An Academic Response to Basel 3.5

Embrechts, Paul; Puccetti, Giovanni; Rüschendorf, Ludger; Wang, Ruodu; Beleraj, Antonela

doi:10.3390/risks2010025

开放式访问第条

对巴塞尔协议3.5的学术回应

¹

瑞士苏黎世8092苏黎世ETH数学系风险实验室和SFI

²

意大利费伦泽大学经济与管理学院，费伦泽50127

^三

德国弗莱堡79104弗莱堡大学数学随机系

⁴

加拿大安大略省滑铁卢市滑铁卢大学统计与精算科学系

^*

信件应寄给的作者。

风险 2014,2(1), 25-48;https://doi.org/10.3390/risks2010025

收到的提交文件：2013年11月25日/修订日期：2014年2月9日/接受日期：2014年2月17日/发布日期：2014年2月27日

（本文属于特刊巨灾和重尾风险的风险管理技术)

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摘要

:

最近金融业的危机显示出风险加权资产（RWA）建模的薄弱环节。相对较小的模型更改可能会导致RWA数字发生重大变化。在风险价值（VaR）-风险集合中也遇到了类似的问题。在本文中，我们强调了一些潜在的问题，包括方法上的问题，以及通过示例的问题。特别是，我们将此讨论置于我们称之为巴塞尔协议3.5的两个最新监管文件的背景下。

关键词：

巴塞尔协议3.5;风险加权资产;价值与风险;预计短缺;模型不确定性;稳健性;回溯测试

1.简介

2001年5月，第一作者Daníelsson为具有影响力和高度知名度的“对新巴塞尔协议的学术回应”做出了贡献等. [1]. 在当时对新巴塞尔协议的学术回应中，作者重点关注了现行国际监管框架中的弱点，以及大型国际银行管理市场、信贷和操作风险的方式。我们从他们的执行摘要中引用：

拟议的法规没有考虑到风险是内生的这一事实。价值与风险会破坏经济稳定并引发崩溃[……]
用于预测风险的统计模型已被证明给出了不一致和有偏差的预测，特别是低估了不同资产的联合下行风险。巴塞尔委员会在有更好的风险衡量标准时选择了低质量的风险衡量指标。
严重依赖信用评级机构的标准信贷风险方法是错误的[……]
鉴于当前的数据库，操作风险建模是不可能的[GB]
金融监管本质上是顺周期的[……]金融监管的目的是降低系统性危机的可能性，这些提议实际上往往会否定，而不是促进这一有用的目的。

总之：

也许我们最严重的担忧是，这些建议加在一起，将增强监管的顺周期性和金融体系对系统性危机的敏感性，从而否定整个行动的中心目的。在为时已晚之前重新考虑.

不幸的是，五年后是太晚了！

上述引文有两个目的：首先，学术界在正式评论监管环境中的拟议变化方面发挥着关键作用；第二，如果有充分的文件记录、适当的研究和有效的沟通，我们可能会对监管和行业实践产生影响。我们参考完整的文件Daníelsson等. [1]有关详细信息和Shin[2]了解更多背景信息。

在本文中，我们参考了监管文件BCBS[三]作为交易账簿的巴塞尔协议3.5；巴塞尔协议4已经进入监管期，即使巴塞尔协议3的实施计划仅在2019年实施。特别是通过其咨询文件BCBS[4]巴塞尔委员会已经超越了BCBS[三]; 事实上，“委员会打算推行BCBS第一份咨询文件中概述的两项已确认的关键改革[三]：压力校准[●]从价值-风险（VaR）转变为预期短缺（ES）”。同一文件中建议，对于基于内部模型的方法，99%置信水平的VaR应替换为97.5%置信水平的ES。我们的意见也与保险监管的Solvency 2有关，该计划于2016年1月1日在欧盟生效。巴塞尔协议3.5文件产生于监管机构、工业界和学术界之间的磋商，这是在次贷危机之后。它还注意到并纠正了Daníelsson提出的一些批评等. [1]; 我们将在下面举例说明。就我们而言，在提出的各种问题中，BCBS中的以下问题（第8号，第41页）[三]，相关：

“从价值-风险（VaR）到预期短缺（ES）的转变可能存在哪些限制，包括在提供稳健的后验测试方面的任何挑战，以及如何最好地克服这些挑战？”

自1994年左右推出以来，VaR因其弱点和这个基准（见Jorion[5])对于银行和保险监管资本的计算：

第1周风险价值没有说明如果问题：“考虑到我们遭遇了巨大的损失，对于损失的规模可以说什么？”；
第2周对于高置信水平，例如95%及以上统计量VaR只能通过大量统计数据和模型不确定性进行估计，并且
第3周VaR可能会以错误的方式相加，即对于某些（一期）风险，有可能：

${风险价值}_{α} ({X（X）}_{1} + \dots + {X（X）}_{d日}) > {风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}) + \dots + {风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日})$

(1)

后者藐视（更好地说，一些多元化的概念。

担忧，第1层至第3层，很早就被忽视了，因为它与实践的相关性较小。到目前为止，实践已经赶上、和第1层至第3层已变得高度相关，因此成为巴塞尔协议3.5的一部分。

上述对风险值以及更重要的是，对模型不确定性的担忧是有充分根据的，这可以从最近有关银行监管和金融危机的一些政治讨论中了解到。例如，可以在（USS）中找到这方面的证据[6]第13页）和（UKHLHC[7]第119页）；我们明确引用了这些文件，因为它们很好地总结了现代金融市场更量化监管所面临的一些关键实际问题。在此之前，我们回顾了RWA（风险加权资产）的术语。一般来说，银行业偿付能力基于商首都（通过流动性水平具体定义）向RWA。后者是与交易或信贷头寸相关的风险数字，主要基于按市值计价或按模型计价的价值。还包括运营风险的风险资本，可以轻松达到总RWA的20%-30%。在这些数字中，风险度量（如VaR）显得尤为突出。一般来说，财务工程师（包括数学家）及其产品/模型在确定这些RWA方面发挥着关键作用。会计师通常更多地涉及分子资本。下面，我们列出了一些与VaR和模型不确定性相关的报价。重点是我们的。

引言1（来自USS[6])：“接近1月底，该行批准使用新的首席信息官价值-风险（VaR）模型切成两半SCP的[伦敦鲸鱼组织的结构化信贷投资组合]声称的风险状况[……]风险值方法的变化有效地掩盖了投资组合中的重大变化。”该报价指的是摩根大通捕鲸贸易公司（JPMorgan Chase Whale Trades）。
引言2（来自UKHLHC[7])：“来自HBOS的一位前员工：我们实际上找了一位外部顾问（评估某个特定事件可能发生的频率），他们提出了十万年一次，我们说<<no>>，我认为我们提出了一万年一次。但那是在事件发生前一年半。这并不意味着说这是错误的：不幸的是，第10000年就要到来了。”
报价3（来自BCBS[三]，第20页）：“然而，已经发现了VaR的一些弱点，包括其无法捕获<<尾部风险>>。“报价明确指如果问题第1周.
引言4风险加权资产不确定性问题在BCBS中得到了很好的解决[8]（特别是第6页），事实上：“各银行信贷风险的平均RWA有相当大的差异。从广义上讲，这种差异与交易账簿中市场风险的差异相似。大部分差异（高达四分之三）解释为银行资产风险构成的潜在差异，反映了基于风险的资本框架下预期的风险偏好差异。其余差异是由银行和监管实践的多样性驱动的。“欧洲央行对欧元区最大银行的监管将主要集中在资产质量审查中的风险加权资产上；参见《经济学人》[9].

尽管ES也患有第2周，部分修正第1周并且总是正确相加（≤），即ES是次可加的（校正第3周). 自Artzner引入亚可加性以来，它被广泛接受为风险度量的理想属性等. [10]，尽管一些作者也考虑过它（例如，参见Dhane等. [11]和寇等. [12])作为一个有争议的问题。当然，“一个数字不足以满足”的范式也适用于ES；见罗特森和克吕佩尔伯格[13]. 关于第2周经典极值理论（EVT），如（McNeil）中所解释的等. [14]，第7章），给出了关于在高置信水平下准确估计单个风险度量（如VaR和ES）几乎不可能的充分警告；特别参见（麦克尼尔等. [14]，图7.6）。在本文中，我们将主要集中于第3周，比较VaR和ES估计值，并讨论BCBS第41页的问题8[三]从风险聚集和模型不确定性的角度来看。

2.VaR如何超累加？

在拥抱中等. [15]，问题是方程中左侧和右侧之间的间隙有多大(1)可以。答案与模型不确定性（MU）问题密切相关，特别是在相互依赖的水平上，即。，相关性不确定性.

让我们首先回顾一下VaR和ES的标准定义。假设X（X）是具有分布函数（df）的随机变量（rv）

{F类}_{X（X）}

,

{F类}_{X（X）} (x个) = P（P） (X（X） \leq x个)

对于

x个 \in R（右）

。对于

0 < α \leq 1

，然后我们定义：

{风险价值}_{α} (X（X）) = {F类}_{X（X）}^{- 1} (α) = inf公司 {x个 \in R（右） : {F类}_{X（X）} (x个) \geq α}

(2)

和：

锿_{α} (X（X）) = \frac{1}{1 - α} \int_{α}^{1} {风险价值}_{β} (X（X）) d日 β

无论何时

{F类}_{X（X）}

是连续的；因此：

锿_{α} (X（X）) = E类 [X（X） | X（X） > {风险价值}_{α} (X（X）)]

导致将ES作为有条件预期损失的标准解释。ES及其在连续设置中的等效性在不同的名称和缩写下已知，例如TVaR、CVaR、CTE、TCE和AVaR。当涉及离散分布时，上述概念不再等价；参见Acerbi和Tasche[16].

我们的设置如下。

假设 ${X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日}$ 是dfs的一期风险头寸 ${F类}_{我}$ , $我 = 1, \dots, d日$ ，也表示为 ${X（X）}_{我} \overset{d日}{\sim} {F类}_{我}$ 。我们假设 ${F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}$ 以便于我们讨论。实际上，这可能对应于符合历史数据的模型或在压力测试环境中选择的模型。当有足够的数据可用时，人们还可以设想经验dfs。重要的是，在下面的分析和示例中，我们忽略了统计不确定性；这可以而且应该在全面讨论中加以补充。因此，在本文中，MU应在相互依赖的水平上被解释为功能MU，而不是统计MU。完整MU将（至少）两者结合。
考虑投资组合头寸 ${X（X）}_{d日}^{+} = {X（X）}_{1} + \dots + {X（X）}_{d日}$ 下面讨论的技术还允许分析其他投资组合结构，例如， ${X（X）}_{d日}^{\lor} = 最大值 ({X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日}), {X（X）}_{d日}^{\land} = 最小值 ({X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日}) 或 {X（X）}_{d日}^{+} 1_{{{X（X）}_{d日}^{\lor} > 米}}$ 对一些人来说 $米 > 0$ ，通常较大。然而，对于此类更一般的示例，MU结果需要进一步详细研究；参见拥抱等. [15]关于这方面的一些评论。
表示方式 ${风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})$ , $我 = 1, \dots, d日$ ，共同置信水平下的边际VaR， $α \in (0, 1)$ ，通常接近1。目前，我们专注于将VaR作为风险度量，因为它仍然是这个监管基准。其他风险衡量指标将在本文稍后部分出现。

任务： 计算 {风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

如上所述，无法执行此任务，因为

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

，我们需要一个共同的随机向量模型

X（X） = {({X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日})}^{'}

.在特定的接头模型下

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

相当于d日-维积分（或离散情况下的和）。只有在极少数情况下才能进行分析。因此，可能会采用数值积分和/或蒙特卡罗方法，包括使用准随机（低偏差）技术。对于α接近一点，罕见事件模拟工具变得重要；例如参见Asmussen和Glynn[17]，第六章。对于在低维中有用的更几何方法，例如

d日 \leq 5

，请参阅[18,19].

当我们从完全联合分布假设（单个模型）放宽到模型的特定子类时，可能会得到一些不等式或渐近性（在

α \to 1

或

d日 \to \infty

，say）用于

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

例如，如果X（X）是椭圆分布，然后：

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) \leq \sum_{我 = 1}^{d日} {风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})

参见（麦克尼尔等. [14]，定理6.8）。椭圆分布的一个重要子类形成了所谓的多元正态方差混合模型，即。，

X（X） \overset{d日}{=} μ + \sqrt{W公司} A类 Z

哪里：

（i）: $Z \sim {N个}_{k个} (0, 我_{k个})$ , $我_{k个}$ 表示k维单位矩阵；
（ii）: $W公司 \geq 0$ 是一个非负的标量值rv，它独立于 $Z$ ; 和
（iii）: $A类 \in {R（右）}^{d日 \times k个}$ 和 $μ \in {R（右）}^{d日}$ .

参见（麦克尼尔等. [14],第3.2节)用于此定义。有关基于球面随机向量仿射变换的最一般定义，请参见（McNeil等. [14]，第3.3.2节）。在许多方面，椭圆模型就像金融和风险管理的“天堂”；参见（麦克尼尔等. [14]定理6.8和命题6.13）。不幸的是，尤其是在压力时刻，金融世界可能是高度非椭圆的。

另一类有趣的模型结果X（X）存在共音的即存在增加的功能

ψ_{我}

,

我 = 1, \dots, d日

和房车，Z，因此：

{X（X）}_{我} = ψ_{我} (Z) 美国。, 我 = 1, \dots, d日

在这种情况下：

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \sum_{我 = 1}^{d日} {风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})

(3)

即，VaR为共聚酮添加剂.方程证明(三)，参见（麦克尼尔等. [14]，定理6.15）。回想一下，当联合模型达到最大相关性（通常小于1）时，具有有限二阶矩的两个风险（两个rvs）是一致的；参见（麦克尼尔等. [14]，定理5.25）。因此，严格意义上的附加风险，如等式(1)，对应于具有的依赖结构较少的大于最大相关性。这经常导致从业者之间的困惑；这也是写《拥抱》的原因之一（相关陷阱）等. [20]. 在没有额外的模型知识的情况下，我们将计算

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

在存在相关性不确定性的情况下：

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = inf公司 {{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}^{F类} + \dots + {X（X）}_{d日}^{F类}) : X（X） = {({X（X）}_{1}^{F类}, \dots, {X（X）}_{d日}^{F类})}^{'} 有 共同的 数据流 F类 具有 边际值 {F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}}

(4)

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = 啜饮 {{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}^{F类} + \dots + {X（X）}_{d日}^{F类}) : X（X） = {({X（X）}_{1}^{F类}, \dots, {X（X）}_{d日}^{F类})}^{'} 有 共同的 数据流 F类 具有 边际值 {F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}}

(5)

术语，最好与当然，最糟糕的情况在很大程度上取决于当前的情况：比如，在交易环境中是做多还是做空，或者边界是由监管机构还是银行来解释的。

我们进一步评论注释：回顾到目前为止唯一可用的信息是风险的边际分布，即。，

{X（X）}_{我} \overset{d日}{\sim} {F类}_{我}

,

我 = 1, \dots, d日

.每当我们使用联合分布函数时，F类，带有给定的向量边距，X（X），我们表示

{X（X）}_{d日}^{+} = {X（X）}_{1}^{F类} + \dots + {X（X）}_{d日}^{F类}

为了突出这个选择；参见上述等式（4）和（5）。我们希望读者能接受这种对符号的轻微滥用。

使用连接词的概念，我们可以改写(4)和(5)应用Sklar定理；参见（麦克尼尔等. [14]，定理5.3）。表示方式

{C类}_{d日}

全套d日-维度交配；则方程式（4）和（5）等价于：

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = inf公司 {{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}^{C类} + \dots + {X（X）}_{d日}^{C类}) : C类 \in {C类}_{d日}, {X（X）}_{我} \overset{d日}{\sim} {F类}_{我}, 我 = 1, \dots, d日}

(6)

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = 啜饮 {{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}^{C类} + \dots + {X（X）}_{d日}^{C类}) : C类 \in {C类}_{d日}, {X（X）}_{我} \overset{d日}{\sim} {F类}_{我}, 我 = 1, \dots, d日}

(7)

与相同F类上方，上部C类-索引突出了以下事实：

{({X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日})}^{'}

是

F类 = C类 ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日})

.

将优化问题（方程（4）和（5）改写为等价的copula形式（方程（6）和（7）），强调了这样一个事实：一旦给定了边际dfs，

{F类}_{我}

,

我 = 1, \dots, d日

，求解

\underset{̲}{风险价值}

和

\bar{风险价值}

相当于找到连接词，它与

{F类}_{我}^{'}

s、达到这些界限。因此，求解方程（4）和（5），或等式（6）和（7）（我们通常考虑的设置），可以得到MU-固定边际的区间:

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) \leq {风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) \leq {\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

(8)

如果方程中的不等式(8)成为给定copula的等式，C类，对应的copula，C类，被称为最佳耦合.当前一个重要的研究领域是找到方程中的边界(8)通过分析和/或数值计算，证明在特定条件下的清晰度，并找到相应的最佳耦合。

间隔

[{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}), {\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})]

得出了所有可能的联合模型中MU的度量，作为边际因素之间相互依赖性的函数（回想一下，我们假设

{F类}_{我}^{'} 秒

待查！）。到目前为止，我们假设对边际风险之间的相互依赖性没有任何先验知识，

{X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日}

如果有额外的信息，尽管信息仍然不完整，例如“所有

{X（X）}_{我}

s为正相关”，则上述MU区间变窄。一个重要的问题是：可以量化这种MU吗？这正是Embrechts中讨论的主题等. [15]Barrieu和Scandolo[21]、比格诺齐和查那卡斯[22]. 有许多分析结果和数字（算法）结果。我们考虑了与MU讨论相关的三项措施；置信水平，

α \in (0, 1)

，已修复。

措施1特定于模型的超加性比对于总损失， ${X（X）}_{d日}^{+}$ :

$Δ_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \frac{{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{\sum_{我 = 1}^{d日} {风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})} = \frac{{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{{风险价值}_{α}^{+} ({X（X）}_{d日}^{+})}$

(9)

我们在哪里定义 ${风险价值}_{α}^{+} ({X（X）}_{d日}^{+}) : = \sum_{我 = 1}^{d日} {风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})$ 超可加性比测量了非相干性，相当于VaR的超可加间隙鉴于关节模型X（X）因此，它表明了风险值离正确描述多元化还有多远。
措施2这个最差超加性比:

${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \frac{{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{{风险价值}_{α}^{+} ({X（X）}_{d日}^{+})}$

(10)

在最坏可能的VaR和共单调VaR之间。它测量了全部的给定边际的联合模型。
措施3最坏可能ES和最坏可能VaR之间的比率：

$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \frac{{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})} = \frac{\sum_{我 = 1}^{d日} 锿_{α} ({X（X）}_{我})}{{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}$

(11)

这与巴塞尔协议3.5引言中的问题有关。

在下一节中，我们将讨论导致方程（4）-（11）估计的一些方法学结果；这些都是基于最近一些关于依赖性不确定性的数学发展。第4节包含几个数值示例。第5节解决了VaR的稳健回溯测试问题，并对出于监管目的从VaR到ES的可能变化进行了评论。我们得出结论第6节。就其现状而言，该文件有双重目标：首先，它提供了一个广泛可用的风险值关键评估与巴塞尔协议3.5引发的ES辩论；同时，我们列出了这些讨论可能产生的正在进行的和未来可能进行的研究的几个领域。

3.依赖不确定性的数学发展

方程（4）-（7）类问题可以追溯到概率论中很长的一段路：

d日 = 2

由Makarov独立给出[23]他是a.N.Kolmogorov的学生，Makarov从他那里得到了问题，以及Rüschendorf[24]用不同的方法。这类问题属于多元概率论的一个相当专门的领域，从数学上来说是不容易回答的。尽管在写这篇论文的时候，我们还没有完整的答案，但最近，我们已经取得了重大进展，不仅在这一领域的数学理论方面提供了见解，而且还为实际相关问题提供了答案。

为了研究依赖性不确定性问题，如方程（4）–（7），定义所有可能的聚合集是很有用的：

{S公司}_{d日} = {S公司}_{d日} ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}) = {{X（X）}_{1} + \dots + {X（X）}_{d日} : {X（X）}_{1} \overset{d日}{\sim} {F类}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日} \overset{d日}{\sim} {F类}_{d日}}

这些问题导致了对该集合的概率特性和统计推断的研究，

{S公司}_{d日}

(

{S公司}_{d日}

正式引入伯纳德等. [25]，但该领域的所有先前研究都以某种形式或另一种形式处理相同的框架）。例如，问题(4)和(5)，可以改为：

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \underset{S公司 \in {S公司}_{d日}}{inf公司} {风险价值}_{α} (S公司) 和 {\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \underset{S公司 \in {S公司}_{d日}}{啜饮} {风险价值}_{α} (S公司)

(12)

完整描述

{S公司}_{d日}

仍然遥不可及；然而，最近取得了重大进展，特别是在所谓的同种类的案例。我们参考了最近的一本书《吕申多夫》[26]综述了具有边际约束和依赖不确定性的极值问题的研究。特别是，该书提供了方程（4）-（7）与copula理论、质量运输和金融风险分析之间的联系。

3.1. 同质案例

让我们先看看这个案例

{F类}_{1} = \dots = {F类}_{d日} = : F类

，我们称之为同质模型。对于此模型，可以获得分析结果。的分析值

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

已在王中获得等. [27]Puccetti和Rüschendorf[28]对于齐次模型，当边际分布具有尾递减密度（例如帕累托分布、伽马分布或对数正态分布）时。王等. [27]还提供了的分析表达式

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

对于密度递减的边际分布。这些结果总结如下。

提议1王的推论3.7等. [27]，形式稍有不同。假设F类正在上减少

[β, \infty)

对一些人来说

β \in R（右）

然后，对于

α \in [F类 (β), 1)

和

X（X） \overset{d日}{\sim} F类

,

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = d日 E类 [X（X） | X（X） \in [{F类}^{- 1} (α + (d日 - 1) {c（c）}_{d日, α}), {F类}^{- 1} (1 - {c（c）}_{d日, α})]]

(13)

哪里

{c（c）}_{d日, α}

是中最小的数字

[0, (1 - α) / d日]

，以便：

\int_{α + (d日 - 1) c（c）}^{1 - c（c）} {F类}^{- 1} (吨) d日 吨 \geq \frac{1 - α - d日 c（c）}{d日} ({F类}^{- 1} (α + (d日 - 1) c（c）) + {F类}^{- 1} (1 - c（c）)) .

(14)

此外，假设F类支持率正在下降。那么，对于

α \in (0, 1)

和

X（X） \overset{d日}{\sim} F类

,

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = 最大值 {(d日 - 1) {F类}^{- 1} (α) + {F类}^{- 1} (0), d日 E类 [X（X） | X（X） \leq {F类}^{- 1} (α)]} .

(15)

尽管表达式（13）-（15）看起来有些复杂，但它们可以使用二重性的概念重新表述，这可以追溯到吕申多夫（Rüschendorf）[24]，以及由此产生的双重代表起源于质量运输理论。以下命题提供了等式的等价表示(13). 这是在吕申多夫所述[28]以略微修改的形式，在更一般的完全混合条件下。

提议2 在命题1的相同假设下，假设对于任何足够大的阈值，秒，可以找到

一 < 秒 / d日

，以便：

D类 (秒) : = \frac{d日 \int_{一}^{b} \bar{F类} (x个) d日 x个}{(b - 一)} = \bar{F类} (一) + (d日 - 1) \bar{F类} (b)

(16)

哪里

b = 秒 - (d日 - 1) 一

，使用

{F类}^{- 1} (1 - D类 (秒)) \leq 一

。那么，对于

α \geq 1 - D类 (秒)

，我们有：

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = {D类}^{- 1} (1 - α) .

(17)

命题1和命题2的证明基于最近引入并进一步发展的数学概念完全混合性.

定义3.1Wang和Wang[29].边际分布，F类，据说是d日-如果存在rvs，则完全可混合

{X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{d日}

使用dfF类，因此

{X（X）}_{1} + \dots + {X（X）}_{d日}

几乎可以肯定是恒定的。

Wang和Wang总结了关于完全混合性的最新结果[29]和Puccetti等. [30]; 关于常数和问题的早期研究可以在Rüschendorf和Uckelmann中找到[31]，其思想起源于20世纪80年代初（见Rüschendorf[26]). Wang和Wang给出了单调密度分布完全可混合的充要条件[29]; 它用于证明命题1和命题2中的边界。

完全混合性与共单调性相反，对应于这个问题的极端负相关性。换句话说，

\bar{风险价值}

通过条件分布之间的极端负相关（假设存在相关）概念而不是最大相关获得，如中所述第2节这一反直觉的数学观察部分回答了为什么VaR是非加性的，并警告说基于共单调性的监管或定价标准并不像人们想象的那样保守。

到目前为止，条件完全可混合性，因此

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

仅针对满足命题1尾降密度条件的dfs显示。当然，风险管理实践中使用的大多数分布模型都满足了这一条件。因此，对于此类模型，我们可以计算(12),

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

和

B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

如等式（10）和（11）所定义。后面将给出示例。

3.2. 关于非均匀情况

当同质性假设

{F类}_{1} = \dots = {F类}_{d日}

删除后，分析结果变得更加难以获得。之间的联系(12)以及凸阶结果证明是相关的。两个概念之间的关系在（Bernard）中进行了描述等. [25]，定理4.6）和（Bernard等. [32]，定理2.4和附录（A1）–（A4））。让U型是一辆统一的房车

[0, 1]

,

{F类}_{我}^{[α]}

是…的分布

{F类}_{我}^{- 1} (1 - α U型)

（上部α-尾部分布）和

{F类}_{我}^{(α)}

是…的分布

{F类}_{我}^{- 1} (α U型)

（下部α-尾部分布）

α \in (0, 1)

和

我 = 1, \dots, d日

.

提案3 假设dfs

{F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日}

支架上有正密度；那么，对于

α \in (0, 1)

,

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \underset{S公司 \in {S公司}_{d日} ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日})}{啜饮} {风险价值}_{α} (S公司) = 啜饮 {字母S - inf公司 S公司 : S公司 \in {S公司}_{d日} ({F类}_{1}^{[α]}, \dots, {F类}_{d日}^{[α]})}

(18)

和：

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \underset{S公司 \in {S公司}_{d日} ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日})}{inf公司} {风险价值}_{α} (S公司) = inf公司 {字母S - 啜饮 S公司 : S公司 \in {S公司}_{d日} ({F类}_{1}^{(α)}, \dots, {F类}_{d日}^{(α)})}

(19)

其中随机变量的本质下确界，S公司，定义为：

字母S - inf公司 S公司 = 啜饮 {吨 \in R（右） : P（P） (S公司 \leq 吨) = 0}

和随机变量的本质上确界，S公司，定义为：

字母S - 啜饮 S公司 = inf公司 {吨 \in R（右） : P（P） (S公司 \leq 吨) = 1} .

因此，可以看出

{S公司}_{d日} ({F类}_{1}, \dots, {F类}_{d日})

由关于凸阶的最小元素获得

{S公司}_{d日} ({F类}_{1}^{[α]}, \dots, {F类}_{n个}^{[α]})

类似的声明适用于

{\underset{̲}{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

在某些情况下，例如，在完全可混合的假设下，甚至可以给出关于凸阶的最小元素，但一般来说，可能不存在这样的最小元素。Bernard总结了最近寻求最小凸序元素解析解的尝试等. [25]. 根据现有知识，我们只能计算方程式(12),

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

和

B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

在非均匀情况下，在对边际dfs的相当强的假设下，“sup-inf”和“inf-sup”问题是可解的。有趣的是，一种称为重排算法引入了（RA）来近似这些最差（最佳）情况的VaR（见下文的数值优化）。

另一个重要问题是最差VaR的最佳耦合结构。从命题3中，我们可以看到随机变量之间的相互依赖性（copula）可以在边缘支持的较低区域任意设置，并且只有尾部依赖性（在概率区域，

1 - α

（在每个保证金中）对最差的VaR值至关重要。在尾部区域，凸序意义上的最小元素解决了这些“sup-inf”和“inf-sup”问题(18)和(19). 更准确地说，每个单独的风险都以某种方式耦合在一起，这样，如果风险都很大，那么它们的总和就集中在一个常数（理想情况下，总和是常数，但在许多情况下这是不现实的）。这就是为什么条件完全可混合性在最差VaR的最优耦合中起着重要作用（最佳VaR的最佳耦合类似，只是条件区域现在是一个（通常很大）概率区间α). 这也导致了这样一个事实，即关于整体相关性的信息，例如线性相关系数或Spearman的rho，可能不会直接影响最差VaR的值。即使受到投资组合中风险不相关或轻度相关的限制，也可能会达到最差的VaR。这在一定程度上警告了在定量风险管理模型中使用单个数字作为依赖性指标的危险。在最近的论文中，伯纳德等. [32]，已经表明，额外的方差约束可能导致本质上改进的VaR边界。

3.3. 数值优化

数值方法被认为在优化问题上非常有用。其中一种方法是Puccetti和Rüschendorf中引入的重排算法（RA）[33]对其进行了修改、扩展和进一步讨论，并将其应用于Embrechts的定量风险管理等. [15]. RA是一种简单但快速的算法，设计用于逼近集合中的凸最小元素，

{S公司}_{d日}

，通过离散化。RA允许快速准确地计算方程式中的边界(12)对于任意边界dfs，无论是在齐次还是非齐次情况下。该方法使用相关分位数区域的离散化步骤(

N个 = 10^{6}

例如）导致

N个 \times d日

通过连续运算，得到行数方差最小的矩阵（考虑完全混合性）。RA可以轻松处理

d日 \approx

比如1000。有关详细信息和示例，请参见Embrechts等. [15]. 正如伯纳德所言等. [25]，通过RA获得的数值近似值表明，

\bar{风险价值}

，在命题1中，对于所有常用的边际分布都是尖锐的，并且这不需要尾部降低密度。到目前为止，我们还没有这方面的正式证据。在伯纳德等. [32]，引入了RA的一个扩展（称为ERA），并证明了它能给出方差约束VaR的可靠界。

3.4. 最差VaR和最差ES的渐近等价性

对于任何随机变量，Y（Y）,

{风险价值}_{α} (Y（Y）)

上边界为

锿_{α} (Y（Y）)

因此，最坏情况下的VaR在最坏情况ES的上方有界，即。，

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) \leq {\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

(20)

自

{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \sum_{我 = 1}^{d日} 锿_{α} ({X（X）}_{我})

，方程式(20)给出了计算最差VaR上界的简单方法。该上界意味着：

B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \frac{{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})} \geq 1

(21)

这是在普切蒂和吕申多夫进行的观察[34]方程中的界(20)在一般条件下是渐近尖锐的，即最差VaR和最差ES的渐近等价成立。

当公共边际分布完全可混合时，对于有界同质投资组合，最坏可能的VaR和ES估计的确切恒等式成立，如以下备注所示。

备注1 假设F类是有界区间上的有界连续分布

[{F类}^{- 1} (α), b]

,

b > {F类}^{- 1} (α)

也假设F类是d日-完全可混合

[{F类}^{- 1} (α), b]

即存在一个随机向量

{({X（X）}_{1}^{*}, \dots, {X（X）}_{d日}^{*})}^{'}

和一个常数，k个，以便：

P（P） ({X（X）}_{1}^{*} + \dots + {X（X）}_{d日}^{*} = k个 | {X（X）}_{我}^{*} \in [{F类}^{- 1} (α), b], 1 \leq 我 \leq d日) = 1

根据方程式中VaR的定义(2)，然后我们得到：

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}^{*} + \dots + {X（X）}_{d日}^{*}) = k个

(22)

和：

k个 = E类 [\sum_{我 = 1}^{d日} {X（X）}_{我}^{*} | {X（X）}_{我}^{*} \in [{F类}^{- 1} (α), b], 1 \leq 我 \leq d日] = \sum_{我 = 1}^{d日} 锿_{α} ({X（X）}_{我}^{*}) = {\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{1}^{*} + \dots + {X（X）}_{d日}^{*})

(23)

因为方程式(20)，方程式（22）和（23）表示：

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{1}^{*} + \dots + {X（X）}_{d日}^{*}) = {\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{1}^{*} + \dots + {X（X）}_{d日}^{*})

上述示例表明

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

和

{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

的确，考虑一下方程式(18)，并注意到，根据

{F类}_{我}^{[α]}

,

{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = E类 [S公司]

对于任何

S公司 \in {S公司}_{d日} ({F类}_{1}^{[α]}, \dots, {F类}_{d日}^{[α]})

因此，从数学上讲

{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

和

{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

真正关心的是

字母S - inf公司 S公司

和

E类 [S公司]

对一些人来说S公司在里面

{S公司}_{d日} ({F类}_{1}^{[α]}, \dots, {F类}_{d日}^{[α]})

.直觉上，这样S公司，它解决了“sup-inf”和“inf-sup”问题，应该有一个相当小的值

| S公司 - E类 [S公司] |

，导致较小的值

| {\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) - {\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) |

此外

{c（c）}_{d日, α} = 0

命题1中的case指向同一方向。

在Puccetti和Rüschendorf中建立了最差VaR和最差ES的渐近等价性[34]在基于Embrechts和Puccetti的双重边界的同质情况下[35]以及条件完全混合性的假设。这一假设后来被Puccetti削弱了等. [36]和Wang[37]并在Wang和Wang中删除[38]. （Embrechts）中给出了一般情况下非均匀模型的以下扩展等. [39]（定理3.3））。

提案4最差VaR和ES的渐近等价性。假设连续分布，

{F类}_{我}, 我 \in N个

，满足一些

α \in (0, 1)

和

k个 > 1

,

（a）: $E类 [| {X（X）}_{我} - E类 [{X（X）}_{我}] |^{k个}]$ 一致有界，并且
（b）: ${lim信息}_{n个 \to \infty} {d日}^{- 1 / k个} \sum_{我 = 1}^{d日} 锿_{α} ({X（X）}_{我}) = + \infty,$

然后：

\underset{d日 \to \infty}{林} \frac{{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})} = 1

(24)

在均质模型中，除了有限和非零之外，没有其他假设

锿_{α} ({X（X）}_{1})

方程式需要(24)保持；参见（王和王[38]，推论3.8）。一个概念渐近混合性（渐近常数和）导致最差VaR和最差ES的渐近等价（参见Bernard等. [32]、Puccetti和Rüschendorf[40])，表明这种等价性与大数定律有关，因此在一般情况下是成立的。等效性(24)也由几个数值示例提出（参见中的示例4.1和4.2第4节). 关于渐近等价性的研究(24)对于一般风险措施，我们请王等. [41].

备注2 方程式的直接结果(24)是在有限平均、齐次的情况下，当

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1}) > 0

，作为

d日 \to \infty

，我们有：

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) = \frac{{\bar{风险价值}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})}{{风险价值}_{α}^{+} ({X（X）}_{d日}^{+})} \to \frac{锿_{α} ({X（X）}_{1})}{{风险价值}_{α} ({X（X）}_{1})}

(25)

一般来说，最差的超加性比

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

是渐近的

{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) / {风险价值}_{α}^{+} ({X（X）}_{d日}^{+})

在所有实际感兴趣的均质和非均质模型中。换句话说，我们可以说，在相同的置信水平下，最差VaR几乎与最差ES一样极端d日大型。根据BCBS[4],

{风险价值}_{0.99}

将与

锿_{0.975}

; 通过方程式(24)，最糟糕的

{风险价值}_{0.99}

通常（远）比最坏的大

锿_{0.975}

.

值得指出的是，最差的超加性比

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

接近无穷大时

{\bar{锿}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

是无限的；这与方程式一致(25)并在Puccetti和Rüschendorf展出[34]. 导致（估计）无限平均风险的模型在文献中引起了相当大的关注；例如，看看内什列霍娃的早期贡献等. [42]在运营风险和Delbaen范围内[43]以获得更具方法论的观点。显然，在这种情况下ES没有定义，在无穷平均rvs空间上也不存在任何非平凡的相干风险测度；参见Delbaen[43]. 因此，由于风险值总是定义明确的，它可能成为“最后手段”的风险度量。我们不会加入更实用的“专业与这里关于这个主题的“反向”讨论，但只强调我们的结果在巴塞尔协议3.5的背景下给出的额外见解。特别需要注意的是，对于无限平均风险，最差VaR的增长速度远远快于同调VaR。

备注3 到目前为止，我们主要研究了当投资组合维，d日变大，即。，

d日 \to \infty

如提案4所示。或者，可以考虑d日固定和

α ↑ 1

。然后，后者很快成为一个问题（多元）极值理论; 确实是为了α接近一点，人们担心潜在dfs的极端尾部行为。例如，对这类结果感兴趣的读者可以咨询Mainik和Rüschendorf[44]Mainik和Embrechts[45]以及其中的参考文献。最后，还可以考虑联合渐近行为

d日 = d日 (α)

其中两者都是

d日 \to \infty

和

α ↑ 1

以耦合的方式在一起；这与所谓的大偏差理论; 参见（Asmussen和Glynn[17]（第六节），以介绍罕见事件模拟。

4.示例

按公式(25)，随机变量的ES和VaR之间的比率代表了某种程度的超加性，这是其分布所特有的：它衡量VaR的严重程度可以在同质模型中表现。我们开始在一些同质的例子中计算ES/VaR比率

{F类}_{1} = \dots = {F类}_{d日}

然后讨论一些非均匀的例子。

4.1. 帕累托案

假设

{X（X）}_{我} \overset{d日}{\sim}

帕雷托

(θ)

,

我 = 1, \dots, d日

即。，

1 - {F类}_{我} (x个) = P（P） ({X（X）}_{我} > x个) = {(1 + x个)}^{- θ}, x个 \geq 0

(26)

方程类型的幂律(26)金融和保险业无所不在θ范围内的值

[0.5, 5]

; 参见（拥抱等. [46]，第6章）。较低的范围[0.5,1]通常对应于巨灾保险；上面的[3,5]表示市场回报数据。运营风险数据通常涵盖整个范围，甚至更大范围；见莫斯卡德利[47]和Gourier等. [48].

在方程式下(26)，我们有这个

θ > 0

,

α \in (0, 1)

,

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{我}) = {(1 - α)}^{- 1 / θ} - 1

和用于

θ > 1

,

α \in (0, 1)

,

锿_{α} ({X（X）}_{我}) = \frac{θ}{θ - 1} {风险价值}_{α} ({X（X）}_{我}) + \frac{1}{θ - 1}

因此，我们将其用于

我 = 1, \dots, d日

,

\frac{锿_{α} ({X（X）}_{我})}{{风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})} = \frac{θ}{θ - 1} + \frac{1}{(θ - 1) {风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})} .

作为帕累托分布(26)是无界的，后一个方程意味着：

\underset{α ↑ 1}{林} \frac{锿_{α} ({X（X）}_{我})}{{风险价值}_{α} ({X（X）}_{我})} = \frac{θ}{θ - 1} > 1 .

(27)

结果(27)如果我们替换等式中的精确Pareto df，则为真(26)通过所谓的power-tail-like df，即。，

1 - F类 (x个) = {(1 + x个)}^{- θ} L（左） (x个)

哪里L（左）是卡拉马塔意义上的所谓缓慢变化函数；参见（麦克尼尔等. [14]，定义7.7）。对于快速衰减的尾翼，如在正常情况下，方程中的极限(27)等于1，因此α接近一点，使用价值-风险或预期短缺作为风险资本计算的基础之间没有太大区别。然而，在帕累托尾部的情况下，差异可能很大。在表1,表2和表3，我们说明了Pareto分布、对数正态分布和指数分布的ES/VaR比值。与方程式结合(25)，用于α接近一，这些结果已经对

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

对于d日大型。例如，在上述Pareto的情况下(θ)df与

θ = 2

，根据方程式（25）和（27），我们预计值

{\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+}) \approx 2

，作为表1确认。

表1。Pareto的预期短缺/价值-风险（ES/VaR）比率的值

(θ)

分配。

**表1。**Pareto的预期短缺/价值-风险（ES/VaR）比率的值 $(θ)$ 分配。
α	$θ = 1.1$	$θ = 1.5$	$θ = 2$	$θ = 三$	$θ = 4$
$0.99$	$11.154337$	$三 . 097350$	$2.111111$	$1.637303$	$1.487492$
$0.995$	$11.081599$	$三 . 060242$	$2.076091$	$1.603135$	$1.454080$
$0.999$	$11.018773$	$三 . 020202$	$2.032655$	$1.555556$	$1.405266$
$α \to 1$	$11.000000$	$三 . 000000$	$2.000000$	$1.500000$	$1.333333$

表2。LogN的ES/VaR比值

(0, θ)

分配。

**表2。**LogN的ES/VaR比值 $(0, θ)$ 分配。
α	$θ = 0.5$	$θ = 1$	$θ = 1.5$	$θ = 2$	$θ = 2.5$
$0.99$	$1.200364$	$1.487037$	$1.920334$	$2.621718$	$三 . 858599$
$0.995$	$1.184949$	$1.443519$	$1.823195$	$2.415980$	$三 . 415242$
$0.999$	$1.158988$	$1.372433$	$1.670393$	$2.107238$	$2.787941$
$α \to 1$	$1.000000$	$1.000000$	$1.000000$	$1.000000$	$1.000000$

表3。指数的ES/VaR比值

(θ)

分配。

**表3。**指数的ES/VaR比值 $(θ)$ 分配。
α	$θ = 0.5$	$θ = 1$	$θ = 1.5$	$θ = 2$	$θ = 2.5$
$0.99$	$1.217147$	$1.217147$	$1.217147$	$1.217147$	$1.217147$
$0.995$	$1.188739$	$1.188739$	$1.188739$	$1.188739$	$1.188739$
$0.999$	$1.144765$	$1.144765$	$1.144765$	$1.144765$	$1.144765$
$α \to 1$	$1.000000$	$1.000000$	$1.000000$	$1.000000$	$1.000000$

4.2. 一些数值示例

4.2.1. 示例：同质情况。

我们从一个在新巴塞尔协议指导方针下的运营风险背景下切实可行的例子开始；例如，请参见（麦克尼尔等. [14]，第10章）。事实上，内部运营风险数据通常显示帕累托型行为；例如，见莫斯卡德利[47]、古里埃等. [48]. 的值d日通常对应于

d日 = 8

业务线或

d日 = 56 = 8 \times 7

（七是风险类型的标准数量）。对于α，我们采用新巴塞尔协议值0.999。中的数字表4根据中总结的理论进行计算第3节同质Pareto（2）投资组合；他们代表自己说话。请注意，所报告的数值与方程（24）和（25）以及方程中所示的渐近线非常一致(27)，这已经是小的了(

d日 = 8

)至中等值(

d日 = 56

)第页，共页d日此外，请注意，在这个Pareto示例中，VaR-MU利差远大于ES-MU利差，这表明ES在相关性不确定性方面比VaR“更稳健”；对这一现象的理论分析可以在Embrechts中找到等. [39].

表4。同质投资组合的最佳和最差VaR和ES值（四舍五入）d日帕累托（2）风险；

α = 0.999

.

{风险价值}_{α}^{+}

表示共单调情况下的VaR。由于四舍五入，共音值可能不是严格的倍数。

**表4。**同质投资组合的最佳和最差VaR和ES值（四舍五入）d日帕累托（2）风险； $α = 0.999$ . ${风险价值}_{α}^{+}$ 表示共单调情况下的VaR。由于四舍五入，共音值可能不是严格的倍数。
d日= 8	${\underset{̲}{风险价值}}_{α}$	${\underset{̲}{锿}}_{α}$	${风险价值}_{α}^{+}$	${\bar{风险价值}}_{α}$	${\bar{锿}}_{α}$	${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$	$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$

	31	178	245	465	498	1.898	1.071
d日= 56	${\underset{̲}{风险价值}}_{α}$	${\underset{̲}{锿}}_{α}$	${风险价值}_{α}^{+}$	${\bar{风险价值}}_{α}$	${\bar{锿}}_{α}$	${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$	$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$

	53	472	1715	3454	3486	2.014	1.009

我们想强调的是，在工业界，

{风险价值}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

被报告为损失分配法（LDA）中运营风险的资本上限。然后使用“多元化参数”，以获得10%至30%的扣除额。在表4(

d日 = 8

)，这导致资本费用约为170至220，但最差的VaR为465。在这种情况下第3节告诉我们完整的VaR范围

[31, 465]

是可以实现的（假设所有边际dfs都是Pareto（2））；关于“哪些相互依赖（copula）在超可加性范围内产生VaR值”的问题，需要进行更多的研究

[245, 465]

”. 我们将在中对此问题进行评论第5节目前，只需理解诸如“多样化收益率”之类的说法必须谨慎对待；金融机构确实需要仔细解释这种多元化扣除额的来源。

这不仅仅是一个学术问题；例如，瑞士监管机构FINMA命令瑞银将其针对诉讼、合规和运营风险的资本储备增加50%。《金融时报》[49]报告称：“FINMA的行动，瑞银预计将使其风险加权资产（RWA）增加280亿瑞士法郎。”世界各地的银行都受到各自监管机构对RWA计算的严格监控，尤其是操作风险。毫无疑问，这是由于次贷危机的后果、伦敦银行同业拆借利率丑闻以及围绕（2013年）全球5万亿美元外汇市场可能被操纵的指控。监管机构通常也对行业中使用的RWA模型的一些复杂性以及可能导致的模型不确定性和/或监管套利感到担忧。

表5。非均质投资组合分为三个均质子组的最佳和最差VaR和ES的值（四舍五入），即。，

d日 = 三 k个

边缘分布为

{F类}_{1}

=帕累托（2），

{F类}_{2}

=实验（1），

{F类}_{三}

=对数（0,1）；

α = 0.999

。由于四舍五入，共音值可能不是严格的倍数。

**表5。**非均质投资组合分为三个均质子组的最佳和最差VaR和ES的值（四舍五入），即。， $d日 = 三 k个$ 边缘分布为 ${F类}_{1}$ =帕累托（2）， ${F类}_{2}$ =实验（1）， ${F类}_{三}$ =对数（0,1）； $α = 0.999$ 。由于四舍五入，共音值可能不是严格的倍数。
k个= 1	${\underset{̲}{风险价值}}_{α}$	${\underset{̲}{锿}}_{α}$	${风险价值}_{α}^{+}$	${\bar{风险价值}}_{α}$	${\bar{锿}}_{α}$	${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$	$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$

	31	64	60	77	100	1.2833	1.299
k个= 3	${\underset{̲}{风险价值}}_{α}$	${\underset{̲}{锿}}_{α}$	${风险价值}_{α}^{+}$	${\bar{风险价值}}_{α}$	${\bar{锿}}_{α}$	${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$	$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$

	31	107	179	277	301	1.5475	1.087
k个= 10	${\underset{̲}{风险价值}}_{α}$	${\underset{̲}{锿}}_{α}$	${风险价值}_{α}^{+}$	${\bar{风险价值}}_{α}$	${\bar{锿}}_{α}$	${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$	$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$

	36	190	595	979	1003	1.6454	1.025
k个= 20	${\underset{̲}{风险价值}}_{α}$	${\underset{̲}{锿}}_{α}$	${风险价值}_{α}^{+}$	${\bar{风险价值}}_{α}$	${\bar{锿}}_{α}$	${\bar{Δ}}_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$	$B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})$

	71	264	1190	1982	2006	1.6655	1.012

4.2.2. 示例：非均匀投资组合

在表5，我们根据命题4提出了一个非均匀投资组合。我们有三种类型的边际dfs，Pareto（2），指数（1）和对数正态（0,1），产生维数

d日 = 三 k个

对于

k个 = 1, 三, 10, 20

。尤其要注意以下行

B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

值接近1时为k个（因此d日)增加，如方程式所示(24). 再次注意

B_{α} ({X（X）}_{d日}^{+})

已接近1的小到中等值d日可以更详细地比较和对比数字，也可以包括其他dfs/参数。然而，主要的一点是，使用第3节和RA，这些数字可以实际计算; 例如，参见最近的论文Aas和Puccetti[50]，其中RA适用于真实银行的投资组合。

我们注意到，到目前为止，我们在相同的置信水平上比较了VaR和ES。为了更全面地比较VaR和ES，应将VaR置于与ES相比的高水平，如BCBS中所建议的那样[4]还有寇和彭[51]. 我们指的是（拥抱等. [39],第4节和第5节)水平ES的相关性-不确定性比较α风险值高于α.

5.风险度量的稳健回溯测试

最后，我们想进一步评论BCBS的问题8[三]：但很明显，如果有人想依靠数字来监管金融机构，ES比VaR更好第1周和第3周然而，两者都遭受第2周.英寸第3节和中的示例第4节我们已经看到，在相互依赖的最坏情况下，VaR和ES都会产生类似的值。回溯测试VaR相当简单（成败测试），而对于ES，必须假设一个基础模型；有关基于EVT的方法，请参见（McNeil等. [14]第168页）。下面，我们将使后一种说法更加科学准确。

例如，如果有人需要在一个指标上比较不同的回溯测试程序，那么与VaR相比，ES的情况就不那么有利。这里的一个重要概念是可引出性; 参见Gneiting[52]. 在我们的案例中，此类预测，如VaR和ES，是基础数据的功能：它们将数据向量映射为实数，在某些情况下，映射为区间。如果一个（统计）函数可以定义为一个合适的评分函数的极小值，则称其为可诱导函数。然后使用评分函数通过点预测和实际观测值计算的平均分数来比较竞争预测。在Gneiting中[52]结果表明，一般来说，VaR是可引出的，而ES则不是。针对这一观察结果，作者补充道：“（针对ES）的负面结果可能会对CVaR函数作为风险预测指标的使用提出质疑，并可能对缺乏与分位数或VaR预测相对应的CVaR预测评估文献提供部分解释。”最近，在将可引出性统计理论嵌入风险度量数学理论方面取得了相当大的进展；参见Ziegel的例子[53]. 这项研究早期提出的一个有趣的问题是：“是否存在（非平凡的）可引出的连贯（即次相加的）风险度量？”[53]：的τ-期望值。这个τ-预期，

0 < τ < 1

，对于rv，X（X），使用

E类 [{X（X）}^{2}] < \infty

，定义为：

{e（电子）}_{τ} (X（X）) = {argmin（最小值）}_{x个 \in R（右）} E类 [τ 最大值 {(X（X） - x个, 0)}^{2} + (1 - τ) 最大值 {(x个 - X（X）, 0)}^{2}] .

对于rv，X（X），使用

E类 [| X（X） |] < \infty

，的τ-expectiles是唯一的解决方案，x个，方程式中：

τ E类 [最大值 (X（X） - x个, 0)] = (1 - τ) E类 [最大值 (x个 - X（X）, 0)] .

特别地，

{e（电子）}_{1 / 2} (X（X）) = E类 [X（X）]

。可以为

0 < τ < 1

,

{e（电子）}_{τ}

是可引发的；对于

1 / 2 \leq τ < 1

,

{e（电子）}_{τ}

是次可加的，而对于

0 < τ \leq 1 / 2

,

{e（电子）}_{τ}

是超加性的。此外，

{e（电子）}_{τ}

是不康蒙通添加剂。在Bellini和Bignozzi[54]结果表明，在可引出性稍作修改的情况下，唯一可引出且一致的风险度量是期望值。我们不提倡

{e（电子）}_{τ}

作为这个使用风险度量，但主要是想展示巴塞尔协议3.5部分所引发的那种研究。有关更多信息，请参见Bellini等. [55]和Delbaen[56]. 早期的贡献可以在雷米拉德找到[57]（第4.4.4.1节）。我们确实提到了上述出版物，如BCBS第60页所示[三]有人提到，“谱风险度量是文献中引用的ES的一个有希望的推广。”如上所述，表明了非平凡的法则-方差谱风险度量，如ES，是不可以引出。因此，根据可引出性的定义，“以理论上合理的决策方式，对光谱风险度量的竞争性估计程序进行客观比较和后验即使不是不可能，也是很困难的”；请参阅Ziegel中的“讨论”部分[53]. 后一篇论文还描述了一种可能的ES-production方法。最近的另一篇论文Emmer等. [58]讨论了常用风险度量的后验问题，并提出了ES的离散后验过程。显然，正确的谱风险度量后验需要更多的研究。

Davis提出了一种不同的方法来看待VaR和ES作为金融风险度量的相对优点[59]. 在后一篇文章中，作者使用了前序统计并得出结论：“要点是，必须施加重要条件以确保均值型估计[ES]的一致性，而分位数估计[VaR]（定理5.2）几乎没有施加任何条件这似乎表明与可引出性结论相一致，即验证基于平均值的估计的有效性比基于分位数的统计的相同问题更具问题性。”目前，这些结论在多大程度上将基于ES-的资本押记转变为基于VaR的资本押押记尚不清楚。

尽管有关跨风险度量的回溯测试的情况需要进一步讨论，但当稳健性已添加。从广义上讲，稳健性与对潜在模型偏差和/或数据变化的敏感性有关。此外，在这里，一个全新的研究领域正在开拓；目前，很难找到正确的方法。下面的引文和参考文献为感兴趣的读者提供了一些对潜在问题和不同方法的见解。频谱来源于纯统计频谱，如Huber和Ronchetti[60]对于一个更经济的决策者，比如汉森和萨金特[61]. 在前一篇文章中，稳健性主要涉及所谓的分布稳健性：当实际潜在分布的形状稍微偏离假定模型时，会产生什么后果？在后一篇文章中，重点更多地放在鲁棒控制上，特别是代理应该如何应对对模型错误指定的恐惧，并回到早期的统计学工作，主要是Whittle[62]（第一版已于1963年问世）。汉森和萨金特的作者[61]提供以下建议：“如果彼得·惠特尔（Peter Whittle）写了它，请阅读它。”第3节是鲁棒优化领域，例如，在Ben Tal中总结的等. [63].

上述评论的主要观点是“稳健性远不止是表面上看到的”。在许多方面，以某种形式，稳健性是金融和保险风险管理的核心。下面，我们收集了一些关于这个主题的引文，读者可能会感兴趣，以便后续跟进；根据我们目前为止的论文，我们简要地添加了一条相关评论。

引言1（来自斯塔尔[64])：“使用基于混合模型污染的压力测试。”实际上，人们经常使用所谓的污染；这相当于该类型的模型构造 $(1 - ϵ) F类 + ϵ G公司$ 具有 $0 < ϵ < 1$ 和ϵ通常较小。在这种情况下，dfF类对应于“正常”行为，而G公司对应于应力分量。在斯塔尔[64]这种方法也受到了广泛的贝叶斯分析的支持和支持。
引言2（来自Cont等. [65])“我们的结果特别表明，使用最近提出的风险度量，如CVaR/预期短缺，导致风险度量过程不如价值风险度量过程稳健。”作者表明，一般来说，分位数估计对于弱拓扑是稳健的，相干失真估计器在相同意义上不具有鲁棒性；这与汉佩尔关于L（左）-统计数据，如Huber和Ronchetti所述[60].
报价3（来自寇等. [12])：“连贯的风险度量不稳健”。作者表明，与ES相比，VaR更具稳健性，这是因为使用了影响函数和分解点等工具，数据发生了微小变化；还有寇和彭[51]对于汉佩尔的稳健性概念的类似结果。的作者[51]冠军中位数缺口，定义为字母尾部分布的中位数，等于较高置信水平下的VaR。
引言4（来自坎布和菲利波维奇[66])“ES是稳健的，基于以下概念，VaR是非稳健的 $ϕ$ -分歧。”
引言5（来自Krätschmer等. [67])“我们在这里认为，Hampel经典的定量稳健性概念不适用于风险度量，并且我们提出并分析了适用于Orliz空间上尾部依赖律变凸风险度量的稳健性的精化概念。”这些作者引入了一个量化稳健性指标。因此，这与引言2和3有所不同：“对稳健性的新审视将有助于我们重新审视反对连贯风险度量的论点：稳健性并没有完全丧失，只有当风险值被连贯风险度量（如ES）取代时，稳健性才会在一定程度上丧失。”
报价6（来自Emmer等. [58])“就弱拓扑而言，大多数常见的风险度量都是不连续的。因此，在风险管理中，人们通常将稳健性视为相对于Wasserstein距离的连续性[…]”“[…]平均值、VaR和预期短缺相对于Wassers tein距离是连续的。”
引言7（来自BCBS[4])：“该置信水平[97.5 ES]将提供与现有第99百分位风险值阈值大致相似的风险捕获水平，同时提供许多好处，包括通常更稳定的模型输出和对极端异常值观察的敏感性更低。”
引言8（摘自《拥抱》等. [39])“就加总中的依赖性不确定性而言，与ES相比，VaR的鲁棒性较差。”作者引入了聚集膨胀性，其中ES和其他光谱风险度量是稳健的。他们还表明，与ES相比，VaR通常表现出更大的依赖性-不确定性扩散。

上述引言有望在一定程度上为“稳健回溯测试”带来稳健性。需要与监管机构进行更多的讨论，以了解制定未来监管这一方面的确切意图。正如我们已经强调的，健壮性的多方面概念必须是任何金融业务和监管。在其最广义的解释中，即“模型和数据敏感性的恢复力或意识”，这一点应该对所有相关人员都清楚。如何使这种意识更加切实可行是一项关键的任务。

6.结论

最近的金融危机表明，一些量化工具在动荡的市场中表现得多么不可靠。通过巴塞尔协议3.5文件，BCBS[三]和BCBS[8]巴塞尔委员会已开始讨论，以使国际银行业成为所有相关方的安全场所。诚然，我们对市场风险潜在监管的风险衡量标准的选择贡献不大，只涉及上述监管文件的一小部分。然而，我们确实希望，所提出的一些方法、示例和研究综述将有助于更好地理解当前的问题。

对于其中一些问题，我们的观点很明确，例如“在有限平均值情况下，ES在聚合和回答关键假设问题的意义上是优于VaR的风险度量”。自1994年左右引入VaR以来，学术界一直在争论缺乏适当的加总：在一些相关案例中，VaR加起来是错误的，而ES总是正确的（次加性）。更重要的是，ES-术语的思考使风险管理者更加关注“假设”问题，而VaR思考只关注“如果”问题。在无限平均值情况下，ES不能使用，而VaR仍保持明确定义。在（主要是环境）经济学中，一场关于无限平均风险下风险管理的有趣辩论正在进行。这里的关键术语是“阴郁定理”；例如，见魏茨曼[68]. 此外，在有限平均情况下，我们的结果表明，与最坏情况依赖场景中的相应VaR估计相比，ES提供的保守估计大体上不太悲观。

然而，两者都是统计量，其估计受到模型风险和数据稀缺性的影响。频率而非严肃性思维也深深植根于其他金融领域；想想评级机构对证券化产品（回忆一下著名的CDO高级股权部分）或公司（过渡和违约概率）使用的校准。数据回测模型仍然是整个金融业的一个关键方面；可引出性和先验预测为这一讨论增添了新的内容。至少目前，健壮性仍有点难以捉摸。我们对最近的一些工作的简要回顾，这是由巴塞尔协议3.5推动的，有望吸引更多的学术研究以及对这些非常重要的主题的实践研究和讨论。

建议感兴趣的读者查阅本文中提到的几个参考文献；《巴塞尔协议3.5》背后的问题已经在学术界和实务界引发了有趣的讨论（更不用说争议）。特别是关于次可加性公理的重要性以及对稳健性的解释，存在分歧。

确认

作者要感谢编辑和三位推荐人的各种有益评论。作者感谢苏黎世理工大学数学系的RiskLab和Forschungsinstitut für Mathematik（FIM）在开展与本文相关的研究时给予的热情款待和财政支持。Paul Embrechts感谢瑞士金融研究所的财政支持。Giovanni Puccetti承认MIUR在“市场和组织的稳健决策”项目下，根据2010–2011年PRIN呼吁提供了一笔拨款。Roodu Wang感谢FIM和加拿大自然科学与工程研究委员会（NSERC）在他访问苏黎世联邦理工学院期间提供的财政支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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