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第11卷
第1版
10.3390/sym11010061
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第条

具有同伦结果的复值度量空间上模糊映射的公共不动点结果

通过
乌迈拉
1,
穆罕默德·萨瓦尔
1,*和
蓬库姆
2,3,4,*
1
巴基斯坦开伯尔-普赫图赫瓦18800 Malakand大学数学系主任（L）
2
KMUTT固定点研究实验室，数学系，SCL 802室，固定点实验室，科学实验室大楼，通武里国王科技大学（KMUTT），126 Pracha-Uthit Road，Bang Mod，Thrung Khru，Bangkok 10140，Thailand
三
KMUTT不动点理论和应用研究小组（KMUTT-FPTA），理论和计算科学中心（TaCS），科学实验室大楼，泰国曼谷通武里国王蒙库特理工大学（KMUTT），126 Pracha Uthit Road，Bang Mod，Thrung Khru，10140
4
中国医科大学中国医科大学医院医学研究部，台湾台中40402
*
应向其发送信件的作者。
对称 2019,11(1), 61;https://doi.org/10.3390/sym11010061
收到的提交文件：2018年11月6日/修订日期：2018年12月13日/接受日期：2018年12月22日/发布日期：2019年1月8日
（本文属于特刊不动点理论和分数微积分及其应用)
版本注释

摘要

:
由于复值度量空间的概念，我们证明了不动点结果，它推广了一些常见的不动点结论，这些结果是在复值度量时空中有理表达式的压缩条件下得到的。在应用中，我们给出了一个同伦结果以应用本文获得的结果。
关键词：
复值度量空间;模糊映射;固定点;公共不动点;柯西序列;收缩状态
理学硕士：
26A33；34A08；35B40码

1.简介和序言

不动点理论表明了理论学科的重要性，它们直接适用于不同的科学应用领域。特别是，它在研究微分方程和积分方程解的存在性方面发挥了重要作用，这些方程指导了几个实际问题的行为，而这些问题的解的存在是至关重要的。1922年，Banach提供了构造不动点结果的一般迭代方法，并证明了其在完备度量空间中线性压缩下的唯一性[1]. 研究人员借助巴拿赫收缩原理解决了各种具体问题（例如，我们让读者参考[2,三,4,5,6,7]).
纳德勒[8]将Banach压缩技术推广到多值映射，近年来研究人员将其进一步扩展（参见[9,10])。小母牛[11]引入模糊映射的概念，将Banach不动点技术推广到度量线性空间中。许多研究人员扩展了Heilpern的工作并获得了模糊不动点结果（有关详细信息，请参阅[12,13,14,15,16,17,18,19,20,21])。达斯和古普塔[22]利用Banach的不动点技术在度量空间中进行有理收缩，几位研究者将其进一步推广到不同的空间。同时，研究人员意识到，由于向量的决定，有理收缩在锥度量空间中没有意义。
最近，Azam等人[23]建立了一类特殊的锥度量空间，在那里他们创造了利用有理型压缩进行复数形式的向量除法的可能性。新建立的类称为复值度量空间，在这里他们得到了有理收缩的公共不动点结果。随后，Sintunavarat等人[24,25]，Klien-eam等人[26,27]，Rozkard等人[28]，Sittikul等人[29]和Kutbi等人[30]得到了复值度量空间中满足不同类型有理收缩的公共不动点的结果。
近年来，Samet等人[31]提出了 α -容许映射。他们证明了此类映射的常见不动点结果。Asl公司[32]和Kutbi等人[33]进一步完善了 α -引入耦合的容许映射 α -容许映射和 α ∗ − ψ -分别得到了自映射和多值映射的容许映射和不动点结果。
受上述工作的启发，本文采用耦合的概念研究模糊映射的公共不动点 α ∗ -复值度量空间中的容许映射。我们的工作概括了[34]用于模糊映射。
我们将论文组织为第1节，我们已经提供了一些基本的定义和引理，我们的结果是基于这些定义和引言。在第2节，我们得到了主要结果。作为应用，我们导出了多值映射的公共不动点结果，推广了文献中已经证明的许多结果。同样在这一节中，我们构造了一个适当的示例来展示我们主要结果的有效性。在第3节，通过证明同伦结果，我们提供了一个结果的应用。在第4节，我们得出了结论。
定义 1
([23]). 假设C是复数集。对于 ε 1 , ε 2 ∈ C类 ，我们在C上定义了一个偏序≾，如下所示：
ε 1 ≾ ε 2 若（iff） R（右） e（电子） ( ε 1 ) ≤ R（右） e（电子） ( ε 2 ) , 一 n个 d日 我 米 ( ε 1 ) ≤ 我 米 ( ε 2 ) .
由此可见
ε 1 ≾ ε 2 ,
如果满足以下条件之一：
（Ci） 
R（右） e（电子） ( ε 1 ) < R（右） e（电子） ( ε 2 ) , 我 米 ( ε 1 ) = 我 米 ( ε 2 ) ,
（Cii） 
R（右） e（电子） ( ε 1 ) = R（右） e（电子） ( ε 2 ) , 我 米 ( ε 1 ) < 我 米 ( ε 2 ) ,
（Ciii） 
R（右） e（电子） ( ε 1 ) < R（右） e（电子） ( ε 2 ) , 我 米 ( ε 1 ) < 我 米 ( ε 2 ) ,
（公民） 
R（右） e（电子） ( ε 1 ) = R（右） e（电子） ( ε 2 ) , 我 米 ( ε 1 ) = 我 米 ( ε 2 ) .
特别是，我们写 ε 1 ⋨ ε 2 如果 ε 1 ≠ ε 2 满足（Ci）、（Cii）和（Ciii）中的一个，并且 ε 1 = ε 2 当且仅当（Civ）满足时。请注意
（i） 
0 ≾ ε 1 ⋨ ε 2 ⇒ | ε 1 | < | ε 2 | , ∀ ε 1 , ε 2 ∈ C类 ,
（ii） 
ε 1 ≾ ε 2 和 ε 2 ≺ ε 三 ⇒ ε 1 ≺ ε 三 , ∀ ε 1 , ε 2 , ε 三 ∈ C类 .
定义 2
([23]). 让 S公司 是非空集合，并且 σ : S公司 × S公司 → C类 是满足以下条件的映射：
(1) 
0 ≾ σ ( z（z） , 周 ) ，对于所有人 z（z） , 周 ∈ S公司 和 σ ( z（z） , 周 ) = 0 当且仅当 z（z） = 周 ;
(2) 
σ ( z（z） , 周 ) = σ ( 周 , z（z） ) ，对于所有人 z（z） , 周 ∈ S公司 ;
(3) 
σ ( z（z） , 周 ) ≾ σ ( z（z） , z（z） 1 ) + σ ( z（z） 1 , 周 ) ，对于所有人 z（z） , z（z） 1 , 周 ∈ S公司 .
然后， ( S公司 , σ ) 称为复值度量空间。
定义 三
([23]). A分 z（z） ∈ S公司 称为集合的内点 Z轴 ⊆ S公司 ，如果我们发现 0 ≺ ϵ ∈ C类 这样，
B类 ( z（z） , ϵ ) = { 周 ∈ S公司 : σ ( z（z） , 周 ) ≺ ϵ } ⊆ Z轴 .
A分 z（z） ∈ Z轴 称为Z的极限点，如果存在开球 B类 ( z（z） , ϵ ) 这样的话
B类 ( z（z） , ϵ ) ∩ Z轴 ∖ { z（z） } ≠ ϕ ,
哪里 0 ≺ ϵ ∈ C类 .的子集Z S公司 如果Z的每个点都是Z的内点，则称为开。此外，如果Z包含其所有极限点，则表示Z是闭的。
家庭
B类 = { B类 ( z（z） , ϵ ) : z（z） ∈ S公司 , 0 ≺ ϵ }
是Hausdorff拓扑的子基础 T型 在 S公司 .
现在，回顾一下[9,26].
让 ( S公司 , σ ) 是一个复值度量空间。在本文中，我们表示了复值度量空间的所有非空闭有界子集族 S公司 通过 C类 B类 ( S公司 ) 。对于 ν ∈ C类 ，我们表示
秒 ( ν ) = { z（z） ∈ C类 : ν ⪯ z（z） }
和，用于 周 ∈ S公司 和 B类 ∈ C类 B类 ( S公司 ) ,
秒 周 , B类 = ∪ b条 ∈ B类 秒 σ ( 周 , b条 ) = ∪ b条 ∈ B类 z（z） ∈ C类 : σ ( 周 , b条 ) ⪯ z（z） .
对于 A类 , B类 ∈ C类 B类 ( S公司 ) ，我们表示
秒 A类 , B类 = ∩ 对 ∈ A类 秒 对 , B类 ∩ ∩ q个 ∈ B类 秒 q个 , A类 .
让 τ 是来自的多值映射 S公司 进入之内 C类 B类 ( S公司 ) 。对于 z（z） ∈ S公司 和 问 ∈ C类 B类 ( S公司 ) ，我们定义
W公司 z（z） ( 问 ) = σ ( z（z） , q个 ) : q个 ∈ 问 .
因此，对于 z（z） , 周 ∈ S公司 ,
W公司 z（z） ( τ 周 ) = σ ( z（z） , u个 ) : u个 ∈ τ 周 .
引理 1
([5]). 让 ( S公司 , σ ) 是复值度量空间：
（i） 
让 z（z） , 周 ∈ C类 . 如果 z（z） ⪯ 周 ，然后 秒 ( z（z） ) ⊂ 秒 ( 周 ) .
（ii） 
让 z（z） ∈ S公司 和 D类 ∈ N个 ( S公司 ) . 如果 δ ∈ 秒 ( z（z） , D类 ) ，然后 z（z） ∈ D类 .
（iii） 
让 周 ∈ C类 , P（P） , 问 ∈ C类 B类 ( S公司 ) 和 对 ∈ P（P） . 如果 v（v） ∈ 秒 ( P（P） , 问 ) , 然后 z（z） ∈ 秒 ( 对 , 问 ) 为所有人 对 ∈ P（P） 或 z（z） ∈ 秒 ( P（P） , q个 ) 为所有人 q个 ∈ 问 .
定义 4
([23]). 让 { 周 第页 } 是复值度量空间中的序列 ( S公司 , σ ) 和 周 ∈ S公司 ; 然后，
（i） 
w被称为的极限点 { 周 第页 } 如果每个 0 ≺ ϵ ∈ C类 存在一个 第页 0 ∈ N个 这样的话 σ ( 周 第页 , 周 ) ⪯ ϵ 为所有人 第页 ⪰ 第页 0 并写为 林 第页 → ∞ 周 第页 = 周 .
（ii） 
{ 周 第页 } 如果有，则为柯西序列 0 ≺ ϵ ∈ C类 存在一个 第页 0 ∈ N个 这样的话 σ ( 周 第页 , 周 第页 + t吨 ) ≺ ϵ 为所有人 第页 ≻ 第页 0 哪里 t吨 ∈ N个 .
（iii） 
我们这么说 ( S公司 , σ ) 是完备复值度量空间，如果 S公司 收敛到中的一点 S公司 .
定义 5
([12]). 让 ( V（V） , σ ) 是一个度量空间。模糊集 A类 以其隶属函数为特征 （f） A类 : V（V） → [ 0 , 1 ] ，它为的每个元素分配一个成员等级 A类 介于0和1之间。为了简单起见，我们表示 （f） A类 ( u个 ) 通过 A类 ( u个 ) 模糊集的α-水平集 A类 此处表示为 [ A类 ] α 定义如下：
[ A类 ] α = { u个 : A类 ( u个 ) ≥ α } 如果 α ∈ ( 0 , 1 ] ,
[ A类 ] 0 = { u个 : A类 ( u个 ) > 0 } ¯ .
在这里， A类 ¯ 表示集合的更接近A类.
定义 6
([12]). 让 L（左） ( S公司 ) 是度量空间中所有模糊集的族 S公司 。对于 G公司 , H（H） ∈ L（左） ( S公司 ) , G公司 ⊂ H（H） 方法 G公司 ( z（z） ) ≤ H（H） ( z（z） ) 对于每个 z（z） ∈ S公司 .
定义 7
([11]). 假设 S公司 是一个任意集，并且 Y（Y） 是公制空间。如果 G公司 : S公司 → L（左） ( Y（Y） ) , 那么G就是一个模糊映射。模糊映射G是上的模糊子集 S公司 × Y（Y） 具有成员函数 G公司 ( 周 ) ( z（z） ) .功能 G公司 ( 周 ) ( z（z） ) 是z的成员等级 G公司 ( 周 ) .
定义 8
([20]). 假设 ( S公司 , σ ) 是复值度量空间，并且 G公司 1 , G公司 2 : S公司 → L（左） ( S公司 ) 是模糊映射。A分 周 ∈ S公司 被称为模糊不动点 G公司 1 如果 周 ∈ [ G公司 1 周 ] α 对一些人来说 α ∈ [ 0 , 1 ] 和w被称为一个公共模糊不动点 G公司 1 , G公司 2 如果 周 ∈ [ G公司 1 周 ] α ∩ [ G公司 2 周 ] α . 如果 α = 1 则w被称为模糊映射的公共不动点。
定义 9
([20]). 让 ( S公司 , σ ) 是一个复值度量空间。多值映射 G公司 : S公司 → 2 C类 如果，对于每个 周 ∈ S公司 ，存在 z（z） 周 ∈ C类 这样的话
z（z） 周 ⪯ u个
为所有人 u个 ∈ G公司 周 .
定义 10
([20]). 让 ( S公司 , σ ) 是复值度量空间。模糊映射 G公司 : S公司 → L（左） ( S公司 ) 据说在上具有最大下界属性（glb） ( S公司 , σ ) 如果，对于任何 周 ∈ S公司 与一些α相关的多值映射 如果 z（z） : S公司 → 2 C类 由定义
如果 z（z） ( 周 ) = W公司 z（z） ( [ G公司 周 ] )
从下面有界，也就是说，对于任何 z（z） , 周 ∈ S公司 ，存在一个元素 我 z（z） ( [ S公司 周 ] α ∈ S公司 ) 这样的话 我 z（z） ( [ S公司 周 ] α ⪯ u个 ，对于所有人 u个 ∈ W公司 z（z） ( [ G公司 周 ] ) ，其中 我 z（z） ( [ S公司 周 ] α 是的下限 G公司 与一些 ( z（z） , 周 ) .
定义 11
([20]). 让 ( S公司 , σ ) 复值度量空间与模糊映射 G公司 1 : S公司 → L（左） ( S公司 ) 满足上的最大下界属性（glb属性） ( S公司 , σ ) 那么，对于任何 周 ∈ S公司 和 α ∈ ( 0 , 1 ] ，最大下限 W公司 周 ( [ G公司 1 年 ] α ) 存在于C中 周 , 年 ∈ S公司 在这里，我们表示 σ ( 周 , [ G公司 1 年 ] α ) 由 W公司 周 ( [ G公司 1 年 ] α ) , 即。，
σ 周 , [ G公司 1 年 ] α = inf公司 { σ ( 周 , u个 ) : u个 ∈ [ G公司 1 年 ] α } .
备注 1
([26]). 让 ( S公司 , σ ) 是一个复值度量空间。如果 C类 = R（右） , 然后 ( S公司 , σ ) 是度量空间。此外， H（H） ( A类 , B类 ) = inf公司 秒 ( A类 , B类 ) 是Hausdorff距离由 σ , 哪里 A类 , B类 ∈ C类 B类 ( S公司 ) .
定义 12
([34]). 让 P（P） , 问 : S公司 → C类 B类 ( S公司 ) ，并让 ϱ : S公司 × S公司 → [ 0 , + ∞ ) . 然后，我们说 P（P） , 问 是耦合的 ϱ ∗ -允许，如果 ϱ ( u个 , v（v） ) ≥ 1 暗示 ϱ ∗ ( P（P） u个 , 问 v（v） ) ≥ 1 为所有人 u个 , n个 ∈ S公司 ，其中 ϱ ∗ ( P（P） u个 , 问 v（v） ) = inf公司 { ϱ ( u个 , v（v） ) : u个 ∈ P（P） u个 , v（v） ∈ 问 v（v） } .

2.主要成果

定理 1
让 ( S公司 , σ ) 是完备复值度量空间 P（P） , 问 : S公司 → L（左） ( S公司 ) 耦合 ϱ ∗ -满足glb性质的容许映射。假设对于P和Q，以下条件成立
ξ σ ( u个 , v（v） ) + ζ σ ( u个 , [ P（P） u个 ] α ) σ ( v（v） , [ 问 v（v） ] α ) + η σ ( v（v） , [ P（P） u个 ] α ) σ ( u个 , [ 问 v（v） ] α ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) + ρ σ ( u个 , [ P（P） u个 ] α ) σ ( u个 , [ 问 v（v） ] α ) + δ σ ( v（v） , [ P（P） u个 ] α ) σ ( v（v） , [ 问 v（v） ] α ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 ] α , [ 问 v（v） ] α 秒 [ P（P） u个 ] α , [ 问 v（v） ] α
为所有人 v（v） , u个 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) ，其中 u个 0 ∈ S公司 和 0 ≺ t吨 ∈ C类 , 具有
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) ,
哪里 ζ , η 和ξ是非负实数，因此 Z轴 = ξ + ρ 1 − ζ − ρ < 1 . 假设 ϱ ( u个 0 , u个 1 ) ≥ 1 ，对于一些 u个 1 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 以及每个 v（v） , u个 ∈ S公司 .让 [ P（P） u个 ] α , [ 问 v（v） ] α 是非空的闭的有界子集 S公司 与一些 α ∈ ( 0 , 1 ] .如果 { u个 q个 } 是中的序列 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 具有 ϱ ( u个 q个 , u个 q个 + 1 ) ≥ 1 和 u个 q个 → z（z） 作为 q个 → + ∞ ，然后 ϱ ( u个 q个 , z（z） ) ≥ 1 对于所有q。
那么，存在一个点 u个 ∗ ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 这样的话 u个 ∗ ∈ [ P（P） u个 ∗ ] α ∩ [ 问 u个 ∗ ] α .
证明。 
取任意点 u个 0 ∈ S公司 自从
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) ⇒ ( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ ⋃ u个 1 ∈ [ P（P） u个 0 ] α 秒 σ ( u个 0 , u个 1 ) .
自 [ P（P） u个 0 ] α 是非空的、封闭的和有界的；因此，对于一些 u个 1 ∈ [ P（P） u个 0 ] α ，一个人可以写
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( σ ( u个 0 , u个 1 ) ) .
根据定义，我们得到
σ ( u个 0 , u个 1 ) ) ⪯ ( 1 − Z轴 ) t吨 ,
这就产生了
| σ ( u个 0 , u个 1 ) ) | ≤ ( 1 − Z轴 ) | t吨 | .
因此， u个 1 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) .正如我们所设想的那样 ϱ ( u个 0 , u个 1 ) ≥ 1 、和 { P（P） , 问 } 已耦合 ϱ ∗ -可接受，因此 ϱ ∗ ( [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α ) > 1 . 使用(2)，我们有
ξ σ ( u个 0 , u个 1 ) + ζ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) + η σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) + ρ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) + δ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α 秒 [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α .
使用引理1（iii），我们得到
ξ σ ( u个 0 , u个 1 ) + ζ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) + η σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) + ρ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) + δ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α 秒 u个 1 , [ 问 u个 1 ] α .
根据定义，有一些 u个 2 ∈ [ 问 u个 1 ] α 这样的话
ξ σ ( u个 0 , u个 1 ) + ζ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) + η σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) + ρ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) + δ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α 秒 σ ( u个 1 , u个 2 ) .
使用定义1，我们得出以下结论
ϱ ∗ [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α σ ( u个 1 , u个 2 ) ⪯ ξ σ ( u个 0 , u个 1 ) + ζ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) + η σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) + ρ σ ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 0 , [ 问 u个 1 ] α ) + δ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 0 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 1 ] α ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) .
利用的glb属性P（P）和问，我们获得
ϱ ∗ [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α σ ( u个 1 , u个 2 ) ⪯ ξ σ ( u个 0 , u个 1 ) + ζ σ ( u个 0 , u个 1 ) σ ( u个 1 , u个 2 ) + η σ ( u个 1 , u个 1 ) σ ( u个 0 , u个 2 ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) + ρ σ ( u个 0 , u个 1 ) σ ( u个 0 , u个 2 ) + δ σ ( u个 1 , u个 1 ) σ ( u个 1 , u个 2 ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) ,
这意味着
σ ( u个 1 , u个 2 ) ≺ ϱ ∗ [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α σ ( u个 1 , u个 2 ) ⪯ ξ σ ( u个 0 , u个 1 ) + ζ σ ( u个 0 , u个 1 ) σ ( u个 1 , u个 2 ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) + ρ σ ( u个 0 , u个 1 ) σ ( u个 0 , u个 2 ) 1 + σ ( u个 0 , u个 1 ) .
因此，
| σ ( u个 1 , u个 2 ) | ≤ ξ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | + ζ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | | σ ( u个 1 , u个 2 ) | 1 + | σ ( u个 0 , u个 1 ) | + ρ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | [ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | + | σ ( u个 1 , u个 2 ) | ] 1 + | σ ( u个 0 , u个 1 ) | ≤ ξ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | + ζ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | + ρ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | + ρ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | ,
这就产生了
| σ ( u个 1 , u个 2 ) | ≤ ξ + ρ 1 − ζ − ρ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | = Z轴 | σ ( u个 0 , u个 1 ) | .
发件人(4)，我们得到
| σ ( u个 1 , u个 2 ) | ≤ Z轴 ( 1 − Z轴 ) t吨 .
现在，考虑一下
| σ ( u个 0 , u个 2 ) | ≤ σ | u个 0 , u个 1 | + σ | u个 1 , u个 2 | ≤ ( 1 − Z轴 ) | t吨 | + Z轴 ( 1 − Z轴 ) | t吨 | = ( 1 − Z轴 ) ( 1 + Z轴 ) | t吨 | = ( 1 − Z轴 2 ) | t吨 | .
因此， u个 2 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) .自 ϱ ( u个 0 , u个 1 ) ≥ 1 和 { P（P） , 问 } 是耦合的 ϱ ∗ -允许， ϱ ∗ ( [ P（P） u个 0 ] α , [ 问 u个 1 ] α ) ≥ 1 . 以下内容(2)，我们有
ξ σ ( u个 1 , u个 2 ) + ζ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) + η σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) + ρ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) + δ σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α 秒 [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α .
利用引理1（iii），我们得到
ξ σ ( u个 1 , u个 2 ) + ζ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) + η σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) + ρ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) + δ σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α 秒 u个 2 , [ 问 u个 2 ] α .
根据定义，有一些 u个 三 ∈ [ 问 u个 2 ] α 这样的话
ξ σ ( u个 1 , u个 2 ) + ζ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) + η σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) + ρ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) + δ σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α 秒 σ ( u个 2 , u个 三 ) .
根据定义1，我们得到
ϱ ∗ [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α σ ( u个 2 , u个 三 ) ⪯ ξ σ ( u个 1 , u个 2 ) + ζ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) + η σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) + ρ σ ( u个 1 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 1 , [ 问 u个 2 ] α ) + δ σ ( u个 2 , [ P（P） u个 1 ] α ) σ ( u个 2 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) .
利用的glb特性P（P）和问，我们得出结论
ϱ ∗ [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α σ ( u个 2 , u个 三 ) ⪯ ξ σ ( u个 1 , u个 2 ) + ζ σ ( u个 1 , u个 2 ) σ ( u个 2 , u个 三 ) + η σ ( u个 2 , u个 2 ) σ ( u个 1 , u个 三 ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) + ρ σ ( u个 1 , u个 2 ) σ ( u个 1 , u个 三 ) + δ σ ( u个 2 , u个 2 ) σ ( u个 2 , u个 三 ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) ,
这意味着
σ ( u个 2 , u个 三 ) ≺ ϱ ∗ [ P（P） u个 1 ] α , [ 问 u个 2 ] α σ ( u个 2 , u个 三 ) ⪯ ξ σ ( u个 1 , u个 2 ) + ζ σ ( u个 1 , u个 2 ) σ ( u个 2 , u个 三 ) 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) + ρ σ ( u个 1 , u个 2 ) [ σ ( u个 1 , u个 2 ) + σ ( u个 2 , u个 三 ) ] 1 + σ ( u个 1 , u个 2 ) .
因此，
| σ ( u个 2 , u个 三 ) | ≤ ξ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | + ζ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | | σ ( u个 2 , u个 三 ) | 1 + | σ ( u个 1 , u个 2 ) | + ρ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | [ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | + | σ ( u个 2 , u个 三 ) | ] 1 + | σ ( u个 1 , u个 2 ) | ≤ ξ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | + ζ | σ ( u个 2 , u个 三 ) | + ρ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | + ρ | σ ( u个 2 , u个 三 ) | .
因此，
| σ ( u个 2 , u个 三 ) | ≤ ξ + ρ 1 − ζ − ρ | σ ( u个 1 , u个 2 ) | = Z轴 | σ ( u个 1 , u个 2 ) | ,
哪里 Z轴 < 1 . 发件人(4)，我们得到
| σ ( u个 2 , u个 三 ) | ≤ Z轴 2 ( 1 − Z轴 ) t吨 .
自
| σ ( u个 0 , u个 三 ) | ≤ | σ ( u个 0 , u个 1 ) | + σ | u个 1 , u个 2 | + σ | u个 2 , u个 三 | ≤ ( 1 − Z轴 ) + Z轴 ( 1 − Z轴 | t吨 | + Z轴 2 ( 1 − Z轴 ) | t吨 | = ( 1 − Z轴 三 ) | t吨 | ,
这说明了 u个 三 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) . 通过继续这个过程，我们可以构建一个序列 { u个 对 } 在里面 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 具有 对 = 0 , 1 , 2 , 三 , . . .
ϱ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) ≥ 1 一 n个 d日 ϱ ( u个 2 对 + 1 u个 2 对 + 2 ) ≥ 1
这样的话
ϱ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) ≤ Z轴 2 对 | σ ( u个 0 , u个 1 ) | 一 n个 d日 ϱ ( u个 2 对 + 1 , u个 2 对 + 2 ) ≤ Z轴 2 对 + 1 | σ ( u个 0 , u个 1 ) | ,
哪里
u个 2 对 + 1 ∈ [ P（P） u个 2 对 ] α 一 n个 d日 u个 2 对 ∈ [ 问 u个 2 对 − 1 ] α .
通过归纳，我们可以在 S公司 这样，对于 对 = 0 , 1 , 2 , . .
ϱ ( u个 对 , u个 对 + 1 ) ≥ 1 和 | σ ( u个 对 , u个 对 + 1 ) | ≤ Z轴 对 | σ ( u个 0 , u个 1 ) | .
假设 q个 > 对 然后，利用(5)和三角不等式，我们得到
| σ ( u个 对 , u个 q个 ) | ≤ | σ ( u个 对 , u个 对 + 1 ) | + | σ ( u个 对 + 1 , u个 对 + 2 ) | + ⋯ + | σ ( u个 q个 − 1 , u个 q个 ) | ≤ [ Z轴 对 + Z轴 对 + 1 + ⋯ + Z轴 q个 − 1 ] | σ ( u个 0 , u个 1 ) | ≤ Z轴 对 1 − Z轴 | σ ( u个 0 , u个 1 ) | → 0 , 什么时候 Z轴 → ∞ .
这表明 { u个 对 } 是中的Cauchy序列 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) .自 S公司 是完整的，并且 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 是的闭子空间 S公司 因此，有 z（z） ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 这样的话 u个 对 → z（z） 什么时候 对 → ∞ . 最后，我们要证明 z（z） ∈ [ P（P） z（z） ] α 和 z（z） ∈ [ 问 z（z） ] α .作为 ϱ ( u个 对 , z（z） ) ≥ 1 和 { P（P） , 问 } 是 ϱ ∗ -可以接受，所以 ϱ ∗ ( [ P（P） u个 对 ] α , [ 问 z（z） ] α ) ≥ 1 为所有人对根据方程式(2)，我们获得
ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) + η σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + + ρ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) + δ σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α 秒 [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α .
利用引理1（iii），我们得到
ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) + η σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + + ρ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) + δ σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α 秒 u个 2 对 + 1 , [ 问 z（z） ] α .
根据定义，有一些 u个 对 ∈ [ 问 z（z） ] α , 这样的话
ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) + η σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + + ρ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) + δ σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α 秒 σ ( u个 2 对 + 1 , u个 对 ) .
根据定义1，我们得到
ϱ ∗ [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α σ ( u个 2 对 + 1 , u个 对 ) ⪯ ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) + η σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ρ σ ( u个 2 对 , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( u个 2 对 , [ 问 z（z） ] α ) + δ σ ( z（z） , [ P（P） u个 2 对 ] α ) σ ( z（z） , [ 问 z（z） ] α ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) .
利用的glb属性P（P）和问，我们获得
ϱ ∗ [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α σ ( u个 2 对 + 1 , u个 对 ) ⪯ ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) + η σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ρ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) + δ σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) ,
这意味着
σ ( u个 2 对 + 1 , u个 对 ) ≺ ϱ ∗ [ P（P） u个 2 对 ] α , [ 问 z（z） ] α σ ( u个 2 对 + 1 , u个 对 ) ⪯ ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) + η σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ρ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) + δ σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) ,
所以我们得出结论
σ ( u个 2 对 + 1 , u个 对 ) ⪯ ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) + η σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ρ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) + δ σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） )
自从
σ ( z（z） , u个 对 ) ⪯ σ ( z（z） , u个 对 + 1 ) + σ ( u个 对 + 1 , u个 对 ) .
因此，遵循(6)，我们有
σ ( z（z） , u个 对 ) ⪯ σ ( z（z） , u个 对 + 1 ) + ξ σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ζ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) + η σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) + ρ σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) σ ( u个 2 对 , u个 对 ) + δ σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) σ ( z（z） , u个 对 ) 1 + σ ( u个 2 对 , z（z） ) ,
这意味着
| σ ( z（z） , u个 对 ) | ≤ | σ ( z（z） , u个 对 + 1 ) | + ξ | σ ( u个 2 对 , z（z） ) | + ζ | σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) | | σ ( z（z） , u个 对 ) | + η | σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) | | σ ( u个 2 对 , u个 对 ) | 1 + | σ ( u个 2 对 , z（z） ) | + ρ | σ ( u个 2 对 , u个 2 对 + 1 ) | | σ ( u个 2 对 , u个 对 ) | + δ | σ ( z（z） , u个 2 对 + 1 ) | σ ( z（z） , u个 对 ) | 1 + | σ ( u个 2 对 , z（z） ) | .
如果我们将极限视为 对 → ∞ ，然后我们得到 | σ ( z（z） , u个 对 ) | → 0 也就是说， u个 对 → z（z） 什么时候 对 → ∞ .自 [ P（P） z（z） ] α 因此关闭， z（z） ∈ [ P（P） z（z） ] α . 用同样的方法，我们可以得到 z（z） ∈ [ 问 z（z） ] α . 因此，P（P）和问有一个共同的模糊不动点。 □
定理 2
让 ( S公司 , σ ) 是完全复值度量空间并且 P（P） : S公司 → L（左） ( S公司 ) 耦合 ϱ ∗ -glb属性保持的允许映射。如果P满足
ξ σ ( u个 , v（v） ) + ζ σ ( u个 , [ P（P） u个 ] α ) σ ( v（v） , [ P（P） v（v） ] α ) + η σ ( v（v） , [ P（P） u个 ] α ) σ ( u个 , [ P（P） v（v） ] α ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) + ρ σ ( u个 , [ P（P） u个 ] α ) σ ( u个 , [ P（P） v（v） ] α ) + δ σ ( v（v） , [ P（P） u个 ] α ) σ ( v（v） , [ P（P） v（v） ] α ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) ∈ ϱ ∗ [ P（P） u个 ] α , [ P（P） v（v） ] α 秒 [ P（P） u个 ] α , [ P（P） v（v） ] α
为所有人 v（v） , u个 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) ，其中 u个 0 ∈ S公司 和 0 ≺ t吨 ∈ C类 , 然后
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( u个 0 , [ P（P） u个 0 ] α ) ,
哪里 ζ , η 和ξ是非负实数，因此 Z轴 = ξ + ρ 1 − ζ − ρ < 1 . 假设 ϱ ( u个 0 , u个 1 ) ≥ 1 对一些人来说 u个 1 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 和，对于每个 v（v） , u个 ∈ S公司 与一些 α ∈ ( 0 , 1 ] , 存在 [ P（P） u个 ] α 这是一个非空的封闭有界子集 S公司 .如果 { u个 q个 } 是中的序列 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 具有 ϱ ( u个 q个 , u个 q个 + 1 ) ≥ 1 和 u个 q个 → z（z） 作为 q个 → + ∞ ，然后 ϱ ( u个 q个 , z（z） ) ≥ 1 对于所有q，存在一个点 u个 ∗ ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 这样的话 u个 ∗ ∈ [ P（P） u个 ∗ ] α ∩ [ 问 u个 ∗ ] α .
证明。 
通过出租 P（P） = 问 在定理1中，我们得到了上述推论。 □
例子 1
让 X（X） 1 = { 周 ∈ C类 : 我 米 ( 周 ) ≥ 0 一 n个 d日 R（右） e（电子） ( 周 ) = 0 } 和 X（X） 2 = { 周 ∈ C类 : R（右） e（电子） ( 周 ) ≥ 0 一 n个 d日 我 米 ( 周 ) = 0 } 然后让 X（X） = X（X） 1 ∪ X（X） 2 考虑一个指标 d日 : X（X） × X（X） → C类 如下：
d日 ( 周 1 , 周 2 ) = 1 4 | 年 1 − 年 2 | + ι ˙ 2 | 年 1 − 年 2 | 如果 周 1 , 周 2 ∈ X（X） 1 , 1 2 | x个 1 − x个 2 | + ι ˙ 三 | x个 1 − x个 2 | 如果 周 1 , 周 2 ∈ X（X） 2 , 2 9 | x个 2 + 年 1 | + ι ˙ 6 | x个 2 + 年 1 | 如果 周 1 ∈ X（X） 1 , 周 2 ∈ X（X） 2 , 1 三 | x个 1 + 年 2 | + 2 ι ˙ 9 | x个 1 + 年 2 | 如果 周 1 ∈ X（X） 2 , 周 2 ∈ X（X） 1 ,
哪里 周 1 = x个 1 + ι ˙ 年 1 , 周 1 = x个 2 + ι ˙ 年 2 ∈ X（X） 然后， ( X（X） , d日 ) 是一个复值度量空间。采取 周 0 = 0 + 1 2 ι ˙ 和 t吨 = 1 2 + 1 三 ι ˙ 然后，
B类 ( 周 0 , t吨 ) ¯ = { 周 ∈ X（X） 1 : 0 ≤ 我 米 ( 周 ) ≤ 1 } ∪ { 周 ∈ X（X） 2 : 0 ≤ R（右） e（电子） ( 周 ) ≤ 1 }
和
ϱ ( 周 1 , 周 2 ) = 1 , 如果 周 1 , 周 2 ∈ B类 ( 周 0 , t吨 ) ¯ , 4 三 , 否则 .
定义 P（P） , 问 : X（X） → L（左） ( X（X） ) 通过
P（P） ( z（z） ) ( 周 ) 0.5 如果 z（z） = 年 4 + 0 ι ˙ ∈ X（X） 1 具有 0 ≤ 我 米 ( 周 ) ≤ 1 , R（右） e（电子） ( 周 ) = 0 , 0.7 如果 z（z） = 0 + 7 年 8 ι ˙ ∈ X（X） 1 具有 我 米 ( 周 ) > 1 , R（右） e（电子） ( 周 ) = 0 , 0.4 如果 z（z） = 0 + x个 5 ι ˙ ∈ X（X） 2 具有 0 ≤ R（右） e（电子） ( 周 ) ≤ 1 , 我 米 ( 周 ) = 0 , 0.2 如果 z（z） = 6 x个 7 + 0 ι ˙ ∈ X（X） 2 具有 R（右） e（电子） ( 周 ) > 1 , 我 米 ( 周 ) = 0 ,
问 ( z（z） ) ( 周 ) 0.5 如果 z（z） = 年 6 + 0 ι ˙ ∈ X（X） 1 具有 0 ≤ 我 米 ( 周 ) ≤ 1 , R（右） e（电子） ( 周 ) = 0 , 0.7 如果 z（z） = 0 + 6 年 7 ι ˙ ∈ X（X） 1 具有 我 米 ( 周 ) > 1 , R（右） e（电子） ( 周 ) = 0 , 0.4 如果 z（z） = 0 + x个 7 ι ˙ ∈ X（X） 2 具有 0 ≤ R（右） e（电子） ( 周 ) ≤ 1 , 我 米 ( 周 ) = 0 , 0.2 如果 z（z） = 7 x个 8 + 0 ι ˙ ∈ X（X） 2 具有 R（右） e（电子） ( 周 ) > 1 , 我 米 ( 周 ) = 0 .
然后，
[ P（P） 周 ] 0.7 = { 0 + 7 年 8 ι ˙ } , [ P（P） 周 ] 0.5 = { 年 4 + 0 ι ˙ , 0 + 7 年 8 ι ˙ } ,
[ P（P） 周 ] 0.4 = { 年 4 + 0 ι ˙ , 0 + 7 年 8 ι ˙ , 0 + x个 5 ι ˙ } , [ P（P） 周 ] 0.2 = { 年 4 + 0 ι ˙ , 0 + 7 年 8 ι ˙ , 0 + x个 5 ι ˙ , 6 x个 7 + 0 ι ˙ } ,
和
[ 问 周 ] 0.7 = { 0 + 6 年 7 ι ˙ } , [ 问 周 ] 0.5 = { 年 6 + 0 ι ˙ , 0 + 6 年 7 ι ˙ } ,
[ 问 周 ] 0.4 = { x个 6 + 0 ι ˙ , 0 + 6 年 7 ι ˙ , 0 + 年 7 ι ˙ } , [ 问 周 ] 0.2 = { 年 6 + 0 ι ˙ , 7 x个 8 + 0 ι ˙ , 0 + x个 7 ι ˙ , 0 + 6 年 7 ι ˙ } ,
通过例行计算，可以验证映射P和Q是否满足条件(2)和(三)定理1的 ξ = 1 9 , ζ = 1 24 , η = 1 2 , ρ = 1 36 和 δ = 1 37 因此，P和Q是 B类 ( 周 0 , 第页 ) ¯ .
有趣的是，P和Q不是整个空间X的收缩 周 1 = 周 2 = 0 + 4 三 ι ˙ ∉ B类 ( 周 0 , 第页 ) 和用于 α = 0 . 7 ，作为
ϱ ∗ [ P（P） 周 1 ] α , [ 问 周 2 ] α σ ( [ P（P） 周 1 ] α , [ 问 周 2 ] α ) = 4 三 1 168 + 1 84 ι ˙ ≻ 7 , 235 1 , 342 , 656 + 5 , 788 1 , 342 , 656 ι ˙ = ξ σ ( 周 1 , 周 2 ) + ζ σ ( 周 1 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 2 , [ 问 周 2 ] α ) + η σ ( 周 2 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 1 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( 周 1 , 周 2 ) + ρ σ ( 周 1 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 1 , [ 问 周 2 ] α ) + δ σ ( 周 2 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 2 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( 周 1 , 周 2 ) .
因此，
ξ σ ( 周 1 , 周 2 ) + ζ σ ( 周 1 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 2 , [ 问 周 2 ] α ) + η σ ( 周 2 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 1 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( 周 1 , 周 2 ) + ρ σ ( 周 1 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 1 , [ 问 周 2 ] α ) + δ σ ( 周 2 , [ P（P） 周 1 ] α ) σ ( 周 2 , [ 问 u个 2 ] α ) 1 + σ ( 周 1 , 周 2 ) ∉ ϱ ∗ [ P（P） 周 1 ] α , [ 问 周 2 ] α 秒 [ P（P） 周 1 ] α , [ 问 周 2 ] α .
定理 三。
让 ( S公司 , σ ) 是完备复值度量空间 A类 1 , A类 2 : S公司 → C类 B类 ( S公司 ) 耦合 ϱ ∗ -glb属性保持的允许映射。如果 A类 1 和 A类 2 满足
ξ σ ( u个 , v（v） ) + ζ σ ( u个 , A类 1 u个 ) σ ( v（v） , A类 2 v（v） ) + η σ ( v（v） , A类 1 u个 ) σ ( u个 , A类 2 v（v） ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) + ρ σ ( u个 , A类 1 u个 ) σ ( u个 , A类 2 v（v） ) + δ σ ( v（v） , A类 1 u个 ) σ ( v（v） , A类 2 v（v） ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) ∈ ϱ ∗ A类 1 u个 , A类 2 v（v） 秒 A类 1 u个 , A类 2 v（v）
为所有人 v（v） , u个 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) ，其中 u个 0 ∈ S公司 和 0 ≺ t吨 ∈ C类 , 然后
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( u个 0 , A类 1 u个 0 ) ,
哪里 ζ , η 和ξ是非负实数，因此 Z轴 = ξ + ρ 1 − ζ − ρ < 1 . 假设 ϱ ( u个 0 , u个 1 ) ≥ 1 对一些人来说 u个 1 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) .如果 { u个 q个 } 是中的序列 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 具有 ϱ ( u个 q个 , u个 q个 + 1 ) ≥ 1 和 u个 q个 → z（z） 作为 q个 → + ∞ ，然后 ϱ ( u个 q个 , z（z） ) ≥ 1 对于所有q，存在一个点 u个 ∗ ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 这样的话 u个 ∗ ∈ A类 1 u个 ∗ ∩ A类 2 u个 ∗ .
证明。 
让 P（P） , 问 : S公司 → S公司 ( S公司 ) , 我 = 1 , 2 被模糊映射定义为
P（P） ( u个 ) = ∝ , 我 （f） u个 ∈ A类 1 u个 , 0 , 我 （f） u个 ∉ A类 1 u个 ,
问 ( u个 ) = ∝ , 我 （f） u个 ∈ A类 2 u个 , 0 , 我 （f） u个 ∉ A类 2 u个 .
那么，对于任何 α ∈ ( 0 , 1 ] , [ P（P） u个 ] α = A类 1 u个 和 [ P（P） u个 ] α = A类 2 u个 .
因为每个 u个 , v（v） ∈ S公司 , 秒 ( [ P（P） u个 ] α , [ 问 v（v） ] α ) = 秒 ( A类 1 u个 , A类 2 v（v） ) 因此，可以应用定理1来获得 u个 ∈ S公司 这样的话 u个 ∈ A类 1 ( u个 ) ∩ A类 2 ( u个 ) . □
推论 1
让 ( S公司 , σ ) 是完备复值度量空间 A类 : S公司 → C类 B类 ( S公司 ) 耦合 ϱ ∗ -glb属性保持的允许映射。如果A满足
ξ σ ( u个 , v（v） ) + ζ σ ( u个 , A类 u个 ) σ ( v（v） , A类 v（v） ) + η σ ( v（v） , A类 u个 ) σ ( u个 , A类 v（v） ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) + ρ σ ( u个 , A类 u个 ) σ ( u个 , A类 v（v） ) + δ σ ( v（v） , A类 u个 ) σ ( v（v） , A类 v（v） ) 1 + σ ( u个 , v（v） ) ∈ ϱ ∗ A类 u个 , A类 v（v） 秒 A类 u个 , A类 v（v）
为所有人 v（v） , u个 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) ，其中 u个 0 ∈ S公司 和 0 ≺ t吨 ∈ C类 , 然后
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( u个 0 , A类 u个 0 ) ,
哪里 ζ , η 和ξ是非负实数，因此 Z轴 = ξ + ρ 1 − ζ − ρ < 1 . 假设 ϱ ( u个 0 , u个 1 ) ≥ 1 对一些人来说 u个 1 ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) .如果 { u个 q个 } 是中的序列 B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 具有 ϱ ( u个 q个 , u个 q个 + 1 ) ≥ 1 和 u个 q个 → z（z） 作为 q个 → + ∞ ，然后 ϱ ( u个 q个 , z（z） ) ≥ 1 对于所有q，存在一个点 u个 ∗ ∈ B类 ¯ ( u个 0 , t吨 ) 这样的话 u个 ∗ ∈ A类 u个 ∗ ∩ A类 u个 ∗ .
证明。 
通过设置立即证明 A类 1 = A类 2 = A类 在推论3中。 □
备注 2
(1) 
在定理1中，如果条件(三)被替换为
( 1 − Z轴 ) t吨 ∈ 秒 ( u个 0 , 问 u个 0 ) ,
那么结果还是一样的。
(2) 
通过设置 ρ = δ = 0 在定理3中，我们得到了[34].
(3) 
通过设置 ρ = δ = 0 在推论1中，我们得到了[34].
(4) 
通过设置 η = ρ = δ = 0 在定理3中，我们得到了的推论2.11[34].
(5) 
通过设置 ζ = η = ρ = δ = 0 在定理3中，我们得到了的推论2.13[34].

3.应用

定理 4
让 ( S公司 , σ ) 是一个完备复值度量空间 单位 是的开放子集 S公司 .让 如果 : [ 0 , 1 ] × 单位 ¯ → C类 B类 ( S公司 ) 是具有glb属性的多值映射。假设存在 η o个 ∈ S公司 和 0 ≺ ϵ ∈ C类 这样的话
（a） 
η ∉ [ 如果 ( 第页 , η ) ] 为所有人 η ∈ ∂ 单位 和 第页 ∈ [ 0 , 1 ] ;
（b） 
如果 ( 第页 , . ) : 单位 ¯ → C类 B类 ( S公司 ) 多值映射是否满足
ξ σ ( η , η ′ ) + ζ σ ( η , 如果 ( 第页 , η ) ) σ ( η ′ , 如果 ( 第页 ′ , η ′ ) ) + ϱ σ ( η ′ , 如果 ( 第页 , η ) ) σ ( η , 如果 ( 第页 ′ , η ′ ) ) 1 + σ ( η , η ′ ) + ρ σ ( η , 如果 ( 第页 , η ) ) σ ( η , 如果 ( 第页 ′ , η ′ ) ) + δ σ ( η ′ , 如果 ( 第页 , η ) ) σ ( η ′ , 如果 ( 第页 ′ , η ′ ) ) 1 + σ ( η , η ′ ) ∈ 秒 如果 ( 第页 , η ) , 如果 ( 第页 ′ , η ′ ) ,
( 1 − Z轴 ) ϵ ∈ 秒 ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) ,
哪里 ζ , η 和ξ是非负实数，因此 Z轴 = ξ + ρ 1 − ζ − ρ < 1 .
（c） 
存在一个连续递增函数 Φ : ( 0 , 1 ] → K ∪ { 0 } 这样的话
Φ ( 秒 ) − Φ ( 第页 ) ∈ 秒 如果 ( 秒 , η ) , 如果 ( 第页 , η ′ ) , Φ ( 秒 ) ∈ Φ ( 第页 )
为所有人 秒 , 第页 ∈ [ 0 , 1 ] 和 η ∈ 单位 ¯ 哪里 K = { 周 ∈ C类 : 0 ≺ 周 } .
然后， 如果 ( 0 , . ) 有固定点当且仅当 如果 ( 1 , . ) 有一个固定点。
证明。 
让 如果 ( 0 , . ) 有一个固定点周，所以 周 ∈ 如果 ( 0 , 周 ) .
借助于假设 一 ) ，我们可以定义以下集合：
X（X） = { ( 第页 , η ) ∈ [ 0 , 1 ] × 单位 : η ∈ 如果 ( 第页 , η ) } .
显然， X（X） ≠ ϕ 可以如下定义部分排序⪯
( 第页 , η ) ⪯ ( 秒 , η ′ ) 若（iff） 第页 ≤ 秒 ,
σ ( η , η ′ ) ⪯ 2 1 − Z轴 Φ ( 秒 ) − Φ ( 第页 ) .
假设M（M）是的总计有序子集 X（X） 和 第页 o个 = 啜饮 { 第页 : ( 第页 , η ) ∈ M（M） } . 考虑{ ( 第页 k个 , η k个 ) k个 ≥ 0 } 成为一个序列M（M）这样的话 ( 第页 k个 , η k个 ) ⪯ ( 第页 k个 + 1 , η k个 + 1 ) 和 第页 k个 → 第页 o个 作为 k个 → ∞ . 那么，对于任何 k个 ≥ 1 具有 我 > k个 ，我们获得
σ ( η 我 , η k个 ) ⪯ 2 1 − Z轴 Φ ( 第页 我 ) − Φ ( 第页 k个 ) → 0
作为 k个 , 我 → ∞ , 这就产生了 { η k个 } 是一个柯西序列。自 ( S公司 , σ ) 是一个完备复值度量空间，存在 η o个 ∈ S公司 这样的话 η k个 → η o个 .来自 ( 一 ) , 让 k个 0 ∈ N个 这样，对所有人来说 k个 ≥ k个 0 ,
ξ σ ( η k个 , η o个 ) + ζ σ ( η k个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) + ϱ σ ( η o个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) + ρ σ ( η k个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) + δ σ ( η o个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) ∈ 秒 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) , ξ σ ( η k个 , η o个 ) + ζ σ ( η k个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) + ϱ σ ( η o个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) + ρ σ ( η k个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) + δ σ ( η o个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) ∈ 秒 η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) .
自 η k个 ∈ 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ，存在 η n个 ∈ 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) 这样的话
σ η k个 , η n个 ⪯ ξ σ ( η k个 , η o个 ) + ζ σ ( η k个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) + ϱ σ ( η o个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) + ρ σ ( η k个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η k个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) + δ σ ( η o个 , 如果 ( 第页 k个 , η k个 ) ) σ ( η o个 , 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) .
利用的glb属性如果，我们获得
σ η k个 , η n个 ⪯ ξ σ ( η k个 , η o个 ) + ϱ σ ( η o个 , η k个 ) σ ( η k个 , η n个 ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) + δ σ ( η o个 , η k个 ) σ ( η o个 , η n个 ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) ,
这意味着
| σ η k个 , η n个 | ≤ ξ | σ ( η k个 , η o个 ) | + ϱ | σ ( η o个 , η k个 ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) | σ ( η k个 , η n个 ) | + δ | σ ( η o个 , η k个 ) 1 + σ ( η k个 , η o个 ) | | σ ( η o个 , η n个 ) | ,
这就产生了
| σ η k个 , η n个 | ≤ ξ | σ ( η k个 , η o个 ) | + ρ | σ ( η k个 , η n个 ) | + δ | σ ( η o个 , η n个 ) | , ≤ ξ | σ ( η k个 , η o个 ) | + ρ | σ ( η k个 , η n个 ) | + δ | σ ( η o个 , η k个 ) | + | σ ( η k个 , η n个 ) | , ≤ ξ + δ 1 − ρ − δ | σ ( η o个 , η k个 ) | .
考虑
| σ ( η o个 , η n个 ) | ≤ | σ ( η o个 , η k个 ) | + | σ ( η k个 , η n个 ) | ≤ | σ ( η o个 , η k个 ) | + ξ + δ 1 − ρ − δ | σ ( η o个 , η k个 ) | → 0
为所有人 k个 > k个 0 因此， η n个 → η o个 ∈ 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) 因此 η o个 ∈ 单位 意味着 ( 第页 o个 , η o个 ) ∈ X（X） 因此， ( 第页 , η ) ⪯ ( 第页 o个 , η o个 ) 为所有人 ( 第页 , η ) ∈ M（M） ; 这表明 ( 第页 o个 , η o个 ) 是的上界M（M）因此，通过利用Zorn引理，我们得到 ( 第页 o个 , η o个 ) 是的最大元素 X（X） 现在，我们要展示一下 第页 o个 = 1 相反，假设 第页 o个 ≤ 1 , 让 0 ≺ ϵ ∈ C类 和 第页 o个 ≤ 第页 具有
B类 ¯ ( η o个 , ϵ ) ⊂ 单位 哪里 ϵ = 2 1 − Z轴 ( Φ ( 第页 ) − Φ ( 第页 o个 ) ) .
根据情况 c（c） ) ，我们得到
( Φ ( 第页 ) − Φ ( 第页 o个 ) ) ∈ 秒 如果 ( 第页 , η ) , 如果 ( 第页 o个 , η o个 )
( Φ ( 第页 ) − Φ ( 第页 o个 ) ) ∈ 秒 如果 ( 第页 , η ) , η o个 对于 全部的 η o个 ∈ 如果 ( 第页 o个 , η o个 ) .
因此，存在一些 η ∈ 如果 ( 第页 , η ) , 这样的话
( Φ ( 第页 ) − Φ ( 第页 o个 ) ) ∈ 秒 σ ( η , η o个 ) ,
这意味着
σ ( η , η o个 ) ⪯ ( Φ ( 第页 ) − Φ ( 第页 o个 ) ) ⪯ ( 1 − Z轴 ) ϵ 2 ≺ ( 1 − Z轴 ) ϵ ,
以便
| σ ( η , η o个 ) | ≤ ( 1 − Z轴 ) | ϵ | .
使用条件 b条 ) ，我们得到了映射 如果 ( 第页 , . ) : B类 ¯ ( η o个 , ϵ ) → C类 B类 ( S公司 ) 享受推论1的所有条件。因此，存在 η ∈ B类 ¯ ( η o个 , ϵ ) 这样的话 η ∈ 如果 ( 第页 , η ) ; 因此， ( η , 第页 ) ∈ X（X） . 作为
σ ( η , η o个 ) ≺ ϵ = 2 1 − Z轴 ( Φ ( 第页 ) − Φ ( 第页 o个 ) ) ,
这就产生了 ( 第页 o个 , η o个 ) ⪯ ( 第页 , η ) , 这是一个矛盾；因此， 第页 = 1 . 因此， 如果 ( . , 1 ) 有一个共同的不动点。相反，通过遵循相同的技术，我们可以证明，如果 如果 ( 1 , . ) 有一个固定点，那么 如果 ( 0 , . ) 有一个固定点。

4.结论

我们利用耦合的概念成功地导出了模糊映射的公共不动点结果 α ∗ -复值度量空间中的容许映射。通过将我们的主要结果应用于多值映射和同伦结果，我们推广了现有文献中的许多结果。

作者贡献

所有作者对这篇手稿的写作贡献均等。所有作者阅读并改进最终版本。

基金

本项目由KMUTT科学院计算与应用科学智能创新集群（CLASSIC）下的理论与计算科学（TaCS）中心提供支持。

鸣谢

作者感谢编辑和匿名审稿人的评论和建议，这有助于改进本文。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

胡迈拉、穆罕默德·萨瓦尔和普姆·库马姆。2019.“具有同伦结果的复值度量空间上模糊映射的公共不动点结果”对称11，编号1:61。https://doi.org/10.3390/sym11010061

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