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第10卷
第4版
10.3390/sym10040101
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第条

循环多电平系统的频域框架

通过
孙国民
1，*，†,
劲松冷
1,†和
卡洛·卡塔尼
2,*,†
1
中国电子科技大学数学科学学院，成都610054
2
意大利维特博01100 Tuscia大学DEIM工程学院
*
应向其发送信件的作者。
†
这些作者为这项工作做出了同等贡献。
对称 2018,10(4), 101;https://doi.org/10.3390/sym10040101
收到的提交文件：2018年2月9日/修订日期：2018年3月29日/接受日期：2018年3月31日/发布日期：2018年4月8日
（本文属于特刊对称性和复杂性)
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版本注释

摘要

:
在本文中，我们将使用谐波小波在傅里叶域构造一个新的多级系统。谐波小波的主要优点是其频谱精确地限制在一个倍频带内，并且其定义与Haar小波一样简单。所构造的多电平系统具有圆形，通过平移和缩放基本小波函数，形成频域分区。为了获得圆形，一种新型的采样网格，即圆形极性网格(CPG公司)定义了，以及相应的修改傅里叶变换。这个CPG公司由沿射线的相等空间组成，其中不同的射线具有相同的角度。经典极坐标网格和CPG公司是极坐标上的偶数采样。另一个明显的区别是，修改的傅里叶变换在频域中具有圆形，而极坐标变换具有方形。所提出的采样网格和新定义的傅里叶变换构成了一个完整的傅里叶变换系统，更重要的是，在所提出的取样网格上定义的基于谐波小波的多级系统更适合于傅里叶域中一般图像的分布。
关键词：
谐波小波；过滤；多级系统

1.简介

小波多分辨率表示是分析信号和图像的有效技术之一。小波多分辨率分析（MRA）技术在信号和图像处理中得到了广泛的应用。这是Mallat首先给出的[1]，作者研究了分辨率下信号近似值之间的信息差异 2 j个 + 1 和 2 j个 ，通过在小波基础上分解该信号 L（左） 2 ( R（右） ) 二维通用MRA技术在频域中具有方形[2,三,4]. 为了在傅里叶域设计圆形滤波器，考虑了经典的极傅里叶变换。然而，经典的极性傅里叶变换保持了与空间域中相同的形状，因此研究了新的方法。一种方法是在傅立叶域中重新定义采样网格。在[5]，作者介绍了一种伪极傅里叶变换，该变换在伪极网格（也称为同心正方形网格）上对傅里叶转换进行采样。我们将在第3节此外[6]在单位圆的任意圆弧上等距分布的点上采样，这会产生分数傅里叶变换；和，in[7]，采样在表格的螺旋上 A类 W公司 k个 ，使用 A类 , W公司 ∈ C类 使用这种类型的采样，作者开发了一种计算算法，用于数值评估 z（z） 负极 t吨 第页 一 n个 秒 （f） o个 第页 米 .我们的目标是获得圆形的采样网格；因此，我们希望设计一种新的采样方式，确保采样点集中在圆形区域。然后，采样网格在傅里叶域中具有圆形。受伪极傅里叶变换的启发[5]，我们还将重新定义圆形采样网格上的傅里叶变换。
近年来，人们设计了多种方向小波滤波器，以进一步有效地捕捉信号的细节。最广泛使用的定向多级系统包括曲线[8]，轮廓线[9]和剪羊毛[10,11]. 这些小波的共同点是它们在空间域具有紧支撑多尺度结构。在傅里叶域中，多级系统的支持构成了高冗余分区。为了减少冗余，我们考虑直接在频域中设计多级系统。我们还必须确保多层次体系为 L（左） 2 ( R（右） ) 在空间领域。
为了在傅里叶域中设计多级系统，需要在频率上具有紧支撑的小波。根据谐波小波的定义[12,13,14,15]，它适合用傅里叶变换紧凑且由简单函数（如Haar小波）构造的谐波小波构造定向多级结构[16]在空间领域。我们将在中回顾谐波小波的基本定义和性质第2节.
在这项工作中，通过定义圆形傅里叶变换（CFT），由于谐波小波的紧支撑，我们将在傅里叶域中构造圆形定向多级系统（CMS）[12,13,14,15,17]. 具体结构与一般笛卡尔体系完全不同。通过引入CFT公司，我们计划与一般经典笛卡尔-傅里叶变换进行并行类比，并自然构造出相应的圆形定向多级系统，该系统适用于傅里叶域中图像的圆形。更多详细信息将在第4节.
本文组织如下：第2节回顾了调和小波的基本定义和性质。设计CFT公司在中给出第3节然后，在第4节构造了基于频域谐波小波的多级系统。定量测试措施和测试结果显示在第5节和第6节.

2.初步

基本定义

谐波小波是在傅里叶域中定义的复小波。它由一个偶数函数组成 H（H） e（电子） ( ω ) （请参见图1a） 作为实部和奇函数 H（H） o个 ( ω ) （请参见图1b） 作为虚部，其定义为
H（H） e（电子） ( ω ) = 1 / 4 π , ω ∈ [ 负极 4 π , 负极 2 π ) ∪ [ 2 π , 4 π ) , 0 , 否则 . H（H） o个 ( ω ) = 我 / 4 π , ω ∈ [ 负极 4 π , 负极 2 π ) , 负极 我 / 4 π , ω ∈ [ 2 π , 4 π ) , 0 , 否则 .
结合 H（H） e（电子） 和 H（H） o个 ，我们得到了调和函数
H（H） ( ω ) = H（H） e（电子） ( ω ) + 我 H（H） o个 ( ω ) .
来自标签(1)，我们有
H（H） ( ω ) = 1 / 2 π , ω ∈ [ 2 π , 4 π ) , 0 , 否则 .
如所示图1c。
相应的缩放函数S公司以相同的方式给出，奇偶函数定义为
S公司 e（电子） ( ω ) = 1 / 4 π , ω ∈ [ 负极 2 π , 2 π ) , 0 , 否则 . S公司 o个 ( ω ) = 我 / 4 π , ω ∈ [ 负极 2 π , 0 ) , 负极 我 / 4 π , ω ∈ [ 0 , 2 π ) , 0 , 否则 .
因此，从标签(4),
S公司 ( ω ) = S公司 e（电子） ( ω ) + 我 S公司 o个 ( ω ) .
因此，我们有
S公司 ( ω ) = 1 / 2 π , ω ∈ [ 0 , 2 π ) , 0 , 否则 ,
如所示图2.
然后，基本函数的移位和缩放表示为 S公司 j个 , ℓ ( ω ) 和 H（H） j个 , ℓ ( ω ) ，其给出为
S公司 j个 , ℓ ( ω ) = 1 / 2 j个 S公司 ( ω / 2 j个 负极 ℓ ) , H（H） j个 , ℓ ( ω ) = 1 / 2 j个 H（H） ( ω / 2 j个 负极 ℓ ) ,
哪里 j个 ∈ Z轴 是缩放参数，以及 ℓ ∈ R（右） 是换档参数。根据标签(7)，谐波小波系统构建了 L（左） 2 ( R（右） ) 在频域中；那么，对于 （f） ∈ L（左） 2 ( R（右） ) ，我们有
（f） ( ω ) = ∑ j个 = 负极 ∞ + ∞ ∑ ℓ = 负极 ∞ + ∞ 一 j个 , ℓ H（H） ( 2 j个 ω 负极 ℓ ) ,
（f） ( ω ) = ∑ ℓ = 负极 ∞ + ∞ 一 ℓ S公司 ( ω 负极 ℓ ) + ∑ j个 = 0 + ∞ ∑ ℓ = 负极 ∞ + ∞ 一 j个 , ℓ H（H） ( 2 j个 ω 负极 ℓ ) ,
哪里
一 ℓ = ¦Β 负极 ∞ + ∞ （f） ( ω ) S公司 ( x个 负极 ℓ ) d日 x个 , 一 j个 , ℓ = ¦Β 负极 ∞ + ∞ （f） ( ω ) H（H） ( 2 j个 x个 负极 ℓ ) d日 x个 .

3.圆形状傅里叶变换（CFT）

本节介绍圆形傅里叶变换（CFT）。我们从傅里叶域中的采样网格开始，包括笛卡尔坐标（请参见图3a） 对于经典傅立叶变换和中的伪极性网格[5]（请参见图3b） ●●●●。此栅格对等距长射线的点进行采样，但对角度不相等。为了具有圆形结构，同心圆内的取样网格（参见图3c） 设计为每个圆具有相等的圆弧和角度。这种采样与图像在频域中的分布一致。

3.1、。伪极性电网

伪极性网格 Ω R（右） 表示为
Ω R（右） = Ω R（右） 1 ∪ Ω R（右） 2 ,
哪里
Ω R（右） 1 = { ( 负极 4 ℓ k个 R（右） N个 , 2 k个 R（右） ) : | ℓ | ≤ N个 / 2 , | k个 | ≤ R（右） N个 / 2 } , Ω R（右） 2 = { ( 2 k个 R（右） , 负极 4 ℓ k个 R（右） N个 ) : | ℓ | ≤ N个 / 2 , | k个 | ≤ R（右） N个 / 2 } ,
具有 R（右） = 2 过采样参数。点头 Ω R（右） 1 位于实线在里面图3b和点头 Ω R（右） 2 已打开虚线.
对于 N个 × N个 形象u个，一般离散傅里叶变换 u个 ^ 在上进行评估 N个 × N个 表格中的笛卡尔网格
u个 ^ ( ω x个 , ω 年 ) = ∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 u个 ( x个 , 年 ) e（电子） 负极 2 π 我 N个 ( x个 ω x个 + 年 ω 年 ) ,
哪里 { ( ω x个 , ω 年 ) : ω x个 , ω 年 = 负极 N个 / 2 , … , N个 / 2 . } 、和
∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 | u个 ( x个 , 年 ) | 2 = 1 N个 2 ∑ ω x个 , ω 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 | u个 ^ ( ω x个 , ω 年 ) | 2 .
类似地，伪极傅里叶变换与(13)（请参见[5])，但是 { ( ω x个 , ω 年 ) ∈ Ω R（右） . } 根据普朗彻定理(14)可以通过引入加权函数进行修改w个
∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 | u个 ( x个 , 年 ) | 2 = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ Ω R（右） N个 / 2 负极 1 w个 ( ω x个 , ω 年 ) | u个 ^ ( ω x个 , ω 年 ) | 2 .

3.2. 环形极坐标网（CPG）

在本节中，设计了环形栅格（CPG）（参见图3c） ，定义为
C类 R（右） = C类 R（右） 0 ∪ C类 R（右） Ş ；
哪里 C类 R（右） 0 = { ( 0 , 0 ) } 和 C类 R（右） Ş = C类 R（右） 1 ∪ C类 R（右） 2
C类 R（右） 1 = { ( 第页 余弦 ( ℓ π 米 0 ) , 第页 罪 ( ℓ π 米 0 ) ) : 1 ≤ | 第页 | ≤ R（右） , | ℓ | ≤ 米 0 2 } , C类 R（右） 2 = { ( 第页 罪 ( ℓ π 米 0 ) , 第页 余弦 ( ℓ π 米 0 ) ) : 1 ≤ | 第页 | ≤ R（右） , | ℓ | ≤ 米 0 2 } ,
哪里 米 0 是每个圆中的采样数。
从中可以看出图3c、 点头 C类 R（右） 1 位于实线和点头虚线属于 C类 R（右） 2 此外，第页英寸(17)用作半径和ℓ用作角度参数。 米 0 = 16 是采样数。在CPG公司坐标，节点具有以下特征
C类 R（右） 1 ( ω x个 , ω 年 ) = ( 第页 1 , θ 1 ) , C类 R（右） 2 ( ω x个 , ω 年 ) = ( 第页 2 , θ 2 ) ,
哪里
第页 1 = k个 1 , 第页 2 = k个 2 , θ 1 = ℓ 1 π / 米 0 ； θ 2 = ℓ 2 π / 米 0 .
k个 我 = 0 , … R（右） ； 我 = 1 , 2 和 ℓ 我 = 负极 米 0 / 2 , … 米 0 / 2 ； 我 = 1 , 2 .对于每个固定角度 θ ，的样本CPG公司在径向上等距分布，对于每个固定半径第页，网格具有相同的角度。正式地，
Δ 第页 1 ≜ ( k个 1 + 1 ) 负极 k个 1 = 1 ； Δ 第页 2 ≜ ( k个 2 + 1 ) 负极 k个 2 = 1 , Δ θ 1 ≜ ( ℓ 1 + 1 ) π / 米 0 负极 ℓ 1 π / 米 0 = π / 米 0 , Δ θ 2 ≜ ( ℓ 2 + 1 ) π / 米 0 负极 ℓ 2 π / 米 0 = π / 米 0 ,
哪里 第页 1 , 第页 2 和 θ 1 , θ 2 由给定(19).
对于 N个 × N个 形象u个，的CFT公司属于 u个 ^ 在CPG公司持有
∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 | u个 ( x个 , 年 ) | 2 = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) | u个 ^ ( ω x个 , ω 年 ) | 2 ,
和
u个 ^ C类 R（右） ( ω x个 , ω 年 ) = ∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 u个 ( x个 , 年 ) e（电子） 负极 2 π 我 R（右） 米 0 + 1 ( x个 ω x个 + 年 ω 年 ) .
使用运算符表示法，我们表示 C类 如果 T型 图像的u个作为 如果 第页 ，其中
( 如果 第页 u个 ) ( 第页 , ℓ ) ≜ u个 ^ C类 R（右） ( 第页 , ℓ ) ,
具有 第页 = 负极 R（右） , … , R（右） , ℓ = 负极 米 0 / 2 , … , 米 0 / 2 现在，我们的目标是选择体重 w个 c（c） ，因此 w个 c（c） 满足(21)，我们有
∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) | u个 ^ ( ω x个 , ω 年 ) | 2 = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) | ∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 u个 ( x个 , 年 ) E类 ( x个 , 年 ) | 2 = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) [ ∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 ∑ x个 ′ , 年 ′ = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 u个 ( x个 , 年 ) E类 ( x个 , 年 ) u个 ( x个 ′ , 年 ′ ) E类 ( x个 ′ , 年 ′ ) ¯ ] = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) ∑ x个 , 年 = 负极 N个 / 2 N个 / 2 负极 1 | u个 ( x个 , 年 ) | 2 + ∑ ( x个 , 年 ) ≠ ( x个 ′ , 年 ′ ) u个 ( x个 , 年 ) u个 ( x个 ′ , 年 ′ ) ¯ [ ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) E类 ( x个 , 年 ) E类 ( x个 ′ , 年 ′ ) ¯ ] ,
哪里 E类 ( x个 , 年 ) ≜ e（电子） 负极 2 π 我 R（右） 米 0 ( x个 ω x个 + 年 ω 年 ) .与方程式左侧相比(21)，重量 w个 c（c） 持有
∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) e（电子） 负极 2 π 我 R（右） 米 + 1 ( x个 ω x个 + 年 ω 年 ) = δ ( x个 , 年 ) ；
具有 负极 N个 / 2 ≤ x个 , 年 ≤ N个 / 2 负极 1 .

3.3. 权重的选择 w个 c（c）

下面，我们介绍了权重的基本条件 w个 c（c） ，根据(25)，这满足了这一点
0 = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） Ş w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) [ 余弦 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 x个 ω x个 ) 余弦 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 年 ω 年 ) 负极 罪 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 x个 ω x个 ) 罪 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 年 ω 年 ) ] ； 0 = ∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） Ş w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) [ 罪 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 x个 ω x个 ) 余弦 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 年 ω 年 ) + 余弦 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 x个 ω x个 ) 罪 ( 2 π R（右） 米 0 + 1 年 ω 年 ) ] .
根据对称性 C类 如果 T型 ，加权函数 w个 c（c） 假设满足
w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) = w个 c（c） ( ω 年 , ω x个 ) , ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） , w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) = w个 c（c） ( ω 年 , 负极 ω x个 ) , ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） , w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) = w个 c（c） ( 负极 ω 年 , 负极 ω x个 ) , ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） ,
其中四个方程式(27)描述 ( ω 年 = ω x个 ) -对称性， ( ω 年 = 负极 ω x个 ) -对称性和 o个 第页 我 克 我 n个 -对称性。
此外，
∑ ( ω x个 , ω 年 ) ∈ C类 R（右） w个 c（c） ( ω x个 , ω 年 ) = 1 .
为了避免高复杂性，我们选择了权重 w个 ( ω x个 , ω 年 ) 格式为：
w个 ( ω x个 , ω 年 ) = w个 0 ( ω x个 , ω 年 ) ∑ ω x个 , ω 年 w个 0 ( ω x个 , ω 年 ) ,
哪里
w个 0 ( ω x个 , ω 年 ) = 1 米 0 第页 , { ( ω x个 , ω 年 ) : ω x个 2 + ω 年 2 = 第页 2 } ,
具有 第页 ∈ [ 1 , R（右） ] 、和 w个 ( 0 , 0 ) = 1 .

4.频域多级系统的构建

在本节中，我们在 C类 对 G公司 在频域中。

4.1. 二维基本谐波函数

首先，我们在傅里叶域中定义了二维基本谐波小波函数。为了推导方便，小波函数 H（H） 和缩放函数 S公司 可以按照以下给出的形式进行规范化定义1.
定义 1
二维谐波基本函数定义为
H（H） ( 第页 , θ ) : ≜ H（H） ( 2 π | 第页 | 余弦 ( | θ | ) ) S公司 ( 2 π | 第页 | 罪 ( | θ | ) ) , S公司 ( 第页 , θ ) : ≜ S公司 ( 2 π | 第页 | 余弦 ( | θ | ) ) S公司 ( 2 π | 第页 | 罪 ( | θ | ) ) ,
具有 第页 ∈ [ 负极 R（右） , R（右） ] , θ ∈ [ 0 , π ] .
那么，支持 H（H） ( 第页 , θ ) 和 S公司 ( 第页 , θ ) 根据(三)以及(6),
H（H） ( 2 π | 第页 | 余弦 ( | θ | ) ) ≠ 0 , S公司 ( 2 π | 第页 | 罪 ( | θ | ) ) ≠ 0
同时保持；因此，
1 ≤ | 第页 | 余弦 ( | θ | ) ≤ 2 , 0 ≤ | 第页 | 罪 ( | θ | ) ≤ 1 .
因此 H（H） ( 第页 , θ ) 表示为
2 ≤ | 第页 | ≤ 2 , | θ | ≤ π / 4 .
同样，
支持 S公司 ( 第页 , θ ) = { ( 第页 , θ ) : 0 ≤ | 第页 | ≤ 1 , | θ | ≤ π / 4 } .
接下来，二维缩放和移动 H（H） ( 第页 , θ ) 和 S公司 ( 第页 , θ ) 定义。
定义 2
频域中谐波基本函数的二维缩放和移位定义为
H（H） j个 , ℓ ( 第页 , θ ) : ≜ H（H） ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 余弦 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) ) S公司 ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 罪 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) ) , S公司 j个 , ℓ ( 第页 , θ ) : ≜ S公司 ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 余弦 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) ) S公司 ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 罪 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) ) , H（H） j个 , ℓ * ( 第页 , θ ) : ≜ H（H） ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 罪 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) S公司 ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 余弦 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) ) , S公司 j个 , ℓ ∗ ( 第页 , θ ) : ≜ S公司 ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 罪 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | 负极 π 2 ) ) S公司 ( 2 π 2 负极 j个 | 第页 | 罪 ( 2 j个 | θ 负极 ℓ | ) ) ,
具有 j个 , ℓ ∈ R（右） .

4.2. 上的极谐多电平频域系统（PHMS）CPG公司

在本节中，我们给出了定义在CPG公司.
定义 三。
二维小灵通在CPG公司定义为
对 H（H） M（M） S公司 : ≜ H（H） j个 , ℓ j个 ( 第页 , θ ) ∪ S公司 j个 , ℓ j个 ( 第页 , θ ) ∪ H（H） j个 , ℓ j个 ∗ ( 第页 , θ ) ∪ S公司 j个 , ℓ j个 ∗ ( 第页 , θ ) ,
哪里 H（H） j个 , ℓ , H（H） j个 , ℓ ∗ , S公司 j个 , ℓ 和 S公司 j个 , ℓ ∗ 在中给出(36).level参数 j个 ≤ [ 日志 2 R（右） ] ，移位参数与j有关，我们定义了 ℓ j个 = ℓ 2 负极 j个 π 4 具有 | ℓ | ≤ 2 j个 , ℓ ∈ Z轴 .
发件人 | ℓ | ≤ 2 j个 ，我们有 2 ( 2 j个 + 1 + 1 ) 每个级别中的子带j个，为了减少重叠，我们选择 2 ( 2 j个 + 1 ) 子带；然后小灵通构造傅里叶域的分区。我们展示了小灵通中的结构图4.
对于信号或图像u个，对应的小灵通转型 对 ( u个 ) 在频域中可以定义为
对 ( u个 ) ≜ < u个 ^ C类 R（右） , 对 H（H） M（M） S公司 > = ∑ j个 = 0 J型 ∑ ℓ j个 = 负极 ℓ ( 2 负极 j个 π 4 ) ℓ ( 2 负极 j个 π 4 ) ∑ ℓ = 负极 2 j个 2 j个 ( H（H） j个 , ℓ j个 . ∗ u个 ^ C类 R（右） + S公司 j个 , ℓ j个 . ∗ u个 ^ C类 R（右） + H（H） j个 , ℓ j个 ∗ . * u个 ^ C类 R（右） + S公司 j个 , ℓ j个 ∗ . ∗ u个 ^ C类 R（右） ) ,
具有 ℓ j个 = ℓ 2 负极 j个 π 4 , | ℓ | ≤ 2 j个 , ℓ ∈ Z轴 ，其中 u个 ^ C类 R（右） 是 C类 对 如果 T型 属于u个，定义于(22). 此外， ′ . ∗ ′ 是点积和矩阵 M（M） 1 . ∗ M（M） 2 定义为
( M（M） 1 . ∗ M（M） 2 ) 我 , j个 = ( M（M） 1 ) 我 , j个 ( M（M） 2 ) 我 , j个 .
定理 1
离散极谐多电平系统小灵通定义于CPG公司形成的框架 L（左） 2 ( R（右） 2 ) .
根据中定义的框架[18]，用于信号 U型 英寸(38),
∥ U型 ∥ 2 ≤ ∥ < U型 , 对 H（H） M（M） S公司 > ∥ 2 ≤ c（c） ∥ U型 ∥ 2 ,
哪里 c（c） < + ∞ 是常数；因此，小灵通形成一个框架 L（左） 2 ( R（右） 2 ) .
然后对小灵通如所示图5.

5.定量测试措施

以下介绍了几个性能指标，以测试 对 H（H） M（M） S公司 质量度量是通过生成五个随机图像序列对不同的算子范数进行蒙特卡罗估计 u个 我 , 我 = 1 , … , 5 在 C类 对 G公司 对于 R（右） = 256 , ℓ = 8 具有标准的正态分布条目。
  • 的等轴测图 C类 如果 T型 :
    （a）
    紧密度： M（M） c（c） 我 o个 = 最大值 我 = 1 , … , 5 ∥ 如果 第页 ∗ 如果 第页 u个 我 负极 u个 我 ∥ 2 ∥ u个 我 ∥ 2 ,
    （b）
    预处理质量。 M（M） q个 u个 一 = λ 最大值 ( 如果 第页 ∗ 如果 第页 ) λ 最小值 ( 如果 第页 * w个 如果 第页 ) .
  • 紧密框架属性：操作员规范 ∥ 对 ∗ 对 负极 我 ∥ o个 第页 ，定义为 M（M） t吨 我 克 = 最大值 我 = 1 , … , 5 ∥ 对 ∗ 对 u个 我 负极 u个 我 ∥ 2 ∥ u个 我 ∥ 2 .
  • 稳健性:
    （a）
    阈值：Letu个是平均值为0且方差为512的高斯函数的常规采样 [ 257 ] 2 生成 512 × 512 图像。考虑了两种类型的稳健性 k个 = 1 , 2 、和 M（M） 第页 k个 = ∥ 对 ∗ T型 第页 k个 对 u个 负极 u个 ∥ 2 ∥ u个 ∥ 2 .
    T型 第页 1 :
    T型 第页 1 丢弃 100 ( 1 负极 2 负极 第页 1 ) 系数百分比，带 第页 1 = [ 2 : 2 : 20 ] .
    T型 第页 2 :
    T型 第页 2 保持系数的绝对值大于 米 / 2 第页 2 具有米是所有系数的最大绝对值，其中 第页 2 = [ 0.5 : 0.5 : 5 ] .
    （b）
    量化：质量度量如下所示 M（M） 第页 = ∥ 对 ∗ 问 q个 对 u个 负极 u个 ∥ 2 ∥ u个 ∥ 2 , 哪里 问 q个 ( c（c） ) = 第页 o个 u个 n个 d日 ( c（c） / ( 米 / 2 q个 ) ) · ( 米 / 2 q个 ) 、和 q个 ∈ [ 5 : 负极 0.5 : 0.5 ] .

6.测试结果

在本节中 对 H（H） M（M） S公司 在 C类 对 G公司 对于（1）-（3）中的定量测量，如图所示。
首先是定量指标方面的绩效 ( 1 ) , ( 2 ) 显示在中表1.
发件人表1、紧密度误差 M（M） t吨 我 克 对于 对 H（H） M（M） S公司 转换约为0.1，这证实了多级系统确实不是一个紧密的框架。主要原因是多层结构由于半径的冗余(36). 数量 M（M） c（c） 我 o个 ≈ 0.0095 和 M（M） q个 u个 一 ≈ 1.934 提出了圆极傅里叶变换在等距方面具有良好的性质，这使得我们可以使用共轭梯度法来计算 如果 第页 .重量w个也应该仔细选择。
第二，稳健性度量 ( 三 ) 显示在中表2:
表2显示了 对 H（H） M（M） S公司 .甚至丢弃 100 ( 1 负极 2 负极 10 ) ≈ 99.9 % 在系数中，图像仍然可以恢复，但有误差 M（M） 对 1 = 0.9 × 10 负极 2 第二行表明仅系数大于阈值 米 ( 1 负极 1 / 2 0.001 ) ≈ 0.1 % 可以用 M（M） 第页 2 = 0.009 第三行，稳健性量化 M（M） 第页 将显示。

7.结论

在这项工作中，我们基于多尺度理论在圆形极性网格上开发并实现了一个极性谐波多级系统，并验证了该系统的性能 对 H（H） M（M） S公司 在四种不同的定量测量中，这表明 对 H（H） M（M） S公司 变换适用于圆形傅里叶变换。另一个优点是 对 H（H） M（M） S公司 是指频域中的圆形低频区域与图像频谱分布一致，可以更有效地处理多级结构。

致谢

第一作者孙国民非常感谢中国奖学金委员会资助第一作者访问图西亚大学。本研究得到了国家自然科学基金11271001、61370147和61573085的资助。

作者贡献

孙国民和卡塔尼设计了循环多级系统并进行了实验，梁劲松对结果进行了分析。孙国民和卡洛·卡塔尼撰写了这篇论文。所有作者都已阅读并批准了最终稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本文使用了以下缩写：
CPG公司环形极坐标网
MRA公司多分辨率分析
CFT公司圆形傅里叶变换
CMS公司圆形定向多级系统
小灵通极谐多电平系统

工具书类

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对称10 00101 g001 550
图1。谐波小波函数。(一)偶数部分 H（H） e（电子） ( ω ) ；(b条)奇数部分 H（H） o个 ( ω ) ；(c（c）)谐波小波函数 H（H） ( ω ) .
图1。谐波小波函数。(一)偶数部分 H（H） e（电子） ( ω ) ；(b条)奇数部分 H（H） o个 ( ω ) ；(c（c）)谐波小波函数 H（H） ( ω ) .
对称10 00101 g001
对称10 00101 g002 550
图2。谐波标度函数。(一)偶数部分 S公司 e（电子） ( ω ) ；(b条)奇数部分 S公司 o个 ( ω ) ；(c（c）)缩放函数 S公司 ( ω ) .
图2。谐波标度函数。(一)偶数部分 S公司 e（电子） ( ω ) ；(b条)奇数部分 S公司 o个 ( ω ) ；(c（c）)缩放函数 S公司 ( ω ) .
对称10 00101 g002
对称10 00101 g003 550
图3。三种不同的网格。
图3。三种不同的网格。
对称10 00101 g003
对称10 00101 g004 550
图4。傅里叶域极谐多电平系统 j个 ≤ 2 , ℓ j个 ∈ Z轴 和 负极 2 j个 ≤ ℓ j个 < 2 j个 .
图4。傅里叶域极谐多电平系统 j个 ≤ 2 , ℓ j个 ∈ Z轴 和 负极 2 j个 ≤ ℓ j个 < 2 j个 .
对称10 00101 g004
对称10 00101 g005 550
图5。恢复结果依据小灵通带刻度 j个 = 4 ，随机噪声级 σ = 20 .
图5。恢复结果依据小灵通带刻度 j个 = 4 ，随机噪声级 σ = 20 .
对称10 00101 g005
表
表1。标签结果（1）–（2）。
表1。标签结果（1）–（2）。
M（M） clo（克隆） M（M） 夸 M（M） 钨极氩弧焊
0.009460921.93426270.1036731
表
表2。标签的结果 ( 三 ) .
表2。标签的结果 ( 三 ) .
M（M） 第页 1 3.6 × 10 负极 6 1.7 × 10 负极 5 5.9 × 10 负极 三 2.1 × 10 负极 2 0.9 × 10 负极 2
M（M） 第页 2 0.0090.0630.1030.1720.197
M（M） 第页 0.0510.0650.0830.1260.143

分享和引用

MDPI和ACS样式

Sun，G。；Leng，J。；卡塔尼，C。频域中循环多级系统的框架。对称 2018,10, 101.https://doi.org/10.3390/sym10040101

AMA风格

孙刚，冷J，卡塔尼C。频域中循环多级系统的框架。对称. 2018; 10(4):101.https://doi.org/10.3390/sym10040101

芝加哥/图拉宾风格

孙国民、梁劲松和卡塔尼。2018.“频域循环多级系统框架”对称10，编号4:101。https://doi.org/10.3390/sym10040101

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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