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第11卷
第2版
10.3390/sym11020205
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第条

求解模糊分数阶Volterra积分微分方程的解析数值方法

通过
穆罕默德·阿拉鲁德
1,
穆罕默德·阿尔·斯马迪
2,
罗基亚·罗齐塔·艾哈迈德
1,*和
Ummul Khair Salma Din公司
1
1
马来西亚雪兰莪州班吉43600号马来西亚Kebangsaan大学科学与技术学院建模与数据科学中心
2
约旦阿克隆26816，Al-Balqa应用大学阿克隆学院应用科学系
*
应向其寄送信件的作者。
对称 2019,11（2） ，205；https://doi.org/10.3390/sym11020205
收到的提交文件：2019年1月9日/修订日期：2019年1月26日/接受日期：2019年1月30日/发布日期：2019年2月12日
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摘要

以下为：
模糊分数阶积分微分方程的建模是工程和应用科学中一个非常重要的问题。本文提出了一种新的处理算法，该算法基于分数残差幂级数（FRPS）方法来研究和解释一类模糊分数阶Volterra积分微分方程的近似解 0 < β ≤ 1 它们在强广义可微性下服从适当的对称三角模糊条件。该算法基于残差概念和广义泰勒公式。FRPS算法使用快速收敛的分数幂级数提供参数形式的近似解，无需线性化、对问题性质的限制以及分类或扰动。模糊分数导数通过Caputo fuzzy进行描述 H（H） -可区分的。通过测试两个应用程序，证明了该技术的能力、有效性和简单性。图形和数值结果揭示了下部和上部之间的对称性 第页 -模糊解的截表示，满足凸对称三角模糊数。值得注意的是，以其核心和支持为焦点的对称模糊解指的是一种比例感、和谐感和平衡感。所得结果表明，FRPS格式简单、直观、准确，并且便于求解不同形式的模糊分数阶微分方程。

1.简介

分数阶微分和积分微分方程的模糊理论是模糊数学的一个新的重要分支。由于工业工程、计算机科学、物理学、人工智能和运筹学中的许多实际问题都可以转化为分数阶不确定过程问题，因此它有着广泛的应用。模糊分数阶积分微分方程（FFIDEs）被认为是在自然模糊环境中表示模糊参数和处理其动力学系统的有力工具，近年来受到了研究人员的关注。事实上，它在模糊分析理论及其在模糊控制模型、人工智能、量子光学、测量理论、大气等方面的应用中具有重要意义[1,2,三,4]. 在一些情况下，所包含的关于现实问题的信息总是充满了不确定性。这种不确定性是由几个因素造成的，例如测量误差、数据不足或约束条件已确定。因此，有必要使用一些数学工具来理解这种不确定性。因此，形成一种方便且适用的算法对于实现一种能够适当处理和求解FFIDE的数学结构至关重要。
大多数FFIDE问题无法解析求解，因此，使用数值方法寻找良好的近似解将非常有价值。最近，许多学者致力于利用不同的数值和分析技术研究和研究FFIDE的解决方案；这些解决方案包括模糊拉普拉斯变换技术[5]，二维Legendre小波技术[6]，Adomian分解技术[7]，变分迭代技术[8]，以及拟合再生核Hilbert空间技术[9]. 除此之外，其他学者对有限差分方程解的存在性和唯一性也表现出了兴趣。（有关更多详细信息，请参阅[10,11,12,13,14].) RPS方案的应用非常广泛和广泛，尤其是对于整数阶模型的仿真。这些方法最近被开发成一种强大的数值工具，用于处理任意阶的不同问题。从方法学的角度来看，本研究中考虑的分数导数不确定性下的Volterra积分微分方程只是经典形式的推广，前提是 β = 1 , 它们在物理和工程中有多种用途，包括在动力系统、行波的非线性传播、阻尼非线性弦、电子和电信等中。有关积分-微分方程的更多详细信息，请参阅[15,16,17,18].
本工作旨在扩展分数剩余幂级数（FRPS）技术的应用，以确定一类模糊分数Volterra积分微分方程（FFVIDEs）的近似解，这些方程受以下形式的模糊初始条件约束：
D类 一 + β 年 ( x个 ) + ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 ( t吨 ) d日 t吨 = 克 ( x个 ) ,   x个 ≥ 一 ,   0 < β ≤ 1 ,
具有模糊初始条件
年 ( 一 ) = 年 0
哪里 λ 是一个参数， 克 以下为： [ 一 , b条 ] → ℝ F类 是一个连续的模糊值函数，   φ ( x个 , t吨 ) 是连续清晰的任意核函数， D类 一 + β 是Caputo意义上的模糊分数导数， 年 0 ∈ ℝ F类 和 年 ( x个 ) 是待确定的未知分析模糊函数。在本文中， ℝ F类 代表实线上所有模糊数的集合 ℝ 。
年开发的FRPS技术[19]被认为是一种简单实用的工具，可以为强线性和非线性方程创建幂级数解，而无需线性化、离散化或暴露于扰动[20,21,22,23,24,25,26,27]. 该方法具有以下特点：首先，该方法提供泰勒展开式的解；因此，当解是多项式时，就可以得到精确解。其次，解及其导数可以应用于给定区间内的每个任意点。第三，该方法在从低阶向高阶转换时不需要修改。因此，通过为初始猜测/近似值选择适当的值，该方法可以容易且直接地应用于给定的系统。第四，FRPS技术需要较小的计算量，并且具有更少的时间和更高的精度。
当前论文的其余部分结构如下：在下一节中，将显示与模糊演算和模糊分数演算相关的一些基本符号、定义和结果。求解模糊FVIDEs的过程在中进行了讨论第3节.英寸第4节，给出了使用FRPS算法构造解的方法。将通过数值例子说明该方法的能力、潜力和简单性。本论文的最后一部分是结论。

2.模糊微积分和模糊分数微积分概述

在本节中，介绍了与模糊演算和模糊分数演算有关的基本符号、定义和基本结果。一般来说，模糊数 ρ 是的模糊子集 ℝ 具有有界支撑的正规、凸和上半连续隶属函数。有关更多详细信息，请参阅[13,28,29,30,31,32,33,34].
定义 1
[28]模糊数 ρ 是这样的映射 ρ 以下为： ℝ → [ 0 , 1 ] 具有以下属性：
  • ρ 是模糊凸的，即， ρ ( λ 秒 + ( 1 − λ ) t吨 ) ≥ 米 我 n个 { ρ ( 秒 ) , ρ ( t吨 ) } 为所有人 秒 , t吨 ∈ ℝ , λ ∈ [ 0 , 1 ] 。
  • ρ 是正常的，也就是说， ∃ 秒 * ∈ ℝ 对于其中 ρ ( 秒 * ) = 1 。
  • ρ 上半连续，即， ρ ( 秒 * ) ≥ 我 我 米 秒 → 秒 * + ρ ( 秒 ) 对于任何 秒 * ∈ ℝ 。
  • 秒 单位 第页 第页 ( ρ ) = { 秒 ∈ ℝ 以下为： ρ ( 秒 ) > 0 } 是支持 ρ 、和 { 秒 ∈ ℝ 以下为： ρ ( 秒 ) > 0 } ¯ 紧凑，其中 { ∗ } ¯ 表示子集的闭包。
参数形式或 第页 -模糊数的割表示 ρ ∈ ℝ F类 ，定义为： [ ρ ] 第页 = { 秒 ∈ ℝ 以下为： ρ ( 秒 ) ≥ 第页 } ，如果 第页 ∈ ( 0 , 1 ] 、和 [ ρ ] 第页 = 秒 单位 第页 第页 ( ρ ) ¯ ，如果 第页 = 0 显然 ρ 是封闭的有界区间 [ ρ 1 第页 , ρ 2 第页 ] 在哪儿 ρ 1 第页 是较低的 第页 -的剪切表示 ρ 、和 ρ 2 第页 是上面的 第页 -的剪切表示 ρ 中也给出了等效参数定义[13]如下所示：
定义 2
[28]模糊数 ρ 参数形式是一对 ( ρ 1 ,   ρ 2 ) 函数的 ρ 1 ( 第页 ) ,   ρ 2 ( 第页 ) ，用于 第页 ∈ [ 0 , 1 ] 满足以下要求：
  • ρ 1 ( 第页 ) 是每个的有界非递减左连续 第页 ∈ ( 0 , 1 ] ，右连续 第页 = 0 。
  • ρ 2 ( 第页 ) 是每个的有界非递增左连续 第页 ∈ ( 0 , 1 ] , 右连续于 第页 = 0 。
  • ρ 1 ( 第页 ) ≤ ρ 2 ( 第页 ) ，每个 第页 ∈ [ 0 , 1 ] 。
的度量结构 ℝ F类 由Hausdorff距离映射定义 D类 H（H） 以下为： ℝ F类 × ℝ F类 → ℝ + ∪ { 0 } 这样的话 D类 H（H） ( ρ , ω ) = 啜饮 0   ≤ 第页 ≤ 1 最大值 { | ρ 1 第页 − ω 1 第页 | , | ρ 2 第页 − ω 2 第页 | } , 对于任意模糊数 ρ 和 ω .指标 ( ℝ F类 ,   D类 H（H） ) 已在中证明[30]作为完整的度量空间。
下一个定义解释了强广义可微性的概念，它是由Bede和Gal在[31]，以获得其支撑长度减少，从而不确定性水平降低的解。
定义 三。
让 年 以下为： ( 一 , b条 ) → ℝ F类 和用于固定 x个 0 ∈ ( 一 , b条 ) 。 年 称为强广义可微 x个 0 ，如果有元素 年 ′ ( x个 0 ) ∈ ℝ F类 以便：
  • H差异 年 ( x个 0 + ξ ) ⊖ 年 ( x个 0 ) ,   年 ( x个 0 ) ⊖ 年 ( x个 0 − ξ ) 存在，每个 ξ > 0 足够趋向于0和 林 ξ → 0 + 年 ( x个 0 + ξ   ) ⊖ 年 ( x个 0 ) ξ = 年 ′ ( x个 0 ) = 林 ξ → 0 + 年 ( x个 0 ) ⊖ 年 ( x个 0 − ξ ) ξ ,
  • H差异 年 ( x个 0 ) ⊖ 年 ( x个 0 + ξ ) , 年 ( x个 0 − ξ ) ⊖ 年 ( x个 0 ) 存在，对于每个 ξ > 0 足够趋向于0和   林 ξ → 0 + 年 ( x个 0 ) ⊖ 年 ( x个 0 + ξ ) − ξ = 年 ′ ( x个 0 ) = 林 ξ → 0 + 年 ( x个 0 − ξ ) ⊖ 年 ( x个 0 ) − ξ 。
这里的极限是在完全度量空间中取值的 ( ℝ F类 ,   D类 H（H） ) 。
定义 4
让 年 以下为： [ 一 , b条 ] → ℝ F类 。然后是函数 年 持续时间为 x个 0 ∈ [ 一 , b条 ] 如果每个 ϵ > 0 ,   ∃ δ = δ ( x个 0 , ϵ ) > 0 这样的话   D类 H（H） ( 年 ( x个 ) , 年 ( x个 0 ) ) < ϵ ，每个 x个 ∈ [ 一 , b条 ] , 无论何时   | x个 − x个 0 | < δ 。
模糊积分函数的概念最早由Dubois和Prade于1982年提出。此后，人们提出了许多方法，如Goetschel和Voxman的Riemann积分方法[29]和Kaleva的Lebesgue型方法[28]. 在本文中，我们将使用黎曼积分方法，其特点是处理模糊值函数积分。
定义 5
[29]让 年 以下为： Ω → ℝ F类 是一个连续的模糊值函数。对于每个分区 ℘ = { x个 0 * , x个 1 * , … , x个 n个 * } 属于 Ω 和任意点 η 我 ∈ [ x个 我 − 1 * , x个 我 * ] , 1 ≤ 我 ≤ n个 .让 Ψ ℘ = ∑ 我 = 1 n个 年 我 ( η 我 ) ( x个 我 * − x个 我 − 1 * ) 和 Δ = 最大值 1 ≤ 我 ≤ n个 | x个 我 * − x个 我 − 1 * | 那么 年 ( x个 ) 结束 Ω 由定义 ∫ Ω 年 ( x个 ) d日 x个 = 林 Δ → 0 Ψ ℘ 前提是度量空间中存在极限 ( ℝ F类 , D类 H（H） ) 。
以下定理由查尔科·卡诺（Chalco-Cano）和罗曼·弗洛雷斯（Roman-Flores）于年提出并研究[32]以帮助我们将模糊分数微分方程（FFDEs）转换为普通分数微分方程系统（OFDEs），忽略模糊设置方法。
定理 1
假设 年 以下为： [ 一 , b条 ] → ℝ F类 ，其中 [ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 年 1 第页 ( x个 ) ,   年 2 第页 ( x个 ) ] , ⩝ 第页 ∈ [ 0 , 1 ] ,
  • 如果 年 在上是（1）-可微的 [ 一 , b条 ] ，然后 年 1 第页 和 年 2 第页 是上的两个可微函数 [ 一 , b条 ] 、和 [ D类 1 1 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 年 1 第页 ′ ( x个 ) ,   年 2 第页 ′ ( x个 ) ] ,
  • 如果 年 在上是（2）-可微的 [ 一 , b条 ] ，然后 年 1 第页 和 年 2 第页 是上的两个可微函数 [ 一 , b条 ] 、和 [ D类 2 1 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 年 2 第页 ′ ( x个 ) ,   年 1 第页 ′ ( x个 ) ] 。
定理 2
让 年 以下为： [ 一 , b条 ] → ℝ F类 连续模糊值函数与put [ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 年 1 第页 ( x个 ) ,   年 2 第页 ( x个 ) ] 对于每个 第页 ∈ [ 0 , 1 ] ，然后 ∫ 一 b条 年 ( x个 ) d日 x个 存在，属于 ℝ F类 , 年 1 第页 ( x个 )   和 年 2 第页 ( x个 ) 是可积函数 [ 一 , b条 ] 和 [ ∫ 一 b条 年 ( x个 ) d日 x个 ] 第页 = [ ∫ 一 b条 年 1 第页 ( x个 ) d日 x个 ,   ∫ 一 b条 年 2 第页 ( x个 ) d日 x个 ] , ⩝ 第页 ∈ [ 0 , 1 ] 。
定义 6
让 年 以下为： [ 一 , b条 ] →   ℝ F类 和 年 ∈ C类 F类 [ 一 , b条 ] ∩ L（左） F类 [ 一 , b条 ] 可以说 年 卡普托模糊 H（H） -可微分于 x个 什么时候 D类 一 + β 年 ( x个 ) = 1 Γ ( 1 − β ) ∫ 一 x个 年 ′ ( ζ ) ( x个 − ζ ) β   d日 ζ   存在，其中 0 < β ≤ 1 我们也这么说 年 是卡普托 [ ( 1 ) − β ] 当 年 是（1）-可微的并且 年 是卡普托 [ ( 2 ) − β ] 当 年 是（2）-可微的，其中 C类 F类 [ 一 , b条 ] 和 L（左） F类 [ 一 , b条 ] 表示上所有连续和Lebesque可积模糊值函数的空间 [ 一 , b条 ] 分别是。
定理 三。
让 0 < β ≤ 1 和 年 ∈ C类 F类 [ 一 , b条 ] 。 然后，对于每个 第页 ∈ [ 0 , 1 ] ，Caputo模糊分数导数存在于 ( 一 , b条 ) 这样的话
[ D类 一 + β 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 1 Γ ( 1 − β ) ∫ 一 x个 年 1 第页 ′ ( ζ ) ( x个 − ζ ) β   d日 ζ   ,   1 Γ ( 1 − β ) ∫ 一 x个 年 2 第页 ′ ( ζ ) ( x个 − ζ ) β   d日 ζ ]   对于   ( 1 ) - 可微分的 , [ D类 一 + β 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 1 Γ ( 1 − β ) ∫ 一 x个 年 2 第页 ′ ( ζ ) ( x个 − ζ ) β   d日 ζ   ,   1 Γ ( 1 − β ) ∫ 一 x个 年 1 第页 ′ ( ζ ) ( x个 − ζ ) β   d日 ζ ]   对于   ( 2 ) - 可微分的 。

3.模糊分数Volterra IDEs的公式

在本节中，将使用三个主要概念，即：强广义可微性、Caputo的H-可微性和Riemann可积性，深入研究模糊分数阶Volterra积分微分方程（FFVIDEs），其中，对于每种可微类型，将FFVIDE转换为相应的简明普通分数阶Volterra积分微分方程（OFVIDEs）系统。如果初始值是模糊数，且解是模糊函数，则（FFVIDEs）将被适当求解，然后积分和导数应分别视为模糊积分和模糊导数。这个问题的表述被认为是这个过程中最重要的部分。它是参数形式的确定过程 克 可积类型的选择、可微类型的选择以及 直径 然后，将FFVIDE（1）和（2）框成一组清晰的OFVIDE；因此，将使用一种新的离散化形式。除此之外，我们假设在不损失通用性的情况下   直径 ( x个 , t吨 , 年 ( t吨 ) ) = φ ( x个 , t吨 ) 年 ( t吨 ) ,因此我们可以应用FRPS技术来求解FFVIDEs（1）和（2）。
现在，为了所有人 第页 ∈ ( 0 , 1 ] 和 一 ≤ x个 ≤ b条 ，让模糊函数的参数形式 克 ( x个 ) 和 年 ( x个 ) , 作为 [ 克 ( x个 ) ] 第页 = [ 克 1 第页 ( x个 ) , 克 2 第页 ( x个 ) ] 和 [ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 年 1 第页 ( x个 ) , 年 2 第页 ( x个 ) ] ，以及 [ 年 ( 一 ) ] 第页 = [ 年 1 第页 ( 一 ) , 年 2 第页 ( 一 ) ] = [ 年 0 , 1 第页 , 年 0 , 2 第页 ] 因此，可以将FFVIDE（1）和（2）写入 第页 -切割表示如下：
[ D类 一 + β 年 ( x个 ) ] 第页 + λ ∫ 一 x个 [ 直径 ( x个 , t吨 , 年 ( t吨 ) ) ] 第页 d日 t吨 = [ 克 ( x个 ) ] 第页 ,
其中 第页 -函数的切割表示， [ 直径 ( x个 , t吨 , 年 ( t吨 ) ) ] 第页 由以下人员提供：   [ 直径 ( x个 , t吨 , 年 ( t吨 ) ) ] 第页 = [ 直径 1 第页 ( x个 , t吨 , 年 1 第页 ( t吨 ) , 年 2 第页 ( t吨 ) ) , 直径 2 第页 ( x个 , t吨 , 年 1 第页 ( t吨 ) , 年 2 第页 ( t吨 ) ) ] ，其中
直径 1 第页 ( x个 , t吨 , 年 1 第页 ( t吨 ) , 年 2 第页 ( t吨 ) ) = { φ ( x个 , t吨 )   年 1 第页 ( t吨 ) ,   φ ( x个 , t吨 ) ≥ 0 φ ( x个 , t吨 )   年 2 第页 ( t吨 ) ,   φ ( x个 , t吨 ) < 0 直径 2 第页 ( x个 , t吨 , 年 1 第页 ( t吨 ) , 年 2 第页 ( t吨 ) ) = { φ ( x个 , t吨 )   年 2 第页 ( t吨 ) ,   φ ( x个 , t吨 ) ≥ 0 φ ( x个 , t吨 )   年 1 第页 ( t吨 ) ,   φ ( x个 , t吨 ) < 0
这个 ( n个 ) -模糊FVIDEs（1）和（2）的解是一个函数 年 以下为： [ 一 , b条 ] → ℝ F类 有卡普托的[ ( n个 ) − β ]-可微且满足FFVIDEs（1）和（2）。为了计算它，我们执行下一个算法。
算法1：要获得 ( n个 ) -FFVIDEs（1.1）的解决方案，有两种情况将讨论如下：
案例1：如果 年 ( x个 ) 是卡普托[（1）-   β ]-可区分的是，我们将FFVIDE（1）和（2）转换为以下OFVIDE系统：
D类 一 + β 年 1 第页 ( x个 ) + λ   ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 )   年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨   = 克 1 第页 ( x个 ) D类 一 + β 年 2 第页 ( x个 ) + λ ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 )   年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 = 克 2 第页 ( x个 ) ,
具有初始条件
年 1 第页 ( 一 ) = 年 0 , 1 第页   和   年 2 第页 ( 一 ) = 年 0 , 2 第页
然后，执行以下步骤：
  • 步骤1：求解系统（4）和（5） 年 1 第页 ( x个 ) 和 年 2 第页 ( x个 ) 。
  • 步骤2：确保 [ 年 1 第页 ( x个 ) , 年 2 第页 ( x个 ) ] 和 [ D类 一 + β 年 1 第页 ( x个 ) ,   D类 一 + β 年 2 第页 ( x个 ) ] 是否在上设置了有效的级别 [ 一 , b条 ] 或在中的部分间隔上   [ 一 , b条 ] 。
  • 步骤3：构造 ( 1 ) -可微解 年 ( x个 ) 谁的 第页 -剪切表示为 [ 年 1 第页 ( x个 ) , 年 2 第页 ( x个 ) ] 。
案例2：如果 年 ( x个 ) 是卡普托[（2）-   β ]-可微分，我们将FFVIDE（1）和（2）转换为以下OFVIDE系统：
D类 一 + β 年 1 第页 ( x个 ) + λ   ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 )   年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 = 克 2 第页 ( x个 ) , D类 一 + β 年 2 第页 ( x个 ) + λ   ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 )   年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 = 克 1 第页 ( x个 ) ,
具有初始条件
年 1 第页 ( 一 ) = 年 0 , 1 第页   和   年 2 第页 ( 一 ) = 年 0 , 2 第页 。
然后，执行以下步骤：
  • 步骤1：求解系统（6）和（7） 年 1 第页 ( x个 )   和 年 2 第页 ( x个 ) 。
  • 步骤2：确保 [ 年 1 第页 ( x个 ) , 年 2 第页 ( x个 ) ] 和 [ D类 一 + β 年 2 第页 ( x个 ) ,   D类 一 + β 年 1 第页 ( x个 ) ] 是否在上设置了有效的级别 [ 一 , b条 ] 或在   [ 一 , b条 ] 。
  • 步骤3：构造 ( 2 ) -可微解 年 ( x个 ) 谁的 第页 -剪切表示为 [ 年 1 第页 ( x个 ) , 年 2 第页 ( x个 ) ] 。
前面的FFVIDEs（1）和（2）公式以及定理1向我们展示了如何处理FFVIDEs的数值解。原始的FFVIDE可以等效地转换为OFVIDE系统。因此，我们可以直接使用数值方法来求解获得的系统OFVIDE，而无需在模糊设置中重新计算。

4.FRPS技术描述

在本节中，我们展示了FRPS算法的过程，以便通过在截断残差函数中替换分数幂级数（FPS）的展开来研究和构造FFVIDE（1）和（2）的解析数字近似解。有鉴于此，所得方程有助于我们推导系数计算的递归公式，其中FPS展开式的系数可以通过截断残差函数的递归分数微分递归计算。
定义 7
[22]分数幂级数（FPS）表示 x个 0 具有以下形式
∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 ( x个 − x个 0 ) n个 β = c（c） 0 + c（c） 1 ( x个 − x个 0 ) β + c（c） 2 ( x个 − x个 0 ) 2 β + … ,
哪里 0 ≤ 米 − 1 < β ≤ 米 , x个 ≥ x个 0 和 c（c） n个 的是级数的系数。
定理 4
[22]假设 （f） 在具有以下FPS表示 x个 0
（f） ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 ( x个 − x个 0 ) n个 β 。
哪里 （f） ( x个 ) ∈ C类 [ x个 0 , x个 0 + R（右） ) 和 D类 x个 0 n个 β （f） ( x个 ) ∈ C类 ( x个 0 , x个 0 + R（右） ) 对于 n个 = 0 ,   1 ,   2 , … ，然后是系数 c（c） n个 将在表单中 c（c） n个 = D类 x个 0 n个 β （f） ( x个 0 ) Γ ( 1 + n个 β )   这样的话 D类 x个 0 n个 β = D类 x个 0 β · D类 x个 0 β ·   …   · D类 x个 0 β ( n个 -次）。
方便地获得 ( n个 ) -对于FFVIDEs（1）和（2）的解，我们将解释确定（1）-等价于OFVIDEs系统（4）和（5）的解的方式。此外，同样的方法也可以用于构造（2）-解。为了达到我们的目的，假设OFVIDEs（4）和（5）的近似解 x个 0 = 0 具有以下形式：
年 1 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 2 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
自 年 1 第页 ( x个 ) 和 年 2 第页 ( x个 ) 满足初始条件（5），然后 年 1 第页 ( 0 ) = 年 0 , 1 第页 = c（c） 0 和 年 2 第页 ( 0 ) = 年 0 , 2 第页 = d日 0 将是（5）的初始猜测，因此系列解决方案可以写成
年 1 第页 ( x个 ) = c（c） 0 + ∑ n个 = 1 ∞ c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 2 第页 ( x个 ) = d日 0 + ∑ n个 = 1 ∞ d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
此外，我们可以近似 年 1 第页 ( x个 ) 和 年 2 第页 ( x个 ) 通过以下方式 k个 系列解决方案：
年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 0 + ∑ n个 = 1 k个 c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = d日 0 + ∑ n个 = 1 k个 d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
定义所谓 k个 剩余功能 R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 和 R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ，用于 k个 = 1 ,   2 ,   三 , … ,
R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 + β 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 k个 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 1 第页 ( x个 ) , R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 + β 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 k个 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 2 第页 ( x个 ) 。
和以下剩余函数
R（右） e（电子） 秒 1 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 + β 年 1 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 1 第页 ( x个 ) , R（右） e（电子） 秒 2 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 + β 年 2 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 2 第页 ( x个 ) 。
清楚了， R（右） e（电子） 秒 n个 第页 ( x个 ) = 0 ，用于 n个 = 1 , 2 以及每个 x个 ≥ 0 ，这导致 D类 0 + ( 米 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 n个 第页 ( x个 ) = 0 。此外，我们还有 D类 0 + ( 米 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 n个 第页 ( 0 ) = D类 0 + ( 米 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , n个 第页 ( 0 ) = 0 ，每个 米 = 0 ,   1 ,   2 , … , k个 然而， D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , n个 第页 ( 0 ) = 0 等待 n个 = 1 ,   2 。
根据应用FRPS技术求第一未知系数 c（c） 1 和 d日 1 ，替换第一近似解 年 1 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 0 + c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) 和 年 1 , 2 第页 ( x个 ) = d日 0 + d日 1 x个 β Γ ( β + 1 ) 转换为第一残差函数 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( x个 ) 和 R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( x个 ) 第（12）条，以便
R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 1 , 1 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 1 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 1 第页 ( x个 ) ,   = c（c） 1 + λ ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 ) ( c（c） 0 + c（c） 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) ) d日 t吨 − 克 1 第页 ( x个 ) , R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 1 , 2 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 1 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 2 第页 ( x个 ) , = d日 1 + λ ∫ 一 x个 φ ( x个 , t吨 ) ( d日 0 + d日 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) ) d日 t吨 − 克 2 第页 ( x个 ) 。
使用事实 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( 0 ) = R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，收益率
c（c） 1 = ( 克 1 第页 ( x个 ) − λ c（c） 0 ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 1 + λ Γ ( β + 1 ) ∫ 0 x个 t吨 β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 ) x个 = 0 和   d日 1 = ( 克 2 第页 ( x个 ) − λ d日 0 ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 1 + λ Γ ( β + 1 ) ∫ 0 x个 t吨 β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 ) x个 = 0 。
同样，为了确定第二个未知系数 c（c） 2 和 d日 2 ，替换第二近似解 年 2 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 0 + c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) + c（c） 2 x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 和 年 2 , 2 第页 ( x个 ) = d日 0 + d日 1 x个 β Γ ( β + 1 ) + d日 2 x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 进入第二个剩余功能 R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) 和 R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( x个 ) 第（11）条，以便
R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 2 , 1 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 2 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 1 第页 ( x个 ) , R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 + β 年 2 , 2 第页 ( x个 ) + λ ∫ 0 x个 φ ( x个 , t吨 ) 年 2 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − 克 2 第页 ( x个 ) 。
然后，通过应用分数导数 D类 0 +   β 在的两侧 R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) 和 R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( x个 ) 以及使用事实 D类 0 +   β R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 +   β R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，的值   c（c） 2   和 d日 2   将由
c（c） 2 = ( D类 0 +   β 克 1 第页 ( x个 ) − λ ∫ 0 x个 ( c（c） 0 + c（c） 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) )   D类 0 +   β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 1 + λ Γ ( 2 β + 1 ) ∫ 0 x个 t吨 2 β   D类 0 +   β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 ) x个 = 0 , d日 2 = ( D类 0 +   β 克 2 第页 ( x个 ) − λ ∫ 0 x个 ( d日 0 + d日 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) )   D类 0 +   β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 1 + λ Γ ( 2 β + 1 ) ∫ 0 x个 t吨 2 β   D类 0 +   β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 ) x个 = 0 。
对于第三个未知系数， c（c） 三 和 d日 三 ，替换第三近似解决方案 年 三 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 0 + ∑ n个 = 1 三 c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 和 年 三 , 2 第页 ( x个 ) = d日 0 + ∑ n个 = 1 三 d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 第三方剩余功能 R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) 和 R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) （11），然后通过计算 D类 0 +   2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) 和 D类 0 +   2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) 并利用事实 D类 0 +   2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 +   2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( 0 ) = 0 , 系数， c（c） 三 和 d日 三 将以如下方式提供
c（c） 三 = ( D类 0 +   2 β 克 1 第页 ( x个 ) − λ ∫ 0 x个 ( c（c） 0 + c（c） 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) + c（c） 2 t吨 2 β Γ ( 2 β + 1 ) )   D类 0 +   2 β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 1 + λ Γ ( 三 β + 1 ) ∫ 0 x个 t吨 三 β   D类 0 +   2 β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 ) x个 = 0 , d日 三 = ( D类 0 +   2 β 克 2 第页 ( x个 ) − λ ∫ 0 x个   ( d日 0 + d日 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) + d日 2 t吨 2 β Γ ( 2 β + 1 ) )   D类 0 +   2 β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 1 + λ Γ ( 三 β + 1 ) ∫ 0 x个 t吨 三 β   D类 0 +   2 β φ ( x个 , t吨 ) d日 t吨 ) x个 = 0 。
该过程可以重复，系数也可以重复，直到获得OFVIDEs（4）和（5）的任意阶FPS解。

5.应用和模拟

在过去几年中，分数阶系统的动力学行为得到了很大的重视，主要是因为分数阶算子已经成为建模许多实际问题的优秀数学工具，帮助我们理解数学结构和记忆效应。分数阶积分微分方程在Volterra意义上的解对于描述线性和非线性物理系统的行为非常重要，特别是核反应堆的动力学以及谐波激励的系统，或计算随机激励分析模型的概率响应等。就术语而言，Volterra级数是指动态、非线性和时不变函数的函数展开。本节测试了两个Volterra类型的FFIDE，以证明当前新方法的效率、准确性和适用性。在这里，所有必要的计算和分析都是使用Mathematica 10完成的。
例子 1
考虑以下Volterra类型的FFIDE
D类 0 + β 年 ( x个 ) = [ 第页 + 1 ,   2 − 第页 ] ( 1 + x个 β ) + 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 ( t吨 ) d日 t吨   ,   0 < β ≤ 1 ,   x个 ∈ [ 0 , 1 ] ,
具有模糊初始条件
年 ( 0 ) = 0 。
基于可微性类型，模糊FVIDEs（18）和（19）可以转换为以下系统之一：
案例1：卡普托统治下[（1）-   β ]-可微性，对应于Caputo[（1）-   β ]-可微分是
D类 0 + β 年 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) + 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 , D类 0 + β 年 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) + 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 ,
具有初始条件
年 1 第页 ( 0 ) = 0 ,   年 2 第页 ( 0 ) = 0 。
如果 β = 1 ,   然后通过以下公式给出OFVIDEs（20）和（21）的精确解
[ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 第页 + 1 ,   2 − 第页 ] ( e（电子） x个 − 1 ) 。
因此，FRPS算法的最后描述，从 年 0 , 1 第页 ( 0 ) = 年 0 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，然后是 k个 系统（20）和（21）的近似解由下式给出
年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
因此 k个 th残差函数 R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 , 和 R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 对于（20）将是
R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) − 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 k个 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) , R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) − 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 k个 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) 。
系统（20）和（21）的FRPS近似解的系数可以在附录A。
为了证明（1）近似解的上界和下界之间的一致性，示例1的第7个FRPS近似解的情况1具有不同的值 β 和 第页 = 0.5 ，如所示表1。
案例2：卡普托统治下[（2）-   β ]-可微性，与Caputo相对应的OFVIDEs系统[（2）-   β ]-可微分是
D类 0 + β 年 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) + 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 , D类 0 + β 年 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) + 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 ,
具有初始条件
年 1 第页 ( 0 ) = 0 ,   年 2 第页 ( 0 ) = 0 。
如果 β = 1 ,   然后通过以下公式给出OFVIDEs（25）和（26）的精确解
[ 年 ( x个 ) ] 第页 = 三 2 e（电子） x个 − [ 2 − 第页 , 第页 + 1 ] + 1 2 [ 1 − 2 第页 , 2 第页 − 1 ] ( 余弦 x个 − 罪 x个 ) 。
要应用FRPS技术，假设 k个 系列解决方案 年 1 第页 ( x个 ) 和 年 2 第页 ( x个 )   对于系统（25）和（26），关于 x个 0 = 0 具有以下形式：
年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
显然 k个 剩余功能 R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 , 和 R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 对于（25）将是
R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) − 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 k个 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) , R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) − 1 Γ ( β ) ∫ 0 x个 ( x个 − t吨 ) β − 1 年 k个 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) 。
系统（25）和（26）的FRPS近似解的系数可以在附录A。
在表2，实例1的第7个FRPS近似解，案例2具有不同的值 β 和 第页 = 0.5 已计算。
接下来，示例1的绝对误差，位于 β = 1 、和 n个 = 10 ，已在中获得表3和表4具有不同的值 第页 和步长 0.2 在 [ 0 , 1 ] 显然，从这些表中可以观察到，FRPS近似解与精确解高度一致。
显示所提算法的模糊行为、模糊的核心和支持( 米 )-近似解， 米 = 1 , 2 , 及其Caputo衍生品 β = 1 示例1的图1和图2，其中 c（c） o（o） 第页 e（电子） ( 年 ( x个 ) ) = { τ ∈ ℝ 以下为： 年 ( x个 ) ( τ ) = 1 } 、和 秒 单位 第页 第页 ( 年 ( x个 ) ) = { τ ∈ ℝ 以下为： 年 ( x个 ) ( τ ) ≥ 0 } 。
例子 2
考虑以下Volterra类型的FFIDE
D类 0 + β 年 ( x个 ) = [ 第页 − 1 ,   1 − 第页 ] + ∫ 0 x个 年 ( t吨 ) d日 t吨   ,   0 < β ≤ 1 ,   x个 ∈ [ 0 , 1 ] ,
具有模糊初始条件
年 ( 0 ) = 0
基于可微性的类型，模糊FVIDE（30）和（31）可以转换为以下系统之一：
案例1：卡普托统治时期[（1）-   β ]-可微性，与Caputo相对应的OFVIDEs系统[（1）-   β ]-可微的是
D类 0 + β 年 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) + ∫ 0 x个 年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 , D类 0 + β 年 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) + ∫ 0 x个 年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 ,
具有模糊初始条件
年 1 第页 ( 0 ) = 0 , 年 2 第页 ( 0 ) = 0 。
如果 β = 1 ,   则OFVIDEs（32）和（33）的精确解由下式给出
[ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 第页 − 1 ,   1 − 第页 ] 秒 我 n个 小时 ( x个 ) 。
通过使用前面介绍的FRPS算法，从 年 0 , 1 第页 = 年 1 第页 ( 0 ) = 0 ,   年 0 , 2 第页 = 年 2 第页 ( 0 ) = 0 ，根据方程式（10） k个 th-FRPS近似解 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) 和 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) 对于系统（32）和（33），由下式给出
年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
因此 k个 剩余功能 R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 , 和 R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 对于（32）将是
R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) − ∫ 0 x个 年 k个 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 第页 − 1 ) , R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) − ∫ 0 x个 年 k个 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 1 − 第页 ) 。
系统（32）和（33）的FRPS近似解的系数可以在附录B。
案例2：卡普托统治下[（2）-   β ]-可微性，与Caputo相对应的OFVIDEs系统[（2）-   β ]-可微的是
D类 0 + β 年 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) + ∫ 0 x个 年 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 , D类 0 + β 年 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) + ∫ 0 x个 年 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 ,
具有初始条件
年 1 第页 ( 0 ) = 0 ,   年 2 第页 ( 0 ) = 0
如果 β = 1 ,   然后通过以下公式给出OFVIDEs（38）和（39）的精确解
[ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 1 − 第页 ,   第页 − 1 ] 罪 ( x个 ) 。
鉴于FRPS技术的描述，从 年 0 , 1 第页 = 年 1 第页 ( 0 ) = 0 , 和 年 0 , 2 第页 = 年 2 第页 ( 0 ) = 0 ，然后是 k个 方程（37）的剩余函数如下
R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) − ∫ 0 x个 年 k个 , 2 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 1 − 第页 ) , R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) − ∫ 0 x个 年 k个 , 1 第页 ( t吨 ) d日 t吨 − ( 第页 − 1 ) 。
哪里 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) 和 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) 由给定
年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 c（c） n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) , 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ∑ n个 = 1 k个 d日 n个 x个 n个 β Γ ( n个 β + 1 ) 。
系统（37）和（38）的FRPS近似解的系数可以在附录B。
为了显示FRPS技术的准确性，示例2的数值结果 n个 = 10 , 第页 ∈ { 0.5 , 0.75 } 包含一些选定的网格点 [ 0 , 1 ] 在中给出表5和表6具有不同的值 β 。
为了进行比较 年 1 第页 ( x个 ) 和 年 2 第页 ( x个 ) 例2中的情况1，使用FRPS方法和Haar小波（HW）方法[35]，用于 n个 = 8 ，固定值为 β = 1 在中给出表7从该表中可以看出，我们的方法为我们提供了OFVIDEs（32）和（33）的精确近似解。
为了显示所提算法的模糊行为，将示例2、案例1和案例2的精确解和第10个FRPS近似解绘制在图3. The plots of 第页 -示例2（案例1和案例2）的精确解和FRPS近似解的切割表示如图所示图4在 β = 1 , n个 = 10 和 第页 ∈ { 0 , 0.25 , 0.5 , 0.75 , 1 } 。

6.结论

本文成功地利用FRPS技术构造和研究了一类模糊分数阶Volterra积分微分方程的模糊逼近解 0 < β ≤ 1 在强广义可微性条件下，利用适当的模糊初始条件。该方法在不受转换、离散或扰动等限制的情况下得到了有效应用。求解方法基本上取决于构造残差函数和使用Caputo意义下的广义泰勒公式。通过两个实例验证了算法的性能和性能。通过FRPS算法获得的数值结果表明，该技术是一种简单、强大的工具，可以有效地求解不同类型的模糊分数阶积分微分方程。

作者贡献

概念化，文学硕士。；调查学硕士。；方法学硕士。；软件硕士。；监管，R.R.A.和U.K.S.D。；写作初稿，文学硕士。；R.R.A.和U.K.S.D.的写作审查和编辑。

致谢

作者衷心感谢马来西亚Kebangsaan大学为我们的研究提供设施，拨款编号为GP-K007788和GP-K006926。

利益冲突

作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。

附录A

系统（20）和（21）的FRPS近似解的系数：获得系数的值 c（c） 1 和 d日 1 ，替换第一近似解 年 1 , 1 第页 ( x个 ) 和 年 2 , 1 第页 ( x个 ) （23）到 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( x个 ) 和 R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( x个 ) ，以获取， R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( x个 ) = − ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) + c（c） 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 、和 R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) + d日 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 然后，通过使用事实 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( 0 ) = R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，收益率 c（c） 1 = 第页 + 1 , d日 1 = 2 − 第页 因此，系统（20）和（21）的1st-FRPS近似解由下式给出 年 1 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 和 年 1 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 。
同样，为了确定第二个未知系数 c（c） 2 和 d日 2 ，我们有 R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) = − ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) + c（c） 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) + c（c） 2 x个 β ( 1 Γ ( β + 1 ) − x个 2 β Γ ( 三 β + 1 ) ) , 和 R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) + d日 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) + d日 2 x个 β ( 1 Γ ( β + 1 ) − x个 2 β Γ ( 三 β + 1 ) ) 然后，通过应用运算符 D类 0 + β 在…的两侧 R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) 、和 R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( x个 ) ，我们有 D类 0 + β R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) = − ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) − c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) + c（c） 2 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 、和 D类 0 + β R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ) ( x个 ) = ( − 2 + 第页 ) β Γ ( β ) − d日 1 x个 β Γ ( 1 + β ) + d日 2 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 最后，通过在 x个 = 0 ，一个人可以得到 c（c） 2 = ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) ,   d日 2 = ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) 因此， 年 2 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 和 年 2 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 。
同样，对于第三个未知系数， c（c） 三 和 d日 三 ，写入 年 三 , 1 第页 ( x个 ) 和 年 三 , 2 第页 ( x个 ) 到（24）的第三剩余函数中，得出如下结论 R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) = − ( 第页 + 1 ) ( 1 + x个 β ) + c（c） 1 + c（c） 2 x个 β Γ ( β + 1 ) − c（c） 2 x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) − c（c） 三 x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) + ( − c（c） 1 + c（c） 三 ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 、和 R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( 1 + x个 β ) + d日 1 + d日 2 x个 β Γ ( β + 1 ) − d日 2 x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) − d日 三 x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) + ( − d日 1 + d日 三 ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 之后，评估 D类 0 + 2 β 属于 R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) 、和 R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) ，以获取 D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) = − c（c） 1 − c（c） 2 x个 β Γ ( β + 1 ) + c（c） 三 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 、和 D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) = − d日 1 − d日 2 x个 β Γ ( β + 1 ) + d日 三 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 然后，基于事实 D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( 0 ) = 0 , 将屈服 c（c） 三 = 第页 + 1 , d日 三 = 2 − 第页 因此， 年 三 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) ) 和 年 三 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) ) 。
使用相同的论点和事实 D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，用于 k个 = 4 ，一个人可以得到 c（c） 4 = ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) , d日 4 = ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) 因此系统（20）和（21）的第4个FRPS近似解由下式给出 年 4 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) ) 、和 年 4 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + β Γ ( β ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) β Γ ( β ) x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) ) 。
此外，系统（20）和（21）的6th-FRPS近似解由下式给出
年 6 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( 1 Γ ( β + 1 ) x个 β + β Γ ( β ) Γ ( 2 β + 1 ) x个 2 β + 1 Γ ( 三 β + 1 ) x个 三 β + β Γ ( β ) Γ ( 4 β + 1 ) x个 4 β + 1 Γ ( 5 β + 1 ) x个 5 β + β Γ ( β ) Γ ( 63 β + 1 ) x个 6 β ) ,
年 6 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( 1 Γ ( β + 1 ) x个 β + β Γ ( β ) Γ ( 2 β + 1 ) x个 2 β + 1 Γ ( 三 β + 1 ) x个 三 β + β Γ ( β ) Γ ( 4 β + 1 ) x个 4 β + 1 Γ ( 5 β + 1 ) x个 5 β + β Γ ( β ) Γ ( 6 β + 1 ) x个 6 β ) 。
因此，在 β = 1 OFVIDEs（20）和（21）的近似解可以写成：
年 1 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) ( x个 + x个 2 2 + x个 三 6 + x个 4 24 + x个 5 120 + x个 6 720 + … ) ,
年 2 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) ( x个 + x个 2 2 + x个 三 6 + x个 4 24 + x个 5 120 + x个 6 720 + … ) 。
这与精确解的泰勒级数展开式完全一致 [ 年 ( x个 ) ] 第页 = [ 第页 + 1 ,   2 − 第页 ] ( e（电子） x个 − 1 ) 。
系统（25）和（26）的FRPS近似解的系数：为了获得系数的值 c（c） n个 和 d日 n个 , n个 = 1 , 2 , … k个 , 在展开式（28）中，求解 c（c） n个 和 d日 n个 事实证明 D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( 0 ) = 0 , 0 < β ≤ 1 , k个 = 1 , 2 , 三 , … 。
按照FRPS算法的过程，前几个系数 c（c） n个 和 d日 n个 是
c（c） 1 = 第页 + 1 ,   d日 1 = 2 − 第页 , c（c） 2 = ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) ,   d日 2 = ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) , c（c） 三 = 第页 + 1 , d日 三 = 2 − 第页 , c（c） 4 = ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) , d日 4 = ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) , c（c） 5 = 第页 + 1 , d日 5 = 2 − 第页 ,   …   和   所以   在 。
继续此过程，得到（25）和（26）的第六个FRPS近似解，如下所示
年 6 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 + 1 ) Γ ( β + 1 ) x个 β + ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) Γ ( 2 β + 1 ) x个 2 β + ( 2 − 第页 ) Γ ( 三 β + 1 ) x个 三 β + ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) Γ ( 4 β + 1 ) x个 4 β + ( 第页 + 1 ) Γ ( 5 β + 1 ) x个 5 β + ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) Γ ( 6 β + 1 ) x个 6 β ,
年 6 , 2 第页 ( x个 ) = ( 2 − 第页 ) Γ ( β + 1 ) x个 β + ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) Γ ( 2 β + 1 ) x个 2 β + ( 第页 + 1 ) Γ ( 三 β + 1 ) x个 三 β + ( 第页 + 1 ) β Γ ( β ) Γ ( 4 β + 1 ) x个 4 β + ( 2 − 第页 ) Γ ( 5 β + 1 ) x个 5 β + ( 2 − 第页 ) β Γ ( β ) Γ ( 6 β + 1 ) x个 6 β 。
因此，（25）和（26）的近似解 β = 1 ，可以写为
年 1 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ( ( 第页 + 1 ) x个 + ( 第页 + 1 ) 2 x个 2 + ( 2 − 第页 ) 6 x个 三 + ( 2 − 第页 ) 24 x个 4 + ( 第页 + 1 ) 120 x个 5 + ( 第页 + 1 ) 720 x个 6 + … ) ,
年 2 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ( ( 2 − 第页 ) x个 + ( 2 − 第页 ) 2 x个 2 + ( 第页 + 1 ) 6 x个 三 + ( 第页 + 1 ) 24 x个 4 + ( 2 − 第页 ) 120 x个 5 + ( 2 − 第页 ) 720 x个 6 + … ) 。
这与精确解的泰勒级数展开式很吻合 [ 年 ( x个 ) ] 第页 = 三 2 e（电子） x个 − [ 2 − 第页 , 第页 + 1 ] + 1 2 [ 1 − 2 第页 , 2 第页 − 1 ] ( 余弦 x个 − 罪 x个 ) 。

附录B

系统（32）和（33）的FRPS近似解可以通过确定未知系数来获得 c（c） n个 和 d日 n个 膨胀（35）。
无论如何，要确定 c（c） 1 和 d日 1 ，让 k个 = 1 ，在方程式（35）中，然后替换 年 1 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) 和 年 2 , 1 第页 ( x个 ) = d日 1 x个 β Γ ( β + 1 ) ，转化为方程（36）的第一剩余函数，即， R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β ( c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) ) − ∫ 0 x个 c（c） 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) d日 t吨 − ( 第页 − 1 ) = 1 − 第页 + c（c） 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 、和 R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β ( d日 1 x个 β Γ ( β + 1 ) ) − ∫ 0 x个 d日 1 t吨 β Γ ( β + 1 ) d日 t吨 − ( 1 − 第页 ) = 第页 − 1 + d日 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 然后，通过使用事实 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( 0 ) = R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，收益率 c（c） 1 = 第页 − 1 , d日 1 = 1 − 第页 因此，系统（33）和（34）的1st-FRPS近似解由下式给出 年 1 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 、和 年 1 , 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 。
获取第二未知系数 c（c） 2 和 d日 2 ，我们有 R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( x个 ) = 第页 − 1 + c（c） 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) + c（c） 2 x个 β ( 1 Γ ( β + 1 ) − x个 2 β Γ ( 三 β + 1 ) ) 、和 R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( x个 ) = 1 − 第页 + d日 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) + d日 2 x个 β ( 1 Γ ( β + 1 ) − x个 2 β Γ ( 三 β + 1 ) ) .通过利用事实 D类 0 + β R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + β R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，一个人可以得到 c（c） 2 = 0 ,   d日 2 = 0 因此， 年 2 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 、和 年 2 , 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 。
同样，对于第三个未知系数， c（c） 三 和 d日 三 ，写入 年 三 , 1 第页 ( x个 ) 和 年 三 , 2 第页 ( x个 ) 到方程（36）的第三个残差函数中，得到 R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) = 1 − 第页 + c（c） 1 + c（c） 2 x个 β Γ ( β + 1 ) − c（c） 2 x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) − c（c） 三 x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) + ( − c（c） 1 + c（c） 三 ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 、和 R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) = 第页 − 1 + d日 1 + d日 2 x个 β Γ ( β + 1 ) − d日 2 x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) − d日 三 x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) + ( − d日 1 + d日 三 ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) .根据事实 D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，给出 c（c） 三 = 第页 − 1 , d日 三 = 1 − 第页 因此， 年 三 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) ) 、和 年 三 , 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) ) 。
使用相同的论点和事实 D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，用于 k个 = 4 ，一个人可以得到 c（c） 4 = 0 , d日 4 = 0 。对于 k个 = 5 ，利用第五个残差函数可以得到第五个FRPS近似解 R（右） e（电子） 秒 5 , 1 第页 ( x个 ) , R（右） e（电子） 秒 5 , 2 第页 ( x个 ) 和事实 D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，因此 D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 1 第页 ( x个 ) = − c（c） 三 − c（c） 4 x个 β Γ ( β + 1 ) + c（c） 5 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 和 D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 2 第页 ( x个 ) = − d日 三 − d日 4 x个 β Γ ( β + 1 ) + d日 5 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 所以， c（c） 5 = 第页 − 1 , d日 5 = 1 − 第页 ，以及其他 年 5 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) ) 、和 年 5 , 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) ) 。
此外，基于事实 D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( 0 ) = 0 , k个 = 5 , 6 , … , 10 ，系统（32）和（33）的10th-FRPS近似解由下式给出
年 10 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) + x个 7 β Γ ( 7 β + 1 ) + x个 9 β Γ ( 9 β + 1 ) ) ,
年 10 , 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) ( x个 β Γ ( β + 1 ) + x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) + x个 7 β Γ ( 7 β + 1 ) + x个 9 β Γ ( 9 β + 1 ) ) 。
对于 β = 1 ，OFVIDEs（32）和（33）的近似解可以写为
年 1 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) ( x个 + x个 三 6 + x个 5 120 + x个 7 5040 + x个 9 362880 + … ) ,
年 2 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) ( x个 + x个 三 6 + x个 5 120 + x个 7 5040 + x个 9 362880 + … ) 。
这与精确解的泰勒展开式完全一致 年 1 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 )   罪 小时 ( x个 ) 、和 年 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 )   罪 小时 ( x个 ) 。
系统（37）和（38）的FRPS近似解的系数：为了获得系数的值 c（c） n个 和 d日 n个 , n个 = 1 , 2 , … k个 , 在展开（41）中，按以下方式进行：
通过方程式（40）和（41），将 k个 = 1 ，我们有 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β ( c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) ) − ∫ 0 x个 d日 1 x个 β Γ ( β + 1 ) d日 t吨 − ( 1 − 第页 ) = 第页 − 1 + c（c） 1 − d日 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) 、和 R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( x个 ) = D类 0 +   β ( d日 1 x个 β Γ ( β + 1 ) ) − ∫ 0 x个 c（c） 1 x个 β Γ ( β + 1 ) d日 t吨 − ( 第页 − 1 ) = 1 − 第页 − c（c） 1 ( 1 − x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) ) + d日 1 然后，我们求解 R（右） e（电子） 秒 1 , 1 第页 ( 0 ) = R（右） e（电子） 秒 1 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，它给出 c（c） 1 = 1 − 第页 , d日 1 = 第页 − 1 因此，系统（38）和（39）的1st-FRPS近似解由下式给出 年 1 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 、和 年 1 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 。
同样，对于 k个 = 2 ，并基于事实 D类 0 + β R（右） e（电子） 秒 2 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + β R（右） e（电子） 秒 2 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，以获取 c（c） 2 = 0 ,   d日 2 = 0 因此， 年 2 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 、和 年 2 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) 。
要获得第三个FRPS近似解，请考虑 k个 = 三 在方程（40）和（41）中得到 R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) = 第页 − 1 + c（c） 1 + c（c） 2 x个 β Γ ( β + 1 ) + ( c（c） 三 − d日 1 ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) − d日 2 x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) − d日 三 x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) 、和 R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) = 1 − 第页 + d日 1 + d日 2 x个 β Γ ( β + 1 ) − c（c） 2 x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) − c（c） 三 x个 4 β Γ ( 4 β + 1 ) + ( − c（c） 1 + d日 三 ) x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 此后，计算 2 β th-Caputo分数导数 R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 和 R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ，即。 D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 三 − d日 1 + x个 β ( − d日 2 Γ ( β + 1 ) − x个 β d日 三 Γ ( 2 β + 1 ) ) 、和 D类 0 + 2 β R（右） e（电子） 秒 三 , 2 第页 ( x个 ) = − c（c） 1 + d日 三 − c（c） 2 x个 β Γ ( β + 1 ) − c（c） 三 x个 β Γ ( 2 β + 1 ) 最后，通过在 x个 = 0 ，并考虑到 c（c） 1 ,   d日 1 , c（c） 2 和 d日 2 从前面的步骤中，我们得到 c（c） 三 = 第页 − 1 , d日 三 = 1 − 第页 因此， 年 三 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) 、和 年 三 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) 。
继续这种时尚 k个 = 4 ，并且取决于事实 D类 0 + 三 β R（右） e（电子） 秒 4 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + 三 β R（右） e（电子） 秒 4 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，将产生 c（c） 4 = 0 ,   d日 4 = 0 ，因此 年 4 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) 、和 年 4 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) 。接下来，针对 k个 = 5 ，可以通过考虑方程（40）的第5个剩余函数并基于事实来构造第5个FRPS近似解 D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 2 第页 ( 0 ) = 0 ，因此 D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 1 第页 ( x个 ) = c（c） 5 − d日 三 − d日 4 x个 β Γ ( β + 1 ) − d日 5 x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 和 D类 0 + 4 β R（右） e（电子） 秒 5 , 2 第页 ( x个 ) = d日 5 − c（c） 三 − c（c） 4 x个 β Γ ( β + 1 ) − c（c） 5 x个 2 β Γ ( 2 β + 1 ) 然后，通过在 x个 = 0 ，并考虑到 c（c） 三 ,   d日 三 , c（c） 4 和 d日 4 根据前面的步骤，给出 c（c） 5 = 1 − 第页 , d日 5 = 第页 − 1 ，以及 年 5 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) 、和 年 5 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) 。
此外，通过利用事实 D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 1 第页 ( 0 ) = D类 0 + ( k个 − 1 ) β R（右） e（电子） 秒 k个 , 2 第页 ( 0 ) = 0 , k个 = 6 , 7 , … , 10 ，系统（38）和（39）的10th-FRPS近似解可以写成
年 10 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 7 β Γ ( 7 β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 9 β Γ ( 9 β + 1 ) 。
年 10 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 β Γ ( β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 三 β Γ ( 三 β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 5 β Γ ( 5 β + 1 ) + ( 1 − 第页 ) x个 7 β Γ ( 7 β + 1 ) + ( 第页 − 1 ) x个 9 β Γ ( 9 β + 1 ) 。
因此，系统（37）和（38）的近似解具有一般形式，与 β = 1 ，因此
年 1 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 1 第页 ( x个 ) = ( 1 − 第页 ) x个 + ( 第页 − 1 ) x个 三 6 + ( 1 − 第页 ) x个 5 120 + ( 第页 − 1 ) x个 7 5040 + ( 1 − 第页 ) x个 9 362880 + … = ( 1 − 第页 ) 罪 x个 ,
年 2 第页 ( x个 ) = 林 k个 → ∞ 年 k个 , 2 第页 ( x个 ) = ( 第页 − 1 ) x个 + ( 1 − 第页 ) x个 三 6 + ( 第页 − 1 ) x个 5 120 + ( 1 − 第页 ) x个 7 5040 + ( 第页 − 1 ) x个 9 362880 + … = ( 第页 − 1 ) 罪 x个 。

工具书类

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对称11 00205 g001 550
图1。(一)Caputo[（1）]下模糊（1）近似解的核和支持-   β ]-可微；(b条)Caputo[（1）]下fuzzy（1）-近似解的核及其导数的支持-   β ]-可微的，在 β = 1 示例1：灰色支架和红色核心。
图1。(一)Caputo[（1）]下模糊（1）近似解的核和支持-   β ]-可微；(b条)Caputo[（1）]下fuzzy（1）-近似解的核及其导数的支持-   β ]-可微，在 β = 1 示例1：灰色支架和红色核心。
对称11 00205 g001
对称11 00205 g002 550
图2。(一)Caputo[（2）]下模糊（2）近似解的核和支持-   β ]-可微；(b条)Caputo[（2）]下模糊（2）近似Caputo导数解的核和支持-   β ]-可微的，在 β = 1 示例1：灰色支架和红色核心。
图2。(一)Caputo[（2）]下模糊（2）近似解的核和支持-   β ]-可微；(b条)Caputo[（2）]下模糊（2）近似Caputo导数解的核和支持-   β ]-可微，在 β = 1 示例1：灰色支架和红色核心。
对称11 00205 g002
对称11 00205 g003 550
图3。(一)曲面图精确解，情况1；(b条)10th-FRPS近似解的曲面图，情况1；（c）曲面图精确解，情况2；（d）实例2的第10个FRPS近似解的曲面图 β = 1 ，对于所有人 t吨 ∈ [ 0 , 1 ] 和 第页 ∈ [ 0 , 1 ] ：（黄色和蓝色分别为上部和下部溶液）。
图3。(一)曲面图精确解，情况1；(b条)10th-FRPS近似解的曲面图，情况1；（c）曲面图精确解，情况2；（d）实例2的第10个FRPS近似解的曲面图 β = 1 ，对于所有人 t吨 ∈ [ 0 , 1 ] 和 第页 ∈ [ 0 , 1 ] ：（黄色和蓝色分别是上下溶液）。
对称11 00205 g003
对称11 00205 g004 550
图4。(一)的绘图 第页 -精确和的切割表示 φ 10 , 1 第页 ( t吨 ) 例2，例1；(b条)的绘图 第页 -精确和的切割表示 φ 10 , 2 第页 ( t吨 ) 例2，例2，用于 β = 1 , t吨 ∈ [ 0 , 1 ] 具有不同的值 第页 .参数形式：红色 第页 = 0 ，蓝色虚线 第页 = 0.25 ，绿色虚线 第页 = 0.5 ，深红灰色 第页 = 0.75 ，蓝色 第页 = 1 。
图4。(一)的绘图 第页 -精确和的切割表示 φ 10 , 1 第页 ( t吨 ) 例2，例1；(b条)的绘图 第页 -精确和的剖切表示 φ 10 , 2 第页 ( t吨 ) 例2，例2，用于 β = 1 , t吨 ∈ [ 0 , 1 ] 具有不同的值 第页 .参数形式：红色 第页 = 0 ，蓝色虚线 第页 = 0.25 ，绿色虚线 第页 = 0.5 ，深红灰色 第页 = 0.75 ，蓝色 第页 = 1 。
对称11 00205 g004
表
表1。例1的（1）-近似解，情况1针对不同的 β 具有 第页 = 0.5 。
表1。例1的（1）-近似解，情况1针对不同的 β 具有 第页 = 0.5 。
β 我 7th-FRPS近似解
1 4 年 7 ( x个 ) = 三 Γ ( 1 / 4 ) x个 4 π + 三 Γ ( 1 / 4 ) x个 8 + Γ ( 1 / 4 ) x个 三 / 2 2 π + 三 x个 1 / 4 2 Γ ( 5 / 4 ) + 三 x个 三 / 4 2 Γ ( 7 / 4 ) + 三 x个 5 / 4 2 Γ ( 9 / 4 ) + 三 x个 7 / 4 2 Γ ( 11 / 4 )
1 2 年 7 ( x个 ) = 三 x个 π + 三 π x个 4 + 2 x个 三 / 2 π + 三 π x个 2 8 + 4 x个 5 / 2 5 π + π x个 三 8 + 8 x个 7 / 2 35 π  
三 4 年 7 ( x个 ) = 三 Γ ( 三 / 4 ) x个 三 / 2 2 π + 三 Γ ( 三 / 4 ) x个 三 16 + 4 Γ ( 三 / 4 ) x个 9 / 2 105 π + 三 x个 三 / 4 2 Γ ( 7 / 4 ) + 三 x个 9 / 4 2 Γ ( 13 / 4 ) + 三 x个 15 / 4 2 Γ ( 19 / 4 ) + 三 x个 21 / 4 2 Γ ( 25 / 4 )  
1 年 7 ( x个 ) = 三 2 x个 + 三 4 x个 2 + 1 4 x个 三 + 1 16 x个 4 + 1 80 x个 5 + 1 480 x个 6 + 1 3360 x个 7
表
表2。对于不同的 β 具有 第页 = 0.5 。
表2。例5.1的（2）-近似解，情况2针对不同的 β 具有 第页 = 0.5 。
β 我 7th-FRPS近似解
1 4 年 7 ( x个 ) = 三 Γ ( 1 / 4 ) x个 4 π + 三 Γ ( 1 / 4 ) x个 8 + Γ ( 1 / 4 ) x个 三 / 2 2 π + 三 x个 1 / 4 2 Γ ( 5 / 4 ) + 三 x个 三 / 4 2 Γ ( 7 / 4 ) + 三 x个 5 / 4 2 Γ ( 9 / 4 ) + 三 x个 7 / 4 2 Γ ( 11 / 4 )
1 2 年 7 ( x个 ) = 三 x个 π + 三 π x个 4 + 2 x个 三 / 2 π + 三 π x个 2 8 + 4 x个 5 / 2 5 π + π x个 三 8 + 8 x个 7 / 2 35 π  
三 4 年 7 ( x个 ) = 三 Γ ( 三 / 4 ) x个 三 / 2 2 π + 三 Γ ( 三 / 4 ) x个 三 16 + 4 Γ ( 三 / 4 ) x个 9 / 2 105 π + 三 x个 三 / 4 2 Γ ( 7 / 4 ) + 三 x个 9 / 4 2 Γ ( 13 / 4 ) + 三 x个 15 / 4 2 Γ ( 19 / 4 ) + 三 x个 21 / 4 2 Γ ( 25 / 4 )  
1 年 7 ( x个 ) = 三 2 x个 + 三 4 x个 2 + 1 4 x个 三 + 1 16 x个 4 + 1 80 x个 5 + 1 480 x个 6 + 1 3360 x个 7
表
表3。示例1（情况1）的绝对误差 β = 1 和 n个 = 10 。
表3。示例1（情况1）的绝对误差 β = 1 和 n个 = 10 。
年 1 第页 ( x个 )
x个 我 第页 = 0 第页 = 0.5 第页 = 1
0.2 5.273559366 × 10 − 16 7.216449660 × 10 − 16 1.054711873 × 10 − 15
0.4 1.086908341 × 10 − 12 1.630362511 × 10 − 12 2.173816682 × 10 − 12
0.6 9.565170878 × 10 − 11 1.434776741 × 10 − 10 1.913034175 × 10 − 10
0.8 2.304785251 × 10 − 9 3.457177877 × 10 − 9 4.609570503 × 10 − 9
年 2 第页 ( x个 )
x个 我 第页 = 0 第页 = 0.5 第页 = 1
0.2 1.054711873 × 10 − 15 7.216449660 × 10 − 16 5.273559366 × 10 − 16
0.4 2.173816682 × 10 − 12 1.630362511 × 10 − 12 1.086908341 × 10 − 12
0.6 1.913034175 × 10 − 10 1.434776741 × 10 − 10 9.565170877 × 10 − 11
0.8 4.609570503 × 10 − 9 3.457177877 × 10 − 9 2.304785251 × 10 − 9
表
表4。示例1（情况2）的绝对误差 β = 1 和 n个 = 10 。
表4。示例1（情况2）的绝对误差 β = 1 和 n个 = 10 。
年 1 第页 ( x个 )
x个 我 第页 = 0 第页 = 0.5 第页 = 1
0.2 1.137978600 × 10 − 15 8.326672685 × 10 − 16 4.996003611 × 10 − 16
0.4 2.172595439 × 10 − 12 1.630362512 × 10 − 12 1.088018564 × 10 − 12
0.6 1.910848146 × 10 − 10 1.434776742 × 10 − 10 9.587064476 × 10 − 11
0.8 4.600237524 × 10 − 9 3.457178099 × 10 − 9 2.314118674 × 10 − 9
年 2 第页 ( x个 )
x个 我 第页 = 0 第页 = 0.5 第页 = 1
0.2 5.551115123 × 10 − 16 8.326672685 × 10 − 16 1.193489751 × 10 − 15
0.4 1.088018564 × 10 − 12 1.630362512 × 10 − 12 2.172595437 × 10 − 12
0.6 9.587064476 × 10 − 11 1.434776742 × 10 − 10 1.910848146 × 10 − 10
0.8 2.314118674 × 10 − 9 3.457178099 × 10 − 9 4.600237524 × 10 − 9
表
表5。示例2的数值结果，案例1，具有不同的值 β 。
表5。示例2的数值结果，案例1，具有不同的值 β 。
年 1 第页 ( x个 )
第页 我 x个 我 β = 1 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.7
0.5 0.2 − 0.100668001 − 0.123692685 − 0.151695235 − 0.186264438
0.4 − 0.205376163 − 0.238161466 − 0.277064940 − 0.324760477
0.6 − 0.318326791 − 0.359432909 − 0.408753265 − 0.470283639
0.8 − 0.444052990 − 0.494515208 − 0.556205023 − 0.634532156
0.75 0.2 − 0.050334001 − 0.061846342 − 0.075847617 − 0.093132219
0.4 − 0.102688081 − 0.119080733 − 0.138532470 − 0.162380238
0.6 − 0.159163396 − 0.179716454 − 0.204376633 − 0.235141819
0.8 − 0.222026495 − 0.247257604 − 0.278102512 − 0.317266078
年 2 第页 ( x个 )
第页 我 x个 我 β = 1 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.7
0.5 0.2 0.100668001 0.123692685 0.151695235 0.186264438
0.4 0.205376163 0.238161466 0.277064940 0.324760477
0.6 0.318326791 0.359432909 0.408753265 0.470283639
0.8 0.444052990 0.494515208 0.556205023 0.634532156
0.75 0.2 0.050334001 0.061846342 0.075847617 0.093132219
0.4 0.102688081 0.119080733 0.138532470 0.162380238
0.6 0.159163396 0.179716454 0.204376633 0.235141819
0.8 0.222026495 0.247257604 0.278102512 0.317266078
表
表6。示例2的数值结果，情况2，具有不同的值 β 。
表6。示例2的数值结果，情况2，具有不同的值 β 。
年 1 第页 ( x个 )
第页 我 x个 我 β = 1 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.7
0.5 0.2 0.099334665 0.120583966 0.144646654 0.170765057
0.4 0.194709171 0.217958708 0.239847027 0.258218270
0.6 0.282321238 0.299033752 0.310147377 0.313819870
0.8 0.358678047 0.363060372 0.359026685 0.346425845
0.75 0.2 0.049667333 0.060291983 0.072323327 0.085382529
0.4 0.097354586 0.108979354 0.119923514 0.129109135
0.6 0.141160618 0.149516876 0.155073688 0.156909935
0.8 0.179339023 0.181530186 0.179513342 0.173212923
年 2 第页 ( x个 )
第页 我 x个 我 β = 1 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.7
0.5 0.2 − 0.099334665 − 0.120583966 − 0.144646654 − 0.170765057
0.4 − 0.194709171 − 0.217958708 − 0.239847027 − 0.258218270
0.6 − 0.282321238 − 0.299033752 − 0.310147377 − 0.313819870
0.8 − 0.358678047 − 0.363060372 − 0.359026685 − 0.346425845
0.75 0.2 − 0.049667333 − 0.060291983 − 0.072323327 − 0.085382529
0.4 − 0.097354586 − 0.108979354 − 0.119923514 − 0.129109135
0.6 − 0.141160618 − 0.149516876 − 0.155073688 − 0.156909935
0.8 − 0.179339023 − 0.181530186 − 0.179513342 − 0.173212923
表
表7。实例2案例1绝对误差的比较。
表7。实例2案例1绝对误差的比较。
年 1 第页 ( x个 )
x个 我 FRPS方法硬件方法
0.1 2.76167 × 10 − 15 4.205 × 10 − 6
0.2 1.41145 × 10 − 12 5.305 × 10 − 6
0.3 5.42854 × 10 − 11 2.07 × 10 − 6
年 2 第页 ( x个 )
x个 我 FRPS方法硬件方法
0.1 2.76167 × 10 − 15 2.876 × 10 − 6
0.2 1.41145 × 10 − 12 1.836 × 10 − 6
0.3 5.42854 × 10 − 11 1.295 × 10 − 6
1参考HW方法的结果[35].

分享和引用

MDPI和ACS样式

Alaroud，M。；Al-Smadi，M。；Rozita Ahmad，R。；英国Salma Din。求解模糊分数阶Volterra积分微分方程的解析数值方法。对称 2019,11, 205.https://doi.org/10.3390/sym11020205

AMA风格

Alaroud M、Al-Smadi M、Rozita Ahmad R、Salma Din英国。求解模糊分数阶Volterra积分微分方程的解析数值方法。对称. 2019; 11(2):205.https://doi.org/10.3390/sym11020205

芝加哥/图拉宾风格

阿拉鲁德、穆罕默德、穆罕默德·阿尔·斯马迪、罗基亚·罗齐塔·艾哈迈德和乌姆穆尔·凯尔·萨尔马·丁。2019.“求解模糊分数Volterra积分微分方程的分析数值方法”对称11，编号2:205。https://doi.org/10.3390/sym11020205

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里。

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