An Adaptive Multi-D-Norm-Driven Sparse Unfolding Deconvolutional Network for Bearing Fault Diagnosis

Lin, Jianbo; Zhang, Han; Li, Yunfei; Du, Zhaohui

doi:10.3390/s24082624

开放式访问第条

一种用于轴承故障诊断的自适应多D形式驱动稀疏展开反卷积网络

¹

长安大学工程机械学院，西安710064

²

长安大学教育部筑路技术与设备重点实验室，西安710064

^三

西北工业大学海洋科学与技术学院，西安710060

^*

信件应寄给的作者。

传感器 2024,24(8), 2624;https://doi.org/10.3390/s24082624

收到的提交文件：2024年2月9日/修订日期：2024年4月10日/接受日期：2024年4月16日/发布日期：2024年4月19日

（本文属于特刊用于故障诊断的信号处理和传感技术)

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版本注释

摘要

:

脉冲盲反褶积（IBD）是轴承故障诊断中常用的脉冲源恢复方法。其基础是基于脉冲源的先验知识设计目标函数，以及描述传输路径影响的传递函数。然而，流行的目标函数不能同时保持波形的脉冲性和周期性循环平稳性，IBD方法的单卷积运算不足以描述由多个线性和非线性单元组成的传输路径。受MaxPooling周期调制强度（MPMI）和卷积稀疏学习（CSL）的启发，提出了一种自适应多D范数驱动稀疏展开反褶积网络（AMD-SUDN）。核心策略是通过MPMI自动构造一个同时具有脉冲性和循环平稳性的目标向量；然后，将该向量代入多D范数中，设计目标函数。此外，推导了CSL模型的迭代软阈值算法（ISTA），并将其迭代步骤展开为一个反褶积网络。通过一组数值仿真研究了该算法的性能和超参数配置。最后，将所提出的AMD-SUDN应用于轴承故障的脉冲特征检测。所有对比结果都证明，与最新的IBD方法相比，所提出的AMD-SUDN实现了更好的反褶积精度。

关键词：

盲反褶积;稀疏优化;自适应周期估计;网络展开算法

1.简介

从噪声观测信号中提取脉冲源是滚动轴承健康监测故障诊断领域的一项基本任务[1,2,三,4]. 如果滚动轴承元件上存在局部故障，则会连续产生脉冲，并且由于旋转运动，周期性结构也会嵌入脉冲中[5,6]. 然后，周期性瞬态脉冲沿着传输路径的复传递函数传播到振动传感器的位置；观测信号由采样设备捕获。此外，由于来自其他机械部件的干扰信号和传感器的电磁噪声，低信噪比（SNR）不可避免。因此，观测信号

年 (t吨)

通常建模为

年 (t吨) = （f） (t吨) * x个 (t吨) + e（电子） (t吨)

(1)

哪里

（f） (t吨)

描述了传输路径的影响，

x个 (t吨)

是周期脉冲

e（电子） (t吨)

表示噪声信号。脉冲盲反褶积（IBD）[7]旨在缓解

（f） (t吨)

和

e（电子） (t吨)

恢复聚焦特征

x个 (t吨)

根据观测信号

年 (t吨)

传感器数量。然而，这是一个不适定问题，对于

x个 (t吨)

因此

x个 (t吨)

是为了解决这个问题而开发的，而且，不同的先验知识自然预示着各种IBD技术家族。

首先，脉冲源的峰度特性

x个 (t吨)

用于设计IBD方法。基于峭度的方法的核心思想是搜索一个逆滤波器

{（f）}^{- 1} (t吨)

取消调制功能

（f） (t吨)

通过最大化统计指标（如峰度、加里变量范数、偏度、稀疏度、Gnini指数）；典型方法包括MED、GMED、G-

我_{第页} / 我_{q个}

和Box–Cox稀疏度量[8,9,10,11,12,13,14]. 然而，峭度指数对离散脉冲非常敏感，因此这些方法通常只能获得一个脉冲，无法达到令人满意的反褶积精度。为了解决这个问题

x个 (t吨)

进一步利用它来增强峰度目标函数。一种典型的方法是最大相关峰度反褶积（MCKD），其关键策略是将周期信息融合到峰度指数中[15]. 反褶积结果表明脉冲源具有显著的周期结构

x个 (t吨)

此外，另一种方法，多点最优最小熵反褶积（MOMEDA）[16]，直接基于周期信息和Dirac函数设计目标向量来描述特征信号

x个 (t吨)

其反褶积结果几乎达到了理想的精度。然而，MCKD和MOMEDA方法的反褶积精度取决于严格的周期信息。在实际工程应用中，由于低信噪比条件，很难从噪声观测信号中计算或提取周期信息。因此，发展了一些分段周期检测方法，其主要目的是找出包络信号自相关函数的最大峰值[17,18,19,20].

另一方面，由于滚动轴承的打滑现象和旋转机械的速度波动，假设故障脉冲信号严格周期是不合理的，采用循环平稳性知识设计目标函数。这方面的优秀例子包括循环平稳性最大化盲反褶积（CYCBD）[21]及其增强版本[22,23,24]. 基于平方包络谱中的稀疏特征信息等于循环平稳特性

x个 (t吨)

[25]，在平方包络谱中引入了几个稀疏指数作为目标函数，包括

我_{2} / 我_{2}

、霍耶指数、谱负熵[26]，广义

我_{第页} / 我_{q个}

规范[27]，平方包络多点峰度[28]基尼指数[29,30]、频谱谐波噪声比[31]，和复合包络负熵[32]. 然而，具有最大循环平稳指数的特征波形通常表现出周期结构，但不一定具有脉冲模式。因此，设计一个同时描述周期结构和脉冲波形的目标函数是非常重要的。

与反滤波器不同

{（f）}^{- 1} (t吨)

上述基于学习的IBD方法，卷积稀疏学习（CSL）策略将传输路径的影响直接建模为卷积运算

（f） (t吨) * x个 (t吨)

，及其优化的过滤器

（f） (t吨)

反映传输路径的单位脉冲响应[33]. 随后，在CSL模型中引入了负有界先验知识，提取了脉冲特征的包络波形，显著提高了反褶积的精度[34]. 此外，结合低阶正则化去噪器和CSL反褶积模型，将CSL模型扩展到低信噪比条件[35]. 设计了一个噪声感知统计阈值，以自动消除噪声并在IBD任务中取得优异的性能[7]. 其他一些基于CSL的IBD方法采用了移位字典[36,37]，本地匹配追踪[38,39]和稀疏过滤器[40]检测脉冲源。还利用特征波形的非局部相似性进一步提高CSL模型的反褶积性能[41]. 这些CSL策略的核心假设是，传输路径的影响可以用卷积操作近似描述，卷积操作是线性的。然而，对于由许多部件组成的机械系统，由于机械部件材料的不同特性，传输路径包括线性和非线性单元，因此，对于复杂的机械系统仅使用一个卷积是不合适的。因此，引入深度神经网络来描述传输路径的非线性调制关系。为IBD任务设计了一个单一线性层和一个向后自动区分策略[42]. 通过L-BFGS算法还开发了一个单卷积层来恢复脉冲信号[43,44]; 此外，通过分层搜索策略，基于最大相关峰度对多个卷积层进行优化[45]. 这些基于深度网络的IBD方法主要利用单个线性或卷积层来设计映射函数，也缺乏非线性激活单元；因此，这些反褶积网络无法描述由线性和非线性单元组成的传输路径影响。因此，设计一个具有多个线性和非线性单元的深度网络以获得更高的反褶积精度是另一个具有挑战性的问题。

为了解决上述两个问题，本文提出了一种用于轴承故障诊断的自适应多D范数驱动稀疏展开反褶积网络（AMD-SUDN）。首先，通过MaxPooling周期调制强度（MPMI）方法自动构造一个同时具有脉冲性和循环平稳性的目标向量，然后将该向量代入多D范数中，设计AMD-SUDN模型的目标函数。然后，基于CSL反褶积模型和算法展开框架[46]采用迭代收缩阈值算法（ISTA）求解CSL模型，然后将其迭代步骤展开为一个具有多个线性和非线性激活单元的SUDN。初步验证了SUDN在轴承故障诊断中的有效性[47]. Adam优化器使用PyTorch框架提取脉冲源，然后进行数值模拟以评估其反褶积性能，并结合最新的IBD技术研究了所提出的AMD-SUDN方法的优越性。最后，对CWRU滚动轴承数据的实验研究进一步验证了AMD-SUDN具有更好的反褶积精度。

本文的主要贡献总结如下。

1: 将MPMI和多D-范数相结合，构造了一个同时具有波形脉冲性和周期循环平稳性的目标函数，据我们所知，这在故障诊断领域还没有研究过。
2: 将CSL模型的迭代步骤展开为一个反褶积网络，该网络用于描述传输路径的线性和非线性单元，这是一种利用模型驱动网络执行IBD任务的新方法。
三。: 数值模拟和反褶积结果表明，所提出的AMD-SUDN优于现有的先进IBD方法。

论文的其余部分组织如下。第2节将回顾多D范数和故障周期估计的相关工作。AMD-SUDN的CSL模型和设计过程将在第3节进行了数值模拟，以研究AMD-SUDN在以下方面的性能第4节，并在中演示了实验验证第5节最后，得出结论第6节.

2.相关工作

2.1. MOMED盲反卷积方法

MOMED方法利用滤波信号的多D-范数作为目标函数，假设在已知位置存在多个脉冲的反卷积目标，这些脉冲可以由滚动轴承的故障频率确定。滤波信号的多重D范数可以表示为：

M（M） 天 N个 (x个) = \frac{1}{∥ t吨 ∥} \frac{{t吨}^{T型} x个}{∥ x个 ∥}

(2)

哪里

t吨

是由确定要恢复的目标脉冲串的位置和权重的常数组成的目标向量。MOMED方法确认了逆滤波器

{（f）}^{- 1}

通过最大化

M（M） 天 N个 (x个)

目标函数，

\underset{{（f）}^{- 1}}{最大值} M（M） 天 N个 (x个) = \underset{{（f）}^{- 1}}{最大值} \frac{{t吨}^{T型} x个}{∥ x个 ∥}, 秒 . t吨 . x个 = {（f）}^{- 1} * 年 .

(3)

局部最大值可以通过对滤波系数进行导数来确定

{（f）}^{- 1}

,

\frac{d日}{d日 {（f）}^{- 1}} (\frac{{t吨}^{T型} x个}{∥ x个 ∥}) = 0

(4)

然后，我们可以得到一个封闭解

\frac{{t吨}^{T型} x个}{{∥ x个 ∥}_{2}^{2}} {（f）}^{- 1} = {(年^{T型})}^{- 1} Y（Y） t吨

(5)

脉冲源信号

x个

可以通过观测信号计算

年 = [年_{1}, 年_{2}, \dots 年_{N个}]

和逆滤波器

{（f）}^{- 1} = {[{（f）}_{1}, {（f）}_{2}, \dots, {（f）}_{N个}]}^{T型}

如下所示：

x个 = {（f）}^{- 1} * 年

(6)

MOMED方法使用目标向量

t吨

确定要恢复的周期脉冲分量的位置和权重，这非常适合于提取具有特殊周期模式的脉冲特征。然而，在滚动轴承故障特征检测中，需要严格的周期信息来设计目标向量

t吨

此外，目标向量

t吨

由于具有严格的周期结构，无法可靠地描述滑移现象和转速波动，这严重限制了MOMED方法的效率。

2.2. 周期调制强度（PMI）方法

检测嵌入观测信号中的周期信息

年

PMI方法的核心操作是找到自相关（AC）函数的最大值，然后将第一个最大点视为周期信息。首先，基于通过希尔伯特解调变换获得的包络波形与原始信号相比显著增强了故障信息这一事实，利用包络波形设计脉冲检测指标是可行的。然后，包络波形

一 (t吨)

分为两部分：周期脉冲调制分量

第页 (t吨)

和干扰调制部件

n个 (t吨)

此外，

第页 (t吨)

和

n个 (t吨)

线性无关。包络信号的自相关函数

一 (t吨)

带延时

τ

可以计算为：

C类 o个 对 (一 (t吨), 一 (t吨 + τ)) = \{\begin{matrix} {E类}_{第页} + {E类}_{n个}, & τ = 0 \\ C类 o个 对 (第页 (t吨), 第页 (t吨 + τ)), & τ \neq 0 \end{matrix}

(7)

哪里

{E类}_{第页}

和

{E类}_{n个}

是的能量

第页 (t吨)

和

n个 (t吨)

分别是。让T型是脉冲分量的时间周期

第页 (t吨)

; 然后，交流功能

第页 (t吨)

是：

C类 o个 对 (第页 (t吨), 第页 (t吨 + 我 T型)) = C类 o个 对 (第页 (t吨), 第页 (t吨)) = {E类}_{第页}, 我 = 1, 2, \dots

(8)

因此，PMI是脉冲信息的量化指标，类似于信噪比（SNR）。最后，可以修改PMI指数以确认脉冲特征的周期信息：

P（P） M（M） 我 (τ) = \frac{C类 o个 对 (一 (t吨), 一 (t吨 + τ))}{C类 o个 对 (一 (t吨), 一 (t吨) - C类 o个 对 (一 (t吨), 一 (t吨 + τ)))}

(9)

功能

P（P） M（M） 我 (\cdot)

仅在处具有本地最大值

τ = 我 T型 (我 = 1, 2, \dots)

因此，这些局部最大值及其关系用于确定第一个局部最大点（除了

τ = 0

)，及其时滞

τ

设置为脉冲周期T型.

3.建议的AMD-SUDN反卷积方法

受卷积稀疏学习和算法展开的启发，建立了稀疏反褶积模型，并推导了其ISTA求解器；然后，将其迭代步骤展开为稀疏展开反褶积网络。另一方面，为了使目标函数同时保持波形脉冲性和周期性循环平稳性，通过MaxPooling PMI方法设计了一个自适应的多D范数，这避免了多D范数目标函数的目标向量依赖于故障波形的严格周期性的假设。拟议的AMD-SUDN结构如所示图1，主要由卷积稀疏学习模型、ISTA解算器和稀疏展开去卷积网络组成。AMD-SUDN中的这些核心模块将在以下小节中描述。

3.1. 卷积稀疏编码模型

通常，滚动轴承故障信号

年

是受复杂传输路径影响的不同组件的混合物，可以表示为：

年 = （f） * x个 + e（电子）

(10)

哪里

x个

和

e（电子）

分别表示脉冲序列和噪声干扰。

（f）

是脉冲源和传感器之间路径的相应传递函数。*表示卷积运算。由于卷积运算*是一种线性映射，卷积模型(10)可以用矩阵-向量乘法格式重写，

年 = C类 x个 + e（电子）

(11)

反褶积方法通常通过构造逆滤波器来恢复脉冲特征，而卷积稀疏学习方法则通过直接建模传输路径的调制过程来提取脉冲特征，因此CSL方法获得了更高的反卷积精度。

基于脉冲源中大多数点的事实

x个

是零，因此

x个

具有稀疏模式，CSL方法引入稀疏正则化项来描述该稀疏模式；此外，为了保证目标函数的计算效率，一个稀疏度量

我_{1}

采用。由此产生的优化问题可以写成

\hat{x个} = 参数 \underset{C类, x个}{最小值} \{\frac{1}{2} {∥ 年 - 抄送 ∥}_{2}^{2} + λ {∥ x个 ∥}_{1}\}

(12)

哪里

λ

是平衡参数。CSL模型简洁易懂；然而，超参数的选择

C类

（滤波器长度和初始化）和

λ

通常需要专业知识。然而，优化问题是非凸的，并且存在许多局部极小值。更重要的是，只有一个卷积运算来描述传输路径对线性和非线性单元的影响，这对于轴承故障诊断来说是不合理的。因此，有必要为IBD任务设计一个具有多个线性层和非线性激活函数的深复杂网络。

3.2. 稀疏展开反褶积网络

在本节中，首先使用ISTA解算器求解卷积稀疏学习模型，同时使用滤波器变量

C类

已修复。然后将迭代步骤展开为线性层，并使用软阈值激活设计深度稀疏网络

C类

和冲动特征

x个

设置为深度稀疏网络的可学习参数，实现了一个目标，即为具有线性和非线性单元的传输路径获得一个深度反褶积网络。

解决问题(12)，ISTA算法交替执行梯度下降步骤和近似算子步骤，其中迭代公式可以写成，

\begin{matrix} 对^{(k个)} & = {x个}^{(k个 - 1)} - ρ {C类}^{T型} ({Cx公司}^{(k个 - 1)} - 年) \\ = {Wx公司}^{(k个 - 1)} + ρ {C类}^{T型} 年 \end{matrix}

(13)

{x个}^{k个} = {柔软}_{θ} (对^{k个}) = 签名 (对^{k个}) 最大值 (| 对^{k个} | - θ)

(14)

哪里

{C类}^{T型} ({抄送}^{(k个 - 1)} - 年)

表示保真度项的梯度

{∥ 年 - 抄送 ∥}_{2}^{2}

,

对^{k个}

表示相应的梯度下降项，

ρ

表示步长，k个表示ISTA迭代索引，

周

用于替换

我 - ρ {C类}^{T型} C类

对于可学习参数，

{柔软}_{θ} (\cdot)

表示软阈值函数，以及

θ

表示阈值。

算法展开框架提供了一种通过将上述迭代过程展开到神经网络架构中来设计网络的方法，如所示图1首先，将梯度下降步长设置为具有可学习参数的线性层

C类

和

ρ

、和

周

固定为

我 - ρ {C类}^{T型} C类

减少网络参数。为了提高计算效率，

{C类}_{k个}

和

{C类}_{k个}^{T型}

分别是一维卷积运算及其转置卷积运算。为了确保每次卷积后的特征映射长度相同，在卷积操作之前对特征映射进行零添加操作；即，每个特征映射都被填充

我 / 2

零点，其中我是卷积核长度。

然后，将近端算子步长或软阈值函数设置为具有可学习参数的激活函数

θ

此外，为了保证稀疏展开网络的良好拟合能力，K（K）迭代步骤得到了扩展，因此K（K）特征映射，类似于

{x个}^{(k个)}, k个 = 1, \dots, K（K）

将其约束在目标函数中，以加速网络训练。作为扩展层K（K）增加后，网络具有更多的参数和更好的拟合能力，自然会导致更好的反褶积性能，但梯度信息的反向传播过程更复杂，因此所开发的网络更容易陷入训练陷阱。设置展开层很重要K（K）和卷积核长度我在稀疏网络中，这些参数将根据数值分析进行选择。

3.3. 基于最大池的周期估计

虽然通过希尔伯特解调得到的包络信号通常比原始信号具有更清晰的故障信息，但包络信号往往受到其他高频分量和噪声周期的影响。P.Borghesani等人[48]发现最大池层的非线性效应对于高频和低频信号分量有很大不同。对于周期为的任何周期分量T型时间步，如果池大小选择为

P（P） \geq T型

，MaxPooling层的输出特征几乎与包络+下采样操作相同，即提取信号的包络幅度。相反，如果池大小小于信号周期(

P（P） < T型

)，原始信号中的整体趋势保留在降采样信号中。因此，MaxPooling层提供了一种自适应地提取目标向量的包络信号的方法

t吨

然后，结合MaxPooling周期调制强度（MPMI）策略和自相关序列来识别脉冲位置。

MPMI战略实施如下：

M（M） P（P） M（M） 我_{年} (τ, P（P）) = \frac{C类 o个 对 (M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨), M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨 + τ))}{C类 o个 对 (M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨), M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨)) - C类 o个 对 (M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨), M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨 + τ))}

(15)

哪里

M（M） {P（P）}_{年, P（P）} (t吨)

表示最大池层获得的最大池包络信号，以及P（P）表示最大池层的池大小和步长。值得注意的是，最大池层对测量信号执行下采样操作

年

，池后的一个采样点表示P（P）原始信号的采样点，因此通过乘以其延迟绘制MPMI

τ

按池大小P（P）以确保信号尺寸的匹配。

为了说明MPMI在识别脉冲周期方面的优势，给出了一个模拟信号以及包络信号和基于MaxPooling层的MPMI的PMI图2.模拟信号是振幅调制周期脉冲和白噪声的混合物，具有零噪声、0.4的方差、−4.47 dB的信噪比和脉冲周期T型共57个采样点。在中可以观察到一系列微弱的周期脉冲图2a、 b，表示PMI的周期检测结果受到高频分量的影响，而MPMI的周期检测结果如图2c非常重要，并且

T型 = 56

将极值的区间平均值作为估计的故障周期，即可得到样本点。

3.4. 优化目标和求解器

经典多重D-范数的目标向量是基于给定脉冲周期的严格周期序列，由于滑动等现象，滚动故障的周期脉冲不是严格周期序列。为了进一步消除多重D-范数的强周期约束，通过替换目标向量设计了一种自适应多重D-模

t吨

具有自适应目标向量的原始多重D范数

{t吨}_{一}

根据MPMI。具体而言，上述MPMI指数衡量了具有时延的信号与原始信号之间的相关性。根据周期信号的相关曲线，可以选择MPMI指数中的每个非常大的值点作为脉冲位置，以获得一个自适应目标向量

{t吨}_{一}

.矢量

{t吨}_{一}

自适应地确定数据点的脉冲位置和周期，从而与实际故障特征相一致，从而消除了强周期约束。自适应多D范数（AMD）可以写为：

{t吨}_{一} = δ \cdot 最大长度 (M（M） P（P） M（M） 我_{年} (τ, P（P）))

(16)

哪里

δ

表示脉冲功能和

我 米 一 x个

表示自相关最大值点集，因此

{t吨}_{一}

在信号的每个最大值处都有一个脉冲。

可以通过最大化AMD目标函数来优化SUDN。首先，需要初始化参数和设置超参数，如池大小P（P）MaxPooling层的展开数k个，和卷积核长度我其次，通过MPMI策略获得自适应多D范数作为稀疏展开反褶积网络的损失函数，并获得整个AMD-SUDN的参数（包括

{C类}_{k个}

,

ρ_{k个}

和

θ_{k个}

)使用神经网络的反向传播算法进行优化。

值得注意的是，AMD-SUDN的每一层都相当于ISTA的一个迭代过程，网络每一层的输出都相当于一次迭代的结果，因此，所提出的自适应多重D范数可以约束于网络每层的输出，这进一步增强了展开网络的性能。AMD-SUDN的修改损失函数可以公式化为：

我 (Θ) = \sum_{k个 = 1}^{K（K）} A类 M（M） 天 ({x个}^{(k个)}, {t吨}_{一})

(17)

4.性能分析

在本节中，使用滚动轴承故障的模拟信号来评估所提出的AMD-SUDN的有效性。滚动轴承的振动信号可以写为以下内容。

年 (t吨) = \sum_{我} {A类}_{我} {小时}_{我} (t吨 - 我 {T型}_{一} - {v（v）}_{我}) + \sum_{j个} {B类}_{j个} 秒 我 n个 (2 π {（f）}_{j个} t吨 + φ_{j个}) + e（电子） (t吨)

(18)

哪里

年 (t吨)

表示由三个分量合成的故障振动信号。第一个是轴承故障引起的周期脉冲，其中

{A类}_{我}

和

{T型}_{一}

分别表示脉冲序列的幅度和时间间隔，以及参数

{v（v）}_{我}

用于模拟轴承中滚柱的随机滑动，设置为

{T型}_{一}

第二个分量是谐波扰动，用于模拟齿轮啮合或轴旋转产生的振动。

{B类}_{j个}

,

{（f）}_{j个}

和

φ_{j个}

分别表示谐波分量的振幅、频率和相位。最后一个组件

e（电子） (t吨)

表示背景噪音。

小时 (t吨)

表示无阻尼单自由度系统的脉冲响应函数。

小时 (t吨) = {e（电子）}^{- ξ t吨} 秒 我 n个 (2 π {（f）}_{d日} t吨)

(19)

哪里

ξ

和

{（f）}_{d日}

分别表示谐振阻尼系数和频率。

轴承外圈故障的模拟信号有6000个点，持续时间为1s，其详细参数如所示表1，其中

{F类}_{秒}

表示采样频率，

F类 C类 F类

表示滚动轴承的故障特征频率，SNR是信噪比。图3a绘制了模拟信号的时域波形，其中红色曲线表示外圈故障特征，从中可以看出外圈故障特性被噪声淹没。图3b进一步显示包络谱。前三个订单

F类 C类 F类

清晰可见。

4.1. AMD-SUDN方法的参数分析

在上面的第3.2节可以看出，AMD-SUDN的超参数对其性能有重要影响。通过模拟信号选择AMD-SUDN的以下参数：滤波器长度我、网络扩展深度K（K），以及最大池层的池大小P（P）实验参数设置如下：epoch=100，学习率=0.01，优化器=Adam。

首先，超参数我和K（K）对网络进行了分析，并以多D-范数和处理时间作为评价指标。实验结果如所示表2经典的MOMED需要更长的过滤器才能获得更好的结果。为了选择合适的我值，展开数K（K）=3首先是固定的，然后是一系列的值我被选择用于性能分析。可以看出，作为我增加，而网络模型的处理时间基本保持在1.8s。根据这些结果，我设置为400，并且展开数的效果K（K）然后进行评估。可以从中看到表2网络模型性能首先提高，然后保持稳定K（K）增加，但处理时间与K（K）因此，扩展数K（K）设置为3。

其次，池大小的影响P（P）需要进一步分析AMD-SUDN，因为MaxPooling的包络效应只有在以下情况下才能实现良好的包络解调P（P）介于高频分量的周期和低频故障特征的周期之间。根据仿真信号可以看出，高频分量的周期为6个采样点，故障特征的周期为57个采样点。图4显示不同池大小下的MPMI曲线P（P）可以看出P（P）略大于高频分量的周期，则可以更准确地确定故障特征的周期，但当P（P）＝6时，MPMI中存在少量干扰，并且当P（P）接近故障周期时，MaxPooling包络效应反映在振幅的提取中，不再提取故障周期。因此，池大小P（P）设置为12。

4.2. AMD-SUDN的可解释性分析

理论上，展开网络继承了迭代算法的可解释性，本小节将检查AMD-SUDN的解释性。基于上述参数选择，将展开网络每层的输出波形及其包络谱绘制为图5。根据这些结果图5a、 c，e，可以看出，随着网络的展开，滤波信号的脉冲特征变得更加重要。根据包络谱图5b、 d，f，发现

F类 C类 F类

其谐波分量随着网络的展开而更加显著，最终提取的脉冲序列非常显著，如所示图5e、 f.这进一步验证了沿迭代步骤展开的网络的阶段性可解释性。

值得注意的是，由于最大汇集层的下采样操作也将频率从12 kHz降至1 kHz，因此包络谱中提取的故障脉冲的频率范围以1 kHz的频率反射回来，导致一些频率段混合的现象，这可以在图5f.从1 kHz反射回来的790 Hz频率分量与故障脉冲频率间隔210 Hz。

4.3. 反褶积方法的比较

在本小节中，将提出的AMD-SUDN方法与MCKD、CYCBD和BAD-MOMED三种反褶积方法进行了比较。可以看出，这三种方法都需要预先给定的理论故障周期。通过初步实验确定，所有三种反褶积方法的迭代次数均设置为100，CYCBD和MCKD的滤波器长度设置为40，MCKD移位数设置为1。有关BAD-MOMED的具体详细信息，请参阅[42]，其中所有滤波器长度与建议的方法一致，设置为400，并以与AMD-SUND的展开数对应的三滤波器级联实现K（K）.

所有比较方法的反褶积结果及其包络谱如所示图6.从中的时域波形图6a、 c、e、g，可以看出，与其他反褶积方法相比，该方法提取的冲击力序列的稀疏性和周期性更为显著。几乎所有的噪音都被消除了；然而，比较方法中含有强噪声，脉冲波形不清楚。从包络谱图6b、 d，f，h，可以看出所有方法都可以检测到

F类 C类 F类

和更高的订单。因此，所提出的AMD-SUND方法在滚动轴承故障诊断中显示出更好的反褶积精度。

为了进一步分析每种方法提取的脉冲特征的脉冲性和周期性，对脉冲特征的时间波形和模拟信号的脉冲序列进行了放大和比较。分析了0.1至0.2 s的波形，如所示图7橙色线表示真实的脉冲序列，蓝色线表示每种方法的反褶积结果。虽然MCKD、CYCBD和BAD-MOMED能够准确地恢复脉冲，但恢复的脉冲与实际脉冲序列并不匹配。相反，所提出的AMD-SUDN很好地恢复了提取序列的脉冲特性，而且提取序列的周期结构与实际的周期故障信息一致。因此，所提出的AMD-SUDN方法通过同时保持波形的脉冲性和周期性循环平稳性，获得了良好的反褶积性能。

最后，确定了这四种方法的计算效率，MCKD的时间开销为0.83s，CYCBD的时间开销是0.98s，BAD-MOMED的时间代价是1.47s，AMD-SUDN的时间开销则是1.84s，这表明AMD-SUDN法的计算效率是可以接受的。

5.实验验证

5.1. 案例1

为了进一步验证所提出的AMD-SUDN在工程应用中的优越性，对实验轴承故障信号进行了分析。方位信号从凯斯西储大学（CWRU）方位数据网站下载。如所示图8试验台由电机、扭矩传感器和测功机组成。使用电火花机床诱发试验滚动轴承的单点故障。故障轴承安装在电机的驱动端。加速计放置在电机外壳的驱动器和风扇端。

外圈故障是滚动轴承常见的故障类型之一。在风机端收集的振动信号用于验证拟议的AMD-SUDN。数据编号为X130-FE-time。采用前6000个数据点作为原始信号来测试该方法。原始信号如所示图9a.时域波形中可以观察到滚动轴承故障激发的周期性脉冲，但由于传输路径的影响，这些脉冲并不尖锐或显著。从包络谱图9b、只能观察到一阶FCF，并且看不到高次谐波。这不利于准确判断滚动轴承的健康状况。

所有方法的反褶积结果如所示图10所有比较方法都可以通过减轻传输路径的调制影响来增强故障源的脉冲性。提出的AMD-SUDN方法可恢复故障源中的所有脉冲，且FCF阶数可提高至7；更重要的是，时间波形中没有噪声，离散脉冲之间的周期性很显著。值得注意的是，比较方法的包络谱可能优于建议的方法，因为MaxPooling层的下采样操作将频率从12 kHz降低到1 kHz，因此从包络谱中提取的故障脉冲的频率范围将以1 kHz反射回来，这将导致一些频率混合。然而，MCKD、CYCBD和BAD-OMED方法不能去除恢复的脉冲源中的强噪声或干扰分量；此外，很难从脉冲波形中直接识别周期模式。因此，可以得出结论，所提出的AMD-SUDN具有优越的反褶积性能，并达到了最先进的精度。

5.2. 案例2

为了进一步验证AMD-SUDN在航空发动机轴承故障诊断中应用的可行性，对航空发动机轴间轴承故障信号进行了分析。航空发动机轴间轴承故障信号来自哈尔滨工业大学（HIT）[49]在本小节中，使用了一组外圈故障信号来验证所建议的网络，其中低压转子以50 Hz的频率旋转，高压转子以80 Hz的频率转动，计算得出FCF为195 Hz。总共使用12500个数据点作为原始信号来测试该方法。轴间轴承外圈故障信号如所示图11a.从时域波形可以看出，轴承故障特征被高压转速的谐波分量所淹没，很难观察到其中的故障特征波形。从包络谱图11b、只有一阶高压转子频率可以清楚地观测到，也有大量的干涉谱线，无法观测到外圈的自由基函数。

每种方法的反卷积结果如所示图12由于所有选定的比较方法都需要输入理论故障特征频率，因此所有比较方法都能够增强频域中的故障特征。所提出的AMD-SUDN方法恢复了故障源中的所有脉冲，并将FCF提高到五阶，更重要的是，时间波形中没有噪声，离散脉冲之间的周期性显著。然而，MCKD、CYCBD和BAD-OMED方法受到强扰动的影响，在恢复的脉冲源中保留了强噪声或干扰分量，并且很难直接从脉冲波形中识别周期性模式。因此，可以得出结论，所提出的AMD-SUDN具有优越的反褶积性能，并达到了较高的精度。

6.结论

本文首先设计了一种自适应多重D范数，以同时保持轴承故障源的波形脉冲性和周期循环平稳性。然后，通过展开卷积稀疏学习优化器的迭代步骤，建立稀疏展开反褶积网络。通过最大化自适应多D范数以找到理想的网络参数，提出了一种用于轴承故障诊断的自适应多D范驱动稀疏展开反褶积网络（AMD-SUDN）。进行了一系列数值仿真，对比结果表明，所提出的AMD-SUDN能够较好地保持故障源的脉冲性和循环平稳性。AMD-SUDN每一层的特征映射都接近真实的故障源，这为设计基于物理模型的可解释网络提供了一种极好的策略。更重要的是，自适应多D范数目标函数没有严格的周期假设，因为MaxPooling提供了一种自适应确定脉冲位置的可行方法。最后，将其应用于轴承故障诊断，验证了AMD-SUDN具有较高的反褶积精度。所有对比结果表明，AMD-SUDN方法优于最先进的反褶积技术。

虽然所提出的AMD-SUDN可以有效地对故障脉冲进行去卷积，但其包络谱很容易受到MaxPooling下采样的影响，MaxPoolig的参数需要通过经验选择。因此，我们将继续优化自适应多重D范数以消除MaxPooling的影响，并进一步考虑数据降噪技术以突出滚动轴承的故障特征，从而提高网络的反褶积效果。

作者贡献

形式分析，J.L。；融资收购，H.Z。；方法学，J.L.、H.Z.和Z.D。；项目管理，H.Z。；监督，H.Z。；验证，Y.L。；撰写原稿，J.L。；Writing review and editing，H.Z.and Z.D.所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

本研究由国家自然科学基金（52275085）、陕西省重点研发计划（2024GX-YBXM-265）和中央高校基本科研业务费（300102252201）资助。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

数据包含在文章中。

鸣谢

我们非常感谢凯斯西储大学和哈尔滨工业大学提供轴承故障数据的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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图1。拟议AMD-SUDN的流程图。

图2。PMI和MPMI指数的对比分析：(一)模拟信号的时域波形(b条)希尔伯特包络信号的PMI频谱，以及(c（c）)基于MaxPooling操作的PMI频谱。

图3。模拟信号。(一)信号波形(b条)信号的包络谱。

图4。池大小的影响P（P）MPMI上。

图5。AMD-SUDN每层的过滤信号。(一)第一层的波形(b条)第一层包络谱(c（c）)第二层的波形(d日)第二层包络谱(e（电子）)最后一层的波形(（f）)最后一层的包络光谱。

图5。AMD-SUDN每层的过滤信号。(一)第一层的波形(b条)第一层的包络光谱(c（c）)第二层的波形(d日)第二层包络谱(e（电子）)最后一层的波形(（f）)最后一层的包络谱。

图6。模拟信号的反褶积结果。(一)MCKD和(b条)其包络谱(c（c）)CYCBD的滤波信号和(d日)其包络谱(e（电子）)BAD-MOMED的滤波信号和(（f）)其包络谱，以及(克)AMD-SUDN的滤波信号，以及(小时)其包络谱。

图6。模拟信号的反褶积结果。(一)MCKD和(b条)其包络谱(c（c）)CYCBD的滤波信号和(d日)其包络谱(e（电子）)BAD-MOMED的滤波信号和(（f）)其包络谱，以及(克)AMD-SUDN的滤波信号和(小时)其包络谱。

图7。过滤结果的局部时域图。(一)MCKD的滤波信号(b条)CYCBD的滤波信号(c（c）)BAD-MOMED的滤波信号(d日)AMD-SUDN的滤波信号。

图7。过滤结果的局部时域图。(一)MCKD的滤波信号(b条)CYCBD的滤波信号(c（c）)BAD-OMED的滤波信号(d日)AMD-SUDN的滤波信号。

图8。轴承故障试验台。

图9。带有外圈缺陷的滚动轴承的原始信号。(一)信号波形(b条)信号的包络谱。

图10。带有外圈缺陷的滚动轴承的反褶积结果。(一)MCKD的滤波信号和(b条)其包络谱(c（c）)CYCBD的滤波信号和(d日)其包络谱(e（电子）)BAD-MOMED的滤波信号和(（f）)其包络谱(克)AMD-SUDN的滤波信号和(小时)其包络谱。

图10。带有外圈缺陷的滚动轴承的反褶积结果。(一)MCKD和(b条)其包络谱(c（c）)CYCBD的滤波信号和(d日)其包络谱(e（电子）)BAD-MOMED的滤波信号和(（f）)其包络谱(克)AMD-SUDN的滤波信号和(小时)其包络谱。

图11。带有外圈缺陷的轴间轴承的原始信号。(一)信号波形(b条)信号的包络频谱。

图12。带有外圈缺陷的轴间轴承的反褶积结果。(一)MCKD和(b条)其包络谱(c（c）)CYCBD的滤波信号和(d日)其包络谱(e（电子）)BAD-MOMED的滤波信号和(（f）)其包络谱(克)AMD-SUDN的滤波信号和(小时)其包络谱。

图12。带有外圈缺陷的轴间轴承的反褶积结果。(一)MCKD和(b条)其包络频谱(c（c）)CYCBD的滤波信号和(d日)其包络谱(e（电子）)BAD-MOMED的滤波信号和(（f）)其包络谱(克)AMD-SUDN的滤波信号和(小时)其包络谱。

表1。模拟信号的参数。

Fs（赫兹）	FCF（赫兹）	振幅（g）	信噪比（dB）	$ξ$	${（f）}_{d日}$ （赫兹）
12,000	210	1	−5	1256	2000

表2。AMD-SUDN的参数选择。

K（K）	我	多重D-Norm	次数
	100	6.65	1.80
	200	8.05	1.73
三	300	8.36	1.84
	400	8.59	1.84
	500	8.51	1.80
2		8.39	1.55
三		8.59	1.84
4	400	8.58	2.26
5		8.59	2.29
6		8.57	3.07

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分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

林杰，张华，李毅，杜忠。一种用于轴承故障诊断的自适应多模态稀疏展开反褶积网络。传感器. 2024; 24(8):2624.https://doi.org/10.3390/s24082624

芝加哥/图拉宾风格

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