An Efficient Distributed Compressed Sensing Algorithm for Decentralized Sensor Network

Liu, Jing; Huang, Kaiyu; Zhang, Guoxian

doi:10.3390/s17040907

开放式访问第条

分布式传感器网络中一种高效的分布式压缩传感算法

通过

刘静（音译）

^*,

黄凯玉

和

张国贤

西安交通大学电子与信息工程学院，西安710049

^*

信件应寄给的作者。

传感器 2017,17(4), 907;https://doi.org/10.3390/s17040907

收到的提交文件：2017年2月8日/修订日期：2017年4月13日/接受日期：2017年4月13日/发布日期：2017年4月20日

（本条属于本节传感器网络)

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版本注释

摘要

:

我们考虑分散场景中的联合稀疏性模型1（JSM-1），其中许多传感器通过网络连接，并且没有融合中心。为了利用传感器节点的计算和通信能力，提出了一种新的算法，称为分布式紧凑传感矩阵追踪（DCSMP）。与采用随机传感矩阵的传统分布式压缩传感算法相比，该算法侧重于直接建立在实际采集系统上的确定性传感矩阵。提出的DCSMP算法可以分为两个独立的部分，公共支持集估计过程和创新支持集估计流程。公共支持集估计过程的目标是通过融合来自单个节点及其相邻节点的候选支持集信息来获得估计的公共支持集。在接下来的创新支持集估计过程中，测量向量被投影到一个子空间中，该子空间垂直于由估计的公共支持集索引的列所跨越的子空间，以消除估计的公共支撑集的影响。然后，我们可以使用基于投影测量向量和投影传感矩阵的正交匹配追踪（OMP）算法搜索创新支持集。在所提出的DCSMP算法中，公共分量/支持集的估计过程与创新分量/支持集中的估计过程解耦。因此，不准确估计的公共支持集不会影响创新支持集的估计。证明了在估计公共支持集包含真公共支持集的条件下，该算法能够正确地找到真新息集。此外，由于创新支持集估计过程独立于公共支持集估计流程，因此对这两个集合的基数没有要求；因此，所提出的DCSMP算法能够成功地解决未知稀疏性问题。

关键词：

分布式压缩传感;JSM-1型;分布式紧凑传感矩阵追踪（DCSMP）算法

1.简介

压缩传感近年来受到了广泛关注，并已成功应用于图像处理等多个领域[1]，语音增强[2]，传感器网络[三,4]和雷达系统[5]。分布式压缩传感（DCS）理论是压缩传感的一个重要分支[6,7]基于一个称为信号集合联合稀疏性的新概念。信号群由来自同一场景的不同传感器的不同信号组成。以下给出了三种联合稀疏模型（JSM）[6]：JSM-1、JSM-2和JSM-3。在JSM-1中，每个信号由两个组件组成：一个是所有信号中存在的公共组件，另一个是每个信号特有的创新组件。在JSM-2中，所有信号都是由相同的稀疏基向量集构造的，但系数值不同。JSM-3扩展了JSM-1，因此通用组件在任何基础上都不再需要稀疏。读者可以参考[6]有关JSM-1、JSM-2和JSM-3的更多详细信息。

在本文中，我们重点关注JSM-1，这种信号可能出现在传感器网络中，大规模现象影响所有传感器，局部现象影响单个传感器。第一个例子是森林中的温度传感器网络，阳光具有全球效应，而树荫、水和动物具有更多的局部效应[6]。第二个例子来自合作认知网络中的分布式频谱感知，包括对公共组件（由于所谓的主要用户）和创新组件（由于次要用户）的估计[8]。第三个例子是关于使用多基地雷达系统联合检测和跟踪多个目标，其中不同的单个接收机以不同的检测概率观察同一监视区域。直到最近，人们对无线传感器网络中的数据聚合、数据采集和数据处理进行了大量研究[9,10,11].

分布式压缩感知问题的算法可以以中心方式或分布式方式开发[12]。中心恢复方法假设存在一个从网络收集所有信息的融合中心，而分散恢复方法在没有融合中心的情况下执行网络重建。与中央恢复方法相比，分散恢复方法具有方便（用于实现）和健壮（针对故障）的优点。

文献中已经讨论了JSM-1的集中重建[13,14,15,16]。相反，在本文中，我们研究了JSM-1的分散方法。据我们所知，关于去中心化网络中的JSM-1的文献有限[17]在JSM-1框架中应用了分布式交替方向乘法器方法（ADMM）来恢复公共组件和单个组件。在[12]基于传感器上估计支持集的信息交换，作者开发了一种分布式并行追踪（DIPP）算法。

在上述工作中，选择随机矩阵（例如随机高斯矩阵）作为传感矩阵，在对抗信号/误差模型的背景下提供最坏情况下的性能保证。在这项工作中，我们将重点放在直接建立在实际采集系统上的确定性传感矩阵上。这些类型的矩阵消除了对额外测量矩阵的需要，减少了内存存储并加快了重建算法。然而，由于传感器的高分辨率，确定性传感矩阵经常会遇到高相干问题[18]。在我们之前的工作中[19]针对高相干问题，提出了一种通用的相似感测矩阵追踪（GSSMP）算法，与子空间追踪（SP）和基追踪（BP）算法相比，该算法具有更好的性能。然而，GSSMP算法只能处理单个稀疏信号。

在这项工作中，GSSMP算法被扩展以处理分散场景中的JSM-1。每个传感器的单个传感矩阵是基于实际采集系统构建的。利用相似性分析，在原始感测矩阵的基础上建立了一个紧凑的感测矩阵。与原始传感矩阵相比，紧凑型传感矩阵的尺寸要小得多，并且被证明具有低相干性。对于信号模型，我们使用最近提出的混合支持集模型[12]由公共支持集和创新支持集组成。因此，所提出的算法的目的是估计公共和创新支持集，用于重建每个单独传感器的稀疏信号。该算法参考了分布式紧凑感测矩阵追踪（DCSMP）算法，它包括两个主要部分：公共支持集估计和新息支持集估计过程。

在公共支持集估计过程中，基于紧凑的传感矩阵和测量向量计算每个传感器的候选支持集。我们证明了候选支持集包含真支持集。考虑到公共支持集是所有稀疏信号的所有单个支持集的子集，我们可以通过融合单个节点及其相邻节点的候选支持集信息来获得估计的公共支持集。

接下来，我们将基于估计的公共支持集，为每个传感器寻求创新支持集。将测量向量投影到一个子空间中，该子空间垂直于由估计公共支持集索引的列所跨越的子空间，以消除其影响。然后，我们可以使用基于投影测量向量和投影传感矩阵的OMP算法搜索新息支持集。

本文的主要贡献有三个部分。首先，与采用随机传感矩阵的传统分布式压缩传感算法相比，所提出的DCSMP算法侧重于直接建立在实际采集系统上的确定性传感矩阵，从而消除了对额外测量矩阵的需要，减少内存存储，加快重建算法。其次，在大多数处理JSM-1的算法中，估计公共组件/支持集的过程与估计创新组件/支持集中的过程相耦合；因此，公共支持集估计不准确将导致创新支持集估计失败。本文通过将测量向量投影到与由估计公共支持集索引的列所跨越的子空间垂直的子空间中来消除其影响，从而实现了两个过程的解耦，该算法能够正确地找到真正的新息集。第三，由于创新支持集估计过程独立于公共支持集估计流程，因此对这两个集合的基数没有要求；因此，所提出的DCSMP算法能够成功地解决未知稀疏性问题。

论文组织如下。第2节介绍了分布式压缩感知中的JSM-1模型。提出的DCSMP算法被引入第3节这是本文的主要贡献。所提DCSMP算法的复杂性和可扩展性分析如下第4节.英寸第5节，我们考虑了一个多基地雷达系统中识别多个目标的仿真示例，其中不同的接收机以不同的检测概率观察同一监视区域。基于多基地雷达系统构建了JSM-1模型，并在多个接收机之间以分散方式进行稀疏恢复。最后，本文总结如下第6节.

1.1. 符号

对于一组

T型 \subset {1, 2, \dots, n个}

，我们使用

| T型 |

表示其基数，即T型。我们使用

{T型}^{c（c）}

表示其补语w.r.t。

{1, 2, \dots, n个}

即。，

{T型}^{c（c）} : = 我 \in {1, 2, \dots, n个} : 我 \notin T型

.

对于向量

v（v）

,

v（v） (我)

表示我-第个条目，共个

v（v）

、和

{v（v）}_{T型}

表示由以下项组成的向量

v（v）

索引者T型。我们使用

{| | v（v） | |}_{第页}

表示

我_{第页}

的规范

v（v）

。的支持集

v（v）

，支持(

v（v）

)，是一组索引，其中

v（v）

不为零，supp(

v（v）

)

: = {我 : v（v） (我) \neq 0}

。我们这么说

v（v）

是秒-稀疏if | supp(

v（v）

)

| \leq 秒

.

对于矩阵

B类

,

{B类}^{*}

表示其共轭转置和

{B类}^{†}

它是伪逆的。对于具有线性独立列的矩阵，

{B类}^{†} = {({B类}^{*} B类)}^{- 1} {B类}^{*}

.

我们使用

我

表示适当大小的单位矩阵。对于索引集T型和矩阵

B类

,

{B类}_{T型}

是的子矩阵

B类

包含集合中具有索引的列T型。请注意

{B类}_{T型} = B类 我_{T型}

对于高矩阵

P（P）

，span

(P（P）)

表示列向量跨越的子空间

P（P）

.

2.JSM-1框架中的问题制定

考虑一个分散的传感器网络，其中多个传感器获取信号并与相邻节点通信以重建原始信号。每个单独的传感器（例如第页-th传感器节点）不知道完整的网络拓扑，而是知道两组本地邻居；传入的邻居连接

{L（左）}_{第页}^{我 n个}

和传出邻居连接

{L（左）}_{第页}^{o个 u个 吨}

这里，传入和传出连接分别对应于节点可以接收或发送信息的通信链路。特别是，假设这些传感器检测到的信号同时显示传感器内相关性和传感器间相关性。该相关传感模型对应于JSM-1模型，如下所述。

这个第页-传感器监测离散信号

{x个}_{第页} \in ℜ^{N个}

根据以下关系：

年_{第页} = Φ_{第页} {x个}_{第页} + {e（电子）}_{第页}, \forall 第页 \in Γ,

(1)

哪里

年_{第页} \in ℜ^{M（M）}

是测量矢量，

Φ_{第页} \in ℜ^{M（M） \times N个}

是传感矩阵，

{e（电子）}_{第页} \in ℜ^{M（M）}

是测量噪声和

Γ

是包含网络中所有节点的全局集合。此设置描述了一个欠定系统，其中

M（M） < N个

.信号矢量

{x个}_{第页}

是K-稀疏，其支持集定义为

{S公司}_{第页}

该算法的目标是重建每个传感器节点上观察到的原始信号，即重建

{x个}_{第页}

在第页-第个节点(

第页 \in Γ

).

在JSM-1中，每个传感器都有自己的信号；这意味着传感器之间的信号并不相同，但具有相关性。稀疏信号

{x个}_{第页}

可以表示为：

{x个}_{第页} = {z（z）}_{c（c）} + {z（z）}_{第页},

(2)

哪里

{z（z）}_{c（c）} \in ℜ^{N个}

表示稀疏信号的公共分量

{x个}_{第页}

，它捕获信号间的相关性，并对所有信号通用，以及

{z（z）}_{第页} \in ℜ^{N个} (第页 \in Γ)

表示稀疏信号的新息分量

{x个}_{第页}

，它捕获了信号内的相关性，并且特定于第页-th稀疏向量

{x个}_{第页}

。我们进一步定义J型和

我_{第页}

作为的支持集

{z（z）}_{c（c）}

和

{z（z）}_{第页}

分别具有：

{S公司}_{第页} = J型 \cup 我_{第页} 一 n个 d日 J型 ⋂ 我_{第页} = \emptyset, \forall 第页 \in Γ .

(3)

这里是部分支持集J型对所有稀疏信号都是公共的，这被定义为公共支持集。部分支持集

我_{第页}

特定于第页-th节点，并定义为创新支持集。

3.分布式紧凑传感矩阵追踪算法

本节的目标是介绍所提出的DCSMP算法。DCSMP算法的框图如所示图1它包括四个阶段：（1）粗估计，（2）数据融合，（3）创新支持集估计和（4）最终估计。在第一和第二阶段生成估计的公共支持集；在第三阶段得到估计的创新支持集；最后，我们可以在第四阶段得到支持集和原始稀疏信号的最终估计。

3.1. 粗略估计

本节的目标是计算每个传感器的候选支持集。为了解决传感器分辨率高导致的高相干问题，我们考虑在每个节点为每个单独的传感矩阵构造一个紧凑的传感矩阵，它是原始传感矩阵的紧凑版本，具有低相干。读者可以参考[19]为了详细了解紧凑感测矩阵的构造过程。然后使用OMP算法计算真实支持集的粗略估计，在此基础上我们可以获得候选支持集

{\hat{F类}}_{第页}

最后，我们证明了候选支持集包含每个传感器的真支持集。算法1中给出了候选支持集估计（CSSE）算法的详细步骤。

算法1：候选支持集估计（CSSE）。
	输入: $Φ_{第页}$ , $年_{第页}$
	输出: ${\hat{F类}}_{第页}$

1	$Ψ_{第页}$ ← 结构紧凑型( $Φ_{第页}$ ).
2	${\hat{一}}_{第页}$ ← OMP公司( $Ψ_{第页}$ , $年_{第页}$ ).
3	${\hat{¦Β}}_{第页}^{我 n个我}$ ← 映射到子空间( ${\hat{一}}_{第页}$ ).
4	${\hat{F类}}_{第页}$ ← 查找候选支持集( ${\hat{¦Β}}_{第页}^{我 n个我}$ ).

候选支持集估计算法由四个步骤组成。第一步使用“ConstructCompact”函数，该函数构造紧凑感测矩阵

Ψ_{第页}

基于原始传感矩阵

Φ_{第页}

该过程与[19]。在第二步中，使用OMP算法找到真实支持集的估计，表示为

{\hat{一}}_{第页} = {{\hat{一}}_{第页}^{1}, \dots, {\hat{一}}_{第页}^{k个}, \dots, {\hat{一}}_{第页}^{K^{'}}}

,

K^{'} \leq K

，其中

{\hat{一}}_{第页}^{k个}

表示k个-的第个元素

{\hat{一}}_{第页}

。第三步，在“MapToSubspace”函数中，估计支持集中的每个元素

{\hat{一}}_{第页}^{k个}

对应于紧凑传感矩阵的压缩列。例如，

{\hat{一}}_{第页}^{k个} (β_{第页}^{j个})

表示k个-的第个元素

{\hat{一}}_{第页}

对应于j个-第个冷凝塔

β_{第页}^{j个}

。此列定义为贡献列。然后我们可以获得正确子空间的初始估计，

{\hat{¦Β}}_{第页}^{我 n个 我}

，跨越了

K^{'}

贡献列

{β_{第页}^{我}, \dots, β_{第页}^{j个}, \dots, β_{第页}^{我}}

，作为

{\hat{¦Β}}_{第页}^{我 n个 我} =

跨度

(β_{第页}^{我}, \dots, β_{第页}^{j个}, \dots, β_{第页}^{我})

最后一步使用功能“FindCandidateSupportSet”，即在原始传感矩阵中查找候选支持集

Φ_{第页}

每个贡献列对应于

Φ_{第页}

，它被命名为贡献相似的列组。然后我们可以得到一个集合

{\hat{Λ}}_{第页}

包含的索引

K^{'}

提供类似的专栏组。每个贡献类似列组中的所有列

{\hat{Λ}}_{第页}

列出来，它们的索引形成一个候选支持集

{\hat{F类}}_{第页}

.

提议 1

真正的支持集

{S公司}_{第页}

是候选支持集的子集

{\hat{F类}}_{第页}

即。，

{S公司}_{第页} \subset {\hat{F类}}_{第页}

.

证明。

根据中的命题2[19]，包含跨越真子空间的向量

K^{'}

提供类似的专栏组。因此，真正的支持集包含在候选支持集中

{\hat{F类}}_{第页}

，它是

K^{'}

贡献相似的柱组。☐

在粗略估计阶段结束时第页-th节点向其相邻节点发送自己的候选支持集，并从其相邻节点接收候选支持集。候选支持集来自第页-将th节点及其相邻节点发送到数据融合阶段，在数据融合阶段使用某种融合策略生成估计的公共支持集。

3.2. 数据融合

对于第页-第个节点，它的真正支持集

{S公司}_{第页}

（包括通用支架组J型和创新支持集

我_{第页}

)包含在候选支持集中

{\hat{F类}}_{第页}

根据提案1。考虑到公共支撑装置与第页-th节点及其连接的相邻节点，可以通过将两个第页-网络中的第个节点及其相邻节点。对于融合，我们使用民主投票策略[12].

算法2中给出了数据融合算法。这个第页-th节点可以访问候选支持集

{{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}}

来自邻居和当地的估计

{\hat{F类}}_{第页}

.估计的公共支持集

\hat{J型}

形成（步骤5），使得估计公共支持集中的每个索引存在于至少两个候选支持集中

{{{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}}, {\hat{F类}}_{第页}}

。对某一指数拥有更多投票权会增加该指数正确的概率。

算法2：数据融合。

输入：

{{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}}

,

{\hat{F类}}_{第页}

输出：

\hat{J型}

初始化：

z（z） \leftarrow 0_{N个 \times 1}

1:

z（z） \leftarrow v（v） o个 吨 {e（电子）}_{1} (z（z）, {\hat{F类}}_{第页})

2：每个

q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}

做

三：

z（z） \leftarrow v（v） o个 吨 {e（电子）}_{1} (z（z）, {\hat{F类}}_{q个})

4：结束

5：选择

\hat{J型}

科学技术。

(z（z） (我) \geq 2) \forall 我 \in \hat{J型}

在上述算法中，“

v（v） o个 吨 {e（电子）}_{1}

“表示投票程序[12]。由于存在于两个节点的候选支持集中的索引将被视为估计公共支持集的元素，因此估计公共支持集中包含真实公共支持集事件的概率非常高。因此，有理由假定真正的公共支持集是估计公共支持集的子集。

3.3. 创新支持集估计

我们考虑一个一般条件，即真正的公共支持集是估计公共支持集的子集。相关假设如下所示。

假设 答：。

真正的共同支持集J和创新支持集

我_{第页}

，满足以下条件：

真正的公共支持集J是估计公共支持集的子集 $\hat{J型}$ 即。， $J型 \subseteq \hat{J型}$ .
创新支持集 $我_{第页}$ 是的补码的一个子集 $\hat{J型}$ 即。， $我_{第页} \subset {\hat{J型}}^{c（c）}$ .

第二个假设成立，考虑到

我_{第页}

远低于

{\hat{J型}}^{c（c）}

.

创新支持集评估阶段的目标是计算

我_{第页}

。我们先证明引理1，然后再进行所提算法的详细步骤。

引理 1

假设

| \hat{J型} | \leq 2 K

，定义投影矩阵

{P（P）}_{第页}

作为：

{P（P）}_{第页} = 我 - {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {[{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{*} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}]}^{- 1} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{*},

(4)

和投影测量矢量

{\tilde{年}}_{第页}

作为：

{\tilde{年}}_{第页} = {P（P）}_{第页} 年_{第页} .

(5)

投影测量矢量

{\tilde{年}}_{第页}

可以用压缩传感中的标准方程表示为：

\begin{matrix} {\tilde{年}}_{第页} = {A类}_{第页} {({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}} + {e（电子）}_{第页}^{'}, \end{matrix}

(6)

哪里

{A类}_{第页} = {P（P）}_{第页} {(Φ_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}}

是投影传感矩阵

{e（电子）}_{第页}^{'} = {P（P）}_{第页} {e（电子）}_{第页}

是等效噪声。此外，创新支持集

我_{第页}

可以使用OMP算法根据投影测量矢量进行计算

{\tilde{年}}_{第页}

和投影传感矩阵

{A类}_{第页}

.

证明。

证明由三部分组成。首先，我们证明

{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}

在估计公共支持集的基数的条件下具有完整的列秩

\hat{J型}

小于或等于

2 K

即。，

| \hat{J型} | \leq 2 K

，其中K是的稀疏程度

{x个}_{第页}

.

根据中的定理2.13[20]，独一无二秒-系统的稀疏解

年 = A类 x个

意味着每一组

2 秒

列，共列

A类

线性独立，其中秒指示的稀疏级别

x个

定理2.13适用于本工作中的确定性传感矩阵，因为系统具有唯一性K-稀疏解。因此，每一组

2 K

列，共列

Φ_{第页}

线性无关。在以下条件下

| \hat{J型} | \leq 2 K

，子矩阵

{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}

最多包含个

2 K

柱。自从每一套

2 K

第列，共列

Φ_{第页}

线性无关，

{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}

具有完整的列秩。

其次，我们证明了投影测量向量

{\tilde{年}}_{第页}

可以用压缩传感中的标准方程表示。

\begin{matrix} {\tilde{年}}_{第页} & = & {P（P）}_{第页} 年_{第页} \\ = & {P（P）}_{第页} (Φ_{第页} {x个}_{第页} + {e（电子）}_{第页}) \\ = & {P（P）}_{第页} [{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {({x个}_{第页})}_{\hat{J型}} + {(Φ_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}} {({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}} + {e（电子）}_{第页}] \\ = & {P（P）}_{第页} {(Φ_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}} {({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}} + {P（P）}_{第页} {e（电子）}_{第页}, \\ = & {A类}_{第页} {({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}} + {e（电子）}_{第页}^{'} \end{matrix}

(7)

第四等式(7)认为

\hat{J型}

到

年_{第页}

可以通过投影使其无效

年_{第页}

使用投影矩阵进入垂直空间

{P（P）}_{第页}

.

\begin{matrix} {P（P）}_{第页} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {({x个}_{第页})}_{\hat{J型}} \\ = & \{我 - {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {[{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{*} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}]}^{- 1} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{*}\} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {({x个}_{第页})}_{\hat{J型}} \\ = & 0 \end{matrix}

(8)

因此，我们可以获得(6)压缩传感中的标准方程。

最后，我们将证明

我_{第页}

是稀疏向量的支持集

{({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}}

。的支持集

{x个}_{第页}

可以表示为：

{S公司}_{第页} = J型 \cup 我_{第页} 一 n个 d日 J型 ⋂ 我_{第页} = \emptyset, \forall 第页 \in Γ .

（9）

根据假设1，J型是的子集

\hat{J型}

因此，是一组指数

{({x个}_{第页})}_{\hat{J型}}

非零。同样，

我_{第页}

是的适当子集

{\hat{J型}}^{c（c）}

是一组指数

{({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}}

非零。因此，

我_{第页}

是稀疏向量的支持集

{({x个}_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}}

. ☐

综上所述(6)是压缩传感中的标准方程，我们可以计算

我_{第页}

使用基于投影测量向量的OMP算法

{\tilde{年}}_{第页}

和投影传感矩阵

{A类}_{第页}

.

算法3：创新支持集估计（ISSE）。
	输入: $Φ_{第页}$ , $年_{第页}$ , $\hat{J型}$
	输出: ${\hat{我}}_{第页}$

1	${P（P）}_{第页}$ ← $我 - {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {[{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}]}^{- 1} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{}$ .
2	${\tilde{年}}_{第页}$ ← ${P（P）}_{第页} 年_{第页}$ .
3	${A类}_{第页}$ ← ${P（P）}_{第页} {(Φ_{第页})}_{{\hat{J型}}^{c（c）}}$ .
4	${\hat{我}}_{第页}$ ← OMP公司( ${\tilde{年}}_{第页}$ , ${A类}_{第页}$ ).

在上述算法（算法3）中，第一步是构造投影矩阵

{P（P）}_{第页}

，而第二步和第三步是构建投影测量向量

{\tilde{年}}_{第页}

和投影传感矩阵

{A类}_{第页}

最后，创新支持集

{\hat{我}}_{第页}

可以使用OMP算法计算，基于

{\tilde{年}}_{第页}

和

{A类}_{第页}

.

3.4. 最终估算

本节的目标是估计支持集

{S公司}_{第页}

和稀疏向量

{x个}_{第页}

，给定估计的共同支持集

\hat{J型}

以及估计的创新支持集

{\hat{我}}_{第页}

。首先，在中执行组合搜索

\hat{J型}

找到真正的公共支持集J型.每种组合连同

{\hat{我}}_{第页}

形成真实支持集的估计，表示为

{\hat{S公司}}_{第页}^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

，其中

{N个}_{c（c） o个}

表示组合的数量。基于每个估计的支持集，我们可以得到稀疏向量的估计

{x个}_{第页}

（表示为

{\hat{x个}}_{第页}^{j个}

)，使用伪逆操作。在获得的估计稀疏向量中

{\hat{x个}}_{第页}^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

，我们可以找到残差最小的一个，这称为稀疏向量的最终估计

{x个}_{第页}

具体步骤如下。

组合搜索算法由六个步骤组成。第一步使用“ListCombinations”函数，该函数列出

{C类}_{E类}^{1}, {C类}_{E类}^{2}, \dots, {C类}_{E类}^{E类}

基于索引的组合

\hat{J型}

，其中

E类 = | \hat{J型} |

。每个组合表示为

J型 我^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

.在第二步中，每个组合与

{\hat{我}}_{第页}

形成真实支持集的估计，即。，

{\hat{S公司}}_{第页}^{j个} = J型 我^{j个} ⋃ {\hat{我}}_{第页}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

在第三步，该算法解决了最小二乘问题，以近似非零项(

{({\hat{x个}}_{第页}^{j个})}_{{\hat{S公司}}_{第页}^{j个}}

←

{[{(Φ_{第页})}_{{\hat{S公司}}_{第页}^{j个}}]}^{†} 年_{第页}

)并将其他条目设置为零(

{({\hat{x个}}_{第页}^{j个})}_{{({\hat{S公司}}_{第页}^{j个})}^{c（c）}}

←

0

)，从而估计稀疏向量，

{\hat{x个}}_{第页}^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

第四步是计算残差

{第页}_{第页}^{j个} (j个 = 1, \dots, {N个}_{c（c） o个})

. The

我_{2}

的规范

{第页}_{第页}^{j个}

表示为

| | {第页}_{第页}^{j个} {| |}_{2}

。第五步使用“MinimumRestival”函数，该函数查找具有最小值的残差

我_{2}

残差中的范数，并将其表示为

{第页}_{第页}^{米 我 n个}

同时，我们可以找到其相关的稀疏信号和支持集，表示为

{\hat{x个}}_{第页}^{米 我 n个}

和

{\hat{S公司}}_{第页}^{米 我 n个}

分别是。最后，我们可以通过设置

{\hat{x个}}_{第页}

←

{\hat{x个}}_{第页}^{米 我 n个}

和

{\hat{S公司}}_{第页}

←

{\hat{S公司}}_{第页}^{米 我 n个}

.

提议 2

提出的组合搜索算法（算法4）可以找到真正的支持集

{S公司}_{第页}

，前提是

{\hat{我}}_{第页}

正确估计。

证明。

在算法4中，

{C类}_{E类}^{1}, {C类}_{E类}^{2}, \dots, {C类}_{E类}^{E类}

根据中的索引列出组合

\hat{J型}

，其中

E类 = | \hat{J型} |

每个组合表示为

J型 我^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

，其中

{N个}_{c（c） o个}

表示组合的数量。自

J型 \subseteq \hat{J型}

,J型包含在中

J型 我^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

因此，

{S公司}_{第页} = J型 ⋃ 我_{第页}

包含在中

J型 我^{j个} ⋃ {\hat{我}}_{第页}

前提是

{\hat{我}}_{第页}

正确估计。因此，我们可以找到真正的支持集

{S公司}_{第页}

通过组合搜索算法。☐

算法4：组合搜索。
	输入: $Φ_{第页}$ , $年_{第页}$ , $\hat{J型}$ , ${\hat{我}}_{第页}$
	输出: ${\hat{S公司}}_{第页}$ , ${\hat{x个}}_{第页}$

1	$J型我^{j个}$ ← 列表组合( $\hat{J型}$ ), $j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}$ .
2	${\hat{S公司}}_{第页}^{j个}$ ← $J型我^{j个} ⋃ {\hat{我}}_{第页}$ , $j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}$ .
3	${({\hat{x个}}_{第页}^{j个})}_{{\hat{S公司}}_{第页}^{j个}}$ ← ${[{(Φ_{第页})}_{{\hat{S公司}}_{第页}^{j个}}]}^{†} 年_{第页}$ , ${({\hat{x个}}_{第页}^{j个})}_{{({\hat{S公司}}_{第页}^{j个})}^{c（c）}}$ ← $0$ , $j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}$ .
4	${第页}_{第页}^{j个}$ ← $年_{第页} - Φ_{第页} {\hat{x个}}_{第页}^{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}$ .
5	${第页}_{第页}^{米我 n个}$ ← 最小剩余量( ${{第页}_{第页}^{1}, {第页}_{第页}^{2}, \dots, {第页}_{第页}^{{N个}_{c（c） o个}}}$ ). 同时，查找 ${\hat{x个}}_{第页}^{米我 n个}$ 和 ${\hat{S公司}}_{第页}^{米我 n个}$ .
6	${\hat{x个}}_{第页}$ ← ${\hat{x个}}_{第页}^{米我 n个}$ , ${\hat{S公司}}_{第页}$ ← ${\hat{S公司}}_{第页}^{米我 n个}$ .

3.5. DCSMP算法

使用算法1～4，我们现在开发了算法5中提出的DCSMP算法。算法5的输入第页-第个节点是测量信号

年_{第页}

和传感矩阵

Φ_{第页}

此外，算法5知道

{L（左）}_{第页}^{我 n个}

和

{L（左）}_{第页}^{o个 u个 吨}

。我们假设为发送和接收功能提供了一些底层通信方案。

在算法5中，通过网络交换本地候选支持集估计（步骤2和3）。数据融合算法将局部和相邻候选支持集估计合并，生成估计的公共支持集

\hat{J型}

（步骤4）。在步骤5中

\hat{J型}

到

年_{第页}

通过投影使其无效

年_{第页}

到一个子空间中，该子空间垂直于由

Φ_{第页}

，索引者

\hat{J型}

。然后我们可以计算估计的创新支持集

{\hat{我}}_{第页}

使用基于投影测量矢量和投影传感矩阵的OMP算法。最后，在

\hat{J型}

查找J型因此，我们可以得到支持集和原始稀疏向量的最终估计。

算法5：分布式CSMP。
	输入: $年_{第页}$ , $Φ_{第页}$ , ${L（左）}_{第页}^{我 n个}$ , ${L（左）}_{第页}^{o个 u个吨}$
	输出: ${\hat{S公司}}_{第页}, {\hat{x个}}_{第页}$

1	${\hat{F类}}_{第页}$ ← 中央证券交易所( $Φ_{第页}$ , $年_{第页}$ );
2	传输：发送 ${\hat{F类}}_{第页}$ 到其相邻节点；
3	接收：接收 ${{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}}$ 来自相邻节点；
4	$\hat{J型}$ ← 数据融合( ${{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}}$ , ${\hat{F类}}_{第页}$ );
5	${\hat{我}}_{第页}$ ← ISSE公司( $Φ_{第页}$ , $年_{第页}$ , $\hat{J型}$ );
6	( ${\hat{S公司}}_{第页}$ , ${\hat{x个}}_{第页}$ )←组合搜索( $Φ_{第页}$ , $年_{第页}$ , $\hat{J型}$ , ${\hat{我}}_{第页}$ )

讨论：当来自所有传感器的信息可以融合时，需要考虑两个附加设置。第一个设置是每个传感器都具有与网络中所有其他传感器通信的能力，第二个设置是将所有传感器的测量值发送到融合中心，融合中心使用所有传感器的信息生成原始信号的估计值。

将所提出的DCSMP算法扩展到上述两种设置是很简单的。为了处理第一个条件，我们只需要改变数据融合算法（算法2）的输入。例如，对于第页-第个节点，更改数据融合算法的原始输入，候选支持集来自其邻居，

{{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \in {L（左）}_{第页}^{我 n个}}

，从网络中的所有其他传感器发送到候选支持集，

{{\hat{F类}}_{q个}}_{q个 \neq 第页}

对于第二种方法，当网络中所有传感器的测量值发送到融合中心时，我们只需将数据融合算法（算法2）的输入更改为网络中所有节点的候选支持集。

4.复杂性和可扩展性分析

4.1. 复杂性分析

提出的DCSMP算法由两个主要部分组成：离线处理和在线处理。离线处理转换单个传感矩阵

Φ_{第页}

到一个紧凑的传感矩阵

Ψ_{第页}

使用相似性分析。离线处理的计算复杂性主要集中在计算单个感知矩阵的任意两列之间的相似性，其阶数为O

(\frac{N个 (N个 - 1)}{2} M（M）)

[19].M（M）和N个是的行数和列数

Φ_{第页}

分别是。

在线处理过程包括四个部分：（1）粗略估计；（2）数据融合；（3）创新支持集估计；（4）最终估算。首先，在粗估计过程中，使用OMP算法对每个信号的真实支持集进行粗估计。计算复杂度为O级(

M（M） {D类}_{第页}

)对于第页-第个节点，其中

{D类}_{第页}

是紧凑感测矩阵的列数

Ψ_{第页}

[19].

其次，对于数据融合过程，我们使用民主投票策略[12]它非常简单，与其他三个过程相比，复杂性可以忽略不计。

在创新支持集估计过程中，首先，测量向量

年_{第页}

投影到子空间中，该子空间垂直于

Φ_{第页}

，由估计的公共支持集索引

\hat{J型}

，作为：

\begin{matrix} {\tilde{年}}_{第页} & = & {P（P）}_{第页} 年_{第页} \\ = & \{我 - {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {[{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{*} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}]}^{- 1} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{*}\} 年_{第页} \\ = & 年_{第页} - {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}} {(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{†} 年_{第页} . \end{matrix}

（10）

此步骤的复杂性集中在伪逆操作上，即计算

{(Φ_{第页})}_{\hat{J型}}^{†} 年_{第页}

，使用最小二乘算法。因此，计算成本集中在最小二乘估计上，并且是O级的(

| \hat{J型} | \cdot M（M）

)，根据[21]。其次，估计的创新支持集

{\hat{我}}_{第页}

使用OMP算法计算，此步骤的复杂度为O(

M（M） \cdot | {\hat{J型}}^{c（c）} |

). 因此，整个创新支持集估计的复杂性为O(

| \hat{J型} | \cdot M（M）

)+哦(

M（M） \cdot | {\hat{J型}}^{c（c）} |

).

在最终估算过程中，

{C类}_{E类}^{1}, {C类}_{E类}^{2}, \dots, {C类}_{E类}^{E类}

根据中的索引列出组合

\hat{J型}

，其中

E类 = | \hat{J型} |

。每个组合表示为

J型 我^{j个}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

，其中

{N个}_{c（c） o个} = {C类}_{E类}^{1} + {C类}_{E类}^{2} + \dots + {C类}_{E类}^{E类}

。每个组合与

{\hat{我}}_{第页}

形成真实支持集的估计，即。，

{\hat{S公司}}_{第页}^{j个} = J型 我^{j个} ⋃ {\hat{我}}_{第页}, j个 = 1, 2, \dots, {N个}_{c（c） o个}

基于每个估计支持集，使用最小二乘算法计算估计稀疏向量的非零项。最终估算过程的计算成本约为

{C类}_{E类}^{1} \cdot O（运行） (| {\hat{S公司}}_{第页}^{1} | \cdot M（M）) + {C类}_{E类}^{2} \cdot O（运行） (| {\hat{S公司}}_{第页}^{2} | \cdot M（M）) + \dots + {C类}_{E类}^{E类} \cdot O（运行） (| {\hat{S公司}}_{第页}^{E类} | \cdot M（M）)

[21]。此外，由于

米 一 x个 (| {\hat{S公司}}_{第页}^{1} |, | {\hat{S公司}}_{第页}^{2} |, \dots, | {\hat{S公司}}_{第页}^{E类} |) \leq K

，我们有：

\begin{matrix} {C类}_{E类}^{1} \cdot O（运行） (| {\hat{S公司}}_{第页}^{1} | \cdot M（M）) + \dots + {C类}_{E类}^{E类} \cdot O（运行） (| {\hat{S公司}}_{第页}^{E类} | \cdot M（M）) & < & {C类}_{E类}^{1} \cdot O（运行） (K M（M）) + \dots + {C类}_{E类}^{E类} \cdot O（运行） (K M（M）) \end{matrix}

(11)

考虑到

{C类}_{E类}^{1} \cdot O（运行） (K M（M）) + \dots + {C类}_{E类}^{E类} \cdot O（运行） (K M（M）) = {N个}_{c（c） o个} \cdot O（运行） (K M（M）)

，最终估算过程的计算成本可以近似为

{N个}_{c（c） o个} \cdot O（运行） (K M（M）)

.

总之，在线处理的复杂性分析列于表1，整个DCSMP算法的计算复杂度列于表2.

4.2. 可扩展性分析

在典型的无线传感器网络（WSN）场景中，信号在源节点处采样，在汇节点处聚合。源节点之间的相关性导致冗余。提出了许多减少冗余的方法，如结构保真度数据采集方法[11]和分布式压缩传感[22].

本文考虑一个分散的传感器网络，其中多个密集放置的传感器采集信号并与相邻节点通信以重建原始信号。所有传感器节点都是等效的。每个单独的传感器（例如第页-th传感器节点）不知道完整的网络拓扑，而是知道两组本地邻居：传入的邻居连接

{L（左）}_{第页}^{我 n个}

和传出邻居连接

{L（左）}_{第页}^{o个 u个 吨}

这里，传入和传出连接分别对应于节点可以接收或发送信息的通信链路。通过利用传感器节点之间的相关性，在每个传感器节点处对稀疏信号进行采样和重构。特别是在第页-则DCSMP算法融合来自两个节点的候选支持集估计第页-th节点及其相邻节点，以提高重建性能。

在传统传感器网络中，随着网络规模的扩大，每个节点的数据融合过程的传输负担和计算成本急剧增加。然而，在基于DCSMP算法的传感器网络中，候选支持集是通过网络传输的，而不是传统网络中传输的测量值。这大大减少了链路上的传输负担。此外，数据融合过程的计算成本与传入的相邻连接数呈线性增长。由于采用了非常简单的民主投票策略，数据融合过程的计算复杂性可以忽略不计[12]因此，DCSMP算法提供了理想的结构可扩展性。

5.仿真结果与分析

在本节中，我们考虑由一个发射机和多个接收机组成的分布式多基地雷达系统(图2). 发射机发射发射信号；接收机接收来自目标的回波。假设不同的个体接收器以不同的检测概率观测到相同的监视区域。基于多基地雷达系统构建了JSM-1，并以分散的方式在多个接收机之间进行稀疏恢复。

5.1. 状态空间中的稀疏表示

我们认为

{N个}_{T型}

监视区域内移动的目标。的状态向量d日-第个目标

(d日 = 1, \dots, {N个}_{T型})

在k个-第次扫描定义为

{x个}_{k个}^{d日} = {[第页 {x个}_{k个}^{d日}, v（v） {x个}_{k个}^{d日}, 第页 年_{k个}^{d日}, v（v） 年_{k个}^{d日}, 第页 {z（z）}_{k个}^{d日}, v（v） {z（z）}_{k个}^{d日}]}^{T型}

，其中

第页 {x个}_{k个}^{d日}

和

v（v） {x个}_{k个}^{d日}

分别表示d日-第个目标x个扫描时笛卡尔坐标系的轴k个;

第页 年_{k个}^{d日}

和

v（v） 年_{k个}^{d日}

沿着年轴和

第页 {z（z）}_{k个}^{d日}

和

v（v） {z（z）}_{k个}^{d日}

沿着z（z）轴。

在多基地雷达系统中，发射机Tr位于已知位置

信托收据 = {[{x个}_{0}, 年_{0}, {z（z）}_{0}]}^{T型}

; 多个接收器

{R（右）}_{我}

(

我 = 1, \dots, {N个}_{R（右）}

)放置在已知位置

{第页}_{我} = {[{x个}_{我}, 年_{我}, {z（z）}_{我}]}^{T型}, 我 = 1, \dots, {N个}_{R（右）}

，在笛卡尔坐标系中，其中

{N个}_{R（右）}

表示接收器的数量。

实际上，在跟踪过程中，目标的数量、位置和速度是未知的。扫描时的状态空间k个被分为

{N个}_{克}

网格（可能的值），列为

克_{k个}^{我}, 我 = 1, \dots, {N个}_{克}

每个网格都附加一个辅助参数，即网格反射。如果网格被目标占据，则其网格反射参数被设置为目标的反射系数；否则，设置为零。所有栅格反射参数都映射到栅格反射向量

ξ_{k个}

，这是一个指标向量，包含每个网格位置目标的真实反射率。考虑到目标占用的网格数远小于状态空间中的总网格数，

ξ_{k个}

是稀疏向量。

状态空间中的每个网格表示潜在目标的状态向量。这个我-第个网格

克_{k个}^{我}

被转换为延迟多普勒集合

(τ_{k个}^{我, 我}, {（f）}_{k个}^{我, 我})

，根据方程式(12)和(13)，在接收器条件下

{R（右）}_{我}

,

τ_{k个}^{我, 我} = \frac{1}{c（c）} (| | {P（P）}_{k个}^{我} - 信托收据 | | + | | {P（P）}_{k个}^{我} - {第页}_{我} | |),

(12)

{（f）}_{k个}^{我, 我} = \frac{{（f）}_{c（c）}}{c（c）} (〈五_{k个}^{我}, {u个}_{k个}^{我, 我} 〉 - 〈 五_{k个}^{我}, {u个}_{k个}^{吨 第页, 我}〉),

(13)

哪里

{P（P）}_{k个}^{我} = {[第页 {x个}_{k个}^{我}, 第页 年_{k个}^{我}, 第页 {z（z）}_{k个}^{我}]}^{T型}

和

五_{k个}^{我} = {[v（v） {x个}_{k个}^{我}, v（v） 年_{k个}^{我}, v（v） {z（z）}_{k个}^{我}]}^{T型}

表示我-扫描时的第个网格k个分别为；

{u个}_{k个}^{吨 第页, 我}

和

{u个}_{k个}^{我, 我}

表示从变送器到我-第个网格和来自我-第个网格到我-第个接收器。

注：来自(12)和(13)可以看出，状态空间中的网格，

克_{k个}^{我}

，对应不同的延迟-Doppler集合

(τ_{k个}^{我, 我}, {（f）}_{k个}^{我, 我})

，在不同接收器的情况下

{R（右）}_{我}

,

我 = 1, \dots, {N个}_{R（右）}

.

5.2. 单个接收器的压缩传感模型

在我-第个接收器

{R（右）}_{我}

，接收到的测量信号可以通过目标溅射空间中的网格表示为：

{第页}_{k个}^{我} (吨) = \sum_{我 = 1}^{{N个}_{克}} \{α_{k个}^{我, 我} \cdot \sum_{n个 = 1}^{W公司} 第页 (吨 - (n个 - 1) ε - (k个 - 1) Δ T型 - τ_{k个}^{我, 我}) \cdot {e（电子）}^{j个 2 π {（f）}_{k个}^{我, 我} \cdot 吨}\} + {w个}_{k个}^{我} (吨),

(14)

哪里

α_{k个}^{我, 我}

表示对应于我-发射机和我-第个接收器；

τ_{k个}^{我, 我}

是我-电网引发的延迟，以及

{（f）}_{k个}^{我, 我}

是我-第个网格，均由我-第个接收器；

{w个}_{k个}^{我} (吨)

是总扰动在我-第个接收器。

对应于我-第个网格，

克_{k个}^{我}

，如果被目标占用，则会对接收到的信号产生影响。我们定义

φ_{k个}^{我, 我} (吨)

作为我-电网对接收信号的贡献，如：

φ_{k个}^{我, 我} (吨) = \sum_{n个 = 1}^{W公司} 第页 (吨 - (n个 - 1) ε - (k个 - 1) Δ T型 - τ_{k个}^{我, 我}) {e（电子）}^{j个 2 π {（f）}_{k个}^{我, 我} \cdot 吨} .

(15)

在我-接收机，对接收信号的离散输出序列进行采样，形成测量矢量

年_{k个}^{我}

，作为：

年_{k个}^{我} = {[{第页}_{k个}^{我} (1), {第页}_{k个}^{我} (2), \dots, {第页}_{k个}^{我} (W公司)]}^{T型},

(16)

哪里

{第页}_{k个}^{我} (n个), n个 = 1, \dots, W公司

是由我-第个接收器，扫描时k个.

测量矢量

年_{k个}^{我}

可以在压缩感知框架中表示，如(17),

年_{k个}^{我} = Φ_{k个}^{我} ξ_{k个}^{我} + {e（电子）}_{k个}^{我},

(17)

哪里

Φ_{k个}^{我}

是一个传感矩阵

ξ_{k个}^{我}

是位于我-第个接收器。我们有：

Φ_{k个}^{我} = [φ_{k个}^{我, 1} \dots φ_{k个}^{我, 我} \dots φ_{k个}^{我, {N个}_{克}}],

(18)

哪里

φ_{k个}^{我, 我}

是我-传感矩阵的第n列，即。，

φ_{k个}^{我, 我} = {[φ_{k个}^{我, 我} (1), φ_{k个}^{我, 我} (2), \dots, φ_{k个}^{我, 我} (W公司)]}^{T型}

。可以从中看到(15)那个

φ_{k个}^{我, 我}

是我-th网格对接收信号的贡献，在固定网格条件下具有确定性。由于在本工作中，假定用网格划分状态空间是固定的，因此传感矩阵本质上是确定性的。

5.3。通用JSM-1在多基地雷达系统中的应用

在多基地雷达系统中，假设我-第个接收器

{R（右）}_{我}

具有与多个相邻节点（接收器）的双向通信链路，这些节点表示为

{U型}_{我}^{j个}, j个 = 1, \dots, {N个 E类}_{我},

我 = 1, \dots, {N个}_{R（右）}

，其中

{N个 E类}_{我}

表示的相邻节点数我-第个接收器。对于每个相邻节点

{U型}_{我}^{j个}

，我们可以得到压缩传感中的标准方程，如下所示：

年_{k个}^{j个} = Φ_{k个}^{j个} ξ_{k个}^{j个} + {e（电子）}_{k个}^{j个}, j个 = 1, \dots, {N个 E类}_{我},

(19)

哪里

年_{k个}^{j个}

,

Φ_{k个}^{j个}

,

ξ_{k个}^{j个}

和

{e（电子）}_{k个}^{j个}

分别表示用于j个-的第个相邻节点我-第个接收器。

假设我-th接收机及其

{N个 E类}_{我}

相邻节点观察监视区域。对于每个接收器，它不能一次“看到”所有目标。考虑到接收器位于不同位置，具有不同的视角，并且每个接收器具有不同的检测概率（小于1），这在实践中是合理的。因此，所有接收机都能观测到一些目标，即共同目标；其他则由个体接收者观察，称为创新目标。

当目标的状态和接收器的位置定义在同一坐标系中时，公共目标的状态与位于不同位置的不同观察者（接收器）的状态相同。因此，对于不同的接收机，其相应的稀疏网格反射向量共享部分非零反射系数（对应于公共目标）的相同位置，即具有相同的公共支持集。然而，由于每个接收机的参数不同，不同接收机观测到的同一目标的反射系数并不相同；因此，不同稀疏网格反射向量的公共分量不同，这不符合标准JSM-1(2)在中显示第2节.

本工作采用通用JSM-1，仅依赖于方程式(三)，重点关注公共支持集。在这种情况下，假设不同的稀疏网格反射向量共享一个公共的支持集，同时具有不同的反射系数。由于所提出的DCSMP算法侧重于支持集估计，而不是公共分量（反射系数）的估计，因此所提出的DC SMP算法可以有效地处理通用JSM-1。

5.4. 仿真环境设置

在这个仿真示例中，考虑了由一个发射机和三个接收机组成的多基地雷达系统。变送器位于

信托收据 = {[0, 0, 0]}^{T型}

公里；接收器位于

{第页}_{1} = {[0, 8, 0]}^{T型}

公里，

{第页}_{2} = {[8, 0, 0]}^{T型}

公里和

{第页}_{三} = {[8, 8, 0]}^{T型}

在三维笛卡尔坐标系中分别为km。三个接收器通过双向通信链路连接。载波频率(

{（f）}_{c（c）}

)每个接收器的频率为10 GHz。每个接收器采集的离散样本数(W公司)是80。监视位置空间的体积（表示为

第页 {x个}_{k个}, 第页 年_{k个}, 第页 {z（z）}_{k个}

)是

10^{三} \times 10^{三} \times 10^{三}

米

^{三}

，分为

10 \times 10 \times 10

网格点；监视速度空间的体积（表示为

v（v） {x个}_{k个}, v（v） 年_{k个}, v（v） {z（z）}_{k个}

)是

60 \times 60 \times 60

（米/秒）

^{三}

，分为

2 \times 2 \times 2

网格点。因此，状态空间中的网格总数(

{N个}_{克}

)是

8 \times 10^{三}

.

5.5. 识别多个目标的状态

提出的DCSMP算法用于识别状态空间中的多个目标（包括共同目标和创新目标）。对DCSMP算法获得的状态空间稀疏向量的可实现分辨率进行了评估，并与DIPP算法进行了比较。我们关注位置上的差异，同时假设所有目标具有相同的速度，以便在表示上更清晰。

仿真实例中考虑了三种情况：（a）独立分布的目标；（b）近距离共同目标；（c）接收器R1观察到的近距离创新目标。所述场景的特征是信噪比（SNR），设置为20 dB。三种情况的模拟参数如下所示表3,表4和表5.

仿真结果如所示图3,图4,图5,图6,图7和图8。每个图中显示的估计位置是三个接收器的结果的组合，包括所有接收器观察到的共同目标和单个接收器观测到的创新目标。这是合理的，因为在实际中，在估计的最后阶段，每个接收器都会将其估计的创新目标位置发送到其相邻节点，并且所有连接的接收器都会有一个共同的监视区域场景。

5.5.1. 单独分布的目标

图3和图4显示了分别使用DCSMP和DIPP算法在状态空间中识别多个独立分布目标的结果。在图3，目标的真实位置用星号（“*”）表示，文本指示“C1”和“C2”表示常见目标，“I1”、“I2”、“I3”表示创新目标。目标的估计位置用圆圈（“o”）表示，并用文字表示“

C类 1_{e（电子） 秒 吨 我 米 一 吨 e（电子）}

“和”

C类 2_{e（电子） 秒 吨 我 米 一 吨 e（电子）}

“用于估计的共同目标和”

我 1_{e（电子） 秒 吨 我 米 一 吨 e（电子）}

”, “

我 2_{e（电子） 秒 吨 我 米 一 吨 e（电子）}

”, “

我 三_{e（电子） 秒 吨 我 米 一 吨 e（电子）}

“用于估计的创新目标。可以从中看到图3使用DCSMP算法在状态空间中准确识别出多个单独分布的目标（包括共同目标和创新目标），类似的结果出现在图4，用于DIPP算法。

5.5.2. 紧密间隔的共同目标

此场景的主要挑战来自两个空间相近的公共目标之间的微小分隔

C类 1

和

C类 2

.图6表明DIPP算法无法区分

C类 1

和

C类 2

这是因为由于状态空间的高分辨率，DIPP算法无法有效处理具有高相干度的传感矩阵。此外，由于使用估计的公共支持集（即公共目标的估计位置）作为边信息来计算DIPP算法的创新支持集，因此错误估计的公共支撑集导致无法估计每个接收器的创新支持集中。因此，无法准确确定创新目标的位置(图6).

在图5，对常见目标进行了准确识别，验证了所提出的DCSMP算法能够处理高相干度的传感矩阵。因此，基于正确估计的公共支持集，可以准确地确定创新目标。

5.5.3. 近距离创新目标

这种情况下的主要挑战来自两个紧邻空间的创新目标之间的微小分离

我 11

和

我 12

，由接收器R1观察到。图8结果表明，DIPP算法能够成功地估计出两个独立分布的公共目标的位置。然后输入估计的公共支持集作为边信息，分别在三个接收器处计算创新支持集。图8显示第一个接收器R1无法区分两个近距离创新目标

我 11

和

我 12

，而其他两个接收器R2和R3分别成功地识别了它们对应的创新目标I2和I3。在图7可以看出，所提出的DCSMP算法成功地识别了共同目标和创新目标。

5.6. 随机测试案例

测试了一系列随机案例，其中20个目标（包括共同目标和创新目标）随机分布在三维位置空间中。每个轨迹都进行了500次蒙特卡罗模拟。考虑到每个接收者无法一次“看到”所有目标，通用目标和创新目标的数量分别设置为15和5。因此，我们为模拟设置了以下参数：信号维数

N个 = 8 \times 10^{三}

，测量维度

M（M） = 80

，稀疏度

K = 20

，公共支持集

J型 = 15

、创新支持集

我_{第页} = 5

，所有节点（接收器）的数量

{N个}_{R（右）} = 三

以及蒙特卡洛小道的数量

{N个}_{M（M） C类} = 500

.

使用两个指标来评估所提算法的性能。第一个度量称为分布式重建误差（DRE），其定义为：

D类 R（右） E类 = \frac{1}{| {N个}_{R（右）} |} Σ_{第页 = 1}^{| {N个}_{R（右）} |} [\frac{1}{{N个}_{M（M） C类}} Σ_{我 = 1}^{{N个}_{M（M） C类}} \frac{| | {\hat{x个}}_{第页}^{我} - {x个}_{第页}^{我} {| |}_{2}}{| | {x个}_{第页}^{我} {| |}_{2}}],

(20)

哪里

{x个}_{第页}^{我}

表示的真实信号第页-中的第个接收器我-第个蒙特卡洛轨迹和

{\hat{x个}}_{第页}^{我}

表示估计的信号。考虑到整个分散网络，我们的目标是实现较低的DRE。我们还采用平均支持集基数误差（ASCE）作为支持集恢复性能的直接评估[12]。请注意，ASCE具有范围

[0, 1]

，我们的目标是实现较低的ASCE。

我们现在使用性能度量DRE和ASCE提供平均性能结果，如下所示表6OMP和SP算法的性能被包括在模拟中，作为表征单个传感器（断开连接）场景的基准表6可以看出，所提出的DCSMP算法获得了最低的DRE和ASCE，这证明了在分散网络中，在高分辨率重建稀疏向量方面，所提出DCSMP方法优于其他三种算法（DIPP、SP和OMP）。

5.7. 大规模传感器网络的仿真结果

该仿真旨在验证所提出的DCSMP算法在大规模传感器网络上的性能。网络拓扑是沿着Penrose于[23]，其中许多节点随机分布在一个区域中。每个节点都与位于其一定距离内的相邻节点连接。图9显示了由105个节点组成的此类网络的典型设置。将提出的DCSMP算法与基于压缩感知的算法（例如SP、OMP和DIPP算法）以及基于非压缩感知的方法（例如主成分分析（PCA））进行了比较[24]以及分布式小波压缩（DWC）算法[25].

基于多基地雷达系统建立了信号模型。选择稀疏网格反射矢量作为原始信号。对于传统的基于压缩感知的算法，例如SP和OMP算法，测量值在传输到相邻节点之前通过下采样测量矩阵进行压缩。对于基于感知的非压缩方法，例如PCA和DWC算法，数据压缩是在加重来自相邻节点的信号后实现的。对于上述两种算法，测量值在网络中传输。相比之下，在DCSMP和DDIP算法中，仅在网络中的节点之间传输估计的候选支持集，这大大降低了传输负担。

测试了一系列随机情况，其中许多目标（包括常见目标和创新目标）随机分布在三维位置空间中。模拟参数与第5.6节。使用DRE和ASCE两个指标来评估不同算法的重建性能。图10a显示了不同算法的DRE随不同节点数的变化。可以从中看到图10a证明所提出的DCSMP算法实现了最低DRE。基于非压缩感知的算法（如PCA和DWC）无法在下采样率下完美重建原始信号，因此它们可以实现较大的DRE。虽然传统的压缩感知算法（例如SP和OMP）和DIPP算法可以在下采样率下准确地重建原始信号，但与所提出的DCSMP算法相比，它们无法处理具有高相干度的感知矩阵，从而实现适度的DRE。此外，可以从中看出图10a两种算法DCSMP和DDIP的DRE随着网络规模的增加略有下降。这是因为每个节点接收的信息（候选支持集或测量值）随着网络规模的扩大而增加，从而产生更准确的估计信号。图10b显示了ASCE随节点数的变化。提出的DCSMP算法实现了最低的ASCE。这验证了所提出的DCSMP算法在处理高相干感测矩阵方面优于其他三种算法（DIPP、SP和OMP）。

6.结论

针对分散场景下的JSM-1，提出了一种新的DCSMP算法。该算法采用直接建立在实际采集系统上的确定性传感矩阵。在该算法中，公共支持集的估计过程是对新息支持集估计过程的解耦。因此，不准确估计的公共支持集不会影响创新支持集的估计。仿真结果表明，在多基地雷达系统中，该算法可以在不同的接收机之间以分散的方式成功地进行稀疏恢复。

致谢

这项工作得到了中国自然科学基金会（编号61573276和61473217）、国家973项目（2013CB329405）和国家自然科学基金创新研究群体基金（61221063）的支持。

作者贡献

刘静开发了分布式紧凑传感矩阵追踪（DCSMP）算法并撰写了论文；黄凯玉回答了部分评论员的问题，并撰写了部分论文；张国贤检查了一下文件。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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图1。DCSMP算法的框图。

图2。多基地雷达系统。

图3。案例1：单独分布的目标。使用DCSMP算法在3D空间中估计位置。

图4。案例1：单独分布的目标。使用分布式并行追踪（DIPP）算法估计三维空间中的位置。

图5。案例2：密切关注共同目标。使用DCSMP算法在3D空间中估计位置。

图5。情况2：密集分布的共同目标。使用DCSMP算法在3D空间中估计位置。

图6。案例2：密切关注共同目标。使用DIPP算法在3D空间中估计位置。

图7。案例3：接收器R1观察到的近距离创新目标。使用DCSMP算法在3D空间中估计位置。

图8。案例3：R1观察到的紧跟节奏的创新目标。使用DIPP算法在3D空间中估计位置。

图9。测试网络的连接拓扑由105个节点组成。

图9。测试网络的连接拓扑结构由105个节点组成。

图10。不同算法与不同节点数的性能比较。(一)不同节点数下DRE的变化；(b条)不同节点数的ASCE变化。

表1。在线处理的复杂性分析。

粗略估计	数据融合	创新支持集估计	最终估算
哦( $M（M） {D类}_{第页}$ )	可以忽略不计的	O（运行）( $\| \hat{J型} \| \cdot M（M）$ )+O（运行）( $M（M） \cdot \| {\hat{J型}}^{c（c）} \|$ )	${N个}_{c（c） o个} \cdot O（运行） (K M（M）)$

表2。DCSMP算法的计算复杂性。

脱机处理	在线处理
O（运行） $(\frac{N个 (N个 - 1)}{2} M（M）)$	O（运行）( $M（M） {D类}_{第页}$ )+O（零）( $\| \hat{J型} \| \cdot M（M）$ )+O（运行）( $M（M） \cdot \| {\hat{J型}}^{c（c）} \|$ ) + ${N个}_{c（c） o个} \cdot O（运行） (K M（M）)$

表3。案例1：单独分布的目标。

目标编号	反射振幅（dB）	位置（m）	观察员
$C类 1$	2	${[1800, 2900, 18000]}^{T型}$	R1、R2、R3
$C类 2$	6	${[1900, 5100, 18100]}^{T型}$	R1、R2、R3
$我 1$	13	${[4000, 1000, 18000]}^{T型}$	R1级
$我 2$	2	${[3500, 900, 17900]}^{T型}$	R2级
$我三$	6	${[500, 500, 17500]}^{T型}$	R3级

表4。案例2：密切关注共同目标。

目标编号	反射振幅（dB）	位置（m）	观察员
$C类 1$	2	${[1800, 4900, 18000]}^{T型}$	R1、R2、R3
$C类 2$	6	${[1700, 5000, 18000]}^{T型}$	R1、R2、R3
$我 1$	13	${[3600, 600, 18100]}^{T型}$	R1级
$我 2$	2	${[3000, 1800, 17800]}^{T型}$	R2级
$我三$	6	${[510, 500, 17500]}^{T型}$	R3级

表5。案例3：R1观察到的紧跟节奏的创新目标。

目标编号	反射振幅（dB）	位置（m）	观察员
$C类 1$	2	${[1800, 4900, 18000]}^{T型}$	R1、R2、R3
$C类 2$	6	${[1800, 2200, 18100]}^{T型}$	R1、R2、R3
$我 11$	13	${[1800, 5000, 17900]}^{T型}$	R1级
$我 12$	13	${[1700, 4900, 17900]}^{T型}$	R1级
$我 2$	2	${[2500, 1500, 17400]}^{T型}$	R2级
$我三$	6	${[500, 1500, 17500]}^{T型}$	R3级

表6。性能结果。DRE，分布式重建误差；ASCE，平均支持集基数错误。

算法	直肠指诊	ASCE公司
DCSMP公司	0.07	0.05
DIPP公司	0.23	0.17
特殊用途	0.37	0.53
OMP公司	0.31	0.49

分享和引用

MDPI和ACS样式

刘杰。；黄，K。；张，G。一种适用于分散传感器网络的高效分布式压缩传感算法。传感器 2017,17, 907.https://doi.org/10.3390/s17040907

AMA风格

刘杰、黄凯、张刚。一种适用于分散传感器网络的高效分布式压缩传感算法。传感器. 2017; 17(4):907.https://doi.org/10.3390/s17040907

芝加哥/图拉宾风格

刘、静、黄开宇和张国贤。2017.“分布式传感器网络的高效分布式压缩传感算法”传感器17，编号4:907。https://doi.org/10.3390/s17040907

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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分布式传感器网络中一种高效的分布式压缩传感算法

摘要

1.简介

1.1. 符号

2.JSM-1框架中的问题制定

3.分布式紧凑传感矩阵追踪算法

3.1. 粗略估计

3.2. 数据融合

3.3. 创新支持集估计

3.4. 最终估算

3.5. DCSMP算法

4.复杂性和可扩展性分析

4.1. 复杂性分析

4.2. 可扩展性分析

5.仿真结果与分析

5.1. 状态空间中的稀疏表示

5.2. 单个接收器的压缩传感模型

5.3。通用JSM-1在多基地雷达系统中的应用

5.4. 仿真环境设置

5.5. 识别多个目标的状态

5.5.1. 单独分布的目标

5.5.2. 紧密间隔的共同目标

5.5.3. 近距离创新目标

5.6. 随机测试案例

5.7. 大规模传感器网络的仿真结果

6.结论

致谢

作者贡献

利益冲突

参考文献

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