1.简介和序言
不动点理论在泛函和非线性分析中起着至关重要的作用。巴纳赫[1]证明了收缩映射的一个重要结果。从那时起，许多作者提供了许多处理不动点结果的工作（例如，请参见[2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42]). 一方面，巴赫金[43]和捷克[34,35]给出了一类已知Banach不动点定理的推广b条-公制空间。1994年，马修斯[23,24]引入了部分度量空间的概念，它是度量空间的推广。最近，舒克拉[41]引入了部分的概念b条-通过组合部分度量空间和b条-公制空间。 另一方面，波佩斯库[22]引入三角形-轨道容许映射。卡拉皮纳尔[42]给出了一个推广的不动点结果--使用三角形的Geraghty压缩型映射-可受理性。最近，Ameer等人[32]提出了广义的概念--Geraghty型多值压缩映射及其在类中的新的公共不动点结果-完成b条-公制空间。 在本文中，我们提出了广义多值的概念-压缩映射对。在以下设置中，为这些映射建立了一些新的公共不动点结果-完全部分b条-公制空间。文中还给出了实例来支持所获得的结果。最后，我们应用所得结果来确保一对函数方程或非线性矩阵方程的解的存在性。
定义 1 [35]设ω为非空。取实数.功能如果全部为b度量, - （i）
当且仅当.
- （ii）
.
- （iii）
.
定义 2 [23]设ω是非空集。功能称为部分度量, 当且仅当.
.
.
.
定义 三。 [41]让是一个实数.功能满足以下所有要求称为部分b度量： 当且仅当.
.
.
.
K是部分b-度量空间的系数.
备注 1 显然，部分度量空间也是具有系数的部分b-度量空间b度量空间也是零自站的部分b度量空间。然而，这些事实的相反之处不一定成立。
例子 1 让和，映射由定义是ω上的部分b-度量。在这里，。对于,，因此不是ω上的b-度量。 让是这样的以下不等式始终成立 自和，我们有 这表明不是ω上的部分度量。
定义 4 让是部分b-度量空间。映射由定义为所有人在ω上定义一个度量，称为诱导度量。 定义 5 [41]让是具有系数的部分b-度量空间.让是ω中的序列.然后， - （i）
称为收敛于ζ，如果.
- （ii）
是Cauchy，如果存在且是有限的。
- （iii）
如果每个Cauchy序列在ω内收敛，则是完全的。
引理 1 [41]让是部分b度量空间。 - (1)
中的每个Cauchy序列柯西也在反之亦然。
- (2)
是完整的当且仅当是一个完整的度量空间。
- (3)
序列收敛于某些当且仅当
用MS表示度量空间。
定义 6 [21]让成为理科硕士。称为F收缩自映射，如果存在和这样的话其中ϝ是函数族这样的话 定理 1 [21]让是一个完整的MS和是一个F-收缩映射。那么，T具有唯一的不动点. 定义 7 [17]让成为理科硕士。如果存在，则称为F收缩自映射和这样的话哪里是一组函数满足以下条件： 另一方面，最近Jleli和Samet[9,10]提出了-收缩。 定义 8 让成为一名地图硕士如果存在θ-收缩和一个真正的常数这样的话哪里Θ是一组函数这样： 定理 2 [9]让成为一个完整的MS。让是θ-收缩映射。然后，存在T的唯一不动点。 如中所示[13]，函数系列验证： 定理 三。 [13]让成为完整MS的自映射。以下陈述等效： - （i）
T是θ-收缩映射.
- （ii）
T是F-收缩映射.
Liu等人[13]提出了()-铃木宫缩。 定义 9 让成为一名地图硕士据说是一个-铃木收缩，如果存在比较函数γ和这样，对所有人来说具有哪里 表示方式Φ函数集验证：
()Λ非递减。
()Λ是连续的。
如中所示[2]，一个函数令人满意的： - （i）
单调递增，即t.
- （ii）
对于所有t，其中代表的第n次迭代
称为比较函数。显然，如果是一个比较函数，那么t（每个）.
引理 2 [13]让是一个连续的非递减函数，这样.让是一个积极的序列。因此， 例子 2 [2]以下功能是比较函数： - （i）
具有，每个.
- （ii）
，每个
有关中的函数示例，请参阅[13]. 对于MS,代表中所有闭子集和有界子集的集合. 定理 4 让是完整MS上的多值映射。这两种说法是等价的：
- （i）
S是一个多值θ-压缩映射.
- （ii）
S是一个多值F-收缩映射
让是部分的b条-度量空间和是所有闭的有界子集的族。对于和，我们定义以下[25,26]，费希[44]已定义作为对于每个很明显和，有一个 引理 三。 [44]让，其中是部分b-度量空间。设置因此，对于每个，存在以便 引理 4 [44]让是系数为的部分b-度量空间。对于和，然后当且仅当，其中是A的闭包。 引理 5 [44]让是部分b-度量空间。对于所有人，以下不等式成立： .
.
引理 6 [44]让是系数为的部分b-度量空间和.让这样的话具有，那么就存在以便. 定义 10 [28]给定和是一个给定的函数。这样的T表示-如果适用，则允许具有，我们有，其中 定义 11 [32]给定和.这对是三角形的-在下列情况下可接受： - （i）
这对是-允许，即具有，我们有和.
- （ii）
和意味着
定义 12 [32]给定和。这对是-轨道容许条件： 和意味着和
定义 13 [32]给定和.这对是三角形的-轨道容许，如果： - （i）
是-轨道容许。
- （ii）
,和意味着和
2.主要成果
我们从以下定义开始。
定义 14 鉴于,和.这对据说是三角形的-在下列情况下可接受：
- （i）
是-允许，即。，暗示和，其中 - （ii）
和意味着
定义 15 鉴于和.这对据说-轨道容许条件：
和意味着和
定义 16 鉴于和然后，这对据说是三角形的-轨道容许，如果：
- （i）
是-轨道容许。
- （ii）
,和意味着和
引理 7 鉴于。假设是三角形的-轨道容许且存在这样的话定义序列单位ω和，其中.然后，对于所有非负整数这样的话.
证明。 自，使用三角形-轨道容许性，我们有和因此，为所有人具有再次使用三角形-轨道容许性，我们得到为所有人具有 □ 定义 17 让是部分b-度量空间。鉴于和.此类S是--连续打开，如果是ω中的序列，因此对于每个整数n和具有，然后.
现在，我们提出广义-压缩多值映射对如下：
定义 18 让是部分b-度量空间，并且是一个函数。鉴于.这对称为广义-存在比较函数的压缩多值映射对Υ和一个函数这样，对于 哪里 我们的第一个主要结果如下。
定理 5 让是部分b-度量空间。鉴于和。假设
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
是广义的-压缩多值映射对。
- （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话
- （v）
- （a）
S和T是--连续多值映射。
- （b）
如果是ω中的序列，因此对于每个和作为，则存在一个子序列属于这样的话对于每个.
如果是连续的，则存在一个公共不动点S公司和T型，例如。
证明。 （a） 让是这样的。选择这样的话和.通过方程式(1)，很容易看出 因此，根据方程式(三),哪里如果，然后从(5)，我们有这是一个矛盾。因此，按公式(5)，我们明白了同样，对于和.我们有 通过以这种方式继续，我们构建了一个序列在里面为了那个和,.和是三角形的-轨道容许。根据引理7，我们有 对于，我们有，哪里如果然后从(7)我们有这是一个矛盾。因此， 我们声称是柯西。我们争论不休。假设存在和一个序列和每个都是这样的 具有 因此， 在以下情况下应用上限在里面并应用方程式(8)连同方程式(10), 关于出租在方程式中(15)并使用方程式中的不等式(8)以及(13)，我们得到 从方程式(8)以及(10)，我们可以选择一个正整数这样所有人，来自方程式(1)，我们得到，哪里 将限额视为并使用方程式(8), (10), (13)以及(14)，我们得到 来自方程式(16), (和引理7自我们得到 这是一个矛盾。因此，是柯西。这个-部分的完备性b条-度量空间(意味着-完整性b条-度量空间因此，存在以便 因此，根据方程式(8)和公理(使用方程式(19)，我们有 自S公司是一个--连续多值映射，因此，所以，同样，因此，S公司和T型有一个共同的固定点. （b） 根据案例（a），我们构造了一个序列在里面由定义和具有对于每个此外，收敛到，并且存在子序列属于这样的话对于每个k个因此，哪里自通过出租，我们有。假设来自方程式(23), 出租在上述不等式中，通过和，我们得到矛盾。因此，并且，由于和，我们得到，类似地，我们可以证明因此，S公司和T型有一个共同的固定点. □ 推论 1 让是部分b-度量空间。鉴于和假设：
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
S是广义的-收缩多值映射，即如果存在比较函数Υ和一个函数这样，对于 哪里 - （iii）
S为三角形-轨道容许。
- （iv）
存在以便.
- （v）
- （a）
S是一个--连续多值映射。
- （b）
如果是ω中的序列，因此为所有人和作为，那么就存在属于这样的话为所有人.
如果γ是连续的，那么S有一个不动点
例子 三。 让.接受通过为所有人显然，是具有定义通过为所有人然后，此外，定义通过对于每个然后，Υ是一个连续比较函数。定义映射通过 此外，我们定义了函数通过 如果序列Cauchy和对于每个整数n，则自是完整的部分b度量空间，收敛于因此是一个-完备部分b-度量空间。让和因此和,等等然后和因此，是-轨道容许。让是这样的,和显然，和因此，是三角形的-轨道容许。让是一个柯西序列，所以和对于每个然后，对于每个因此，因此，T是-连续多值映射。类似地，我们可以证明S是一个-连续多值映射。让.然后，让是这样的.然后，假设，在不失一般性的情况下非零且.然后， 因此，定理5的所有假设都成立，因此S和T有一个共同的不动点。
定义 19 让是部分b-度量空间。鉴于和.被称为-存在比较函数的压缩多值映射对Υ和一个函数这样，对于 定理 6 让是部分b-度量空间。鉴于和假设：
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
是一个-压缩多值映射对。
- （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话.
- （v）
- （a）
S和T是--连续。
- （b）
如果是这样一个序列和作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点
推论 2 让是一个b度量空间。鉴于和假设：
- （i）
是一个-完备b-度量空间。
- （ii）
是一个-关于的压缩多值映射对.
- （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话
- （v）
- （a）
S和T是--连续。
- （b）
如果是中的序列这样的话为所有人和作为，那么就存在属于这样的话为所有人.
如果γ是连续的，那么S和T有一个公共不动点
证明。 设置对于每个定理5.□
定理 7 让是部分b-度量空间。鉴于和假设：
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
如果存在和这样，对所有人来说 和定义见方程式(2); - （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话
- （v）
- （a）
S和T是--连续。
- （b）
如果是ω中的序列，因此和作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点
证明。 只需考虑定理5，和 □
定理 8 让是部分b-度量空间。鉴于和假设：
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
存在和这样，对所有人来说 和定义见方程式(2). - （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话
- （v）
- （a）
S和T是--连续。
- （b）
如果是ω中的序列，因此和作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点.
证明。 结果由定理5得出，取和 □
定理 9 让是部分b度量空间。鉴于和假设：
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
如果是所有人 定义如下(2)和是这样的对于每个. - （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话.
- （v）
- （a）
S和T是--连续。
- （b）
如果是ω中的序列，因此和作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点
证明。 它遵循定理5和 □
3.一些后果
定义 20 让是部分b-度量空间。鉴于和是两个自映射。称为广义-存在比较函数的压缩映射对Υ和一个函数这样，对于 哪里 定理 10 让是部分b-度量空间。鉴于和。假设：
- （i）
是一个-完备部分b-度量空间。
- （ii）
是一个-映射的收缩对。
- （iii）
是三角形的-轨道容许。
- （iv）
存在这样的话
- （v）
- （a）
S和T是--连续。
- （b）
如果是ω中的序列，因此和作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点
推论 三。 让是一个有序的完全部分b-度量空间。假设是弱递增映射[即，和坚持到底]并满足以下条件：
- （i）
如果存在比较函数Υ和这样，对于所有可比较的 或),哪里 - （ii）
存在这样的话.
- （iii）
- （a）
S或T是连续的。
- （b）
如果是ω中的非递减序列，因此作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点
定义 21 [45]是巴拿赫G-收缩，或者简单地说是G-收缩（如果S保留G的边），即。，并且存在这样的话 定义 22 [45]地图称为G连续，如果给定和顺序这样的话作为以及(对于每个整数，意味着 推论 4 让是赋有图G的完全部分b-度量空间。假设满足以下条件：
- （i）
如果存在比较函数Υ和这样，对所有人来说具有哪里 - （ii）
对于 暗示和.
- （iii）
存在这样的话.
- （iv）
- （a）
S或T都是G连续的。
- （b）
如果是ω中的非递减序列，因此作为，那么就存在属于这样的话对于每个.
如果是连续的，那么S公司和T型有一个共同的固定点
推论 5 让是一个完全的部分b-度量空间。让是两个自映射，以便：
- （i）
是广义的-压缩映射对，即存在比较函数Υ和一个函数这样，对于 - （ii）
S和T是-连续的。
如果是连续的，存在一个公共不动点，例如。
