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对称
第10卷
第12版
10.3390/sym10120727
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第条

旋转对称凸多面体中的二元定位支配集

通过
哈桑·拉扎
1,
萨坎德·哈亚特
2,*和
香凤盘
1
1
安徽大学数学科学学院，合肥230601
2
巴基斯坦斯瓦比23460托皮GIK工程科学与技术研究所工程科学学院
*
信件应寄给的作者。
对称 2018,10(12), 727;https://doi.org/10.3390/sym10120727
收到的提交文件：2018年11月16日/修订日期：2018年12月3日/接受日期：2018年12月4日/发布日期：2018年12月6日
（本文属于特刊图论中的对称性)
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版本注释

摘要

:
凸多面体或简单多面体是欧氏空间中有限点集的凸壳 R（右） d日 凸多面体的图是通过保持顶点之间的邻接-重合关系而从凸多面体的几何结构中产生的。本文研究了旋转对称凸多面体图的二元定位支配数问题。我们为图的二进制定位支配问题提供了一个整数线性规划（ILP）公式。我们确定了两个无限族凸多面体的二进制定位支配数的精确值。对于两个旋转对称凸多面体族，得到了二进制定位支配数的精确值。此外，还确定了其他三个无限族凸多面体的某些上界。通过使用ILP公式，我们在获得的上界中显示了紧密性。
关键词：
支配集;二进制定位支配数;旋转对称凸多面体;ILP模型
MSC公司：
05C69；05C90年

1.简介

本文所考虑的图都是简单的、有限的和无向的。
我们考虑一个图 G公司 = ( 五 , E类 ) 没有孤立的顶点。对于任何顶点 x个 ∈ 五 ，集合 N个 G公司 ( x个 ) = { 年 ∈ 五 | ( x个 , 年 ) ∈ E类 } 被称为开放式社区属于x个此外， N个 G公司 [ x个 ] = N个 G公司 ( x个 ) ∪ { x个 } 被称为封闭邻里属于x个.顶点的开邻域的基数称为度/价。无论何时从上下文中清除它，我们都会省略G公司从符号中 五 ( G公司 ) , E类 ( G公司 ) , N个 G公司 ( v（v） ) , N个 G公司 [ v（v） ] 和 d日 G公司 ( v（v） ) .一个子集 D类 ⊆ 五 据说是一个支配集属于G公司，如果有 x个 ∈ 五 \ D类 ，我们有 N个 [ x个 ] ∩ S公司 ≠ Ø 中支配集的最小基数G公司被称为its控制数表示为 γ ( G公司 ) 海恩斯等人的书[1]涵盖了1980年以前关于图的支配相关参数的所有文献。
研究支配集的另一种方法是，如果顶点属于（代表不属于），则将1（代表0）二元赋值给顶点D类。在这个术语中，D类如果任意顶点的闭合邻域的权重之和G公司至少是一个。换句话说，任何顶点 x个 ∈ 五 满足 | D类 ∩ N个 [ x个 ] | ≥ 1 .对于支配集S公司，如果另外每对不同的顶点 x个 , 年 ∈ 五 \ S公司 满足 N个 ( x个 ) ∩ S公司 ≠ N个 ( 年 ) ∩ S公司 ，然后S公司称为二进制定位支配集。以类似的方式，二进制位置集的最小基数称为二进制定位支配数属于G公司通常用表示 γ 我 − d日 ( G公司 ) 值得注意的是，文献中的定位支配数的概念与二进制定位支配数类似。相对于其他类型的支配，定位支配相关参数的研究相对较多。
Haynes等人[2]研究了树的控制数和总控制数的定位问题。Charon等人[三]研究了第页-定位主导和第页-识别循环和链条的代码。此外，他们还表征了这些参数的极值。有关本研究的更多详细信息，请读者参阅[4,5]. Seo等人研究了树中容错定位支配集和开放邻域定位支配集的概念[6,7]和Salter[8]. 有关定位支配集和相关参数的更多信息，我们建议读者[5,9,10,11].
注意，二进制定位支配和识别代码问题的计算复杂性是NP-hard-see，例如[12,13]. 对于正整数k个和图表G公司，Charon等人[12]显示了查找第页-定位控制代码和第页-标识码为NP-完整，其中第页是一个正整数。我们向感兴趣的读者推荐[14]由Lobstein编写，其中提供了关于识别码和二进制定位支配集的全面参考列表。
Slater的以下结果[11]给出了正则图的二进制定位支配数的一个紧下界。
定理 1
[11]设G是n个顶点上的k-正则图。然后，
γ 我 − d日 ( G公司 ) ≥ 2 n个 k个 + 三 .
凸多面体的图是由具有相同关联关系的顶点和边构成的。凸多面体图最初是由巴卡在年考虑的[15,16]. 他研究了这些几何上重要的图的优美和反优美标记问题。Imran等人[17,18,19]研究了不同凸多面体无穷族的最小度量维问题。Malik等人[20]还计算了两个无限族凸多面体的度量维数。Kratica等人[21]考虑了一些凸多面体族的极小二重解集和强度量维数问题。Samlan等人[22]考虑了两个无限凸多面体族的局部度量、容错度量和强度量维三个优化问题。Simić等人[23]研究了一些凸多面体的二进制定位支配数问题。下一节中提出的ILP模型基本上由Simić等人给出[23]. 在化学中具有潜在应用的其他图形理论参数在[24,25,26,27].

2.整数线性规划模型

在本节中，我们提出了最小二进制位置控制问题的整数线性规划（ILP）模型。该模型将用于显示在下一节中研究的不同图族的上界紧密性。
Bange等人[28]提供了最小识别码问题的ILP公式。对于标识集S公司，决策变量 v（v） 我 定义为：
v（v） 我 = 1 , 我 ∈ S公司 ; 0 , 我 ∉ S公司 .
然后，Bange等人提出了ILP公式[28]对于最小识别码问题如下：
最小值 ∑ 我 ∈ 五 v（v） 我 ,
受以下约束
∑ j个 ∈ N个 [ 我 ] v（v） 我 ≥ 1 , 我 ∈ 五 ,
∑ j个 ∈ N个 [ 我 ] ∇ N个 [ k个 ] v（v） 我 ≥ 1 , 我 , k个 ∈ 五 , 我 ≠ k个 ,
v（v） 我 ∈ { 0 , 1 } , 我 ∈ 五 .
在上述公式中，目标函数确保了识别码集的最小基数(1). 支配集S公司由约束定义(2)，约束（3）表示识别特征，而约束（4）提供决策变量的二进制性质 v（v） 我 .
接下来，我们修改了二进制控制问题的这个公式。我们通过将约束（3）更改为以下约束来实现此目标：
v（v） 我 + v（v） k个 + ∑ j个 ∈ N个 [ 我 ] ∇ N个 [ k个 ] v（v） 我 ≥ 1 , 我 , k个 ∈ 五 , 我 ≠ k个 .
注意约束（3）和(5)顶点时相同我和k个不相邻，例如。， N个 [ 我 ] ∇ N个 [ k个 ] = { 我 , j个 } ∪ N个 ( 我 ) ∇ N个 ( k个 ) 。我们只能看到约束（3）和(5)，何时我和k个相邻，即。， 我 ∈ N个 ( k个 ) 然后，通过约束(5)，至少一个顶点我,k个或者一些 j个 ∈ N个 ( 我 ) ∇ N个 ( k个 ) 必须在中S公司.何时我和k个那就不是邻居了 N个 [ 我 ] ∇ N个 [ k个 ] = { 我 , j个 } ∪ N个 ( 我 ) ∇ N个 ( k个 ) ，所以约束（3）和(5)都是平等的。
Sweigart等人[29]表明，对于任意两个顶点u个和v（v）如果 d日 ( u个 , v（v） ) ≥ 三 ，然后两者u个和v（v）没有共同的邻居。这意味着我们不需要检查集合 N个 ( u个 ) ∩ S公司 ≠ N个 ( v（v） ) ∩ S公司 对于等价性，因为它允许我们减少定位需求生成的约束的数量。因此，这对大型图形的计算非常重要。通过采用这种思想，我们改进了约束条件(5)如下：
v（v） 我 + v（v） k个 + ∑ j个 ∈ N个 ( 我 ) ∇ N个 ( k个 ) v（v） 我 ≥ 1 , 我 , k个 ∈ 五 , 我 ≠ k个 , d日 ( 我 , k个 ) ≤ 2 .
注意，通过使用包含较少约束的建议公式，我们可以为小尺寸问题找到精确的最优值。此外，为了获得大尺寸的次优解，ILP公式可以通过有效的元启发式方法进行优化（例如，参见[30]).

3.精确值

在这一节中，我们找到了两个无限族凸多面体的二进制定位支配数的精确值。

3.1. 凸多面体图 H（H） n个

3.1.1、。施工

1999年，巴卡[31]研究了由表示的凸多面体族的标记问题 B类 n个 ( n个 ≥ 三 ).图1描述凸多面体的图形 B类 n个 伊姆兰和西迪基[32]研究了 B类 n个 通过将其推广到两个参数凸多面体族，表示为 问 n个 米 ，请参阅[32],图1。请注意 B类 n个 是的特例 问 n个 米 具有 米 = 2 .
对于给定的平面图G公司，的对偶G公司记为 d日 u个 ( G公司 ) 通过在每个G公司如果它们对应的面共享一条边，则将它们中的任意两个连接起来。Miller等人[33]考虑了另一种变化 B类 n个 通过定义其双重性。他们用 R（右） n个 .图2显示了的图形 R（右） n个 .
请注意 R（右） n个 也可以通过在图中的两个五边形层之间添加一层六边形来获得 D类 n个 .的图表 D类 n个 可以在中查看图3Miller等人[33]研究了顶点幻觉总标号 R（右） n个 Imran等人[34]研究了族的最小度量维数问题 R（右） n个 .
在本文中，我们提出了两个进一步的变体 D类 n个 并研究了它们的二进制定位支配数。与Miller等人[33]，我们在下六边形层和外五边形层之间额外添加了一层六边形。我们用 H（H） n个 .图4描述凸多面体的图形 H（H） n个 。权重分配给中的顶点图4有助于追踪这类凸多面体中的二进制定位支配集。
凸多面体图 H（H） n个 包括 2 n个 五边形面， 2 n个 六角形面和一对n个-直角面。
数学上，凸多面体的图形 H（H） n个 由顶点集组成
五 ( H（H） n个 ) = { 秒 j个 , t吨 j个 , u个 j个 , v（v） j个 , w个 j个 , x个 j个 , 年 j个 , z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 }
和边缘集
E类 ( H（H） n个 ) = { 秒 j个 秒 j个 + 1 , 秒 j个 t吨 j个 , t吨 j个 u个 j个 , u个 j个 t吨 j个 + 1 , u个 j个 v（v） j个 , v（v） j个 w个 j个 , v（v） j个 w个 j个 + 1 , w个 j个 x个 j个 , x个 j个 年 j个 , x个 j个 + 1 年 j个 , 年 j个 z j个 , z j个 z j个 + 1 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } .
注意，下标中的算术是模运算n个.
接下来，我们验证凸多面体的顶点和边集 H（H） n个 。为了做到这一点，我们修复了 n个 = 6 并绘制图表 H（H） 6 .根据表达式(7)和(8)，我们获得以下顶点和边集 H（H） 6 :
五 ( H（H） 6 ) = { 秒 0 , … , 秒 5 , t吨 0 , … , t吨 5 , u个 0 , … , u个 5 , v（v） 0 , … , v（v） 5 , w个 0 , … , w个 5 , x个 0 , … , x个 5 , 年 0 , … , 年 5 , z 0 , … , z 5 } ,
E类 ( H（H） 6 ) = { 秒 0 秒 1 , 秒 1 秒 2 , 秒 2 秒 三 , 秒 三 秒 4 , 秒 4 秒 5 , 秒 5 秒 0 , 秒 0 t吨 0 , 秒 1 t吨 1 , 秒 2 t吨 2 , 秒 三 t吨 三 , 秒 4 t吨 4 , 秒 5 t吨 5 , t吨 0 u个 0 , t吨 1 u个 1 , t吨 2 u个 2 , t吨 三 u个 三 , t吨 4 u个 4 , t吨 5 u个 5 , u个 0 t吨 1 , u个 1 t吨 2 , u个 2 t吨 三 , u个 三 t吨 4 , u个 4 t吨 5 , u个 5 t吨 0 , u个 0 v（v） 0 , u个 1 v（v） 1 , u个 2 v（v） 2 , u个 三 v（v） 三 , u个 4 v（v） 4 , u个 5 v（v） 5 , v（v） 0 w个 0 , v（v） 1 w个 1 , v（v） 2 w个 2 , v（v） 三 w个 三 , v（v） 4 w个 4 , v（v） 5 w个 5 , v（v） 0 w个 1 , v（v） 1 w个 2 , v（v） 2 w个 三 , v（v） 三 w个 4 , v（v） 4 w个 5 , v（v） 5 w个 0 , w个 0 x个 0 , w个 1 x个 1 , w个 2 x个 2 , w个 三 x个 三 , w个 4 x个 4 , w个 5 x个 5 , x个 0 年 0 , x个 1 年 1 , x个 2 年 2 , x个 三 年 三 , x个 4 年 4 , x个 5 年 5 , 年 0 x个 1 , 年 1 x个 2 , 年 2 x个 三 , 年 三 x个 4 , 年 4 x个 5 , 年 5 x个 0 , 年 0 z 0 , 年 1 z 1 , 年 2 z 2 , 年 三 z 三 , 年 4 z 4 , 年 5 z 5 , z 0 z 1 , z 1 z 2 , z 2 z 三 , z 三 z 4 , z 4 z 5 , z 5 z 0 } .
利用这些顶点集和边集，我们构造了凸多面体的图 H（H） 6 .图5显示了的图形 H（H） 6 。这将验证方程式中显示的顶点和边集(7)和(8).
对于这个新提出的凸多面体族，存在以下问题。
问题 1
设G是凸多面体族 H（H） n个 ，其中 n个 ≥ 三 是一个整数。然后，
(1) 
研究G的顶点面魔法、边面魔法、顶点面反魔法、边面的反魔法和顶点/边总标记。参见参考文献[15,16,31,33]用于其他凸多面体族的类似研究。
(2) 
研究G的最小度量维问题[17,18,19,32,34]对于其他正则和非正则凸多面体族。
(3) 
研究G的容错可解性。Raza等人对其他类型的凸多面体进行了类似的研究[35]和Salman等人[22].

3.1.2. 凸多面体的旋转对称性

本文所研究的凸多面体具有两种旋转对称性：一种是几何对称性，另一种是结构对称性。所谓几何对称，是指基本几何凸多面体所具有的对称性。通过结构对称性，我们指的是底层凸多面体的图的对称性。我们详细讨论了这两种对称性。
埃里克森和金[36]研究了某些凸多面体的各种几何性质。他的研究视角之一是某些类凸多面体所具有的不同对称性。特别是，他们得出了以下结果：
定理 2
对于任何整数正整数n，都有一个相邻的n个同余凸3-多面体族，每个多面体都具有一个双边对称平面，一条线为180 ° 旋转对称和中心对称点。
让 H（H） n个 表示无穷点集{ 小时 n个 ( t吨 ) ∣ t吨 ∈ Z } 旋转对称性基于以下事实：a 180 ° 围绕旋转年-轴地图 小时 n个 ( t吨 ) 到 小时 n个 ( − t吨 ) 从而保留了点集 H（H） n个 这意味着下面多面体的Voronoi区域围绕年-轴。埃里克森和金[36]利用凸多面体的对称群来证明定理2。在这种情况下，本文中考虑的凸多面体的基本几何形状具有Erickson和Kim研究的旋转对称性[36].
现在，我们讨论了本文所考虑的凸多面体图所具有的结构对称性。通过结构-方向旋转对称，我们的意思是凸多面体的一个固定单元可以沿着一个圆旋转，通过遵循结构相似性来获得凸多面体的完整图。让我们固定一个凸多面体 H（H） n个 在下一小节中进行了研究。在图6，凸多面体图的单位 H（H） n个 显示了。通过沿带中心的虚线圆旋转该装置O（运行），我们可以得到整个图 H（H） n个 。带有粗体边缘的部分表示该凸多面体的单位，该单位沿虚线圆旋转。通过沿有中心的虚线圆旋转一圈单元（粗体部分），即可获得完整的图形O（运行）.
请注意，这种图形-理论结构相似性在后续小节中考虑的所有凸多面体族中都很常见。

3.1.3. 二进制定位控制数 H（H） n个

在这个子部分中，我们给出了凸多面体族的主要结果 H（H） n个 我们找到了这类凸多面体的二进制定位支配数的精确值。
以下定理给出了二进制定位支配数的精确值 H（H） n个 .
定理 三。
二进制定位支配数 H（H） n个 由以下表达式给出：
γ 我 − d日 ( H（H） n个 ) = 8 n个 三 .
证明。 
请注意 H（H） n个 是上的3次正则图族 8 n个 顶点。根据定理1，我们发现了以下二进制定位支配数的下界 H（H） n个 :
γ 我 − d日 ( H（H） n个 ) ≥ 2 ( 8 n个 ) 6 = 8 n个 三 .
让S公司是顶点集的子集 H（H） n个 ，因此
S公司 = { 秒 三 j个 + 1 , t吨 三 j个 , u个 三 j个 + 1 , v（v） 三 j个 + 2 , w个 三 j个 + 1 , x个 三 j个 + 2 , 年 三 j个 , z 三 j个 + 2 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 三 米 ; { 秒 三 j个 + 2 , t吨 三 j个 , u个 三 j个 + 1 , v（v） 三 j个 , w个 三 j个 + 2 , x个 三 j个 + 1 , 年 三 j个 + 2 , z 三 j个 } ⋃ { t吨 三 米 , v（v） 三 米 , 年 三 米 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 三 米 + 1 ; { 秒 三 j个 , t吨 三 j个 + 1 , u个 三 j个 + 2 , v（v） 三 j个 , w个 三 j个 + 2 , x个 三 j个 + 1 , 年 三 j个 + 2 , z 三 j个 + 1 } ⋃ { 秒 三 米 , t吨 三 米 + 1 , v（v） 三 米 , w个 三 米 + 1 , 年 三 米 + 1 , z 三 米 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 三 米 + 2 .
接下来，我们展示一下S公司是的二进制定位支配集 H（H） n个 为了证明这一点，我们需要讨论以下三种可能的情况：
案例1：
什么时候？ n个 = 三 米 .
为了显示S公司要成为二元定位支配集，我们需要证明 五 \ S公司 非空且不重复。表1显示了这些街区及其十字路口。虽然某些交叉口的一些公式可能有些相似，但它们是不同的。
案例2：
什么时候？ n个 = 三 米 + 1 .
与前面的情况一样 五 \ S公司 非空且不同，如所示表1.
案例3：
什么时候？ n个 = 三 米 + 2 .
与前两个案例类似，表1显示了中所有顶点的邻域 五 \ S公司 非空且不重复。
很容易看出 | S公司 | = 8 n个 三 。这表明
γ 我 − d日 ( H（H） n个 ) ≤ 8 n个 三 .
通过组合不等式(9)和(10)，我们得到了结果。□

3.2. 凸多面体图 H（H） n个 ′

3.2.1. 施工

遵循与 H（H） n个 ，我们定义了凸多面体的另一种变体 R（右） n个 和 D类 n个 。我们在外部五边形层和下一个六边形层之间添加了一层六边形 H（H） n个 换句话说， H（H） n个 ′ 可以通过在 R（右） n个 在外五边形和内六边形层以及四个六边形图层之间 D类 n个 在两个五边形层之间。
凸多面体图 H（H） n个 包括 2 n个 五边形面， 4 n个 六角形面和一对n个-直角面。图7显示了这类凸多面体的图形。数学上，它有顶点集
五 ( H（H） n个 ′ ) = { o（o） j个 , 第页 j个 , q个 j个 , 第页 j个 , 秒 j个 , t吨 j个 , u个 j个 , v（v） j个 , w个 j个 , x个 j个 , 年 j个 , z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } ,
和边缘集
E类 ( H（H） n个 ′ ) = { o（o） j个 o（o） j个 + 1 , o（o） j个 第页 j个 , q个 j个 第页 j个 , q个 j个 第页 j个 + 1 , q个 j个 第页 j个 , 第页 j个 秒 j个 , 第页 j个 秒 j个 + 1 , 秒 j个 t吨 j个 , t吨 j个 u个 j个 , t吨 j个 + 1 u个 j个 , u个 j个 v（v） j个 , v（v） j个 w个 j个 , v（v） j个 w个 j个 + 1 , w个 j个 x个 j个 , x个 j个 年 j个 , x个 j个 + 1 年 j个 , 年 j个 z j个 , z j个 z j个 + 1 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } .
注意，下标中的算术是模运算n个.
接下来，我们验证了凸多面体图的顶点和边基数 H（H） n个 ′ 。我们通过将值固定为 n个 = 6 ，我们构造了 H（H） 6 ′ 来自(11)和(12). 我们获得以下顶点和边集基数 H（H） 6 ′ :
五 ( H（H） 6 ′ ) = { o（o） 0 , … , o（o） 5 第页 0 , … , 第页 5 q个 0 , … , q个 5 第页 0 , … , 第页 5 秒 0 , … , 秒 5 , t吨 0 , … , t吨 5 , u个 0 , … , u个 5 , v（v） 0 , … , v（v） 5 , w个 0 , … , w个 5 , x个 0 , … , x个 5 , 年 0 , … , 年 5 , z 0 , … , z 5 } ,
E类 ( H（H） 6 ′ ) = { o（o） 0 o（o） 1 , o（o） 1 o（o） 2 , o（o） 2 o（o） 三 , o（o） 三 o（o） 4 , o（o） 4 o（o） 5 , o（o） 5 o（o） 0 , o（o） 0 第页 0 , o（o） 1 第页 1 , o（o） 2 第页 2 , o（o） 三 第页 三 , o（o） 4 第页 4 , o（o） 5 第页 5 , 第页 0 q个 0 , 第页 1 q个 1 , 第页 2 q个 2 , 第页 三 q个 三 , 第页 4 q个 4 , 第页 5 q个 5 , q个 0 第页 1 , q个 1 第页 2 , q个 2 第页 三 , q个 三 第页 4 , q个 4 第页 5 , q个 5 第页 0 , q个 0 第页 0 , q个 1 第页 1 , q个 2 第页 2 , q个 三 第页 三 , q个 4 第页 4 , q个 5 第页 5 , 秒 0 第页 0 , 秒 1 第页 1 , 秒 2 第页 2 , 秒 三 第页 三 , 秒 4 第页 4 , 秒 5 第页 5 , 第页 0 秒 1 , 第页 1 秒 2 , 第页 2 秒 三 , 第页 三 秒 4 , 第页 4 秒 5 , 第页 4 秒 0 , 秒 0 t吨 0 , 秒 1 t吨 1 , 秒 2 t吨 2 , 秒 三 t吨 三 , 秒 4 t吨 4 , 秒 5 t吨 5 , t吨 0 u个 0 , t吨 1 u个 1 , t吨 2 u个 2 , t吨 三 u个 三 , t吨 4 u个 4 , t吨 5 u个 5 , u个 0 t吨 1 , u个 1 t吨 2 , u个 2 t吨 三 , u个 三 t吨 4 , u个 4 t吨 5 , u个 5 t吨 0 , u个 0 v（v） 0 , u个 1 v（v） 1 , u个 2 v（v） 2 , u个 三 v（v） 三 , u个 4 v（v） 4 , u个 5 v（v） 5 , v（v） 0 w个 0 , v（v） 1 w个 1 , v（v） 2 w个 2 , v（v） 三 w个 三 , v（v） 4 w个 4 , v（v） 5 w个 5 , v（v） 0 w个 1 , v（v） 1 w个 2 , v（v） 2 w个 三 , v（v） 三 w个 4 , v（v） 4 w个 5 , v（v） 5 w个 0 , w个 0 x个 0 , w个 1 x个 1 , w个 2 x个 2 , w个 三 x个 三 , w个 4 x个 4 , w个 5 x个 5 , x个 0 年 0 , x个 1 年 1 , x个 2 年 2 , x个 三 年 三 , x个 4 年 4 , x个 5 年 5 , 年 0 x个 1 , 年 1 x个 2 , 年 2 x个 三 , 年 三 x个 4 , 年 4 x个 5 , 年 5 x个 0 , 年 0 z 0 , 年 1 z 1 , 年 2 z 2 , 年 三 z 三 , 年 4 z 4 , 年 5 z 5 , z 0 z 1 , z 1 z 2 , z 2 z 三 , z 三 z 4 , z 4 z 5 , z 5 z 0 } .
利用这些顶点集和边集，我们构造了凸多面体的图 H（H） 6 ′ .图8显示了的图形 H（H） 6 ′ 。这将验证中显示的顶点和边集(11)和(12).

3.2.2. 二进制定位控制数 H（H） n个 ′

本小节介绍了 H（H） n个 ′ .我们找到了二进制定位支配数的精确值 H（H） n个 ′ 在下面的定理中，证明了族的二进制定位支配数 H（H） n个 ′ 确实是 4 n个 .
定理 4
的二进制定位支配数 H（H） n个 ′ 确实是 4 n个 即。，
γ 我 − d日 ( H（H） n个 ′ ) = 4 n个 .
证明。 
如图所示 H（H） n个 ′ 3度为规则。根据定理1，我们得到
γ 我 − d日 ≥ 2 ( 12 n个 ) 6 = 4 n个 .
让 S公司 ⊂ 五 ( H（H） n个 ′ ) 这样的话 S公司 = { 第页 j个 , 秒 j个 , v（v） j个 , 年 j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } 接下来，我们展示S公司是二进制定位支配数 H（H） n个 ′ 可以看出
S公司 ∩ N个 [ o（o） j个 ] = [ 第页 j个 ] , S公司 ∩ N个 [ q个 j个 ] = [ 第页 j个 − 1 , 第页 j个 ] , S公司 ∩ N个 [ 第页 j个 ] = [ 秒 j个 , 秒 j个 + 1 ] , S公司 ∩ N个 [ t吨 j个 ] = [ 秒 j个 ] , S公司 ∩ N个 [ u个 j个 ] = [ v（v） j个 ] , S公司 ∩ N个 [ w个 j个 ] = [ v（v） j个 − 1 , v（v） j个 ] , S公司 ∩ N个 [ x个 j个 ] = [ 年 j个 − 1 , 年 j个 ] 和 S公司 ∩ N个 [ z j个 ] = [ 年 j个 ] .
请注意，所有这些交点都至少有一个元素，它们也是不同的。这表明S公司是一个二进制定位支配集 ( H（H） n个 ′ ) 因此 γ 我 − d日 ( H（H） n个 ′ ) ≤ 4 n个 。结合实际 γ 我 − d日 ( H（H） n个 ′ ) ≥ 4 n个 ，我们获得 γ 我 − d日 ( H（H） n个 ′ ) = 4 n个 . □

4.严格上限

在这一节中，我们发现了三个无限族凸多面体的二进制定位支配数的紧上界。

4.1. 凸多面体图 S公司 n个

凸多面体图 S公司 n个 包括 2 n个 三角面， 2 n个 四角面和一对n个-侧面（请参见图9). 数学上，它有顶点集
五 ( S公司 n个 ) = { w个 j个 , x个 j个 , 年 j个 , z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } ,
和边缘集
E类 ( S公司 n个 ) = { w个 j个 w个 j个 + 1 , x个 j个 x个 j个 + 1 , 年 j个 年 j个 + 1 , z j个 z j个 + 1 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } ∪ { w个 j个 + 1 x个 j个 , w个 j个 x个 j个 , x个 j个 年 j个 , 年 j个 z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } .
Imran等人[19]表明 S公司 n个 为3。凸多面体图 S公司 n个 也可以从凸多面体图中得到 问 n个 ，定义于[16]，通过添加边 w个 j个 + 1 x个 j个 , 年 j个 年 j个 + 1 然后删除边 x个 j个 + 1 , 年 j个 即。， 五 ( S公司 n个 ) = 五 ( 问 n个 ) 和 E类 ( S公司 n个 ) = E类 ( 问 n个 ) ∪ { w个 j个 + 1 x个 j个 , 年 j个 年 j个 + 1 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } \ { x个 j个 + 1 年 j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } .
以下定理给出了二进制定位支配数的一个紧上界 S公司 n个 .
定理 5
设G是凸多面体的图 S公司 n个 然后，
γ 我 − d日 ( G公司 ) ≤ 7 n个 5 ,
这个上限很紧。
证明。 
让 S公司 ⊂ 五 是顶点集的适当子集 S公司 n个 这样的话
S公司 = { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 ; { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ⋃ { x个 5 米 , z 5 米 } ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 + 1 ; { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ⋃ { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 , z 5 米 + 1 } ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 + 2 ; { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ⋃ { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 , z 5 米 , z 5 米 + 2 } , n个 = 5 米 + 三 ; { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 , x个 5 米 + 三 , z 5 米 + 1 , z 5 米 + 三 } ⋃ { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 + 4 .
接下来，我们展示一下S公司是一个定位支配集G公司为了做到这一点，我们讨论了以下五种可能的情况：
案例1：
什么时候？ n个 = 5 米 .
表2描述中的所有顶点 五 \ S公司以及他们封闭的街区与S公司从第二列中，我们可以看到所有这些交点都是非空的，并且是不同的。因此，对于任意两个顶点 u个 , v（v） ∈ 五 \ S公司，我们有 S公司 ⋂ N个 [ v（v） ] ≠ S公司 ⋂ N个 [ u个 ] ≠ Ø 。这表明S公司是的二进制定位支配集 S公司 n个 .
案例2：
什么时候？ n个 = 5 米 + 1 .
与案例1中的论点类似，我们从中看到表2所有的十字路口都是空旷而清晰的。这表明S公司是的二进制定位支配集 S公司 n个 ，如果 n个 = 5 米 + 1 .
案例3：
什么时候？ n个 = 5 米 + 2 .
与案例1和案例2中的论点类似，我们从表2所有的十字路口都是空旷而清晰的。这表明S公司是的二进制定位支配集 S公司 n个 ，如果 n个 = 5 米 + 2 .
因此，从上述讨论中，我们可以说案例4和案例5与上述案例类似。
请注意 | S公司 | = 7 n个 5 ; 因此，我们有 γ 我 − d日 ( G公司 ) ≤ 7 n个 5 .
为了显示定理5上界的紧密性，我们对带约束的ILP公式使用CPLEX解算器(1), (2)、（4）和(6). 因此，我们获得了以下最优解： γ 我 − d日 ( S公司 6 ) = 9 , γ 我 − d日 ( S公司 7 ) = 10 , γ 我 − d日 ( S公司 8 ) = 12 , γ 我 − d日 ( S公司 9 ) = 13 , …, γ 我 − d日 ( S公司 21 ) = 30 , …, γ 我 − d日 ( S公司 29 ) = 41 。这表明定理5的上限是紧的。□

4.2. 凸多面体图 B类 n个

凸多面体图 B类 n个 包括 2 n个 四角面，n个三角面，n个五边形面和一对n个-直角面（请参见图10). 它也可以由凸多面体图的组合得到 问 n个 [16]和棱镜图 D类 n个 [15]. 或者，它具有顶点集
五 ( B类 n个 ) = { v（v） j个 , w个 j个 , x个 j个 , 年 j个 , z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } ,
和边缘集
E类 ( B类 n个 ) = { v（v） j个 v（v） j个 + 1 , w个 j个 w个 j个 + 1 , 年 j个 年 j个 + 1 , z j个 z j个 + 1 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } ∪ { v（v） j个 w个 j个 , w个 j个 x个 j个 , w个 j个 + 1 x个 j个 , x个 j个 年 j个 , 年 j个 z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } .
Imran等人[18]表明凸多面体的度量维数 B类 n个 是三。接下来，我们证明了 B类 n个 .
定理 6
的二进制定位支配数 B类 n个 上边界为 2 n个 即。，
γ 我 − d日 ( B类 n个 ) ≤ 2 n个 ,
这个上限很紧。
证明。 
让 S公司 ⊂ 五 ( B类 n个 ) 这样的话 S公司 = { w个 j个 , 年 j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } 接下来，我们展示S公司是的二进制定位支配数 B类 n个 可以看出
S公司 ∩ N个 [ v（v） j个 ] = [ w个 j个 ] , S公司 ∩ N个 [ x个 j个 ] = [ w个 j个 , w个 j个 + 1 , 年 j个 ] , 和 S公司 ∩ N个 [ z j个 ] = [ 年 j个 ] .
请注意，所有这些交点都至少有一个元素，它们也是不同的。这表明S公司是的二进制定位支配集 B类 n个 因此，我们得出 γ 我 − d日 ( G公司 ) ≤ 2 n个 .
带约束整数线性规划公式的CPLEX求解器(1), (2)、（4）和(6)，我们得到了最优解： γ 我 − d日 ( B类 7 ) = 14 , γ 我 − d日 ( B类 8 ) = 16 , γ 我 − d日 ( B类 9 ) = 18 , …, γ 我 − d日 ( S公司 15 ) = 30 。这表明上限很紧。□

4.3。凸多面体的图 T型 n个

凸多面体图 T型 n个 包括 4 n个 三角面，n个四角面和一对n个-侧面（请参见图11). 数学上，我们有
五 ( T型 n个 ) = { w个 j个 , x个 j个 , 年 j个 , z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 }
和
E类 ( T型 n个 ) = { w个 j个 w个 j个 + 1 , x个 j个 x个 j个 + 1 , 年 j个 年 j个 + 1 , z j个 z j个 + 1 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } ∪ { w个 j个 + 1 x个 j个 , w个 j个 x个 j个 , x个 j个 年 j个 , 年 我 z j个 , 年 j个 + 1 z j个 ∣ j个 = 0 , … , n个 − 1 } .
它也可以由凸多面体图的组合得到 R（右） n个 [15,19]和反棱镜图。
定理 7
对于凸多面体图 T型 n个 ，我们有
γ 我 − d日 ( T型 n个 ) ≤ 7 n个 5 ,
这个上限很紧。
证明。 
让S公司是顶点集的适当子集 T型 n个 ，因此
S公司 = { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 ; { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ⋃ { x个 5 米 , z 5 米 } ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 + 1 ; { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ⋃ { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 , z 5 米 + 1 } ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 + 2 ; { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ⋃ { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 , z 5 米 , z 5 米 + 2 } , n个 = 5 米 + 三 ; { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 , x个 5 米 + 三 , z 5 米 + 1 , z 5 米 + 三 } ⋃ { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 , z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 ∣ j个 = 0 , … , 米 − 1 } , n个 = 5 米 + 4 .
我们证明了这一点S公司是的二进制定位支配集 T型 n个 。我们需要讨论以下两种可能的情况：
案例1：
什么时候？ n个 = 5 米 .
为了显示S公司为了成为二元定位支配集，我们需要证明 五 \ S公司非空且不重复。表3显示了这些街区及其十字路口。虽然某些交叉口的一些公式可能有些相似，但它们是不同的。
案例2：
什么时候？ n个 = 5 米 + 1 .
与前面的例子一样 五 \ S公司非空且不同，如所示表3因此，从上述讨论中，我们可以说案例3、案例4和案例5与上述案例类似。
请注意 | S公司 | = 7 n个 5 。这意味着 γ 我 − d日 ( T型 n个 ) ≤ 7 n个 5 .
接下来，我们将CPLEX解算器用于带约束的ILP公式(1), (2)、（4）和(6)并获得以下最优解： γ 我 − d日 ( T型 6 ) = 9 , γ 我 − d日 ( T型 7 ) = 10 , γ 我 − d日 ( T型 8 ) = 12 , γ 我 − d日 ( T型 9 ) = 13 , …, γ 我 − d日 ( T型 21 ) = 30 , …, γ 我 − d日 ( T型 29 ) = 41 这表明定理7中的上限是紧的。□

5.结论

本文主要研究一类自然产生于凸多面体结构的几何图。除了找到凸多面体的两个无限族图的二元定位支配数的精确值外，我们还找到了其他三个凸多面体的无限族图的紧上界。利用二进制定位数的整数线性规划模型，在得到的上界中寻找紧性。
为了进一步研究这个问题，可以考虑广义Petersen图和某些强正则图族。

作者贡献

H.R.、S.H.和X.-F.P.对本文的贡献相同。

基金

本研究由巴基斯坦高等教育委员会（HEC）启动研究拨款项目资助，项目编号为2285，萨坎德·哈亚特收到的拨款编号为21-2285/SRGP/R&D/HEC/2018。APC由中国政府奖学金资助的哈桑·拉扎负责。

致谢

作者感谢匿名审稿人对本文的仔细阅读以及他们的所有评论，这导致了论文的一些改进。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

  1. 海恩斯，T.W。；Hedetniemi，S。；斯莱特，P。图的控制原理; CRC出版社：美国佛罗里达州博卡拉顿，1998年。[谷歌学者]
  2. 海恩斯，T.W。；亨宁，文学硕士。；Howard，J.在树中定位和总支配集。谨慎。申请。数学。 2006,154, 1293–1300. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  3. 查龙，I。；俄亥俄州哈德里。；图中识别和定位支配代码的极基数。谨慎。数学。 2007,307, 356–366. [谷歌学者] [交叉参考]
  4. Honkala，I。；俄亥俄州哈德里。；关于图中最优支配码和位置支配码的集合。信息处理。莱特。 2015,115, 699–702. [谷歌学者] [交叉参考]
  5. Honkala，I。；Laihonen，T.关于在无限网格中定位支配集。Eur.J.库姆。 2006,27, 218–227. [谷歌学者] [交叉参考]
  6. Seo，S.J。；斯莱特，P.J.开放邻域定位支配集。澳大利亚。J.库姆。 2010,46, 109–119. [谷歌学者]
  7. Seo，S.J。；斯莱特，P.J.开放邻里定位——在树上占据主导地位。谨慎。申请。数学。 2011,159，484–489页。[谷歌学者] [交叉参考]
  8. Slater，P.J.容错定位支配集。谨慎。数学。 2002,249, 179–189. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. 埃尔南多，C。；莫拉，M。；Pelayo，I.M.LD图和二部图中的全局位置支配。电子。注释谨慎。数学。 2014,46, 225–232. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  10. Slater，P.J.非循环图中的支配和位置。网络 1987,17, 5–64. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. 斯莱特，P.J.定位支配集和定位支配集。在《图论、组合数学和算法》，第七届四年一度的图论和应用国际会议论文集，美国密歇根州卡拉马祖，1992年6月1日至5日; Alavi，Y.，Schwenk，A.，编辑。；约翰·威利父子公司：美国纽约州纽约市，1995年；第2卷，第1073-1079页。[谷歌学者]
  12. 查龙，I。；俄亥俄州哈德里。；识别和定位支配代码：有向图的NP-完全性结果。IEEE传输。Inf.理论 2002,48, 2192–2200. [谷歌学者] [交叉参考]
  13. 查龙，I。；俄亥俄州哈德里。；Lobstein，A.最小化图中标识或定位支配代码的大小是NP-hard。西奥。计算。科学。 2003,290, 2109–2120. [谷歌学者] [交叉参考]
  14. Lobstein，A.《观察系统，图中识别、定位支配和识别代码》。在线可用：http://perso.telectro-paristech.fr/~lobstein/debutBIBidetlocdom.pdf（2018年11月16日访问）。
  15. Bača，M.两类凸多面体的标号。实用程序。数学。 1988,34, 24–31. [谷歌学者]
  16. Bača，M.关于凸多面体的魔术标记。安。谨慎。数学。 1992,51, 13–16. [谷歌学者]
  17. 伊姆兰，M。；拜格，A.Q。；Ahmad，A.等度量维平面图族。实用程序。数学。 2012,88, 43–57. [谷歌学者]
  18. 伊姆兰，M。；Bokhary，S.A.U.H。；Baig，A.Q.关于旋转对称凸多面体的度量维。代数组合。谨慎。申请。 2015,三, 45–59. [谷歌学者] [交叉参考]
  19. 伊姆兰，M。；Bokhary，S.A.U.H。；Baig，A.Q.关于具有常度量维数的凸多面体族。计算。数学。申请。 2010,60, 2629–2638. [谷歌学者] [交叉参考]
  20. Malik，文学硕士。；Sarwar，M.关于两类凸多面体的度量维。非洲。数学。 2016,27, 229–238. [谷歌学者] [交叉参考]
  21. Kratica，J。；科瓦切维奇-Vujćić，V。；乔安加洛维奇，M。；Stojanović，M.最小双分辨集与一些凸多面体的强度量维数。申请。数学。计算。 2012,218，9790–9801。[谷歌学者] [交叉参考]
  22. 萨勒曼，M。；贾瓦德，I。；Chaudhry，M.A.图的最小容错、局部和强度量维。arXiv公司, 2014; arXiv:1409.2695。[谷歌学者]
  23. Simić，A。；博格达诺维奇，M。；Milošević，J.一些凸多面体的二进制定位支配数。ARS数学。续。 2017,13, 367–377. [谷歌学者] [交叉参考]
  24. Hayat，S.计算复杂化学网络的基于距离的拓扑描述符：新理论技术。化学。物理学。莱特。 2017,688, 51–58. [谷歌学者] [交叉参考]
  25. Hayat，S。；Imran，M.某些网络拓扑指数的计算。申请。数学。计算。 2014,240, 213–228. [谷歌学者] [交叉参考]
  26. Hayat，S。；Malik，文学硕士。；Imran，M.计算蜂窝衍生网络的拓扑指数。罗马·J·信息科学。技术。 2015,18, 144–165. [谷歌学者]
  27. Hayat，S。；王，S。；Liu，J.-B.基于价的化学网络拓扑描述符及其应用。申请。数学。模型。 2018,60, 164–178. [谷歌学者] [交叉参考]
  28. D.W.班吉。；阿联酋巴考斯卡斯。；主持人L.H。；图的广义控制和有效控制。自由裁量权。数学。 1996,159, 1–11. [谷歌学者] [交叉参考]
  29. 斯威加特，D.B。；Presnell，J。；Kincaid，R.一个用于在六角形无限网格和其他图上开定位支配集及其结果的整数程序。2014年4月25日在美国弗吉尼亚州夏洛茨维尔举行的2014年系统和信息工程设计研讨会（SIEDS）会议记录；第29-32页。[谷歌学者]
  30. Hanafi，S。；Lazić，J。；Mladenović，N。；威尔博，I。；Crévits，C.基于0-1 MIP启发式的新变量邻域搜索。南斯拉夫J.Oper。物件。 2015,25, 343–360. [谷歌学者] [交叉参考]
  31. Bača，M.凸多面体的反魔术标签。实用程序。数学。 1999,55, 221–226. [谷歌学者]
  32. 伊姆兰，M。；Siddiqui，H.M.A.计算由车轮相关图生成的凸多面体的度量维数。数学学报。挂。 2016,149, 10–30. [谷歌学者] [交叉参考]
  33. 米勒，M。；巴卡，M。；MacDougall，J.A.广义Petersen图和凸多面体的顶点魔术全标号。J.库姆。数学。梳子。计算。 2006,59, 89–99. [谷歌学者]
  34. 伊姆兰，M。；Bokhary，S.A.U.H。；艾哈迈德。；Semaničová-Feňovíková，A.关于常度量维正则图类。数学学报。科学。 2013,33B个, 187–206. [谷歌学者] [交叉参考]
  35. 拉扎，H。；Hayat，S。；Pan，X.-F.关于凸多面体的容错度量维数。申请。数学。计算。 2018,339, 172–185. [谷歌学者] [交叉参考]
  36. 埃里克森，J。；Scott，K.同余对称凸多面体的任意大邻域族。arXiv公司, 2001; arXiv:math/0106095v1。[谷歌学者]
对称10 00727 g001 550
图1。凸多面体图 B类 n个 .
图1。凸多面体的图 B类 n个 .
对称10 00727 g001
对称10 00727 g002 550
图2。凸多面体图 R（右） n个 .
图2。凸多面体的图 R（右） n个 .
对称10 00727 g002
对称10 00727 g003 550
图3。凸多面体图 D类 n个 .
图3。凸多面体图 D类 n个 .
对称10 00727 g003
对称10 00727 g004 550
图4。凸多面体图 H（H） n个 .
图4。凸多面体图 H（H） n个 .
对称10 00727 g004
对称10 00727 g005 550
图5。凸多面体图 H（H） 6 .
图5。凸多面体图 H（H） 6 .
对称10 00727 g005
对称10 00727 g006 550
图6。凸多面体单位 H（H） n个 .
图6。凸多面体单位 H（H） n个 .
对称10 00727 g006
对称10 00727 g007 550
图7。凸多面体图 H（H） ′ n个 .
图7。凸多面体图 H（H） ′ n个 .
对称10 00727 g007
对称10 00727 g008 550
图8。凸多面体图 H（H） 6 ′ .
图8。凸多面体图 H（H） 6 ′ .
对称10 00727 g008
对称10 00727 g009 550
图9。凸多面体图 S公司 n个 .
图9。凸多面体图 S公司 n个 .
对称10 00727 g009
对称10 00727 g010 550
图10。凸多面体图 B类 n个 .
图10。凸多面体图 B类 n个 .
对称10 00727 g010
对称10 00727 g011 550
图11。凸多面体图 T型 n个 .
图11。凸多面体图 T型 n个 .
对称10 00727 g011
表
表1。二进制定位中的主导顶点 H（H） n个 .
表1。二进制定位中的主要顶点 H（H） n个 .
n个 v（v） ∈ 五 \ S公司 S公司 ∩ N个 [ v（v） ] v（v） ∈ 五 \ S公司 S公司 ∩ N个 [ v（v） ]
三 米 秒 三 j个 { 秒 三 j个 + 1 , t吨 三 j个 } 秒 三 j个 + 2 { 秒 三 j个 + 1 }
t吨 三 j个 + 1 { 秒 三 j个 + 1 , u个 三 j个 + 1 } t吨 三 j个 + 2 { u个 三 j个 + 1 }
u个 三 j个 { t吨 三 j个 } u个 三 j个 + 2 { t吨 三 ( j个 + 1 ) , v（v） 三 j个 + 2 }
v（v） 三 j个 { w个 三 j个 + 1 } v（v） 三 j个 + 1 { w个 三 j个 + 1 , u个 三 j个 + 1 }
w个 三 j个 { v（v） 三 j个 − 1 } w个 三 j个 + 2 { v（v） 三 j个 + 2 , x个 三 j个 + 2 }
x个 三 j个 { 年 三 j个 } x个 三 j个 + 1 { 年 三 j个 , w个 三 j个 + 1 }
年 三 j个 + 1 { x个 三 j个 + 2 } 年 三 j个 + 2 { x个 三 j个 + 2 , z 三 j个 + 2 }
z 三 j个 { 年 三 j个 , z 三 j个 − 1 } z 三 j个 + 1 { z 三 j个 + 2 }
三 米 + 1 秒 三 j个 + 1 { 秒 三 j个 + 2 } 秒 三 ( j个 + 1 ) { 秒 三 j个 + 2 , t吨 三 ( j个 + 1 ) }
t吨 三 j个 + 1 { u个 三 j个 + 1 } t吨 三 j个 + 2 { u个 三 j个 + 1 , 秒 三 j个 + 2 }
u个 三 j个 { t吨 三 j个 , v（v） 三 j个 } u个 三 j个 + 2 { t吨 三 ( j个 + 1 ) }
v（v） 三 j个 + 1 { u个 三 j个 + 1 , w个 三 j个 + 2 } v（v） 三 j个 + 2 { w个 三 j个 + 2 }
w个 三 j个 + 1 { v（v） 三 j个 , x个 三 j个 + 1 } w个 三 ( j个 + 1 ) { v（v） 三 ( j个 + 1 ) }
x个 三 j个 + 2 { w个 三 j个 + 2 , 年 三 j个 + 2 } x个 三 ( j个 + 1 ) { 年 三 j个 + 2 }
年 三 j个 { x个 三 j个 + 1 , z 三 j个 } 年 三 j个 + 1 { x个 三 j个 + 1 }
z 三 j个 + 2 { 年 三 j个 + 2 , z 三 j个 + 三 } z 三 j个 + 1 { z 三 j个 }
秒 0 { t吨 0 } u个 三 米 { t吨 0 , t吨 三 米 , v（v） 三 米 }
w个 0 { v（v） 0 , v（v） 三 米 } x个 0 { 年 三 米 }
z 三 米 { 年 三 米 , z 0 }
三 米 + 2 秒 三 j个 + 1 { 秒 三 j个 , t吨 三 j个 + 1 } 秒 三 j个 + 2 { 秒 三 ( j个 + 1 ) }
t吨 三 j个 + 2 { u个 三 j个 + 2 } t吨 三 ( j个 + 1 ) { 秒 三 ( j个 + 1 ) , u个 三 j个 + 2 }
u个 三 j个 { t吨 三 j个 + 1 , v（v） 三 j个 } u个 三 j个 + 1 { t吨 三 j个 + 1 }
v（v） 三 j个 + 1 { w个 三 j个 + 2 } v（v） 三 j个 + 2 { u个 三 j个 + 2 , w个 三 j个 + 2 }
w个 三 j个 { v（v） 三 j个 } w个 三 j个 + 1 { v（v） 三 j个 , x个 三 j个 + 1 }
x个 三 j个 + 2 { w个 三 j个 + 2 , 年 三 j个 + 2 } x个 三 ( j个 + 1 ) { 年 三 j个 + 2 }
年 三 j个 + 1 { x个 三 j个 + 1 , z 三 j个 + 1 } 年 三 j个 { x个 三 j个 + 1 }
z 三 j个 { z 三 j个 + 1 } z 三 j个 + 2 { 年 三 j个 + 2 , z 三 j个 + 1 }
秒 三 米 + 1 { 秒 三 米 , 秒 0 , t吨 三 米 + 1 } t吨 0 { 秒 0 }
u个 三 米 + 1 { t吨 三 米 + 1 } u个 三 米 { t吨 三 米 + 1 , v（v） 三 米 }
v（v） 三 米 + 1 { w个 三 米 + 1 } w个 三 米 { v（v） 三 米 }
x个 0 { 年 三 米 + 1 } x个 三 米 + 1 { w个 三 米 + 1 , 年 三 米 + 1 }
年 三 米 { z 三 米 } z 三 米 + 1 { 年 三 米 + 1 , z 三 米 }
表
表2。二进制定位中的主要顶点 S公司 n个 .
表2。二进制定位中的主要顶点 S公司 n个 .
n个 v（v） ∈ 五 \ S公司 S公司 ∩ N个 [ v（v） ] v（v） ∈ 五 \ S公司 S公司 ∩ N个 [ v（v） ]
5 米 w个 5 j个 { x个 5 j个 , x个 5 ( j个 − 1 ) + 4 } w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 }
w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 } w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 }
w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 } 年 5 j个 { x个 5 j个 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 }
5 米 + 1 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 4 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 }
年 5 米 { x个 5 米 , z 5 米 }
5 米 + 2 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 4 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 + 1 }
w个 5 米 + 1 { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 } 年 5 米 { x个 5 米 }
年 5 米 + 1 { x个 5 米 + 1 , z 5 米 + 1 } z 5 米 { z 5 米 + 1 }
5 米 + 三 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 4 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 + 2 }
w个 5 米 + 1 { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 } w个 5 米 + 2 { x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 }
年 5 米 { x个 5 米 , z 5 米 } 年 5 米 + 1 { x个 5 米 + 1 }
年 5 米 + 2 { x个 5 米 + 2 , z 5 米 + 2 } z 5 米 + 1 { z 5 米 , z 5 米 + 2 }
5 米 + 4 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 4 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 + 三 }
w个 5 米 + 1 { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 } w个 5 米 + 2 { x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 }
w个 5 米 + 三 { x个 5 米 + 2 , x个 5 米 + 三 } 年 5 米 { x个 5 米 }
年 5 米 + 1 { x个 5 米 + 1 , z 5 米 + 1 } 年 5 米 + 2 { x个 5 米 + 2 }
年 5 米 + 三 { x个 5 米 + 三 , z 5 米 + 三 } z 5 米 { z 5 米 + 1 }
z 5 米 + 2 { z 5 米 + 1 , z 5 米 + 三 }
表
表3。二进制定位中的主要顶点 T型 n个 .
表3。二进制定位中的主要顶点 T型 n个 .
n个 v（v） ∈ 五 \ S公司 S公司 ∩ N个 [ v（v） ] v（v） ∈ 五 \ S公司 S公司 ∩ N个 [ v（v） ]
5 米 w个 5 j个 { x个 5 j个 , x个 5 ( j个 − 1 ) + 4 } w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 }
w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 } w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 }
w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 } 年 5 j个 { x个 5 j个 , z 5 j个 + 1 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 , z 5 j个 + 三 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 }
5 米 + 1 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 三 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 , z 5 j个 + 1 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 , z 5 j个 + 三 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 }
年 5 米 { x个 5 米 , z 5 米 }
5 米 + 2 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 三 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 , z 5 j个 + 1 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 , z 5 j个 + 三 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 + 1 }
w个 5 米 + 1 { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 } 年 5 米 { x个 5 米 , z 5 米 }
年 5 米 + 1 { x个 5 米 + 1 , z 5 米 } z 5 米 { z 5 米 + 1 }
5 米 + 三 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 三 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 , z 5 j个 + 1 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 , z 5 j个 + 三 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 + 2 }
w个 5 米 + 1 { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 } w个 5 米 + 2 { x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 }
年 5 米 { x个 5 米 , z 5 米 } 年 5 米 + 1 { x个 5 米 + 1 , z 5 米 + 2 }
年 5 米 + 2 { x个 5 米 + 2 , z 5 米 + 2 } z 5 米 + 1 { z 5 米 , z 5 米 + 2 }
5 米 + 4 w个 5 j个 + 1 { x个 5 j个 , x个 5 j个 + 1 } w个 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 1 , x个 5 j个 + 2 }
w个 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 2 , x个 5 j个 + 三 } w个 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 三 , x个 5 j个 + 4 }
w个 5 ( j个 + 1 ) { x个 5 j个 + 三 , x个 5 ( j个 + 1 ) } 年 5 j个 { x个 5 j个 , z 5 j个 + 1 }
年 5 j个 + 1 { x个 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 1 } 年 5 j个 + 2 { x个 5 j个 + 2 , z 5 j个 + 三 }
年 5 j个 + 三 { x个 5 j个 + 三 , z 5 j个 + 三 } 年 5 j个 + 4 { x个 5 j个 + 4 }
z 5 j个 { z 5 j个 + 1 } z 5 j个 + 2 { z 5 j个 + 1 , z 5 j个 + 三 }
z 5 j个 + 4 { z 5 j个 + 三 } w个 0 { x个 0 , x个 5 米 + 2 }
w个 5 米 + 1 { x个 5 米 , x个 5 米 + 1 } w个 5 米 + 2 { x个 5 米 + 1 , x个 5 米 + 2 }
w个 5 米 + 三 { x个 5 米 + 2 , x个 5 米 + 三 } 年 5 米 { x个 5 米 , z 5 米 }
年 5 米 + 1 { x个 5 米 + 1 , z 5 米 + 1 } 年 5 米 + 2 { x个 5 米 + 2 , z 5 米 + 三 }
年 5 米 + 三 { x个 5 米 + 三 , z 5 米 + 三 } z 5 米 { z 5 米 + 1 }
z 5 米 + 2 { z 5 米 + 1 , z 5 米 + 三 }

分享和引用

MDPI和ACS样式

拉扎，H。；Hayat，S。；X-F平移。旋转对称凸多面体中的二元定位支配集。对称 2018,10, 727.https://doi.org/10.3390/sym10120727

AMA风格

Raza H、Hayat S、Pan X-F。旋转对称凸多面体中的二进制定位支配集。对称. 2018; 10(12):727.https://doi.org/10.3390/sym10120727

芝加哥/图拉宾风格

拉扎、哈桑、萨坎德·哈亚特和潘向峰。2018.“旋转对称凸多面体中的二进制定位支配集”对称10，编号12:727。https://doi.org/10.3390/sym10120727

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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