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遥感
第14卷
第3期
10.3390/rs14030511
遥感损失
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第条

基于空间谱残差全变分正则化低秩张量分解的高光谱图像复原

通过
襄阳港
1, 2,
赵永强
1,*,
乔纳森·张伟珍
三和
薛继泽
1
1
西北工业大学自动化学院，西安710072
2
四川工程技术学院基础教育系，德阳618000
三
比利时布鲁塞尔Vrije Universiteit Brussel，1050，电子和信息学系
*
信件应寄给的作者。
远程传感器。 2022,14(3), 511;https://doi.org/10.3390/rs14030511
收到的提交文件：2021年12月10日/修订日期：2022年1月9日/接受日期：2022年1月17日/发布日期：2022年1月21日
（本文属于特刊遥感图像去噪、恢复与重建)
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版本注释

摘要

:
为了消除高光谱图像中的混合噪声，三维总变差正则化被证明是一种有效的工具。然而，3DTV正则化在恢复过程中容易丢失图像细节。为了解决这个问题，我们提出了一种新的电视，称为空间域频谱剩余总变差（SSRTV）。考虑到光谱变化图像中存在大量的残余纹理信息，SSRTV首先计算相邻波段像素值之间的差值，然后计算残差图像的2DTV。实验结果表明，SSRTV正则化项在改变原始HSI中的噪声结构方面很强大，因此允许低秩技术更有效地去除混合噪声，而不将其视为低秩特征。利用低秩Tucker分解（LRTD）对HSI的全局低秩性和空间谱相关性进行了研究。此外，还证明了我2,1norm更有效地处理稀疏噪声，尤其是特定于样本的噪声，如条纹或截止日期。采用增广拉格朗日乘子（ALM）算法求解该模型。最后，仿真和实际数据的实验结果表明了该方法的有效性。在定量指标和视觉检测方面，该方法优于最新的TV-regularized低秩矩阵/张量分解方法。

1.简介

高光谱图像（HSI）由许多窄带组成，通常在400 nm至2500 nm的范围内。由于其丰富的光谱信息，可以更好地反映地物的反射率信息；因此，它被广泛应用于精确农业、矿产探测、环境监测、城市规划等领域[1]. 不幸的是，由于设施限制、大气条件和收集过程中的其他未知因素[2]真实场景的HSI会受到各种噪声的影响，如高斯噪声、脉冲噪声、条纹和截止时间。噪声的存在不仅降低了视觉质量，而且限制了后续应用中的处理精度，例如，分解[三]，分类[4,5]、和目标检测[6]. 因此，恢复HSI是有效应用的关键预处理步骤。
迄今为止，已经为HSI开发了大量修复技术。由于简单，通常使用基于过滤的方法[7,8]. 然而，这些方法中的大多数仅对使用特定滤波器的特定噪声有效；对于混合噪声，恢复性能受到限制。另一种流行的方法是基于统计的方法[9]通常假设噪声服从某种概率分布。近年来，出现了基于优化的HSI恢复方法；这些方法将HSI去噪视为一个由正则化和数据完整性项组成的优化问题。正则化项有助于利用关于HSI和噪声潜在属性的先验知识；因此，对正则化的准确描述是在不适定条件下取得良好结果的前提。
在基于优化的方法中，HSI可以通过一维（1D）向量方法恢复[10]，二维（2D）矩阵法[11]，或三维（3D）张量方法[12,13,14]. 在这些方法中，HSI分别被视为向量、灰度矩阵或三阶张量。尽管一维和二维方法总是更快，但由于它们忽略了HSI的遗传光谱和空间相关性，因此恢复结果并不令人满意。为了解决这个问题，已经提出了各种方法来结合这种相关性的先验知识。例如，在[15]. Zhao等人[16]提出了一种稀疏表示方法来联合利用HSI的空间频谱信息。考虑到光谱噪声和空间信息之间的差异，Yuan等人[17]提出了一种光谱空间自适应全变分模型。随着张量技术的出现，可以方便地同时处理HSI的谱域和空间域，越来越多的研究致力于基于张量的恢复方法。
典型的HSI具有低秩属性。它是在[12]那个HSI X（X） 通过观察展开矩阵奇异值变化的明显衰减趋势，X在两个空间维度上都具有特定的相关性X（X）(1)和X（X）(2)，这也表明它们是低秩矩阵。从线性混合点来看，HSI显示出很强的光谱相关性，模式3展开矩阵X（X）(3)是一个低阶矩阵。由于从真实场景中收集的HSI不可避免地受到各种噪声的污染，它们可能会破坏低阶属性。基于低秩假设，在[2]为了去除混合噪声，将HSI分解为低阶部分和稀疏部分，分别表示干净的HSI和稀疏噪声。均匀LRMR可以同时去除高斯噪声和稀疏噪声；该方法只考虑了补丁内部的局部相似性。随后，人们提出了许多非凸范数来表示低阶性质，而不是核范数，例如γ范数[18]和加权Schatten p-范数[19,20]. 然而，这些方法有三个缺点。首先，这些方法需要将原始的三维HSI重构为二维矩阵，这将破坏光谱相关性。其次，计算成本很高，因为在优化的每个迭代中都必须计算矩阵奇异值分解（SVD）。第三，谱域和空间域都存在低秩特性[12]但这些方法分别考虑了空间域和谱域的低阶特性。因此，为了利用HSI的全局低秩特性和空间谱相关性，提出了基于低秩张量分解（LRTD）的HSI恢复方法[12,13,14]. 一个主要挑战是局部、结构化稀疏噪声，如条纹或截止日期。由于这些噪声被视为低阶分量，低阶约束将无法消除它们。
除了HSI的低阶特性外，它还具有作为空间域中自然图像的分段平滑结构，可以通过总变分（TV）正则化方法加以利用[21,22,23,24,25]. 例如，He等人[21]将带通电视（BTV）正则化与低秩矩阵分解（LRMF）相结合以提高恢复性能。虽然BTV有助于表征空间分段光滑性，但它没有考虑HSI的谱相关性。
为了克服TV方法的空间过平滑，许多方法都结合了频谱相关。例如，Yuan等人[17]介绍了一种光谱空间自适应高光谱电视（SSAHTV），实现了波段和空间自适应去噪过程的自动处理。Zheng等人[22]将其扩展到乐队组版本。除了空间分段平滑性之外，明确评估光谱相关性的类似方法包括空间光谱电视（SSTV）[23]，各向异性SSTV（ASSTV）[24]和交叉总变差（CrTV）[25]. 在SSTV和ASSTV的设计中，空间相关性被解释为光谱分段平滑，并通过我1沿着光谱方向的局部差异的范数，导致计算上有效的优化。具体来说，为了同时评估空间和光谱分段平滑度，SSTV侧重于局部空间-光谱差异。然而，由于该方法忽略了直接的局部空间差异，恢复的HSI往往会产生伪影，特别是在高噪声场景中。虽然ASSTV直接并行处理局部空间和光谱差异，但它通常会生成光谱过平滑的图像，因为它强烈抑制了我1HSI的直接光谱差范数。SSAHTV可以根据不同的空间特性和频带内不同的噪声强度自适应估计去噪强度。
另一种方法是三维光谱空间电视（3DSSTV，简称3DTV）及其变体。3DTV[26]定义为
‖ X（X） ‖ 三 数字电视   =   w个 1 D类 小时 X（X）   +   w个 2 D类 五 X（X）   +   w个 三 D类 第页 X（X）   =   ∑ 我 , j , k个 ( w个 1 x个 我   +   1 , j , k个   −   x个 我 , j , k个   +   w个 2 x个 我 , j   +   1 , k个   −   x个 我 , j , k个   +   w个 三 x个 我 , j , k个   +   1   −   x个 我 , j , k个
这个 D类 小时 , D类 五 , 和 D类 第页 分别是水平、垂直和光谱方向上的差分运算符。这个 w个 1 , w个 2 ,   和   w个 三 重量对应于 D类 小时 , D类 五 , 和 D类 第页 .3DTV已与LRTD结合[26]和t-SVD[27]消除HSI中的混合噪声。通常，低秩张量和3DTV正则化恢复模型的组合可以获得更好的结果。值得注意的是，3DTV不同于上述SSTV。SSTV定义为HSI展开矩阵的TV，因此SSTV确实属于2DTV。
虽然方程式（1）中定义的3DTV同时考虑了空间平滑和光谱平滑，但仍存在一个问题。3DTV中的差异图像，其计算公式为 D类 小时 , D类 五 , 和 D类 第页 , 显示在中图1.图1a–c显示了 D类 小时 X（X） ,   D类 五 X（X） , 和 D类 第页 X（X） 用于实际城市数据集 X（X） 分别是。沿着频谱的3DTV考虑相邻频带的内容彼此接近，并且 D类 第页 X（X） 是稀疏的。然而，可以从以下方面观察到图1c沿光谱的变化 D类 第页 X（X） 还有很多细节。因此，3DTV在HSI中的实际价值相对较大（参见图2a） ●●●●。
图2显示了的直方图 D类 第页 X（X） , D类 小时 D类 第页 X（X） , 和 D类 五 D类 第页 X（X） 分别是。图像越详细，真实的3DTV范数就越大。因此，如果将3DTV最小化作为HSI恢复的约束条件，则图像细节丢失的可能性就越大，并且会产生次优效果。为了克服上述缺点并有效利用HSI的先验知识，我们提出了一种用于HSI恢复的空间谱剩余总变差（SSRTV）正则化技术。SSRTV旨在评估两种类型的局部差异：直接的局部空间差异( D类 小时 X（X） , D类 五 X（X） )和局部空间光谱差异( D类 小时 D类 第页 X（X） , D类 五 D类 第页 X（X） )以统一的方式使用平衡块。该设计解决了上述现有电视正则化技术的缺点。一般来说， D类 小时 D类 第页 X（X）   和   D类 五 D类 第页 X（X） 用残差图像上的2DTV计算 D类 第页 X（X） 然后，实际考虑频带内的局部相关性，这将比 D类 第页 X（X） （请参见图1d、 e，以及中的相应直方图图2b、 c）。 D类 小时 D类 第页 X（X）   和   D类 五 D类 第页 X（X） 表示为：
D类 小时 D类 第页 X（X）   =   ‖ D类 小时 米 1 ‖   =   ∑ 我 , j , k个 米 我   +   1 , j , k个   −   米 我 , j , k个
D类 五 D类 第页 X（X）   =   ‖ D类 五 米 1 ‖   =   ∑ 我 , j , k个 米 我 , j   +   1 , k个   −   米 我 , j , k个
哪里 米 我 , j , k个   =   X（X） 我 , j , k个   +   1   −   X（X） 我 , j , k个 是波段的差异k个+1和k个对于空间位置的像素(我,j).
虽然此处定义的SSRTV与参考中的混合空间光谱总变差（HSSTV）类似[28]，它们之间有本质的区别。事实上 D类 小时 D类 第页 u个   和   D类 五 D类 第页 u个 HSSTV平均值 D类 小时 D类 第页 X（X） 1   和 D类 五 D类 第页 X（X） 2 ，其中 X（X） 1 和 X（X） 2 是沿水平（模式1）和垂直（模式2）的展开矩阵。
此外，假设截止日期、条纹和脉冲噪声稀疏[2]. 在这些稀疏噪声中，条纹或截止日期显示出某种方向性特征，如所示图3当同一位置的稀疏噪声出现在大多数频带中时，它们被视为低阶分量，不能用基于低阶的方法去除[21].
为了去除HSI中的混合噪声，我们设计了一种结合LRTD（LRTDSSRTV）的空域谱残差总变差正则化方法。图4给出了我们方法的流程图。
研究发现，SSRTV与之前的电视规范完全不同[25,29]. 我们提出的HSI恢复方法将SSRTV与低阶Tucker分解框架相结合。总之，本文的主要贡献如下。
(1)
我们设计了一个空间谱残差总变差（SSRTV）来更好地捕捉HSI的直接空间平滑度和空间谱分段平滑度。这可以克服以往TV方法的缺点，即低阶正则化无法去除结构化稀疏噪声。
(2)
SSRTV被纳入LRTD模型中，以将底层清洁HSI与其具有混合噪声的降级版本分离。采用LRTD保持HSI的全局空间和光谱相关性，恢复干净的低阶HSI。
(3)
经典的高阶正交迭代（HOOI）算法[30]被采用以有效地实现塔克分解，而不会带来额外的计算负担。通过使用交替方向乘数法（ADMM），我们的方法被分解为几个简单的子问题。与基于低秩矩阵/张量分解的方法相比，仿真和实际数据的实验结果验证了该方法的有效性。
其余内容组织如下。在第2节，我们给出张量运算的符号。我们的恢复模型及其优化如所述第3节。通过模拟数据集和实际遥感数据集的实验验证了该方法的有效性，如所示第4节最后，得出结论，并在第5节.

2.注释和前言

在张量代数中，张量是定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡尔积上的多线性映射。张量的阶数被定义为其维度或模式的数量。例如，标量、向量和矩阵分别是零阶张量、一阶张量和二阶张量。相应的表示形式是小写字母、小写黑体字母和大写黑体字母。例如 x个 、x和X（X）分别是标量、向量和矩阵。安N个-订单(N个≥3）张量由大写的书法字母表示，即。， X（X） HSI数据立方体是一个三阶张量。对于N个-维实值张量 X（X） ∈ ℝ 我 1   ×   我 2   ×   ⋯   ×   我 N个 ，我们使用 x个 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个 在位置上表示其元素( 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个 )，其N维也称为N模。通过固定除n指数外的所有指数，我们得到了n型光纤。通过将所有n型光纤排列为列，我们得到了一个矩阵，表示为 X（X） n个 或 X（X） n个 ∈ ℝ 我 n个   ×   ∏ k个   =   1 , k个 ≠ n个 N个 我 k个 此过程也称为模式n矩阵化 X（X） 或沿模式n展开 X（X） 是数组( 第页 1 , 第页 2 , ⋯ , 第页 N个 )和第页我=等级(X（X）(我)),我= 1, 2, …,N个.
两个张量的内积 X（X） 和 Y（Y） 计算方法为 〈 X（X） , Y（Y） 〉   =   ∑ 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个 x个 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个   ⋅   年 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个 . The我1-张量范数 X（X） 计算为 ‖ X（X） ‖ 1   =   ∑ 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个 x个 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个 . The我2,1-矩阵X的范数计算为 ‖ X（X） ‖ 2 , 1   =   ∑ j   =   1 J型 ∑ 我   =   1 我 x个 我 , j 2 模式n的张量矩阵乘积定义为 Y（Y） × n个 U型 我 1 ⋯ 我 n个   −   1 , 我 n个   +   1 , ⋯ , 我 N个 = ∑ 我 n个 x个 我 1 , 我 2 , ⋯ , 我 N个   ⋅   u个 j , 我 n个 。有关张量代数的更多信息，请参阅[30].

3.建议模型

3.1. 混合噪声观测模型

从数学角度来看，HSI可能受到加性和乘性噪声的污染。在这项工作中，我们主要考虑了加性噪声，包括高斯噪声、脉冲噪声、条纹噪声和截止时间噪声[2]. 利用对数变换将乘性噪声转化为加性噪声[31]. 高斯噪声是由成像传感器的照明不良和/或高温引起的，同时，推室传感器的机械缺陷（例如截止日期和条纹）可能会引入稀疏噪声。遵循最流行的HSI恢复模型[12,32]，混合噪声降解的HSI公式如下：
Y（Y）   =   X（X）   +   S公司   +   N个
在模型（4）中， Y（Y） , X（X） , S公司 , N个 ∈ ℝ 米   ×   n个   ×   b条 均为三阶张量，分别表示观测到的退化HSI、潜在清洁HSI、稀疏噪声（例如脉冲、条纹和截止时间）和高斯噪声。尺寸米×n个×b条表明HSI已经b条光谱带和每个带灰度图像的分辨率为米×n个噪声的存在将阻碍对HSI的理解。恢复的目的是从观测到的噪声图像中去除噪声 Y（Y） 和恢复潜影 X（X） 此预处理可以提高his的意识水平和进一步处理。
正在恢复 X（X） 从 Y（Y） 方程（4）是一个困难的病态问题[12,32]. 为了解决这个问题，典型的做法是利用所有相关变量的先验值。HSI的一般混合噪声恢复模型可以表示为
一 第页 克 米 我 n个 X（X） , S公司 R（右） X（X）   +   ρ R（右） S公司   +   γ R（右） N个   秒 . t吨 .   Y（Y）   =   X（X）   +   S公司   +   N个
哪里 R（右） X（X） , R（右） S公司 、和 R（右） N个 是针对干净HSI建模先验的正则化项 X（X） ，稀疏噪声   S公司 , 和高斯噪声 N个 分别是。参数ρ和γ是保持三个正则化项之间权衡的正正则化参数。由于高斯噪声 N个 通常描述为我2规范和 N个   =   Y（Y）   −   X（X）   −   S公司 ，方程（5）可以转换为等效形式
一 第页 克 米 我 n个 X（X） , S公司 R（右） X（X）   +   ρ R（右） S公司   秒 . t吨 .   ‖ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司 ‖ F类 2 ≤ σ 2
在这里，σ2是与高斯噪声密度相关的参数。

3.2. S的方向结构稀疏先验

对于非高斯噪声，如截止时间、条纹和脉冲噪声，通常认为它们具有稀疏特性[2]，以及稀疏噪声的稀疏性 S公司 其特征在于我1规范 ‖ S公司 ‖ 1 [12,32,33,34]. 条纹和截止日期的方向特性表明它们具有结构稀疏特性，如所示图3。虽然我1norm无法描述此结构稀疏属性我2,1-范数是一种稀疏诱导范数，定义为我1-矩阵列的范数。与传统方法相比，它具有旋转不变性的优点我1规范[35]. 它已经在[36]那个我2,1-范数对于异常值更为稳健，特别是对于结构稀疏噪声，如条纹和截止日期[35]. 在本文中，我们扩展了我2,1施加稀疏性的矩阵范数，即 ‖ X（X） ‖ 2 , 1   =   ∑ k个   =   1 b条 ∑ j   =   1 n个 ∑ 我   =   1 米 x个 我 , j , k个 2 因此，从数学上讲，目标函数可以写成如下：
米 我 n个 X（X） , S公司 R（右） X（X）   +   ρ ‖ S公司 ‖ 2 , 1 , 秒 . t吨 .   ‖ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司 ‖ F类 2 ≤ σ 2

3.3. HSI低秩Priori

根据线性混合模型[37]，HSI显示出很强的光谱相关性。基于此假设，模式3展开矩阵 X（X） 三 是一个低阶矩阵。此外，通过观察模式1展开矩阵奇异值曲线的显著下降 X（X） 1 和模式2展开矩阵 X（X） 2 ，报告于[12]HSI也表现出较强的空间相关性。为了联合考虑空间域和光谱域中HSI的相关性，使用低阶Tucker分解来聚合干净HSI的因子矩阵 X（X） : R（右） 1 X（X）   =   ‖ X（X）   −   G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 ‖ F类 2 ，其中分解矩阵 U型 1 ∈ ℝ 米   ×   第页 1 （排名第页1), U型 2 ∈ ℝ n个   ×   第页 2 （排名第页2)、和 U型 三 ∈ ℝ b条   ×   第页 三 （排名第页三)分别在空间模式和光谱模式下正交，以及 G公司 ∈ ℝ 第页 1   ×   第页 2   ×   第页 三 称为核心张量。
结合LRTD和3DTV正则化对HSI进行恢复，考虑到全局空间谱相关性和空间谱平滑性，恢复的HSI获得了满意的结果[12]. 然而，仍然存在一些问题。基于3DTV规则化的模型探索了空间光谱差分图像的稀疏先验。然而，谱域上的变化仍然留下了很多细节。因此，3DTV在HSI中的实际值相对较大。为了有效地利用先验知识进行HSI恢复，我们提出了一种新的TV正则化技术，以同时评估直接的局部空间差异和局部空间谱差异，这有望解决现有TV正则化技术的缺点。

3.4. SSRTV规范化

我们用于HSI恢复的新正则化技术称为SSRTV。其定义为
SSRTV公司 X（X）   =   w个 1 D类 小时 X（X）   +   w个 2 D类 五 X（X）   +   w个 三 D类 小时 D类 第页 X（X）   +   D类 五 D类 第页 X（X）
这个 D类 小时 , D类 五 , 和 D类 第页 是等式（1）中相同的差分运算符。这个 D类 小时 D类 第页 · 和 D类 五 D类 第页 · 定义见方程式（2）和（3）。它们是 X（X） ，如所示图1（红色虚线框）。重量w个1,w个2,和w个三用于平衡空间谱分段平滑和直接空间分段平滑的重要性。
不同于 D类 第页 X（X） 在3DTV中，以获得 D类 小时 D类 第页 X（X）   一 n个 d日   D类 五 D类 第页 X（X） ，首先计算相邻频带相同空间位置上的像素差。然后，计算残差图像的2DTV D类 第页 X（X） 由于相邻频带之间的相似性，残差图像的二维梯度很可能比原始图像的二维坡度更稀疏，从而导致无噪HSI中的最小实范数值。另一方面，由于噪声的无序性，有噪声HSI得到的范数必然要比无噪声HSI的范数大得多。因此，如果正则化项被最小化，则可以在去除噪声的同时以高概率保持图像细节。

3.5. 模型建议和优化

传统的3DTV只考虑空间谱分段平滑。因此，相邻频带中的类似稀疏噪声将被视为低阶分量，无法去除。基于这一观察，我们提出了一种空间域谱残差全变分正则化低秩张量分解（LRTDSSRTV）方法。利用低秩张量Tucker分解保持全局空间谱相关性。除了直接的空间差异 D类 小时 X（X）   和   D类 五 X（X） 光谱差异的空间差异 D类 小时 D类 第页 X（X）   和     D类 五 D类 第页 X（X）   SSRTV正则化可以改变稀疏噪声的结构。结合SSRTV和LRTD的恢复模型如下所示：
一 第页 克 米 我 n个 X（X） , S公司 ρ ‖ S公司 ‖ 2 , 1   +   w个 1 D类 小时 X（X）   +   w个 2 D类 五 X（X）   +   w个 三 D类 小时 D类 第页 X（X）   +   D类 五 D类 第页 X（X）
秒 . t吨 .   X（X）   =   G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 , U型 k个 T型 U型 k个   =   我 , ‖ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司 ‖ F类 2 ≤ σ 2
在方程（9）中，我们充分利用了干净HSI分量和噪声分量的先验。LRTD用于保持HSI的空间谱相关性，SSRTV用于挖掘HSI的局部空间谱平滑性。张量公式我2,1-利用范数分离稀疏噪声，利用Frobenius范数消除高斯噪声。
由于模型（9）的非微分特性，提出了一种替代更新方案。我们引入了ADMM[38]通过引入辅助变量对其进行优化 Z轴 和D类k个(k个=1,2,3,4,5），一个新的目标函数可以写成，
米 我 n个 X（X） , S公司 , D类 1 , D类 2 , D类 三 , D类 4 , D类 5 ρ ‖ S公司 ‖ 2 , 1   +   τ { w个 1 ‖ D类 1 ‖ 1   +   w个 2 ‖ D类 2 ‖ 1   +   w个 三 ‖ D类 4 ‖ 1   +   ‖ D类 5 ‖ 1
秒 . t吨 .   X（X）   =   G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 , X（X）   =   Z轴 , D类 1   =   D类 小时 Z轴 , D类 2   =   D类 五 Z轴 , D类 三   =   D类 第页 Z轴 , D类 4   =   D类 小时 D类 三 , D类 5   =   D类 五 D类 三
所有约束，除了 X（X）   =   G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 考虑，（10）的增广拉格朗日形式由下式给出
L（左） X（X） , S公司 , G公司 , U型 我 , 问 , Λ j   =   ρ ‖ S公司 ‖ 2 , 1   +   τ w个 1 ‖ D类 1 ‖ 1   +   w个 2 ‖ D类 2 ‖ 1   +   w个 三 ‖ D类 4 ‖ 1   +   ‖ D类 5 ‖ 1 + μ 2 ( ‖ D类 1   −   D类 小时 Z轴   +   Λ 1 ‖ F类 2   +   ‖ D类 2   −   D类 五 Z轴   +   Λ 2 ‖ F类 2   +   ‖ D类 三   −   D类 第页 Z轴   +   Λ 三 ‖ F类 2   +  
‖ D类 4   −   D类 小时 D类 三   +   Λ 4 ‖ F类 2   +   ‖ D类 5   −   D类 五 D类 三   +   Λ 5 ‖ F类 2   +   ‖ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司   +   Λ 6 ‖ F类 2   +   ‖ X（X）   −   Z轴   +   Λ 7 ‖ F类 2 )
哪里 U型 我 T型 U型 我   =   我 (我= 1; 2; 3), μ 是惩罚参数，并且Λj(j= 1; 2; 三；4; 5; 6; 7） 是与相应变量相关的拉格朗日乘子。
问题（11）是一个多目标优化问题。（11）中涉及的所有变量都无法联合优化。通过使用ADMM，（11）中的变量可以与单个可解子问题交替优化，同时保持其他子问题不变。按照这种安排，我们将（11）分解为六个独立的子问题，并给出了相应的解决方案。
（1） 更新 G公司 , U型 我 , 和 X（X） .所有相关条款 X（X） 从（11）中提取，我们得到
一 第页 克 米 我 n个 X（X） μ 2 ( ‖ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司   +   Λ 6 ‖ F类 2   +   ‖ X（X）   −   Z轴   +   Λ 7 ‖ F类 2 )
结合约束条件 X（X）   =   G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 和 U型 我 T型 U型 我   =   我 (我= 1; 2; 3） ，问题（12）可以转化为等价形式：
一 第页 克 米 我 n个 G公司 , U型 j μ ( ‖ G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三   −   Y（Y）   −   S公司   +   Z轴   +   Λ 6   −   Λ 7 2 ‖ F类 2 )
使用高阶正交迭代（HOOI）算法[30]，很容易得到核张量 G公司 和因子矩阵 U型 j .然后， X（X） 可以由更新 X（X）   =   G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 .
（2） 更新 S公司 ：所有相关条款 S公司 由提供
一 第页 克 米 我 n个 S公司 ρ ‖ S公司 ‖ 2 , 1   +   μ 2 ‖ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司   +   Λ 6 ‖ F类 2
让 Y（Y）   −   X（X）   +   Λ 6   =   C类 ，以下是[36]; 然后， S公司 可以通过以下规则更新
S公司 : , j , k个 = ‖ C类 : , j , k个 ‖   −   ρ μ ‖ C类 : , j , k个 ‖ ‖ C类 : , j , k个 ‖ ,   如果 ρ μ   <   ‖ C类 : , j , k个 ‖ 0 ,   否则
（3） 更新D类1:
一 第页 克 米 我 n个 D类 1 τ w个 1 ‖ D类 1 ‖ 1   +   μ 2 ‖ D类 1   −   D类 小时 Z轴   +   Λ 1 ‖ F类 2
这是一个软阈值问题。封闭式解决方案是
D类 1   =   T型 D类 小时 Z轴   −   Λ 1 , τ w个 1 μ
哪里 T型 一 , b条   =   签名 一   ⋅   最大值 ( 一   −   b条 , 0 ) .
类似地D类2,D类4,和D类5可以由更新
D类 2   =   T型 D类 小时 Z轴   −   Λ 2 , τ w个 2 μ
D类 4   =   T型 D类 小时 D类 三   −   Λ 4 , τ w个 三 μ
D类 5   =   T型 D类 五 D类 三   −   Λ 5 , τ w个 三 μ
（4） 更新D类三:
一 第页 克 米 我 n个 D类 三 μ 2 ‖ D类 三   −   D类 第页 Z轴   +   Λ 三 ‖ F类 2   +   ‖ D类 4   −   D类 小时 D类 三   +   Λ 4 ‖ F类 2   +   ‖ D类 5   −   D类 五 D类 三   +   Λ 5 ‖ F类 2
这是一个二次优化问题，它等效于求解以下线性系统：
1   +   D类 小时 T型 D类 小时   +   D类 五 T型 D类 五 D类 三   =   D类 第页 Z轴   −   Λ 三   +   D类 小时 T型 D类 4   +   Λ 4   +   D类 五 T型 D类 5   +   Λ 5
通过使用快速傅里叶变换（FFT），（21）的闭式解为
D类 三   =   F类   −   1 F类 D类 第页 Z轴   −   Λ 三   +   D类 小时 T型 D类 4   +   Λ 4   +   D类 五 T型 D类 5   +   Λ 5 1   +   F类 ( D类 小时 ) ∗ F类 D类 小时   +   F类 ( D类 五 ) ∗ F类 D类 五
哪里 F类 · 和 F类   −   1 · 分别表示3D FFT和反向3D FFT。符号T型和*分别表示转置算子和复共轭算子。
（5） 更新 Z轴 :
一 第页 克 米 我 n个 Z轴 μ 2 ‖ D类 1   −   D类 小时 Z轴   +   Λ 1 ‖ F类 2   +   ‖ D类 2   −   D类 五 Z轴   +   Λ 2 ‖ F类 2   +   ‖ D类 三   −   D类 第页 Z轴   +   Λ 三 ‖ F类 2   +   ‖ X（X）   −   Z轴   +   Λ 7 ‖ F类 2
这也是一个二次优化问题，相应的线性系统是
1   +   D类 小时 T型 D类 小时   +   D类 五 T型 D类 五   +   D类 第页 T型 D类 第页 Z轴   =   X（X）   +   Λ 7   +   D类 小时 T型 D类 1   +   Λ 1   +   D类 五 T型 D类 2   +   Λ 2   +   D类 第页 T型 D类 三   +   Λ 三
用三维FFT很容易得到（25）中的闭合解，
Z轴   =   F类 − 1 F类 X（X）   +   Λ 7   +   Δ 1   +   D类
哪里 D类   =   F类 ( D类 小时 ) ∗ F类 D类 小时   +   F类 ( D类 五 ) ∗ F类 D类 五   +   F类 ( D类 第页 ) ∗ F类 D类 第页 和 Δ   =   D类 小时 T型 D类 1   +   Λ 1   +   D类 五 T型 D类 2   +   Λ 2   +   D类 第页 T型 D类 三   +   Λ 三 .
（6） 更新乘数：基于增广拉格朗日乘数算法[39]，拉格朗日乘子Λ我(我=1,2,3,4,5,6,7）可以更新如下：
Λ 1   =   Λ 1   +   μ D类 1   −   D类 小时 Z轴
Λ 2   =   Λ 2   +   μ D类 2   −   D类 五 Z轴
Λ 三   =   Λ 三   +   μ D类 三   −   D类 第页 Z轴
Λ 4   =   Λ 4   +   μ D类 4   −   D类 小时 D类 三
Λ 5   =   Λ 5   +   μ D类 5   −   D类 五 D类 三
Λ 6   =   Λ 6   +   μ Y（Y）   −   X（X）   −   S公司
Λ 7   =   Λ 7   +   μ X（X）   −   Z轴
算法1中的伪代码总结了上述优化过程。在LRTDSSRTV解算器中，输入是噪声图像 Y（Y） ，正则化参数ρ和τ，重量w个我s、 估计等级(第页1,第页2,第页三)对于塔克分解，停止标准ε，最大迭代次数k个最大值,μ最大值= 106、和η= 1.5. 更多详细信息和讨论见第4节.
算法1：LRTDSSRTV求解器的优化过程
输入：噪音图像 Y（Y） ，正则化参数ρ和τ，重量w个我s、 估计等级(第页1,第页2,第页三)对于塔克分解，停止标准ε，最大迭代次数k个最大值,μ最大值= 106、和η= 1.5.
1：初始化：Let X（X） = Y（Y） ,D类我=0(我= 1, 2, 3, 4, 5),Λj=0(j=1,2,3,4,5,6,7），当前迭代k个=0，以及μ最大值= 106
2:虽然未收敛做
3：更新 G公司 和 U型 我 通过（13），然后 X（X） = G公司 × 1 U型 1 × 2 U型 2 × 三 U型 三 .
4：计算 S公司 通过（14）。
5：更新D类1,D类2,D类4,D类5通过（16）–（19）。
6：计算D类三通过3D FFT（22）。
7：更新 Z轴 通过三维FFT（25）
8：计算拉格朗日乘数Λj通过（26）-（32）。
9：更新惩罚参数μ=最小值{ημ,μ最大值}.
10：检查收敛条件k个<k个最大值和 ‖ X（X） k个   +   1   −   X（X） k个 ‖ F类 2 ‖ X（X） k个 ‖ F类 2   ≤   ε .
11:结束while
输出：恢复结果 X（X） .

4.实验结果与分析

在本节中，采用模拟数据集和实际数据集来评估拟议的LRTDSSRTV解算器。为了更好地验证LRTD和SSRTV正则化的优点，我们选择了五种具有代表性的先进方法进行比较，包括低秩矩阵恢复（LRMR）[2]低秩矩阵分解与TV正则化（LRTV）的结合[21]低秩张量分解各向异性空间谱TV正则化（LRTDTV）(http://gr.xjtu.edu.cn/web/dymeng/3，（2021年6月12日访问）[12]空间频谱电视模型（SSTV）(https://sites.google.com/view/hkaggarwal/publications网站（2021年6月12日访问）[23]和加权群稀疏正则化低秩张量分解（LRTDGS）(http://www.escience.cn/people/yongchen/index.html（2021年6月12日访问）[32]. LRMR在空间斑块中施加光谱低秩。LRTV将展开矩阵的低秩约束与HSI和BTV相结合。LRTDTV联合考虑3DTV和Tucker分解。SSTV在光谱域上应用1-D总变化。LRTDGS引入加权组稀疏正则化来改善空间差分图像的组稀疏性。根据作者的建议，我们仔细调整了比较方法中涉及的参数，以确保最佳结果。而对于我们方法中的参数，在中详细讨论了参数选择第4节此外，为了便于数值计算和可视化，将HSI的所有波段归一化到[0,1]范围内，恢复后将HSI转换为原始灰度级。

4.1. 模拟数据实验

（1） 实验设置：在本节中，我们评估了带有合成噪声的模拟干净印度松数据集的稳健性。该数据集包含224个波段；每个波段是145×145像素的灰度图像。它广泛用于[12,21,40]. 此数据集首次用于[2]，它是根据真实的印度松树的数据集生成的。所有像素的反射率值通过线性变换映射到[0；1]。
为了模拟真实场景中的复杂噪声情况，添加了六种具有代表性的噪声类型。增加噪音的规则如下：
案例1：零米高斯噪声。在真实场景中，每个频带中的噪声密度应该不同。因此，我们将随机选择的噪声方差添加到[0,0.25]范围内的每个频带。
情况2：每个频带的高斯噪声强度不同，如情况1所示。此外，我们将截止日期从141级增加到170级。每个频带中截止日期的数量在3到10之间随机选择，截止日期的宽度在1到3像素之间随机生成。
案例3：以与案例2中相同的方式添加高斯噪声。此外，将脉冲噪声添加到所有频带，并在[0,20%]范围内随机选择百分比。
案例4：在案例3的基础上，我们在161到190条带上添加了条纹；每一条带中的条纹数是在10到30之间随机选择的。
案例5：以与案例2相同的方式添加截止日期，并像案例4一样添加条纹噪声。此外，还添加了脉冲噪声，每个频带的百分比从0到50%不等。
案例6：添加所有考虑的噪声以模拟最严重的噪声情况。高斯噪声、条纹和脉冲噪声的添加方式与案例4相同。此外，随机选择30个乐队添加截止日期，截止日期的数量从3到10个随机选择。
（2） 视觉比较：修复的一个重要结果是提高视觉质量。为了说明这一点，我们在图5,图6和图7分别具有频带46、168和162的恢复结果。为了更好地可视化，我们提供了带有黄色框的缩放。可以观察到，（c）LRMR和（e）SSTV的去噪结果并没有完全消除所呈现结果中的噪声（参见缩放框）。（d）LRTV、（f）LRTDTV和（g）LRTDGS的恢复结果令人满意，完全消除了所有噪声。然而，LRTV和LRTDTV图像中某些区域的细节被模糊了（参见缩放框）。通过（g）LRTDGS的结果，在缩放框中观察到一些条纹伪影。此外，如在图7e.相比之下，所提出的LRTDSSRTV方法可以去除各种噪声，并保持图像特征和细节，与比较方法相比具有更好的视觉质量。这是因为SSRTV同时考虑了空间谱分段平滑和直接空间分段平滑。
（3） 定量比较：使用四个客观定量评价指标（QEI）比较每个模拟实验中所有方法的结果，包括峰值信噪比（PSNR）[dB]指数、结构相似性（SSIM）指数[41]、erreur relative globale adimenselle de synthesis（ERGAS；英文合成中的相对无量纲全局错误）和光谱角度映射器（SAM）[42]. 对于PSNR和SSIM，我们显示了所有HSI谱带的平均值（或平均值），分别用MPSNR和MSSIM表示。MPSNR和MSSIM值越高，ERGAS和SAM值越低，恢复效果越好。
在模拟的六种不同噪声情况下，给出了所有方法的四个QEI值表1。比较方法中的最佳值以粗体突出显示，而次优值以下划线突出显示。通过比较，我们可以看到基于张量的方法（LRTDTV、LRTDGS和LRTDSSRTV）总体上比基于矩阵的方法表现得更好。主要原因是LRTD可以捕获空间和光谱维度的全局相关性。与LRTDTV和LRTDGS相比，我们的方法在几乎所有情况下的所有QEI中都显示出优越性。原因是LRTDTV中使用的3DTV范数同时计算并求和三个方向的梯度值，而实际范数结果相对较大。因此，最小化3DTV作为HSI恢复的约束条件，在恢复过程中容易丢失图像细节。对于LRTDGS中使用的组稀疏性，它加强了空间约束，但未能探索光谱约束。我们的方法弥补了不足，并对印度松树数据集的所有QEI进行了改进。
仔细查看每个频带的PSNR和SSIM值。图8显示了这两种QEI在六种情况下的对应曲线。结果表明，LRMR和SSTV的PSNR和SSIM值明显低于其他四种方法。虽然LRTV的PSNR和SSIM值高于LRMR和SSTV，但这表明LRTV可以在空间域获得更好的去噪结果。我们可以看到，LRMR的频谱失真在表1与LRTDTV和LRTDGS相比，所提出的LRTDSSRTV方法在几乎所有频带上都获得了更高的SSIM和PSNR值。
为了进一步说明光谱信息方面的定性比较，在第1、5和6种情况下，不同位置的原始光谱和恢复光谱之间的光谱差异显示在图9.中的水平轴图9表示波段数，而纵轴表示光谱差异。可以从中看到图9基于LRTD的方法（LRTDTV、LRTDGS和我们的方法）比其他三种方法实现了更好的频谱保真度。这一现象表明，全局LRTD可以有效地保持HSI的空间谱相关性。然而，与LRTDTV和LRTDGS相比，我们的方法的光谱差异最小。该结果与ERGAS指数在表1.

4.2. 真实世界数据实验

在本节中，我们使用两个实际案例数据集进行了实验。一个是机载可见/红外成像光谱仪（AVIRIS）印度松数据集，另一个是高光谱数字图像采集实验（HYDICE）城市数据集。在处理之前，像素值也逐带归一化为[0,1]。

4.2.1. AVIRIS印度松数据集

该数据集的空间分辨率为145×145，包含220个波段。该数据集中的噪声主要是高斯噪声和脉冲噪声。为了简洁起见，选择了两个典型的波段104和150来显示不同方法的恢复结果。图10a和图11a分别对应于原始频带104和150。研究发现，这两个波段都因混合噪声而严重退化。因此，有用的信息几乎完全被破坏了。恢复后，LRMR结果中存在一些噪声，即使LRTV也能去除噪声，但边缘过于平滑。SSTV、LRTDTV和LRTDGS的结果也出现了同样的情况。特别是，LRTDGS的细节严重模糊，如所示图11f.与TV正则化方法相比，我们的方法在去除噪声、保留边缘和局部细节方面表现得最好。

4.2.2. HYDICE城市数据集

该数据集的空间分辨率为307×307，包含210个波段。这个数据集中的噪音比AVIRIS印第安松树数据集中的更复杂。除了高斯噪声、截止时间、脉冲噪声和条纹外，它还可能因吸水、大气和其他未知噪声而退化。为了简洁易读，选择了两个具有代表性的噪声带来比较去噪性能。原始频带108和208及其相应的去噪结果如所示图12,图13和图14分别是。图12a和图14a分别代表原始频带108和208。在这两个波段中存在混合噪声和偏差照明，这改变了图像对比度。图12b–g和图14b–g是不同恢复方法的去噪结果。可以从中的缩放框中看到图12b–g在LRMR、LRTV、SSTV和LRTDTV方法的结果中仍然存在一些条纹。尽管LRTDGS可以消除大多数噪声，但它会导致某些区域的边缘模糊。可以从中看到图14a原乐队有明显的截止日期。所有五种比较方法都未能消除截止日期，LRMR也未能消除其他噪声。SSRTV规范化和全球LRTD的好处，如所示图12g和图14g、 我们的方法不仅去除了混合噪声，而且还去除了偏置照明。相比之下，LRTV和LRTDTV只考虑了 D类 小时 X（X）   和   D类 五 X（X） 因此，它们不能完全消除偏置照明。SSTV和LRTDSSRTV都认为 D类 小时 D类 第页 X（X） , D类 五 D类 第页 X（X） ，并且消除了偏置照明，如所示图12d和图14g、 而SSTV的视觉质量不如LRTDSSRTV，因为没有考虑 D类 小时 X（X）   和   D类 五 X（X） 在SSTV中。
为了进一步比较恢复结果图12和图14如所示图13和图15分别是。水平轴表示行号，垂直轴表示每行的MDN。可以从中看到图12a由于条纹和其他噪声的存在，曲线出现了快速波动。从以下位置观察图13b–g表示，所有方法都减少了波动。如所示图13b–e，由于图像中的条纹，曲线有一些轻微的波动，这与中显示的恢复结果一致图12b–e类。图12f显示LRTDGS的平滑结果，也可以从中确认图13f.相比之下，所提出的方法获得了更合理的平均剖面结果，如所示图13g、。

4.3. 分类性能比较

为了进一步比较不同去噪方法的性能以及去噪对分类应用、实际数据集、印度松、第4.2节，已被选中。通过与基本阈值分类器（BTC）的分类精度比较，验证了该算法的有效性及其对分类的影响[43].
为了比较分类器获得的不同算法的分类准确度，这里使用了三个常见的评价指标：（1）总准确度（OA），即正确分类的样本数除以测试样本数。OA是通过使用每个类别的10%的样本进行训练，剩余的90%用于测试来获得的；（2） 平均准确度（AA），即所有可用类别的平均分类准确度；©Kappa系数（Ka），它是最终分类图与实际分类图之间一致性的统计度量。Kappa公式如下：
卡帕   =   N个 ∑ j   =   1 米 x个 j j   −   ∑ j   =   1 米 ( x个 j   +   x个   +   j ) N个 2   −   N个 ∑ j   =   1 米 ( x个 j   +   x个   +   j )
哪里米是误差矩阵的列数， x个 j j 表示列位置的元素j、，和线路j在误差矩阵中 x个 j   +   是行的总和j在误差矩阵中 x个   +   j 是列的总和j在误差矩阵中。N个是测试样本的数量。
Kappa（无单位）、OA（以百分比形式给出）和AA（以百分比格式给出）的值越大，算法的分类效果越好。印度松树的数据集包含16个类，具体类名可以在网站上找到http://www.ehu.eus/ccwintco/index.php？title=Hyperspectral_Remote_Sensing_Scenes（2021年6月12日访问）。
图16b显示了通过对原始印第安松树数据集应用BTC获得的分类图。图16c–h显示了使用LRMR、LRTV、SSTV、LRTDTV、LRTDGS和SSRTV对印度松数据集进行去噪后应用BTC获得的分类图。据观察，BTC受到原始数据上噪声的严重影响，导致分类精度较低。不同的去噪方法或多或少地降低了这种影响，提高了分类精度。与其他算法相比，该算法表现出了更优异的性能。
表2显示了使用BTC对原始印度松数据和去噪数据进行分类的指数。所有方法去噪后的三个指标或多或少都有所增加。不同的去噪结果对分类精度有不同程度的提高。例如，LRMR方法的去噪结果仍然包含大量噪声，因此Ka、OA和AA值仅分别增加了约2%、2%和0.01%。所提出的算法的Ka、OA和AA值分别增加了约12%、12%和0.13%。显然，该算法显著提高了分类精度。

5.讨论

(1)
参数的选择
在本节中，我们将讨论如何通过系统分析确定实验中的参数。参数的选择基于印度松树数据集的模拟实验。
在我们的模型中，有两个正则化参数，ρ和τ; 一个惩罚参数，μ; 三个权重参数，w个1,w个2、和w个三; 和塔克等级(第页1,第页2,第页三)在三种HSI模式中。对于惩罚参数μ，它首先初始化为μ= 10−2和更新者μ=最小值(ημ,μ最大值)，其中η=1.5和μ最大值= 106.这种确定变量的策略µ已在基于ALM的方法中广泛使用[12]，这可以促进算法的收敛。
塔克队(第页1,第页2,第页三)，遵循中提出的相同策略[32]，我们设置第页1和第页2分别为每个波段图像宽度和高度的80%。在我们的模拟实验中，我们设置第页三= 10. 在实际数据实验中第页三由HySime估算[44].
参数ρ对应于稀疏项。它被设置为 ‖ ρ ‖   =   100   ×   C类 米 n个 默认情况下，在以下实验中根据[12,32]，其中米和n个是HSI每个波段图像的宽度和高度C类是一个需要仔细调整的参数。因此，我们共同调整了参数ρ和τ我们还选择了模拟案例1、5和6，对这两个参数进行了敏感性分析，并以MPSNR作为评价指标。图17MPSNR值显示为ρ在集合[1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33]中变化τ组内变化[0.01、0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45、0.5、0.55、0.6、0.65、0.75、0.75,0.85、0.9、0.95、1]。从该图中，我们可以看到，在这三种情况下，MPSNR值具有相似的变化趋势，表明这两个参数对于不同的噪声情况是有效和稳健的。此外，可以观察到，当ρ从17改为25τ从0.4更改为0.6。因此，建议参数ρ和τ根据不同的噪声情况分别从这些范围中选择。
加权参数，w个1,w个2,和w个三，用于平衡空间电视和SSRTV的权重。它在[12]空间电视的两个权重可以设置相同；所以，我们设置w个1=w个2= 1. 然后，我们将SSRTV的权重调整在0到1的范围内。参数w个三在保持局部空间平滑和局部空间光谱平滑之间的平衡方面至关重要。图18绘制MPSNR和MSSIM值相对于参数的曲线w个三; 可以观察到，当参数w个三在0.6到0.8的范围内，MPSNR和MSSIM达到了最佳值。因此，我们设置w个三在所有实验中=0.7。
(2)
收敛性分析
由于LRTD的非凸约束，我们的求解器是一个非凸优化问题。因此，很难获得全局最优解，而且收敛性的理论证明也很难保证。然而，为了提高算法的收敛性，我们使用了基于ALM的优化[39]惩罚参数更新策略μ在每个迭代中。此外，我们通过实证分析说明了求解器的收敛性。MPSNR和 ‖ X（X） ( k个   +   1 )   −   X（X） ( k个 ) ‖ F类 2 ‖ X（X） ( k个 ) ‖ F类 2 模拟实验中，情况1、情况5和情况6下的数值增益与迭代次数的关系如所示图18可以看出，随着迭代次数的增加，即使在图19MPSNR值在逐渐稳定到某个值之前迅速增加，在大约20次迭代后，相对变化收敛到零。这清楚地说明了所提出的LRTDSSRTV解算器的收敛行为。
(3)
运行时间分析
为了验证我们方法的可行性和有效性，我们在年的实际数据实验中给出了所有比较方法的运行时间表3。所有实验均在MATLAB R2016a中进行，使用16GB RAM的桌面，Intel Core i5-4590H[电子邮件保护]千兆赫。如所示表3，我们的方法不是最快的，但运行时间可以接受，并且我们的方法性能更好。未来，我们将设计一种更有效的算法来加速我们的方法。

6.结论

我们提出了一种新的基于低秩张量分解的空域谱残差全变分正则化技术，用于去除HSI的混合噪声。与现有的TV正则化方法不同，SSRTV评估了HSI的直接空间平滑度和空间谱分段平滑度，从而为HSI去除高斯噪声提供了一种有效的方法。此外，通过低秩张量分解描述了所有频带之间干净HSI的全局空间频谱相关性，这有助于将稀疏噪声与干净HSI分离。此外我2,1norm对稀疏噪声尤其是结构稀疏噪声的去除更为有效。我们还将SSRTV正则化HSI恢复问题表述为一个约束非凸优化问题，并开发了一个基于ADMM的高效算法。基于仿真数据和实际数据的混合噪声去除实验结果验证了SSRTV的有效性和实用性。在未来，我们将尝试为差分图像挖掘更多的潜在先验，以进一步改善HSI恢复结果。

作者贡献

X.K.进行了实验，分析了结果，并撰写了论文。Y.Z构思了实验并负责研究分析。J.X.和J.C.-W.C.收集并处理了原始数据。所有作者都帮助修改了手稿。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

本工作得到陕西省重点研发计划（2020ZDLGY07-11）、国家自然科学基金（61771391、61371152）、深圳市科技创新委员会（JCYJ20170815162956949、JCYJ201-80306171146740）、，西北工业大学博士论文创新基金（CX201917）、陕西省自然科学基础研究计划（编号：2018JM6056）。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

高光谱图像可以从http://www.ehu.eus/ccwintco/index.php？title=Hyperspectral_Remote_Sensing_Scenes，于2021年6月12日访问。LRTDTV的源代码位于网址：http://gr.xjtu.edu.cn/web/memeng/3，于2021年6月12日访问。SSTV的源代码位于https://sites.google.com/view/hkaggarwal/publications网站，于2021年6月12日访问。LRTDGS的源代码位于http://www.escience.cn/people/yongchen/index.html，于2021年6月12日访问。LRSID的源代码位于http://www.escience.cn/people/changyi/index.html，于2021年6月12日访问。

致谢

我们感谢提供源代码的比较方法的作者。我们要感谢匿名评论员的宝贵意见。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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远程调校14 00511 g001 550
图1。3DTV和SSTV与真实城市数据集115波段之间的差异示例。3DTV计算L1空间谱差范数（蓝线）。SSRTV评估L1直接空间和空间光谱残差的范数（红线）。这个 D类 小时 X（X） , D类 五 X（X） 和 D类 第页 X（X） 英寸(一–c（c）)分别代表 X（X） 沿水平、垂直和光谱方向。这个 D类 小时 D类 第页 X（X） 和 D类 五 D类 第页 X（X） 英寸(d日)和(e（电子）)代表的差异 D类 第页 X（X） 沿水平和垂直方向。
图1。3DTV和SSTV与真实城市数据集115波段之间的差异示例。3DTV计算L1空间谱差范数（蓝线）。SSRTV评估L1直接空间和空间光谱残差的范数（红线）。这个 D类 小时 X（X） , D类 五 X（X） 和 D类 第页 X（X） 英寸(一–c（c）)分别代表 X（X） 沿水平、垂直和光谱方向。这个 D类 小时 D类 第页 X（X） 和 D类 五 D类 第页 X（X） 英寸(d日)和(e（电子）)代表的差异 D类 第页 X（X） 沿水平和垂直方向。
远程调校14 00511 g001
远程调校14 00511 g002 550
图2。直方图(一) D类 第页 X（X） , (b条) D类 小时 D类 第页 X（X） ,   和 (c（c）) D类 五 D类 第页 X（X） .
图2。直方图(一) D类 第页 X（X） , (b条) D类 小时 D类 第页 X（X） ,   和 (c（c）) D类 五 D类 第页 X（X） .
远程调校14 00511 g002
远程调校14 00511 g003 550
图3。城市数据中的截止日期和条纹图。(一)波段204。(b条)波段206。
图3。城市数据中截止日期和条纹的图示。(一)波段204。(b条)波段206。
远程调校14 00511 g003
远程调校14 00511 g004 550
图4。LRTDSSRTV模型的流程图。
图4。LRTDSSRTV模型的流程图。
远程调校14 00511 g004
远程调校14 00511 g005 550
图5。所有方法的去噪结果：(一)原乐队46。(b条)壳体1下的噪音带。(c（c）)LRMR公司(d日)LRTV。(e（电子）)SSTV。(（f）)LRTDTV。(克)LRTDGS。(小时)LRTDSSRTV公司。
图5。所有方法的去噪结果：(一)原乐队46。(b条)壳体1下的噪音带。(c（c）)LRMR公司(d日)LRTV。(e（电子）)SSTV。(（f）)LRTDTV。(克)LRTDGS。(小时)LRTDSSRTV公司。
远程调校14 00511 g005
远程设置14 00511 g006 550
图6。所有方法的去噪结果：(一)原乐队168。(b条)案例5中的噪音带。(c（c）)LRMR公司(d日)LRTV。(e（电子）)SSTV。(（f）)LRTDTV。(克)LRTDGS。(小时)LRTDSSRTV公司。
图6。所有方法的去噪结果：(一)原乐队168。(b条)情况5中为噪声带。(c（c）)LRMR公司(d日)LRTV。(e（电子）)SSTV。(（f）)LRTDTV。(克)LRTDGS。(小时)LRTDSSRTV公司。
远程设置14 00511 g006
远程设置14 00511 g007 550
图7。所有方法的去噪结果：(一)原始乐队162。(b条)案例6中的噪音带。(c（c）)LRMR公司(d日)LRTV。(e（电子）)SSTV。(（f）)LRTDTV。(克)LRTDGS。(小时)LRTDSSRTV公司。
图7。所有方法的去噪结果：(一)原始乐队162。(b条)案例6中的噪音带。(c（c）)LRMR公司(d日)LRTV。(e（电子）)SSTV。(（f）)LRTDTV。(克)LRTDGS。(小时)LRTDSSRTV公司。
远程设置14 00511 g007
远程调校14 00511 g008a 550远程调校14 00511 g008b 550
图8。每个频带的所有方法的详细PSNR/SSIM评估：(一,b条)案例1(c（c）,d日)案例2(e（电子）,（f）)情况3(克,小时)案例4(我,j)案例5(k个,我)案例6。
图8。每个频带的所有方法的详细PSNR/SSIM评估：(一,b条)情况1(c（c）,d日)案例2(e（电子）,（f）)案例3(克,小时)案例4(我,j)案例5(k个,我)案例6。
远程设置14 00511 g008a远程设置14 00511 g008b
远程调校14 00511 g009a 550远程调校14 00511 g009b 550
图9。从上到下分别是案例1、5和6中印第安松树数据集空间域中位置（86、75）、（55、90）和（115、102）的原始光谱和恢复结果之间的差异。(一)吵闹。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)卫星电视(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
图9。从上到下分别是案例1、5和6中印第安松树数据集空间域中位置（86、75）、（55、90）和（115、102）的原始光谱和恢复结果之间的差异。(一)吵闹。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)不锈钢电视(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
远程调校14 00511 g009a远程调校14 00511 g009b
远程调校14 00511 g010 550
图10。真实印度松数据集104波段所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)不锈钢。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
图10。真实印度松数据集104波段所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
远程调校14 00511 g010
远程调校14 00511 g011 550
图11。真实印度松数据集波段150的所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
图11。真实印度松数据集波段150的所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
远程设置14 00511 g011
远程调校14 00511 g012 550
图12。实际城市数据集波段108的所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
图12。实际城市数据集波段108的所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
远程调校14 00511 g012
远程调校14 00511 g013 550
图13。用不同方法估算的实际城市数据集波段108的光谱特征曲线：(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)提议。
图13。用不同方法估算的实际城市数据集波段108的光谱特征曲线：(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)建议。
远程调校14 00511 g013
远程设置14 00511 g014 550
图14。真实城市数据集208波段所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
图14。真实城市数据集波段208的所有比较方法的恢复结果。(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
远程设置14 00511 g014
远程调校14 00511 g015 550
图15。用不同方法估算的真实城市数据集208波段的光谱特征曲线：(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
图15。用不同方法估算的真实城市数据集208波段的光谱特征曲线：(一)原件。(b条)LRMR公司(c（c）)LRTV。(d日)SSTV。(e（电子）)LRTDTV。(（f）)LRTDGS。(克)LRTDSSRTV公司。
远程调校14 00511 g015
遥感14 00511 g016 550
图16。印度松树数据集分类图(一)真值(b条)在去噪之前(c（c）)LRMR、(d日)LRTV、(e（电子）)SSTV、(（f）)LRTDTV、(克)LRTDGS、(小时)SSRTV公司。
图16。印度松树数据集分类图(一)真值(b条)在去噪之前(c（c）)LRMR、(d日)LRTV、(e（电子）)SSTV、(（f）)LRTDTV(克)LRTDGS、(小时)SSRTV公司。
远程设置14 00511 g016
远程调校14 00511 g017 550
图17。参数之间的敏感性分析ρ和τ使用模拟的印度松树数据集。(一)案例1。(b条)案例5。(c（c）)案例6。
图17。参数之间的敏感性分析ρ和τ使用模拟的印度松树数据集。(一)案例1。(b条)案例5。(c（c）)案例6。
远程调校14 00511 g017
远程调校14 00511 g018 550
图18。带重量参数的性能w个三. (一)MPSNR值与。w个三，(b条)MSSIM值与。w个三.
图18。带重量参数的性能w个三. (一)MPSNR值与。w个三，(b条)MSSIM值与。w个三.
远程调校14 00511 g018
远程调校14 00511 g019 550
图19。MPSNR和相对于LRTDSSRTV迭代次数的相对变化值：(一,b条)对于情况1；(c（c）,d日)对于情况5；(e（电子）,（f）)对于案例6。
图19。MPSNR和相对于LRTDSSRTV迭代次数的相对变化值：(一,b条)对于情况1；(c（c）,d日)对于情况5；(e（电子）,（f）)对于案例6。
遥感14 00511 g019
表
表1。对六种不同噪声情况下模拟印度松的所有比较方法进行了定量比较。
表1。对六种不同噪声情况下模拟印度松的所有比较方法进行了定量比较。
噪音情况评价指标噪声LRMR公司轻轨电视卫星电视轻轨交通电视LRTDGS系统LRTDSSRTV公司
案例1MPSNR（分贝）20.37333.26537.05332.11739.95740.21641.895
MSSIM公司0.38960.89780.98340.85870.99120.99390.9963
ERGAS公司380.19848.9147.30360.2324.37124.30623.561
山姆0.32010.03660.04030.04450.01490.01490.0136
案例2MPSNR（dB）18.97233.29436.26831.61638.58239.45640.818
MSSIM公司0.39530.90730.98380.86490.98880.99330.9958
ERGAS公司346.02547.54046.26560.06130.87325.21623.529
山姆0.29060.03640.03690.04490.02170.01740.0157
案例3MPSNR（dB）12.78232.60336.10331.00237.70239.14139.891
MSSIM公司0.21830.89280.98160.84720.98660.99360.9921
ERGAS公司500.49950.09256.68563.56230.00525.25424.130
山姆0.40010.03760.04350.04730.01850.01650.0173
案例4MPSNR（分贝）12.72532.42336.03330.88637.353638.89739.963
MSSIM公司0.21670.89020.98140.84320.98590.99280.9934
ERGAS公司502.7053.2273.5974.0692.0941.6121.539
山姆0.40140.03870.04600.04820.02170.01710.0166
案例5MPSNR（dB）11.29636.42537.38237.15739.46541.41944.403
MSSIM公司0.19460.94810.98040.95870.98860.99380.9949
厄加斯624.85739.75389.32640.93140.97428.46625.653
山姆0.49080.03010.06380.02520.02640.01200.0108
案例6MPSNR（分贝）12.58932.12434.73930.76837.42738.10238.963
MSSIM公司0.21400.88890.97480.84200.98550.99030.9926
ERGAS公司509.28154.09672.74866.10335.11730.92127.102
山姆0.40790.04140.05840.04950.02460.02210.0193
表
表2。印度松分类指标及不同方法的去噪结果。
表2。印度松分类指标及不同方法的去噪结果。
索引原件LRMR公司轻轨电视卫星电视轻轨交通电视LRTDGS系统LRTDSSRTV公司
办公自动化79.2481.3981.9986.9986.6487.0891.11
美国78.3780.9781.1486.9585.5887.0190.34
灵魂0.76210.77120.77310.83360.78840.79440.8982
表
表3。不同方法在模拟数据集和实际数据集下的平均操作时间（秒）。
表3。不同方法在模拟数据集和真实数据集下的平均操作时间（秒）。
数据集LRMR公司轻轨电视卫星电视轻轨交通电视LRTDGS系统LRTDSSRTV公司
印度松树4993648358263380
城市的3435932016768516797
出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

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孔，X。；Zhao，Y。；Chan，J.C.-W。；薛，J。基于空间谱残差全变分正则化低秩张量分解的高光谱图像恢复。远程传感器。 2022,14, 511.https://doi.org/10.3390/rs14030511

AMA风格

孔X、赵毅、陈JC-W、薛杰。基于空间谱残差全变分正则化低秩张量分解的高光谱图像恢复。遥感. 2022; 14(3):511.https://doi.org/10.3390/rs14030511

芝加哥/图拉宾风格

孔祥阳、赵永强、陈昌伟、薛继泽。2022.“通过空间光谱残差总变差正则化低秩张量分解恢复高光谱图像”遥感14，3号：511。https://doi.org/10.3390/rs14030511

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