1.简介
本文的目的是强调不同类型的数学对象之间的一些简单联系，如伯努利螺旋、格兰迪（罗多纳）曲线以及第一类和第二类切比雪夫多项式。也就是说，通过考虑极坐标和伯努利螺旋的复杂形式，伯努利螺线的实部和虚部与Grandi曲线之间的直接联系如下。甚至切比雪夫多项式也会立即出现。
由于即使对于分数指数也存在rhodonea曲线，因此可以定义第一类和第二类切比雪夫多项式在有理度情况下的扩展。实际上，得到的函数不是多项式，而是无理函数。然而，通过使用循环函数的标准恒等式，可以从三角定义中导出这些函数的几个特性。特别是对于半整数度的函数，和，在区间中正交性属性仍然有效关于多项式对应项的相同权重函数。
本文的第二部分致力于回顾螺旋的最简单示例，包括阿基米德、伯努利、费马和其他螺旋，这些可以通过与笛卡尔坐标的类比来推导。也就是说，在平面上考虑上述螺旋，对应于平面中的基本曲线，分别是直线、指数和幂函数。这可能是自然形态中频繁出现螺旋或Grandi曲线的动机（参见例如[1,2]). 2.螺旋
如果，螺旋逆时针旋转，如果，螺旋线顺时针旋转。
伯努利（对数）螺旋[4] (图1)具有极坐标方程： 改变参数一和b条，一个有不同类型的螺旋。
系数一更改大小和术语b条将其控制为“窄”，并将其包裹在什么方向。
自一和b条是正常数，可能有一些有趣的情况。研究最多的对数螺旋线称为谐波，因为线圈之间的距离是谐波级数，其比值为，即与单位细分相关的“黄金比例”。
对数螺旋线是由勒内·笛卡尔于1638年发现的，雅各布·贝努利（1654-1705）对其进行了研究。
皮埃尔·瓦里尼翁（1654-1722）将其称为等角螺旋，因为：
一点的切线和通过该点的极半径之间的角度是恒定的。
相对于中心位于原点的同心圆的倾角也是恒定的。
这是分形的一个例子。正如J.Bernoulli墓上所写的那样：Eadem mutata resurgo，但那里的螺旋是阿基米德式的。
费马（抛物线）螺线表明了在阿基米德螺线和伯努利螺线之间引入中间图的可能性。
事实上，在飞机上，阿基米德螺旋的图是一条直线，而伯努利螺旋有一个指数图，费马螺旋是一个抛物线图。
然后，放入：一个人在变化中得到一系列螺旋米和n个. 请注意，如果指数大于1时，螺旋线的线圈正在加宽(图2)，而如果指数小于1，因此螺旋线圈正在收缩（如费马的情况）。 另一种可能性是假设，其中（在这种情况下，线圈缠绕在原点周围(图3)或者使用具有水平渐近线的图，以获得渐近螺旋。 在下文中，我们考虑伯努利螺旋的“标准形式”假设,，即简化的极坐标方程： 3.复杂伯努利螺旋
我们现在介绍这个复杂的案例，其中包括：考虑到伯努利螺旋的类型： 3.1. Rhodone曲线
极坐标中定义的曲线如下：被称为罗丹妮曲线或格兰迪玫瑰（例如图4)路易吉·吉多·格兰迪（1671-1742），1713年在给莱布尼茨的一封信中表达了他的发现[5]. 曲线类型：基本上等同于前面的那些，直到旋转弧度。 3.2. 切比雪夫多项式
第一类和第二类切比雪夫多项式是由Pafbuty L.Chebyshev（1821-1894）引入的。它们可以作为指数函数的实部和虚部导出（见方程式(7))，正在放置，并使用Euler公式（请参见[6]详细信息）。 第一类切比雪夫多项式在逼近理论和高斯求积规则中具有重要意义。事实上，通过使用它们的根（称为切比雪夫节点），得到的插值多项式将Runge现象最小化。此外，相关逼近是在最大范数下对连续函数的最佳逼近。
与这些多项式相关的还有第二类切比雪夫多项式，它们出现在计算非奇异矩阵[7]. 还介绍了此类多项式的推广，特别是用于计算高阶矩阵的幂（参见，例如[8,9]). 一本优秀的书是[10]. 这些多项式集在应用中的重要性如所示[11]. 最近，第一类和第二类切比雪夫多项式被用来表示复数Appell多项式的实部和虚部[12,13]. Kim T.、Kim D.S.等人最近强调了第二类切比雪夫多项式与数论经典多项式的联系（参见，例如[14,15,16]). 由于上述考虑，可以注意到罗多纳曲线与第一类切比雪夫多项式之间的联系。
事实上，罗多纳曲线(图4)可以解释为（方程式(11)). 以类似的方式，第二类切比雪夫多项式将这种类型的玫瑰作为图形图像对应于（中的示例图5). 注意，在这两种情况下，罗多纳曲线都有n个花瓣，如果n个很奇怪并且花瓣，如果n个是均匀的。
4.伪切比雪夫多项式
即使对于指数的合理值，也存在视紫红质曲线n个（参见，例如[17]). 这允许我们考虑第一类和第二类伪切比雪夫多项式的集合（图6和图7). 使用前缀“pseudo”是因为实际上，它们不是多项式，而是无理函数，如下所示。 我们开始假设表格中的学位，这是一个半整数。这似乎是最有趣的情况，因为结果函数和在区间内被证明是正交的关于相同的第一类和第二类切比雪夫多项式的相应权重。
备注 1 值得注意的是，第三类和第四类切比雪夫多项式和（参见，例如[18])具有类似的定义，但它们与伪切比雪夫不一致，因为它们实际上是真多项式，并且满足不同权重的正交性（参见图8和图9). 一些学者已经研究并应用了第三类和第四类切比雪夫多项式（参见例如[18,19,20])，因为它们在求积规则中很有用，当奇点仅出现在其中一个端点时（请参见[10]). 此外，最近，它们被应用于数值分析，以解决具有齐次或非齐次边界条件的高奇阶边值问题[19]. 4.2. 重复关系
备注 2 请注意曲线的玫瑰花瓣数由序列给出，出现在整数序列百科全书中[21]在A016825：正整数与. 4.3. 更多通用公式
通过使用余弦加法公式，得出：我们发现：并且通过使用正弦加法公式： 4.4. 半整数次的正交性
定理 1 切比雪夫函数满足正交性：其中m，n是正奇数，例如m+n=2k，k=2，3，4， 定理 2 切比雪夫函数满足正交性：其中m，n是正奇数，例如m+n=2k，k=2，3，4， 5.结论
伯努利螺旋的复杂形式，通过使用欧拉公式，使我们能够强调与Grandi（rhodone）曲线的联系。具有分数阶指数的Rhodone可以看作是第一类和第二类Chebyshev多项式对无理函数的推广。这些“伪切比雪夫函数”的性质借用了经典三角恒等式。特别地，在半整数次的情况下，相应的函数满足相应的整数次切比雪夫多项式的相同正交性。
