The Absolute Ruin Insurance Risk Model with a Threshold Dividend Strategy

Yu, Wenguang; Huang, Yujuan; Cui, Chaoran

doi:10.3390/sym10090377

开放式访问第条

具有阈值分红策略的绝对破产保险风险模型

通过

俞文光

^1,*,

黄玉娟

^2,*

和

崔朝然

^三

¹

山东财经大学保险学院，济南250014

²

山东交通大学科学院，济南250357

^三

山东财经大学计算机科学与技术学院，济南250014

^*

应向其发送信件的作者。

对称 2018,10(9), 377;https://doi.org/10.3390/sym10090377

收到的提交文件：2018年7月29日/修订日期：2018年8月28日/接受日期：2018年8月29日/发布日期：2018年9月3日

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版本说明

摘要

:

对绝对破产保险风险模型进行了修正，加入了一些有价值的市场经济信息因素，如信用利息、借方利息和股息支付。这些信息对于保险公司控制风险尤为重要。我们进一步假设，当准备金为负时，保险公司能够融资并继续运营。我们研究了一些利息精算诊断的积分微分方程。我们还提供了数值示例来解释相关参数对精算诊断的影响。

关键词：

绝对破产;积分微分方程;力矩发生函数;阈值股息策略;借方利息

MSC公司：

39A14；39A50；60H30；91B30型

1.简介

考虑到经典的保险风险模型，公司的现金流由风险准备金过程建模

{{R（右）}_{t吨}^{u个}; t吨 \geq 0}

，使用

\begin{matrix} {R（右）}_{t吨}^{u个} = u个 + 第页 t吨 - S公司 (t吨), t吨 \geq 0 . \end{matrix}

(1)

在这里，

{R（右）}_{0}^{u个} = u个 \geq 0

表示初始储备金，以及

第页 > 0

表示假定为常数的保费密度。

S公司 (t吨) = \sum_{k个 = 1}^{{N个}_{t吨}} {Y（Y）}_{k个}

表示总索赔过程的是一个复合泊松过程，由泊松率给出

λ > 0

,

{{Y（Y）}_{k个}; k个 = 1, 2, \dots}

代表索赔规模过程，与泊松过程无关

{{N个}_{t吨}; t吨 \geq 0}

它们是具有分布函数的i.i.d.随机变量

G公司 (年)

和平均值

μ > 0

在本文中，为了使风险模型更接近实际操作情况，我们添加了与风险准备金过程相关的其他三个属性(1)即借方利息、贷方利息和股息支付。特别是，我们区分了破产和绝对破产。也就是说，当保险公司的准备金为负时，保险公司可以借款并继续经营。

应该提到的是，许多作者都研究过绝对破产的问题，例如蔡[1]研究了绝对破产情形下的Gerber-Shiu函数。王和尹[2]研究了带有障碍策略的绝对破产模型。Wang等人[三]，Yuan等人[4]Peng等人[5]扩展了王和尹的工作[2]并用障碍策略研究了利息收入。Wang等人[6]进一步考虑了绝对破产风险模型下的阈值股息壁垒。李和卢[7]进一步探讨了绝对破产下Markov-dependent风险模型的情形。这种马尔科夫相关风险模型的优点是，不同的经济条件可以用马尔科夫链的不同状态来表示。这种模式可以更好地应对经济环境的变化。有关绝对破产问题的最新研究，请参见Huu等人[8]、罗和塔克萨[9]，Yang等人[10,11]，于[12]、蔡和杨[13]，朱[14,15]、毕和张[16]、刘和杨[17]、曾和李[18]，Zeng等人[19]、彭和王[20,21]和Avram等人[22].

受上述文献的启发，在我们的模型中，我们根据准备金的大小将风险准备金过程分为三种情况。当风险准备金在零和固定水平之间时(

b条 > 0

)，保费收入率为

{第页}_{1}

不产生利息，也不支付股息。风险准备金达到水平时b条，贷款利率为

γ > 0

而且股息会以一定的比率持续支付给股东

ε (0 < ε \leq {第页}_{1})

.此时保费收入率为

{第页}_{2} = {第页}_{1} - ε

当风险准备金为负值时，公司能够以借方利率融资

β > 0

并继续经营业务。

通过将上述三个特征纳入储备过程

{{R（右）}_{t吨}^{u个}; t吨 \geq 0}

第页，共页(1)，新的风险准备金流程

{{R（右）}_{t吨}^{u个, b条}; t吨 \geq 0}

由以下方程式得出

\begin{matrix} d日 {R（右）}_{t吨}^{u个, b条} = \{\begin{matrix} ({第页}_{2} + γ {R（右）}_{t吨}^{u个, b条}) d日 t吨 - d日 S公司 (t吨), {R（右）}_{t吨}^{u个, b条} > b条, \\ {第页}_{1} d日 t吨 - d日 S公司 (t吨), 0 \leq {R（右）}_{t吨}^{u个, b条} \leq b条, \\ ({第页}_{1} + β {R（右）}_{t吨}^{u个, b条}) d日 t吨 - d日 S公司 (t吨), - {第页}_{1} / {R（右）}_{t吨}^{u个, b条} \leq 0 . \end{matrix} \end{matrix}

(2)

在这里，

{R（右）}_{0}^{u个, b条} = u个

,

S公司 (t吨) = \sum_{k个 = 1}^{{N个}_{t吨}} {Y（Y）}_{k个}

在模型中定义(1).

让我们表示集合

{T型}_{b条} = inf公司 {t吨 \geq 0 | {R（右）}_{t吨}^{u个, b条} \leq - {第页}_{1} / β}

通过

{T型}_{b条}

具有

{T型}_{b条} = \infty

如果

{R（右）}_{t吨}^{u个, b条} > - {第页}_{1} / β

对所有人来说

t吨 \geq 0

并将其命名为绝对毁灭的时间。

α (α > 0)

被定义为利益的力量，以及

D类 (t吨)

是所有应付股息的累计价值，直至t吨时间。然后，直到绝对破产时间为止所有股息的现值由下式给出

\begin{matrix} {D类}_{u个, b条} = \int_{0}^{{T型}_{b条}} {e（电子）}^{- α t吨} d日 D类 (t吨) = ε \int_{0}^{{T型}_{b条}} {e（电子）}^{- α t吨} 我 ({R（右）}_{t吨}^{u个, b条} > b条) d日 t吨 . \end{matrix}

(3)

在这里，

我 (\cdot)

表示指示器功能。值得注意的是

{D类}_{u个, b条}

满足

0 < {D类}_{u个, b条} \leq ε \int_{0}^{+ \infty} {e（电子）}^{- α t吨} d日 t吨 = ε / α

.

接下来，我们重点关注以下四个相关的精算功能

{D类}_{u个, b条}

.

力矩生成函数

{D类}_{u个, b条}

是

\begin{matrix} 问 (u个, z（z）; b条) = 电子 [{e（电子）}^{z（z） {D类}_{u个, b条}}], \end{matrix}

(4)

对于某些值z（z）存在的位置。

这个n个的第阶矩函数

{D类}_{u个, b条}

是

\begin{matrix} {W公司}_{n个} (u个; b条) = 电子 {{[{D类}_{u个, b条}]}^{n个}]}, n个 \in N个, \end{matrix}

(5)

具有

{W公司}_{0} (u个; b条) = 1

.

绝对破产时间的拉普拉斯变换(

ρ

是一个正常数）是

\begin{matrix} φ (u个; b条) = 电子 [{e（电子）}^{- ρ {T型}_{b条}} 我 ({T型}_{b条} < \infty) | {R（右）}_{0}^{u个, b条} = u个] . \end{matrix}

(6)

Gerber-Shiu预期折现罚款函数为

\begin{matrix} Φ (u个; b条) = 电子 [{e（电子）}^{- α {T型}_{b条}} ω ({R（右）}_{{T型}_{b条} -}^{u个, b条}, | {R（右）}_{{T型}_{b条}}^{u个, b条} |) 我 ({T型}_{b条} < \infty) | {R（右）}_{0}^{u个, b条} = u个], \end{matrix}

(7)

哪里，

{R（右）}_{{T型}_{b条} -}^{u个, b条}

是绝对破产时间之前的瞬时储备。

| {R（右）}_{{T型}_{b条}}^{u个, b条} |

是绝对破产时间的赤字。

ω ({x个}_{1}, {x个}_{2})

是定义在上的可测量函数

(- {第页}_{1} / β, + \infty) \times ({第页}_{1} / β, + \infty)

这可以解释为绝对破产时的惩罚。

2.积分微分方程 $问 (u个, z（z）; b条)$ 和 ${W公司}_{n个} (u个; b条)$

在下面的部分中，我们首先给出一个满足以下条件的偏积分微分方程组

问 (u个, z（z）; b条)

，通过它我们可以进一步分析

{W公司}_{n个} (u个; b条)

。请注意

问 (u个, z（z）; b条)

根据的不同值有不同的表达式u个因此，我们通过写作讨论了三个案例

问 (u个, z（z）; b条) = 问_{1} (u个, z（z）; b条)

对于

0 \leq u个 \leq b条

,

问 (u个, z（z）; b条) = 问_{2} (u个, z（z）; b条)

对于

u个 > b条

、和

问 (u个, z（z）; b条) = 问_{三} (u个, z（z）; b条)

对于

- {第页}_{1} / β < u个 < 0

。为了便于下列证明，我们设置

\begin{matrix} {小时}_{1} (u个, t吨) = u个 {e（电子）}^{β t吨} + {第页}_{1} ({e（电子）}^{β t吨} - 1) / β, {小时}_{2} (u个, t吨) = u个 {e（电子）}^{γ t吨} + {第页}_{2} ({e（电子）}^{γ t吨} - 1) / γ . \end{matrix}

(8)

定理 1.

什么时候？

0 \leq u个 \leq b条

,

\begin{matrix} {第页}_{1} \frac{\partial 问_{1} (u个, z（z）; b条)}{\partial u个} = & λ 问_{1} (u个, z（z）; b条) + α z（z） \frac{\partial 问_{1} (u个, z（z）; b条)}{\partial z（z）} - λ [\int_{0}^{u个} 问_{1} (u个 - 年, z（z）; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} 问_{三} (u个 - 年, z（z）; b条) d日 G公司 (年) + \bar{G公司} (u个 + \frac{{第页}_{1}}{β})], \end{matrix}

(9)

以及，当

u个 > b条

,

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) \frac{\partial 问_{2} (u个, z（z）; b条)}{\partial u个} = & λ 问_{2} (u个, z（z）; b条) + α z（z） \frac{\partial 问_{2} (u个, z（z）; b条)}{\partial z（z）} - λ [\int_{0}^{u个 - b条} 问_{2} (u个 - 年, z（z）; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个 - b条}^{u个} 问_{1} (u个 - 年, z（z）; b条) d日 G公司 (年) + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} 问_{三} (u个 - 年, z（z）; b条) d日 G公司 (年), \\ + \bar{G公司} (u个 + \frac{{第页}_{1}}{β})] \end{matrix}

(10)

以及，何时

- {第页}_{1} / β < u个 < 0

,

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) \frac{\partial 问_{三} (u个, z（z）; b条)}{\partial u个} = & λ 问_{三} (u个, z（z）; b条) + α z（z） \frac{\partial 问_{三} (u个, z（z）; b条)}{\partial z（z）} \\ - λ [\int_{0}^{u个 + {第页}_{1} / β} 问_{三} (u个 - 年, z（z）; b条) d日 G公司 (年) + \bar{G公司} (u个 + \frac{{第页}_{1}}{β})] . \end{matrix}

(11)

证明。

(1): 对于 $0 \leq u个 \leq b条$ 如Albrecher et al[23]，并利用风险储备过程的强马尔可夫特性 ${{R（右）}_{t吨}^{u个, b条}, t吨 \geq 0}$ ，我们获得

$\begin{matrix} 问_{1} (u个, z（z）; b条) = & (1 - λ t吨) 问_{1} (u个 + {第页}_{1} t吨, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) \\ + λ t吨 \cdot [\int_{0}^{u个 + {第页}_{1} t吨} 问_{1} (u个 + {第页}_{1} t吨 - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个 + {第页}_{1} t吨}^{u个 + {第页}_{1} t吨 + \frac{{第页}_{1}}{β}} 问_{三} (u个 + {第页}_{1} t吨 - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) + \bar{G公司} (u个 + {第页}_{1} t吨 + \frac{{第页}_{1}}{β})] + o（o） (t吨), \end{matrix}$

(12)

哪里， $O（运行） (t吨)$ 是的高阶无穷小t吨什么时候 $t吨 \to 0$ 即。， $\underset{t吨 \to 0}{林} \frac{O（运行） (t吨)}{t吨} = 0$ .
通过泰勒展开，

$\begin{matrix} 问_{1} (u个 + {第页}_{1} t吨, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) = & 问_{1} (u个, z（z）; b条) + {第页}_{1} t吨 \frac{\partial 问_{1} (u个, z（z）; b条)}{\partial u个} - α z（z） t吨 \frac{\partial 问_{1} (u个, z（z）; b条)}{\partial z（z）} + o（o） (t吨) . \end{matrix}$

(13)

通过封堵(13)到(12)，我们可以获得(9).
(2): 上述方法适用于 $问_{2} (u个, z（z）; b条)$ 什么时候 $u个 > b条$ ，我们有

$\begin{matrix} 问_{2} (u个, z（z）; b条) = & (1 - λ t吨) \cdot 问_{2} ({小时}_{2} (u个, t吨), z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) + λ t吨 \cdot [\int_{0}^{{小时}_{2} (u个, t吨) - b条} 问_{2} ({小时}_{2} (u个, t吨) - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{{小时}_{2} (u个, t吨) - b条}^{{小时}_{2} (u个, t吨)} 问_{1} ({小时}_{2} (u个, t吨) - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{{小时}_{2} (u个, t吨)}^{{小时}_{2} (u个, t吨) + \frac{{第页}_{1}}{β}} 问_{三} ({小时}_{2} (u个, t吨) - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) \\ + \bar{G公司} ({小时}_{2} (u个, t吨) + \frac{{第页}_{1}}{β})] + o（o） (t吨) . \end{matrix}$

(14)

通过泰勒展开，

$\begin{matrix} 问_{2} ({小时}_{2} (u个, t吨), z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) = & 问_{2} (u个, z（z）; b条) + (γ u个 + {第页}_{2}) t吨 \frac{\partial 问_{2} (u个, z（z）; b条)}{\partial u个} \\ - α z（z） t吨 \frac{\partial 问_{2} (u个, z（z）; b条)}{\partial z（z）} + o（o） (t吨) . \end{matrix}$

(15)

通过封堵(15)到(14)，我们有(10).
(3): 对于 $- {第页}_{1} / β < u个 < 0$ ，与证明中的论点相同(10)给予

$\begin{matrix} 问_{三} (u个, z（z）; b条) = & (1 - λ t吨) \cdot 问_{三} ({小时}_{1} (u个, t吨), z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) \\ + λ t吨 \cdot [\int_{0}^{{小时}_{1} (u个, t吨) + \frac{{第页}_{1}}{β}} 问_{三} ({小时}_{1} (u个, t吨) - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) \\ + \bar{G公司} ({小时}_{1} (u个, t吨) + \frac{{第页}_{1}}{β})] + o（o） (t吨) . \end{matrix}$

(16)

通过泰勒展开，我们已经(11). ☐

定理 2

问_{1} (u个, z（z）; b条)

,

问_{2} (u个, z（z）; b条)

和

问_{三} (u个, z（z）; b条)

满足

\begin{matrix} 问_{三} (- \frac{{第页}_{1}}{β}, z（z）; b条) = 1, \end{matrix}

(17)

\begin{matrix} \frac{\partial 问_{1} (u个, z（z）; b条)}{\partial u个} |_{u个 = b条} = 年 问_{1} (b条, z（z）; b条), \end{matrix}

(18)

\begin{matrix} 问_{1} (b条 -, z（z）; b条) = 问_{2} (b条 +, z（z）; b条), \end{matrix}

(19)

\begin{matrix} 问_{1} (0 +, z（z）; b条) = 问_{三} (0 -, z（z）; b条) . \end{matrix}

(20)

证明。

(1): 对于(17)，如果 $u个 = - \frac{{第页}_{1}}{β}$ 很明显，绝对破产将立即发生，而且没有支付股息，这意味着(17).
(2): 对于(18)，何时 $u个 = b条$ ，我们有

$\begin{matrix} 问_{1} (b条, z（z）; b条) = & (1 - λ t吨) {e（电子）}^{{第页}_{1} t吨} 问_{1} (b条, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) + λ t吨 \cdot [\int_{0}^{b条} 问_{1} (b条 - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{b条}^{b条 + \frac{{第页}_{1}}{β}} 问_{2} (b条 - 年, z（z） {e（电子）}^{- α t吨}; b条) d日 G公司 (年) + \bar{G公司} (b条 + \frac{{第页}_{1}}{β})] + o（o） (t吨) . \end{matrix}$

(21)

通过封堵 $u个 = b条$ 到(9)和使用(21)，我们获得(18).
(3): 对于(19)和(20)，方法类似于Wan[24]，所以我们把它放在这里。

现在让我们考虑一下

{W公司}_{n个} (u个, b条)

根据不同的初始准备金，遵循与上述相同的论点，

{W公司}_{n个} (u个, b条)

是一个分段函数。我们表示

\begin{matrix} {W公司}_{n个} (u个; b条) = \{\begin{matrix} {W公司}_{n个 2} (u个; b条), u个 > b条, \\ {W公司}_{n个 1} (u个; b条), 0 \leq u个 \leq b条, \\ {W公司}_{n个 三} (u个; b条), - {第页}_{1} / β < u个 < 0, \end{matrix} \end{matrix}

(22)

哪里

{W公司}_{01} (b条; b条) = 1

.

根据表示定理，我们有

\begin{matrix} 问_{我} (u个, z（z）; b条) = 1 + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{z（z）}^{n个}}{n个!} {W公司}_{n个 我} (u个; b条), 我 = 1, 2, 三, n个 \in {N个}^{+}, \end{matrix}

(23)

并将

{z（z）}^{n个}

英寸(9)–(11)，我们可以证明

{W公司}_{n个 我} (u个; b条) (我 = 1, 2, 三 .)

满足以下积分微分方程和相应的边界条件。☐

定理三。

什么时候？

0 \leq u个 \leq b条

,

\begin{matrix} {第页}_{1} {W公司}_{n个 1}^{'} (u个; b条) = & (λ + n个 α) {W公司}_{n个 1} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个} {W公司}_{n个 1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} {W公司}_{n个 三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年)], \end{matrix}

(24)

以及何时

u个 > b条

,

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) {W公司}_{n个 2}^{'} (u个; b条) = & (λ + n个 α) {W公司}_{n个 2} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个 - b条} {W公司}_{n个 2} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个 - b条}^{u个} {W公司}_{n个 1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} {W公司}_{n个 三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年)], \end{matrix}

(25)

以及何时

- {第页}_{1} / β < u个 < 0

,

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) {W公司}_{n个 三}^{'} (u个; b条) = & (λ + n个 α) {W公司}_{n个 三} (u个; b条) - λ \int_{0}^{u个 + {第页}_{1} / β} {W公司}_{n个 三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年), \end{matrix}

(26)

带边界条件

\begin{matrix} {W公司}_{n个 三} (- {第页}_{1} / β; b条) = 0, \end{matrix}

(27)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1}^{'} {(u个; b条) |}_{u个 = b条} = n个 {W公司}_{n个 - 1, 1} (b条; b条), \end{matrix}

(28)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1} (0 +; b条) = {W公司}_{n个 三} (0 -; b条), \end{matrix}

(29)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1} (b条 -; b条) = {W公司}_{n个 2} (b条 +; b条), \end{matrix}

(30)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1}^{'} (0 +; b条) = {W公司}_{n个 三}^{'} (0 -; b条), \end{matrix}

(31)

\begin{matrix} {第页}_{1} {W公司}_{n个 1}^{'} (b条 -; b条) = (γ b条 + {第页}_{2}) {W公司}_{n个 2}^{'} (b条 +; b条), \end{matrix}

(32)

哪里

{N个}^{+}

表示非负整数。

3.指数声明的显式表达式 ${W公司}_{n个} (u个; b条)$ 和数值示例

我们假设索赔金额服从平均数的指数分布

μ > 0

然后，方程式(24)–(26)减少到

\begin{matrix} {第页}_{1} {W公司}_{n个 1}^{'} (u个; b条) = & (λ + n个 α) {W公司}_{n个 1} (u个; b条) - \frac{λ}{μ} {e（电子）}^{- \frac{u个}{μ}} [\int_{0}^{u个} {W公司}_{n个 1} (年; b条) {e（电子）}^{\frac{年}{μ}} d日 年 + \int_{- {第页}_{1} / β}^{0} {W公司}_{n个 三} (年; b条) {e（电子）}^{\frac{年}{μ}} d日 年], \\ 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(33)

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) {W公司}_{n个 2}^{'} (u个; b条) = & (λ + n个 α) {W公司}_{n个 2} (u个; b条) - \frac{λ}{μ} {e（电子）}^{- \frac{u个}{μ}} [\int_{0}^{u个} {W公司}_{n个 2} (年; b条) {e（电子）}^{\frac{年}{μ}} d日 年 \\ + \int_{0}^{b条} {W公司}_{n个 1} (年; b条) {e（电子）}^{\frac{年}{μ}} d日 年 + \int_{- {第页}_{1} / β}^{0} {W公司}_{n个 三} (年; b条) {e（电子）}^{\frac{年}{μ}} d日 年], u个 > b条, \end{matrix}

(34)

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) {W公司}_{n个 三}^{'} (u个; b条) = (λ + n个 α) {W公司}_{n个 三} (u个; b条) - \frac{λ}{μ} {e（电子）}^{- \frac{u个}{μ}} \int_{- {第页}_{1} / β}^{u个} {W公司}_{n个 三} (年; b条) {e（电子）}^{\frac{年}{μ}} d日 年, - {第页}_{1} / β < u个 \leq 0 . \end{matrix}

(35)

通过应用运算符

(\frac{d日}{d日 u个} + \frac{1}{μ})

上的(33)–(35)然后重新排列它们，我们就得出

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1}^{^{″}} (u个; b条) + (\frac{1}{μ} - \frac{λ + n个 α}{{第页}_{1}}) {W公司}_{n个 1}^{^{'}} (u个; b条) - \frac{n个 α}{μ {第页}_{1}} {W公司}_{n个 1} (u个; b条) = 0, 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(36)

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) {W公司}_{n个 2}^{^{″}} (u个; b条) + (\frac{γ u个 + {第页}_{2}}{μ} + γ - (λ + n个 α)) {W公司}_{n个 2}^{^{'}} (u个; b条) - \frac{n个 α}{μ} {W公司}_{n个 2} (u个; b条) = 0, u个 > b条, \end{matrix}

(37)

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) {W公司}_{n个 三}^{^{″}} (u个; b条) + (\frac{β u个 + {第页}_{1}}{μ} + β - (λ + n个 α)) {W公司}_{n个 三}^{^{'}} (u个; b条) - \frac{n个 α}{μ} {W公司}_{n个 三} (u个; b条) = 0, \\ - {第页}_{1} / β < u个 \leq 0 . \end{matrix}

(38)

显然，方程的通解(36)可以表示为

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1} (u个; b条) = ξ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} u个} + ξ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} u个}, 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(39)

哪里

ξ_{n个 1}

和

ξ_{n个 三}

是任意常数，以及

δ_{n个 1}

和

δ_{n个 2}

是下列方程的两个实根

\begin{matrix} δ^{2} + ς_{1 n个} δ + ς_{2 n个} = 0, \end{matrix}

(40)

具有

ς_{1 n个} = \frac{1}{μ} - \frac{λ + n个 α}{{第页}_{1}}

,

ς_{2 n个} = \frac{- n个 α}{μ {第页}_{1}}

令人满意的

ς_{1 n个}^{2} - 4 ς_{2 n个} > 0

即。，

\begin{matrix} δ_{n个 1} = \frac{- ς_{1 n个} + \sqrt{ς_{1 n个}^{2} - 4 ς_{2 n个}}}{2}, δ_{n个 2} = \frac{- ς_{1 n个} - \sqrt{ς_{1 n个}^{2} - 4 ς_{2 n个}}}{2} . \end{matrix}

(41)

方程式类似于(37)和(38)可以在保尔森和杰西找到[25]蔡和杨[26]. 通过引入新变量，

x个 = - \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}

对于

u个 > b条

和

z（z） = - \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}

对于

- {第页}_{1} / β < u个 \leq 0

，并出租

{W公司}_{n个 2} (u个, b条) = 克_{n个} (x个)

和

{W公司}_{n个 三} (u个, b条) = {（f）}_{n个} (z（z）)

，方程式(37)和(38)可以转换为Kummer的合流超几何方程（参见Salter[27]和Seaborn[28])对于函数

克_{n个} (x个)

和

{（f）}_{n个} (z（z）)

:

\begin{matrix} x个 克_{n个}^{″} (x个) + (1 - \frac{λ + n个 α}{γ} - 年) 克_{n个}^{'} (x个) - \frac{n个 α}{γ} 克_{n个} (x个) = 0, - \frac{{第页}_{2}}{γ μ} < x个 < 0, \end{matrix}

(42)

\begin{matrix} z（z） {（f）}_{n个}^{″} (z（z）) + (1 - \frac{λ + n个 α}{β} - z（z）) {（f）}_{n个}^{'} (z（z）) - \frac{n个 α}{β} {（f）}_{n个} (z（z）) = 0, - \frac{{第页}_{1}}{β μ} < z（z） < 0 . \end{matrix}

(43)

使用的解决方案(42)和(43)，我们得出结论

\begin{matrix} {W公司}_{n个 2} (u个; b条) = 克_{n个} (x个) = ξ_{n个 三} η_{n个 三} (u个) + ξ_{n个 4} η_{n个 4} (u个), u个 > b条, \end{matrix}

(44)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 三} (u个; b条) = {（f）}_{n个} (x个) = ξ_{n个 5} η_{n个 5} (u个) + ξ_{n个 6} η_{n个 6} (u个), - {第页}_{1} / β < u个 \leq 0, \end{matrix}

(45)

哪里，

ξ_{n个 三}

,

ξ_{n个 4}

,

ξ_{n个 5}

和

ξ_{n个 6}

是任意常数，以及

\begin{matrix} η_{n个 三} (u个) & = 经验 {- \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}} \cdot U型 (1 - \frac{λ}{γ}, 1 - \frac{λ + n个 α}{γ}; \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}), \\ η_{n个 4} (u个) & = {(\frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ})}^{(λ + n个 α) / γ} \cdot 经验 {- \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}} \cdot M（M） (1 + \frac{n个 α}{γ}, 1 + \frac{λ + n个 α}{γ}; \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}), \\ η_{n个 5} (u个) & = 经验 {- \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}} \cdot U型 (1 - \frac{λ}{β}, 1 - \frac{λ + n个 α}{β}; \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}), \\ η_{n个 6} (u个) & = {(\frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ})}^{(λ + n个 α) / β} \cdot 经验 {- \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}} \cdot M（M） (1 + \frac{n个 α}{β}, 1 + \frac{λ + n个 α}{β}; \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}), \\ M（M） (一_{1}, 一_{2}; x个) & = \frac{Γ (一_{2})}{Γ (一_{2} - 一_{1}) Γ (一_{1})} \int_{0}^{1} {e（电子）}^{x个 t吨} {t吨}^{一_{1} - 1} {(1 - t吨)}^{一_{2} - 一_{1} - 1} d日 t吨, 一_{2} > 一_{1} > 0, \\ U型 (一_{1}, 一_{2}; x个) & = \frac{1}{Γ (一_{1})} \int_{0}^{\infty} {e（电子）}^{- x个 t吨} {t吨}^{一_{1} - 1} {(1 + t吨)}^{一_{2} - 一_{1} - 1} d日 t吨, 年 > 0, 一_{1} > 0 . \end{matrix}

使用合流超几何函数属性，如果

β \neq λ + n个 α

，我们得到

\begin{matrix} \underset{u个 ↓ - \frac{{第页}_{1}}{β}}{林} η_{n个 5} (u个) = Γ (\frac{λ + n个 α}{β}) / Γ (\frac{β + n个 α}{β}), \underset{u个 ↓ - \frac{{第页}_{1}}{β}}{林} η_{n个 6} (u个) = 0, \end{matrix}

(46)

式中↓表示递减方法。出租

u个 ↓ - \frac{{第页}_{1}}{β}

英寸(45)双方以及(45), (46)和(27)，我们看到了

ξ_{n个 5} = 0

，这意味着

- \frac{{第页}_{1}}{β} < u个 < 0

,

\begin{matrix} {V（V）}_{n个 三} (u个; b条) = ξ_{n个 6} η_{n个 6} (u个) . \end{matrix}

(47)

接下来，我们给出

ξ_{n个 1}, ξ_{n个 2}, ξ_{n个 三}, ξ_{n个 4}, ξ_{n个 6} (ξ_{n个 5} = 0)

对于

n个 = 1

和

n个 \geq 2

.

什么时候？

n个 = 1

，根据(28)–(32), (39), (44)和(47)，我们有

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ξ_{11} δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} + ξ_{12} δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} = 1, \\ ξ_{11} + ξ_{12} = ξ_{16} η_{16} (0), \\ ξ_{11} δ_{11} + ξ_{12} δ_{12} = ξ_{16} η_{16}^{'} (0), \\ ξ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} + ξ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} = ξ_{13} η_{13} (b条) + ξ_{14} η_{14} (b条), \\ {第页}_{1} (ξ_{11} δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} + ξ_{12} δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条}) = (γ b条 + {第页}_{2}) [ξ_{13} η_{13}^{'} (b条) + ξ_{14} η_{14}^{'} (b条)] . \end{matrix} \end{matrix}

(48)

通过求解上述方程(48)，我们获得

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ξ_{11} & = \frac{η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (b条)]}, \\ ξ_{12} & = \frac{δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (0)}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (b条)]}, \\ ξ_{13} & = \frac{1}{η_{13} (b条)} {θ_{1} - η_{14} (b条) \frac{(γ b条 + {第页}_{2}) η_{13}^{'} (b条)) θ_{1} - η_{13} (b条) {第页}_{1}}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{13}^{'} (b条) η_{14} (b条) - η_{13} (b条) η_{14}^{'} (b条)]}}, \\ ξ_{14} & = \frac{(γ b条 + {第页}_{2}) η_{13}^{'} (b条) θ_{1} - η_{13} (b条) {第页}_{1}}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{13}^{'} (b条) η_{14} (b条) - η_{13} (b条) η_{14}^{'} (b条)]}, \\ ξ_{16} & = \frac{δ_{11} - δ_{12}}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (b条)]}, \end{matrix} \end{matrix}

哪里

δ_{11}

和

δ_{12}

由给定(41)在以下情况下

n个 = 1

、和

\begin{matrix} θ_{1} = \frac{{e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (0)]}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (0)]} . \end{matrix}

因此，我们得出了

{W公司}_{11} (u个; b条)

,

{W公司}_{12} (u个; b条)

和

{W公司}_{13} (u个; b条)

即，

\begin{matrix} {W公司}_{11} (u个; b条) = \frac{[η_{16}^{^{'}} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] {e（电子）}^{δ_{11} u个} + [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{^{'}} (0)] {e（电子）}^{δ_{12} u个}}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{^{'}} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{^{'}} (0)]}, 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(49)

\begin{matrix} {W公司}_{12} (u个; b条) = & \frac{η_{13} (u个)}{η_{13} (b条)} {{W公司}_{11} (b条; b条) - η_{14} (b条) \frac{(γ b条 + {第页}_{2}) η_{13}^{^{'}} (b条) {W公司}_{11} (b条; b条) - η_{13} (b条) {第页}_{1}}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{13}^{^{'}} (b条) η_{14} (b条) - η_{13} (b条) η_{14}^{^{'}} (b条)]}} \\ + \frac{η_{14} (u个) [(γ b条 + {第页}_{2}) η_{13}^{^{'}} (b条) θ_{2} - η_{13} (b条) {第页}_{1}]}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{13}^{^{'}} (b条) η_{14} (b条) - η_{13} (b条) η_{14}^{^{'}} (b条)]}, u个 > b条, \end{matrix}

(50)

\begin{matrix} {W公司}_{13} (u个; b条) = \frac{η_{16} (u个) (δ_{11} - δ_{12})}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{^{'}} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{n个 6}^{^{'}} (0)]}, - {第页}_{1} / β \leq u个 \leq 0 . \end{matrix}

(51)

什么时候？

n个 \geq 2

，我们提供了

ξ_{n个 1}, ξ_{n个 2}, ξ_{n个 三}, ξ_{n个 4}

和

ξ_{n个 6} (ξ_{n个 5} = 0)

通过递归公式。它源自(28)–(32), (39) (44)，以及(47)那个

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ξ_{n个 1} δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} + ξ_{n个 2} δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} = n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条), \\ ξ_{n个 1} + ξ_{n个 2} = ξ_{n个 6} η_{n个 6} (0), \\ ξ_{n个 1} δ_{n个 1} + ξ_{n个 2} δ_{n个 2} = ξ_{n个 6} η_{n个 6}^{'} (0), \\ ξ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} + ξ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} = ξ_{n个 三} η_{n个 三} (b条) + ξ_{n个 4} η_{n个 4} (b条), \\ {第页}_{1} (ξ_{n个 1} δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} + ξ_{n个 2} δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条}) = (γ b条 + {第页}_{2}) [ξ_{n个 三} η_{n个 三}^{'} (b条) + ξ_{n个 4} η_{n个 4}^{'} (b条)] . \end{matrix} \end{matrix}

(52)

通过求解上述方程，我们发现

\begin{matrix} \{\begin{matrix} ξ_{n个 1} & = \frac{n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条) [η_{n个 6}^{'} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)]}{δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{'} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{'} (b条)]}, \\ ξ_{n个 2} & = \frac{n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条) [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{'} (0)]}{δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{'} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{n个 1} η_{16} (0) - η_{n个 6}^{'} (b条)]}, \\ ξ_{n个 三} & = \frac{1}{η_{n个 三} (b条)} {θ_{2} - η_{n个 4} (b条) \frac{(γ b条 + {第页}_{2}) η_{n个 三}^{'} (b条)) θ_{2} - n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条) η_{n个 三} (b条) {第页}_{1}}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{n个 三}^{'} (b条) η_{n个 4} (b条) - η_{n个 三} (b条) η_{n个 4}^{'} (b条)]}}, \\ ξ_{n个 4} & = \frac{(γ b条 + {第页}_{2}) η_{n个 三}^{'} (b条) θ_{2} - n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条) η_{n个 三} (b条) {第页}_{1}}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{n个 三}^{'} (b条) η_{n个 4} (b条) - η_{n个 三} (b条) η_{n个 4}^{'} (b条)]}, \\ ξ_{n个 6} & = \frac{n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条) (δ_{n个 1} - δ_{n个 2})}{δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{'} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{'} (b条)]}, \end{matrix} \end{matrix}

(53)

哪里

δ_{n个 1}

和

δ_{n个 2}

由提供(41)、和

θ_{2} = \frac{n个 {W公司}_{n个 - 1, n个} (b条; b条) {{e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{'} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{11} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{'} (0)]}}{δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{'} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{'} (0)]} .

因此，我们得到了

{W公司}_{n个 1} (u个; b条)

,

{W公司}_{n个 2} (u个; b条)

和

{W公司}_{n个 三} (u个; b条)

作为存在

\begin{matrix} {W公司}_{n个 1} (u个; b条) = \frac{n个 {W公司}_{n个 - 1, 1} (b条; b条) {[η_{n个 6}^{^{'}} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] {e（电子）}^{δ_{n个 1} u个} + [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{^{'}} (0)] {e（电子）}^{δ_{n个 2} u个}}}{δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{^{'}} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{^{'}} (0)]}, \\ 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(54)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 2} (u个; b条) = & \frac{η_{n个 三} (u个)}{η_{n个 三} (b条)} {θ_{2} - η_{n个 4} (b条) \frac{(γ b条 + {第页}_{2}) η_{n个 三}^{^{'}} (b条) θ_{2} - n个 {W公司}_{n个 - 1, 1} (b条; b条) η_{n个 三} (b条) {第页}_{1}}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{n个 三}^{^{'}} (b条) η_{n个 4} (b条) - η_{n个 三} (b条) η_{n个 4}^{^{'}} (b条)]}} \\ + \frac{η_{n个 4} (u个) [(γ b条 + {第页}_{2}) η_{n个 三}^{^{'}} (b条) θ_{2} - n个 {W公司}_{n个 - 1, 1} (b条; b条) η_{n个 三} (b条) {第页}_{1}]}{(γ b条 + {第页}_{2}) [η_{n个 三}^{^{'}} (b条) η_{n个 4} (b条) - η_{n个 三} (b条) η_{n个 4}^{^{'}} (b条)]}, \\ u个 > b条, \end{matrix}

(55)

\begin{matrix} {W公司}_{n个 三} (u个; b条) = \frac{η_{n个 6} (u个) n个 {W公司}_{n个 - 1, 1} (b条; b条) (δ_{n个 1} - δ_{n个 2})}{δ_{n个 1} {e（电子）}^{δ_{n个 1} b条} [η_{n个 6}^{^{'}} (0) - δ_{n个 2} η_{n个 6} (0)] + δ_{n个 2} {e（电子）}^{δ_{n个 2} b条} [δ_{n个 1} η_{n个 6} (0) - η_{n个 6}^{^{'}} (0)]}, \\ - {第页}_{1} / β \leq u个 \leq 0, \end{matrix}

(56)

初始值为

\begin{matrix} {W公司}_{11} (b条; b条) = \frac{[η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] {e（电子）}^{δ_{11} b条} + [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (0)] {e（电子）}^{δ_{12} b条}}{δ_{11} {e（电子）}^{δ_{11} b条} [η_{16}^{'} (0) - δ_{12} η_{16} (0)] + δ_{12} {e（电子）}^{δ_{12} b条} [δ_{11} η_{16} (0) - η_{16}^{'} (0)]} . \end{matrix}

在以下示例中，

n个 = 1

，并说明了相关参数对

{W公司}_{1} (u个; b条)

.

例子 1.

假设

λ = 0.02

,

μ = 0.5

,

{第页}_{1} = 0.2

,

{第页}_{2} = 0.1

,

γ = 0.08

,

α = 0.02

.图1显示了以下曲线

{W公司}_{11} (u个, b条)

使用上面推导的公式计算

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

分别是。图2显示了以下曲线

{W公司}_{11} (u个, b条)

对于

α = 0.02

,

α = 0.03

和

α = 0.04 (b条 = 10)

分别是。图3显示了的表面

{W公司}_{11} (u个, b条)

关于两个变量u和b，从图中可以看出

{W公司}_{11} (u个, b条)

b和α分别增大时减小。

例子 2

假设

λ = 0.02

,

β = 0.05

,

{第页}_{1} = 0.2

,

{第页}_{2} = 0.1

、和

μ = 0.5

.图4显示了以下曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.图5显示了以下曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

对于

α = 0.02

,

α = 0.03

和

α = 0.04 (b条 = 10, γ = 0.08)

.图6显示了

{W公司}_{12} (u个, b条)

对于

γ = 0.05

,

γ = 0.07

和

γ = 0.09 (b条 = 10, α = 0.02)

.图7显示了的表面

{W公司}_{12} (u个, b条)

关于变量u和b。

发件人图4,图5,图6和图7，我们可以看到

{W公司}_{12} (u个, b条)

是的递减函数b条,

α

、和

γ

分别为。结果可以与Peng等人的结果进行比较[5]他考虑了在绝对破产的情况下，具有恒定股息屏障和流动准备金的复合泊松风险模型。从比较结果中，我们得出了参数的影响b条在所有股利的现值的时刻，直到绝对破产为止，无论是使用常数股利屏障还是阈值股利策略，都是相同的。此外，参数的影响

γ

相反。这与实际情况相符。

例子三。

使用的参数如下：

λ = 0.02

,

β = 0.05

,

α = 0.02

,

γ = 0.08

,

{第页}_{1} = 0.2

,

{第页}_{2} = 0.1

,

μ = 0.5

.图8显示了以下曲线

{W公司}_{13} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.图9显示了以下曲线

{V（V）}_{13} (u个, b条)

对于

α = 0.01

,

α = 0.015

和

α = 0.02 (b条 = 10, γ = 0.08)

.图10显示了

{W公司}_{13} (u个, b条)

对于

β = 0.05

,

β = 0.07

和

β = 0.09 (b条 = 10, α = 0.02)

.图11显示了的表面

{W公司}_{13} (u个, b条)

关于变量u和b。结果表明

{W公司}_{13} (u个, b条)

随着b、α和β的增加而减少，但随着u的增加而增加。

4.Gerber-Shiu期望折扣惩罚函数

同样，

Φ (u个; b条)

可以表示为

\begin{matrix} Φ (u个; b条) = \{\begin{matrix} Φ_{2} (u个; b条), u个 > b条, \\ Φ_{1} (u个; b条), 0 \leq u个 \leq b条, \\ Φ_{三} (u个; b条), - {第页}_{1} / β < u个 < 0 . \end{matrix} \end{matrix}

(57)

与定理1中的参数类似，我们可以很容易地证明Gerber-Shiu期望折现罚函数满足以下积分微分方程：

定理 4

什么时候？

0 \leq u个 \leq b条

,

\begin{matrix} {第页}_{1} Φ_{1}^{'} (u个; b条) = & (λ + α) Φ_{1} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个} Φ_{1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} Φ_{三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + B类 (u个)], \end{matrix}

(58)

以及何时

u个 > b条

,

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) Φ_{2}^{'} (u个; b条) = & (λ + α) Φ_{2} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个 - b条} Φ_{2} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个 - b条}^{u个} Φ_{1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} Φ_{三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + B类 (u个)], \end{matrix}

(59)

以及何时

- {第页}_{1} / β < u个 < 0

,

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) Φ_{三}^{'} (u个; b条) = & (λ + α) Φ_{三} (u个; b条) - λ \int_{0}^{u个 + {第页}_{1} / β} Φ_{三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + B类 (u个), \end{matrix}

(60)

带边界条件

\begin{matrix} Φ_{1} (0 +; b条) = Φ_{三} (0 -; b条), \end{matrix}

(61)

\begin{matrix} Φ_{1} (b条 -; b条) = Φ_{2} (b条 +; b条), \end{matrix}

(62)

\begin{matrix} {第页}_{1} Φ_{1}^{'} (b条 -; b条) = (γ b条 + {第页}_{2}) Φ_{2}^{'} (b条 +; b条), \end{matrix}

(63)

\begin{matrix} Φ_{1}^{'} (0 +; b条) = Φ_{三}^{'} (0 -; b条), \end{matrix}

(64)

哪里，

B类 (u个) = \int_{u个 + {第页}_{1} / β}^{\infty} ω (u个, 年 - u个) d日 G公司 (年)

.

定理 5

积分微分方程(58)–(60)可以用Volterra方程表示

\begin{matrix} Φ_{1} (u个; b条) = \int_{0}^{u个} {k个}_{1} (u个, x个) Φ_{1} (x个; b条) d日 x个 + ψ_{1} (u个), 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(65)

\begin{matrix} Φ_{2} (u个; b条) = \int_{b条}^{u个} {k个}_{2} (u个, x个) Φ_{2} (x个; b条) d日 x个 + ψ_{2} (u个), u个 > b条, \end{matrix}

(66)

\begin{matrix} Φ_{三} (u个; b条) = \int_{- {第页}_{1} / β}^{u个} {k个}_{三} (u个, x个) Φ_{三} (x个; b条) d日 x个 + ψ_{三} (u个), - {第页}_{1} / β < u个 < 0, \end{matrix}

(67)

哪里

\begin{matrix} {k个}_{1} (u个, x个) = & \frac{λ + α}{{第页}_{1}} - \frac{λ}{{第页}_{1}} G公司 (u个 - x个), \\ ψ_{1} (u个) = & Φ_{1} (0; b条) - \frac{λ}{{第页}_{1}} \int_{- {第页}_{1} / β}^{0} Φ_{三} (x个; b条) [G公司 (u个 - x个) - G公司 (- x个)] d日 x个 + \frac{λ}{{第页}_{1}} \int_{0}^{u个} B类 (x个) d日 x个, \\ {k个}_{2} (u个, x个) = & \frac{λ + α + γ}{γ u个 + {第页}_{2}} - \frac{λ}{γ u个 + {第页}_{2}} G公司 (u个 - x个), \\ ψ_{2} (u个) = & \frac{γ b条 + {第页}_{2}}{γ u个 + {第页}_{2}} Φ_{2} (b条; b条) - \frac{λ}{γ u个 + {第页}_{2}} \int_{0}^{b条} Φ_{1} (x个; b条) [G公司 (u个 - x个) - G公司 (b条 - x个)] d日 x个 \\ - \frac{λ}{γ u个 + {第页}_{2}} \int_{- {第页}_{1} / β}^{0} Φ_{三} (x个; b条)) [G公司 (u个 - x个) - G公司 (b条 - x个)] d日 x个 \\ - \frac{λ}{γ u个 + {第页}_{2}} \int_{0}^{u个} B类 (x个) d日 x个, \\ {k个}_{三} (u个, x个) = & \frac{λ + β + γ}{β u个 + {第页}_{1}} - \frac{λ}{β u个 + {第页}_{1}} G公司 (u个 - x个), \\ ψ_{三} (u个) = & \frac{λ}{β u个 + {第页}_{1}} \int_{0}^{u个} B类 (x个) d日 x个 . \end{matrix}

证明。

在(58)，集成(58)超过

(0, u个)

产量

\begin{matrix} {第页}_{1} Φ_{1} (u个; b条) = & {第页}_{1} Φ_{1} (0; b条) + \int_{0}^{u个} Φ_{1} (x个; b条) (λ + α - λ G公司 (u个 - x个)) d日 x个 \\ - λ \int_{- {第页}_{1} / β}^{0} [G公司 (u个 - x个) - G公司 (- x个)] d日 x个 - λ \int_{0}^{u个} B类 (x个) d日 x个 . \end{matrix}

(68)

在(68)，集成(68)超过

(0, u个)

，其中一人得出结论

\begin{matrix} {第页}_{1} \int_{0}^{u个} Φ_{1} (年; b条) d日 年 = & {第页}_{1} Φ_{1} (0; b条) u个 + \int_{0}^{u个} [\int_{0}^{年} Φ_{1} (x个; b条) (λ + α - λ G公司 (年 - x个)) d日 x个] d日 年 \\ - λ \int_{0}^{u个} G公司 (年) d日 年, \end{matrix}

(69)

哪里，

G公司 (年) = \int_{- {第页}_{1} / β}^{0} Φ_{三} (x个; b条) (G公司 (年 - x个) - G公司 (- x个)) d日 x个 + \int_{0}^{年} B类 (x个) d日 x个

，自

\begin{matrix} \int_{0}^{u个} [\int_{0}^{年} Φ_{1} (x个; b条) (λ + α - λ G公司 (年 - x个)) d日 x个] d日 年 = \int_{0}^{u个} [\int_{x个}^{u个} Φ_{1} (x个; b条) (λ + α - λ G公司 (年 - x个)) d日 年] d日 x个 . \end{matrix}

(70)

替换(70)到(69)收益率(65).

与证明类似(65)，我们可以获得(66)和(67). ☐

备注 1.

我们指出了这一点

ψ_{1} (u个)

,

ψ_{2} (u个)

、和

ψ_{三} (u个)

是绝对可积的，并且

{k个}_{1} (u个; b条)

,

{k个}_{2} (u个; b条)

、和

{k个}_{三} (u个; b条)

都是连续的。根据Cai和Dickson的说法[29],

Φ_{1} (u个; b条)

,

Φ_{2} (u个; b条)

和

Φ_{三} (u个; b条)

可以通过Picards序列递归地近似。，

\begin{matrix} Φ_{1} (u个; b条) = ψ_{1} (u个) + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \int_{0}^{u个} {k个}_{1 n个} (u个, x个) ψ_{1} (x个) d日 x个, 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

哪里，

{k个}_{11} (u个, x个) = {k个}_{1} (u个, x个)

,

{k个}_{1 n个} (u个, x个) = \int_{x个}^{u个} {k个}_{1} (u个, 年) {k个}_{1, n个 - 1} (年, x个) d日 年, n个 = 2, 三, \dots

.

\begin{matrix} Φ_{2} (u个; b条) = ψ_{2} (u个) + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \int_{b条}^{u个} {k个}_{2 n个} (u个, x个) ψ_{2} (x个) d日 x个, u个 > b条, \end{matrix}

哪里，

{k个}_{21} (u个, x个) = {k个}_{2} (u个, x个)

,

{k个}_{2 n个} (u个, x个) = \int_{x个}^{u个} {k个}_{2} (u个, 年) {k个}_{2, n个 - 1} (年, x个) d日 年, n个 = 2, 三, \dots

.

\begin{matrix} Φ_{三} (u个; b条) = ψ_{三} (u个) + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \int_{- {第页}_{1} / β}^{u个} {k个}_{三 n个} (u个, x个) ψ_{三} (x个) d日 x个, 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

哪里，

{k个}_{31} (u个, x个) = {k个}_{三} (u个, x个)

,

{k个}_{三 n个} (u个, x个) = \int_{x个}^{u个} {k个}_{三} (u个, 年) {k个}_{三, n个 - 1} (年, x个) d日 年, n个 = 2, 三, \dots

.

因此，至少在理论上，如果我们可以提供以下值

Φ_{1} (0; b条)

,

Φ_{1}^{'} (0; b条)

,

Φ_{2} (b条; b条)

,

Φ_{2}^{'} (b条; b条)

,

Φ_{三} (- {第页}_{1} / β; b条)

、和

Φ_{三}^{'} (- {第页}_{1} / β; b条)

，我们可以得到

Φ_{1} (u个; b条)

,

Φ_{2} (u个; b条)

、和

Φ_{三} (u个; b条)

，递归地。

5.绝对破产时间的拉普拉斯变换

在本节中，我们设置

\begin{matrix} φ (u个; b条) = \{\begin{matrix} φ_{2} (u个; b条), u个 > b条, \\ φ_{1} (u个; b条), 0 \leq u个 \leq b条, \\ φ_{三} (u个; b条), - {第页}_{1} / β < u个 < 0 . \end{matrix} \end{matrix}

(71)

定理 6

什么时候？

0 \leq u个 \leq b条

,

\begin{matrix} {第页}_{1} φ_{1}^{'} (u个; b条) = & (λ + ρ) φ_{1} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个} φ_{1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} φ_{三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + \bar{G公司} (u个 + \frac{{第页}_{1}}{β})], \end{matrix}

(72)

以及何时

u个 > b条

,

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) φ_{2}^{'} (u个; b条) & = (λ + ρ) φ_{2} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个 - b条} φ_{2} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个 - b条}^{u个} φ_{1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} φ_{三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \bar{G公司} (u个 + \frac{{第页}_{1}}{β})], \end{matrix}

(73)

以及何时

- {第页}_{1} / β < u个 < 0

,

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) φ_{三}^{'} (u个; b条) = & (λ + ρ) φ_{三} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个 + {第页}_{1} / β} φ_{三} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \bar{G公司} (u个 + \frac{{第页}_{1}}{β})], \end{matrix}

(74)

根据条件

\begin{matrix} φ_{1} (0 +; b条) = φ_{三} (0 -; b条), \end{matrix}

(75)

\begin{matrix} φ_{1} (b条 -; b条) = φ_{2} (b条 +; b条), \end{matrix}

(76)

\begin{matrix} φ_{1}^{'} (0 +; b条) = φ_{三}^{'} (0 -; b条), \end{matrix}

(77)

\begin{matrix} {第页}_{1} φ_{1}^{'} (b条 -; b条) = (γ b条 + {第页}_{2}) φ_{2}^{'} (b条 +; b条), \end{matrix}

(78)

\begin{matrix} \underset{u个 \to - {第页}_{1} / β}{林} φ_{三} (- \frac{{第页}_{1}}{β}; b条) = \frac{λ}{λ + ρ}, \end{matrix}

(79)

\begin{matrix} \underset{u个 \to \infty}{林} φ_{2} (- \frac{{第页}_{1}}{β}; b条) = 0, \end{matrix}

(80)

其中，方程式(80)是从以下事实中获得的

{T型}_{b条} = \infty

和

电子 [{e（电子）}^{- ρ {T型}_{b条}} 我 ({T型}_{b条} < \infty) | {R（右）}_{0}^{u个, b条} = u个] = 0

什么时候

u个 \to \infty

.

在下面，我们求解了

φ (u个; b条)

根据索赔的平均指数分布

μ

.通过应用运算符

(\frac{d日}{d日 u个} + \frac{1}{μ})

上的(72)–(74)然后重新排列它们

\begin{matrix} φ_{1}^{″} (u个; b条) + (\frac{1}{μ} - \frac{λ + ρ}{{第页}_{1}}) φ_{1}^{'} (u个; b条) - \frac{ρ}{μ {第页}_{1}} φ_{1} (u个; b条) = 0, 0 \leq u个 \leq b条, \end{matrix}

(81)

\begin{matrix} (γ u个 + {第页}_{2}) φ_{2}^{″} (u个; b条) + (\frac{γ u个 + {第页}_{2}}{μ} + γ - λ - ρ) φ_{2}^{'} (u个; b条) - \frac{ρ}{μ} φ_{1} (u个; b条) = 0, u个 > b条, \end{matrix}

(82)

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) φ_{三}^{″} (u个; b条) + (\frac{β u个 + {第页}_{1}}{μ} + β - λ - ρ) φ_{三}^{'} (u个; b条) - \frac{ρ}{μ} φ_{三} (u个; b条) = 0, - {第页}_{1} / β < u个 \leq 0 . \end{matrix}

(83)

通过比较(81)–(83)带有(36)–(38)我们分别有

\begin{matrix} φ_{1} (u个; b条) = 米_{1} {e（电子）}^{σ_{1} u个} + 米_{2} {e（电子）}^{σ_{2} u个}, - {第页}_{1} / β < u个 \leq 0, \end{matrix}

(84)

哪里，

米_{1}

和

米_{2}

是任意常数，

{q个}_{1} = \frac{1}{μ} - \frac{λ + ρ}{{第页}_{1}}

和

{q个}_{2} = - \frac{ρ}{μ {第页}_{1}}

令人满意的

{q个}_{1}^{2} - 4 {q个}_{2} > 0

即。，

\begin{matrix} σ_{1} = \frac{- {q个}_{1} + \sqrt{{q个}_{1}^{2} - 4 {q个}_{2}}}{2}, σ_{2} = \frac{- {q个}_{1} - \sqrt{{q个}_{1}^{2} - 4 {q个}_{2}}}{2}, \end{matrix}

(85)

和

\begin{matrix} φ_{2} (u个; b条) = 米_{三} τ_{三} (u个) + 米_{4} τ_{4} (u个), u个 > b条, \end{matrix}

(86)

\begin{matrix} φ_{三} (u个; b条) = 米_{5} τ_{5} (u个) + 米_{6} τ_{6} (u个), - {第页}_{1} / β < u个 \leq 0, \end{matrix}

(87)

具有

\begin{matrix} τ_{三} (u个) & = 经验 {- \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}} \cdot U型 (1 - \frac{λ}{γ}, 1 - \frac{λ + ρ}{γ}; \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}), \\ τ_{4} (u个) & = {(\frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ})}^{(λ + ρ) / γ} \cdot 经验 {- \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}} \cdot M（M） (1 + \frac{ρ}{γ}, 1 + \frac{λ + ρ}{γ}; \frac{γ u个 + {第页}_{2}}{γ μ}), \\ τ_{5} (u个) & = 经验 {- \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}} \cdot U型 (1 - \frac{λ}{β}, 1 - \frac{λ + ρ}{β}; \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}), \\ τ_{6} (u个) & = {(\frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ})}^{(λ + ρ) / β} \cdot 经验 {- \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}} \cdot M（M） (1 + \frac{ρ}{β}, 1 + \frac{λ + ρ}{β}; \frac{β u个 + {第页}_{1}}{β μ}) . \end{matrix}

如果

β \neq λ + ρ

，我们有

\begin{matrix} \underset{u个 ↓ - {第页}_{1} / β}{林} τ_{5} (u个) = \frac{Γ (\frac{λ + ρ}{β})}{Γ (\frac{β + ρ}{β})} = τ_{5} (- {第页}_{1} / β), \underset{u个 ↓ - {第页}_{1} / β}{林} τ_{6} (u个) = 0 . \end{matrix}

(88)

发件人(75)–(80), (84), (86)–(88)，因此

\begin{matrix} \{\begin{matrix} 米_{1} + 米_{2} - 米_{5} τ_{5} (0) - 米_{6} τ_{6} (0) = 0, \\ 米_{1} {e（电子）}^{σ_{1} b条} + 米_{2} {e（电子）}^{σ_{2} b条} - 米_{三} τ_{三} (b条) - 米_{4} τ_{4} (b条) = 0, \\ 米_{1} σ_{1} + 米_{2} σ_{2} - 米_{5} τ_{5}^{'} (0) - 米_{6} τ_{6}^{'} (0) = 0, \\ 米_{1} {第页}_{1} σ_{1} {e（电子）}^{σ_{1} b条} + 米_{2} {第页}_{1} σ_{2} {e（电子）}^{σ_{2} b条} - 米_{三} (γ b条 + {第页}_{2}) τ_{三}^{'} (b条) - 米_{4} (γ b条 + {第页}_{2}) τ_{4}^{'} (b条) = 0, \\ 米_{5} τ_{5} (- {第页}_{1} / β) = \frac{λ}{λ + ρ}, \\ 米_{三} τ_{三} (\infty) + 米_{4} τ_{4} (\infty) = 0 . \end{matrix} \end{matrix}

(89)

我们让

Π

是矩阵，定义为

Π = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & - τ_{5} (0) & - τ_{6} (0) \\ {e（电子）}^{σ_{1} b条} & {e（电子）}^{σ_{2} b条} & - τ_{三} (0) & - τ_{4} (0) & 0 & 0 \\ σ_{1} & σ_{1} & 0 & 0 & - τ_{5}^{'} (0) & - τ_{6}^{'} (0) \\ {第页}_{1} σ_{1} {e（电子）}^{σ_{1} b条} & {第页}_{1} σ_{2} {e（电子）}^{σ_{2} b条} & - (γ b条 + {第页}_{2}) τ_{三}^{'} (b条) & - (γ b条 + {第页}_{2}) τ_{4}^{'} (b条) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & τ_{5} (- {第页}_{1} / β) & 0 \\ 0 & 0 & τ_{三} (\infty) & τ_{4} (\infty) & 0 & 0 \end{matrix}),

和列向量

\vec{B类}

定义为

\vec{B类} = {(0, 0, 0, 0, \frac{λ}{λ + ρ}, 0)}^{T型},

哪里，T型表示转置。让

Π_{我}

表示矩阵，但我第列，共列

Π

被替换为

\vec{B类}

.那么，我们有

米_{我} = \frac{d日 e（电子） t吨 (Π_{我})}{d日 e（电子） t吨 (Π)}, 我 = 1, 2, 三, 4, 5, 6,

哪里，

d日 e（电子） t吨 (\cdot)

表示矩阵的行列式。因此，我们为

φ_{我} (u个; b条), 我 = 1, 2, 三

.

6.达到股息壁垒的时间

让我们探讨一下风险准备金流程需要多长时间才能达到这一障碍b条从初始准备金中提取u个没有绝对的毁灭。让

χ_{b条}

表示风险准备金首次到达的时间b条，定义

Ψ (u个; b条) = 电子 [{e（电子）}^{- ρ χ_{b条}} 我 (χ_{b条} < T型) | {R（右）}_{0}^{u个, b条} = u个], ρ > 0 .

(90)

为了方便记法，我们设置

\begin{matrix} Ψ (u个; b条) = \{\begin{matrix} Ψ_{1} (u个; b条), 0 \leq u个 \leq b条, \\ Ψ_{2} (u个; b条), - {第页}_{1} / β < u个 < 0 . \end{matrix} \end{matrix}

(91)

使用类似于定理1的方法，我们得到

对于

0 \leq u个 \leq b条

,

\begin{matrix} {第页}_{1} Ψ_{1}^{'} (u个; b条) = & (λ + ρ) Ψ_{1} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个} Ψ_{1} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年) \\ + \int_{u个}^{u个 + {第页}_{1} / β} Ψ_{2} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年)], \end{matrix}

(92)

和，用于

- {第页}_{1} / β < u个 < 0

,

\begin{matrix} (β u个 + {第页}_{1}) Ψ_{2}^{'} (u个; b条) = (λ + ρ) Ψ_{2} (u个; b条) - λ [\int_{0}^{u个 + {第页}_{1} / β} Ψ_{2} (u个 - 年; b条) d日 G公司 (年)], \end{matrix}

(93)

带边界条件

\begin{matrix} Ψ_{1} (0 +; b条) = Ψ_{2} (0 -; b条), \\ Ψ_{1}^{^{'}} (0 +; b条) = Ψ_{2}^{^{'}} (0 -; b条) \\ \underset{u个 \to - {第页}_{1} / β}{林} Ψ_{2} (u个; b条) = 0, \\ Ψ_{1} (b条; b条) = 1 . \end{matrix}

使用与中相同的方法第5节，我们可以得到的显式表达式

Ψ_{1} (u个; b条)

和

Ψ_{2} (u个; b条)

当索赔规模与平均值呈指数分布时

μ

.我们省略了它。

作者贡献

所有作者都对本文做出了重要贡献。Y.H.和W.Y.负责构思研究、研究设计、模型构建和风险分析。C.C.对数值模拟做出了独特的贡献。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者感谢编辑和四位匿名审稿人仔细阅读了我们的手稿，并提出了有益和有价值的意见和建议，帮助我们改进了论文的早期版本。本研究得到了国家自然科学基金（11301303号、11501325号）、国家社会科学基金（15BJY007号）、山东省泰山学者计划（tsqn20161041号）、，教育部人文社会科学项目（No.16YJC630070）、山东省自然科学基金项目（No.ZR2018MG002）、山东高等教育科技计划项目（No.J15LI03，No.J15LI53）、，山东省高等学校优势学科和人才队伍培育项目（1716009号）、山东财经大学风险管理与保险研究团队、山东交通大学1251人才培养项目、，新旧动能转化与政府财政拨款协同创新中心项目。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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图1。曲线

{W公司}_{11} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.

图1。曲线

{W公司}_{11} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.

图2。曲线

{W公司}_{11} (u个, b条)

对于

α = 0.02

,

α = 0.03

和

α = 0.04 (b条 = 10)

.

图2。曲线

{W公司}_{11} (u个, b条)

对于

α = 0.02

,

α = 0.03

和

α = 0.04 (b条 = 10)

.

图3。表面

{W公司}_{11} (u个, b条)

关于两个变量u个和b条.

图3。表面

{W公司}_{11} (u个, b条)

关于两个变量u个和b条.

图4。曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.

图4。曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.

图5。的曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

对于

α = 0.02

,

α = 0.03

和

α = 0.04 (b条 = 10, γ = 0.08)

.

图5。曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

对于

α = 0.02

,

α = 0.03

和

α = 0.04 (b条 = 10, γ = 0.08)

.

图6。曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

对于

γ = 0.05

,

γ = 0.07

和

γ = 0.09 (b条 = 10, α = 0.02)

.

图6。曲线

{W公司}_{12} (u个, b条)

对于

γ = 0.05

,

γ = 0.07

和

γ = 0.09 (b条 = 10, α = 0.02)

.

图7。表面

{W公司}_{12} (u个, b条)

关于变量u个和b条.

图7。表面

{W公司}_{12} (u个, b条)

关于变量u个和b条.

图8。的曲线

{W公司}_{13} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.

图8。曲线

{W公司}_{13} (u个, b条)

股息壁垒

b条 = 6

,

b条 = 8

和

b条 = 10

.

图9。曲线

{V（V）}_{13} (u个, b条)

对于

α = 0.01

,

α = 0.015

和

α = 0.02 (b条 = 10, γ = 0.08)

.

图9。曲线

{V（V）}_{13} (u个, b条)

对于

α = 0.01

,

α = 0.015

和

α = 0.02 (b条 = 10, γ = 0.08)

.

图10。曲线

{W公司}_{13} (u个, b条)

对于

β = 0.05

,

β = 0.07

和

β = 0.09 (b条 = 10, α = 0.02)

.

图10。曲线

{W公司}_{13} (u个, b条)

对于

β = 0.05

,

β = 0.07

和

β = 0.09 (b条 = 10, α = 0.02)

.

图11。表面

{W公司}_{13} (u个, b条)

关于变量u个和b条.

图11。的表面

{W公司}_{13} (u个, b条)

关于变量u个和b条.

分享和引用

MDPI和ACS样式

于伟（Yu，W.）。；黄，Y。；崔，C。带阈值分红策略的绝对破产保险风险模型。对称 2018,10, 377.https://doi.org/10.3390/sym10090377

AMA风格

于伟，黄毅，崔C。带阈值分红策略的绝对破产保险风险模型。对称. 2018; 10(9):377.https://doi.org/10.3390/sym10090377

芝加哥/图拉宾风格

于文光、黄玉娟和崔朝然。2018年，“带阈值股息策略的绝对破产保险风险模型”对称10，9号：377。https://doi.org/10.3390/sym10090377

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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具有阈值分红策略的绝对破产保险风险模型

摘要

1.简介

2.积分微分方程 $问 (u个, z（z）; b条)$ 和 ${W公司}_{n个} (u个; b条)$

3.指数声明的显式表达式 ${W公司}_{n个} (u个; b条)$ 和数值示例

4.Gerber-Shiu期望折扣惩罚函数

5.绝对破产时间的拉普拉斯变换

6.达到股息壁垒的时间

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

工具书类

分享和引用

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更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

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1.简介

2.积分微分方程 问 ( u个 , z（z） ; b条 ) 和 W公司 n个 ( u个 ; b条 )

3.指数声明的显式表达式 W公司 n个 ( u个 ; b条 ) 和数值示例

4.Gerber-Shiu期望折扣惩罚函数

5.绝对破产时间的拉普拉斯变换

6.达到股息壁垒的时间

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2.积分微分方程 $问 (u个, z（z）; b条)$ 和 ${W公司}_{n个} (u个; b条)$

3.指数声明的显式表达式 ${W公司}_{n个} (u个; b条)$ 和数值示例