A Regularized Weighted Smoothed L0 Norm Minimization Method for Underdetermined Blind Source Separation

Wang, Linyu; Yin, Xiangjun; Yue, Huihui; Xiang, Jianhong

doi:10.3390/s18124260

开放式访问第条

正则加权平滑我₀欠定盲源分离的范数最小化方法

通过

王林宇（Linyu Wang）

，

尹向军

，

悦慧慧

^*和

向建宏

哈尔滨工程大学信息与通信工程学院，哈尔滨150001

^*

信件应寄给的作者。

传感器 2018，18(12), 4260;https://doi.org/10.3390/s18124260

收到时间：2018年10月22日/修订日期：2018年11月28日/接受日期：2018年11月30日/发布时间：2018年12月4日

（本文属于特刊传感器信号与信息处理II)

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摘要

:

压缩传感（CS）理论近年来引起了广泛关注，并被广泛应用于信号和图像处理，如欠定盲源分离（UBSS）、磁共振成像（MRI）等。作为压缩传感的主要环节，稀疏信号重构的目标是如何从欠定线性方程组（ULSE）中准确有效地恢复原始信号。针对这个问题，我们提出了一种新的算法，称为加权正则平滑

我_{0}

-范数最小化算法（WReSL0）。在该算法的框架下，我们做了三件事：（1）提出了一种新的平滑函数，称为复合反比例函数（CIPF）；（2）提出了一种新的加权函数；推导并构造了一种新的正则化形式。在该算法中，将加权函数和新的平滑函数组合为稀疏性提升对象，并推导和构造了一种新的正则化形式以提高去噪性能。在真实信号和真实图像上的性能仿真实验表明，所提出的WReSL0算法优于其他常用方法，如SL0、BPDN、NSL0和L

_{对}

-RLS在用于UBSS时取得了更好的性能。

关键词：

图像重建;零空间测量矩阵;正则化最小二乘问题;平滑的我₀-规范;稀疏信号恢复;瑞士联合银行;加权函数

1.简介

瑞银集团面临的问题[1，2]需要解决的是如何从少量传感器中分离多个信号。该问题的实质是求解待定线性方程组（ULSE）的最优解。幸运的是，作为一种新的欠采样技术，压缩感知（CS）[三，4，5]是解决ULSE的有效方法，这使得CS应用于UBSS成为可能。

CS的模型如所示图1根据这个图，可以看出CS归结为形式，

年 = Φ x个 + b条 ，

(1)

哪里

Φ = [ϕ_{1} ， ϕ_{2} ， \dots ， ϕ_{n个}] \in {R（右）}^{米 \times n个}

是具有以下条件的传感矩阵

米 ≪ n个

和

ϕ_{我} \in {R（右）}^{米} ，

我 = 1 ， 2 ， \dots ， n个

，可以进一步表示为

Φ = ψ φ

，同时

ψ

是一个随机矩阵，并且

φ

是稀疏基矩阵。

年 \in {R（右）}^{米}

是测量矢量。此外，

b条 \in {R（右）}^{米}

表示附加噪声。

求解方程式中的ULSE(1)，我们尝试恢复稀疏信号

x个

从给定的

{年 ， Φ}

由CS提供。根据CS，这个问题转化为解决

我_{0}

-范数最小化问题。

({P（P）}_{0}) \underset{x个 \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} {‖x个‖}_{0} ， 秒 . t吨 . ‖ Φ x个 负极 {年 ‖}_{2}^{2} \leq ϵ .

(2)

哪里

ϵ

表示错误。这一相当奇妙的尝试实际上得到了一个绝妙理论的支持[6]. 基于此理论，在无噪情况下，证明了当

x个

足够稀疏并且

Φ

满足受限等距属性（RIP）[7]:

1 负极 δ_{K（K）} \leq \frac{{‖ Φ x个 ‖}_{2}^{2}}{{‖ x个 ‖}_{2}^{2}} \leq 1 + δ_{K（K）} ，

(3)

哪里K（K）是信号的稀疏性

x个

和

δ_{K（K）} \in (0 ， 1)

是一个常量。在方程式中(2)，的

我_{0}

-范数是非光滑的，这导致了NP-hard问题。在实践中，通常采用两种替代方法来解决问题[8]:

以已知稀疏度为约束的贪婪搜索；
的松弛方法 ${P（P）}_{0}$ .

对于贪婪搜索，主要方法是基于贪婪匹配追踪（GMP）算法，例如正交匹配追踪（OMP）[9，10]，分段正交匹配追踪（StOMP）[11]，正则化正交匹配追踪（ROMP）[12]，压缩采样匹配追踪（CoSaMP）[13]，广义正交匹配追踪（GOMP）[14，15]，和子空间追踪（SP）[16，17]算法。这些算法的目标函数如下所示：

\underset{x个 \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} \frac{1}{2} {∥Φ x个 负极 年∥}_{2}^{2} ， 秒 . t吨 . {∥x个∥}_{0} \leq K（K） .

(4)

如上式所示，GMP算法的特点可以归纳为：

利用稀疏性作为先验信息；
使用最小二乘误差作为迭代准则。

GMP算法的优点是计算复杂度低，但在噪声情况下重建精度不高。

目前

{P（P）}_{0}

广泛使用。松弛方法主要分为两类：约束型算法和正则化方法。约束型算法也可以分为

我_{1}

-范数最小化方法及光滑化

我_{0}

-范数最小化方法。前者的代表算法是BP算法[18]后者是平滑的

我_{0}

-范数最小化（SL0）算法。对于SL0算法，目标函数可以表示为：

\begin{matrix} ({P（P）}_{F类}) \underset{x个 \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} {F类}_{σ} (x个) ， 秒 . t吨 . ‖ Φ x个 负极 {年 ‖}_{2}^{2} \leq ϵ . \\ \underset{σ \to 0}{林} {F类}_{σ} (x个) = \underset{σ \to 0}{林} \sum_{我 = 1}^{n个} {（f）}_{σ} ({x个}_{我}) \approx {∥x个∥}_{0} . \end{matrix}

(5)

哪里

{F类}_{σ} (x个)

是一个平滑函数，它近似于

我_{0}

-标准时间

σ \to 0

.与相比

我_{1}

或

我_{对}

，一个小

σ

选择以使函数接近

我_{0}

-规范[8]; 因此，

{F类}_{σ} (x个)

更接近最优解。

基于近似的思想，Mohimani使用高斯函数来近似

我_{0}

-规范[19]，描述为：

{（f）}_{σ} ({x个}_{我}) = 1 负极 经验 (负极 \frac{{x个}_{我}^{2}}{2 σ^{2}}) .

(6)

根据方程式，我们可以知道：

{（f）}_{σ} ({x个}_{我}) \approx \{\begin{matrix} 1 & 如果 {x个}_{我} ≫ σ \\ 0 & 如果 {x个}_{我} ≪ σ . \end{matrix}

(7)

什么时候

σ

是一个足够小的正值，高斯函数几乎等于

我_{0}

-规范。此外，高斯函数是可微且光滑的；因此，可以使用梯度下降法（GD）等优化方法对其进行优化。赵提出了另一个平滑函数：双曲正切（tanh）[20],

{（f）}_{σ} ({x个}_{我}) = \frac{经验 (\frac{{x个}_{我}^{2}}{2 σ^{2}}) 负极 经验 (负极 \frac{{x个}_{我}^{2}}{2 σ^{2}})}{经验 (\frac{{x个}_{我}^{2}}{2 σ^{2}}) + 经验 (负极 \frac{{x个}_{我}^{2}}{2 σ^{2}})} .

(8)

此平滑函数更接近于

我_{0}

-范数大于高斯函数，如所示[19]，使用相同的

σ

; 因此，它在稀疏信号恢复中表现得更好。事实上，大量模拟实验证实了这一观点。

另一种松弛方法是正则化方法。对于CS来说，噪声情况下的稀疏信号恢复是一个非常实际且不可避免的问题。幸运的是，正则化方法使这个问题的解决成为可能[21，22]. 正则化方法可以描述为一种“松弛”方法，试图解决以下无约束恢复问题：

({P（P）}_{υ}) \underset{x个 \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} \frac{1}{2} {∥Φ x个 负极 年∥}_{2}^{2} + λ υ (x个) ，

(9)

哪里

λ > 0

是平衡偏差项之间权衡的参数

{∥Φ x个 负极 年∥}_{2}^{2}

和稀疏正则化子

υ (x个)

.稀疏先验信息通过正则化器实现

υ (x个)

和适当的

υ (x个)

稀疏信号恢复任务的成功至关重要：它应该有利于稀疏解决方案并确保问题

{P（P）}_{υ}

同时可以有效地解决。

对于正则化，已经提出了各种稀疏正则化子作为

我_{0}

-规范。最流行的算法是凸算法

我_{1}

-规范[22，23]和非凸

我_{对}

-规范

对^{第}

功率[24，25]. 在无声的情况下

我_{1}

-范数等于

我_{0}

-规范，以及

我_{1}

-范数是唯一具有稀疏性和凸性的范数。因此，它可以通过凸优化方法进行优化。然而，根据[8]，在嘈杂的情况下

我_{1}

-范数并不完全等同于

我_{0}

-规范，所以促进稀疏性的效果并不明显。与

我_{1}

-范数，非凸

我_{对}

-规范

对^{第}

power更接近于

我_{0}

-规范；因此，

我_{对}

-范数最小化具有更好的稀疏恢复性能[8]。

鉴于上述解释，本文提出了一种复合反比例函数（CIPF）函数作为新的平滑函数，并提出了一个新的加权函数以提高稀疏性。对于噪声情况，推导并构造了一种新的正则化形式，以提高去噪性能。实验仿真验证了该算法在信号和图像恢复方面的优越性能，并将其应用于UBSS中取得了良好的效果。

本文组织如下：第2节介绍了本文的主要工作。ReRSL0算法的步骤和相关参数的选择如所述第3节。实验结果见第4节评估我们方法的性能。第5节验证了所提出的加权正则平滑算法的效果

我_{0}

-UBSS中的范数最小化（WReSL0）算法。第6节本文得出结论。

2.本文的主要工作

在本文中，基于

{P（P）}_{F类}

在方程式中(9)，我们提出了一个新的目标函数，它由下式给出：

\underset{x个 \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} W公司 {H（H）}_{σ} (x个) ， 秒 . t吨 . ‖ Φ x个 负极 {年 ‖}_{2}^{2} \leq ϵ .

(10)

根据这个方程，我们不仅提出了一个光滑函数来逼近

我_{0}

-范数，还提出了一种加权函数来提高稀疏性。本节重点介绍

W公司 = {[{w个}_{1} ， {w个}_{2} ， \dots {w个}_{n个}]}^{T型}

和

{H（H）}_{σ} (x个)

.

2.1、。新平滑函数：CIPF

根据[26]，光滑函数的一些性质总结如下：

财产：让

（f） : R（右） \to [负极 \infty ， + \infty]

以及，定义

{（f）}_{σ} (第页) \approx {（f）}_{σ} (第页 / σ)

对于任何

σ > 0

.功能（f）具有属性，如果：

（a）: （f）是真正的分析 $({第页}_{0} ， \infty)$ 对一些人来说 ${第页}_{0}$ ;
（b）: $\forall 第页 \geq 0$ ， ${（f）}^{^{”}} (第页) \geq 负极 ϵ_{0}$ ，其中 $ϵ_{0} > 0$ 是一些常量；
（c）: （f）在上是凸的 $R（右）$ ;
（d）: $（f） (第页) = 0 \leftrightarrow 第页 = 0$ ;
（e）: $\underset{第页 \to + \infty}{林} （f） (第页) = 1$ .

它紧接着从

财产

那个

{{（f）}_{σ} (第页)}

汇聚到

我_{0}

-规范为

σ \to 0^{+}

即。，

\underset{σ \to 0^{+}}{林} {（f）}_{σ} (第页) = \{\begin{matrix} 0 & 如果 第页 = 0 \\ 1 & 否则 . \end{matrix}

(11)

基于

财产

，本文提出了一种新的平滑函数模型CIPF，它满足

财产

并更好地逼近

我_{0}

-规范。平滑函数模型如下所示：

{（f）}_{σ} (第页) = 1 负极 \frac{σ^{2}}{α {第页}^{2} + σ^{2}} .

(12)

在方程式中(12),

α

表示正则化因子，它是一个大常数。通过实验

α

被确定为10，这是一个很好的模拟结果。

σ

表示一个平滑因子，当它较小时，它将使建议的模型更接近

我_{0}

-规范。显然，

\underset{σ \to 0}{林} {（f）}_{σ} (第页) = \{\begin{matrix} 0 ， & 第页 = 0 \\ 1 ， & 第页 \neq 0 \end{matrix}

或大约

{（f）}_{σ} (第页) \approx \{\begin{matrix} 0 ， & | 第页 | ≪ σ \\ 1 ， & | 第页 | ≫ σ \end{matrix}

感到满意。让：

{H（H）}_{σ} (x个) = \sum_{我 = 1}^{n个} {（f）}_{σ} ({x个}_{我}) = n个 负极 \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{σ^{2}}{α {x个}_{我}^{2} + σ^{2}}

(13)

哪里

{H（H）}_{σ} (x个) \approx {‖ x个 ‖}_{0}

对于较小的值

σ

，当

σ \to 0

.

图2显示了CIPF模型近似于我₀-规范。显然，CIPF模型具有更好的近似性。

总之，CIPF模型的优点可以总结如下：

它与 $我_{0}$ -规范；
它的形式比高斯和双曲函数模型中的形式简单。

这些优点使得在保证稀疏信号重构精度的前提下降低计算复杂度成为可能，这对稀疏信号重构具有实际意义。

2.2. 新加权函数

Candès等人[27]建议加权

我_{1}

-范数最小化方法，使用加权范数来增强解的稀疏性。他们通过将加权函数与目标函数结合，提供了稀疏恢复改进的分析结果。Pant等人[28]应用另一个加权平滑

我_{0}

-范数最小化方法，使用类似的加权函数来提高稀疏性。加权函数可以总结如下：

坎迪斯等人： ${w个}_{我} = \{\begin{matrix} \frac{1}{| {x个}_{我} |} & {x个}_{我} \neq 0 \\ \infty & {x个}_{我} = 0 \end{matrix}$ ;
Pant等人： ${w个}_{我} = \frac{1}{| {x个}_{我} | + ζ}$ ， $ζ$ 是一个足够小的正常数。

从这两个加权函数中，我们可以发现一种现象：大信号进入

{x个}_{我}

用一个小的

{w个}_{我}

; 相反，一个小信号入口

{x个}_{我}

加权值较大

{w个}_{我}

通过分析

{w个}_{我}

强制解决方案

x个

专注于指数，其中

{w个}_{我}

很小，从结构上看，这些指标正好对应于以下指数

x个

非零。

结合上述思想，我们提出了一个新的加权函数，其公式如下：

{w个}_{我} = {e（电子）}^{负极 \frac{| {x个}_{我} |}{σ}} ， 秒 . t吨 . 我 = 1 ， 2 ， \dots ， n个 .

(14)

对于Candès等人，当信号输入为零或接近零时

{w个}_{我}

将非常大，不适合用计算机进行计算。尽管Pant等人注意到了这个问题，并改进了加权函数来避免它，但常量

ζ

取决于经验。实际上，所提出的加权函数可以避免这两个问题。此外，我们的加权函数可以满足这一现象。当小信号进入时

{x个}_{我}

可以用大

{w个}_{我}

和一个大信号入口

{x个}_{我}

可以用一个

{w个}_{我}

，这可以使大信号入口和小信号入口更接近。这样，优化的方向可以尽可能保持一致，优化过程也趋于最优。因此，所提出的加权函数可以有更好的效果。

3.CS:WReSL0的新算法

3.1. WReSL0算法及其步骤

在这里，为了更清楚地分析问题，我们重写了方程式(10)如下所示：

\underset{x个 \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} W公司 {H（H）}_{σ} (x个) ， 秒 . t吨 . ‖ Φ x个 负极 {年 ‖}_{2}^{2} \leq ϵ .

哪里

{H（H）}_{σ} (x个) = 我 负极 \frac{σ^{2}}{α {x个}^{2} + σ^{2}}

(

我 \in {R（右）}^{N个}

是单位向量）是一个可微的平滑累积函数。加权函数

W公司 = {e（电子）}^{负极} \frac{| x个 |}{σ}

因此，我们可以得到CIPF的梯度，它写为：

G公司 = \frac{⏴ {H（H）}_{σ} (x个)}{⏴ x个} = \frac{2 α σ^{2} x个}{{(α {x个}^{2} + σ^{2})}^{2}}

(15)

根据方程式(15)，如中所示[28]，我们可以获得：

工作组 = {({e（电子）}^{负极} \frac{| x个 |}{σ})}^{T型} \frac{2 α σ^{2} x个}{{(α {x个}^{2} + σ^{2})}^{2}}

(16)

解决ULSE问题就是解决方程中的优化问题(10). 关于这个问题，有很多方法，比如分裂Bregman方法[29，30，31]、FISTA[32]，交替方向法[33]，梯度下降（GD）[34]为了降低计算复杂度，本文采用GD方法对提出的目标函数进行优化。

鉴于

σ

，目标值较小

σ_{最小值}

和足够大的初始值

σ_{最大值}

，参考模拟退火中的退火机理[35]，本文提出了一个单调递减序列

{σ_{t吨} | t吨 = 2 ， 三 ， \dots ， T型}

，生成为：

σ_{t吨} = σ_{最大值} θ^{负极 γ (t吨 负极 1)} ， 秒 . t吨 . t吨 = 1 ， 2 ， 三 ， \dots ， T型 .

(17)

哪里

γ = \frac{{日志}_{θ} (σ_{最大值} / σ_{最小值})}{T型 负极 1}

，

θ

是大于1的常数，并且T型是最大迭代次数。使用这种单调递减的序列可以避免

σ

导致局部最优。

与SL0类似，WReSL0也由两个嵌套迭代组成：外部循环，它以足够大的值

σ

，即，

σ_{最大值}

，负责方程式中的逐步递减策略(17)和内部循环，对于的每个值

σ

，找到的最大值

{H（H）}_{σ} (x个)

在

{x个 | ‖ A类 x个 负极 年 ‖_{2} \leq ϵ}

.

根据GD算法，内环由梯度下降步长组成，如下所示：

\hat{x个} = x个 + μ d日 ，

（18）

哪里

d日 = 克

和

μ

表示步长系数。此部分与SL0类似，然后解决问题：

\underset{{x个}^{*} \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} ‖ {x个}^{*} 负极 \hat{x个} ‖_{2}^{2} ， 秒 . t吨 . ‖ Φ {x个}^{*} 负极 年 ‖_{2}^{2} \leq ϵ

(19)

哪里

{x个}^{*}

表示最佳解决方案。通过正则化，此形式可以转换为另一种形式，如下所示：，

\underset{{x个}^{*} \in {R（右）}^{n个}}{参数 最小值} ‖ {x个}^{*} 负极 \hat{x个} ‖_{2}^{2} + λ ‖ Φ {x个}^{*} 负极 年 ‖_{2}^{2} .

(20)

哪里

λ

是正则化参数，用于平衡解与数据的拟合年解的最大值逼近

{H（H）}_{σ} (x个)

.加权最小二乘法（WLS）可用于解决此问题，其解为：

{x个}^{*} = {[\begin{matrix} {[\begin{matrix} 我_{n个} \\ Φ \end{matrix}]}^{H（H）} & [\begin{matrix} 我_{n个} & 0 \\ 0 & λ 我_{米} \end{matrix}] & [\begin{matrix} 我_{n个} \\ Φ \end{matrix}] \end{matrix}]}^{负极 1} {[\begin{matrix} 我_{n个} \\ Φ \end{matrix}]}^{H（H）} [\begin{matrix} 我_{n个} & 0 \\ 0 & λ 我_{米} \end{matrix}] [\begin{matrix} \hat{x个} \\ 年 \end{matrix}] .

(21)

通过计算，方程式(21)等于：

{x个}^{*} = {(我_{n个} + λ Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} (\hat{x个} + λ Φ^{H（H）} 年)

(22)

哪里

我_{n个}

和

我_{米}

都是大小相同的单位矩阵

n个 \times n个

和

米 \times 米

分别是。因此，我们可以得到：

\begin{matrix} {x个}^{*} 负极 \hat{x个} & = {(我_{n个} + λ Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} (\hat{x个} + λ Φ^{H（H）} 年) 负极 \hat{x个} \\ = {(我_{n个} + λ Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} (\hat{x个} + λ Φ^{H（H）} 年 负极 (我_{n个} + λ Φ^{H（H）} Φ) \hat{x个}) \\ = {(我_{n个} + λ Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} (\hat{x个} + λ Φ^{H（H）} 年 负极 \hat{x个} 负极 λ Φ^{H（H）} Φ \hat{x个}) \\ = 负极 {(λ^{负极 1} 我_{n个} + Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} Φ^{H（H）} (Φ \hat{x个} 负极 年) \end{matrix}

根据上述分析和推导，我们可以得到：

{x个}^{*} = \hat{x个} 负极 {(λ^{负极 1} 我_{n个} + Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} Φ^{H（H）} (Φ \hat{x个} 负极 年)

(23)

内部循环的初始值是

{H（H）}_{σ} (x个)

为获得

σ_{最大值}

为了提高速度，内部回路重复了固定且少量的次数（L）。换句话说，我们不等待GD方法在内部循环中收敛。

根据上述解释，我们可以总结出所提出的WReSL0算法的步骤，如下所示表1.至于

σ

，可以显示函数

{H（H）}_{σ} (x个)

在

x个

小于

σ

。由于算法从原始值开始

{x个}^{(0)} = Φ^{H（H）} (Φ Φ^{H（H）})^{负极 1} 年

，上述选择

σ_{1}

确保优化从凸区域开始。这大大促进了WReSL0算法的收敛。

3.2. 参数的选择

参数的选择

μ

和

σ

将影响WReSL0算法的性能；因此，本文在本节中讨论了上述两个参数的选择。

3.2.1. 参数的选择 $μ$

根据该算法，每次迭代都由一个下降步组成

{x个}_{我} \leftarrow {x个}_{我} 负极 μ ({e（电子）}^{负极} \frac{| {x个}_{我} |}{σ}) \frac{2 α σ^{2} {x个}_{我}}{{(α {x个}_{我}^{2} + σ^{2})}^{2}} ， 1 \leq 我 \leq n个

，然后是投影步骤。如果对于某些值我，我们有

| {x个}_{我} | ≫ σ

，则算法不会更改

{x个}_{我}

在下降的那一步；然而，它可能会在投影步骤中更改。如果我们正在寻找一个合适的大

μ

，一个合适的选择是使算法强制所有这些值

x个

令人满意的

| {x个}_{我} | ≲ σ

接近零。因此，我们可以得到：

{x个}_{我} 负极 μ ({e（电子）}^{负极} \frac{| {x个}_{我} |}{σ}) \frac{2 α σ^{2} {x个}_{我}}{{(α {x个}_{我}^{2} + σ^{2})}^{2}} \approx 0

(24)

和：

({e（电子）}^{负极} \frac{| {x个}_{我} |}{σ}) \overset{{x个}_{我} \to 0}{\to} 1

(25)

组合方程式(24)和(25)，我们可以进一步获得：

{x个}_{我} 负极 μ \frac{2 α σ^{2} {x个}_{我}}{{(α {x个}_{我}^{2} + σ^{2})}^{2}} \approx 0

(26)

通过计算，我们可以得到：

μ \approx \frac{{(α {x个}_{我}^{2} + σ^{2})}^{2}}{2 α σ^{2}} \overset{{x个}_{我} \to 0}{\to} \frac{σ^{2}}{2 α}

(27)

根据上述推导，我们得出以下结论：

μ \approx \frac{σ^{2}}{2 α}

。因此，我们可以设置

μ = \frac{σ^{2}}{2 α}

.

3.2.2. 参数的选择 $σ$

根据方程式(17)，降序

σ

由生成

σ_{t吨} = σ_{最大值} {(\frac{σ_{最小值}}{σ_{最大值}})}^{\frac{t吨 负极 1}{T型 负极 1}}

（通过简化方程式得到(17)). 参数

σ_{最小值}

和参数

σ_{最大值}

应适当选择。选择

σ_{最小值}

和

σ_{最大值}

下文将对此进行讨论。

对于的初始值

σ

即。，

σ_{最大值}

给，让

\tilde{x个} = 最大值 {| x个 |}

; 假设有一个常数b条，使算法快速收敛；let参数

σ_{最大值}

满足：

{H（H）}_{σ} (\tilde{x个}) = 1 负极 \frac{σ_{最大值}^{2}}{α {\tilde{x个}}^{2} + σ_{最大值}^{2}} \leq b条 \Rightarrow σ_{最大值} \geq (\sqrt{\frac{1 负极 b条}{b条} α}) \tilde{x个} .

(28)

从方程中我们可以看到这个常数b条满足

\frac{1 负极 b条}{b条} \geq 0

; 因此

0 < b条 \leq 1

这里，我们定义了常数b条作为

0.5

因此，

σ_{最大值} = \sqrt{α} 最大值 {| x个 |}

.

对于最终值

σ_{最小值}

，何时

σ_{最小值} \to 0

，

{H（H）}_{σ_{最小值}} (x个) \to {‖ x个 ‖}_{0}

。也就是说，越小

σ_{最小值}

，越多

{H（H）}_{σ_{最小值}} (x个)

可以反映信号的稀疏性

x个

但同时，它对噪声也更为敏感；因此，价值

σ_{最小值}

不应该太小。组合[19]，我们选择

σ_{最小值} = 0.01

.

4.性能仿真与分析

数值模拟平台是MATLAB 2017b，它安装在具有Windows 10，64位操作系统的计算机上。模拟计算机的CPU是Intel（R）Core（TM）i5-3230M，频率为2.6 GHz。在本节中，通过噪声情况下的信号和图像恢复来验证WReSL0算法的性能。

这里选择了一些最先进的算法进行比较。选择参数以获得每个算法的最佳性能：对于BPDN算法[36]，正则化参数

λ = σ_{N个} \sqrt{2 日志 (n个)}

; 对于SL0算法[19]，平滑因子的初始值

δ_{最大值} = 2 最大值 {| x个 |}

，平滑因子的最终值

δ_{最小值} = 0.01

，比例因子设置为步长

我 = 5

，以及衰减系数

ρ = 0.8

; 对于NSL0算法[20]，平滑因子的初始值

δ_{最大值} = 4 最大值 {x个}

，平滑因子的最终值

δ_{最小值} = 0.01

，步长

我 = 10

，以及衰减系数

ρ = 0.8

; 对于L

_{对}

-RLSalgorithm公司[24]，迭代次数

T型 = 80

，标准初始值

对_{1} = 1

，标准最终值

对_{T型} = 0.1

，正则化因子的初始值

ϵ_{1} = 1

，正则化因子的最终值

ϵ_{T型} = 0.01

，以及算法终止阈值

{E类}_{t吨} = 10^{负极 25}

; 对于WReSL0算法，平滑因子的初始值

σ_{最大值} = \sqrt{c（c）} 最大值 {| x个 |}

，平滑因子的最终值

σ_{最小值} = 0.01

，迭代

T型 = 30

，步长

我 = 5

，和正则化参数

λ = 0.1

所有实验均基于100次试验。

4.1. 噪声情况下的信号恢复性能

在这一部分中，我们讨论了噪声情况下的信号恢复性能。我们添加噪音

b条

到测量矢量

年

; 此外，

b条 = δ_{N个} Ω

，

Ω

随机形成，并遵循高斯分布

N个 (0 ， 1)

对于噪声条件下的信号恢复，我们通过归一化均方误差（NMSE）和CPU运行时间（CRT）评估算法的性能。NMSE定义为

‖ x个 负极 \hat{x个} ‖_{2} / {‖ x个 ‖}_{2}

CRT用

t吨 我 c（c）

和

t吨 o（o） c（c）

为了在更接近实际情况的背景下分析WReSL0算法的去噪性能，我们在本节的实验中构造了一个特定的信号作为实验对象。信号由以下公式给出：

\{\begin{matrix} {x个}_{1} = α_{1} 罪 (2 π {（f）}_{1} {T型}_{秒} t吨) \\ {x个}_{2} = β_{1} 科斯 (2 π {（f）}_{2} {T型}_{秒} t吨) \\ {x个}_{三} = α_{2} 罪 (2 π {（f）}_{三} {T型}_{秒} t吨) \\ {x个}_{4} = β_{2} 科斯 (2 π {（f）}_{4} {T型}_{秒} t吨) \\ X（X） = {x个}_{1} + {x个}_{2} + {x个}_{三} + {x个}_{4} \end{matrix}

(29)

哪里

α_{1} = 0.2

，

α_{2} = 0.1

，

β_{1} = 0.3

、和

β_{2} = 0.4

.

{（f）}_{1} = 50

赫兹；

{（f）}_{2} = 100

赫兹；

{（f）}_{三} = 200

赫兹；和

{（f）}_{4} = 300

赫兹。在这里，

t吨

是一个序列

t吨 = [1 ， 2 ， 三 ， \dots ， n个]

、和

{T型}_{秒}

是采样间隔，其值为

\frac{1}{{（f）}_{秒}}

.

{（f）}_{秒}

是采样频率，值为800 Hz。需要重建的对象可以表示为：

年 = Φ x个 + δ_{N个} Ω .

(30)

哪里

x个 \in {R（右）}^{n个}

是频域中的稀疏信号，它是

X（X）

，

年 \in {R（右）}^{米}

.给，让

n个 = 128

，

米 = 64

此外，

Φ

可以表示为

Φ = ψ φ

; 在这里，

ψ

是由高斯分布生成的随机矩阵，以及

φ

是通过傅里叶变换生成的稀疏基矩阵。在这里，

φ

可以由傅里叶给出

我_{n个 \times n个}

、和

我_{n个 \times n个}

是一个单位矩阵。这个目标信号

X（X）

在傅里叶空间中是稀疏的；因此，信号

X（X）

可以从给定中恢复

{年 ， Φ}

采用CS回收方法。

图3显示了信号恢复效果。显然，BPDN和SL0表现不佳，而NSL0、L

_{对}

-RLS和提议的WReSL0性能相当好。这验证了正则化机制具有良好的去噪效果。图4显示了所选算法恢复的信号的频谱。我们提出的WReSL0算法恢复的信号频谱与原始信号的频谱几乎相同，而其他算法无法达到这一效果。

表2显示了所有算法的CRT。这个n个根据给定顺序进行更改

[170 ， 220 ， 270 ， 320 ， 370 ， 420 ， 470 ， 520]

从表中，对于任何n个，SL0的计算时间最短，其次是WReSL0、NSL0和L

_{对}

-RLS和BPDN的计算时间最长。BPDN算法通常采用二次规划方法实现，该方法的计算复杂度很高，从而导致算法的整体计算时间大大增加。此外，单位为L

_{对}

-RLS迭代过程采用了复杂度较高的共轭梯度法，而NSL0和WReSL0则不采用。与NSL0相比，WReSL0在减少计算时间方面更为突出。

每个算法在不同噪声强度下的性能如所示图5.何时

δ_{N个} = 0

，SL0优于其他算法，但随着

δ_{N个}

SL0的效果越来越差。这一结果进一步说明了传统的约束稀疏恢复算法不具备抗噪性能。对于BPDN、NSL0、L

_{对}

-RLS和WReSL0都应用了正则化机制，在噪声情况下确实优于SL0。因此，本文提出的WReSL0具有最佳的去噪性能。

4.2. 噪声情况下的图像恢复性能

在某些适当的基下，如DCT基、DWT基等，实际图像被认为是近似稀疏的。这里，我们选择DWT基来恢复这些图像。我们基于中的四个真实图像比较了恢复性能图6：船、芭芭拉、辣椒和莉娜。这些图像的大小为

256 \times 256

; 压缩比（CR；定义为

米 / n个

)为0.5；和噪音

δ_{N个}

等于0.01。我们仍然选择SL0、BPDN、NSL0和L

_{对}

-RLS进行比较。对于图像恢复，图像处理的对象由下式给出：

Y（Y） = Φ X（X） + B

(31)

在这里，

Y（Y）

，

X（X）

，

B

是矩阵，其中，

Y（Y） ， B \in {R（右）}^{米 \times n个}

，

X（X） \in {R（右）}^{n个 \times n个}

.为了满足CS的基本要求，我们执行以下处理：

{Y（Y）}_{我} = Φ {X（X）}_{我} + B_{我} 秒 . t吨 . 我 = 1 ， 2 ， \dots ， n个 .

(32)

哪里

{Y（Y）}_{我}

，

{X（X）}_{我}

，

B_{我}

是的列向量

Y（Y）

，

X（X）

，

B

分别是。

B_{我} = δ_{N个} Ω

，

Ω

服从高斯分布

N个 (0 ， 1)

.

为了进行图像恢复，我们使用峰值信噪比（PSNR）和结构相似性指数（SSIM）对其进行评估。PSNR定义为：

PSNR公司 = 10 日志 (255^{2} / MSE公司)

(33)

哪里

MSE公司 = ‖ x个 负极 \hat{x个} ‖_{2}^{2}

，SSIM定义为：

SSIM公司 (对 ， q个) = \frac{(2 μ_{对} + μ_{q个} + {c（c）}_{1}) (2 σ_{对 q个} + {c（c）}_{2})}{(μ_{对}^{2} + μ_{q个}^{2} + {c（c）}_{1}) (σ_{对}^{2} + σ_{q个}^{2} + {c（c）}_{2})} .

(34)

其中，

μ_{对}

是图像的平均值对，

μ_{q个}

是图像的平均值q个，

σ_{对}

是图像的方差对，

σ_{q个}

是图像的方差q个、和

σ_{对 q个}

是图像之间的协方差对和图像q个.参数

{c（c）}_{1} = {z（z）}_{1} 我

和

{c（c）}_{2} = {z（z）}_{2} 我

，其中

{z（z）}_{1} = 0.01 ， {z（z）}_{2} = 0.03

、和我是像素值的动态范围。SSIM的范围是

[负极 1 ， 1]

，当这两个图像相同时，SSIM等于1。

图7以噪音强度显示船和芭芭拉的恢复效果

δ_{N个} = 0.01

对于boat和Barbara，SL0和BPDN恢复的图像有明显的水波纹，而其他算法恢复的图像没有水波纹。类似地，对于辣椒和Lena，SL0和BPDN恢复的图像与其他算法恢复的图像相比会变得模糊。NSL0，L

_{对}

-RLS和WReSL0算法在噪声图像恢复方面也很有效。对于NSL0，L

_{对}

-RLS和WReSL0算法的恢复效果非常相似。为了进一步分析这些算法的优缺点，我们分析了这些算法恢复的图像的PSNR和SSIM，结果如所示表3和表4.通过观察和分析，L

_{对}

-RLS性能优于NSL0，同时WReSL0性能优于L

_{对}

-RLS公司。因此，本文提出的WReSL0在图像处理方面优于其他选定的算法。

5.在欠定盲源分离中的应用

瑞银集团的问题源于鸡尾酒会，如图所示图8假设源信号矩阵

S公司 (t吨) = {[秒_{1} (t吨) ， 秒_{2} (t吨) ， \dots ， 秒_{米} (t吨)]}^{T型}

、混合矩阵（传感器）

A类

是

米 \times n个

(

米 ≪ n个

)矩阵，高斯噪声

G公司 (t吨) = {[克_{1} (t吨) ， 克_{2} (t吨) ， \dots ， 克_{米} (t吨)]}^{T型}

由高斯分布生成，观察到的混合信号矩阵

X（X） (t吨) = {[{x个}_{1} (t吨) ， {x个}_{2} (t吨) ， \dots ， {x个}_{n个} (t吨)]}^{T型}

; 因此，UBSS的一般数学模型可以概括为：

X（X） (t吨) = A类 S公司 (t吨) + G公司 (t吨)

(35)

事实上，每个信号都有我收集的数据；因此，

X（X） \in {R（右）}^{米 \times 我}

，

A类 \in {R（右）}^{米 \times n个} (米 ≪ n个)

，

S公司 (t吨) \in {R（右）}^{n个 \times 我}

、和

G公司 \in {R（右）}^{米 \times 我}

、和

G公司

可以表示为

δ_{N个} W公司

(

W公司

服从

N个 (0 ， 1)

). UBSS的目的是使用混合信号矩阵

x个 (t吨)

sof源信号矩阵的估计

秒 (t吨)

事实上，这是求解欠定线性方程组（ULSE）的过程。对于这个问题，我们可以使用两步方法来解决它，如所示图9.

发件人图9首先通过聚类方法得到混合矩阵，然后利用CS技术对信号进行分离，从而恢复原始信号。

5.1。CS应用于UBSS的过程分析

5.1.1. 用势函数法求解混合矩阵

在本节中，我们选择势函数法来求解混合矩阵

A类

为了更好地验证所提出的WReSL0算法的性能，我们选择了四个模拟信号和四个真实图像来组织本节的实验。

假设有四个源信号，分别是：

\{\begin{matrix} 秒_{1} (t吨) = 5 罪 (2 π {（f）}_{1} t吨) \\ 秒_{2} (t吨) = 5 罪 (2 π {（f）}_{2} t吨) \\ 秒_{三} (t吨) = 5 罪 (2 π {（f）}_{三} t吨) \\ 秒_{4} (t吨) = 5 罪 (2 π {（f）}_{4} t吨) \\ S公司 = {[秒_{1} (t吨) ， 秒_{2} (t吨) ， 秒_{三} (t吨) ， 秒_{4} (t吨)]}^{T型} \end{matrix}

(36)

哪里

{（f）}_{1} = 310

赫兹，

{（f）}_{2} = 210

赫兹，

{（f）}_{三} = 110

赫兹，以及

{（f）}_{4} = 10

赫兹。每个源信号的长度

秒_{我} (我 = 1 ， 2 ， 三 ， 4)

为1024，采样频率为1024 Hz。这四个信号如所示图10.

这四个源图像是经典的标准测试图像：boat、Barbara、peppers和Lena，它们位于图6.

假设有两个传感器接收信号，另两个传感器则接收图像。混合矩阵

A类

和

B

设置为：

\begin{matrix} A类 = [\begin{matrix} {A类}_{1} \\ {A类}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.9930 & 0.9941 & 0.1092 & 0.9304 \\ 0.2116 & 0.0757 & 0.9647 & 0.3837 \end{matrix}] \\ B = [\begin{matrix} B_{1} \\ B_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.9354 & 0.9877 & 负极 0.6730 & 0.1097 \\ 0.3535 & 0.07846 & 0.7396 & 0.9940 \end{matrix}] \end{matrix}

（37）

通过该混合矩阵和添加高斯噪声(

δ_{N个} = 0.1

)，我们可以得到两个混合信号，如图11，以及两个混合图像，如所示图12然后，我们可以得到估计的混合矩阵

\hat{A类}

和

\hat{B}

通过势函数法进行聚类[37]. 如所示图13势函数法可以很好地聚类。通过聚类，我们得到了

A类

和

B

，如下所示：

\begin{matrix} \hat{A类} = [\begin{matrix} {\hat{A类}}_{1} \\ {\hat{A类}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.9792 & 0.9969 & 0.1097 & 0.9239 \\ 0.2028 & 0.0785 & 0.9940 & 0.3827 \end{matrix}] \\ \hat{B} = [\begin{matrix} {\hat{B}}_{1} \\ {\hat{B}}_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0.9478 & 0.9431 & 负极 0.6483 & 0.1130 \\ 0.3476 & 0.0765 & 0.7075 & 0.9979 \end{matrix}] \end{matrix}

(38)

通过计算，求解混合矩阵的误差为

\frac{‖ A类 负极 \hat{A类} | |_{F类}}{‖ A类 | |_{F类}} \times 100 % = 1.763 %

和

\frac{‖ B 负极 \hat{B} | |_{F类}}{‖ B | |_{F类}} \times 100 % = 3.64 %

该误差范围远小于经典的k均值和模糊c均值，为压缩感知的重构奠定了基础。

5.1.2. 利用CS分离源信号

下一个问题是

S公司 (t吨)

来自已知的

A类 (t吨)

和

X（X） (t吨)

在这里，我们通过CS解决了这个问题。求解过程与图像重建过程类似。区别在于这里使用的稀疏基是傅里叶基。然后，我们将所提出的RWeSL0算法应用于该过程。首先，我们将获得的

x个 (t吨)

到列向量中：

x个 (t吨) = {[{x个}_{1} (t吨) ， {x个}_{2} (t吨)]}^{T型} \Rightarrow \tilde{x个} (t吨) = [\begin{matrix} {x个}_{1} (t吨) \\ {x个}_{2} (t吨) \end{matrix}]

(39)

然后，我们使用傅里叶（对于稀疏信号）或DWT（对于图像）基进行稀疏表示，并对矩阵和赋值的混合矩阵进行扩展，以获得传感矩阵。

\begin{matrix} \tilde{A类} = \hat{A类} \otimes 我_{我 \times 我} ， o（o） 第页 \tilde{B} = \hat{B} \otimes 我_{我 \times 我} \\ Ψ = F类 o（o） u个 第页 我 e（电子） 第页 (我_{我 \times 我}) / \sqrt{我} ， o（o） 第页 Ψ = 天 W公司 T型 (我_{我 \times 我}) / \sqrt{我} \\ \tilde{Ψ} = [\begin{matrix} Ψ & 0 & \dots & 0 \\ 0 & Ψ & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & Ψ \end{matrix}] \\ Φ = \tilde{A类} \tilde{Ψ} ， o（o） 第页 Φ = \tilde{B} \tilde{Ψ} \end{matrix}

(40)

对于这个方程，⊗表示Kronecker乘积符号，

F类 o（o） u个 第页 我 e（电子） 第页 (\cdot)

表示傅里叶变换，DWT表示离散小波变换。因此，CS-UBSS模型可以描述为：

\begin{matrix} \hat{X（X）} (t吨) & = \tilde{A类} (t吨) S公司 (t吨) + G公司 (t吨) \\ = \tilde{A类} (t吨) \tilde{Ψ} Θ (t吨) + G公司 (t吨) \\ = Φ Θ (t吨) + G公司 (t吨) \\ o（o） 第页 \\ \hat{X（X）} (t吨) & = \tilde{B} (t吨) S公司 (t吨) + G公司 (t吨) \\ = \tilde{B} (t吨) \tilde{Ψ} Θ (t吨) + G公司 (t吨) \\ = Φ Θ (t吨) + G公司 (t吨) \end{matrix}

(41)

哪里

Θ

是的傅立叶变换或DWT

S公司 (t吨)

，所以

Θ

是稀疏信号。对于图像中的UBSS，首先需要将每个图像矩阵转换为一个行向量，然后四个行向量形成一个矩阵

S公司 (t吨)

同时，方程中的稀疏基(40)需要替换为DWT。

然后，我们可以通过CS恢复源信号。总之，上述内容可以描述为图14.

5.2. WReSL0算法在UBSS中的性能分析

5.2.1. WReSL0算法应用于UBSS的效果

在本节中，我们通过信号分离和频谱分析来评估WReSL0算法应用于UBSS的效果。

信号分离的效果如所示图15：源信号分离良好，分离信号与原始信号非常相似。图16显示原始源信号和恢复的源信号之间的错误。结果表明，原始源信号与恢复源信号之间的误差很小，WReSL0算法可以更好地处理UBSS问题。此外，我们通过短时傅里叶变换得到了恢复信号的时频图。图17是时频图。从这个图中，我们发现每个信号都与原始信号具有相同的频率，这也验证了所提出的UBSS算法的合理性。

5.2.2. 所选算法的性能比较

这里，我们使用SL0、NSL0和L

_{对}

-RLS算法和经典最短路径法（SPM）[38]比较不同噪声情况。为了清楚地分析信号恢复的情况，我们应用平均信噪比（ASNR）（对于信号）和平均峰值信噪比（APSNR）（对于图像）进行评估。让原始源信号

秒_{我}

和恢复的源信号

{\hat{秒}}_{我}

，因此ANSR定义为：

\begin{matrix} ASNR公司 = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} {信噪比}_{我} \\ {信噪比}_{我} = 20 日志 \frac{‖ {\hat{秒}}_{我} 负极 秒_{我} | |_{2}}{‖ 秒_{我} | |_{2} ，} \end{matrix}

(42)

PSNR定义为：

\begin{matrix} APSNR公司 = \frac{1}{n个} \sum_{我 = 1}^{n个} {PSNR公司}_{我} \\ {PSNR公司}_{我} = 10 日志 \frac{255^{2} \times M（M） \times N个}{‖ {\hat{秒}}_{我} 负极 秒_{我} | |_{2}} \end{matrix}

(43)

哪里M（M）和N个是图像的宽度和高度。

ASNR比较如所示表5从表中可以看出，当

δ_{N个}

增加自

0.15

–

0.2

原因是评估的混合矩阵的错误

\hat{A类}

明显增加，导致这些CS恢复算法性能较差。事实上，从这个表中可以看出，当

δ_{N个}

小于

0.15

，以及何时

δ_{N个}

大于

0.15

、L

_{对}

-RLS算法性能最好，其次是我们提出的RWeSL0算法。

APSNR比较如所示表6.从表中可以看出，APSNR不高，当

δ_{N个}

增加自

0.15

–

0.2

.来自图18，我们可以看到，这些分离的图像似乎被薄雾笼罩，这导致了较低的APSNR。因此，我们将在未来尽力改善这个问题。

综上所述，CS技术可以用于UBSS，尤其在信号恢复方面表现良好。我们提出的WReSL0算法能够在UBSS中很好地实现噪声较小时的信号恢复；关于图像恢复，我们将在未来开发此功能。

6.结论

在本文中，我们提出了WReSL0算法来从给定的

{年 ， Φ}

在噪音情况下。WReSL0算法是在GD方法下构造的，其中x个在内环中采用正则化机制来提高去噪性能。作为WReSL0算法的关键部分，加权平滑函数

{W公司}^{T型} {H（H）}_{σ} (x个)

提出了一种改进稀疏性的方法，为鲁棒准确的信号恢复提供了保证。此外，我们推导了

μ

和初始值

σ_{最大值}

以确保算法的优化性能。在真实信号和真实图像上的性能仿真实验表明，所提出的WReSL0算法的性能优于

我_{1}

或

我_{对}

正则化方法与经典

我_{0}

正则化方法。最后，我们将所提出的WReSL0算法应用于解决UBSS问题，并与经典的SPM、SL0、NSL0和Lp-RLS算法进行了比较。实验表明，该算法具有一定的先进性能。此外，我们还希望将所提出的算法应用于其他CS应用程序，如RPCA[39]，SAR成像[40]，和其他去噪方法[41]。

作者贡献

所有作者都对这项工作做出了巨大贡献。L.W.、X.Y.、H.Y.和J.X.构思并设计了实验；X.Y.和H.Y.进行了实验并分析了数据；X.Y.对工作提出了富有洞察力的建议；X.Y.和H.Y.写了这篇论文。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

本文得到了通信抗干扰技术国家重点实验室的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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图1。压缩传感框架（CS）。

图2。文献中使用的不同函数来近似

我_{0}

-规范；其中一些在图中绘制

我_{0.5}

-显示范数以进行比较。CIPF，复合反比例函数。

图2。文献中使用的不同函数来近似

我_{0}

-规范；其中一些在图中绘制

我_{0.5}

-显示范数以进行比较。CIPF，复合反比例函数。

图3。BPDN、SL0、NSL0、L的信号恢复效果

_{对}

-RLS和加权正则平滑

我_{0}

-噪声强度时的范数最小化（WReSL0）

δ_{N个}

=0.2。(一)基于BPDN算法的信号恢复；(b条)SL0算法的信号恢复；(c（c）)NSL0算法的信号恢复；(d日)L的信号恢复

_{对}

-RLS算法；(e（电子）)通过WReSL0算法恢复信号。

图3。BPDN、SL0、NSL0、L的信号恢复效果

_{对}

-RLS和加权正则平滑

我_{0}

-噪声强度时的范数最小化（WReSL0）

δ_{N个}

= 0.2. (一)通过所述BPDN算法进行信号恢复；(b条)SL0算法的信号恢复；(c（c）)基于NSL0算法的信号恢复；(d日)L的信号恢复

_{对}

-RLS算法；(e（电子）)通过WReSL0算法恢复信号。

图4。原始信号和BPDN、SL0、NSL0、L恢复的信号的频谱分析

_{对}

-噪声强度为RLS和WReSL0时

δ_{N个}

= 0.2. (一)原始信号；(b条)基于BPDN算法的信号恢复；(c（c）)SL0算法的信号恢复；(d日)基于NSL0算法的信号恢复；(e（电子）)L的信号恢复

_{对}

-RLS算法；(（f）)通过WReSL0算法恢复信号。

图4。原始信号和BPDN、SL0、NSL0、L恢复的信号的频谱分析

_{对}

-噪声强度为RLS和WReSL0时

δ_{N个}

= 0.2. (一)原始信号；(b条)基于BPDN算法的信号恢复；(c（c）)SL0算法的信号恢复；(d日)基于NSL0算法的信号恢复；(e（电子）)L的信号恢复

_{对}

-RLS算法；(（f）)通过WReSL0算法进行信号恢复。

图5。通过BPDN、SL0、NSL0、L进行NMSE分析

_{对}

-噪声强度为RLS和WReSL0时

δ_{N个}

根据顺序[0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5]进行更改。

图5。通过BPDN、SL0、NSL0、L进行NMSE分析

_{对}

-噪声强度为RLS和WReSL0时

δ_{N个}

根据顺序[0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5]进行更改。

图6。原始图像：(一)小船；(b条)芭芭拉；(c（c）)辣椒；(d日)莉娜。

图7。BPDN、SL0、NSL0、L的图像恢复效果

_{对}

-具有噪声强度的RLS和WReSL0算法

δ_{N个}

= 0.01. 在(一–d日)，从左到右为：由BPDN、SL0、NSL0、L恢复的图像

_{对}

-RLS和WReSL0算法。

图7。BPDN、SL0、NSL0、L的图像恢复效果

_{对}

-具有噪声强度的RLS和WReSL0算法

δ_{N个}

= 0.01. 在(一–d日)，从左到右为：由BPDN、SL0、NSL0、L恢复的图像

_{对}

-RLS和WReSL0算法。

图8。鸡尾酒接收信号混合示意图。

图9。UBSS两步法原理图。

图10。源信号。

图11。传感器发出的混合信号。

图12。传感器混合图像。

图13。聚类分析。

图14。CS编制的UBSS流程图。

图15。分离信号。

图16。分离信号误差分析。

图17。分离信号的频谱。子图(一–d日)显示分离信号的频谱

{\hat{秒}}_{1}

，

{\hat{秒}}_{2}

，

{\hat{秒}}_{三}

、和

{\hat{秒}}_{4}

.

图17。分离信号的频谱。子图(一–d日)显示分离信号的频谱

{\hat{秒}}_{1}

，

{\hat{秒}}_{2}

，

{\hat{秒}}_{三}

、和

{\hat{秒}}_{4}

.

图18。分离图像：(一)小船；(b条)芭芭拉；(c（c）)辣椒；(d日)莉娜。

图18。分离图像：(一)船；(b条)芭芭拉；(c（c）)辣椒；(d日)莉娜。

表1。加权正则平滑

我_{0}

-使用GD方法的范数最小化（WReSL0）算法。

表1。加权正则平滑

我_{0}

-使用GD方法的范数最小化（WReSL0）算法。

● 初始化：
（1）设置 $我， μ = σ / (2 α) ， {\hat{x个}}^{(0)} = Φ^{H（H）} {(Φ Φ^{H（H）})}^{负极 1} 年$ .
（2）设置 $σ_{最大值} = \sqrt{α} 最大值 \| x个 \|$ ， $σ_{最小值} = 0.01$ 、和 $σ_{t吨} = σ_{最大值} θ^{负极 γ (t吨负极 1)}$ ，其中 $γ = \frac{{日志}_{θ} (σ_{最大值} / σ_{最小值})}{T型负极 1}$ 、和T型是最大迭代次数。
●虽然 $t吨 < T型$ ，做
（1）让 $σ = σ_{t吨}$ .
（2）让 $x个 = {\hat{x个}}^{(t吨负极 1)}$ .
对于 $我 = 1 ， 2 ， \dots ，我$
（a） $x个 \leftarrow x个负极 μ {({e（电子）}^{负极} \frac{\| x个 \|}{σ})}^{T型} \frac{2 α σ^{2} x个}{{(α {x个}^{2} + σ^{2})}^{2}}$ .
（b） $x个 \leftarrow x个负极 {(λ^{负极 1} 我_{n个} + Φ^{H（H）} Φ)}^{负极 1} Φ^{H（H）} (Φ \hat{x个} 负极年)$
（3）设置 ${\hat{x个}}^{(t吨负极 1)} = x个$ .
● 估计值为 $\hat{x个} = {\hat{x个}}^{(t吨)}$ .

表2。BPDN、SL0、NSL0、L的信号CPU运行时间（CRT）分析

_{对}

-RLS和提议的WReSL0，信号长度根据序列[170、220、270、320、370、420、470、520]变化，当

δ_{N个} = 0.2

.

表2。BPDN、SL0、NSL0、L的信号CPU运行时间（CRT）分析

_{对}

-RLS和提议的WReSL0，信号长度根据序列[170、220、270、320、370、420、470、520]变化，当

δ_{N个} = 0.2

.

信号长度（n）	CPU运行时间（秒）
信号长度（n）	BPDN公司	SL0系列	NSL0公司	Lp-RLS公司	WReSL0系列
170	0.195	0.057	0.091	0.194	0.063
220	0.289	0.139	0.230	0.350	0.142
270	0.495	0.229	0.426	0.505	0.291
320	0.767	0.320	0.639	0.712	0.509
370	1.059	0.456	0.926	0.982	0.892
420	1.477	0.613	1.133	1.491	1.017
470	1.941	0.796	1.478	2.118	1.344
520	2.619	1.038	2.089	2.910	1.882

表3。SL0、BPDN、NSL0、L对恢复图像（boat和Barbara）的PSNR和SSIM分析

_{对}

-RLS和WReSL0。

表3。SL0、BPDN、NSL0、L对恢复图像（boat和Barbara）的PSNR和SSIM分析

_{对}

-RLS和WReSL0。

项目	芭芭拉		船
项目	峰值信噪比（dB）	SSIM公司	峰值信噪比（dB）	SSIM公司
SL0系列	27.983	0.981	26.959	0.969
BPDN公司	28.834	0.984	27.376	0.971
NSL0公司	31.296	0.991	31.247	0.988
我 $_{对}$ -RLS公司	31.786	0.992	31.797	0.989
WReSL0系列	32.244	0.993	32.369	0.991

表4。SL0、BPDN、NSL0、L对恢复图像（辣椒和香菇）的PSNR和SSIM分析

_{对}

-RLS和WReSL0。

表4。SL0、BPDN、NSL0、L对恢复图像（辣椒和香菇）的PSNR和SSIM分析

_{对}

-RLS和WReSL0。

项目	辣椒		莉娜
项目	峰值信噪比（dB）	SSIM公司	峰值信噪比（dB）	SSIM公司
SL0系列	28.677	0.982	30.334	0.987
BPDN公司	29.542	0.985	29.875	0.983
NSL0公司	31.373	0.991	32.639	0.993
我 $_{对}$ -RLS公司	33.757	0.994	34.051	0.995
WReSL0系列	34.231	0.996	34.653	0.997

表5。SPM、SL0、NSL0、L分离信号的平均信噪比（ASNR）分析

_{对}

-RLS和提议的WReSL0

δ_{N个}

按照顺序[0,0.1,0.15,0.18,0.2]进行更改，每次运行100次。

表5。SPM、SL0、NSL0、L分离信号的平均信噪比（ASNR）分析

_{对}

-RLS和提议的WReSL0

δ_{N个}

按照顺序[0,0.1,0.15,0.18,0.2]进行更改，每次运行100次。

Oise强度( $δ_{N个}$ )	的错误 $\hat{A类}$ (%)	ASNR（分贝）
Oise强度( $δ_{N个}$ )	的错误 $\hat{A类}$ (%)	SPM公司	SL0系列	NSL0公司	我_对-RLS公司	WReSL0系列
0	1.763	45.443	41.576	42.324	38.412	39.993
0.1	1.763	36.788	35.278	36.034	37.091	39.295
0.15	1.763	31.407	30.754	32.930	35.332	38.975
0.18	112.6	26.355	24.063	25.437	28.305	26.650
0.2	126.3	11.201	9.974	12.358	17.549	15.581

表6。SPM、SL0、NSL0、L对分离图像的APSNR分析

_{对}

-RLS和提议的WReSL0

δ_{N个}

按照顺序[0,0.1,0.15,0.18,0.2]进行更改，每次运行100次。

表6。SPM、SL0、NSL0、L对分离图像的APSNR分析

_{对}

-RLS和提议的WReSL0

δ_{N个}

按照顺序[0,0.1,0.15,0.18,0.2]进行更改，每次运行100次。

噪声强度( $δ_{N个}$ )	的错误 $\hat{B}$ (%)	APSNR（分贝）
噪声强度( $δ_{N个}$ )	的错误 $\hat{B}$ (%)	SPM公司	SL0系列	NSL0公司	我_对-RLS公司	WReSL0系列
0	3.64	16.447	19.211	20.035	16.372	18.483
0.1	3.64	15.639	16.305	17.327	15.407	17.849
0.15	3.64	13.407	14.754	14.930	14.932	17.351
0.18	133.2	9.355	11.063	11.437	10.305	11.650
0.2	142.4	5.201	5.974	6.358	3.549	5.581

分享和引用

MDPI和ACS样式

Wang，L。；尹，X。；岳，H。；Xiang，J。正则加权平滑我₀欠定盲源分离的范数最小化方法。传感器 2018，18, 4260.https://doi.org/10.3390/s18124260

AMA风格

王磊，尹X，岳H，向杰。正则加权平滑我₀欠定盲源分离的范数最小化方法。传感器. 2018; 18(12):4260.https://doi.org/10.3390/s18124260

芝加哥/图拉宾风格

王林宇、尹向军、岳慧慧和向建红。2018年，“规则加权平滑我₀欠定盲源分离的范数最小化方法”传感器第18页，第12页：4260。https://doi.org/10.3390/s18124260

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。查看更多详细信息在这里.

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正则加权平滑我₀欠定盲源分离的范数最小化方法

摘要

1.简介

2.本文的主要工作

2.1、。新平滑函数：CIPF

2.2. 新加权函数

3.CS:WReSL0的新算法

3.1. WReSL0算法及其步骤

3.2. 参数的选择

3.2.1. 参数的选择 $μ$

3.2.2. 参数的选择 $σ$

4.性能仿真与分析

4.1. 噪声情况下的信号恢复性能

4.2. 噪声情况下的图像恢复性能

5.在欠定盲源分离中的应用

5.1。CS应用于UBSS的过程分析

5.1.1. 用势函数法求解混合矩阵

5.1.2. 利用CS分离源信号

5.2. WReSL0算法在UBSS中的性能分析

5.2.1. WReSL0算法应用于UBSS的效果

5.2.2. 所选算法的性能比较

6.结论

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

参考文献

分享和引用

文章指标

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更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

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正则加权平滑我0欠定盲源分离的范数最小化方法

摘要

1.简介

2.本文的主要工作

2.1、。新平滑函数：CIPF

2.2. 新加权函数

3.CS:WReSL0的新算法

3.1. WReSL0算法及其步骤

3.2. 参数的选择

3.2.1. 参数的选择 μ

3.2.2. 参数的选择 σ

4.性能仿真与分析

4.1. 噪声情况下的信号恢复性能

4.2. 噪声情况下的图像恢复性能

5.在欠定盲源分离中的应用

5.1。CS应用于UBSS的过程分析

5.1.1. 用势函数法求解混合矩阵

5.1.2. 利用CS分离源信号

5.2. WReSL0算法在UBSS中的性能分析

5.2.1. WReSL0算法应用于UBSS的效果

5.2.2. 所选算法的性能比较

6.结论

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

参考文献

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正则加权平滑我₀欠定盲源分离的范数最小化方法

3.2.1. 参数的选择 $μ$

3.2.2. 参数的选择 $σ$