Some Exact Solutions and Conservation Laws of the Coupled Time-Fractional Boussinesq-Burgers System

Shi, Dandan; Zhang, Yufeng; Liu, Wenhao; Liu, Jiangen

doi:10.3390/sym11010077

开放式访问第条

耦合时间分式Boussinesq-Burgers系统的精确解和守恒定律

通过

丹丹石

¹,

张玉峰

^1,*,

刘文浩

¹和

刘建根

^1,2

¹

中国矿业大学数学学院，徐州221116

²

中国矿业大学地质力学与深部地下工程国家重点实验室，徐州221116

^*

信件应寄给的作者。

对称 2019,11(1), 77;https://doi.org/10.3390/sym11010077

收到的提交文件：2018年12月25日/修订日期：2019年1月5日/接受日期：2019年1月7日/发布日期：2019年1月11日

下载

浏览地物

版本注释

摘要

以下为：

本文研究了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的不变性质。为了研究电力系统中的流体流动和描述浅水波的传播，建立了耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统。首先，利用李对称分析方法考虑李点对称性、相似变换。利用得到的对称性，将耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统简化为非线性分数阶常微分方程组（FODEs），其中

E类 第页 d日 \overset{´}{e（电子）} 我 年 我

-

K（K） o个 b条 e（电子） 第页

分数微分算子。其次，我们用幂级数展开法求解FODE的约化系统。同时，分析了幂级数解的收敛性。第三，利用新的守恒定理，构造了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的守恒律。特别是，专门介绍了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的q-同态分析方法的数值模拟。

关键词：

耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统;李对称分析;对称性减缩;显式解决方案;守恒定律

1.简介

分数阶微分方程是经典整数阶微分方程的推广。众所周知，分数阶微积分被广泛应用于描述传热、扩散、固体力学、波传播等领域中出现的许多复杂非线性现象。因此，分数阶偏微分方程在描述物理、工程和其他科学领域中发挥着重要作用[1,2,三,4].

2009年，Gazizov和Kasatkin[5]扩展李对称方法研究几个FDE。基于对称性，FDE的许多有用性质，如对称生成元、相似变换、显式解和守恒定律，可以依次分析[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]. 科马尔和古普塔[21,22]将对称性方法从单时间分数阶偏微分方程推广到时间分数阶非线性偏微分方程组。著名的诺特定理[23]建立了李对称性和微分方程守恒定律之间的联系。最近，通过一个新的守恒Noether定理来构造无拉格朗日函数的FPDE守恒定律被引入[24,25]. 尽管对称方法和守恒定律在有限差分方程方面取得了一些进展，但对耦合时间分数阶有限差分函数的研究还没有很好的探索。还有许多未知的结果以前没有报道过。本文的主要目的是研究Riemann-Liouville分数阶微分定义下的Lie点对称性、相似约简和守恒定律。此外，给出了数值结果并验证了所提方法的正确性。本文发展了分数李对称格式和新的守恒Noether定理来研究耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统，即[26]

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {D类}_{吨}^{α} u个 - \frac{1}{2} 五_{x个} + 2 u个 {u个}_{x个} = 0, \\ {D类}_{吨}^{α} 五 - \frac{1}{2} {u个}_{x个 x个 x个} + 2 {(u个 五)}_{x个} = 0, \end{matrix} \end{matrix}

(1)

哪里

0 < α \leq 1

,

吨 > 0

.

\frac{{⏴========================================================================}^{α} （f） (x个, 吨)}{\partial 吨^{α}}

是Riemann-Liouville偏分数导数，

u个 (x个, 吨)

是水平速度场

五 (x个, 吨)

是底部水平面以上的水面高度。耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统是一个有趣的数学模型，它出现在动态系统中流体流动的研究中，描述了浅水波的传播。

本文的结构如下。在第2节，我们回顾了中给出的分数导数的一些定义[27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38]; 我们重点介绍了PDE的李对称性分析的一些步骤。在第3节，我们得到了方程的Lie点对称性和对称约化(1). 在第4节，方程的约化方程的显式解(1)用幂级数展开法得到。此外，还分析了幂级数解的收敛性。第5节讨论所提出的方法在研究方程守恒定律中的应用(1). 在第6节，利用著名的q-homotopy分析方法研究耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统的数值逼近。最后一节介绍了结论性意见。

2.前期工作

在本节中，我们讨论了耦合时间分数阶偏微分方程的分数阶李对称分析的要点。考虑时间分数PDE系统，如下所示：

\begin{matrix} \frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} = {F类}_{1} (x个, 吨, u个, 五, {u个}_{x个}, 五_{x个}, {u个}_{x个 x个}, 五_{x个 x个, \dots}), \\ \frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} = {F类}_{2} (x个, 吨, u个, 五, {u个}_{x个}, 五_{x个}, {u个}_{x个 x个}, 五_{x个 x个, \dots}), \end{matrix}

（2）

哪里

α > 0

，下标表示偏导数。

定义 1

([29,30,31,32,33,34,35,36,37,38]). Riemann-Liouville偏分数导数

\frac{⏴^{α} （f） (x个, 吨)}{\partial 吨^{α}}

定义如下：

{D类}_{吨}^{α} （f） (x个, 吨) = \frac{\partial^{α} （f） (x个, 吨)}{\partial 吨^{α}} = \{\begin{matrix} \frac{1}{Γ (n个 - α)} \frac{\partial^{n个}}{\partial 吨^{n个}} \int_{0}^{吨} {(吨 - 秒)}^{n个 - α - 1} （f） (x个, 秒) d日 秒, & 吨 > 0, n个 - 1 < α < n个 \in N个, \\ \frac{\partial^{n个} （f） (x个, 吨)}{\partial 吨^{n个}}, & α = n个 \in N个, \end{matrix}

(3)

哪里

Γ (α)

是欧拉伽马函数。根据Riemann-Liouville部分分数导数算子，我们有

\begin{matrix} {({D类}_{吨}^{α})}^{*} = {(- 1)}^{n个} 我_{c（c）}^{n个 - α} ({D类}_{吨}^{n个}) = {({D类}_{c（c）}^{α})}_{吨}^{C类}, \\ 我_{c（c）}^{n个 - α} （f） (x个, 吨) = \frac{1}{Γ (n个 - α)} \int_{吨}^{c（c）} \frac{（f） (x个, 秒)}{{(秒 - 吨)}^{1 + α - n个}} d日 秒 . （f） o个 第页 n个 = [α] + 1, \end{matrix}

(4)

哪里

{({D类}_{吨}^{α})}^{*}

是的伴随运算符

{D类}_{吨}^{α}

、和

{({D类}_{c（c）}^{α})}_{吨}^{C类}

是右边的卡普托操作员[39,40]. 然后我们考虑具有无穷小变换的单参数李群

\begin{matrix} \tilde{x个} = x个 + ε ξ (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \tilde{吨} = 吨 + ε τ (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \tilde{u个} = u个 + ε η (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \tilde{五} = 五 + ε 直径 (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{⏴^{α} \tilde{u个}}{\partial {\tilde{吨}}^{α}} = \frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} + ε η^{α, 吨} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial^{α} \tilde{五}}{\partial {\tilde{吨}}^{α}} = \frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} + ε {直径}^{α, 吨} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial \tilde{u个}}{\partial \tilde{x个}} = \frac{\partial u个}{\partial x个} + ε η^{x个} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial \tilde{五}}{\partial \tilde{x个}} = \frac{\partial 五}{⏴====================================================================== x个} + ε {直径}^{x个} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial^{2} \tilde{u个}}{\partial {\tilde{x个}}^{2}} = \frac{\partial^{2} u个}{\partial {x个}^{2}} + ε η^{x个 x个} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial^{2} \tilde{五}}{\partial {\tilde{x个}}^{2}} = \frac{\partial^{2} 五}{\partial {x个}^{2}} + ε {直径}^{x个 x个} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial^{三} \tilde{u个}}{⏴ {\tilde{x个}}^{三}} = \frac{\partial^{三} u个}{\partial {x个}^{三}} + ε η^{x个 x个 x个} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \\ \frac{\partial^{三} \tilde{五}}{\partial {\tilde{x个}}^{三}} = \frac{\partial^{三} 五}{\partial {x个}^{三}} + ε {直径}^{x个 x个 x个} (x个, 吨, u个, 五) + o个 (ε^{2}), \end{matrix}

(5)

这里ξ、τ、η和是无穷小算子，

η^{α, 吨}

,

{直径}^{α, 吨}

是α阶的扩展无穷小

η^{x个}

,

{直径}^{x个}

,

η^{x个 x个}

,

{直径}^{x个 x个}

,

η^{x个 x个 x个}

,

{直径}^{x个 x个 x个}

是整数阶的扩展无穷小。考虑以下向量场：

X（X） = ξ (x个, 吨, u个, 五) \frac{\partial}{\partial x个} + τ (x个, 吨, u个, 五) \frac{⏴========================================================================}{\partial 吨} + η (x个, 吨, u个, 五) \frac{\partial}{\partial u个} + 直径 (x个, 吨, u个, 五) \frac{\partial}{\partial 五} .

(6)

α阶展开无穷小

η^{α, 吨}

具有以下形式

η^{α, 吨} = {D类}_{吨}^{α} (η) + ξ {D类}_{吨}^{α} ({u个}_{x个}) - {D类}_{吨}^{α} (ξ {u个}_{x个}) + {D类}_{吨}^{α} ({D类}_{吨} (τ) u个) - {D类}_{吨}^{α + 1} (τ u个) + τ {D类}_{吨}^{α + 1} (u个) .

（7）

使用广义莱布尼茨规则和广义链式规则[41,42,43,44]，α阶展开无穷小的最终表达式

η^{α, 吨}

分数形式偏微分方程组(2)可计算如下：

\begin{matrix} η^{α, 吨} = & \frac{\partial^{α} η}{\partial 吨^{α}} + (η_{u个} - \partial {D类}_{吨} (τ)) \frac{{⏴===================================================================}^{α} u个}{\partial 吨^{α}} - u个 \frac{\partial^{α} η_{u个}}{\partial 吨^{α}} + (η_{五} \frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} - 五 \frac{\partial^{α} η_{五}}{\partial 吨^{α}}) + μ_{1} + μ_{2} + \sum_{n个 = 1}^{\infty} [(\binom{α}{n个}) \frac{\partial^{n个} η_{u个}}{\partial 吨^{n个}} - \\ (\binom{α}{n个 + 1}) {D类}_{吨}^{n个 + 1} (τ)] {D类}_{吨}^{α - n个} (u个) + \sum_{n个 = 1}^{\infty} (\binom{α}{n个}) \frac{⏴^{n个} η_{五}}{\partial 吨^{n个}} {D类}_{吨}^{α - n个} (五) - \sum_{n个 = 1}^{\infty} (\binom{α}{n个}) {D类}_{吨}^{n个} (ξ) {D类}_{吨}^{α - n个} ({u个}_{x个}), \\ {直径}^{α, 吨} = & \frac{\partial^{α} 直径}{\partial 吨^{α}} + ({直径}_{五} - \partial {D类}_{吨} (τ)) \frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} - 五 \frac{\partial^{α} {直径}_{五}}{\partial 吨^{α}} + ({直径}_{u个} \frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} - u个 \frac{\partial^{α} {直径}_{u个}}{\partial 吨^{α}}) + μ_{三} + μ_{4} + \sum_{n个 = 1}^{\infty} [(\binom{α}{n个}) \frac{⏴^{n个} {直径}_{五}}{\partial 吨^{n个}} - \\ (\binom{α}{n个 + 1}) {D类}_{吨}^{n个 + 1} (τ)] {D类}_{吨}^{α - n个} (五) + \sum_{n个 = 1}^{\infty} (\binom{α}{n个}) \frac{\partial^{n个} {直径}_{u个}}{\partial 吨^{n个}} {D类}_{吨}^{α - n个} (u个) - \sum_{n个 = 1}^{\infty} (\binom{α}{n个}) {D类}_{吨}^{n个} (ξ) {D类}_{吨}^{α - n个} (五_{x个}), \end{matrix}

(8)

哪里

{D类}_{吨}

表示总导数运算符，

μ_{1}

,

μ_{2}

,

μ_{三}

,

μ_{4}

由提供

\begin{matrix} μ_{1} = \sum_{n个 = 2}^{\infty} \sum_{米 = 2}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{米} \sum_{第页 = 0}^{k个 - 1} (\binom{α}{n个}) (\binom{n个}{米}) (\binom{k个}{第页}) \frac{1}{k个!} \frac{吨^{n个 - α}}{Γ (n个 - α + 1)} {(- u个)}^{第页} \frac{\partial^{米}}{\partial 吨^{米}} ({u个}^{k个 - 第页}) \frac{\partial^{n个 - 米 + k个} η}{\partial 吨^{n个 - 米} \partial {u个}^{k个}}, \\ μ_{2} = \sum_{n个 = 2}^{\infty} \sum_{米 = 2}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{米} \sum_{第页 = 0}^{k个 - 1} (\binom{α}{n个}) (\binom{n个}{米}) (\binom{k个}{第页}) \frac{1}{k个!} \frac{吨^{n个 - α}}{Γ (n个 - α + 1)} {(- 五)}^{第页} \frac{\partial^{米}}{\partial 吨^{米}} (五^{k个 - 第页}) \frac{\partial^{n个 - 米 + k个} η}{\partial 吨^{n个 - 米} \partial 五^{k个}}, \\ μ_{三} = \sum_{n个 = 2}^{\infty} \sum_{米 = 2}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{米} \sum_{第页 = 0}^{k个 - 1} (\binom{α}{n个}) (\binom{n个}{米}) (\binom{k个}{第页}) \frac{1}{k个!} \frac{吨^{n个 - α}}{Γ (n个 - α + 1)} {(- u个)}^{第页} \frac{{⏴======================================================================}^{米}}{\partial 吨^{米}} ({u个}^{k个 - 第页}) \frac{\partial^{n个 - 米 + k个} 直径}{\partial 吨^{n个 - 米} \partial {u个}^{k个}}, \\ μ_{4} = \sum_{n个 = 2}^{\infty} \sum_{米 = 2}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{米} \sum_{第页 = 0}^{k个 - 1} (\binom{α}{n个}) (\binom{n个}{米}) (\binom{k个}{第页}) \frac{1}{k个!} \frac{吨^{n个 - α}}{Γ (n个 - α + 1)} {(- 五)}^{第页} \frac{\partial^{米}}{\partial 吨^{米}} (五^{k个 - 第页}) \frac{\partial^{n个 - 米 + k个} 直径}{\partial 吨^{n个 - 米} \partial 五^{k个}} . \end{matrix}

（9）

方程式(5)表示方程的点对称性(2)只要

{P（P）}_{第页}^{α, 我} X（X） (▵) ∣_{▵ = 0} = 0,

(10)

其中i是系统方程的阶数(5). 应保持不变条件：

τ (x个, 吨, u个, 五) ∣_{吨 = 0} = 0 .

(11)

3.对称性分析

3.1. Lie对称性分析

让我们考虑群变换的不变性(5). 不变性标准采用以下形式：

\begin{matrix} η_{1}^{α, 吨} - \frac{1}{2} {直径}^{x个} + 2 (u个 η^{x个} + η {u个}_{x个}) = 0, \\ η_{2}^{α, 吨} - \frac{1}{2} η^{x个 x个 x个} + 2 (η^{x个} 五 + {u个}_{x个} 直径 + η 五_{x个} + u个 {直径}^{x个}) = 0 . \end{matrix}

（12）

然后，替换延长值并将各种线性自变量的系数等式为零，我们得到：

ξ = \frac{{c（c）}_{1} x个}{2} + {c（c）}_{2}, τ = \frac{{c（c）}_{1} 吨}{α}, η = - \frac{{c（c）}_{1}}{2} u个, 直径 = - {c（c）}_{1} 五,

(13)

哪里

{c（c）}_{1}

,

{c（c）}_{2}

是任意常数。

因此，可以推断出李代数的以下相应无穷小生成元：

{V（V）}_{1} = \frac{x个}{2} \frac{⏴========================================================================}{\partial x个} + \frac{吨}{\partial} \frac{\partial}{\partial 吨} - \frac{1}{2} u个 \frac{\partial}{\partial u个} - 五 \frac{\partial}{\partial 五}, {V（V）}_{2} = \frac{\partial}{\partial x个} .

（14）

很容易检查矢量场(14)分别在Lie括号下闭合

[{V（V）}_{1}, {V（V）}_{1}] = 0 = [{V（V）}_{2}, {V（V）}_{2}], [{V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}] = - \frac{1}{2} {V（V）}_{2} = - [{V（V）}_{2}, {V（V）}_{1}] .

(15)

考虑矢量场

{V（V）}_{1}

，我们可以写出特征方程

\begin{matrix} \frac{d日 x个}{\frac{x个}{2}} = \frac{d日 吨}{\frac{吨}{α}} = \frac{d日 u个}{- \frac{u个}{2}} = \frac{d日 五}{- 五} . \end{matrix}

(16)

求解上述方程，相似解由下式给出

\begin{matrix} ω = x个 吨^{- \frac{α}{2}}, u个 (x个, 吨) = 吨^{- \frac{α}{2}} （f） (ω), 五 (x个, 吨) = 吨^{- α} 克 (ω) . \end{matrix}

(17)

3.2. 对称性约简

为了获得方程的对称约简(1)，我们应用

E类 第页 d日 \overset{´}{e（电子）} 我 年 我

-

K（K） o个 b条 e（电子） 第页

分数微分算子

(φ_{δ}^{ξ, α})

.

定义 2

([45,46,47]).

(φ_{δ}^{ξ, α} 小时) (ω) = Π_{j个 = 0}^{米 - 1} (ξ + j个 - \frac{1}{δ} w个 \frac{d日}{d日 ω}) (κ_{δ}^{ξ + α, 米 - α} 小时) (ω), 米 = \{\begin{matrix} [α] + 1, & 我 （f） α \notin N个, \\ α, & 我 （f） α \in N个, \end{matrix}

(18)

哪里

\begin{matrix} (κ_{δ}^{ξ, α} 小时) (ω) 以下为： = \{\begin{matrix} \frac{1}{Γ (α)} \int_{1}^{\infty} {(第页 - 1)}^{α - 1} {第页}^{- (ξ + α)} 小时 (ω {第页}^{\frac{1}{δ}}) d日 第页, & 我 （f） α > 0, \\ 小时 (ω), & 我 （f） α = 0, \end{matrix} \end{matrix}

(19)

是

E类 第页 d日 \overset{´}{e（电子）} 我 年 我

-

K（K） o个 b条 e（电子） 第页

分数积分算子。To计算

\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}}

，首先让

n个 - 1 < α < n个 (n个 = 1, 2, 三, \dots)

，借助相似变换

u个 (x个, 吨) = 吨^{- \frac{α}{2}} （f） (ω)

,

五 (x个, 吨) = 吨^{- α} 克 (ω)

和相似变量

ω = x个 吨^{- \frac{α}{2}}

，Riemann-Liouville分数导数的定义(三)可以写为：

\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} = \frac{\partial^{n个}}{\partial 吨^{n个}} [\frac{1}{Γ (n个 - α)} \int_{0}^{吨} {(吨 - 秒)}^{n个 - α - 1} 秒^{- \frac{α}{2}} （f） (x个 秒^{- \frac{α}{2}}) d日 秒] .

(20)

让

第页 = \frac{吨}{秒}

，则将上述表达式转换为以下内容：

\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} = \frac{\partial^{n个}}{\partial 吨^{n个}} [\frac{吨^{n个 - \frac{三}{2} α}}{Γ (n个 - α)} \int_{1}^{\infty} {(第页 - 1)}^{n个 - α - 1} {第页}^{- (n个 - \frac{三}{2} α + 1)} （f） (ω {第页}^{\frac{α}{2}}) d日 第页] .

(21)

基于

E类 第页 d日 \overset{´}{e（电子）} 我 年 我

-

K（K） o个 b条 e（电子） 第页

分数积分算子(21)可以写为

\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} = \frac{\partial^{n个}}{\partial 吨^{n个}} [吨^{n个 - \frac{三}{2} α} (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω)] .

(22)

考虑到

ψ (ω) = {C类}^{1} (0, \infty)

对于

ω = x个 吨^{- \frac{α}{2}}

，它认为

吨 \frac{\partial}{\partial 吨} ψ (ω) = - \frac{α}{2} ω \frac{d日}{d日 ω} ψ (ω) .

(23)

因此，方程式(22)可以进行如下转换：

\begin{matrix} \frac{\partial^{n个}}{\partial 吨^{n个}} [吨^{n个 - \frac{三}{2} α} (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω)] \\ = \frac{\partial^{n个 - 1}}{\partial 吨^{n个 - 1}} [\frac{\partial}{\partial 吨} (吨^{n个 - \frac{三}{2} α} (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω))] \\ = \frac{\partial^{n个 - 1}}{\partial 吨^{n个 - 1}} [(n个 - \frac{三}{2} α) 吨^{n个 - \frac{三}{2} α - 1} (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω) + 吨^{n个 - \frac{三}{2} α - 1} (- \frac{α}{2} ω \frac{d日}{d日 ω}) (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω)] \\ = \frac{\partial^{n个 - 1}}{\partial 吨^{n个 - 1}} [吨^{n个 - \frac{三}{2} α - 1} (n个 - \frac{三}{2} α - \frac{α}{2} ω \frac{d日}{d日 ω}) (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω)] \\ = 吨^{- \frac{三}{2} α} Π_{j个 = 0}^{n个 - 1} (1 - \frac{三}{2} α + j个 - \frac{α}{2} ω \frac{d日}{d日 ω}) (κ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{α}{2}, n个 - α} （f）) (ω) \\ = 吨^{- \frac{三}{2} α} (φ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{三}{2} α, α} （f）) (ω) . \end{matrix}

(24)

根据的定义

E类 第页 d日 \overset{´}{e（电子）} 我 年 我

-

K（K） o个 b条 e（电子） 第页

分数微分算子，可以写成如下：

\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} = 吨^{- \frac{三}{2} α} (φ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{三}{2} α, α} （f）) (ω) .

(25)

同时

\frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}}

可以表示为

\frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} = 吨^{- 2 α} (φ_{\frac{2}{α}}^{1 - 2 α, α} 克) (ω) .

(26)

在这种情况下

α = 1, 2, 三, \dots

,

ω = x个 吨^{- \frac{n个}{2}}

，我们有以下内容：

\begin{matrix} \frac{\partial^{α} u个}{⏴ 吨^{α}} & = \frac{\partial^{n个}}{\partial 吨^{n个}} (吨^{- \frac{n个}{2}} （f） (ω)) = \frac{\partial^{n个 - 1}}{\partial 吨^{n个 - 1}} [\frac{\partial}{\partial 吨} (吨^{- \frac{n个}{2}} （f） (ω))] \\ = \frac{\partial^{n个 - 1}}{\partial 吨^{n个 - 1}} [吨^{- \frac{n个}{2} - 1} (- \frac{n个}{2} - \frac{α}{2} ω \frac{d日}{d日 ω}) （f） (ω)] \\ = \dots = 吨^{- \frac{三}{2} n个} Π_{j个 = 0}^{n个 - 1} (1 - \frac{三}{2} n个 + j个 - \frac{α}{2} ω \frac{d日}{d日 ω}) （f） (ω) \\ = 吨^{- \frac{三}{2} n个} (φ_{\frac{2}{n个}}^{1 - \frac{三}{2} n个, n个} （f）) (ω) . \end{matrix}

(27)

同样，对于

α = n个 = 1, 2, 三, \dots

，我们有

\frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} = 吨^{- 2 n个} (φ_{\frac{2}{n个}}^{1 - 2 n个, n个} 克) (ω)

因此，表达式(25)和(26)等待

n个 - 1 < α \leq n个

.

因此，耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统(1)减少到

\begin{matrix} (φ_{\frac{2}{α}}^{1 - \frac{三}{2} α, α} （f）) (ω) - \frac{1}{2} 克^{'} (ω) + 2 （f） (ω) {（f）}^{'} (ω) = 0, \\ (φ_{\frac{2}{α}}^{1 - 2 α, α} 克) (ω) - \frac{1}{2} {（f）}^{'''} (ω) + 2 （f） (ω) 克^{'} (ω) + 2 {（f）}^{'} (ω) 克 (ω) = 0 . \end{matrix}

(28)

4.Power Series解决方案

在下文中，我们将导出系统的显式解(1)采用幂级数展开法。求系统的精确幂级数解(1)，我们让

\begin{matrix} （f） (ω) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} 一_{n个} ω^{n个}, \\ 克 (ω) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {b条}_{n个} ω^{n个}, \end{matrix}

(29)

哪里

一_{n个}

和

{b条}_{n个}

是稍后要知道的常数。替代方程式(29)到方程式中(28)，我们可以获得

\begin{matrix} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{Γ (2 - \frac{α}{2} + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2} + \frac{n个 α}{2})} 一_{n个} ω^{n个} - \frac{1}{2} \sum_{n个 = 0}^{\infty} (n个 + 1) {b条}_{n个 + 1} ω^{n个} + 2 \sum_{n个 = 0}^{\infty} 一_{n个} ω^{n个} \sum_{n个 = 0}^{\infty} (n个 + 1) 一_{n个 + 1} ω^{n个} = 0, \\ \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{Γ (2 - α + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - 2 α + \frac{n个 α}{2})} {b条}_{n个} ω^{n个} - \frac{1}{2} \sum_{n个 = 0}^{\infty} (n个 + 2) (n个 + 三) (n个 + 1) 一_{n个 + 三} ω^{n个} + 2 \sum_{n个 = 0}^{\infty} 一_{n个} ω^{n个} \sum_{n个 = 0}^{\infty} (n个 + 1) {b条}_{n个 + 1} ω^{n个} \\ + 2 \sum_{n个 = 0}^{\infty} {b条}_{n个} ω^{n个} \sum_{n个 = 0}^{\infty} (n个 + 1) 一_{n个 + 1} ω^{n个} = 0 . \end{matrix}

(30)

根据方程式(30)，比较的系数

n个 = 0

，我们得到

\begin{matrix} {b条}_{1} = & 2 [\frac{Γ (2 - \frac{α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2})} + 2 一_{0} 一_{1}], \\ 一_{三} = & \frac{1}{三} [\frac{Γ (2 - α)}{Γ (2 - 2 α)} {b条}_{0} + 2 一_{0} {b条}_{1} + 2 {b条}_{0} 一_{1}] . \end{matrix}

(31)

什么时候？

n个 \geq 1

，我们有

\begin{matrix} {b条}_{n个 + 1} = & \frac{2}{n个 + 1} [\frac{Γ (2 - \frac{α}{2} + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2} + \frac{n个 α}{2})} 一_{n个} + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} (n个 + 1 - k个) 一_{k个} 一_{n个 + 1 - k个}], \\ 一_{n个 + 三} = & \frac{2}{(n个 + 三) (n个 + 2) (n个 + 1)} [\frac{Γ (2 - α + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - 2 α + \frac{n个 α}{2})} {b条}_{n个} + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} 一_{k个} (n个 + 1 - k个) {b条}_{n个 + 1 - k个} \\ + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} {b条}_{k个} (n个 + 1 - k个) 一_{n个 + 1 - k个}] . \end{matrix}

(32)

然后，我们可以写

\begin{matrix} （f） (ω) = & 一_{0} + 一_{1} ω + 一_{2} ω^{2} + \frac{1}{三} [\frac{Γ (2 - α)}{Γ (2 - 2 α)} {b条}_{0} + 2 一_{0} {b条}_{1} + 2 {b条}_{0} 一_{1}] ω^{三} \\ + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{2}{(n个 + 三) (n个 + 2) (n个 + 1)} [\frac{Γ (2 - α + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - 2 α + \frac{n个 α}{2})} {b条}_{n个} \\ + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} 一_{k个} (n个 + 1 - k个) {b条}_{n个 + 1 - k个} + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} {b条}_{k个} (n个 + 1 - k个) 一_{n个 + 1 - k个}] ω^{n个 + 三}, \\ 克 (ω) = & {b条}_{0} + 2 [\frac{Γ (2 - \frac{α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2})} + 2 一_{0} 一_{1}] ω + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{2}{n个 + 1} [\frac{Γ (2 - \frac{α}{2} + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2} + \frac{n个 α}{2})} 一_{n个} \\ + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} (n个 + 1 - k个) 一_{k个} 一_{n个 + 1 - k个}] ω^{n个 + 1} . \end{matrix}

(33)

因此，方程的显式解(1)是

\begin{matrix} u个 (x个, 吨) = & 一_{0} 吨^{- \frac{α}{2}} + 一_{1} x个 吨^{- α} + 一_{2} {x个}^{2} 吨^{- \frac{三 α}{2}} + \frac{1}{三} [\frac{Γ (2 - α)}{Γ (2 - 2 α)} {b条}_{0} + 2 一_{0} {b条}_{1} + 2 {b条}_{0} 一_{1}] {x个}^{三} 吨^{- 2 α} \\ + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{2}{(n个 + 三) (n个 + 2) (n个 + 1)} [\frac{Γ (2 - α + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - 2 α + \frac{n个 α}{2})} {b条}_{n个} + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} (n个 + 1 - k个) 一_{k个} {b条}_{n个 + 1 - k个} \\ + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} (n个 + 1 - k个) {b条}_{k个} 一_{n个 + 1 - k个}] {x个}^{n个 + 三} 吨^{- \frac{(n个 + 4) α}{2}}, \\ 五 (x个, 吨) = & {b条}_{0} 吨^{- α} + 2 [\frac{Γ (2 - \frac{α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2})} + 2 一_{0} 一_{1}] x个 吨^{- \frac{三 α}{2}} + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{2}{n个 + 1} [\frac{Γ (2 - \frac{α}{2} + \frac{n个 α}{2})}{Γ (2 - \frac{三 α}{2} + \frac{n个 α}{2})} 一_{n个} \\ + 2 \sum_{k个 = 0}^{n个} (n个 + 1 - k个) 一_{k个} 一_{n个 + 1 - k个}] {x个}^{n个 + 1} 吨^{- \frac{(n个 + 三) α}{2}} . \end{matrix}

（34）

（请参见图1).

收敛性分析

在这一部分中，方程幂级数解的收敛性(29)对于方程式(28)将进行调查。考虑方程式(32)使得

\begin{matrix} ∣ {b条}_{n个 + 1} ∣ \leq [\frac{∣ Γ (2 - \frac{α}{2} + \frac{n个 α}{2}) ∣}{∣ Γ (2 - \frac{三 α}{2} + \frac{n个 α}{2}) ∣} ∣ 一_{n个} ∣ + 4 \sum_{k个 = 0}^{n个} ∣ 一_{k个} ∣ ∣ 一_{n个 + 1 - k个} ∣], \\ ∣ 一_{n个 + 三} ∣ \leq [\frac{∣ Γ (2 - α + \frac{n个 α}{2}) ∣}{∣ Γ (2 - 2 α + \frac{n个 α}{2}) ∣} ∣ {b条}_{n个} ∣ + \sum_{k个 = 0}^{n个} ∣ 一_{k个} ∣ ∣ {b条}_{n个 + 1 - k个} ∣ + \sum_{k个 = 0}^{n个} ∣ {b条}_{k个} ∣ ∣ 一_{n个 + 1 - k个} ∣] . \end{matrix}

(35)

众所周知

\frac{∣ Γ (n个) ∣}{∣ Γ (米) ∣} < 1

，用于任意n个和米因此，方程式(35)成为

\begin{matrix} ∣ {b条}_{n个 + 1} ∣ \leq M（M） [∣ 一_{n个} ∣ + \sum_{k个 = 0}^{n个} ∣ 一_{k个} ∣ ∣ 一_{n个 + 1 - k个} ∣], \\ ∣ 一_{n个 + 三} ∣ \leq N个 [∣ {b条}_{n个} ∣ + \sum_{k个 = 0}^{n个} ∣ 一_{k个} ∣ ∣ {b条}_{n个 + 1 - k个} ∣ + \sum_{k个 = 0}^{n个} ∣ {b条}_{k个} ∣ ∣ 一_{n个 + 1 - k个} ∣], \end{matrix}

(36)

哪里

M（M） = 米 一 x个 {{e（电子）}_{1}, 4 {e（电子）}_{2}}

,

N个 = 米 一 x个 {{e（电子）}_{三}, {e（电子）}_{4}, {e（电子）}_{5}}

,

{e（电子）}_{我} (我 = 1, 2, \dots, 5)

是任意常数。然后，我们介绍另一个幂级数

\begin{matrix} R（右） (ω) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {第页}_{n个} ω^{n个}, \\ 问 (ω) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {q个}_{n个} ω^{n个}, \end{matrix}

(37)

通过

{第页}_{我} = ∣ 一_{我} ∣

,

{q个}_{我} = ∣ {b条}_{我} ∣

,

我 = 0, 1, 2, \dots

.然后我们可以

\begin{matrix} {第页}_{n个 + 1} \leq M（M） ({第页}_{n个} + \sum_{k个 = 0}^{n个} {第页}_{k个} {第页}_{n个 + 1 - k个}), \\ {q个}_{n个 + 三} \leq N个 ({q个}_{n个} + \sum_{k个 = 0}^{n个} {第页}_{k个} {q个}_{n个 + 1 - k个} + \sum_{k个 = 0}^{n个} {q个}_{k个} {第页}_{n个 + 1 - k个}) . \end{matrix}

(38)

因此，很容易看出

∣ {第页}_{n个} ∣ \leq 一_{n个}

,

∣ {q个}_{n个} ∣ \leq {b条}_{n个}

,

n个 = 0, 1, 2, \dots .

此外，该系列

R（右） (ω) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {第页}_{n个} ω^{n个}

和

问 (ω) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {q个}_{n个} ω^{n个}

是方程的主要级数(40). 通过一些计算，我们有

\begin{matrix} R（右） (ω) = {第页}_{0} + {第页}_{1} ω + {第页}_{2} ω^{2} + {第页}_{三} ω^{三} + N个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} {q个}_{n个} ω^{n个 + 三} + N个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} {第页}_{k个} {q个}_{n个 + 1 - k个} ω^{n个 + 三} \\ + N个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} {q个}_{k个} {第页}_{n个 + 1 - k个} ω^{n个 + 三}, \\ 问 (ω) = {q个}_{0} + {q个}_{1} ω + M（M） \sum_{n个 = 0}^{\infty} {第页}_{n个} ω^{n个 + 1} + M（M） \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} {第页}_{k个} {第页}_{n个 + 1 - k个} ω^{n个 + 1} . \end{matrix}

(39)

然后我们考虑关于自变量的隐函数系统

ω

\begin{matrix} R（右） (ω, R（右）) = R（右） (ω) - {第页}_{0} - {第页}_{1} ω - {第页}_{2} ω^{2} - {第页}_{三} ω^{三} - N个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} {q个}_{n个} ω^{n个 + 三} - N个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} {第页}_{k个} {q个}_{n个 + 1 - k个} ω^{n个 + 三} \\ - N个 \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} {q个}_{k个} {第页}_{n个 + 1 - k个} ω^{n个 + 三} = 0, \\ 问 (ω, 问) = 问 (ω) - {q个}_{0} - {q个}_{1} ω - M（M） \sum_{n个 = 0}^{\infty} {第页}_{n个} ω^{n个 + 1} - M（M） \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{k个 = 0}^{n个} {第页}_{k个} {第页}_{n个 + 1 - k个} ω^{n个 + 1} = 0, \end{matrix}

(40)

自从R（右）和问在附近进行分析

(0, 第页)

和

(0, q个)

，其中

R（右） (0, 第页) = 0

,

问 (0, q个) = 0

和

\frac{\partial}{\partial R（右）} (R（右） (0, 第页)) \neq 0

,

\frac{\partial}{⏴=================================================================== 问} (问 (0, q个)) \neq 0

然后通过隐函数定理[48]，我们达到了收敛点。

5.保护法

构造分数阶偏微分方程守恒定律的方法已在许多论文中给出[12,15,16,19,20,21,22,23,24]. 在本节中，我们将研究耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统的守恒定律(1)利用伴随方程和方程的对称性(1). 方程的形式拉格朗日(1)可以用以下形式书写：

L（左） = 第页 (x个, 吨) (\frac{\partial^{α} u个}{⏴========================================================================== 吨^{α}} - \frac{1}{2} 五_{x个} + 2 u个 {u个}_{x个}) + q个 (x个, 吨) (\frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} + 2 {(u个 五)}_{x个}),

(41)

哪里

第页 (x个, 吨)

和

q个 (x个, 吨)

是新的因变量。对于方程式(1)，伴随方程的形式为

\begin{matrix} \frac{δ L（左）}{δ u个} = {F类}_{1}^{*} = {({D类}_{吨}^{α})}^{*} 第页 - 2 u个 {第页}_{x个} - 2 {q个}_{x个} 五 + \frac{1}{2} {q个}_{x个 x个 x个}, \\ \frac{δ L（左）}{δ 五} = {F类}_{2}^{*} = {({D类}_{吨}^{α})}^{*} q个 + \frac{1}{2} {第页}_{x个} - 2 u个 {q个}_{x个} . \end{matrix}

(42)

满足

Ξ_{我} \neq 0

至少有一个

我 (我 = 1, 2)

，这是

\begin{matrix} \frac{δ L（左）}{δ u个} = λ_{1} (\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} - \frac{1}{2} 五_{x个} + 2 u个 {u个}_{x个}) + λ_{2} (\frac{\partial^{α} 五}{\partial 吨^{α}} + 2 {(u个 五)}_{x个} - \frac{1}{2} {u个}_{x个 x个 x个}), \\ \frac{δ L（左）}{δ 五} = λ_{三} (\frac{\partial^{α} u个}{\partial 吨^{α}} - \frac{1}{2} 五_{x个} + 2 u个 {u个}_{x个}) + λ_{4} (\frac{⏴^{α} 五}{\partial 吨^{α}} + 2 {(u个 五)}_{x个} - \frac{1}{2} {u个}_{x个 x个 x个}), \end{matrix}

（43）

哪里

λ_{我} (我 = 1, \dots, 4)

是待定系数。使用

第页 = Ξ_{1} (x个, 吨, u个, 五), q个 = Ξ_{2} (x个, 吨, u个, 五),

(44)

及其衍生物，系统(43)具有以下形式：

\begin{matrix} {({D类}_{吨}^{α})}^{*} Ξ_{1} - 2 u个 Ξ_{1, x个} - 2 u个 Ξ_{1, u个} {u个}_{x个} - 2 u个 Ξ_{1, 五} 五_{x个} - 2 五 Ξ_{2, x个} - 2 五 Ξ_{2, u个} {u个}_{x个} - 2 五 Ξ_{2, 五} 五_{x个} \\ + \frac{1}{2} [Ξ_{2, x个 x个 x个} + 6 Ξ_{2, u个 五 x个} {u个}_{x个} 五_{x个} + 三 Ξ_{2, u个 u个 五} 五_{x个} {u个}_{x个}^{2} + 三 Ξ_{2, u个 u个} {u个}_{x个} {u个}_{x个 x个} + 三 Ξ_{2, u个 五 五} {u个}_{x个} 五_{x个}^{2} \\ + 三 Ξ_{2, u个 五} ({u个}_{x个} 五_{x个 x个} + 五_{x个} {u个}_{x个 x个}) + 三 Ξ_{2, 五 五} 五_{x个} 五_{x个 x个} + 三 Ξ_{2, x个 x个 五} 五_{x个} + 三 Ξ_{2, x个 x个 u个} {u个}_{x个} + 三 Ξ_{2, x个 u个} {u个}_{x个 x个} \\ + 三 Ξ_{2, x个 五} 五_{x个 x个} + Ξ_{2, u个} {u个}_{x个 x个 x个} + Ξ_{2, 五} 五_{x个 x个 x个} + 三 Ξ_{2, x个 u个 u个} {u个}_{x个}^{2} + 三 Ξ_{2, x个 五 五} 五_{x个}^{2} + Ξ_{2, u个 u个 u个} {u个}_{x个}^{三} + Ξ_{2, 五 五 五} 五_{x个}^{三}] \\ = λ_{1} ({u个}_{吨}^{α} - \frac{1}{2} 五_{x个} + 2 u个 {u个}_{x个}) + λ_{2} (五_{吨}^{α} + 2 {(u个 五)}_{x个} - \frac{1}{2} {u个}_{x个 x个 x个}), \\ {({D类}_{吨}^{α})}^{*} Ξ_{2} + \frac{1}{2} (Ξ_{1, x个} + Ξ_{1, u个} {u个}_{x个} + Ξ_{1, 五} 五_{x个}) - 2 u个 (Ξ_{2, x个} + Ξ_{2, u个} {u个}_{x个} + Ξ_{2, 五} 五_{x个}) \\ = λ_{三} ({u个}_{吨}^{α} - \frac{1}{2} 五_{x个} + 2 u个 {u个}_{x个}) + λ_{4} (五_{吨}^{α} + 2 {(u个 五)}_{x个} - \frac{1}{2} {u个}_{x个 x个 x个}) . \end{matrix}

(45)

等式化各种导数和幂的系数u个,五在方程式中(45)然后同时求解，我们得到

\begin{matrix} λ_{1} = λ_{2} = λ_{三} = λ_{4} = 0, \\ Ξ_{1} (x个, 吨, u个, 五) = 第页 (x个, 吨) = A类, \\ Ξ_{2} (x个, 吨, u个, 五) = q个 (x个, 吨) = B类, \end{matrix}

(46)

哪里A类和B类是任意常数。因此，方程式(1)是非线性自共轭的。随后，字符函数具有以下形式：

\begin{matrix} {W公司}_{1}^{1} = - \frac{u个}{2} - \frac{x个}{2} {u个}_{x个} - \frac{吨}{α} {u个}_{吨}, \\ {W公司}_{1}^{2} = - 五 - \frac{x个}{2} 五_{x个} - \frac{吨}{α} 五_{吨}, \\ {W公司}_{2}^{1} = - {u个}_{x个}, \\ {W公司}_{2}^{2} = - 五_{x个} . \end{matrix}

(47)

使用(46)和设置

A类 = B类 = 1

，保守向量如下所示。

这个x个-组件

{C类}_{我}^{x个}

对应于

{V（V）}_{我} (我 = 1, 2)

如下所示：

\begin{matrix} {C类}_{1}^{x个} = - (\frac{u个}{2} + \frac{x个}{2} {u个}_{x个} + \frac{吨}{α} {u个}_{吨}) (2 u个 + 2 五) - (五 + \frac{x个}{2} 五_{x个} + \frac{吨}{α} 五_{吨}) (2 u个 - \frac{1}{2}), \\ {C类}_{2}^{x个} = - {u个}_{x个} (2 u个 + 2 五) - 五_{x个} (2 u个 - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

(48)

这个吨-组件

{C类}_{我}^{吨}

如下所示：

案例我：: 什么时候 $α \in (0, 1)$ ，保守向量为

$\begin{matrix} {C类}_{1}^{吨} = - \frac{1}{2} (我_{吨}^{1 - α} (u个) + 我_{吨}^{1 - α} (五)) - \frac{x个}{2} (我_{吨}^{1 - α} ({u个}_{x个}) + 我_{吨}^{1 - α} (五_{x个})) - \frac{1}{α} (我_{吨}^{1 - α} (吨 {u个}_{吨}) + 我_{吨}^{1 - α} (吨五_{吨})), \\ {C类}_{2}^{吨} = - 我_{吨}^{1 - α} ({u个}_{x个}) - 我_{吨}^{1 - α} (五_{x个}) . \end{matrix}$

（49）
案例二：: 什么时候 $α \in (1, 2)$ ，保守向量为

$\begin{matrix} {C类}_{1}^{吨} = - \frac{1}{2} ({D类}_{吨}^{α - 1} (u个) + {D类}_{吨}^{α - 1} (五)) - \frac{x个}{2} ({D类}_{吨}^{α - 1} ({u个}_{x个}) + {D类}_{吨}^{α - 1} (五_{x个})) - \frac{1}{α} ({D类}_{吨}^{α - 1} (吨 {u个}_{吨}) + {D类}_{吨}^{α - 1} (吨五_{吨})), \\ {C类}_{2}^{吨} = - {D类}_{吨}^{α - 1} ({u个}_{x个}) - {D类}_{吨}^{α - 1} (五_{x个}) . \end{matrix}$

(50)

6.数值模拟与讨论

本节专门介绍方程的q-HAM分析方法（q-HAM）的数值模拟(1) [49]. 方程式(1)被认为是卡普托的感觉

0 < α \leq 1

.

定义三。

Caputo意义上的分数导数定义为[49]

{D类}_{吨}^{α} （f） (吨) = 我^{米 - α} {D类}^{n个} （f） (吨) = \frac{1}{Γ (n个 - α)} \int_{0}^{吨} {(吨 - τ)}^{n个 - α - 1} {（f）}^{(n个)} (τ) d日 τ,

(51)

哪里

n个 - 1 < α \leq n个, n个 \in N个, 吨 > 0

。对于

α = 1

，方程的精确解(1)由提供[50]

\begin{matrix} u个 (x个, 吨) = \frac{c（c） k个}{2} + \frac{c（c） k个}{2} 棕褐色的 小时 (\frac{c（c） {k个}^{2} 吨 - k个 x个}{2}), \\ 五 (x个, 吨) = - \frac{{k个}^{2}}{8} {秒 小时}^{2} (\frac{k个 x个 - c（c） {k个}^{2} 吨}{2}) . \end{matrix}

(52)

为了简单起见，我们选择特殊参数

c（c） = 1

,

k个 = 2

.考虑方程式(1)具有初始条件[50]

\begin{matrix} u个 (x个, 吨) = 1 - 吨 一 n个 小时 (x个), \\ 五 (x个, 吨) = - \frac{1}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) . \end{matrix}

（53）

为了得到方程的级数解(1)，我们使用线性运算符

\begin{matrix} L（左） [φ (x个, 吨; q个)] = {D类}_{吨}^{α} φ (x个, 吨; q个), \\ L（左） [ψ (x个, 吨; q个)] = {D类}_{吨}^{α} ψ (x个, 吨; q个), \end{matrix}

(54)

具有特定属性

L（左） [第页] = 0

，其中r是常数。非线性算子定义为

\begin{matrix} Φ [φ (x个, 吨; q个), ψ (x个, 吨; q个)] = & \frac{\partial^{α} φ (x个, 吨; q个)}{\partial 吨^{α}} - \frac{1}{2} ψ (x个, 吨; q个) + 2 φ (x个, 吨; q个) \frac{\partial φ (x个, 吨; q个)}{\partial x个}, \\ Φ [φ (x个, 吨; q个), ψ (x个, 吨; q个)] = & \frac{\partial^{α} ψ (x个, 吨; q个)}{\partial 吨^{α}} - \frac{1}{2} \frac{\partial^{三} φ (x个, 吨; q个)}{\partial {x个}^{三}} + 2 φ (x个, 吨; q个) \frac{⏴=================================================================== ψ (x个, 吨; q个)}{\partial x个} \\ + 2 ψ (x个, 吨; q个) \frac{\partial φ (x个, 吨; q个)}{\partial x个} . \end{matrix}

(55)

基于中的定理[50]，非线性算子可以写成

\begin{matrix} Φ [φ (x个, 吨; q个), ψ (x个, 吨; q个)] = & 吨^{1 - α} \frac{\partial^{α} φ (x个, 吨; q个)}{⏴========================================================================== 吨^{α}} - \frac{1}{2} \frac{ψ (x个, 吨; q个)}{\partial x个} + 2 φ (x个, 吨; q个) \frac{\partial φ (x个, 吨; q个)}{\partial x个}, \\ Φ [φ (x个, 吨; q个), ψ (x个, 吨; q个)] = & 吨^{1 - α} \frac{\partial^{α} ψ (x个, 吨; q个)}{\partial 吨^{α}} - \frac{1}{2} \frac{\partial^{三} φ (x个, 吨; q个)}{\partial {x个}^{三}} + 2 φ (x个, 吨; q个) \frac{⏴ ψ (x个, 吨; q个)}{\partial x个} \\ + 2 ψ (x个, 吨; q个) \frac{\partial φ (x个, 吨; q个)}{\partial x个} . \end{matrix}

(56)

因此，零阶变形方程如下所示

\begin{matrix} (1 - n个 q个) L（左） [φ (x个, 吨; q个) - {u个}_{0} (x个, 吨)] = q个 小时 M（M） [φ (x个, 吨; q个), ψ (x个, 吨; q个)], \\ (1 - n个 q个) L（左） [ψ (x个, 吨; q个) - 五_{0} (x个, 吨)] = q个 小时 M（M） [φ (x个, 吨; q个), ψ (x个, 吨; q个)], \end{matrix}

(57)

选择

M（M） (x个, 吨) = 1

，可通过以下公式给出m阶变形方程

\begin{matrix} L（左） [{u个}_{米} (x个, 吨) - χ_{米}^{*} {u个}_{米 - 1} (x个, 吨)] = 小时 {R（右）}_{米, 1} ({u个}_{米 - 1}, 五_{米 - 1}), \\ L（左） [五_{米} (x个, 吨) - χ_{米}^{*} 五_{米 - 1} (x个, 吨)] = 小时 {R（右）}_{米, 2} ({u个}_{米 - 1}, 五_{米 - 1}), \end{matrix}

(58)

哪里

\begin{matrix} χ_{米}^{*} = \{\begin{matrix} 0, 米 \leq 1, \\ n个, o个 吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子）, \end{matrix} \end{matrix}

(59)

\begin{matrix} {R（右）}_{米, 1} ({u个}_{米 - 1}, 五_{米 - 1}) = & 吨^{1 - α} \frac{\partial {u个}_{米 - 1} (x个, 吨)}{\partial 吨} - \frac{1}{2} \frac{\partial 五_{米 - 1} (x个, 吨)}{\partial x个} + 2 \sum_{n个 = 0}^{米 - 1} {u个}_{n个} (x个, 吨) \frac{⏴====================================================================== {u个}_{米 - 1 - n个}}{\partial x个}, \\ {R（右）}_{米, 2} ({u个}_{米 - 1}, 五_{米 - 1}) = & 吨^{1 - α} \frac{\partial 五_{米 - 1} (x个, 吨)}{\partial 吨} - \frac{1}{2} \frac{\partial^{三} {u个}_{米 - 1} (x个, 吨)}{\partial {x个}^{三}} + 2 \sum_{n个 = 0}^{米 - 1} {u个}_{n个} (x个, 吨) \frac{\partial 五_{米 - 1 - n个} (x个, 吨)}{\partial x个} \\ + 2 \sum_{n个 = 0}^{米 - 1} 五_{n个} (x个, 吨) \frac{\partial {u个}_{米 - 1 - n个} (x个, 吨)}{\partial x个} . \end{matrix}

(60)

根据方程的简单变换(58)，我们获得

\begin{matrix} {u个}_{米} (x个, 吨) = χ_{米}^{*} {u个}_{米 - 1} (x个, 吨) + 小时 {L（左）}^{- 1} [{R（右）}_{米, 1} ({u个}_{米 - 1}, 五_{米 - 1})], \\ 五_{米} (x个, 吨) = χ_{米}^{*} 五_{米 - 1} (x个, 吨) + 小时 {L（左）}^{- 1} [{R（右）}_{米, 2} ({u个}_{米 - 1}, 五_{米 - 1})] . \end{matrix}

(61)

因此我们得到了解决方案

\begin{matrix} {u个}_{1} = (\frac{三}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) - 2 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个)) \frac{小时 吨^{α}}{Γ (1 + α)}, \\ 五_{1} = 2 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) \frac{小时 吨^{α}}{Γ (1 + α)}, \end{matrix}

(62)

和

\begin{matrix} {u个}_{2} = & (\frac{三}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) - 2 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个)) \frac{小时 (n个 + 小时) 吨^{α}}{Γ (1 + α)} + (- 18 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 {小时}^{2} (x个) \\ + 6 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) + 2 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) + 12 吨 一 n个 {小时}^{三} (x个) 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个)) \frac{{小时}^{2} 吨^{2 α}}{Γ (1 + 2 α)}, \\ 五_{2} = & 2 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) \frac{小时 (n个 + 小时) 吨^{α}}{Γ (1 + α)} + (10 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) - 57 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 {小时}^{2} (x个) \\ + 45 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 {小时}^{4} (x个) + 8 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) - 8 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 {小时}^{三} (x个) \\ + \frac{15}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{4} (x个) 吨 一 n个 {小时}^{2} (x个) - 8 秒 e（电子） c（c） {小时}^{4} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) - \frac{三}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{4} (x个)) \frac{{小时}^{2} 吨^{2 α}}{Γ (1 + 2 α)} . \end{matrix}

(63)

以同样的方式，

{u个}_{米} (x个, 吨), 五_{米} (x个, 吨)

对于

米 = 三, 4, 5, \dots

可以通过使用Maple获得。那么q-HAM的级数解表达式可以写为

\begin{matrix} u个 (x个, 吨; n个; 小时) = 1 - 吨 一 n个 小时 (x个) + \sum_{我 = 1}^{\infty} {u个}_{我} (x个, 吨; n个; 小时) {(\frac{1}{n个})}^{我}, \\ 五 (x个, 吨; n个; 小时) = - \frac{1}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) + \sum_{我 = 1}^{\infty} 五_{我} (x个, 吨; n个; 小时) {(\frac{1}{n个})}^{我}, \end{matrix}

(64)

u和v是问题方程式的适当解(1)现在我们给出了数值结果来证明q-HAM的有效性。下图显示了方程的q-HAM和精确解(1)对于不同的α值。

备注 1

在方程式中使用q-HAM系列的前两项(64)，何时

n个 = 2

，我们选择合适的

小时 = 1

得到

\begin{matrix} u个 (x个, 吨; n个; 小时) = 1 - 吨 一 n个 小时 (x个) + (\frac{三}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) - 2 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个)) \frac{4 吨^{α}}{Γ (1 + α)}, \\ 五 (x个, 吨; n个; 小时) = - \frac{1}{2} 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) + 8 秒 e（电子） c（c） {小时}^{2} (x个) 吨 一 n个 小时 (x个) \frac{吨^{α}}{Γ (1 + α)} . \end{matrix}

(65)

因此，我们得到了方程的精确解(1)由级数的两个项给出。

备注 2

图2显示由q-HAM获得的耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统的解图，而图3显示同一方程式的精确解

α = 0.4

,

α = 0.6

,

α = 0.8

分别是。需要注意的是，图中只使用了q-HAM系列溶液的三项。结果与其他分析方法的结果相吻合。很容易观察到，u和v的振幅随着α的增加而增加。

7.结论

本文对耦合时间分数Boussinesq-Burgers系统进行了分数李对称性分析。基于分数李对称分析方法，我们确定了向量场并将其简化为FODEs系统。我们用幂级数展开法求解了FODE的简化系统。同时，分析了幂级数解的收敛性。特别是，利用新的守恒定理(1)也基于获得的对称性进行了构造。最后，以Caputo分数阶微分为背景，利用q-homotopy分析方法研究了近似解析解。该方法在实际应用中取得了良好的效果，可以很容易地应用于分数阶流体问题，如Boussinesq-Burgers系统和其他分数阶非线性评价问题。

作者贡献

本部分提及了作者的贡献。调查，D.S。；软件、D.S.和J.L。；书面——原始草案，D.S。；形式分析，Y.Z。；项目管理，Y.Z。；监理，Y.Z。；数据管理，W.L。；写作-评论和编辑，W.L.和J.L.每个作者对本文的贡献都是平等的。所有作者阅读并批准了最后的手稿。

基金

本研究由中央大学基本科研业务费（No.2017XKZD11）资助。

致谢

作者希望对编辑和匿名评审提出的宝贵意见和建议表示衷心的感谢。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

不列颠哥伦比亚省维纳格尔。；波德鲁布尼，I。；埃尔南德斯，A。；控制理论和应用中使用的分数阶算子的一些近似。分形。计算应用程序。分析。 2000,三, 231–248. [谷歌学者]
Oldham，K。；斯潘尼尔，J。分数阶微积分理论及其在任意阶微分和积分中的应用; 爱思唯尔：荷兰阿姆斯特丹，1974年。[谷歌学者]
桑科，S.G。；基尔巴斯，A.A。；O.I.马里切夫。分数积分与导数：理论与应用; Gordon和Breach科学出版社：费城，宾夕法尼亚州，美国，1993年；第397-414页。[谷歌学者]
Tchier，F。；优素福，A。；阿里育，A.I。；Baleanu，D.时间分数阶三阶变Boussinesq系统：对称性分析，显式解，守恒定律和数值近似。欧洲物理学。J.Plus公司 2018,133, 240. [谷歌学者] [交叉参考]
加齐佐夫，R.K。；Kasatkin，A.A。；Lukashchuk，S.Y.分数阶微分方程的连续变换群。Vestnik Usatu公司 2007,9, 21. [谷歌学者]
Sahadevan，R。；Bakyaraj，T.时间分数广义Burgers和Korteweg-de-Vries方程的不变量分析。数学杂志。分析。申请。 2012,393，341–347页。[谷歌学者] [交叉参考]
加齐佐夫，R.K。；Kasatkin，A.A。；Lukashchuk，S.Y.分数阶扩散方程的对称性。物理学。Scr.公司。 2009,2009, 014016. [谷歌学者] [交叉参考]
巴克瓦尔，E。；Luchko，Y.分数阶偏微分方程在李群尺度变换下的不变性。数学杂志。分析。申请。 1998,227, 81–97. [谷歌学者] [交叉参考]
Bakkyaraj，T。；Sahadevan，R.Riemann-Liouville分数导数非线性分数常微分方程的不变量分析。非线性动力学。 2015,80, 447–455. [谷歌学者] [交叉参考]
Ouhadan，A。；Elkinani，E.H.利用李对称分析求时间分数阶Kolmogorov方程的精确解。《分形杂志》。计算应用程序。 2014,5, 97–104. [谷歌学者]
王，G。；刘，X。；Zhang，Y.时间分数阶广义五阶KdV方程的Lie对称性分析。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。 2013,18, 2321–2326. [谷歌学者] [交叉参考]
王，X.B。；田，S.F。；秦，C.Y。；Zhang，T.T.Lie对称性分析，广义时间分数Burgers方程的守恒定律和精确解。欧罗普提斯。莱特。 2016,114, 20003. [谷歌学者] [交叉参考]
Jannelli，A。；Ruggieri，M。；特别地，M.P.利用Lie对称性求解具有非线性源项的时间分数阶对流扩散方程的精确解和数值解。非线性动力学。 2018,92, 543–555. [谷歌学者] [交叉参考]
侯赛尼，V.R。；Shivanian，E。；Chen，W.通过局部径向点插值逼近对二维分数阶电报方程进行局部积分。欧洲物理学。J.Plus公司 2015,130, 33. [谷歌学者] [交叉参考]
鲁伊·W。；Zhang，X.时间分数泡沫排水方程的不变性分析和守恒定律。欧洲物理学。J.Plus公司 2015,130, 192. [谷歌学者] [交叉参考]
王，G。；卡拉，A.H。；Fakhar，K.一类时间分数阶非线性色散方程的对称性分析和守恒定律。非线性动力学。 2015,82, 281–287. [谷歌学者] [交叉参考]
曹，J。；Syta，A。；利塔克，G。；周，S。；D.J.英曼。；Chen，Y.分数阻尼压电能量采集器中的规则和混沌振动。欧洲物理学。J.Plus公司 2015,130, 103. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
王，G.W。；Xu，T.Z.李群分析的非线性时间分数阶Sharma Tasso-Olver方程的不变量分析和精确解。非线性动力学。 2014,76, 571–580. [谷歌学者] [交叉参考]
Zhang，Y。；梅，J。；Zhang，X.一些非线性微分方程和分数阶方程的对称性和显式解。申请。数学。计算。 2018,337, 408–418. [谷歌学者] [交叉参考]
秦，C.Y。；田，S.F。；王，X.B。；Zhang，T.T.Lie对称性，守恒定律和时间分数阶Rosenau-Haynam方程的显式解。Commun公司。西奥。物理学。 2017,67, 157. [谷歌学者] [交叉参考]
辛格拉，K。；Gupta，R.K.关于某些时间分数阶非线性偏微分方程组的不变量分析。数学杂志。物理学。 2016,57，101504。[谷歌学者] [交叉参考]
辛格拉，K。；Gupta，R.K.，某些时间分数阶非线性偏微分方程组的守恒定律。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。 2017,53, 10–21. [谷歌学者] [交叉参考]
Noether，E.不变变化问题。运输。理论统计物理。 1971,1, 186–207. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
Lukashchuk，S.Y.时间分数次扩散和扩散波方程的守恒定律。非线性动力学。 2015,80, 791–802. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
新罕布什尔州伊布拉基莫夫，一个新的守恒定理。数学杂志。分析。申请。 2007,333, 311–328. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
卡特，文学硕士。；Kumar，D.时间分数阶耦合Boussinesq-Burger方程和浅水中近似长波方程的新精确解。海洋工程科学杂志。 2017,2，223–228。[谷歌学者] [交叉参考]
杨晓杰。；巴利亚努，D。；H.M.斯利瓦斯塔瓦。局部分数阶积分变换及其应用; 学术出版社：美国马萨诸塞州剑桥，2015年。[谷歌学者]
杨晓杰。；斯利瓦斯塔瓦，H.M。；Machado，J.A.：一种新的无奇异核分数导数：在稳态热流建模中的应用。arXiv公司, 2015; arXiv:1601.01623。[谷歌学者] [交叉参考]
廖，H。；Lyu，P。；Vong，S.Riesz空间分数扩散方程的二阶BDF时间近似。国际期刊计算。数学。 2018,95, 1–18. [谷歌学者] [交叉参考]
Zhang，S.关于Riemann-Liouville分数阶导数初值问题的单调迭代方法。非线性分析。理论方法应用。 2009,71, 2087–2093. [谷歌学者] [交叉参考]
阿加瓦尔，R.P。；贝尔梅基，M。；Benchohra，M.关于涉及Riemann-Liouville分数导数的半线性微分方程和包含的综述。高级差异。埃克。 2009,2009, 981728. [谷歌学者] [交叉参考]
海曼斯，N。；Podlubny，I.具有Riemann-Liouville分数阶导数的分数阶微分方程初始条件的物理解释。聚乙二醇。学报 2006,45, 765–771. [谷歌学者] [交叉参考]
He，J.H.多孔介质中分数导数渗流的近似解析解。计算。方法应用。机械。工程师。 1998,167, 57–68. [谷歌学者] [交叉参考]
Agrawal，O.P.分数阶变分问题的Euler-Lagrange方程公式。数学杂志。分析。申请。 2002,272, 368–379. [谷歌学者] [交叉参考]
邓，W。；李，C。；Lü，J.多时滞线性分数阶微分系统的稳定性分析。非线性动力学。 2007,48, 409–416. [谷歌学者] [交叉参考]
G.S.F.弗雷德里科。；Torres，D.F.M.最优控制理论中的分数守恒律。非线性动力学。 2008,53, 215–222. [谷歌学者] [交叉参考]
Jumarie，G.从不可微函数的修正Riemann-Liouville导数导出的一些基本分数阶微积分公式表。申请。数学。莱特。 2009,22, 378–385. [谷歌学者] [交叉参考]
Jumarie，G.Laplace通过Mittag-Lefler函数和修改的Riemann-Liouville导数进行分数阶变换。申请。数学。莱特。 2009,22，1659年至1664年。[谷歌学者] [交叉参考]
辛格拉，K。；Gupta，R.K.时空分数阶非线性偏微分方程：对称性分析和守恒定律。非线性动力学。 2017,89, 321–331. [谷歌学者] [交叉参考]
基尔巴斯，A.A。；斯利瓦斯塔瓦，H.M。；J.J.特鲁希略。分数阶微分方程的理论与应用; 爱思唯尔：美国加利福尼亚州圣地亚哥，2006年。[谷歌学者]
Miller，K.S。；罗斯，B。分数阶微积分和分数阶微分方程简介; 威利国际科学：美国新泽西州霍博肯，1993年。[谷歌学者]
波德鲁布尼，I。分数微分方程：分数导数、分数微分方程、其求解方法及其应用简介; 爱思唯尔：美国加利福尼亚州圣地亚哥，1998年。[谷歌学者]
Huang，H.N。；Marcantognini，S.A.M.公司。；新泽西州扬（Young，N.J.Chain）对更高衍生品的规定。数学。智力。 2006,28, 61–69. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
利奥，R.A。；Sicuro，G。；Tempesta，P.分数阶偏微分方程李理论的基本方法。分形。计算应用程序。分析。 2017,20, 212–231. [谷歌学者] [交叉参考]
Kiryakova，副总裁。广义分数微积分及其应用; CRC出版社：美国佛罗里达州博卡拉顿，1993年。[谷歌学者]
马泰，A.M。；Haubold，H.J.Erdélyi-Kober分数积分算子的统计观点。第比利斯数学。J。 2017,10, 145–159. [谷歌学者] [交叉参考]
Sneddon，I.N.在数学物理中使用Erdélyi-Kober算子及其一些推广。在分数微积分及其应用; 施普林格：柏林/海德堡，德国，1975年；第37-79页。[谷歌学者]
鲁丁·W·。数学分析原理; 麦格劳-希尔：美国纽约州纽约市，1976年。[谷歌学者]
俄勒冈州伊奥拉。；Olayinka，O.G.齐次Gardner方程和非齐次微分方程的时间分数模型的解析解。Ain Shams工程师。 2014,5, 999–1004. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
He，J.H.同伦摄动法：一种新的非线性分析技术。申请。数学。计算。 2003,135, 73–79. [谷歌学者] [交叉参考]

图1。面板(一,b条)表示的三维图

u个 (x个, 吨)

具有

一_{0} = 一_{1} = 一_{2} = {b条}_{0} = {b条}_{1} = {b条}_{2} = 1

.面板(c（c）,d日)表示的三维图

五 (x个, 吨)

具有

一_{0} = 一_{1} = 一_{2} = {b条}_{0} = 1

.

图1。面板(一,b条)表示的三维图

u个 (x个, 吨)

具有

一_{0} = 一_{1} = 一_{2} = {b条}_{0} = {b条}_{1} = {b条}_{2} = 1

.面板(c（c）,d日)表示的三维图

五 (x个, 吨)

具有

一_{0} = 一_{1} = 一_{2} = {b条}_{0} = 1

.

图2。方程q-HAM级数解的轮廓(1)使用相同的参数

α = 0.4

,

α = 0.6

,

α = 0.8

分别是。(一——c（c）)三维绘图u个. (d日——（f）)三维绘图五.

图2。方程q-HAM级数解的轮廓(1)使用相同的参数

α = 0.4

,

α = 0.6

,

α = 0.8

分别是。(一——c（c）)三维绘图u个. (d日——（f）)三维绘图五.

图3。方程精确解的轮廓(1)使用相同的参数

α = 0.4

,

α = 0.6

,

α = 0.8

分别是。(一——c（c）)三维绘图u个. (d日——（f）)三维绘图五.

图3。方程精确解的轮廓(1)使用相同的参数

α = 0.4

,

α = 0.6

,

α = 0.8

分别是。(一——c（c）)三维绘图u个. (d日——（f）)三维绘图五.

分享和引用

MDPI和ACS样式

石，D。；Zhang，Y。；刘伟。；刘，J。耦合时间分式Boussinesq-Burgers系统的一些精确解和守恒定律。对称 2019,11，77。https://doi.org/10.3390/sym11010077

AMA风格

史德，张毅，刘伟，刘杰。耦合时间分式Boussinesq-Burgers系统的一些精确解和守恒定律。对称. 2019; 11(1):77.https://doi.org/10.3390/sym11010077

芝加哥/图拉宾风格

石、丹丹、张玉凤、刘文浩和刘建根。2019.“耦合时间分式Boussinesq-Burgers系统的一些精确解和守恒定律”对称11，编号1:77。https://doi.org/10.3390/sym11010077

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

文章菜单

耦合时间分式Boussinesq-Burgers系统的精确解和守恒定律

摘要

1.简介

2.前期工作

3.对称性分析

3.1. Lie对称性分析

3.2. 对称性约简

4.Power Series解决方案

收敛性分析

5.保护法

6.数值模拟与讨论

7.结论

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

工具书类

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI