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第11卷
第6版
10.3390/sym11060768
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第条

量子演算中协同凸函数的Simpson型不等式

通过
Humaira Kalsoom公司
1,*,
吴俊德
1,
萨比尔·侯赛因
2和
穆罕默德·阿默·拉蒂夫
三
1
浙江大学数学科学学院，杭州310027
2
巴基斯坦拉合尔54890工程技术大学数学系
三
沙特阿拉伯Hail 2440 Hail大学基础科学系预科课程院长
*
信件应寄给的作者。
对称 2019,11(6), 768;https://doi.org/10.3390/sym11060768
收到的提交文件：2019年5月16日/修订日期：2019年5月31日/接受日期：2019年5月31日/发布日期：2019年6月6日
版本注释

摘要

:
本文的目的是证明一个新的引理和二元函数在上下坐标上具有凸性的量子Simpson型不等式 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] 此外，我们的推导引入了新的方向，并验证了先前的结果。

1.简介

在数学方面，q个–微积分，也称为量子微积分，是对微积分的无限研究。在量子微积分中，我们获得了数学对象的q类比，可以重新描述为 q个 → 1 − 这个概念是由Euler提出的，他介绍了q个无穷级数，由牛顿进一步详细定义。稍后，Jackson[1]提出了q个–定积分并扩展了q个–微积分。不同领域的q个微积分在正交多项式、数论、信息技术、量子力学和相对论中有着广泛的应用。量子微积分和不等式理论的深入工作在[2,三,4]以及其中引用的参考文献。关于q个–有限区间上的导数 α , β ⊂ R（右） 由Tariboon等人介绍[5,6]并讨论了量子类似物的许多问题，如q个–Hölder不等式，q个–奥斯特罗斯基不等式，q个–柯西–施瓦兹不等式，q个–Grüss–Čhebyšev不等式，q个–Grüss不等式和其他积分不等式。
Noor等人[7,8]，Sudsutad等人[9]和Zhung等人[10]已使用q个-可微凸函数和拟凸函数以不同的方式研究积分不等式，其结果有助于估计Hermite–Hadamard不等式量子模拟的右侧。
不等式与凸函数理论有很大的依赖性。这种关系是使用凸函数发表的大量文献背后的主要理智。在过去三十年中，Hermite–Hadamard不等式得到了广泛的研究。Hermite–Hadamard不等式为连续函数提供了必要和充分的条件 小时 : V（V） ⊂ R（右） → R（右） 凸起 [ α , β ] ，其中 α , β ∈ V（V） 具有 α < β 这些不等式如下所述：
小时 α + β 2 ≤ 1 β − α ∫ α β 小时 ( z（z） ) d日 z（z） ≤ 小时 ( α ) + 小时 ( β ) 2 .
以下不等式被认为是辛普森不等式：
让 小时 : [ α , β ] → R（右） 是区间上的四次连续可微映射 [ α , β ] 和 | | 小时 ( 4 ) | | ∞ = 啜饮 z（z） ∈ α , β 小时 4 z（z） < ∞ 那么，以下不等式成立：
1 三 小时 ( α ) + 小时 ( β ) 2 + 2 小时 α + β 2 − 1 β − α ∫ α β 小时 ( z（z） ) d日 z（z） ≤ β − α 4 2880 小时 ( 4 ) ∞ .
关于Simpson型不等式的一些结果已经被许多研究者证明。有关更多详细信息，请参阅[11,12,13,14].
Tunçet al.首次提出基于凸性的单变量函数的Simpson型量子积分不等式[15].
引理 1
出租 小时 : V（V） → R（右） 是一个连续函数，并且 q个 ∈ ( 0 , 1 ) .如果 α D类 q个 小时 是上的可积函数 V（V） o（o） （V的内部），则以下不等式成立：
1 6 小时 ( α ) + 4 小时 α + β 2 + 小时 ( β ) − 1 β − α ∫ α β 小时 ( x个 ) α d日 q个 x个 = ( β − α ) ∫ 0 1 第页 ( z（z） ) α D类 q个 小时 1 − z（z） α + z（z） β 0 d日 q个 z（z） ,
哪里
第页 ( z（z） ) = q个 z（z） − 1 6 , z（z） ∈ [ 0 , 1 2 ) , q个 z（z） − 5 6 , z（z） ∈ [ 1 2 , 1 ) .
平面矩形上协调凸函数的Hermite–Hadamard型不等式的初步研究 R（右） 2 由Dragomir处理[16].
协调凸函数的Simpson型不等式的基础是由Øzdemir等人奠定的[17].
引理 2
让 小时 : Δ ⊂ R（右） 2 → R（右） 是上的部分可微映射 Δ = [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] .如果 ∂ 2 小时 ∂ z（z） ∂ w个 ∈ L（左） ( Δ ) ，则以下等式成立：
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 α , ψ + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 − 1 6 ( β − α ) ∫ α β 小时 ( x个 , ψ ) + 4 小时 x个 , ψ + ϕ 2 + 小时 x个 , ϕ d日 x个 − 1 6 ϕ − ψ ∫ ψ ϕ 小时 α , 年 + 4 小时 α + β 2 , 年 + 小时 β , 年 d日 年 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个
= ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 第页 ( x个 , z（z） ) q个 ( 年 , w个 ) ∂ 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) ∂ z（z） ∂ w个 d日 z（z） d日 w个 ,
哪里
第页 x个 , z（z） = z（z） − 1 6 , z（z） ∈ 0 , 1 2 z（z） − 5 6 , z（z） ∈ 1 2 , 1
和
q个 ( 年 , w个 ) = w个 − 1 6 , w个 ∈ [ 0 , 1 2 ] w个 − 5 6 , w个 ∈ 1 2 , 1 .
主要结果来自[17]如下定理所述。
定理 1
让 小时 : Δ ⊂ R（右） 2 → R（右） 是上的二阶部分可微函数Δ.如果 ∂ 2 小时 ∂ z（z） ∂ w个 是坐标上的凸函数Δ，则给定不等式成立：
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类
≤ 25 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) 144 ∂ 2 小时 ( α , ψ ) ∂ t吨 ∂ 秒 + ∂ 2 小时 ( α , ϕ ) ∂ t吨 ∂ 秒 + ∂ 2 小时 ( β , ψ ) ∂ t吨 ∂ 秒 + ∂ 2 小时 ( β , ϕ ) ∂ t吨 ∂ 秒 ,
哪里
A类 = 1 6 ( β − α ) ∫ α β 小时 ( x个 , ψ ) + 4 小时 x个 , ψ + ϕ 2 + 小时 ( x个 , ϕ ) d日 x个 + 1 6 ( ϕ − ψ ) ∫ ψ ϕ 小时 ( α , 年 ) + 4 小时 α + β 2 , 年 + 小时 ( β , 年 ) d日 年 .

2.前期工作

为了实现我们的主要目标，我们回顾了关于q个–微积分。概念q个-Tariboon等人给出了单变量微积分[5,6]
定义 1
让 小时 : V（V） = [ 一 , b条 ] ⊂ R（右） → R（右） 是一个连续函数，并让 秒 ∈ V（V） 然后，在s处，h对V的q导数 q个 ∈ ( 0 , 1 ) 定义为
α D类 q个 小时 ( 秒 ) = 小时 ( 秒 ) − 小时 ( q个 秒 + ( 1 − q个 ) α ) ( 1 − q个 ) ( 秒 − α ) , 秒 ≠ α .
很明显
林 秒 → α α D类 q个 小时 ( 秒 ) = α D类 q个 小时 ( α ) .
函数h在V上是q可微的；那么， α D类 q个 小时 ( 秒 ) 对所有人都存在 秒 ∈ V（V） 此外，如果我们采取 α = 0 英寸(4)，然后 0 D类 q个 小时 = D类 q个 小时 ，其中 D类 q个 小时 是众所周知的q–的导数 小时 ( 秒 ) ，由定义
D类 q个 小时 ( 秒 ) = 小时 ( 秒 ) − 小时 ( q个 秒 ) ( 1 − q个 ) ( 秒 ) .
此外，我们将定义高阶q个-函数的导数V（V）.
定义 2
让 小时 : V（V） = [ 一 , b条 ] ⊂ R（右） → R（右） 是一个连续函数，并且 q个 ∈ ( 0 , 1 ) 为常数，表示为 α D类 q个 2 小时 （前提是 α D类 q个 小时 在V）上是q-可微的，它是 V（V） → R（右） 由定义
α D类 q个 2 小时 = α D类 q个 α D类 q个 小时 .
同样，前提是 α D类 q个 n个 − 1 小时 对于某个整数，在V上q可微 n个 > 2 ，的 n个 t吨 小时 -V上h的q阶导数 V（V） → R（右） 由定义
α D类 q个 n个 小时 = α D类 q个 α D类 q个 n个 − 1 小时 .
定义 三。
让 小时 : V（V） = [ 一 , b条 ] ⊂ R（右） → R（右） 是一个连续函数，并且 q个 ∈ ( 0 , 1 ) 是一个常数。然后，V上的q–积分定义为
∫ α 秒 小时 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） = ( 1 − q个 ) ( 秒 − α ) ∑ n个 = 0 ∞ q个 n个 小时 ( q个 n个 秒 + ( 1 − q个 n个 ) α )
对于 秒 ∈ V（V） .
注意，如果我们 α = 0 英寸(5)，然后我们得到了函数的经典q积分的概念 小时 ( z（z） ) 作为
∫ 0 秒 小时 ( z（z） ) 0 d日 q个 z（z） = ( 1 − q个 ) 秒 ∑ n个 = 0 ∞ q个 n个 ( q个 n个 秒 ) .
定理 2
让 小时 : V（V） = [ 一 , b条 ] ⊂ R（右） → R（右） 是一个连续函数，并且 q个 ∈ ( 0 , 1 ) 是一个常量；那么，我们有以下内容
( 我 ) α D类 q个 ∫ α 秒 小时 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） = 小时 ( 秒 ) ; ( 我 我 ) ∫ α 秒 α D类 q个 小时 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） = 小时 ( 秒 ) ; ( 我 我 我 ) ∫ ψ 秒 α D类 q个 小时 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） = 小时 ( 秒 ) − 小时 ( ψ ) , ψ ∈ ( α , 秒 ) .
定理 三。
出租 小时 1 , 小时 2 : V（V） = [ 一 , b条 ] ⊂ R（右） → R（右） 是一个连续函数，以及 一 ∈ R（右） 和 q个 ∈ ( 0 , 1 ) 如果是一个常数，那么我们有以下结果：
( 我 ) ∫ α 秒 小时 1 ( z（z） ) + 小时 2 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） = ∫ α 秒 小时 1 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） + ∫ α 秒 小时 2 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） , ( 我 我 ) ∫ α 秒 ( 一 小时 1 ( z（z） ) ) α d日 q个 z（z） = 一 ∫ α 秒 小时 1 ( z（z） ) α d日 q个 z（z） .
Latif等人[18]二元函数的演化量子积分不等式理论及其引入q个–Hermite–有限矩形上两变量函数的Hadamard型不等式。很容易看出，Latif等人[18]包含Tariboon等人[5]特殊情况下小时是单个变量的函数。
定义 4
让 小时 : [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ R（右） 2 → R（右） 是两个变量的连续函数 q个 1 , q个 2 ∈ ( 0 , 1 ) 为常数。那么，部分 q个 1 -衍生工具， q个 2 -衍生工具和 q个 1 q个 2 -衍生工具 ( 秒 , t吨 ) ∈ [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] 其特征分别为：
α ∂ q个 1 小时 ( 秒 , t吨 ) α ∂ q个 1 秒 = 小时 ( q个 1 秒 + ( 1 − q个 1 ) α , t吨 ) − 小时 ( 秒 , t吨 ) ( 1 − q个 1 ) ( 秒 − α ) , 秒 ≠ α , ψ ∂ q个 2 小时 ( 秒 , t吨 ) ψ ∂ q个 2 t吨 = 小时 ( 秒 , q个 2 t吨 + ( 1 − q个 2 ) ψ ) − 小时 ( 秒 , t吨 ) ( 1 − q个 2 ) ( t吨 − ψ ) , t吨 ≠ ψ , α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( 秒 , t吨 ) α ∂ q个 1 秒 ψ ∂ q个 2 t吨 = 1 ( 1 − q个 1 ) ( 1 − q个 2 ) ( 秒 − α ) ( t吨 − ψ ) × [ 小时 ( q个 1 秒 + ( 1 − q个 1 ) α , q个 2 t吨 + ( 1 − q个 2 ) ψ ) − 小时 ( q个 1 秒 + ( 1 − q个 1 ) α , t吨 ) − 小时 ( 秒 , q个 2 t吨 + ( 1 − q个 2 ) ψ ) + 小时 ( 秒 , t吨 ) ] , 秒 ≠ α , t吨 ≠ ψ .
功能 小时 : [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ R（右） 2 → R（右） 被部分调用 q个 1 - q个 2 -和 q个 1 q个 2 -可在上微分 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] 如果 α ∂ q个 1 小时 ( 秒 , t吨 ) α ∂ q个 1 秒 , ψ ∂ q个 2 小时 ( 秒 , t吨 ) ψ ∂ q个 2 t吨 和 α , ψ ∂ q个 1 q个 2 2 小时 ( 秒 , t吨 ) α ∂ q个 1 秒 ψ ∂ q个 2 t吨 为所有人存在 ( 秒 , t吨 ) ∈ [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] .
类似地，我们可以定义高阶偏导数。
定义 5
让 小时 : [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ R（右） 2 → R（右） 是两个变量的连续函数 q个 1 , q个 2 ∈ ( 0 , 1 ) 为常数。那么，确定 q个 1 q个 2 -上的积分 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] 被界定为：
∫ ψ t吨 ∫ α 秒 小时 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 = ( 1 − q个 1 ) ( 1 − q个 2 ) ( 秒 − α ) ( t吨 − ψ ) ∑ 米 = 0 ∞ ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 秒 + 1 − q个 1 n个 α , q个 2 米 t吨 + 1 − q个 2 米 ψ
对于 ( 秒 , t吨 ) ∈ [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] .
定理 4
让 小时 : [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ R（右） 2 → R（右） 是一个连续函数。然后，
( 我 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 α ∂ q个 1 秒 ψ ∂ q个 2 t吨 ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 小时 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 = 小时 ( 秒 , t吨 ) ( 我 我 ) ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 = 小时 ( 秒 , t吨 ) ( 我 我 我 ) ∫ t吨 1 t吨 ∫ 秒 1 秒 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 = 小时 ( 秒 , t吨 ) − 小时 ( 秒 , t吨 1 ) − 小时 ( 秒 1 , t吨 ) + 小时 ( 秒 1 , t吨 1 ) , ( 秒 1 , t吨 1 ) ∈ ( α , 秒 ) × ( ψ , t吨 ) .
定理 5
让 小时 1 , 小时 2 : [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ R（右） 2 → R（右） 是连续函数和 一 ∈ R（右） 然后，对于 ( 秒 , t吨 ) ∈ [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ,
( 我 ) ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 小时 1 ( z（z） , w个 ) + 小时 2 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 = ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 小时 1 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 + ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 小时 2 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 . ( 我 我 ) ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 一 小时 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 = 一 ∫ ψ t吨 ∫ α 秒 小时 ( z（z） , w个 ) α d日 q个 1 z（z） ψ d日 q个 2 w个 .
定理 6
（双和的Hölder不等式）。假设 x个 米 n个 米 , n个 ∈ N个 和 年 米 n个 米 , n个 ∈ N个 是实数（或复数）序列 第页 1 − 1 + 第页 2 − 1 = 1 , 第页 1 , 第页 2 > 1 ，以下双和不等式成立：
∑ 米 = 0 ∞ ∑ n个 = 0 ∞ x个 米 n个 年 米 n个 ≤ ∑ 米 = 0 ∞ ∑ n个 = 0 ∞ x个 米 n个 第页 1 1 第页 1 ∑ 米 = 0 ∞ ∑ n个 = 0 ∞ 年 米 n个 第页 2 1 第页 2 ,
其中假设所有的总和都是有限的。
定理 7
( q个 1 q个 2 –两变量函数的Hölder不等式）。设g和h是定义在 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ] 和 q个 1 , q个 2 ∈ ( 0 , 1 ) 为常数。如果 第页 1 − 1 + 第页 2 − 1 = 1 具有 第页 1 第页 2 > 1 ，以下不等式 q个 1 q个 2 –两变量函数的Hölder不等式成立：
∫ α β ∫ ψ ϕ 克 ( z（z） , w个 ) 小时 ( z（z） , w个 ) ψ d日 q个 2 w个 α d日 q个 1 z（z）
≤ ∫ α β ∫ ψ ϕ 克 ( z（z） , w个 ) 第页 1 ψ d日 q个 2 w个 α d日 q个 1 z（z） 1 第页 1 ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( z（z） , w个 ) 第页 2 ψ d日 q个 2 w个 α d日 q个 1 z（z） 1 第页 2 .
有关更多详细信息，请参阅[15].
引理 三。
让 0 < q个 < 1 成为一个常量。然后，保持
A类 q个 : = ∫ 0 1 2 ( 1 − t吨 ) q个 t吨 − 1 6 0 d日 q个 t吨 = 36 q个 三 + 12 q个 2 + 12 q个 + 1 216 ( q个 三 + 2 q个 2 + 2 q个 + 1 ) . B类 q个 : = ∫ 0 1 2 t吨 q个 t吨 − 1 6 0 d日 q个 t吨 = 18 q个 2 + 18 q个 − 7 216 ( q个 三 + 2 q个 2 + 2 q个 + 1 ) . C类 q个 : = ∫ 1 2 1 ( 1 − t吨 ) q个 t吨 − 5 6 0 d日 q个 t吨 = 12 q个 2 + 12 q个 + 5 216 ( q个 三 + 2 q个 2 + 2 q个 + 1 ) . D类 q个 : = ∫ 1 2 1 t吨 q个 t吨 − 5 6 0 d日 q个 t吨 = 18 q个 2 + 18 q个 + 25 216 ( q个 三 + 2 q个 2 + 2 q个 + 1 ) . E类 q个 : = ∫ 0 1 2 q个 t吨 − 1 6 0 d日 q个 t吨 = 6 q个 − 1 36 ( q个 + 1 ) . F类 q个 : = ∫ 1 2 1 q个 t吨 − 5 6 0 d日 q个 t吨 = 5 36 ( q个 + 1 ) . G公司 q个 : = ∫ 0 1 2 q个 t吨 − 1 6 第页 0 d日 q个 t吨 = 1 + ( 三 q个 − 1 ) 第页 + 1 ( 1 − q个 ) 6 第页 + 1 q个 ( 1 − q个 第页 + 1 ) . H（H） q个 : = ∫ 1 2 1 q个 t吨 − 5 6 第页 0 d日 q个 t吨 = ( 5 − 三 q个 ) 第页 + 1 + ( 6 q个 − 5 ) 第页 + 1 ( 1 − q个 ) 6 第页 + 1 q个 ( 1 − q个 第页 + 1 ) .
本文的主要目的是通过考虑二元函数的理论量子演算，给出有限矩形上二元函数Simpson型不等式的引理，并导出一些量子类比。
此外，我们还利用函数绝对值坐标上的凸性，为双变量函数的Simpson型不等式提供了一些量子估计 q个 1 q个 2 -偏导数。

3.主要成果

引理 4
让 小时 : Δ ⊂ R（右） 2 → R（右） 是混合部分 q个 1 q个 2 -上的可微函数 Δ o（o） （的内部Δ). 此外，如果混合部分 q个 1 q个 2 -导数 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 是连续的且可积的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ Δ o（o） 对于 q个 1 , q个 2 ∈ ( 0 , 1 ) ，则以下等式成立：
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 − 1 6 ( β − α ) ∫ α β 小时 ( x个 , ψ ) + 4 小时 x个 , ψ + ϕ 2 + 小时 ( x个 , ϕ ) 0 d日 q个 1 x个 − 1 6 ( ϕ − ψ ) ∫ ψ ϕ 小时 ( α , 年 ) + 4 小时 α + β 2 , 年 + 小时 ( β , 年 ) 0 d日 q个 2 年 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) 0 d日 q个 2 年 0 d日 q个 1 x个
= ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 ,
哪里
P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) = q个 1 z（z） − 1 6 , z（z） ∈ 0 , 1 2 , q个 1 z（z） − 5 6 , z（z） ∈ [ 1 2 , 1 ) ,
和
T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) = q个 2 w个 − 1 6 , w个 ∈ [ 0 , 1 2 ) , q个 2 w个 − 5 6 , w个 ∈ [ 1 2 , 1 ) .
证明。 
现在，我们考虑
∫ 0 1 2 ∫ 0 1 2 q个 1 z（z） − 1 6 q个 2 w个 − 1 6 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 + ∫ 0 1 2 ∫ 1 2 1 q个 1 z（z） − 1 6 q个 2 w个 − 5 6 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 + ∫ 1 2 1 ∫ 0 1 2 q个 1 z（z） − 5 6 q个 2 w个 − 1 6 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 + ∫ 1 2 1 ∫ 1 2 1 q个 1 z（z） − 5 6 q个 2 w个 − 5 6 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 .
根据偏微分的定义 q个 1 q个 2 -导数和定 q个 1 q个 2 -积分，我们有
∫ 0 1 2 ∫ 0 1 2 q个 1 z（z） − 1 6 q个 2 w个 − 1 6 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = 1 ( 1 − q个 1 ) ( 1 − q个 2 ) ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 2 ∫ 0 1 2 q个 1 z（z） − 1 6 q个 2 w个 − 1 6 z（z） w个 × [ 小时 ( z（z） q个 1 β + ( 1 − z（z） q个 1 ) α , w个 q个 2 ϕ + ( 1 − w个 q个 2 ) ψ ) − 小时 ( z（z） q个 1 β + ( 1 − z（z） q个 1 ) α , w个 ) − 小时 ( z（z） , w个 q个 2 ϕ + ( 1 − w个 q个 2 ) ψ ) + 小时 ( z（z） , w个 ) ] 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个
1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = − 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ q个 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , ψ + ϕ 2 − 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α + β 2 , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
− q个 2 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = q个 2 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 一 + b条 2 , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ − q个 2 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
− q个 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = q个 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , ψ + ϕ 2 − q个 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
q个 1 q个 2 ( ϕ − ψ ) ( β − α ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ
− 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = 小时 α + β 2 , ψ 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , ψ − 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = − 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) + 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , ψ + ϕ 2 + 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ , q个 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = q个 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , ψ + ϕ 2 + ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , ψ
+ q个 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
− q个 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ
− 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = 小时 α , ψ + ϕ 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ − 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
q个 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = − q个 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α + β 2 , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ + ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ + q个 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = − 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) + 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α + β 2 , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ + 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
− q个 2 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ
1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = 小时 ( α , ψ ) 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) + 1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
− 1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = − 小时 α , ψ + ϕ 2 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − 1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
− 1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = − 小时 α + β 2 , ψ 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) − 1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ ,
1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ = 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) + 1 36 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∑ n个 = 1 ∞ ∑ 米 = 1 ∞ 小时 q个 1 n个 2 β + 1 − q个 1 n个 2 α , q个 2 米 2 ϕ + 1 − q个 2 米 2 ψ .
我们可以分别以如上所示的相同方式计算其余三个积分的值，然后将它们相加，得到以下结果：
∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − 秒 ) ψ + 秒 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = 小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 − 1 − q个 1 6 ( β − α ) ( ψ − ϕ ) [ ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 β + 1 − q个 1 n个 α , ψ + 4 ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 β + 1 − q个 1 n个 α , ψ + ϕ 2 + ∑ n个 = 0 ∞ q个 1 n个 小时 q个 1 n个 β + 1 − q个 1 n个 α , ϕ ]
− 1 − q个 2 6 ( β − α ) ( ψ − ϕ ) [ ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α , q个 2 米 ϕ + 1 − q个 2 米 ψ + 4 ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 α + β 2 , q个 2 米 ϕ + 1 − q个 2 米 ψ + ∑ 米 = 0 ∞ q个 2 米 小时 β , q个 2 米 ϕ + 1 − q个 2 米 ψ ] + ( 1 − q个 1 ) ( 1 − q个 2 ) ( β − α ) ( ψ − ϕ ) ∑ n个 = 0 ∞ ∑ 米 = 0 ∞ 小时 q个 1 n个 β + 1 − q个 1 n个 α , q个 2 米 ϕ + 1 − q个 2 米 ψ
= 小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 − 1 6 ( β − α ) 2 ( ψ − ϕ ) ∫ α β 小时 ( x个 , ψ ) + 4 小时 x个 , ψ + ϕ 2 + 小时 ( x个 , ϕ ) 0 d日 q个 1 x个 − 1 6 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) 2 ∫ ψ ϕ 小时 ( α , 年 ) + 4 小时 α + β 2 , 年 + 小时 ( β , 年 ) 0 d日 q个 1 年 + 1 ( β − α ) 2 ( ϕ − ψ ) 2 ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) 0 d日 q个 1 x个 0 d日 q个 1 年 .
将的两边相乘(10)由 ( β − α ) ( ψ − ϕ ) ，我们得到了预期的结果。□
定理 8
让 小时 : Δ ⊂ R（右） 2 → R（右） 部分混合 q个 1 q个 2 -上的可微映射 Δ o（o） （的内部Δ). 此外，如果部分混合 q个 1 q个 2 –衍生产品 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 是连续的且可积的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ Δ o（o） 对于 q个 1 , q个 2 ∈ ( 0 , 1 ) 和 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 在坐标上是凸的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ，则给定不等式成立：
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) [ M（M） q个 1 ( A类 q个 2 + C类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + M（M） q个 1 ( B类 q个 2 + D类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + N个 q个 1 ( A类 q个 2 + C类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + N个 q个 1 ( B类 q个 2 + D类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 ] ,
哪里
A类 = 1 6 ( β − α ) ∫ α β 小时 ( x个 , ψ ) + 4 小时 x个 , ψ + ϕ 2 + 小时 ( x个 , ϕ ) 0 d日 q个 1 x个 + 1 6 ( ϕ − ψ ) ∫ ψ ϕ 小时 ( α , 年 ) + 4 小时 α + β 2 , 年 + 小时 ( β , 年 ) 0 d日 q个 2 年 .
证明。 
取引理4的等式和凸性两边的绝对值 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 关于坐标 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ，那么我们有
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( ( 1 − z（z） ) α + z（z） β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 ≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 | T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) | [ ∫ 0 1 | P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) | { ( 1 − z（z） ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 } 0 d日 q个 1 z（z） ] 0 d日 q个 2 w个 .
计算上述不等式右侧的积分，我们得到
∫ 0 1 | P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) | ( 1 − z（z） ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） = ∫ 0 1 2 | q个 1 z（z） − 1 6 | ( 1 − z（z） ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z）
+ ∫ 1 2 1 q个 1 z（z） − 5 6 ( 1 − z（z） ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 0 d日 q个 1 z（z） = α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 ∫ 0 1 2 ( 1 − z（z） ) q个 1 z（z） − 1 6 0 d日 q个 1 z（z） + α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 ∫ 0 1 2 z（z） q个 1 z（z） − 1 6 0 d日 q个 1 z（z） + α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 ∫ 1 2 1 ( 1 − z（z） ) q个 1 z（z） − 5 6 0 d日 q个 1 z（z） + α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 ∫ 1 2 1 z（z） q个 1 z（z） − 5 6 0 d日 q个 1 z（z） .
利用引理3，
= A类 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + B类 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + C类 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + D类 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 .
经过简化，我们得到
= 6 q个 1 三 + 4 q个 1 2 + 4 q个 1 + 1 36 ( q个 1 三 + 2 q个 1 2 + 2 q个 1 + 1 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + 2 q个 1 2 + 2 q个 1 + 1 12 ( q个 1 三 + 2 q个 1 2 + 2 q个 1 + 1 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 = M（M） q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + N个 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 .
我们获得
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类 ≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) [ M（M） q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 小时 ( α , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) + N个 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 小时 ( β , ( 1 − w个 ) ψ + w个 ϕ ) ] 0 d日 q个 2 w个 .
通过对上述积分的类似论证，我们得到
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) [ ∫ 0 1 2 q个 2 w个 − 1 6 { ( 1 − w个 ) M（M） q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 ψ ∂ q个 2 w个 + w个 M（M） q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 w个 ψ ∂ q个 2 w个 + ( 1 − w个 ) N个 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 ψ ∂ q个 2 w个 + w个 N个 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 } + ∫ 1 2 1 q个 2 w个 − 5 6 { ( 1 − w个 ) M（M） q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 ψ ∂ q个 2 w个 + w个 M（M） q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 w个 ψ ∂ q个 2 w个 + ( 1 − w个 ) N个 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 ψ ∂ q个 2 w个 + w个 N个 q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 } ] 0 d日 q个 2 w个 .
再次利用引理3，我们得到
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) [ M（M） q个 1 ( A类 q个 2 + C类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + M（M） q个 1 ( B类 q个 2 + D类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + N个 q个 1 ( A类 q个 2 + C类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 + N个 q个 1 ( B类 q个 2 + D类 q个 2 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 ] .
我们获得了预期的结果。□
备注 1
出租 q个 1 → 1 − 和 q个 2 → 1 − 在定理8中，定理8转化为定理3[17].
定理 9
让 小时 : Δ ⊂ R（右） 2 → R（右） 部分混合 q个 1 q个 2 -上的可微映射 Δ o（o） （内部Δ). 此外，如果部分混合 q个 1 q个 2 -导数 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 是连续的且可积的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ Δ o（o） 对于 q个 1 , q个 2 ∈ 0 , 1 和 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 在坐标上是凸的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] 对于 第页 1 > 1 具有 第页 1 − 1 + 第页 1 − 1 = 1 ，则给定不等式成立：
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) G公司 q个 1 + H（H） q个 1 G公司 q个 2 + H（H） q个 2 1 第页 1 ( 1 + q个 1 ) ( 1 + q个 2 ) 1 第页 1 × q个 1 q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 1 第页 1 ,
其中A在定理8中定义。
证明。 
使用 ( q个 1 , q个 2 ) –二元函数的Hölder不等式不等式和凸性 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 关于坐标 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ，那么我们有
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 第页 2 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 1 第页 2 × ( ∫ 0 1 ∫ 0 1 [ ( 1 − z（z） ) ( 1 − w个 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + ( 1 − z（z） ) w个 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + ( 1 − w个 ) z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + w个 z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 ] 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 ) 1 第页 1 .
利用引理3，我们得到
∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 第页 1 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) 第页 1 0 d日 q个 1 ∫ 0 1 T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 第页 1 0 d日 q个 2 w个 = G公司 q个 1 + H（H） q个 1 G公司 q个 2 + H（H） q个 2 .
利用 q个 1 -积分和 q个 2 -积分，我们得到
∫ 0 1 ( 1 − z（z） ) 0 d日 q个 1 z（z） = q个 1 1 + q个 1 , ∫ 0 1 ( 1 − w个 ) 0 d日 q个 2 w个 = q个 2 1 + q个 2 , ∫ 0 1 z（z） 0 d日 q个 1 z（z） = 1 1 + q个 1 , ∫ 0 1 w个 0 d日 q个 2 w个 = 1 1 + q个 2 .
最后，
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) G公司 q个 1 + H（H） q个 1 G公司 q个 2 + H（H） q个 2 1 第页 1 ( 1 + q个 1 ) ( 1 + q个 2 ) 1 第页 1 × q个 1 q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + q个 1 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 + α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 1 1 第页 1 ,
这是我们的预期结果。□
定理 10
让 小时 : Δ ⊂ R（右） 2 → R（右） 部分混合 q个 1 q个 2 -上的可微映射 Δ o（o） （内部Δ). 此外，如果部分混合 q个 1 q个 2 -导数 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 是连续的且可积的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ⊂ Δ o（o） 对于 q个 1 , q个 2 ∈ ( 0 , 1 ) 和 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 在坐标上是凸的 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] 对于 第页 ≥ 1 ，则给定不等式成立：
小时 α , ψ + ϕ 2 + 小时 β , ψ + ϕ 2 + 4 小时 α + β 2 , ψ + ϕ 2 + 小时 α + β 2 , ψ + 小时 α + β 2 , ϕ 9 + 小时 ( α , ψ ) + 小时 ( β , ψ ) + 小时 ( α , ϕ ) + 小时 ( β , ϕ ) 36 + 1 ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ α β ∫ ψ ϕ 小时 ( x个 , 年 ) d日 年 d日 x个 − A类
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) E类 q个 1 + F类 q个 1 ) ( E类 q个 2 + F类 q个 2 1 − 1 第页 × ( A类 q个 1 + C类 q个 1 A类 q个 2 + C类 q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 + A类 q个 1 + C类 q个 1 B类 q个 2 + D类 q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 + B类 q个 1 + D类 q个 1 A类 q个 2 + C类 q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 + B类 q个 1 + D类 q个 1 B类 q个 2 + D类 q个 2 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 ) 1 第页 ,
其中A在定理8中定义。
证明。 
使用 ( q个 1 , q个 2 ) –二元函数的Hölder不等式不等式和凸性 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( z（z） , w个 ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 关于坐标 [ α , β ] × [ ψ , ϕ ] ，那么我们有
≤ ( β − α ) ( ϕ − ψ ) ∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 1 − 1 第页 ∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) × [ ( ( 1 − z（z） ) ( 1 − w个 ) α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 + ( 1 − z（z） ) w个 α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( α , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 + ( 1 − w个 ) z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ψ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 + w个 z（z） α , ψ ∂ q个 1 , q个 2 2 小时 ( β , ϕ ) α ∂ q个 1 z（z） ψ ∂ q个 2 w个 第页 ] 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 ) 1 第页 .
利用引理3，我们观察到
∫ 0 1 ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = ∫ 0 1 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) 0 d日 q个 1 z（z） ∫ 0 1 T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 2 w个 = E类 q个 1 + F类 q个 1 E类 q个 2 + F类 q个 2 , ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 − z（z） ) ( 1 − w个 ) P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = ∫ 0 1 ( 1 − z（z） ) P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) 0 d日 q个 1 z（z） ∫ 0 1 ( 1 − w个 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 2 w个 = A类 q个 1 + C类 q个 1 A类 q个 2 + C类 q个 2 ,
∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 − z（z） ) w个 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = ∫ 0 1 ( 1 − z（z） ) P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) 0 d日 q个 1 z（z） ∫ 0 1 w个 T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 2 w个 = A类 q个 1 + C类 q个 1 B类 q个 2 + D类 q个 2 , ∫ 0 1 ∫ 0 1 z（z） ( 1 − w个 ) P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = ∫ 0 1 z（z） P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) 0 d日 q个 1 z（z） ∫ 0 1 ( 1 − w个 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 2 w个 = B类 q个 1 + D类 q个 1 A类 q个 2 + C类 q个 2 , ∫ 0 1 ∫ 0 1 z（z） w个 P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 1 z（z） 0 d日 q个 2 w个 = ∫ 0 1 z（z） P（P） ( x个 , z（z） , q个 1 ) 0 d日 q个 1 z（z） ∫ 0 1 w个 T型 ( 年 , w个 , q个 2 ) 0 d日 q个 2 w个 = B类 q个 1 + D类 q个 1 B类 q个 2 + D类 q个 2 .
使用上述值 q个 1 q个 2 -积分，我们得到想要的不等式。□

作者贡献

概念化，香港和M.A.L。；编写书面原稿，香港。；写作审查和编辑，M.A.L.和S.H。；监理，J.W。

基金

这项研究工作是在浙江大学数学科学学院进行的，杭州310027，中国。

致谢

中国政府为胡马伊拉·卡索姆提供了全额博士研究奖学金，应该得到认可。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

Kalsoom H、Wu J-D、Hussain S、Latif MA。量子演算中协同凸函数的Simpson型不等式。对称. 2019; 11(6):768.https://doi.org/10.3390/sym11060768

芝加哥/图拉宾风格

Kalsoom、Humaira、Jun-De Wu、Sabir Hussain和Muhammad Amer Latif。2019.“量子演算中协同凸函数的Simpson型不等式”对称11，6号：768。https://doi.org/10.3390/sym11060768

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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