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第条

关于插值Hardy-Rogers型收缩

通过
埃尔达尔卡拉普讷尔
1,2,*,
奥巴德·阿尔卡塔尼
三和
哈森·艾迪
4
1
土耳其安卡拉因塞克阿提林大学数学系，邮编：06830
2
台湾台中40402中国医科大学医院医学研究部
三
沙特阿拉伯利雅得沙特国王大学数学系11451
4
沙特阿拉伯朱拜勒工业大学伊玛目阿卜杜拉赫曼·本·费萨尔大学朱拜勒教育学院数学系，邮政编码：12020，邮编：31961
*
信件应寄给的作者。
对称 2019,11(1), 8;https://doi.org/10.3390/sym11010008
收到的提交文件：2018年10月23日/修订日期：2018年12月9日/接受日期：2018年12月18日/发布日期：2018年12月22日
（本文属于特刊不动点理论与分数微积分及其应用)
审查报告 版本注释

摘要

:
通过使用插值方法，我们认识了度量空间类中的Hardy-Rogers不动点定理。所得结果得到了一些实例的支持。根据我们的结果，我们还给出了部分度量的情况。
关键词：
度量空间;Hardy-Rogers型;固定点;插值;部分度量空间
MSC公司：
46T99；47H10；54H25个

1.简介和序言

巴拿赫对是两个巴拿赫空间A类和B类代数上和拓扑上嵌入在分离的拓扑线性空间中，表示为 ( A类 , B类 ) 巴纳赫空间电子据说是Banach对空间的中间 ( A类 , B类 ) 如果嵌入 A类 ∩ B类 ⊂ 电子 ⊂ A类 + B类 持有。
让 ( A类 , B类 ) 和 ( C , D类 ) 成为两对巴纳赫夫妇。线性映射T型从太空行动 A类 + B类 到 C + D类 称为 b条 o个 u个 n个 d日 e（电子） d日 o个 第页 e（电子） 第页 一 t吨 o个 第页 （f） 第页 o个 米 ( A类 , B类 ) 到 ( C , D类 ) 如果的限制T型到空间A类和B类是来自的有界运算符A类到C和B类到D类分别是。
我们用表示 L（左） ( A类 B类 , C D类 ) 从偶出发的所有有界算子的线性空间 ( A类 , B类 ) 给这对夫妇 ( C , D类 ) 这是一个正常的巴纳赫空间
∥ T型 ∥ L（左） ( A类 B类 , C D类 ) = 最大值 { ∥ T型 ∥ A类 → B类 , ∥ T型 ∥ C → D类 } .
定义 1
([1]). 让 ( A类 , B类 ) 和 ( C , D类 ) 是两个Banach对，E（分别为F）是Banach偶空间的中间值 ( A类 , B类 ) （分别 ( C , D类 ) ). 三人组 ( A类 , B类 , 电子 ) 称为插值三元组，相对于 ( C , D类 , F类 ) ，如果每个有界运算符来自 ( A类 , B类 ) 到 ( C , D类 ) 将E映射到F。
三人组 ( A类 , B类 , 电子 ) 称为α型插值三元组( 0 ≤ α ≤ 1 )相对于 ( C , D类 , F类 ) 如果它是插值三元组，且以下不等式成立：
∥ T型 ∥ 电子 → F类 ≤ c（c） ∥ T型 ∥ A类 → B类 α · ∥ T型 ∥ C → D类 1 − α ,
对于一些常数c。
受上述定义的启发，内插Kannan收缩被描述为[2]如下：给定一个度量空间 ( X , d日 ) ，映射 T型 : X → X 称为插值Kannan收缩映射，如果
d日 T型 θ , T型 ϑ ≤ λ d日 θ , T型 θ α · d日 ϑ , T型 ϑ 1 − α ,
为所有人 θ , ϑ ∈ X 具有 θ ≠ T型 θ ，其中 λ ∈ [ 0 , 1 ) 和 α ∈ ( 0 , 1 ) .主要结果[2]如下所示。
定理 1
([2]). 让 X , d日 是一个完备度量空间，T是一个内插Kannan型压缩。那么T在X中有一个唯一的不动点。
卡拉普纳尔、阿加瓦尔和艾迪[三]给出了定理1的反例，表明不动点可能不是唯一的。定理1的修正版本如下。
定理 2
([三]). 让 X , d日 是一个完整的度量空间。让 T型 : X → X 是一个给定的映射，以便
d日 T型 θ , T型 ϑ ≤ λ d日 θ , T型 θ α · d日 ϑ , T型 ϑ 1 − α ,
为所有人 θ , ϑ ∈ X ∖ F类 我 x个 ( T型 ) ，其中 F类 我 x个 ( T型 ) = { u个 ∈ X , T型 u个 = u个 } T在X中有一个不动点。
另一方面，巴拿赫收缩原理的推广之一[4]是哈迪·罗杰斯的功劳[5]。
定理 三。
让 X , d日 是一个完整的度量空间。让 T型 : X → X 是一个给定的映射，以便
d日 T型 θ , T型 ϑ ≤ α d日 ( θ , 年 ) + β d日 ( θ , T型 θ ) + γ d日 ( 年 , T型 ϑ ) + δ [ 1 2 ( d日 θ , T型 ϑ + d日 ϑ , T型 θ ) ] ,
为所有人 θ , ϑ ∈ X ，其中 α , β , γ , δ 是非负实数，这样 α + β + γ + δ < 1 T在X中有一个唯一的不动点。
本文引入了插值Hardy-Rogers型压缩的概念，并给出了一些例子来说明所得结果。我们还将所得结果推广到部分度量空间。

2.主要成果

本节首先介绍内插Hardy-Rogers型收缩.
定义 2
让 X , d日 是一个度量空间。我们说自映射 T型 : X → X 如果存在，则为内插Hardy-Rogers型收缩 λ ∈ [ 0 , 1 ) 和 α , β , γ ∈ ( 0 , 1 ) 具有 α + β + γ < 1 ，因此
d日 T型 θ , T型 ϑ ≤ λ d日 θ , 年 β · d日 θ , T型 θ α · d日 ϑ , T型 ϑ γ · 1 2 ( d日 θ , T型 ϑ + d日 ϑ , T型 θ ) 1 − α − β − γ
为所有人 θ , ϑ ∈ X ∖ F类 我 x个 ( T型 ) .
定理 4
让 X , d日 是一个完全度量空间，T是一个插值Hardy-Rogers型收缩。那么，T在X中有一个不动点。
证明。 
从开始 θ 0 ∈ X ，考虑 { θ n个 } ，给定为 θ n个 = T型 n个 ( θ 0 ) 对于每个正整数n个.如果存在 n个 0 这样的话 θ n个 0 = θ n个 0 + 1 ，那么 θ n个 0 是的固定点T型。证明已完成。所以，假设 θ n个 ≠ θ n个 + 1 为所有人 n个 ≥ 0 .通过替换这些值 θ = θ n个 和 ϑ = θ n个 − 1 在（2）中，我们发现
d日 θ n个 + 1 , θ n个 = d日 T型 θ n个 , T型 θ n个 − 1 ≤ λ d日 θ n个 , θ n个 − 1 β d日 θ n个 , T型 θ n个 α · d日 θ n个 − 1 , T型 θ n个 − 1 γ · 1 2 ( d日 θ n个 , θ n个 + d日 θ n个 − 1 , θ n个 + 1 ) 1 − α − β − γ ≤ λ d日 θ n个 , θ n个 − 1 β · d日 θ n个 , θ n个 + 1 α · d日 θ n个 − 1 , θ n个 γ · 1 2 ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 + d日 θ n个 , θ n个 + 1 ) 1 − α − β − γ .
假设 d日 θ n个 − 1 , θ n个 < d日 θ n个 , θ n个 + 1 对一些人来说 n个 ≥ 1 因此，
1 2 ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 + d日 θ n个 , θ n个 + 1 ) ≤ d日 θ n个 , θ n个 + 1 .
因此，不等式（13）得出
d日 θ n个 , θ n个 + 1 β + γ ≤ λ d日 θ n个 − 1 , θ n个 β + γ .
因此，我们得出结论 d日 θ n个 − 1 , θ n个 ≥ d日 θ n个 , θ n个 + 1 ，这是一个矛盾。因此，我们有 d日 θ n个 , θ n个 + 1 ≤ d日 θ n个 − 1 , θ n个 为所有人 n个 ≥ 1 因此， { d日 θ n个 − 1 , θ n个 } 是一个具有正项的非递增序列。设置 ℓ = : 极限 n个 → ∞ d日 θ n个 − 1 , θ n个 .我们有
1 2 ( d日 θ n个 − 1 , θ n个 + d日 θ n个 , θ n个 + 1 ) ≤ d日 θ n个 − 1 , θ n个 , 对于   全部的 n个 ≥ 1 .
通过简单的消除，不等式（13）意味着
d日 θ n个 , θ n个 + 1 1 − α ≤ λ d日 θ n个 − 1 , θ n个 1 − α , 对于   全部的 n个 ≥ 1 .
我们推断
d日 θ n个 , θ n个 + 1 ≤ λ d日 θ n个 − 1 , θ n个 ≤ λ n个 d日 θ 0 , θ 1 .
基于以下假设 λ < 1 ，通过采取 n个 → ∞ 在不等式（15）中，我们得到了 ℓ = 0 . 在下文中，我们将证明 { θ n个 } 是使用标准工具的Cauchy序列。更准确地说，从三角形不等式开始，我们将得到以下估计：
d日 θ n个 , θ n个 + 第页 ≤ d日 θ n个 , θ n个 + 1 + ⋯ + d日 θ n个 + 第页 − 1 , θ n个 + 第页 ≤ λ n个 d日 θ 0 , θ 1 + ⋯ + λ n个 + 第页 − 1 d日 θ 0 , θ 1 ≤ λ n个 1 − λ d日 θ 0 , θ 1 .
因此， { θ n个 } 是完全度量空间中的柯西序列 ( X , d日 ) ，所以存在 θ ∈ X 这样的话 极限 n个 → ∞ d日 θ n个 , θ = 0 . 假设 θ ≠ T型 θ 。自 θ n个 ≠ T型 θ n个 对于每个 n个 ≥ 0 ，通过出租 θ = θ n个 和 ϑ = θ 英寸(2)，我们有
d日 θ n个 + 1 , T型 θ = d日 T型 θ n个 , T型 θ ≤ λ d日 θ n个 , θ β · d日 θ n个 , T型 θ n个 α · d日 θ , T型 θ γ · 1 2 ( d日 θ n个 + 1 , T型 θ + d日 θ , T型 θ n个 + 1 ) 1 − α − β − γ .
出租 n个 → ∞ 在不等式（19）中，我们发现 d日 ( θ , T型 θ ) = 0 ，这是一个矛盾。因此， T型 θ = θ . □
在下文中，我们将考虑在部分度量空间中定理4的模拟。为此，我们回顾基本概念和基本观察结果。
定义 三
（请参见[6]). 设X是非空集。A函数 第页 : X × X → [ 0 , ∞ ) 如果满足以下条件，则称为部分度量 ξ , η , ζ ∈ X :
( P（P） 1 ) ξ = η ⇔ 第页 ( ξ , ξ ) = 第页 ( η , η ) = 第页 ( ξ , η ) ; ( P（P） 2 ) 第页 ( ξ , ξ ) ≤ 第页 ( ξ , η ) ; ( P（P） 三 ) 第页 ( ξ , η ) = 第页 ( η , ξ ) ; ( P（P） 4 ) 第页 ( ξ , η ) ≤ 第页 ( ξ , ζ ) + 第页 ( ζ , η ) − 第页 ( ζ , ζ ) .
在这种情况下， ( X , 第页 ) 称为部分度量空间。
功能 ρ 第页 : X × X → [ 0 , ∞ ) ，定义为
ρ 第页 ( ξ , η ) = 2 第页 ( ξ , η ) − 第页 ( ξ , ξ ) − 第页 ( η , η )
是上的标准度量X在部分度量空间的框架中，定义基本拓扑概念是很自然的，特别是序列的收敛性、基本（Cauchy）序列准则、映射的连续性和拓扑空间的完备性；例如，请参见[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]。
定义 4
在部分度量空间的框架中 X , 第页 ，我们这么说
（i） 
一个序列 { ξ n个 } 收敛达到极限ξ，如果 第页 ( ξ , ξ ) = 极限 n个 → ∞ 第页 ( ξ , ξ n个 ) ;
（ii） 
一个序列 { ξ n个 } 是基本的（或柯西）如果 极限 n个 , 米 → ∞ 第页 ( ξ n个 , ξ 米 ) 存在且有限；
（iii） 
部分度量空间 ( X , 第页 ) 是完成如果每个基本序列 { ξ n个 } 收敛到一点 ξ ∈ X 这样的话 第页 ( ξ , ξ ) = 极限 n个 , 米 → ∞ 第页 ( ξ n个 , ξ 米 ) ; 和
（iv） 
地图 F类 : X → X 是连续的在某一点上 ξ 0 ∈ X 如果，对于每个 ¦Β > 0 ，存在 δ > 0 这样的话 F类 ( B类 第页 ( ξ 0 , δ ) ) ⊆ B类 P（P） ( F类 ξ 0 , ¦Β ) .
在下面的内容中，我们将回顾以下易导出引理（参见[6]).
引理 1
设p是非空集X上的部分度量 ρ 第页 是同一集合X上对应的标准公制空间。
（a） 
A序列 { ξ n个 } 在部分度量的框架中是基本的 ( X , 第页 ) 当且仅当它是相应标准度量空间设置中的基本序列 ( X , ρ 第页 ) .
（b） 
部分度量空间 ( X , 第页 ) 是完整的当且仅当相应的标准度量空间 ( X , ρ 第页 ) 已完成。此外，
极限 n个 → ∞ ρ 第页 ( ξ , ξ n个 ) = 0 ⇔ 第页 ( ξ , ξ ) = 极限 n个 → ∞ 第页 ( ξ , ξ n个 ) = 极限 n个 , 米 → ∞ 第页 ( ξ n个 , ξ 米 ) .
（c） 
如果 ξ n个 → ζ 作为 n个 → ∞ 在部分度量空间中 ( X , 第页 ) 具有 第页 ( ζ , ζ ) = 0 ，那么我们有
极限 n个 → ∞ 第页 ( ξ n个 , η ) = 第页 ( ζ , η ) （f） o个 第页   e（电子） v（v） e（电子） 第页 年   η ∈ X .
以下定理类似于定理4，在部分度量空间中。
定理 5
让 X , 第页 是一个完备的部分度量空间。让 T型 : X → X 是一个给定的映射。假设存在 λ ∈ [ 0 , 1 ) 和 α , β , γ ∈ ( 0 , 1 ) 具有 α + β + γ < 1 ，因此
第页 T型 ξ , T型 η ≤ λ 第页 ξ , η β · 第页 ξ , T型 ξ α · 第页 η , T型 η γ · 1 2 ( 第页 ξ , T型 η + 第页 η , T型 ξ ) 1 − α − β − γ ,
为所有人 ξ , η ∈ X ∖ F类 我 x个 ( T型 ) 然后，T在X中有一个不动点。
证明。 
对于任何 ξ 0 ∈ ( X , 第页 ) ，我们构造一个序列 { ξ n个 } 通过 ξ n个 = T型 n个 ( ξ 0 ) 对于每个 n个 ∈ N个 .如果存在 n个 0 这样的话 ξ n个 0 = ξ n个 0 + 1 ，那么 ξ n个 0 是的固定点T型。证明已完成。所以，假设 ξ n个 ≠ ξ n个 + 1 对于每个 n个 ≥ 0 .通过替换这些值 ξ = ξ n个 和 η = ξ n个 − 1 英寸(12)，我们发现
第页 ξ n个 + 1 , ξ n个 = 第页 T型 ξ n个 , T型 ξ n个 − 1 ≤ λ 第页 ξ n个 , ξ n个 − 1 β · 第页 ξ n个 , T型 ξ n个 α · 第页 ξ n个 − 1 , T型 ξ n个 − 1 γ · 1 2 ( 第页 ξ n个 , T型 ξ n个 − 1 + 第页 ξ n个 − 1 , T型 ξ n个 ) 1 − α − β − γ = λ 第页 ξ n个 , ξ n个 − 1 β · 第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 α · 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 γ · 1 2 ( 第页 ξ n个 , ξ n个 − 1 + 第页 ξ n个 + 1 , ξ n个 ) 1 − α − β − γ .
现在，如果我们假设 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 ≤ 第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 ，则不等式（13）得出 第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 ≤ λ 第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 矛盾（因为 λ < 1 ). 因此，我们得出结论 第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 ≤ 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 也就是说， { 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 } 是一个非递增序列。因此，通过不等式（13），我们得到
第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 1 − α ≤ λ 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α
因此，存在一个非负常数ℓ这样的话 极限 n个 → ∞ 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 = ℓ . 请注意 ℓ ≥ 0 . 注意（14）产生了
第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 ≤ λ α 第页 ξ n个 − 1 , ξ n个 ≤ λ n个 α 第页 ξ 0 , ξ 1 .
自 λ , α < 1 我们有 λ ˜ : = λ α < 1 因此，通过出租 n个 → ∞ 在（15）中，我们得到了 ℓ = 0 .
我们将使用部分度量的修正三角不等式来证明 { ξ n个 } 是一个基本（柯西）序列：
第页 ξ n个 , ξ n个 + 第页 ≤ 第页 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) + ⋯ + 第页 ( ξ n个 + 第页 − 1 , ξ n个 + 第页 ) ≤ λ ˜ n个 第页 ξ 0 , ξ 1 + ⋯ + λ ˜ n个 + 第页 − 1 第页 ξ 0 , ξ 1 ≤ λ ˜ n个 1 − λ ˜ 第页 ξ 0 , ξ 1 .
我们的结论是 { ξ n个 } 是中的基本序列 ( X , 第页 ) ，通过采取 n个 → ∞ .根据引理1， { ξ n个 } 是相应标准度量中的基本序列 ( X , ρ 第页 ) 更具体地说，因为 ( X , 第页 ) 已完成， ( X , ρ 第页 ) 也是完整的。因此，存在 ξ ∈ X 这样的话
第页 ( ξ , ξ ) = 极限 n个 → ∞ 第页 ( ξ , ξ n个 ) = 极限 n个 , 米 → ∞ 第页 ( ξ n个 , ξ 米 ) = 0 ,
这意味着
极限 n个 → ∞ ρ 第页 ( ξ , ξ n个 ) = 0 .
作为下一步，我们要明确限制 ξ 迭代序列的 { ξ n个 } 是给定映射的不动点T型.假设 ξ ≠ T型 ξ ，所以 第页 ( ξ , T型 ξ ) > 0 回忆一下 ξ n个 ≠ T型 ξ n个 对于每个 n个 ≥ 0 。通过让 ξ = ξ n个 和 η = ξ 英寸(12)，我们确定
第页 ξ n个 + 1 , T型 ξ = 第页 T型 ξ n个 , T型 ξ ≤ λ 第页 ξ n个 , ξ β · 第页 ξ n个 , T型 ξ n个 α · 第页 ξ , T型 ξ γ   · 1 2 ( 第页 ξ n个 , T型 ξ + 第页 ξ , T型 ξ n个 ) 1 − α − β − γ = λ 第页 ξ n个 , ξ β · 第页 ξ n个 , ξ n个 + 1 α · 第页 ξ , T型 ξ γ   · 1 2 ( 第页 ξ n个 , T型 ξ + 第页 ξ , ξ n个 + 1 ) 1 − α − β − γ .
出租 n个 → ∞ 在不等式（19）中，我们发现 第页 ( ξ , T型 ξ ) = 0 等等 ξ = T型 ξ ，这是一个矛盾。因此， T型 ξ = ξ . □
在以下示例中，不动点存在，但不是唯一的。
例子 1
考虑 X = { 0 , 1 , 2 , 三 , 5 } 被赋予 d日 ( θ , ϑ ) = | θ − ϑ | 。选择 λ = 2 2 , α = 1 三 , β = 1 2 和 γ = 1 7 很明显
d日 T型 θ , T型 ϑ ≤ λ d日 θ , 年 β · d日 θ , T型 θ α · d日 ϑ , T型 ϑ γ · 1 2 ( d日 θ , T型 ϑ + d日 ϑ , T型 θ ) 1 − α − β − γ ,
为所有人 θ , ϑ ∈ X ∖ F类 我 x个 ( T型 ) ; 也就是说(2)持有。定理4的所有假设都满足，因此T有一个不动点。这里，我们有两个固定点，它们是0和1.
另一方面，对于 θ = 0 和 ϑ = 1 ，我们有
d日 T型 θ , T型 ϑ > λ d日 θ , ϑ + d日 θ , T型 θ + d日 ϑ , T型 ϑ + 1 2 ( d日 θ , T型 ϑ + d日 ϑ , T型 θ ) ,
对于任何 λ ∈ [ 0 , 1 4 ) ，所以定理3（对于 λ = α = β = γ = δ )不适用。
例子 2
让 X = [ 0 , ∞ ) 被赋予度量标准
d日 θ , 年 = 0 我 （f） θ = ϑ 1 我 （f） θ ≠ ϑ .
将X上的自映射定义为
T型 θ = 0 我 （f） θ ∈ [ 0 , 1 ) θ 我 （f） θ ≥ 1 .
让 θ , ϑ ∈ X ∖ F类 我 x个 ( T型 ) .然后 θ , ϑ ∉ ( 0 , 1 ) 等等 d日 ( T型 θ , T型 ϑ ) = 0 ; 也就是说(2)持有。因此，定理4的所有假设都成立，因此T有一个不动点。这里，我们有无穷多个不动点。
另一方面，定理3不适用（ θ = 0 和 ϑ = 1 ).
备注 1
众所周知，定理3是Banach、Kannan和Reich不动点结果的推广。注意，在我们通过插值的新方法中，使用插值方法的所有上述结果之间没有关系。也就是说，定理4完全独立于[三]和定理2。

3.结论

我们旨在通过引入插值方法来丰富不动点理论。

作者贡献

所有作者在写这篇文章时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者感谢匿名审稿人的出色评论、建议和想法，这有助于改进本文。作者对沙特国王大学科学研究院长通过编号为RG-1440-025的研究小组资助这项工作表示感谢。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

MDPI和ACS样式

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芝加哥/图拉宾风格

卡拉普纳尔、埃尔达尔、奥贝德·阿尔卡塔尼和哈森·阿伊迪。2019.“关于插值Hardy-Rogers型收缩”对称11，编号1:8。https://doi.org/10.3390/sym11010008

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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