射系数消失时，可以利用实轴上无穷远处的正则化条件来求解相应的R-H问题。当跳转矩阵G公司是单位矩阵，则可以得到可积方程的N孤子解。R–H方法是一种非常有用的工具，特别是对于孤子解。众所周知，R–H方法已被广泛用于求解许多可积方程，例如广义Sasa–Satsuma方程[14]一般耦合非线性薛定谔方程[49]和Harry–Dym方程[50]. 此外，基于R–H问题，推导了演化泛函，得到了扰动类NLS方程中的R–H数据。微扰理论有许多应用，如任意偏振光脉冲在光纤中的传播、多组分孤子方程以及各种玻色-爱因斯坦凝聚中的孤子脉冲。
研究精确解和其他类型的可积方程，分析基于R–H问题的摄动理论具有重要意义。进一步研究如何将R–H问题应用于广义可积对应方程，并结合微扰理论将是我们未来的考虑之一。

作者贡献

所有作者对本文的写作贡献均等。所有作者阅读并批准了最终手稿。

基金

本研究由山东省自然科学基金（批准号ZR2019QD018）、国家自然科学基金会（批准号61602188）、山东科技大学人才招聘科研基金（批准编号2017RCJJ068、2017RCJ J069）资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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对称11 00826 g001 550
图1。孤子模量 q个 ( x个 , t吨 ) 在方程式中(85)参数选择为 τ = 0.5 , ζ = 0.2 , x个 0 = 0.2 , σ 0 = 0.2 .
图1。孤子模量 q个 ( x个 , t吨 ) 在方程式中(85)参数选择为 τ = 0.5 , ζ = 0.2 , x个 0 = 0.2 , σ 0 = 0.2 .
对称11 00826 g001
对称11 00826 g002 550
图2。孤子模量 q个 ( x个 , t吨 ) 在方程式中(86)参数选择为 ζ 1 = 1 , τ 1 = 0.75 , ζ 2 = 0.65 , τ 2 = 0.55 , c（c） 1 = 三 2 , c（c） 2 = 负极 1 2 我 .
图2。孤子模量 q个 ( x个 , t吨 ) 在方程式中(86)参数选择为 ζ 1 = 1 , τ 1 = 0.75 , ζ 2 = 0.65 , τ 2 = 0.55 , c（c） 1 = 三 2 , c（c） 2 = 负极 1 2 我 .
对称11 00826 g002
对称11 00826 g003 550
图3。孤子模量 q个 ( x个 , t吨 ) 在方程式中(86)参数选择为 ξ 1 = 0.8 , η 1 = 0.55 , ξ 2 = 0.8 , η 2 = 0.45 , c（c） 1 = 1 , c（c） 2 = 1 .
图3。孤子模量 q个 ( x个 , t吨 ) 在方程式中(86)参数选择为 ξ 1 = 0.8 , η 1 = 0.55 , ξ 2 = 0.8 , η 2 = 0.45 , c（c） 1 = 1 , c（c） 2 = 1 .
对称11 00826 g003

分享和引用

MDPI和ACS样式

Lin，Y。；Dong，H。；方，Y。类NLS方程的N孤子解和基于Riemann–Hilbert问题的扰动理论。对称 2019,11, 826.https://doi.org/10.3390/sym11060826

AMA风格

林毅、董浩、方毅。类NLS方程的N孤子解和基于Riemann–Hilbert问题的扰动理论。对称. 2019; 11(6):826.https://doi.org/10.3390/sym11060826

芝加哥/图拉宾风格

林玉欣、董焕和和方勇。2019.“类NLS方程的N孤子解和基于Riemann–Hilbert问题的扰动理论”对称11，6号：826。https://doi.org/10.3390/sym11060826

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。查看更多详细信息在这里.

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