Lower Bounds for Gaussian Estrada Index of Graphs

Shang, Yilun

doi:10.3390/sym10080325

开放式访问第条

图的高斯Estrada指数的下界

通过

尚益伦

同济大学数学科学学院，上海200092

对称 2018,10(8), 325;https://doi.org/10.3390/sym10080325

收到的提交文件：2018年7月3日/修订日期：2018年8月3日/接受日期：2018年8月6日/发布日期：2018年8月7日

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摘要

:

假设G公司是一个图表n个顶点。G公司有n个（邻接矩阵的）特征值表示为

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n个}

高斯埃斯特拉达指数，表示为

H（H） (G公司)

（Estrada等人，Chaos 27（2017）023109），可定义为

H（H） (G公司) = \sum_{我 = 1}^{n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}}

高斯Estrada指数强调接近零的特征值，这在化学反应中起着重要作用，例如分子稳定性和分子磁性。在量子力学控制的粒子网络中，这个图形理论指数通过折叠图形谱来解释哈密顿量近零特征值中编码的信息。在本文中，我们为

H（H） (G公司)

在顶点数、边数以及第一个萨格勒布索引方面。

关键词：

高斯Estrada指数;萨格勒布指数;下限;图形频谱

1.简介

假设G公司是一个无向简单图，包含n个顶点和米边缘。在整篇文章中，我们将这样的图称为

(n个, 米)

-图表。表示方式

A类 = A类 (G公司)

的邻接矩阵G公司显然，它是一个实对称矩阵A类，形成了G公司[1]，可以按非递增顺序排序为

λ_{1} \geq λ_{2} \geq \dots \geq λ_{n个}

.

图的Estrada索引G公司已在中定义[2,三,4,5,6,7]作为

E类 E类 = E类 E类 (G公司) = \sum_{我 = 1}^{n个} {e（电子）}^{λ_{我}} .

(1)

作为一种具有启发性的基于图谱的不变量，它在化学、物理和复杂网络中有许多应用。例如，它被用来测量一些长链分子的折叠程度，包括蛋白质[2,三,4]. 蛋白质链的折叠程度可以用蛋白质主链二面角的余弦之和来描述。值得注意的是，

E类 E类

可以区分上述总和相同的蛋白质结构。

E类 E类

也可作为研究复杂网络鲁棒性的一种有见地的方法[8,9,10]，其中

E类 E类

对连接性有强烈的辨别力，并且随着边的删除或添加而单调变化。关于Estrada指数及其界限，已有大量文献；参见示例[11,12,13,14,15,16,17]. 其他密切相关的指标包括入射能量；参见示例[18].

请注意

E类 E类

由最大特征值控制

λ_{1}

如果间隙

λ_{1} - λ_{2}

的较小特征值中隐藏的拓扑特性信息A类在中被忽视

E类 E类

更一般地说，在形式为

（f） (A类) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} {c（c）}_{k个} {A类}^{k个}

零特征值和接近零的特征值A类当A类描述了Hückel分子轨道理论中的紧束缚哈密顿量[19,20]. 许多化学反应性与最低的未占据分子轨道（即最大的负本征值A类)以及被占据的最高分子轨道（即A类). 例如，从一个分子的最高占据分子轨道到另一个分子最低未占据分子轨道的电子转移在一些有机化学反应中起着至关重要的作用；参见[20]进行调查。因此，Estrada等人[21]最近提出利用高斯矩阵函数提取隐藏在网络谱中接近零的特征值中的关键结构信息。这种新方法产生了高斯Estrada指数，

H（H） (G公司)

，其特征如下：

H（H） = H（H） (G公司) = T型 第页 ({e（电子）}^{- {A类}^{2}}) = \sum_{我 = 1}^{n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}},

(2)

哪里

T型 第页 (\cdot)

表示方阵的迹。由于邻接矩阵A类简单图形的G公司通常包含正特征值和负特征值，高斯-埃斯特拉达指数理想地象征了图谱中接近零的特征值的重要性（所谓的“中间”部分）。

值得一提的是，在网络中G公司由量子力学规则控制的粒子，高斯-埃斯特拉达指数H（H）可以看作是具有哈密顿量的系统的配分函数

{A类}^{2}

基于折叠谱方法[22]. 与含平方哈密顿量的含时薛定谔方程相关的这个量揭示了在接近零的特征值中编码的信息。事实上，与

E类 E类

这给了大特征值更多的权重，H（H）强调接近零的值。如中的数值模拟所示[21],H（H）能够区分二分网络上粒子跳跃和非二分网络中粒子跳跃的动力学。这对于

E类 E类

由于大特征值通常与二分结构的出现无关。因此H（H）这在量子信息理论中是非常可取的。

本文研究了一些简单图的高斯Estrada指数，包括完全图、路、圈、Erdős-Rényi随机图和BA随机网络[21]. 在上表示星图n个顶点依据

{K（K）}_{1, n个 - 1}

回想一下，星图是唯一最多一个顶点的度大于一的连通图。上的以下重要数学属性H（H）建立。

定理 1

([21]). 假设G是

(n个, 米)

-图表。然后

H（H） (G公司) \leq n个 - 2 + 2 {e（电子）}^{1 - n个} .

(3)

平等(三)当且仅当

G公司 = {K（K）}_{1, n个 - 1}

.

更好地理解高斯Estrada指数的性质

H（H） (G公司)

，本文旨在为H（H）根据顶点数量n个和边数米.

2.结果和讨论

为了修正记法，我们首先介绍一些预备知识。对于

k个 \geq 0

，由定义

{M（M）}_{k个} = {M（M）}_{k个} (G公司) = \sum_{我 = 1}^{n个} λ_{我}^{k个}

这个k个-图的谱矩G公司众所周知

{M（M）}_{k个}

计算自转步行的长度k个在图表中[1]. 一点基本代数可以得出以下表达式。

H（H） = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{{(- λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k个}}{k个!} {M（M）}_{2 k个} .

(4)

按照惯例，

{K（K）}_{n个}

表示整个图形n个顶点和

\bar{{K（K）}_{n个}}

表示其（无边）补码。

定理 2

假设G是一个

(n个, 米)

-图表。如果

米 \leq \frac{n个}{2}

，那么我们有

H（H） (G公司) \geq n个 - 2 米 .

(5)

平等(5)当且仅当

G公司 = \bar{{K（K）}_{n个}}

.

证明。

以下(4)并注意到

{M（M）}_{0} = n个

和

{M（M）}_{2} = 2 米

，我们获得

H（H） (G公司) = \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} = n个 - 2 米 + \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{\infty} \frac{{(- λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} .

自

{e（电子）}^{- λ_{我}^{2}} \geq 1 - λ_{我}^{2}

为所有人保留我，我们观察到

\sum_{k个 = 2}^{\infty} \frac{{(- λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} \geq 0

因此，对于任何

δ \in [0, 1]

，我们有

\begin{matrix} H（H） (G公司) & \geq n个 - 2 米 + δ \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{\infty} \frac{{(- λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} \\ = n个 - 2 米 - δ n个 + 2 米 δ + δ \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} \\ = (1 - δ) n个 + 2 (δ - 1) 米 + δ H（H） (G公司) . \end{matrix}

对于

δ < 1

，因此

H（H） (G公司) \geq \frac{(1 - δ) n个 + 2 (δ - 1) 米}{1 - δ} = n个 - 2 米 .

很明显(5)当且仅当每个特征值等于零时，即，

G公司 = \bar{{K（K）}_{n个}}

. ☐

自

H（H） (G公司) > 0

始终成立，当

米 < \frac{n个}{2}

下一个结果也是针对稀疏图的。

定理三。

假设G是一个

(n个, 米)

-图表。如果

米 \leq \frac{n个}{4} + \frac{n个 (n个 - 1)}{4} {e（电子）}^{- \frac{4 米}{n个}}

，然后

H（H） (G公司) \geq \sqrt{n个 - 4 米 + n个 (n个 - 1) {e（电子）}^{- \frac{4 米}{n个}}} .

(6)

平等(6)只有当且仅当

G公司 = \bar{{K（K）}_{n个}}

.

证明。

根据的定义H（H），我们获得

{H（H）}^{2} = \sum_{我 = 1}^{n个} {e（电子）}^{- 2 λ_{我}^{2}} + 2 \sum_{1 \leq 我 < j个 \leq n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}} {e（电子）}^{- λ_{j个}^{2}} .

(7)

它源自算术几何（A-G）不等式我和j个、和

{M（M）}_{2} = 2 米

那个

\begin{matrix} 2 \sum_{1 \leq 我 < j个 \leq n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}} {e（电子）}^{- λ_{j个}^{2}} & \geq n个 (n个 - 1) {(\prod_{1 \leq 我 < j个 \leq n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}} {e（电子）}^{- λ_{j个}^{2}})}^{\frac{2}{n个 (n个 - 1)}} \\ = n个 (n个 - 1) {(\prod_{我 = 1}^{n个} {({e（电子）}^{- λ_{我}^{2}})}^{n个 - 1})}^{\frac{2}{n个 (n个 - 1)}} \\ = n个 (n个 - 1) {(\prod_{我 = 1}^{n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}})}^{\frac{2}{n个}} \\ = n个 (n个 - 1) {({e（电子）}^{- \sum_{我 = 1}^{n个} λ_{我}^{2}})}^{\frac{2}{n个}} = n个 (n个 - 1) {e（电子）}^{- \frac{4 米}{n个}} . \end{matrix}

(8)

与定理2中的论证类似，我们推导出

\sum_{我 = 1}^{n个} {e（电子）}^{- 2 λ_{我}^{2}} = \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 2 λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} = n个 - 4 米 + \sum_{我 = 1}^{n个} \sum_{k个 = 2}^{\infty} \frac{{(- 2 λ_{我}^{2})}^{k个}}{k个!} \geq n个 - 4 米 .

(9)

通过替换(8)和(9)到(7)，我们有

H（H） (G公司) \geq \sqrt{n个 - 4 米 + n个 (n个 - 1) {e（电子）}^{- \frac{4 米}{n个}}} .

平等(6)当且仅当每个特征值等于零时，即，

G公司 = \bar{{K（K）}_{n个}}

. ☐

备注 1

一般来说，定理2和定理3在适用范围上是不可比拟的。例如，当

2 米 = n个

和

n个 \leq 8

，定理2适用，但定理3不适用。另一方面，当

米 = \frac{n个}{4} 自然对数 自然对数 n个

，定理3适用，但定理2不适用。此外，当这两个定理都可以应用时，它们的结果通常仍然是不可比较的。例如，当

4 米 = n个

, (5)收益率

H（H） (G公司) \geq \frac{n个}{2}

.不平等(6)给予

H（H） (G公司) \geq \sqrt{n个 (n个 - 1) {e（电子）}^{- 1}}

，大于

\frac{n个}{2}

对于

n个 \geq 三

，但小于

\frac{n个}{2}

对于

n个 \leq 2

.

接下来，我们考虑H（H）对于具有

米 \geq \frac{n个}{2}

第一个萨格勒布指数[23]图表的G公司定义为

Z轴 克 = Z轴 克 (G公司) = \sum_{我 = 1}^{n个} {d日}_{我}^{2}

，其中

{d日}_{我}

表示我-图中的第个顶点G公司.参数

Z轴 克

与许多其他的图不变量有联系，在化学图论中有多种应用。它是一个有用的分子结构描述符，用于表征分子碳原子骨架中的分支程度等[24]以及纳米管[25].

定理 4

假设G是一个

(n个, 米)

-图表。如果

米 \geq \frac{n个}{2}

和

n个 \geq 2

，然后我们得到

H（H） (G公司) \geq {e（电子）}^{- \frac{Z轴 克}{n个}} + (n个 - 1) {e（电子）}^{\frac{\frac{Z轴 克}{n个} - 2 米}{n个 - 1}} .

(10)

当且仅当G承认时，等式才成立

λ_{1} = \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

,

λ_{2} = \dots = λ_{k个} = \frac{1}{n个 - 2 k个 + 1} \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

和

λ_{k个 + 1} = \dots = λ_{n个} = - \frac{1}{n个 - 2 k个 + 1} \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

对一些人来说

1 \leq k个 \leq ⌊ \frac{n个}{2} ⌋

.

证明。

鉴于算术几何不等式和

{M（M）}_{2} = 2 米

，我们获得

\begin{matrix} H（H） (G公司) & = {e（电子）}^{- λ_{1}^{2}} + \sum_{我 = 2}^{n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}} \\ \geq {e（电子）}^{- λ_{1}^{2}} + (n个 - 1) {(\prod_{我 = 2}^{n个} {e（电子）}^{- λ_{我}^{2}})}^{\frac{1}{n个 - 1}} \\ = {e（电子）}^{- λ_{1}^{2}} + (n个 - 1) {e（电子）}^{\frac{- \sum_{我 = 2}^{n个} λ_{我}^{2}}{n个 - 1}} \\ = {e（电子）}^{- λ_{1}^{2}} + (n个 - 1) {e（电子）}^{\frac{λ_{1}^{2} - 2 米}{n个 - 1}}, \end{matrix}

等式当且仅当

λ_{2}^{2} = \dots = λ_{n个}^{2}

.

自

λ_{1} \geq \frac{2 米}{n个} \geq 1

[1]，我们有

λ_{1}^{2} \geq \frac{2 米}{n个}

。很容易看出映射

（f） (x个) : = {e（电子）}^{- x个} + (n个 - 1) {e（电子）}^{\frac{x个 - 2 米}{n个 - 1}}

正在增加

x个 \geq \frac{2 米}{n个}

请注意

λ_{1} \geq \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

得到等式的充要条件是每个分量都是正则度图

λ_{1}

或一个二部半正则图，使得任意两个相邻顶点的度积等于

λ_{1}^{2}

基于对称论点[26]. 因此，

λ_{1}^{2} \geq \frac{Z轴 克}{n个} \geq \frac{2 米}{n个}

根据的定义

Z轴 克

我们有

H（H） (G公司) \geq （f） (\frac{Z轴 克}{n个}) = {e（电子）}^{- \frac{Z轴 克}{n个}} + (n个 - 1) {e（电子）}^{\frac{\frac{Z轴 克}{n个} - 2 米}{n个 - 1}} .

(11)

如果G公司是

λ_{1} = \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

,

λ_{2} = \dots = λ_{k个} = \frac{1}{n个 - 2 k个 + 1} \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

和

λ_{k个 + 1} = \dots = λ_{n个} = - \frac{1}{n个 - 2 k个 + 1} \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

对一些人来说

1 \leq k个 \leq ⌊ \frac{n个}{2} ⌋

，然后等式保持不变(10). 相反，如果在(10)，然后

λ_{1} = \sqrt{\frac{Z轴 克}{n个}}

和

λ_{2}^{2} = \dots = λ_{n个}^{2}

.我们必须

λ_{1} > λ_{2}

.（否则，我们有

G公司 = \bar{{K（K）}_{n个}}

，这与假设相矛盾

米 \geq \frac{n个}{2}

和

n个 \geq 2

.）自

T型 第页 (A类) = \sum_{我 = 1}^{n个} λ_{我} = 0

,G公司必须具有上述所需的特征值

备注 2

自

{K（K）}_{n个}

具有特征值

λ_{1} = n个 - 1

和

λ_{2} = \dots = λ_{n个} = - 1

，直接检查

G公司 = {K（K）}_{n个}

在(10). 当G连通时(10)意味着G的直径小于或等于2[1]. 此外，当G是正则的时(10)意味着G是强正则的[1].

备注三。

如果我们使用

H（H） (G公司) \geq （f） (\frac{2 米}{n个})

而在中(11)，我们得到以下简单的估计

H（H） (G公司) \geq n个 {e（电子）}^{- \frac{2 米}{n个}},

(12)

当且仅当

G公司 = {K（K）}_{2}

.

事实上，为了看到平等的条件，我们一方面，

H（H） ({K（K）}_{2}) = 2 {e（电子）}^{- 1}

通过直接计算使用

λ_{1} = 1

和

λ_{2} = - 1

另一方面，如果在(12)，然后使用与定理4中相同的参数

Z轴 克 = 2 米

因此

{d日}_{我} = 0

或1假设G是

ℓ_{1}

边缘和

ℓ_{2}

孤立节点，即，

G公司 = ℓ_{1} {K（K）}_{2} \cup ℓ_{2} {K（K）}_{1}

具有

2 ℓ_{1} + ℓ_{2} = n个

请注意

n个 {e（电子）}^{- \frac{2 米}{n个}} \leq n个 {e（电子）}^{- 1} \leq (n个 - ℓ_{2}) {e（电子）}^{- 1} + ℓ_{2} = H（H） (ℓ_{1} {K（K）}_{2} \cup ℓ_{2} {K（K）}_{1})

，当且仅当

ℓ_{2} = 0

,

n个 = 2

和

米 = 1

因此，

G公司 = {K（K）}_{2}

.

备注 4

值得注意的是，高斯埃斯特拉达指数H的上界和下界之间的差距通常远小于埃斯特拉达指数

E类 E类

特别是对于稀疏图，当m与n成线性比例时。例如，当

米 = c（c） n个

对于一些常量

c（c） > 1 / 2

，它来自(三)和(12)那个

n个 {e（电子）}^{- c（c）} \leq H（H） (G公司) \leq n个 - 2 + 2 {e（电子）}^{1 - n个}

。间隙仅由常数乘数表示

{e（电子）}^{c（c）}

。回忆一下

E类 E类

（参见，例如[14]，定理1）给出

n个 \leq E类 E类 (G公司) \leq n个 + {e（电子）}^{\sqrt{2 c（c） n个}}

.

3.结论

在本文中，我们提出了一些新颖的

(n个, 米)

-最近引入的高斯Estrada指数的类型估计

H（H） (G公司)

.稀疏的下限

(米 \leq \frac{n个}{2})

而且密度很大

(米 \geq \frac{n个}{2})

建立了图。的上下界之间的间隙

H（H） (G公司)

被发现比

E类 E类 (G公司)

.

与广泛研究的埃斯特拉达指数相比，高斯埃斯特拉达指数的一个独特之处在于，它能够揭示接近零的特征值中编码的信息。

H（H） (G公司)

可以看作是由含时薛定谔方程控制的系统的配分函数，基于

{A类}^{2} (G公司)

.我们的结果有助于理解

H（H） (G公司)

并有助于建立连接各种有趣的网络不变量的新不等式（如上界和下界）。注意，当前的工作只关注确定性图，没有随机性。对动态图或随机图进行适当的估计是很有意思的[27,28].

基金

本研究由国家自然科学基金资助，批准号为11505127。

致谢

作者感谢学术编辑和三位匿名审稿人的建设性意见，这些意见改善了这份手稿的呈现。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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AMA风格

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芝加哥/图拉宾风格

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请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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