Numerical Simulation of PDEs by Local Meshless Differential Quadrature Collocation Method

Ahmad, Imtiaz; Ahsan, Muhammad; Hussain, Iltaf; Kumam, Poom; Kumam, Wiyada

doi:10.3390/sym11030394

开放式访问第条

局部无网格微分求积配置法对偏微分方程的数值模拟

¹

巴基斯坦斯瓦比23430斯瓦比大学数学系

²

巴基斯坦白沙瓦25000工程技术大学基础科学系

^三

KMUTT固定点研究实验室，SCL 802室，固定点实验室，数学系，科学实验室大楼，通布里国王蒙古特理工大学（KMUTT），126 Pracha-Uthit Road，Bang Mod，Thrung Khru，Bangkok 10140，Thailand

⁴

台湾台中40402中国医科大学医院医学研究部

⁵

泰国巴吞他尼市塔尼亚布里拉贾曼加拉科技大学（RMUTT）科学与技术学院数学与计算机科学系应用统计课程，邮编：12110

^*

应向其寄送信件的作者。

对称性 2019,11(3), 394;https://doi.org/10.3390/sym11030394

收到的提交文件：2019年2月6日/修订日期：2019年3月10日/接受日期：2019年3月13日/发布时间：2019年3月18日

（本文属于特刊微分方程的守恒定律和对称性)

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版本注释

摘要

:

本文提出了一种基于径向基函数的局部无网格微分求积配置方法，用于一维Klein–Gordon方程、二维耦合Burgers方程和正则长波方程的数值模拟。采用局部和全局无网格配置程序进行空间离散，将上述偏微分方程转换为常微分方程组。所得到的系统已经用正欧拉差分公式进行了求解。在对流主导的耦合Burgers模型方程的情况下，使用了迎风技术。与全局无网格方法相比，在问题域中不需要网格并且对形状参数的变化不太敏感是局部无网格方法的显著特征。考虑了具有均匀和分散节点的矩形和非矩形区域。通过测试问题显示了所提出方法的准确性、有效性和易实现性。

关键词：

无网格法;微分求积;径向基函数;逆风技术

1.简介

Klein–Gordon（KG）方程可以描述化学和物理科学中的各种生命现象。KG方程可以写成：

\frac{\partial^{2} U型}{\partial {t吨}^{2}} + α \frac{\partial^{2} U型}{\partial {x个}^{2}} + β U型 + γ {U型}^{2} = 小时 (x个, t吨), x个 \in [一, b条], t吨 > 0,

(1)

以及初始和边界条件：

\begin{matrix} U型 (x个, 0) & = {小时}_{1} (x个), \frac{\partial U型 (x个, 0)}{\partial t吨} = {小时}_{2} (x个), \\ U型 (一, t吨) & = {小时}_{三} (t吨), U型 (b条, t吨) = {小时}_{4} (t吨), \end{matrix}

(2)

哪里

α

,

β

，以及

γ

是参数。

非线性KG方程在非线性光学、量子力学、固体物理和数学物理等许多领域都有应用[1,2]. KG方程的求解采用了多种数值技术，如辛有限差分法[三]、光谱法[4]，无网格RBF方法[5]，有限差分配置法[6]微分求积法[7]，Haar小波方法[8]，分解方法[2]拉普拉斯变换和勒让德小波方法[9]，格子Boltzmann方法[10]，和多重二次拟插值方法[11].

二维耦合Burgers方程[12,13,14,15]可以写为：

\begin{matrix} \frac{\partial U型}{\partial t吨} + U型 \frac{\partial U型}{\partial x个} + V（V） \frac{\partial U型}{\partial 年} - \frac{1}{R（右） e（电子）} (\frac{\partial^{2} U型}{\partial {x个}^{2}} + \frac{\partial^{2} U型}{\partial 年^{2}}) & = 0, (x个, 年) \in Ω \\ \frac{\partial V（V）}{\partial t吨} + U型 \frac{\partial V（V）}{\partial x个} + V（V） \frac{\partial V（V）}{\partial 年} - \frac{1}{R（右） e（电子）} (\frac{\partial^{2} V（V）}{\partial {x个}^{2}} + \frac{\partial^{2} V（V）}{\partial 年^{2}}) & = 0, (x个, 年) \in Ω \end{matrix}

(3)

具有初始和边界条件：

\begin{matrix} U型 (x个, 年, 0) & = 我_{1} (x个, 年), V（V） (x个, 年, 0) = 我_{2} (x个, 年), (x个, 年) \in Ω \\ U型 (x个, 年, t吨) & = {B类}_{1} (x个, 年, t吨), V（V） (x个, 年, t吨) = {B类}_{2} (x个, 年, t吨), (x个, 年) \in \partial Ω \end{matrix}

(4)

哪里

R（右） e（电子）

是一个实际常数，称为雷诺数。

耦合的伯格方程与许多物理问题有关，包括交通流、声波传播、粘性流体中激波的流动、翼型流动理论、超音速流动和湍流现象（参见[12,13,14,15]以及其中的参考资料）。

具有初始和边界条件的二维非线性正则长波（RLW）方程可以写成[16,17],

\begin{matrix} \frac{\partial U型}{\partial t吨} - \frac{\partial}{\partial t吨} (\frac{\partial^{2} U型}{\partial {x个}^{2}} + \frac{\partial^{2} U型}{\partial 年^{2}}) + \frac{\partial U型}{\partial x个} + \frac{\partial U型}{\partial 年} + U型 \frac{\partial U型}{\partial x个} + U型 \frac{\partial U型}{\partial 年} = 0, (x个, 年) \in Ω, t吨 > 0, \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} U型 (x个, 年, 0) & = 克_{1} (x个, 年), (x个, 年) \in Ω \\ U型 (x个, 年, t吨) & = 克_{2} (x个, 年, t吨), U型 (x个, 年, t吨) = 克_{三} (x个, 年, t吨) . (x个, 年) \in \partial Ω \end{matrix}

(6)

正则长波（RLW）模型方程描述了许多物理现象[18]. 到目前为止，现有文献包含了许多用于求解RLW方程的数值方法，如有限差分法[19,20]，插值无单元伽辽金方法[17]有限元法[21]傅里叶伪谱方法[22]，和三次B样条方法[23]. 此外，Petrov–Galerkin方法[24]和无元素kp-Ritz方法[25]用于广义RLW方程。

近年来，在几乎所有工程学科中，无网格方法在求解各种PDE模型领域得到了广泛关注。无网格特性是此类方法需求不断增长的最重要原因之一。无网格方法在很大程度上降低了有限元和有限差分程序等传统方法在执行过程中所面临的因维数引起的复杂性。在复杂几何体的情况下进行网格划分是无网格方法需求不断增长的另一个原因。基于RBF的算法的数值结果表明，它们确实是无网格的、精确的、易于实现的。在中可以找到一些有趣的模型[26,27,28,29,30].

值得注意的是，基于全局插值范式的全局无网格方法（GMM）面临着密集的条件矩阵和寻找形状参数最佳值的问题。为了避免GMM的局限性，使用基于子域局部插值的局部无网格方法作为替代，以获得PDE模型的稳定和精确解（参见[31,32,33,34,35,36,37]).

本文提出了基于径向基函数的局部无网格微分求积配置法（LMM），用于一维非线性KG方程、二维耦合Burgers方程和二维RLW方程的数值模拟。LMM是一种精确而有效的数值技术，需要两步来近似与时间相关的偏微分方程。首先，利用径向基函数逼近空间导数，将给定的偏微分方程转换为常微分方程组。然后，通过合适的常微分方程求解器求解得到的常微分方程式。

本文的其余部分组织如下：建议的数值方法在第2节; 该方法在不同测试问题中的实现如所示第3节; 最后，在中给出了一些总结性意见第4节.

2.数值方法的实现

LMM公司[26,33]扩展到中讨论的PDE模型第1节.的导数

U型 (x个, t吨)

在中心

{x个}_{我}

由以下邻域中一组节点的函数值近似

{{x个}_{我 1}, {x个}_{我 2}, {x个}_{我 三}, \dots, {x个}_{我 {n个}_{我}}} \subset {{x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots, {x个}_{{N个}^{n个}}}, {n个}_{我} ≪ {N个}^{n个}

，其中

我 = 1, 2, \dots, {N个}^{n个}

对于一维情况，

n个 = 1

和

x个 = x个

，对于二维情况，

n个 = 2

和

x个 = (x个, 年)

.

现在，对于1D案例，我们有：

{U型}^{(米)} ({x个}_{我}) \approx \sum_{k个 = 1}^{{n个}_{我}} λ_{k个}^{(米)} U型 ({x个}_{我 k个}), 我 = 1, 2, \dots, N个 .

(7)

找到相应的系数

λ_{k个}^{(米)}

，径向基函数

ψ (∥ x个 - {x个}_{我} ∥)

可在方程式中替换(7)如下：

ψ^{(米)} (∥ {x个}_{我} - {x个}_{我} ∥) = \sum_{k个 = 1}^{{n个}_{我}} λ_{我 k个}^{(米)} ψ (∥ {x个}_{我 k个} - {x个}_{我} ∥), 我 = 我 1, 我 2, \dots, 我 {n个}_{我},

(8)

哪里

ψ (∥ {x个}_{我 k个} - {x个}_{我} ∥) = \sqrt{1 + (c ∥ {x个}_{我 k个} - {x个}_{我} {∥)}^{2}}

和

ψ (∥ {x个}_{我 k个} - {x个}_{我} ∥) = {(1 + (c ∥ {x个}_{我 k个} - {x个}_{我} ∥)}^{2})^{- 1}

在多二次（MQ）和反二次（IQ）径向基函数的情况下。

方程的矩阵表示法(8)是：

ψ_{{n个}_{我}}^{(米)} = {A类}_{{n个}_{我}} λ_{{n个}_{我}}^{(米)},

（9）

哪里：

ψ_{{n个}_{我}}^{(米)} = {[\begin{matrix} ψ_{我 1}^{(米)} ({x个}_{我}) & ψ_{我 2}^{(米)} ({x个}_{我}) & \dots & ψ_{我 {n个}_{我}}^{(米)} ({x个}_{我}) \end{matrix}]}^{T型},

{A类}_{{n个}_{我}} = [\begin{matrix} ψ_{我 1} ({x个}_{我 1}) & ψ_{我 2} ({x个}_{我 1}) & \dots & ψ_{我 {n个}_{我}} ({x个}_{我 1}) \\ ψ_{我 1} ({x个}_{我 2}) & ψ_{我 2} ({x个}_{我 2}) & \dots & ψ_{我 {n个}_{我}} ({x个}_{我 2}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ ψ_{我 1} ({x个}_{我 {n个}_{我}}) & ψ_{我 2} ({x个}_{我 {n个}_{我}}) & \dots & ψ_{我 {n个}_{我}} ({x个}_{我 {n个}_{我}}) \end{matrix}],

λ_{{n个}_{我}}^{(米)} = {[\begin{matrix} λ_{我 1}^{(米)} & λ_{我 2}^{(米)} & \dots & λ_{我 {n个}_{我}}^{(米)} \end{matrix}]}^{T型} .

根据公式(9)，我们得到：

λ_{{n个}_{我}}^{(米)} = {A类}_{{n个}_{我}}^{- 1} ψ_{{n个}_{我}}^{(米)} .

（10）

从方程式(7)和(10)，我们得到：

\begin{matrix} {U型}^{(米)} ({x个}_{我}) = {(λ_{{n个}_{我}}^{(米)})}^{T型} {U型}_{{n个}_{我}}, \end{matrix}

哪里：

{U型}_{{n个}_{我}} = {[U型 ({x个}_{我 1}), U型 ({x个}_{我 2}), \dots, U型 ({x个}_{我 {n个}_{我}})]}^{T型} .

对于二维情况

U型 (x个, 年, t吨)

关于x个以与上述类似的方式近似，可以写成：

{U型}_{x个}^{(米)} ({x个}_{我}, 年_{我}) \approx \sum_{k个 = 1}^{{n个}_{我}} γ_{k个}^{(米)} U型 ({x个}_{我 k个}, 年_{我 k个}), 我 = 1, 2, \dots, {N个}^{2},

(11)

以及相应的系数

γ_{k个}^{(米)}, k个 = 1, 2, \dots, {n个}_{我}

如下所示：

γ_{{n个}_{我}}^{(米)} = {A类}_{{n个}_{我}}^{- 1} Φ_{{n个}_{我}}^{(米)} .

(12)

类似地

U型 (x个, 年, t吨)

关于年及其相应系数

η_{k个}^{(米)}, k个 = 1, 2, \dots, {n个}_{我}

如下所示：

{U型}_{年}^{(米)} ({x个}_{我}, 年_{我}) \approx \sum_{k个 = 1}^{{n个}_{我}} η_{k个}^{(米)} U型 ({x个}_{我 k个}, 年_{我 k个}), 我 = 1, 2, \dots, {N个}^{2},

(13)

η_{{n个}_{我}}^{(米)} = {A类}_{{n个}_{我}}^{- 1} Φ_{{n个}_{我}}^{(米)} .

(14)

对于对流主导的PDE模型，所提出的LMM与基于局部支持域的技术相结合，称为迎风技术。这种技术能够避免虚假振荡解。使用了两种类型的本地支持域，即中央域和迎风域，如所示图1和图2.

2.1. KG方程的LMM实现

现在，使用上述无网格方法求解方程(1)在空间上，我们得到了二阶常微分方程，它通过代换被简化为一阶常微分

{U型}_{t吨} (x个, t吨) = V（V） (x个, t吨)

如下：

{U型}_{t吨} = V（V）, {V（V）}_{t吨} = 小时 (x个, t吨) - α {U型}_{x个 x个} - β U型 - γ {U型}^{2},

(15)

具有初始和边界条件：

U型 (x个, 0) = {（f）}_{1} (x个), V（V） (x个, 0) = {（f）}_{2} (x个), x个 \in [一, b条],

(16)

U型 (一, t吨) = {（f）}_{三} (t吨), U型 (b条, t吨) = {（f）}_{4} (t吨), V（V） (一, t吨) = {（f）}_{5} (t吨), V（V） (b条, t吨) = {（f）}_{6} (t吨), t吨 > 0 .

（17）

现在，将LMM应用于方程(15):

\begin{matrix} \frac{d日 {U型}_{我}}{d日 t吨} = {V（V）}_{{n个}_{我}}, \frac{d日 {V（V）}_{我}}{d日 t吨} = {小时}_{我} (t吨) - α {(λ_{{n个}_{我}}^{(2)})}^{T型} {U型}_{{n个}_{我}} - β {U型}_{{n个}_{我}} - γ {U型}_{{n个}_{我}}^{2}, 我 = 2, 三, \dots, N个 - 1 \end{matrix}

(18)

方程式(17)和(18)以矩阵形式：

\frac{d日 U型}{d日 t吨} = V（V）, \frac{d日 V（V）}{d日 t吨} = H（H） (t吨) - α (Λ^{(2)} U型) - β U型 - γ {U型}^{2},

(19)

\begin{matrix} U型 & = {[{U型}_{1}, {U型}_{2}, {U型}_{三}, \dots, {U型}_{N个}]}^{T型}, \\ V（V） & = {[{V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {V（V）}_{三}, \dots, {V（V）}_{N个}]}^{T型}, \\ Λ_{N个 \times N个}^{(2)} & = [米_{我 k个}] = λ_{k个}^{(2)}, k个 = 我 1, 我 2, \dots, 我 {n个}_{我}, 我 = 2, 三, \dots, N个 - 1 \\ H（H） (t吨) & = {[{U型}_{一}, {小时}_{2}, {小时}_{三}, \dots, {小时}_{N个 - 1}, {U型}_{b条}]}^{T型}, \end{matrix}

（20）

具有以下相应的初始条件：

\begin{matrix} U型 ({t吨}_{0}) & = {[{U型}_{0} ({x个}_{1}), {U型}_{0} ({x个}_{2}), \dots, {U型}_{0} ({x个}_{N个})]}^{T型}, \\ V（V） ({t吨}_{0}) & = {[{V（V）}_{0} ({x个}_{1}), {V（V）}_{0} ({x个}_{2}), \dots, {V（V）}_{0} ({x个}_{N个})]}^{T型} . \end{matrix}

(21)

2.2. 二维模型方程LMM的实现

将LMM应用于空间中的二维模型方程以及每个节点处的规定边界和初始条件，我们得到了以下形式的初值问题：

\frac{d日 U型}{d日 t吨} = A类 U型 + 小时 (t吨), U型 (0) = （f）,

(22)

哪里

A类

表示阶稀疏系数矩阵

{N个}^{n个} \times {N个}^{n个}

(

n个 = 1

在1D情况下

n个 = 2

在2D情况下）。

矩阵

A类

获得一次U型其空间导数由LMM离散。向量

小时

表示问题的边界条件，以及向量（f）是问题相应初始条件的向量。向量的顺序

小时

和（f）是

{N个}^{n个} \times 1

，其中

n个 = 1; 2

分别用于一维和二维PDE。

3.数值分析

为了检验所提出的局部无网格方法的准确性和适用性，考虑了几个问题。该方案适用于任何径向基函数，但在本研究中，空间离散化考虑了多二次和反二次RBF。

LMM的精度通过

{L（左）}_{一 b条 秒}

,

{L（左）}_{2}

，以及

{L（左）}_{\infty}

误差标准，如下所示：

\begin{matrix} {L（左）}_{一 b条 秒} & = | \hat{U型} - U型 |, \\ {L（左）}_{\infty} & = 最大值 | {L（左）}_{一 b条 秒} |, \\ {L（左）}_{2} & = {[Δ x个 \sum_{我 = 1}^{N个} {L（左）}_{一 b条 秒}^{2}]}^{\frac{1}{2}}, \end{matrix}

(23)

哪里

\hat{U型}

和U型分别表示精确解和近似解。以下公式用于计算数值收敛速度：

\frac{{日志}_{10} [∥ \hat{U型} - {U型}_{Δ {x个}_{我}} ∥ / ∥ \hat{U型} - {U型}_{Δ {x个}_{我 + 1}} ∥]}{{日志}_{10} [Δ {x个}_{我} / Δ {x个}_{我 + 1}]},

(24)

\frac{{日志}_{10} [∥ \hat{U型} - {U型}_{Δ {t吨}_{我}} ∥ / ∥ \hat{U型} - {U型}_{Δ {t吨}_{我 + 1}} ∥]}{{日志}_{10} [Δ {t吨}_{我} / Δ {t吨}_{我 + 1}]},

(25)

哪里

{U型}_{Δ {x个}_{我}}

和

{U型}_{Δ {t吨}_{我}}

用空间步长表示数值解

Δ {x个}_{我}

和时间步长

Δ {t吨}_{我}

分别是。

所提出的LMM是真正无网格的，能够在均匀节点和分散节点上逼近解。在一维情况下，局部子域的大小取为3，而在二维情况下，则取为5。在所有数值模拟中，具有形状参数值的多二次RBF

c = 10

用于Klein–Gordon方程，以及带形状参数的逆二次RBF

c = 20

用于耦合的Burgers方程以及正则长波方程。在整个数值模拟过程中，采用正向欧拉差分公式（FEDF）作为时间积分器。在所有情况下，中央处理器（CPU）时间均以秒为单位进行计算。所有计算均使用MATLAB（R2012a）在一台配备Intel（R）Core（TM）i5-240M CPU 2.50 GHz 2.5 GHs4 GB RAM的Dell PC笔记本电脑（Windows 7，64位）上执行。

测试 问题1。

首先，考虑1D Klein–Gordon方程(1)带有

小时 (x个, t吨) = 0

，其他参数为

α = β = - 1

和

γ = 0

使用中给出的精确解[2,38].

U型 (x个, t吨) = 罪 (x个) + 科什 (t吨),

(26)

初始条件：

U型 (x个, 0) = 罪 (x个) + 1, {U型}_{t吨} (x个, 0) = 0 .

(27)

使用替代品

{U型}_{t吨} = V（V）

，我们得到：

{U型}_{t吨} = V（V）, {V（V）}_{t吨} = {U型}_{x个 x个} + U型 .

(28)

数值结果显示于表1通过使用节点在粗网格上通过局部无网格方法获得

N个 = 11

，时间步长

Δ t吨 = 0.0001

，空间域

[0, 1]

，直到最后一次

t吨 = 1

.整体无网格线方法的数值结果[38]与建议的局部无网格方法相比表1。从中可以看出表1与[38].

在表2，空间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

MQ径向基函数和条件数的误差范数

κ

是为

N个 = 11

, 21, 31, 41,

Δ t吨 = 0.0001

,

t吨 = 1

。可以从中看到表2条件编号

κ

以及收敛速度都随着配置点数量的增加而增加N个表中还显示了LMM的二阶收敛速度。

表3显示了时间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

时间步长的误差范数

Δ t吨 = 0.1

,

0.05

,

0.01

,

0.005

,

N个 = 11

，以及

t吨 = 1

。中的结果表3结果表明，FEDF具有一阶收敛速度。

使用FEDF的精确解和数值解的比较如图所示图3.

局部和全局无网格方法对形状参数大范围取值的数值结果c，使用

N个 = 11

和

t吨 = 1

，如所示图4用于测试问题1。对形状参数的选择不太敏感c对于LMM，与GMM相比，可以从以下方面观察到图4.

图5说明了所提方法的收敛性，表明误差减小了(

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

误差范数）随着时间步长的减小

Δ t吨

以及节点之间的距离

Δ x个

.表2和表3显示与测试问题1对应的收敛速度。从表中可以很容易看出，与时间收敛速度相比，空间收敛速度更快。

测试 问题2。

考虑第二个测试问题

小时 (x个, t吨) = 罪 (x个) 罪 (t吨)

,

α = - 1

,

β = - 2

，以及

γ = 0

根据中给出的精确解[38,39].

U型 (x个, t吨) = 罪 (x个) 罪 (t吨),

(29)

具有初始和边界条件：

\begin{matrix} U型 (x个, 0) & = 0, {U型}_{t吨} (x个, 0) = 罪 (x个), \\ U型 (0, t吨) & = 0, U型 (π / 2, t吨) = 罪 (t吨) . \end{matrix}

(30)

使用替代品

{U型}_{t吨} = V（V）

，我们得到：

{U型}_{t吨} = V（V）, {V（V）}_{t吨} = {U型}_{x个 x个} + 2 U型 - 2 罪 (x个) 罪 (t吨) .

(31)

测试问题2的结果，根据

{L（左）}_{\infty}

不同时间的误差范数t吨，如所示表4用于空间域

[0, π / 2]

，节点

N个 = 11

、和时间步长

Δ t吨 = 0.0001

。LMM获得的结果比[38,39].

在表5，条件编号

κ

和空间收敛速度

N个 = 11

, 21, 31, 41,

Δ t吨 = 0.0001

，以及

t吨 = 1

用于测试问题2。表5表明N个导致两种情况数量的增加

κ

和收敛速度。从表中可以看出，LMM几乎具有二阶收敛性。

测试问题2的时间收敛速度如所示表6具有时间步长

Δ t吨 = 0.1

,

0.05

,

0.01

,

0.005

,

N个 = 11

，以及

t吨 = 0.1

从表中可以明显看出一阶收敛。

图6（左）显示了数值解

N个 = 51

,

[0, π / 2]

,

Δ t吨 = 0.0001

在不同的时间

t吨 = 10

，而图6（右）显示了

{L（左）}_{一 b条 秒}

FEDF针对测试问题2获得的误差范数。

使用形状参数相关RBF的无网格方法的缺点之一是形状参数值的敏感性。测试问题2的无网格方法的局部和全局版本的比较如所示图7。MQ RBF的结果是使用

N个 = 41

和

t吨 = 1

。从中可以看出图7LMM在形状参数值的长范围内给出了稳定的结果c与GMM相比。

图8说明了所提出的无网格方法的收敛速度，其中可以看出，误差随着时间步长的减小而减小

Δ t吨

以及节点之间的距离

Δ x个

.表5和表6显示与测试问题1对应的收敛速度。在这种情况下，与时间收敛速度相比，空间收敛速度更快。

测试 问题3。

在第三道测试题中，考虑方程式(1)带有

小时 (x个, t吨) = - x个 余弦 (t吨) + {x个}^{2} {余弦}^{2} (t吨)

和

α = - 1

β = 0

,

γ = 1

根据中给出的精确解[38].

U型 (x个, t吨) = x个 余弦 (t吨),

(32)

初始条件：

U型 (x个, 0) = x个, {U型}_{t吨} (x个, 0) = 0 .

(33)

使用替代品

{U型}_{t吨} = V（V）

，我们得到：

{U型}_{t吨} = V（V）, {V（V）}_{t吨} = {U型}_{x个 x个} - {U型}^{2} - x个 余弦 (t吨) + {x个}^{2} {余弦}^{2} (t吨) .

(34)

不同数值的数值结果t吨,

[- 1, 1]

,

N个 = 11

,

Δ t吨 = 0.0001

显示在中表7，这表明与中报告的结果相比，LMM的性能更好[5,10,11].

图9（左）显示了测试问题3的数值模拟，取

[- 1, 1]

,

N个 = 51

,

Δ t吨 = 0.0001

，时间上限为

t吨 = 20

，以及图9（右）显示了

{L（左）}_{一 b条 秒}

取误差范数

[- 1, 1]

,

N个 = 101

,

Δ t吨 = 0.0001

，以及

t吨 = 2

.

在图10，我们比较了形状参数值的敏感性c对于局部和全局无网格方法。从图中可以清楚地看出，LMM在该范围内给出了稳定的结果

c \in (0, 100)

但另一方面，GMM仅在范围内给出了稳定的结果

c \in (0, 0.18)

.图11显示条件编号

κ

与形状参数c和节点数量N个这是不言而喻的。

测试 问题4。

二维耦合Burgers方程的精确解(三)写为[12,14]:

\begin{matrix} U型 (x个, 年, t吨) = \frac{三}{4} - \frac{1}{4 (1 + 经验 ((- 4 x个 + 4 年 - t吨) (R（右） e（电子） / 32)))}, \\ V（V） (x个, 年, t吨) = \frac{三}{4} + \frac{1}{4 (1 + 经验 ((- 4 x个 + 4 年 - t吨) (R（右） e（电子） / 32)))} . \end{matrix}

（35）

在表8，数值结果由LMM根据

{L（左）}_{\infty}

使用IQ径向基函数的测试问题4的误差范数

c = 20

。我们使用了不同的N个和

R（右） e（电子）

和

Δ t吨 = 0.0001

,

t吨 = 0.5

在该表中，我们比较了所提出的局部无网格方法和局部近似特殊解方法（LMAPS）的数值结果[15]以及基于局部RBF的DQ方法（LDQ）[15]. LMM结果与中报告的方法完全一致[15]已观察到。

在表9，测试问题4的LMM性能与其他方法对比[12,13,14]通过让

R（右） e（电子） = 100

和

Δ t吨 = 0.0001

,

t吨 = 2

,

N个 = 20 \times 20

这些结果表明了LMM的准确性和稳定性能。

与测试问题4对应的LMM的数值解如所示图12,图13,图14和图15在不同的雷诺数下。从数据中可以清楚地看出

R（右） e（电子） = 300

提出的方法可以处理耦合的Burgers方程，但当雷诺数增加时，结果变得不稳定。相比之下，LMM结合迎风技术在

R（右） e（电子） = 1000

，这种现象可以在图15.

为了显示LMM相对于GMM的计算效率，我们进行了CPU时间（秒）比较，如所示图16.

测试 问题5。

最后，考虑二维非线性RLW方程(5)精确解如下：

U型 (x个, 年, t吨) = \frac{q个}{2} 秒 e（电子） c {小时}^{2} (\frac{\sqrt{q个}}{2 第页} (x个 + 年 - v（v） t吨 - {x个}_{0} - 年_{0})),

(36)

哪里

q个 = \frac{6 (v（v） - 2)}{2}

和

第页 = \sqrt{6 v（v）}

.

测试问题5的数值结果和CPU时间

v（v） = 2.06

,

N个 = 50

,

Δ t吨 = 0.5

,

[- 80, 100]

，以及最新

t吨 = 20

如所示表10该表表明LMM是一种准确有效的方法。

在图17，的

{L（左）}_{一 b条 秒}

错误显示在

t吨 = 10

.

LMM的显著特征之一是消除了网格划分的要求，并使用矩形和非矩形域中的均匀或散射点来近似解。非矩形区域上RLW方程的数值结果如所示图18和图19. The

{L（左）}_{\infty}

计算域中LMM的误差范数如所示图18（左）和图19（左）是

6.8814 \times 10^{- 4}

和

1.7631 \times 10^{- 三}

分别在时间

t吨 = 1

.

4.结论

本文将基于RBF的局部无网格方法应用于一维Klein–Gordon方程、二维耦合Burgers方程和二维正则长波方程。为了检验所提方案在矩形和非矩形域上的准确性和有效性，考虑了不同的测试问题。将局部无网格方法的结果与现有文献中可用的精确/近似解进行了比较。LMM与迎风技术相结合的稳定结果（在高雷诺数的情况下）有力地支持了LMM相对于其他传统方法的优势。LMM被认为是一种灵活的插值方法，因为它消除了形状参数的敏感性，并生成了条件良好的系数矩阵。

作者贡献

概念化、I.A.和M.A。；方法论，I.A。；软件，I.A。；验证、I.A.、I.H.和M.A。；形式分析，I.A。；调查、I.A.和P.K。；资源、P.K.和W.K。；数据处理，I.A。；书面原稿准备，I.A。；Writing-Review and Editing，I.A.、W.K.和P.K。；可视化，I.A。；监督，I.H.，P.K。；项目管理，P.K。；融资收购，P.K。

基金

本项目由KMUTT科学院计算与应用科学智能创新集群（CLASSIC）下的理论与计算科学（TaCS）中心提供支持。此外，这项工作得到了拉贾曼加拉理工大学Thanyaburi（RMUTT）NSF62D0604号拨款的资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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图1。的二维几何图形中局部支持域的示意图

{n个}_{我} = 5

[34].

图1。的二维几何图形中局部支持域的示意图

{n个}_{我} = 5

[34].

图2。的二维几何图形中的局部支持域示意图

{n个}_{我} = 5

逆风技术[34].

图2。的二维几何图形中的局部支持域示意图

{n个}_{我} = 5

逆风技术[34].

图3。数值和精确解

t吨 = 1

具有

N个 = 11

用于测试问题1。

图3。数值和精确解

t吨 = 1

具有

N个 = 11

用于测试问题1。

图4。 c与

{L（左）}_{\infty}

局部无网格法的误差范数(左边)和全局无网格法（GMM）(正确的)用于测试问题1。

图4。 c与

{L（左）}_{\infty}

局部无网格法的误差范数(左边)和全局无网格法（GMM）(正确的)用于测试问题1。

图5。空间收敛(左边)并及时收敛(正确的)用于测试问题1。

图6。数值模拟(左边)和

{L（左）}_{一 b条 秒}

(正确的)用于测试问题2。

图6。数值模拟(左边)和

{L（左）}_{一 b条 秒}

(正确的)用于测试问题2。

图7。 c与

{L（左）}_{\infty}

LMM的误差范数(左边)和GMM(正确的)用于测试问题2。

图7。 c与

{L（左）}_{\infty}

LMM的误差范数(左边)和GMM(正确的)用于测试问题2。

图8。空间收敛(左边)在

t吨 = 1

并及时收敛(正确的)在

t吨 = 0.1

对于测试问题2。

图8。空间收敛(左边)在

t吨 = 1

并及时收敛(正确的)在

t吨 = 0.1

对于测试问题2。

图9。数值模拟(左边)和

{L（左）}_{一 b条 秒}

(正确的)用于测试问题3。

图9。数值模拟(左边)和

{L（左）}_{一 b条 秒}

(正确的)用于测试问题3。

图10。 c与

{L（左）}_{\infty}

LMM的误差范数(左边)和GMM(正确的)用于测试问题3。

图10。 c与

{L（左）}_{\infty}

LMM的误差范数(左边)和GMM(正确的)用于测试问题3。

图11。 c与

κ

(左边)和节点数量N个与

κ

(正确的)测试问题3的LMM。

图11。 c与

κ

(左边)和节点数量N个与

κ

(正确的)测试问题3的LMM。

图12。二维耦合Burgers方程的数值解

R（右） e（电子） = 300

,

t吨 = 1

,

N个 = 61 \times 61

用于测试问题4。

图12。二维耦合Burgers方程的数值解

R（右） e（电子） = 300

,

t吨 = 1

,

N个 = 61 \times 61

用于测试问题4。

图13。二维耦合Burgers方程的数值解

R（右） e（电子） = 500

,

t吨 = 1

用于测试问题4。

图13。二维耦合Burgers方程的数值解

R（右） e（电子） = 500

,

t吨 = 1

用于测试问题4。

图14。二维耦合Burgers方程结合迎风技术的数值解

R（右） e（电子） = 500

,

t吨 = 1

用于测试问题4。

图14。二维耦合Burgers方程结合迎风技术的数值解

R（右） e（电子） = 500

,

t吨 = 1

用于测试问题4。

图15。二维耦合Burgers方程结合迎风技术的数值解

R（右） e（电子） = 1000

,

t吨 = 1

用于测试问题4。

图15。二维耦合Burgers方程结合迎风技术的数值解

R（右） e（电子） = 1000

,

t吨 = 1

用于测试问题4。

图16。LMM和GMM的CPU时间比较

Δ t吨 = 0.0001

,

t吨 = 0.5

用于测试问题4。

图16。LMM和GMM的CPU时间比较

Δ t吨 = 0.0001

,

t吨 = 0.5

用于测试问题4。

图17。

{L（左）}_{一 b条 秒}

测试问题5的LMM的误差范数。

图17。

{L（左）}_{一 b条 秒}

测试问题5的LMM的误差范数。

图18。计算域(左边)和数值结果(正确的)针对测试问题5。

图19。计算域(左边)和数值结果(正确的)针对测试问题5。

表1。的数值比较

{L（左）}_{\infty}

测试问题1的错误规范。

表1。的数值比较

{L（左）}_{\infty}

测试问题1的错误规范。

	${L（左）}_{\infty}$
$t吨$	联邦应急部队	MQ-RK4号机组[38]	MQ-Störmer公司[38]
0.1	4.2548 × $10^{- 6}$	1.90058倍 $10^{- 6}$	2.83297 × $10^{- 5}$
0.5	3.1827 × $10^{- 5}$	8.16948 × $10^{- 5}$	8.60692 × $10^{- 5}$
1	8.8951 × $10^{- 5}$	3.18899 × $10^{- 4}$	3.94758 × $10^{- 5}$

表2。空间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题1的错误规范。

表2。空间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题1的错误规范。

N个	$κ$	${L（左）}_{\infty}$	${L（左）}_{\infty}$ -费率	${L（左）}_{2}$	${L（左）}_{2}$ -费率
11	4.5015 × $10^{8}$	8.8951 × $10^{- 5}$	…	6.4634 × $10^{- 5}$	…
21	7.2006 × $10^{9}$	1.9551 × $10^{- 5}$	2.1858	1.3906 × $10^{- 5}$	2.2166
31	3.6451 × $10^{10}$	6.9794 × $10^{- 6}$	2.5342	4.9459倍 $10^{- 6}$	2.5433
41	1.1520倍 $10^{11}$	3.2008 × $10^{- 6}$	2.7193	2.2620 × $10^{- 6}$	2.7288

表3。时间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题1的错误规范。

表3。时间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题1的错误规范。

$Δ t吨$	${L（左）}_{\infty}$	${L（左）}_{\infty}$ -费率	${L（左）}_{2}$	${L（左）}_{2}$ -费率
0.1	1.9375 × $10^{- 2}$	…	9.7636 × $10^{- 三}$	…
0.05	5.7309 × $10^{- 三}$	1.7574	3.1601 × $10^{- 三}$	1.6274
0.01	1.0545 × $10^{- 三}$	1.0518	5.7200 × $10^{- 4}$	1.0620
0.005	2010年5月10日 $10^{- 4}$	1.0478	2.6290 × $10^{- 4}$	1.1215

表4。整体无网格线方法数值结果的比较[38]和样条配点法[39]在以下方面与LMM合作

{L（左）}_{\infty}

测试问题2的错误规范。

表4。整体无网格线方法数值结果的比较[38]和样条配点法[39]在以下方面与LMM合作

{L（左）}_{\infty}

测试问题2的错误规范。

方法	$t吨 = 0.01$	$t吨 = 0.02$	$t吨 = 0.1$	$t吨 = 0.5$	$t吨 = 1$
联邦应急部队	3.1377 × $10^{- 10}$	2.4101 × $10^{- 9}$	2.9157倍 $10^{- 7}$	3.3156 × $10^{- 5}$	2.2616倍 $10^{- 4}$
MQ-Störmer公司[38]	1.57022 × $10^{- 7}$	6.29035 × $10^{- 7}$	1.50205 × $10^{- 5}$	8.84373 × $10^{- 5}$	5.19689 × $10^{- 5}$
GA-Störmer公司[38]	5.45453 × $10^{- 7}$	3.31884 × $10^{- 6}$	2.91691 × $10^{- 4}$	1.06862 × $10^{- 2}$	2.33701 × $10^{- 2}$
[39]	1.7 × $10^{- 7}$	8.4 × $10^{- 7}$	5.4 × $10^{- 5}$	1.2 × $10^{- 三}$	4.3 × $10^{- 三}$

表5。空间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题2的错误规范。

表5。空间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题2的错误规范。

N个	$κ$	${L（左）}_{\infty}$	${L（左）}_{\infty}$ -费率	${L（左）}_{2}$	${L（左）}_{2}$ -费率
11	7.3976 × $10^{7}$	2.2616倍 $10^{- 4}$	…	1.9812 × $10^{- 4}$	…
21	1.1829 × $10^{9}$	5.6922 × $10^{- 5}$	1.9903	4.9730 × $10^{- 5}$	1.9942
31	5.9877 × $10^{9}$	2.5382 × $10^{- 5}$	1.9870	2.2114 × $10^{- 5}$	1.9938
41	1.8923 × $10^{10}$	1.4326倍 $10^{- 5}$	1.9951	1.2480 × $10^{- 5}$	1.9955

表6。时间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题2的错误规范。

表6。时间收敛速度

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题2的错误规范。

$Δ t吨$	${L（左）}_{\infty}$	${L（左）}_{\infty}$ -费率	${L（左）}_{2}$	${L（左）}_{2}$ -费率
0.1	1.6453 × $10^{- 4}$	…	1.4005 × $10^{- 4}$	…
0.05	4.1397 × $10^{- 5}$	1.9908	3.5238 × $10^{- 5}$	1.9908
0.01	2.0933 × $10^{- 6}$	1.8543	1.6822 × $10^{- 6}$	1.8901
0.005	7.4903 × $10^{- 7}$	1.4827	6.1088 × $10^{- 7}$	1.4614

表7。比较

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题3的错误规范。

表7。比较

{L（左）}_{\infty}

和

{L（左）}_{2}

测试问题3的错误规范。

t吨	1	三	5	7	10
FEDF、， $N个 = 11$
${L（左）}_{\infty}$	3.3468 × $10^{- 6}$	6.1312 × $10^{- 6}$	6.8303 × $10^{- 6}$	6.3888 × $10^{- 6}$	5.1932 × $10^{- 6}$
${L（左）}_{2}$	2.1690 × $10^{- 6}$	4.2790 × $10^{- 6}$	5.4027倍 $10^{- 6}$	5.1245 × $10^{- 6}$	4.4432倍 $10^{- 6}$
格子Boltzmann方法[10], $N个 = 100$
${L（左）}_{\infty}$	1.9558 × $10^{- 三}$	1.3664 × $10^{- 三}$	1.5260 × $10^{- 三}$	1.6201 × $10^{- 三}$	1.0465 × $10^{- 三}$
${L（左）}_{2}$	1.1135 × $10^{- 三}$	7.6676 × $10^{- 三}$	8.5602 × $10^{- 三}$	9.5926 × $10^{- 三}$	6.9848 × $10^{- 三}$
TPSRBFs方法[5], $N个 = 100$
${L（左）}_{\infty}$	1.2540 × $10^{- 5}$	1.5554 × $10^{- 5}$	3.3792 × $10^{- 5}$	3.7753 × $10^{- 5}$	…
${L（左）}_{2}$	6.5422 × $10^{- 5}$	1.1717倍 $10^{- 4}$	2.2011 × $10^{- 4}$	2.5892 × $10^{- 4}$	…
MQ拟插值方案[11], $N个 = 10$
${L（左）}_{\infty}$	1.25905	1.5428 × $10^{- 5}$	3.3625 × $10^{- 5}$	3.7412 × $10^{- 5}$	…
${L（左）}_{2}$	2.0694 × $10^{- 5}$	3.7065 × $10^{- 5}$	6.9684 × $10^{- 5}$	8.1943 × $10^{- 5}$	…

表8。试验问题4二维耦合Burgers方程数值结果的比较。

		U型			V（V）
N个/ $R（右） e（电子）$		1	20	100	1	20	100
121	联邦应急部队	1.3 × $10^{- 8}$	8.5 × $10^{- 5}$	7.3 × $10^{- 三}$	3.1 × $10^{- 8}$	8.5 × $10^{- 5}$	7.3 × $10^{- 三}$
	LMAPS公司[15]	7.4 × $10^{- 6}$	9.7 × $10^{- 5}$	7.4 × $10^{- 三}$	1.0 × $10^{- 5}$	8.8 × $10^{- 5}$	7.4 × $10^{- 三}$
	LDQ公司[15]	1.4 × $10^{- 5}$	6.7 × $10^{- 5}$	7.3 × $10^{- 三}$	1.9 × $10^{- 5}$	7.5倍 $10^{- 5}$	7.3 × $10^{- 三}$
441	联邦应急部队	3.4 × $10^{- 9}$	2.1 × $10^{- 5}$	2.0 × $10^{- 三}$	8.0 × $10^{- 9}$	2.1 × $10^{- 5}$	2.0 × $10^{- 三}$
	LMAPS公司[15]	1.9 × $10^{- 6}$	2.4 × $10^{- 5}$	2.1 × $10^{- 三}$	2.6 × $10^{- 6}$	2.1 × $10^{- 5}$	2.0 × $10^{- 三}$
	LDQ公司[15]	3.4 × $10^{- 6}$	1.7 × $10^{- 5}$	2.0 × $10^{- 三}$	4.7 × $10^{- 6}$	1.9 × $10^{- 5}$	2.0 × $10^{- 三}$
961	联邦应急部队	5.6倍 $10^{- 9}$	9.5 × $10^{- 6}$	8.4 × $10^{- 4}$	6.4 × $10^{- 9}$	9.3 × $10^{- 6}$	8.4 × $10^{- 4}$
	LMAPS公司[15]	8.3倍 $10^{- 7}$	1.1 × $10^{- 5}$	8.5 × $10^{- 4}$	1.1 × $10^{- 6}$	9.2 × $10^{- 6}$	8.4 × $10^{- 4}$
	LDQ公司[15]	1.5 × $10^{- 6}$	7.5倍 $10^{- 6}$	8.4 × $10^{- 4}$	2.1 × $10^{- 6}$	8.1 × $10^{- 6}$	8.2 × $10^{- 4}$

表9。通过使用FEDF对测试问题4的2D耦合Burgers方程的比较。

	U型			V（V）
$(x个, 年)$	$(0.1, 0.1)$	$(0.3, 0.3)$	$(0.5, 0.5)$	$(0.1, 0.1)$	$(0.3, 0.3)$	$(0.5, 0.5)$
完全正确	0.500482	0.500482	0.500482	0.999518	0.999518	0.999518
联邦应急部队	0.500470	0.500443	0.500417	0.999530	0.999557	0.999583
全球RBF方法[14]	0.50035	0.50042	0.50046	0.99936	0.99951	0.99958
欧拉-拉格朗日方法[13]	0.50012	0.50042	0.50041	0.99946	0.99938	0.99941
有限差分法[12]	0.49983	0.49977	0.49973	0.99826	0.99861	0.99821

表10。

{L（左）}_{\infty}

测试问题5的错误标准和CPU时间。

表10。

{L（左）}_{\infty}

测试问题5的错误标准和CPU时间。

$t吨 = 1$	$t吨 = 5$	$t吨 = 10$	$t吨 = 15$	$t吨 = 20$
${L（左）}_{\infty}$
6.8814 × $10^{- 4}$	3.4458倍 $10^{- 三}$	7.0255 × $10^{- 三}$	1.2374 × $10^{- 2}$	2.0904 × $10^{- 2}$
CPU时间（秒）
2.54	2.59	2.71	2.85	2.88

分享和引用

MDPI和ACS样式

艾哈迈德。；M.Ahsan。；侯赛因，I。；库玛姆，P。；西库姆。局部无网格微分求积配置法对偏微分方程的数值模拟。对称性 2019,11, 394.https://doi.org/10.3390/sym11030394

AMA风格

Ahmad I、Ahsan M、Hussain I、Kuam P、Kuam W。局部无网格微分求积配置法对偏微分方程的数值模拟。对称性. 2019; 11（3）:394。https://doi.org/10.3390/sym11030394

芝加哥/图拉宾风格

艾哈迈德、伊姆蒂亚兹、穆罕默德·阿赫桑、伊尔塔夫·侯赛因、蓬·库姆和维亚达·库姆。2019.“局部无网格微分求积配置法对偏微分方程的数值模拟”对称性11，3号：394。https://doi.org/10.3390/sym11030394

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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局部无网格微分求积配置法对偏微分方程的数值模拟

摘要

1.简介

2.数值方法的实现

2.1. KG方程的LMM实现

2.2. 二维模型方程LMM的实现

3.数值分析

4.结论

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