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第10卷
第9版
10.3390/sym10090401
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第条

对称三角区间2型直觉模糊集及其在多准则决策中的应用

通过
苏克维埃尔·辛格
和
哈利什·加格
*
印度帕蒂亚拉147004塔帕工程技术学院（迪米德大学）数学学院
*
信件应寄给的作者。
对称 2018,10(9), 401;https://doi.org/10.3390/sym10090401
收到的提交文件：2018年8月26日/修订日期：2018年9月7日/接受日期：2018年9月11日/发布时间：2018年9月14日
（本文属于特刊2018年决策的模糊技术)
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版本注释

摘要

:
2型直觉模糊集（T2IFS）是经典模糊集、直觉模糊集的一个强大而重要的扩展，用于度量模糊性和不确定性。在实际决策过程中，多输入参数之间总是存在相互解释。为了解决这一问题，本文的动机是开发一些新的区间类型2（IT2）直觉模糊聚合算子，它可以考虑输入参数之间的多重交互作用。为了实现这一点，我们定义了对称三角区间T2IFS（TIT2IFS）及其运算，Hamy均值（HM）算子来聚集对称TIT2IFS的偏好，然后通过多准则决策（MCDM）展示其适用性。详细计算了该算子的几个令人羡慕的性质和特殊情况以及以下不同的参数值。最后给出了一个数值例子来说明该技术的实用性，并进行了详细的对比分析。

1.简介

多准则决策（MCDM）是现代决策过程中的一个热门研究课题，旨在从现有的方案中找出最合适的方案。在这个过程中，所有的备选方案都要在几个属性下进行定性和定量评估[1,2]. 传统上，研究人员只使用清晰的实数提供他/她对备选方案的偏好信息。然而，由于缺乏知识、时间压力和其他不可避免的因素，准确地表达信息即使不是不可能，也是非常困难的。因此，为了处理不完整或不正确的信息，模糊集理论（FS）也称为一类模糊集（T1FS）[三]及其作为直觉主义FS（IFS）的扩展[4]，类型2 FS（T2FS）[5]被广泛使用。在这些环境下，作者提出了不同的技术来解决MCDM问题。例如，Xu和Yager为不同直觉模糊数（IFN）开发了几何聚集算子（AO）[6]. 加格[7,8]提出了一些基于爱因斯坦范数的干扰素AO。Zhao等人[9]提出了一些广义AO。考尔和加格[10]利用三次IFS信息的t-范数运算给出了一些广义AO。然而，除此之外，还全面概述了使用聚合算子（AO）解决决策（DM）问题的不同方法[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]，信息度量（IM）[22,23,24]在这些论文及其参考文献中进行了总结。
在这些现有的工作中，作者通过采用定量环境来访问备选方案来研究这个问题。然而，并不是所有的替代品都可以从数量上获得。为此，存在根据语言变量/术语（LVs/LT）进行定性评估的概念[25,26]. 通过利用LTs的优势，张[27]提出了语言IF（LIF）AO来聚合LIF数。Chen等人[28]提出了一种在LIFS环境下解决MCDM问题的方法。加格和库马尔[29]利用集对分析理论提出了LIF数的AO。加格和库马尔[30]提出了一种新的LIFN可能性度度量方法和一个AO来聚合不同LIFN以解决MCDM问题。在许多实际问题中，任何决策者（DM）都不容易发现与其元素对应的FS的精确隶属函数。为了推翻这一局限性，将2型模糊集（T2FS）应用于该模型，它是T1FS的扩展，具有两个函数：主隶属函数（PMF）和次隶属函数（SMF）。不幸的是，T2FS非常复杂，DM在实际情况中实现它很麻烦；因此，它们的使用尚未广泛。为了降低计算复杂度，区间2型模糊集（IT2FS）[31]是T2FS中使用最广泛的。在过去的几十年中，人们发展了许多方法来扩展IT2FS环境下的MCDM理论。Chen等人[32]针对IT2FS建立了一个扩展的QUALIFLEX战略来解决DM问题，并对医疗基础领导层进行了背景分析。陈[33]利用IT2FS建立了一个基于ELECTRE的决策问题超越策略。吴和孟德尔[34]提出了一种语言加权平均AO来处理IT2F环境下的层次分析过程。秦和刘[35]根据Frank三角范数研究了一类2型模糊AO，并建立了在IT2FS设置下处理MCDM问题的另一种方法。Gong等人[36]将广义Bonferroni平均（GBM）算子推广到梯形IT2F环境。除此之外，还进行了T2FS环境下的一些其他研究，总结如下[35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48].
在所有上述AO中，研究人员通过考虑聚合过程中独立于参数假设来描述信息。然而，多输入参数之间的交互通常会发生，因此有必要将其特性添加到流程中。在这个方向上，研究人员提出了基于Bonferroni均值（BM）和广义BM（GBM）的算子[49,50]. 但从中可以看出，他们一次只考虑了两个或三个多参数。然而，他们无法将多输入论点的影响分析为一个分析。此外，在BM和GBM中，在处理过程中需要从无理集中提取两个和三个参数，这增加了计算复杂性。BM运算符的替代方法，Hamy mean（HM）[51]或Maclaurin对称平均（MSM）或Muirhead平均（MM）算子具有捕获多个输入参数之间相互关系的优点。秦[46]将HM与MSM进行关联，得出MSM是HM的一个实例的结论[16,17]. 加格和南希[52]通过优先的MM聚合运算符开发MCDM方法。此外，HM运算符包含参数，这可以在聚合运算符期间提供更大的灵活性和鲁棒性。通过为HM的参数设置特定值，可以很容易地从HM中推导出现有的算术和几何平均算子。尽管如此，HM刚刚就不等式的假设和应用取得了一些研究成果[53,54]. 因此，这是一种使用HM算子研究AO的方法。
从上述研究中可以看出，T2FS或IT2FS仅通过考虑元素的隶属度（MD）来进行检验。但在实际问题中，DM有时不可能只在MD方面给出他们的偏好，因为可能也会有一些犹豫。为了讨论这一点，一种2型IFS（T2IFS）[39]引入了同时考虑MD、非隶属度（NMD）和它们之间的不确定性足迹（FOU）的方法。后来，由于T2IFS、Garg和Singh的高度复杂性[55]引入了三角区间T2IFS（TIT2IFS）的概念，将MD和NMD视为三角模糊数。
基于上述分析，我们可以知道，这些天的决策问题变得更加乏味。因此，为了在为MCDM问题选择最佳备选方案方面做出更好的决策，有必要考虑备选方案之间的各种因素，如MD、NMD、FOU。为了保持AO和TIT2IFS的优点，有必要扩展Hamy平均AO，利用MD和NMD的语言特征处理TIT2IFN，从而开发一些MCDM方法。到目前为止，我们还没有看到任何基于AO的工作用于聚合TIT2IFS信息。因此，考虑到T2IFS的优点和HM算子自变量之间的多输入交互作用，本文提出了对称TIT2IFS的概念及其所需的性质。这些考虑使我们考虑了本文的主要目标：
  • 提出对称TIT2IFS（STIT2IFS）的概念；
  • 在语言直觉主义特征下，为STIT2IFS提出一些新的AO；
  • 基于提出的算子，开发一种求解决策问题的算法；
  • 给出一些例子来验证和比较结果。
为了实现目标（1），我们将T2IFS和对称三角数结合起来，建立了STIT2IFS的概念，并研究了它们的期望性质。为了完成目标（2），我们使用HM运算给出了平均AO，并将其命名为对称三角形IT2IF HM平均（STIT2IFHM）和加权对称三角IT2IF-Hamy平均（WSTIT2IFHM通过记住T2IFS的优点和HM算子的参数之间的多输入交互作用来解决决策问题。详细计算了该算子的几个令人羡慕的性质和特殊情况以及以下不同的参数值。为了涵盖目标（3），我们在STIT2IFS环境下建立了一种基于这些算子的MCDM方法，其中与每个备选方案相关的偏好用语言STIT2ifN表示。为了实现目标4，给出了一个数值例子来说明所提技术的实用性，并进行了详细的对比分析。最后，强调并详细讨论了所提方法在当前技术水平下的优势。
论文的其余部分组织如下。在第2节简要回顾了T2FS、IT2FS、T2IFS和HM的一些基本概念。在第3节，我们提出了对称TIT2IF集的概念及其所需的性质。第4节处理基于HM运算符的新AO，以适应STIT2IFN信息及其特殊情况。在第5节提出了一种基于WSTIT2IFHM算子的MCDM问题求解方法。下面讨论了一个实际示例第6节总结了一些结论第7节.

2.基本概念

在本节中，我们概述了在通用集上定义的T2FS、IT2FS和T2IFS的一些基本定义X（X）.
定义 1 ([42]).
2型模糊集（T2FS） A类 ⊆ X（X） ，定义为
A类 = { ( ( x个 , u个 A类 ) , μ A类 ( x个 , u个 A类 ) ) ∣ x个 ∈ X（X） , u个 A类 ∈ j个 x个 ⊆ [ 0 , 1 ] }
哪里 u个 A类 表示A的主隶属函数（PMF）， μ A类 ∈ [ 0 , 1 ] 称为二级隶属函数（SMF） j个 x个 ⊆ [ 0 , 1 ] 是x的PMF。
T2FS A的另一个等效表达式如下
A类 = ∫ x个 ∈ X（X） μ A类 ( x个 ) x个 = ∫ x个 ∈ X（X） ∫ u个 A类 ∈ j个 x个 ( （f） x个 ( u个 A类 ) ) u个 A类 / x个
定义 2 ([20]).
T2FS所有PMF的集合称为“不确定性足迹”（FOU），即：。， F类 O（运行） U型 ( A类 ) = ⋃ x个 ∈ X（X） j个 x个 .
然而，由于T2FS的计算量很大，研究人员更喜欢使用区间类型2（IT2）模糊集（IT2FS）来解决实际问题。
定义 三 ([44]).
当所有SMF的品位等于1时，T2FS转换为区间类型-2 FS。数学上，具有隶属函数的IT2FS A μ A类 ( x个 , u个 A类 ) ，可表示为方程式(三)或作为方程式(4):
A类 = { ( x个 , u个 A类 ) , μ A类 ( x个 , u个 A类 ) = 1 ∣ ∀ x个 ∈ X（X） , ∀ u个 A类 ∈ j个 x个 ⊆ [ 0 , 1 ] }
A类 = ∫ x个 ∈ X（X） ∫ u个 A类 ∈ j个 x个 1 / ( x个 , u个 A类 ) , j个 x个 ⊆ [ 0 , 1 ]
定义 4 ([44]).
IT2 FS通常由一个称为FOU的区域来描述，该区域受到两个成员函数（MF）的限制，即低MF（LMF） μ ̲ A类 ( x个 , u个 A类 ) 和上部MF（UMF） μ ¯ A类 ( x个 , u个 A类 ) 。这是FOU=[ μ ̲ A类 ( x个 , u个 A类 ) , μ ¯ A类 ( x个 , u个 A类 ) ].图1显示了具有三角形MF形状的IT2模糊数（IT2-FN）的图形表示。
定义 5 ([38,39]).
T2IFS是一组有序对，由元素的PMF和SMF组成，定义如下
A类 = 〈 ( x个 , u个 A类 , v（v） A类 ) , μ A类 ( x个 , u个 A类 ) , ν A类 ( x个 , v（v） A类 ) 〉 ∣ x个 ∈ X（X） , u个 A类 ∈ j个 x个 1 , v（v） A类 ∈ j个 x个 2
哪里 u个 A类 ( v（v） A类 ) 表示由PMF（PNMF）表示的A的主要成员身份（非成员身份）， μ A类 ( ν A类 ) 是A的二级隶属（非隶属）函数，用SMF（SNMF）表示 j个 x个 1 , j个 x个 2 ⊆ [ 0 , 1 ] 分别是x的PMF和PNMF。当SMF μ A类 ( x个 , u个 A类 ) = 1 和SNMF ν A类 ( x个 , v（v） A类 ) = 0 ，T2IFS转换为IT2 IFS。
定义 6 ([55]).
IT2 IFS，A由上下成员函数和非成员函数的边界函数描述，由LMF、UMF、LNMF和UNMF表示，定义为 μ ¯ A类 , μ ̲ A类 和 ν ¯ A类 , ν ̲ A类 有条件： 0 ≤ μ ¯ A类 + ν ̲ A类 ≤ 1 和 0 ≤ μ ̲ A类 + ν ¯ A类 ≤ 1 IT2IFS的FOU如所示图2三角形，数学定义为
F类 O（运行） U型 ( A类 ) = ⋃ x个 ∈ X（X） μ ̲ A类 ( x个 ) , μ ¯ A类 ( x个 ) , ν ̲ A类 ( x个 ) , ν ¯ A类 ( x个 )
定义 7 ([51]).
对于非负实数 x个 我 ( 我 = 1 , 2 , … , n个 ) ，哈米平均值（HM）如下所示
H（H） M（M） ( k个 ) ( x个 1 , x个 2 , ⋯ , x个 n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 x个 我 j个 1 k个 n个 k个
其中k是参数， n个 k个 = n个 ! k个 ! ( n个 − k个 ) ! 和 ( 我 1 , 我 2 , … , 我 k个 ) 穿过所有 k个 − 元组混合 ( 1 , 2 , … , n个 ) .

3.建议的对称三角区间T2IFS

在本节中，我们提出一个对称三角形IT2IFS，并描述其基本操作定律。
定义 8
设X是普适集合。对称三角形间隔T2 IFS（TIT2IFS）可表示为：
α = ζ α ( x个 ) , ϱ α ( x个 ) , φ α ( x个 ) , φ α ∗ ( x个 ) , ϑ α ( x个 ) , ϑ α ∗ ( x个 ) ∣ x个 ∈ X（X）
哪里 ζ α ( x个 ) , ϱ α ( x个 ) , φ α ( x个 ) , φ α ∗ ( x个 ) , ϑ α ( x个 ) , ϑ α ∗ ( x个 ) 实数是否满足不等式， ζ α ( x个 ) ≥ ϱ α ( x个 ) , 0 ≤ φ α ( x个 ) ≤ φ α ∗ ( x个 ) ≤ 1 , 0 ≤ ϑ α ∗ ( x个 ) ≤ ϑ α ( x个 ) ≤ 1 这样的话 φ α ( x个 ) + ϑ α ( x个 ) ≤ 1 和 φ α ∗ ( x个 ) + ϑ α ∗ ( x个 ) ≤ 1 .
为了方便起见，我们将这对表示为 α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ 称为对称三角IT2直觉模糊数（IT2IF），其中 ζ α ≥ ϱ α , φ α + ϑ α ≤ 1 , φ α ∗ + ϑ α ∗ ≤ 1 和 φ α ≤ φ α ∗ , ϑ α ≥ ϑ α ∗ STIT2IFN的图形表示如所示图3.
定义 9
对于STIT2IFN α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ ，由LMF、UMF、LNMF和UNMF表示的上下成员和非成员函数定义为
U型 M（M） F类 α ( x个 ) = φ α ∗ ϱ α ( x个 − ζ α + ϱ α ) , ζ α − ϱ α ≤ x个 < ζ α φ α ∗ , x个 = ζ α φ α ∗ ϱ α ( ζ α + ϱ α − x个 ) , ζ α < x个 ≤ ϱ α + ζ α ; U型 N个 M（M） F类 α ( x个 ) = ( ϑ α ∗ − 1 ) ( x个 − ζ α + ϱ α ) + ϱ α ϱ α ; ζ α − ϱ α ≤ x个 < ζ α ϑ α ∗ ; x个 = ζ α ( 1 − ϑ α ∗ ) ( x个 − ζ α ) + ϑ α ∗ ϱ α ϱ α ; ζ α < x个 ≤ ϱ α + ζ α
我 M（M） F类 α ( x个 ) = φ α ϱ α ( x个 − ζ α + ϱ α ) ; ζ α − ϱ α ≤ x个 < ζ α φ α ; x个 = ζ α φ α ϱ α ( ζ α + ϱ α − x个 ) ; ζ α < x个 ≤ ϱ α + ζ α ; 我 N个 M（M） F类 α ( x个 ) = ( ϑ α − 1 ) ( x个 − ζ α + ϱ α ) + ϱ α ϱ α ; ζ α − ϱ α ≤ x个 < ζ α ϑ α ; x个 = ζ α ( 1 − ϑ α ) ( x个 − ζ α ) + ϑ α ϱ α ϱ α ; ζ α < x个 ≤ ϱ α + ζ α
定义 10
STIT2IFN的评分功能 α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ 定义为
秒 ( α ) = ( 秒 x个 ( α ) , 秒 年 ( α ) ) = ζ α 2 φ α φ α ∗ φ α + φ α ∗ − ζ α 2 ϑ α ϑ α ∗ ϑ α + ϑ α ∗ , ϑ α + φ α ∗ 2 − φ α + ϑ α ∗ 2
定义 11
对于两个STIT2IFNα和β，一个顺序关系“ ( > ) “比较定义为
  • 如果 秒 x个 ( α ) > 秒 x个 ( β ) ，那么 α > β ;
  • 如果 秒 x个 ( α ) = 秒 x个 ( β ) , t吨 小时 电子 n个 秒 年 ( α ) > 秒 年 ( β ) ⇒ α > β ; 秒 年 ( α ) = 秒 年 ( β ) ⇒ α = β ;
定义 12
对于两个STIT2IFN α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ 和 β = ζ β , ϱ β , φ β , φ β ∗ , ϑ β , ϑ β ∗ , λ > 0 则其运行规律如下：
  • α ⊕ β = ζ α + ζ β , ϱ α + ϱ β , φ α φ β , φ α ∗ + φ β ∗ − φ α ∗ φ β ∗ , ϑ α + ϑ β − ϑ α ϑ β , ϑ α ∗ ϑ β ∗ ;
  • α ⊗ β = ζ α ζ β , ϱ α ϱ β , φ α + φ β − φ α φ β , φ α ∗ φ β ∗ , ϑ α ϑ β , ϑ α ∗ + ϑ β ∗ − ϑ α ∗ ϑ β ∗ ;
  • λ α = λ ζ α , λ ϱ α , ( φ α ) λ , 1 − ( 1 − φ α ∗ ) λ , 1 − ( 1 − ϑ α ) λ , ( ϑ α ∗ ) λ ;
  • α λ = ζ α λ , ϱ α λ , 1 − ( 1 − φ α ) λ , ( φ α ∗ ) λ , ( ϑ α ) λ , 1 − ( 1 − ϑ α ∗ ) λ
定理 1
对于STIT2IFNα和β，定义12中定义的操作再次是STIT2ifN。
证明。 
考虑两个STIT2IFN α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ 和 β = ζ β , ϱ β , φ β , φ β ∗ , ϑ β , ϑ β ∗ 根据定义8，我们有 ζ α ≥ ϱ α , φ α ≤ φ α ∗ , ϑ α ≥ ϑ α ∗ , φ α + ϑ α ≤ 1 , φ α ∗ + ϑ α ∗ ≤ 1 , ζ β ≥ ϱ β , φ β ≤ φ β ∗ , ϑ β ≥ ϑ β ∗ φ β + ϑ β ≤ 1 , φ β ∗ + ϑ β ∗ ≤ 1 .
让 α ⊕ β = γ = ζ γ , ϱ γ , φ γ , φ γ ∗ , ϑ γ , ϑ γ ∗ 因此，根据定义12，我们得到 ζ γ = ζ α + ζ β , ϱ γ = ϱ α + ϱ β , φ γ = φ α φ β , φ γ ∗ = φ α ∗ + β ∗ − φ α ∗ φ β ∗ , ϑ γ = ϑ α + ϑ β − ϑ α ϑ β , ϑ γ ∗ = ϑ α ∗ ϑ β ∗ 现在，展示一下 α ⊕ β 又是STIT2IFN，我们需要证明 ζ γ ≥ ϱ γ , φ γ ≤ φ γ ∗ , ϑ γ ≥ ϑ γ ∗ , φ γ + ϑ γ ≤ 1 , φ γ ∗ + ϑ γ ∗ ≤ 1 .
作为 ζ α ≥ ϱ α 和 ζ β ≥ ϱ β 这意味着 ζ γ ≥ ϱ γ .进一步 φ α ≤ φ α ∗ , φ β ≤ φ β ∗ , ϑ α ≥ ϑ α ∗ , ϑ β ≥ ϑ β ∗ , φ α + ϑ α ≤ 1 , φ α ∗ + ϑ α ∗ ≤ 1 这就说明了
φ γ + ϑ γ = φ α φ β + ϑ α + ϑ β − ϑ α ϑ β = φ α φ β + 1 − 1 − ϑ α 1 − ϑ β ≤ φ α φ β + 1 − φ α φ β ≤ 1
和
φ γ ∗ + ϑ γ ∗ = φ α ∗ φ β ∗ − φ α ∗ φ β ∗ + ϑ α ∗ ϑ β ∗ = 1 − 1 − φ α ∗ 1 − φ β ∗ + ϑ α ∗ ϑ β ∗ ≤ 1 − ϑ α ∗ ϑ β ∗ + ϑ α ∗ ϑ β ∗ ≤ 1
最后， φ γ = φ α φ β ≤ φ α ∗ φ β ∗ = φ γ ∗ 和 ϑ γ = ϑ α + ϑ β − ϑ α ϑ β = 1 − ( 1 − ϑ α ) ( 1 − ϑ β ) ≥ 1 − ( 1 − ϑ α ∗ ) ( 1 − ϑ β ∗ ) = ϑ γ ∗ .
因此，我们的结论是 α ⊕ β 变成STIT2IFN。同样，我们可以证明 α ⊗ β , α λ 和 λ α 也是STIT2IFN。

4.TIT2IF Hamy平均聚合算子

让 Ω 是所有非空STIT2IFN的集合 α 我 = ζ 我 , ϱ 我 , φ 我 , φ 我 ∗ , ϑ 我 , ϑ 我 ∗ , ( 我 = 1 ( 1 ) n个 ) 这里，我们为STIT2IFN提供基于HM的AO。

4.1. STIT2IFHM操作员

定义 13
STIT2IFHM是一种映射 S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） : Ω n个 → Ω 定义为
S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = ⨁ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ⨂ j个 = 1 k个 α 我 j个 1 k个 n个 k个
然后 S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) 称为对称三角形IT2IF Hamy平均算子，其中 k个 = 1 , 2 , … , n个 是参数和 n个 k个 = n个 ! k个 ! ( n个 − k个 ) ! 表示二项式系数。
定理 2
n个STIT2IFN的合计值 α 我 = ζ 我 , ϱ 我 , φ 我 , φ 我 ∗ , ϑ 我 , ϑ 我 ∗ 使用定义13再次表示STIT2IFN，其表示为
S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个
证明。 
结果的第一部分可以很容易地从定理1中得到。因此，只需证明该等式(12)保留。
根据STIT2IFN的运算法则，我们得到
⨂ j个 = 1 k个 α 我 j个 = ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 , ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) , ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ , ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ )
和
⨂ j个 = 1 n个 α 我 j个 1 k个 = ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 , ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 , ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 , ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个
因此，
⨁ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ⨂ j个 = 1 n个 α 我 j个 1 k个 = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − π j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个
随后，我们有
STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = ⨁ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ⨂ j个 = 1 k个 α 我 j个 1 k个 n个 k个 = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个 , 1 − π 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个
□
在下文中，我们研究了STIT2IFHM算子的某些性质。
定理 三。
（幂等性）如果 α 我 = α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ 那么就我而言
S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = α .
□
证明。 
自 α 我 = α = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ 为所有人我然后根据定理2，我们得到
STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α , α , … , α ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 1 k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α ) 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α ∗ 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − π j个 = 1 k个 ϑ α 1 k个 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α ∗ ) 1 k个 1 n个 k个 = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ζ α k个 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ϱ α k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ( 1 − φ α ) 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − φ α ∗ 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ϑ α 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ( 1 − ϑ α ∗ ) 1 n个 k个 = n个 k个 ( ζ α k个 ) 1 k个 n个 k个 , n个 k个 ( ϱ α k个 ) 1 k个 n个 k个 , 1 − ( 1 − φ α ) n个 k个 n个 k个 , 1 − 1 − φ α ∗ n个 k个 n个 k个 , 1 − 1 − ϑ α n个 k个 n个 k个 , 1 − ( 1 − ϑ α ∗ ) n个 k个 n个 k个 = ζ α , ϱ α , φ α , φ α ∗ , ϑ α , ϑ α ∗ = α
定理 4
（交换性）Let α 我 ( 我 = 1 , 2 , … , n个 ) 是STIT2IFN的集合，以及 α ¯ 我 是…的任意排列 α 我 。那么
S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α ¯ 1 , α ¯ 2 , … , α ¯ n个 ) = S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 )
证明。 
根据定义13，我们有
STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α ¯ 1 , α ¯ 2 , … , α ¯ n个 ) = ⨁ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ⨂ j个 = 1 k个 α ˜ 我 j个 1 k个 n个 k个 = ⨁ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ⨂ j个 = 1 k个 α 我 j个 1 k个 n个 k个 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 )
□
定理 5
（单调性）对于两种不同的STIT2IFN α 我 = ζ α 我 , ϱ α 我 , φ α 我 , φ α 我 ∗ , ϑ α 我 , ϑ α 我 ∗ 、和 β 我 = ζ β 我 , ϱ β 我 , φ β 我 , φ β 我 ∗ , ϑ β 我 , ϑ β 我 ∗ , ( 我 = 1 , 2 , … , n个 ) .如果 ζ α 我 ≤ ζ β 我 , ϱ α 我 ≥ ϱ β 我 , φ α 我 ≥ φ β 我 , φ α 我 ∗ ≤ φ β 我 ∗ , ϑ α 我 ≤ ϑ β 我 和 ϑ α 我 ∗ ≥ ϑ β 我 ∗ 那么就我而言
S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ≤ S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( β 1 , β 2 , … , β n个 ) .
证明。 
让 A类 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) 和 B类 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( β 1 , β 2 , … , β n个 ) 然后根据定理2，我们得到
A类 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个
和
B类 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( β 1 , β 2 , … , β n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ β 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 π j个 = 1 k个 ϱ β 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ β 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ β 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 , 1 − π 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ β 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ β 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个
自 ζ α 我 ≤ ζ β 我 这意味着
∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 ≤ ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ β 我 j个 1 k个 n个 k个
也， φ α 我 ≥ φ β 我 意味着
∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) ≤ π j个 = 1 k个 ( 1 − φ β 我 j个 ) ⇒ ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 ≤ ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ β 我 j个 ) 1 k个 ⇒ ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个 ≥ ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ β 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个
类似于 φ α 我 ∗ ≤ φ β 我 ∗ , ϑ α 我 ≤ ϑ α 我 和 ϑ α 我 ∗ ≥ ϑ β 我 ∗ 为所有人我，我们有
1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 ≤ 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ β 我 j个 1 k个 1 n个 k个 ; ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个 ≥ ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ β 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个 ;
和
1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 ≤ 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ β 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 .
因此，通过使用这些不等式和定义11，我们得到
STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ≤ STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( β 1 , β 2 , … , β n个 )
□
定理 6
n STIT2IFN的（有界性） α 我 , α − = 最小值 我 { ζ 我 } , 最大值 我 { ϱ 我 } , 最小值 我 { φ 我 } , 最大值 我 { φ 我 ∗ } , 最大值 我 { ϑ 我 } , 最小值 我 { ϑ 我 ∗ } 、和 α + = 最大值 我 { ζ 我 } , 最小值 我 { ϱ 我 } , 最大值 我 { φ 我 } , 最小值 我 { φ 我 ∗ } , 最小值 我 { ϑ 我 } , 最大值 我 { ϑ 我 ∗ } ，我们有
α − ≤ S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ≤ α +
证明。 
显然，我们得到 α − ≤ α 我 ≤ α + 因此，根据定理4和5，我们有
STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ≥ STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α − , α − , … , α − ) = α − STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ≤ STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α + , α + , … , α + ) = α +
□
引理 1 ([51]).
对于n个非负实数 x个 我 ，我们有
H（H） M（M） ( 1 ) ( x个 1 , x个 2 , … , x个 n个 ) ≥ H（H） M（M） ( 2 ) ( x个 1 , x个 2 , … , x个 n个 ) ≥ … ≥ H（H） M（M） ( n个 ) ( x个 1 , x个 2 , … , x个 n个 )
具有相等保持iff x个 1 = x个 2 = … = x个 n个 .
引理 2 ([54]).
让 x个 我 , 年 我 > 0 和 ∑ 我 = 1 n个 年 我 = 1 。那么
∏ 我 = 1 n个 x个 我 年 我 ≤ ∑ 我 = 1 n个 x个 我 年 我
定理 7
对于给定的STIT2IFN α 我 ，算子STIT2IFHM随参数k单调递减。
证明。 
对于STIT2IFN α 我 和 k个 = 1 , 2 , … , n个 ，我们表示
C类 ( k个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 π j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , Δ ( k个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , T型 ( k个 ) = ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α 我 j个 ) 1 k个 1 n个 k个 , S公司 ( k个 ) = 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − π j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 , T型 ∗ ( k个 ) = 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , S公司 ∗ ( k个 ) = ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α 我 j个 ∗ ) 1 k个 1 n个 k个
根据定理2，我们有
STIT公司 2 如果 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = C类 ( k个 ) , Δ ( k个 ) , T型 ( k个 ) , S公司 ( k个 ) , T型 ∗ ( k个 ) , S公司 ∗ ( k个 ) 和 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = C类 ( k个 + 1 ) , Δ ( k个 + 1 ) , T型 ( k个 + 1 ) , S公司 ( k个 + 1 ) , T型 ∗ ( k个 + 1 ) , S公司 ∗ ( k个 + 1 )
根据定义10和引理1，我们得到
秒 x个 ( STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ) ≥ ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 ≥ ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 + 1 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 + 1 ζ α 我 j个 1 k个 + 1 n个 k个 + 1 ≥ 秒 x个 ( STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) )
然后，出现了两种情况：
案例1
如果 秒 x个 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) > 秒 x个 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ，根据定义11，我们得到
STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) > STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 )
案例2
如果 秒 x个 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = 秒 x个 STIT公司 2 如果 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) 然后，通过引理1和2，我们得到
S公司 ( k个 ) = 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 ≥ 1 − ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 n个 k个 = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 n个 k个
检查的单调行为 S公司 ( k个 ) ，我们假设它随着k个即。，
S公司 ( n个 ) > S公司 ( n个 − 1 ) > … > S公司 ( 1 )
也是因为
S公司 ( 1 ) ≥ 1 − ∑ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 ∏ j个 = 1 1 1 − φ α 我 j个 ∗ n个 1 = 1 − n个 − ∑ 我 = 1 n个 ( φ α 我 ∗ ) n个 = ∑ 我 = 1 n个 φ α 我 ∗ n个
这意味着
S公司 ( n个 ) > S公司 ( 1 ) = ∑ 我 = 1 n个 φ α 我 ∗ n个 ⇒ ∏ 我 = 1 n个 φ α 我 ∗ 1 n个 > ∑ 我 = 1 n个 φ α 我 ∗ n个
这与引理2相矛盾。因此，使用参数k个, S公司 ( k个 ) 是单调递减的。同样，我们可以得到 T型 ∗ ( k个 ) 也随参数单调递减k个。此外，功能 T型 ( k个 ) 和 S公司 ∗ ( k个 ) 随参数单调增加k个.
因此，
秒 年 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) = S公司 ( k个 ) + T型 ∗ ( k个 ) 2 − T型 ( k个 ) + S公司 ∗ ( k个 ) 2 > S公司 ( k个 + 1 ) + T型 ∗ ( k个 + 1 ) 2 − T型 ( k个 + 1 ) + S公司 ∗ ( k个 + 1 ) 2 = 秒 年 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 )
因此，通过这两种情况，我们得到 STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) ≥ STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 + 1 ) ( α 1 , α 2 , … , α n个 ) . □
此外，我们将讨论STIT2IFHM算子关于参数k个.
  • 什么时候？ k个 = 1 ，方程式(12)简化为三角形IT2IF平均运算符。
    STIT公司 2 IFHM公司 ( 1 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α 米 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 ∏ j个 = 1 1 ζ α 我 j个 1 1 n个 1 , ∑ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 ∏ j个 = 1 1 ϱ α 我 j个 1 1 米 1 , ∏ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 1 1 − φ α 我 j个 1 1 1 n个 1 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 1 − π j个 = 1 1 φ α 我 j个 ∗ 1 1 1 n个 1 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 1 ϑ α 我 j个 1 1 1 n个 1 , ∏ 1 ≤ 我 1 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 1 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 1 1 n个 1 = ∑ 我 = 1 n个 ζ α 我 n个 , ∑ 我 = 1 n个 ϱ α 我 n个 , ∏ 我 = 1 n个 1 − 1 − φ α 我 j个 1 n个 , 1 − ∏ 我 = 1 n个 1 − φ α 我 j个 ∗ 1 n个 , 1 − ∏ 我 = 1 n个 1 − ϑ α 我 j个 1 n个 , ∏ 我 = 1 n个 1 − 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 n个 = ∑ 我 = 1 第页 ζ α 我 n个 , ∑ 我 = 1 n个 ϱ α 我 n个 , π 我 = 1 n个 φ α 我 j个 1 n个 , 1 − ∏ 我 = 1 n个 1 − φ α 我 j个 ∗ 1 n个 , 1 − ∏ 我 = 1 n个 1 − ϑ α 我 j个 1 n个 , ∏ 我 = 1 n个 ϑ α 我 j个 ∗ 1 n个
  • 什么时候？ k个 = n个 ，方程式(12)将简化为三角形IT2IF几何运算符。
    STIT公司 2 IFHM公司 ( 米 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 n个 n个 n个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ γ 我 j个 1 n个 n个 n个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ γ 我 j个 1 n个 1 n个 n个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 n个 1 n个 n个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 n个 1 n个 n个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 n个 1 n个 n个
    = π j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 n个 , ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 n个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 n个 , 1 − 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ γ 我 j个 ∗ 1 n个 , 1 − 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 n个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 n个 = ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 n个 , ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 n个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 n个 , ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 n个 , ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 n个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 n个

4.2. WSTIT2IFHM操作员

定义 14
对于n个STIT2IFN的集合， α 我 , 周 = ( 周 1 , 周 2 , ⋯ , 周 n个 ) T型 是的权重向量 α 我 ，其中 周 我 > 0 和 ∑ 我 = 1 n个 周 我 = 1 ，我们将WSTIT2IFHM运算符定义为
W公司 S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） 周 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α 米 ) = ⨁ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 ⨂ j个 = 1 k个 α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 ; 1 ≤ k个 < n个 ⨂ j个 = 1 k个 α j个 1 − 周 j个 n个 − 1 ; k个 = n个
然后 W公司 S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） 周 ( k个 ) 表示为加权对称三角形IT2IF Hamy平均算子。
定理 8
对于n个STIT2IFN α 我 = ζ 我 , ϱ 我 , φ 我 , φ 我 ∗ , ϑ 我 , ϑ 我 ∗ ( 我 = 1 , 2 , … , n个 ) ，通过方程式获得的值(19)也是STIT2IFN，如下所示
W公司 S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） 周 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α 米 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 1 n个 − 1 k个 , 1 − π 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 1 n个 − 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 1 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − π j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 1 n个 − 1 k个 ; 我 （f） 1 ≤ k个 < n个
和
W公司 S公司 T型 我 T型 2 我 F类 H（H） M（M） 周 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n个 ) = ∏ j个 = 1 k个 ζ α j个 1 − 周 j个 n个 − 1 , ∏ j个 = 1 k个 ϱ α j个 1 − 周 j个 n个 − 1 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α j个 1 − 周 j个 n个 − 1 , ∏ j个 = 1 k个 φ α j个 ∗ 1 − 周 j个 n个 − 1 , ∏ j个 = 1 k个 ϑ α j个 1 − 周 j个 n个 − 1 , 1 − π j个 = 1 k个 1 − ϑ α j个 ∗ 1 − 周 j个 n个 − 1 ; 我 （f） k个 = n个
证明。 
类似于定理2的证明。□
定理 9
运算符STIT2IFHM是WSTIT2IFHM运算符的特例。
证明。 
假设 周 = 1 n个 , 1 n个 , ⋯ , 1 n个 T型 ，那么根据定理5，我们有
  • 如果 1 ≤ k个 < n个 ，我们有
    WSTIT公司 2 IFHM公司 周 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − k个 n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − k个 米 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 k个 1 − k个 米 1 n个 − 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − k个 米 1 n个 − 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 − k个 米 1 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − k个 米 1 n个 − 1 k个 = ∑ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − k个 n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 n个 − k个 n个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − k个 n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 k个 n个 − k个 n个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 k个 1 − k个 n个 1 n个 k个 n个 − k个 n个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − k个 n个 1 n个 k个 n个 − k个 n个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − π j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 − k个 n个 1 n个 k个 n个 − k个 n个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − k个 n个 1 n个 k个 n个 − k个 n个 = ∑ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − π j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ α 我 j个 1 k个 1 n个 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < ⋯ < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 n个 k个 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n个 )
  • 如果 k个 = n个 ，我们有
    WSTIT公司 2 IFHM公司 周 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n个 ) = ∏ j个 = 1 k个 ζ α j个 1 − 1 n个 n个 − 1 , ∏ j个 = 1 k个 ϱ α j个 1 − 1 n个 n个 − 1 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α j个 1 − 1 n个 n个 − 1 , ∏ j个 = 1 k个 φ α j个 ∗ 1 − 1 n个 n个 − 1 , ∏ j个 = 1 k个 ϑ α j个 1 − 1 n个 n个 − 1 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ α j个 ∗ 1 − 1 n个 n个 − 1 = ∏ j个 = 1 k个 ζ α j个 1 n个 , π j个 = 1 k个 ϱ α j个 1 n个 , 1 − ∏ j个 = 1 k个 ( 1 − φ α j个 ) 1 n个 , ∏ j个 = 1 k个 ( φ α j个 ∗ ) 1 n个 , ∏ j个 = 1 k个 ( ϑ α j个 ) 1 n个 , 1 − π j个 = 1 k个 ( 1 − ϑ α j个 ∗ ) 1 n个 = STIT公司 2 IFHM公司 ( k个 ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n个 )
    □

5.基于WSTIT2IFHM算子的MCDM方法

在本节中，将在三角IT2IF（TIT2IF）环境下开发MCDM方法。问题描述以及程序步骤解释如下。
假设MCDM问题包括n个“不同的备选方案 A类 1 , A类 2 , … , A类 n个 和一组米'属性 C类 1 , C类 2 , … , C类 米 其权重向量为 周 = ( 周 1 , 周 2 , ⋯ , 周 米 ) T型 ，令人满意 周 j个 > 0 和 ∑ j个 = 1 米 周 j个 = 1 .一位专家对这些给定的备选方案进行了评估，并在TIT2IF环境下对其进行了评级，表示为 我 第页 j个 ( 第页 = 1 , 2 , … , n个 ; j个 = 1 , 2 , … , 米 ) 哪里 我 第页 j个 表示有关备选方案的语言信息。此外，属性的重要性在决策过程中起着主导作用。在处理MCDM问题的过程中，如果每个标准的相对系数w.r.t.之和很小，则说明此类标准对备选方案的总体值具有重大影响。类似地，如果相对系数之和较大，则表明该标准发挥的作用较小。因此，在特定标准下，备选方案的相对系数与相应标准的权重成反比。因此，使用斯皮尔曼方法确定标准的权重[56]算法1总结了哪些主要步骤。
算法1使用斯皮尔曼系数法测定重量。
1:
采用两个标准 C类 k个 和 C类 j个 然后将其相对系数计算为
Δ k个 j个 = 1 − 6 ∑ 第页 = 1 n个 ( 我 第页 k个 − 我 第页 j个 ) 2 米 ( 米 − 1 )
从而构造矩阵 Δ 米 × 米 = ( Δ k个 j个 ) 米 × 米 作为
Δ 米 × 米 = Δ 11 Δ 12 ⋯ Δ 1 米 Δ 21 Δ 22 ⋯ Δ 2 米 … … ⋱ … Δ 米 1 Δ 米 2 ⋯ Δ 米 米
2个：
使用公式计算每个标准的相对系数之和(22).
Δ j个 = ∑ k个 = 1 k个 ≠ j个 米 Δ j个 k个
三：
将每个标准的权重计算为
周 j个 = σ j个 ∑ j个 = 1 米 σ j个
哪里 σ j个 = 1 Δ j个 表示标准的贡献指数。
通过使用该权重向量，我们基于提出的AO总结了以下步骤，以便在TIT2IFS环境下对备选方案进行排序。
第1步：
在决策矩阵中排列每个备选方案的信息 我 ¯ 作为
我 ¯ = C类 1 C类 2 … C类 n个 A类 1 A类 2 ⋮ A类 米 我 ¯ 11 我 ¯ 12 … 我 ¯ 1 n个 我 ¯ 21 我 ¯ 22 … 我 ¯ 2 n个 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 我 ¯ 米 1 我 ¯ 米 2 … 我 ¯ 米 n个
哪里 我 ¯ 第页 j个 = ζ ¯ 第页 j个 , ϱ ¯ 第页 j个 , φ ¯ 第页 j个 , φ ¯ 第页 j个 ∗ , ϑ ¯ 第页 j个 , ϑ ¯ 第页 j个 ∗ 是由专家提供的STIT2IFN。
第二步：
计算归一化决策矩阵我从 我 ¯ 通过使用归一化公式
我 第页 j个 = ζ ¯ 第页 j个 , ϱ ¯ 第页 j个 , φ ¯ 第页 j个 , φ ¯ 第页 j个 ∗ , ϑ ¯ 第页 j个 , ϑ ¯ 第页 j个 ∗ ; 对于 这个 利益 类型 标准 ζ ¯ 第页 j个 , ϱ ¯ 第页 j个 , ϑ ¯ 第页 j个 , ϑ ¯ 第页 j个 ∗ , φ ¯ 第页 j个 , φ ¯ 第页 j个 ∗ ; 对于 这个 成本 类型 标准
第三步：
使用算法1计算每个标准的权重向量。
第4步：
合并STIT2IFN的不同值 我 第页 j个 ( j个 = 1 , 2 , … , 米 ) 变成一个 我 第页 每个备选方案的 A类 第页 ( 第页 = 1 , 2 , … , n个 ) 使用WSTIT2IFHM运算符，如下所示：
我 第页 = WSTIT公司 2 IFHM公司 周 ( k个 ) ( 我 第页 1 , 我 第页 2 , ⋯ , 我 第页 n个 ) = ∑ 1 ≤ 第页 1 < … < 第页 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 第页 j个 ∏ j个 = 1 k个 ζ 第页 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∑ 1 ≤ 第页 1 < … < 第页 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 第页 j个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ 第页 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 第页 1 < … < 第页 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ 第页 j个 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 第页 j个 1 n个 − 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 第页 1 < … < 第页 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ 第页 j个 ∗ 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 第页 j个 1 n个 − 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 第页 1 < … < 第页 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 ϑ 第页 j个 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 第页 j个 1 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 第页 1 < … < 第页 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − ϑ 第页 j个 ∗ 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 第页 j个 1 n个 − 1 k个
第五步：
计算 我 第页 通过使用方程式(10).
第6步：
使用定义11中定义的顺序关系对所有备选方案进行排序，从而选择最可行的备选方案。

6.示例

上述方法已通过如下所述的数值示例进行了说明。

6.1. 案例研究

贾坎德是印度东部的一个州，拥有印度40%的矿产资源，是仅次于恰蒂斯加尔邦的第二大矿产资源大国。它还以其丰富的森林资源而闻名。贾坎德的贾舍德布尔、博卡罗和丹巴德城市以工业闻名于世。此后，它成为了印度普遍存在的贫困状态，因为它主要是一个农村国家，76%的人口生活在依赖农业和工资的村庄。只有30%的村庄通过公路相连，只有55%的村庄通上了电力和其他设施。但在今天的生活中，每个人都在为了更好的生活而快速改变自己，因此，每个人都搬到城市去寻找更好的工作。为了阻止这种移民，贾坎德政府希望在农村地区建立以农业为基础的产业。为此，政府组织了“MOMENTUM JHARKHAND”全球投资者2017年在兰奇提交的文件，邀请公司在农村地区投资。政府宣布了在农村地区建立五家食品加工厂的各种设施，并考虑了公司选择设立这些工厂所需的六个属性，即项目成本 ( G公司 1 ) ，完成时间 ( G公司 2 ) 、技术能力 ( G公司 三 ) ，财务状况 ( G公司 4 ) ，公司背景 ( G公司 5 ) ，参考以前的项目 ( G公司 6 ) 并分配每个属性的相对重要性的权重。这六家公司以替代品的形式成立，即Surya Food and Agro Pvt.Ltd。 ( A类 1 ) ，Mother Dairy果蔬私人有限公司。 ( A类 2 ) ，帕尔产品有限公司。 ( A类 三 ) ，Heritage食品有限公司。 ( A类 4 ) ，Verka私人有限公司。 ( A类 5 ) 和Reliance私人有限公司。 ( A类 6 ) 对这些项目感兴趣。然后，政府的主要目标是从中选择最佳公司来完成这项任务。为了为所需任务找到最佳可行的替代方案，当局请专家对这些替代方案进行评估，并根据语言术语（LT）对其偏好进行评分。标准化LT，如“甚高”（VH）、“高”（H）、“中”（M）、“中低”（ML）、”低”（L）、“甚低”（VL），是根据STIT2IFN定义的表1此外，与LT对应的互补关系如所示表2.
执行上述步骤是为了找到最佳备选方案。
第1步：
专家对每个备选方案进行了评估，并给出了其LT评级值，总结如下
我 ¯ = C类 1 C类 2 C类 三 C类 4 C类 5 C类 6 C类 7 A类 1 A类 2 A类 三 A类 4 A类 5 A类 6 五 H（H） H（H） M（M） M（M） H（H） H（H） 五 H（H） H（H） M（M） M（M） 我 H（H） 五 H（H） H（H） 五 H（H） 五 H（H） H（H） 五 H（H） 五 H（H） M（M） M（M） H（H） 我 五 我 M（M） H（H） 五 我 M（M） H（H） H（H） 五 我 M（M） H（H） H（H） 五 H（H） H（H） 五 我 H（H） M（M） 五 我 我 M（M） 我 五 我 五 H（H） M（M） 五 我 我 H（H）
第二步：
作为标准 C类 1 和 C类 2 是成本类型，因此我们使用表2和方程式(25)，我们得到
我 = C类 1 C类 2 C类 三 C类 4 C类 5 C类 6 C类 7 A类 1 A类 2 A类 三 A类 4 A类 5 A类 6 五 我 我 M（M） M（M） H（H） H（H） 五 H（H） H（H） M（M） M（M） H（H） H（H） 五 H（H） H（H） 五 H（H） 五 H（H） 我 五 我 五 H（H） M（M） M（M） H（H） 我 五 我 M（M） 我 五 H（H） M（M） H（H） H（H） 五 我 M（M） H（H） H（H） 五 我 我 五 我 H（H） M（M） 五 我 我 M（M） H（H） 五 H（H） 五 H（H） M（M） 五 我 我 H（H）
第三步：
应用算法1计算每个准则的权重向量。对于它，我们遵循算法的步骤并总结如下
（a）
通过使用方程式(20)，构造相对系数矩阵 Δ 对于每个标准
Δ = C类 1 C类 2 C类 三 C类 4 C类 5 C类 6 C类 7 C类 1 C类 2 C类 三 C类 4 C类 5 C类 6 C类 7 1 0.9666 0.9344 0.9094 0.9044 0.9174 0.9344 0.9666 1 0.9344 0.9311 0.8444 0.9144 0.9694 0.9344 0.9344 1 0.9344 0.9014 0.9144 0.9374 0.9094 0.9314 0.9344 1 0.9414 0.9464 0.9574 0.9044 0.8444 0.9014 0.9414 1 0.9504 0.9004 0.9174 0.9144 0.9144 0.9464 0.9504 1 0.9714 0.9344 0.9694 0.9374 0.9574 0.9004 0.9714 1
（b）
每个标准的相对系数之和通过以下等式计算(22)然后得到
Δ 1 = 5.564 , Δ 2 = 5.558 , Δ 三 = 5.554 , Δ 4 = 5.618 , Δ 5 = 5.440 , Δ 6 = 5.612 , Δ 7 = 5.668 .
（c）
通过使用方程式(23)，每个准则的权重向量为
周 1 = 0.1431 , 周 2 = 0.1432 , 周 三 = 0.1433 , 周 4 = 0.1417 , 周 5 = 0.1463 , 周 6 = 0.1419 , 周 7 = 0.1405 .
第4步：
使用WSTIT2IFHM运算符将所有值聚合为一个集合值 我 第页 ( 第页 = 1 , 2 , … , 6 ) 在这里，在不失一般性的情况下，我们 k个 = 2 得到的结果是
我 1 = WSTIT公司 2 IFHM公司 周 ( 2 ) ( 我 11 , 我 12 , ⋯ , 我 17 ) = ∑ 1 ≤ 第页 1 < 第页 2 ≤ 7 1 − ∑ j个 = 1 2 周 1 j个 ∏ j个 = 1 2 ζ 1 j个 1 2 6 2 , ∑ 1 ≤ 第页 1 < 第页 2 ≤ 7 1 − ∑ j个 = 1 2 周 第页 j个 ∏ j个 = 1 2 ϱ 第页 j个 1 2 6 2 , ∏ 1 ≤ 第页 1 < 第页 2 ≤ 7 1 − ∏ j个 = 1 2 1 − φ 第页 j个 1 2 1 − ∑ j个 = 1 2 周 第页 j个 1 6 2 , 1 − ∏ 1 ≤ 第页 1 < 第页 2 ≤ 7 1 − ∏ j个 = 1 2 φ 第页 j个 ∗ 1 2 1 − ∑ j个 = 1 2 周 第页 j个 1 6 2 , 1 − ∏ 1 ≤ 第页 1 < 第页 2 ≤ 7 1 − ∏ j个 = 1 2 ϑ 第页 j个 1 2 1 − ∑ j个 = 1 2 周 第页 j个 1 6 2 , ∏ 1 ≤ 第页 1 < 第页 2 ≤ 7 1 − ∏ j个 = 1 2 1 − ϑ 第页 j个 ∗ 1 2 1 − ∑ j个 = 1 2 周 第页 j个 1 6 2 = ( 0.5154 , 0.2276 , 0.7820 , 0.8314 , 0.1596 , 0.1339 )
同样，我们有
我 2 = ( 0.6950 , 0.3239 , 0.8546 , 0.9053 , 0.0974 , 0.0687 ) ; 我 三 = ( 0.3846 , 0.1681 , 0.7166 , 0.7633 , 0.2243 , 0.1927 ) ; 我 4 = ( 0.5481 , 0.2612 , 0.7952 , 0.8449 , 0.1436 , 0.1210 ) ; 我 5 = ( 0.3201 , 0.1342 , 0.6769 , 0.7244 , 0.2642 , 0.2292 ) ; 我 6 = ( 0.5272 , 0.2390 , 0.7914 , 0.8414 , 0.1536 , 0.1232 )
第五步：
的得分值 我 第页 ( 第页 = 1 , 2 , … , 6 ) 由方程式计算(10)然后得到
秒 ( 我 1 ) = ( 0.3404 , 0.0375 ) ; 秒 ( 我 2 ) = ( 0.5550 , 0.0396 ) ; 秒 ( 我 三 ) = ( 0.2046 , 0.0392 ) 秒 ( 我 4 ) = ( 0.3770 , 0.0362 ) ; 秒 ( 我 5 ) = ( 0.1455 , 0.0412 ) ; 秒 ( 我 6 ) = ( 0.3579 , 0.0402 )
第6步：
自 秒 x个 ( 我 2 ) > 秒 x个 ( 我 4 ) > 秒 x个 ( 我 6 ) > 秒 x个 ( 我 1 ) > 秒 x个 ( 我 三 ) > 秒 x个 ( 我 5 ) 因此，通过定义11，我们得到了备选方案的排名顺序为 A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5 这里的“≻”表示“首选”。因此， A类 2 是最好的选择。

6.2. 的影响k个关于备选方案

牢记调查参数影响的最终目标k个关于备选方案的最终定位顺序，我们使用k个在我们的测试中。在这里n个在我们的情况下是7，所以我们换班k个从1到7，以及与拟议技术相关的结果概述于表3从该表中可以看出，随着多输入选项交互作用的扩大，其总体得分估计值减小，这建议建议的操作员向决策者反映风险偏好。该检查将根据分析员的决定向其提出独特的决定。例如，如果他将在汇总期间涵盖风险参数，那么他们将为参数分配一点激励k个随着评分的增加，如果分析员对选择持悲观态度，那么对k个可以在过程中分配。
此外，在其他一些现有的Bonferroni均值（BM）和广义Bonferrroni均值（GBM）算子中，信息在聚合过程中只需要两个或三个参数。此外，BM操作员还需要两个附加参数 ( 第页 , q个 ) 而这三个参数 ( 第页 , q个 , 第页 ) 从无限有理集合中获取GBM。因此，在这种情况下，计算复杂度太高。另一方面，在建议的运算符中，只有一个参数k个从一个有限整数集，因此计算复杂度低，易于理解。最后，通过设置 k个 = 1 , k个 = 2 和 k个 = n个 分别是。随后，我们提出的算子和策略得到了更多的总结，适用于解决决策问题。

6.3. 比较研究

在本节中，我们对所提出的方法结果与现有的一些方法结果进行了一些比较分析[36,46,47,48]在不确定的环境下。根据这些结果计算得出的问题总结如下：
  • 在[36]，作者提出了2型模糊环境下的加权几何Bonferroni均值算子，用IT2FWGBM表示，定义为
    d日 k个 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 第页 , q个 ( A类 1 , A类 2 , … , A类 米 ) = 1 第页 + q个 ⨂ 我 , j个 = 1 我 ≠ j个 米 第页 ( A类 我 ) 周 我 ⊕ q个 ( A类 j个 ) 周 j个 1 / 米 ( 米 − 1 )
    通过应用方程式(28)对于所考虑的数据，我们得到了每个备选方案对应的聚合值，如下所示
    d日 1 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 1 , 1 ( A类 11 , A类 12 , A类 13 , A类 14 , A类 15 , A类 16 , A类 17 ) = ( 0.8321 , 0.9050 , 0.9050 , 0.9534 , 0.6065 ) d日 2 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 1 , 1 ( A类 21 , A类 22 , A类 23 , A类 24 , A类 25 , A类 26 , A类 27 ) = ( 0.8671 , 0.9486 , 0.9486 , 1 , 0.7500 ) d日 三 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 1 , 1 ( A类 31 , A类 32 , A类 33 , A类 34 , A类 35 , A类 36 , A类 37 ) = ( 0.7980 , 0.8676 , 0.8676 , 0.9137 , 0.6015 ) d日 4 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 1 , 1 ( A类 41 , A类 42 , A类 43 , A类 44 , A类 45 , A类 46 , A类 47 ) = ( 0.8317 , 0.9131 , 0.9131 , 0.9656 , 0.6080 ) d日 5 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 1 , 1 ( A类 51 , A类 52 , A类 53 , A类 54 , A类 55 , A类 56 , A类 57 ) = ( 0.7802 , 0.8456 , 0.8456 , 0.8895 , 0.6085 ) d日 6 = 信息技术 2 FWGBM公司 周 1 , 1 ( A类 61 , A类 62 , A类 63 , A类 64 , A类 65 , A类 66 , A类 67 ) = ( 0.8318 , 0.9073 , 0.9073 , 0.9569 , 0.6000 )
    因此，这些汇总数字的得分值为 秒 ( d日 1 ) = 0.5405 , 秒 ( d日 2 ) = 0.7079 , 秒 ( d日 三 ) = 0.5182 , 秒 ( 我 4 ) = 0.5450 , 秒 ( 我 5 ) = 0.5052 、和 秒 ( 我 6 ) = 0.5418 因此，所有备选方案的最终排名 A类 k个 ( k个 = 1 , 2 , … , 6 ) 被发现为
    A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
  • 如果我们使用秦建议的现有WSTIT2FHM运算符[46]在T2FS环境下
    我 第页 = WSTIT公司 2 FHM公司 ( k个 ) ( A类 1 , A类 2 , … , A类 n个 ) = ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 ∏ j个 = 1 k个 ζ α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∑ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 ∏ j个 = 1 k个 ϱ α 我 j个 1 k个 n个 − 1 k个 , ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 1 − φ α 我 j个 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 1 n个 − 1 k个 , 1 − ∏ 1 ≤ 我 1 < … < 我 k个 ≤ n个 1 − ∏ j个 = 1 k个 φ α 我 j个 ∗ 1 k个 1 − ∑ j个 = 1 k个 周 我 j个 1 n个 − 1 k个 ,
    然后，对应于每个备选方案的聚合值（通过取 k个 = 2 )获得方式为
    我 1 = ( 0.5154 , 0.2276 , 0.7820 , 0.8314 ) ; 我 2 = ( 0.6950 , 0.3239 , 0.8546 , 0.9054 ) 我 三 = ( 0.3846 , 0.1681 , 0.7166 , 0.7633 ) ; 我 4 = ( 0.5481 , 0.2612 , 0.7951 , 0.8449 ) 我 5 = ( 0.3201 , 0.1342 , 0.6769 , 0.7244 ) ; 我 6 = ( 0.5272 , 0.2390 , 0.7914 , 0.8414 )
    因此，得分值为
    秒 ( 我 1 ) = ( 0.2077 , 0.8067 ) ; 秒 ( 我 2 ) = ( 0.3055 , 0.8799 ) ; 秒 ( 我 三 ) = ( 0.1422 , 0.7400 ) 秒 ( 我 4 ) = ( 0.2245 , 0.8200 ) ; 秒 ( 我 5 ) = ( 0.1120 , 0.7006 ) ; 秒 ( 我 6 ) = ( 0.2150 , 0.8164 )
    因此，排序是
    A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
从上述检查中可以看出，备选方案的排序保持不变，但计算过程完全是唯一的。例如，在[36,46]作者通过考虑考试期间的成员程度，在TIT2FN下引入了AO。但很明显，在聚合过程中，非成员国的水平同样占据主导地位。因此，这些方法的结果过程[36,46]在某些特定约束条件下，非成员国的程度比协议的程度更重要，这可能是不合理的。
然而，除此之外，我们还对我们提出的方法和上述方法进行了一些特性比较，如下所示表4.
在[47]作者提出了一种用模糊加权平均解决问题的分析方法。在[36]通过同时考虑UMF和LMF的值来聚合IT2FS信息，作者提出了BM。另一方面，本研究基于HM算子，HM算子在信息融合过程中比BM、GBM等其他算子具有更强的适应性和鲁棒性。HM算子的突出特点是能够捕捉到两个以上输入参数之间的相互关系k个从有限整数集。此外，在[46]，作者通过仅考虑成员度来开发HM算子，但在实际问题中，DM有时不可能仅在接受度方面给出他们的偏好。因此，处理拒绝度不等于一减去接受度的问题需要非隶属度。也通过与基于AHP的方法进行比较[48]，提出的方法不需要任何软件包来计算结果，而提出的技术[48]因此，该技术的计算复杂性相对容易。此外，基于AHP的技术通常依赖于各种参数，因此在参数选择不当的情况下，最终排名可能会在一段时间内出现不一致。另一方面，所提出的方法绘制了一个更真实的排名结果，因为它可以终止差异，弥补现有聚合方法的缺陷，这些方法没有捕捉到专家的效用或决策偏好，并以更少的信息损失实现了更稳定和值得称赞的相互关系结果。该方法考虑了备选方案的一致性，并强调了与备选方案的任何解决方案相关的重要性和相互作用。另一方面，基于AHP的技术擅长于仅计算非互释方案的最优排序值。

7.结论

本文试图展示一些新的AO，以适应IT2IF条件。IT2IFS是传统FS的扩展之一，IFS还考虑了主成员函数的等级。另一方面，在实际应用问题中，标准相互关系现象频繁发生。为了解决这个问题，Hamy means（HM）操作符是最关键的操作符之一，它可以捕捉到多输入参数之间的相互关系。此外，为了降低IT2IFS的计算复杂度，我们引入了对称IT2IFS并刻画了一些运算法则。然后，在保持STIT2IFS算子和HM算子优点的基础上，在给定的2型直觉不确定性条件下，给出了对称TIT2直觉模糊HM算子和加权对称TIT2IFHM算子。这些运营商的各种有益特征已经得到认可。此外，针对这些算子，引入了一种决策方法来解决MCDM问题。该方法已经过尝试，并通过数值例子进行了说明，与现有方法相比，它可以通过消除更多的模糊性来有效地处理可用信息。与现有算子相比，该算子的主要优点是只需要一个参数k个从有限整数集得到，而另一个需要从无限有理集（如BM和GBM等）得到多个有理集，因此计算复杂度低且易于理解。此外，通过设置 k个 = 1 , k个 = 2 和 k个 = n个 因此，它表达了一种处理决策问题的更好的技术，并带来了额外的好处。
在未来的研究中，我们将把目前的研究扩展到一些更广义的环境，并将其应用到许多其他领域，例如图论、交通评估、使用不同不确定环境的资源管理[57,58,59,60,61,62].

作者贡献

概念化、H.G.和S.S。；方法，H.G。；验证和调查，S.S.和H.G。；书面原稿编制，H.G。；写作-评论和编辑，H.G。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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对称10 00401 g001 550
图1。IT2FS的LMF（虚线）、UMF（实线）、FOU（阴影）A类.
图1。IT2FS的LMF（虚线）、UMF（实线）、FOU（阴影）A类.
对称10 00401 g001
对称10 00401 g002 550
图2。用于IT2IFS的LMF（虚线）、UMF（实线）、LNMF（圆点）、UNMF（实心）、FOU（阴影）A类.
图2。用于IT2IFS的LMF（虚线）、UMF（实线）、LNMF（圆点）、UNMF（实心）、FOU（阴影）A类.
对称10 00401 g002
对称10 00401 g003 550
图3。STIT2IFN代表 α .
图3。STIT2IFN代表 α .
对称10 00401 g003
表
表1。语言等级和核心聚合值。
表1。语言等级和核心聚合值。
长期股权三角形IT2IFN
VL公司（0.20,0.10,0.60,0.65,0.35,0.30）
我(0.30,0.10,0.65,0.70,0.30,0.25)
毫升(0.40,0.20,0.70,0.75,0.20,0.18)
M（M）(0.50,0.20,0.75,0.80,0.16,0.15)
MH公司(0.60,0.30,0.80,0.85,0.13,0.12)
H（H）(0.70,0.30,0.85,0.90,0.10,0.08)
甚高频(0.80,0.40,0.90,0.95,0.07,0.03)
表
表2。语言等级和称赞。
表2。语言等级和称赞。
书信电报VL公司我毫升M（M）MH公司H（H）VH公司
补充LTVH公司H（H）MH公司M（M）毫升我VL公司
表
表3。的影响k个关于备选方案的排名。
表3。的影响k个关于备选方案的排名。
的值k个得分值( 秒 x个 , 秒 年 )备选方案排名顺序
A类 1 A类 2 A类 三 A类 4 A类 5 A类 6
1(0.3615, 0.0762)(0.5627, 0.0523)(0.2268, 0.0872)(0.3953, 0.0677)(0.1577, 0.0702)(0.3836, 0.0856) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
2(0.3404, 0.0375)(0.5550, 0.0396)(0.2046, 0.0392)(0.3770, 0.0362)(0.1455, 0.0412)(0.3579, 0.0402) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
三(0.3324, 0.0241)（0.5526，0.0840）(0.1997, 0.0250)(0.3702, 0.0268)(0.1427, 0.0321)(0.3484, 0.0240) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
4(0.3285, 0.0177)(0.5507, 0.0329)(0.1976, 0.0181)(0.3656, 0.0203)(0.1415, 0.0275)(0.3437, 0.0161) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
5(0.3260, 0.0138)(0.5498, 0.0314)(0.1964, 0.0141)(0.3631, 0.0170)(0.1409, 0.0247)(0.3408, 0.0115) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
6（0.3244，0.0113）(0.5492, 0.0304)(0.1957, 0.0114)(0.3613, 0.0148)(0.1405, 0.0228)(0.3389, 0.0086) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
7(0.3232, 0.0095)(0.5488, 0.0298)(0.1952, 0.0094)(0.3601, 0.0131)（0.1402，0.0215）(0.3376, 0.0064) A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 6 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 5
表
表4。不同方法的特性比较。
表4。不同方法的特性比较。
方法是否捕获是否捕获它是否使标准是否权重是否描述是否灵活到
二者的相互关系多重的相互关系灵活方法取决于信息使用表达更广泛的内容
聚合的参数聚合的参数参数向量集体信息语言特点信息范围
Gong等人[36]✓×××××
刘和王[47]××××××
佩德里奇和宋[48]×××✓✓×
秦[46]✓✓✓×✓×
建议的方法✓✓✓✓✓✓

分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

辛格、苏克维和哈里什·加格。2018年，“对称三角区间2型直觉模糊集及其在多准则决策中的应用”对称10，9号：401。https://doi.org/10.3390/sym10090401

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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