Optimal Deterministic Investment Strategies for Insurers

Bäuerle, Nicole; Rieder, Ulrich

doi:10.3390/risks1030101

开放式访问第条

保险公司的最优确定性投资策略

通过

妮可·巴伊尔

^1,*和

乌尔里希·里德

²

¹

德国卡尔斯鲁厄D-76128卡尔斯鲁厄理工学院数学系

²

德国乌尔姆大学优化与运筹学系，乌尔姆D-89069

^*

信件应寄给的作者。

风险 2013,1(3), 101-118;https://doi.org/10.3390/risks1030101

收到的意见：2013年9月30日/修订日期：2013年10月28日/接受日期：2013年11月2日/发布日期：2013年11月7日

（本文属于特刊随机过程在保险中的应用)

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版本注释

摘要

:

我们考虑一家保险公司，其风险准备金由漂移布朗运动给出，并且能够将资金投资于布莱克-斯科尔斯金融市场。作为优化准则，我们处理均值-方差问题、具有其他风险度量的问题、指数效用和破产概率。根据最近的研究，我们假设投资策略必须是确定性的。这导致了确定性控制问题，这些问题很容易解决。此外，事实证明，这些问题的最优投资策略之间存在一些有趣的联系。最后，我们还证明了这种方法在莱维流程框架中是有效的。

关键词：

确定性控制问题;均值-方差;风险度量;Lévy过程

1.简介

灵感来自[1]，我们首先考虑一个保险公司的均值-方差问题，其中投资策略必须是确定性的，换句话说，在时间零点是预先确定的。从数学上讲，战略必须是

{F类}_{0}

-可衡量的。我们假设风险准备金是由一个漂移的布朗运动给出的，并允许投资于一只债券和一只债券的Black–Scholes市场d日风险资产。投资策略由投资于资产的金额决定。此类模型已在[2]一个库存，但不同的优化标准[三]强调时间一致性。在这里，我们首先提出了经典均值-方差问题的解决方案，其中我们优化了过度适应的财富依赖型投资策略。解决程序使用标准的汉密尔顿-雅各比-贝尔曼（HJB）方法，并遵循既定路线，如[4,5]. 更有趣的是，在第二部分中，我们考虑了确定性投资策略的相同问题。中的作者[1]通过指出这样一种投资策略更容易实施、沟通和比较替代方案来激励这种方法。这类策略也部分用于养老金固定缴款计划。我们建议读者参考[6]其中，对确定性和动态投资策略的绩效进行了比较。在[1]，作者考虑了一个具有附加消费的均值-方差问题，并根据投资于单个风险资产的财富比例给出了他们的投资策略。我们想补充的是，我们的确定性投资策略在数学上更容易获得，并且与其他优化标准的最优投资策略有一些有趣和令人惊讶的联系，我们将在下文中进行解释。虽然，当我们比较在均值-方差问题的最优确定性和动态投资策略下获得的最终财富密度时，我们会发现存在相当大的差异。

数学上，受限策略类的均值-方差问题直接导致确定性控制问题，而不需要面对目标函数的不可分离性问题。在经典的自适应情况下，有必要首先将均值-方差问题与辅助线性-二次问题联系起来（参见，例如[5,7,8])表示为

问 对 (η)

在里面第3节。在确定性情况下，此步骤不是必需的。此外，我们还将证明，在这个具有确定性策略的特殊模型中，均值-方差最优策略对于任意均值-风险问题也是最优的，其中方差被用于终端财富与均值偏差的任意法则-方差和正齐次风险测度所替代。这主要是因为确定性投资策略下的终端财富具有正态分布，均值和方差取决于策略。该观察也可用于解决其他优化标准的控制问题，例如，预期指数效用或破产概率。令人惊讶的是，对于指数效用公司（在适应策略类中）的经典最优投资策略是确定性的，并且与均值-方差问题的最优确定性策略一致。最后，我们还表明，当涉及的过程是Lévy过程时，这种方法是有效的。为了解释我们的程序，我们将演示限制在最重要的情况下，其中风险储备过程如Cramér–Lundberg模型所示，即风险储备过程是一个复合Poisson过程。由于跳跃在预期范围内消失，我们可以以几乎相同的方式进行。在具有适应策略的经典环境中，也可以处理Lévy过程；参见，例如[9,10]对于LQ和均方差问题[11]对于指数效用或[12]了解更多一般信息。在[13]考虑了一个具有Lévy市场的再保险问题，结果表明最优再保险策略在更大的适应策略类别中是确定的。有关解决连续时间均值-方差问题的不同方法的最新有趣比较，请参阅[14]. 那里的作者还考虑了终端财富的非负约束。

在本文中，我们会不处理最优投资策略的时间一致性问题。这似乎是最近研究中的一个关键点。我们只指向最近的报纸[三,15,16]，其中讨论了时间一致性。确定性投资策略仅依赖于时间，并且对于确定性控制问题是一致的。

本文的组织结构如下：在下一节中，我们介绍了保险模型和均值-方差问题以及一些常见的假设。然后，我们解释了如何将该问题一般化为随机线性二次问题。接下来，我们在适应性的经典框架内解决了这个问题，即财富依赖型投资策略。在第5节，我们考虑了具有确定性投资策略的均值-方差问题。我们展示了如何将问题转化为确定性控制问题并加以解决。在特殊情况下，我们研究了确定性和适应性投资策略下均值-方差问题的最优终端财富密度的形式。下一节将讨论更一般的均值-风险问题和其他优化准则。我们表明，对于确定性投资策略，只要它是规律不变且正齐次的，则最优策略对风险度量的选择不敏感。最后，在最后一节中，我们讨论了Lévy过程框架。我们假设风险储备过程遵循复合泊松过程，如Cramér–Lundberg模型中的过程。

2.模型

我们假设风险储备过程，

({Y（Y）}_{t吨})

保险公司的，由以下随机微分方程给出：

d日 {Y（Y）}_{t吨} = α d日 t吨 + β d日 {\tilde{W公司}}_{t吨}

(1)

哪里

\tilde{W公司} = ({\tilde{W公司}}_{t吨})

是布朗运动

α, β

是任意实数常数

β \geq 0

，这是合理的，但从数学上来说没有必要假设

α \geq 0

初始资本由

{Y（Y）}_{0} = {x个}_{0} > 0

风险准备金可以投资于金融市场，由无风险债券通过价格过程提供

({S公司}_{0} (t吨))

，其中

{S公司}_{0} (t吨) : = {e（电子）}^{第页 t吨}

和

第页 \geq 0

表示确定利率。此外，还有d日风险资产和价格过程

({S公司}_{我} (t吨))

资产的我由随机微分方程给出：

d日 {S公司}_{我} (t吨) = {S公司}_{我} (t吨) ({b条}_{我} d日 t吨 + \sum_{j个 = 1}^{k个} σ_{我 j个} d日 {W公司}_{j个} (t吨))

具有

{S公司}_{我} (0) = 1

.过程

W公司 = ({W公司}_{t吨}^{1}, \dots, {W公司}_{t吨}^{k个})

是一个k个-维布朗运动，可能与风险储备过程的驱动布朗运动相关。更准确地说，我们假设

{〈 \tilde{W公司}, {W公司}_{j个} 〉}_{t吨} = ρ_{j个} t吨

对于

j个 = 1, \dots, k个

和

ρ : = {(ρ_{1}, \dots, ρ_{k个})}^{⊤}

。在下面的内容中，我们设置

b条 : = {({b条}_{1}, \dots, {b条}_{d日})}^{⊤} \in {R（右）}^{d日}

和

σ = (σ_{我 j个}) \in {R（右）}_{+}^{d日 \times k个}

.我们假设所有过程都定义在一个公共概率空间上

(Ω, F类, 对)

，那个

({F类}_{t吨})

是所有布朗运动产生的过滤，并且存在最终时间范围

T型 > 0

.

现在允许保险公司将风险准备金投资于金融市场。经典交易策略

π = (π_{t吨})

是一个

({F类}_{t吨})

-自适应随机过程，其中

π_{t吨} = (π_{1} (t吨), \dots, π_{d日} (t吨)) \in {R（右）}^{d日}

和

π_{我} (t吨)

是投资于股票的金额我时间t吨请注意，卖空是允许的，债券投资

(π_{0} (t吨))

由自筹资金条件给出。适应性意味着我们假设决策者能够观察所有布朗运动，从而观察风险储备和金融市场的演变，并能够对其作出反应。给定一个交易策略，π，和符号

1 : = {(1, \dots, 1)}^{⊤} \in {R（右）}^{d日}

，保险公司相应的财富过程遵循随机微分方程：

\begin{matrix} d日 {X（X）}_{t吨}^{π} & = & [第页 {X（X）}_{t吨}^{π} + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨}] d日 t吨 + β d日 {\tilde{W公司}}_{t吨} + π_{t吨}^{⊤} σ d日 {W公司}_{t吨} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} {X（X）}_{0}^{π} & = & {x个}_{0} \end{matrix}

(3)

在下文中，让我们表示

Σ : = σ σ^{⊤}

，我们假设它是正定的。由于

({X（X）}_{t吨}^{π})

由以下人员提供：

d日 {〈 {X（X）}^{π} 〉}_{t吨} = [π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + β^{2} + 2 β π_{t吨}^{⊤} σ ρ] d日 t吨

(4)

过程

({X（X）}_{t吨}^{π})

分布等于：

d日 {X（X）}_{t吨}^{π} = [第页 {X（X）}_{t吨}^{π} + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨}] d日 t吨 + \sqrt{π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + β^{2} + 2 β π_{t吨}^{⊤} σ ρ} d日 {\hat{W公司}}_{t吨}

(5)

对于一般的布朗运动，

\hat{W公司}

.受控马尔可夫过程的生成器

({X（X）}_{t吨}^{π})

是用于

v（v） \in C^{1, 2}

给出人：

{A类}^{π} v（v） (t吨, x个) = {v（v）}_{t吨} + {v（v）}_{x个} (第页 x个 + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π) + \frac{1}{2} {v（v）}_{x个 x个} (π^{⊤} Σ π + β^{2} + 2 β π^{⊤} σ ρ)

(6)

我们称之为投资战略，π，如果方程中的所有积分都是允许的(4)存在和

{E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{T型}^{π})}^{2}] < \infty

首先，我们对形式（对于

μ \in R（右）

)

(M（M） V（V）) \{\begin{matrix} {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] \to 最小值 \\ {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] \geq μ \\ π 是一种可以接受的投资策略 \end{matrix}

在下一节中，我们将解释将此问题转化为经典随机控制问题的标准方法，该问题将在随后的章节中解决。为了获得非平凡问题，我们假设：

μ > {x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型} + ({e（电子）}^{第页 T型} - 1) (\frac{α}{第页} - \frac{β}{第页} {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} σ ρ)

(7)

我们稍后将在末尾的备注中讨论这种情况第5节.

3.MV到普通随机控制问题的转换

问题（MV）可以通过著名的拉格朗日乘子技术解决。本节中的讨论如下[17]第4.6章。让

我_{{x个}_{0}} (π, λ)

为拉格朗日函数，即：

我_{{x个}_{0}} (π, λ) : = {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] + 2 λ (μ - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}])

对于π是一种可接受的投资策略，并且

λ \geq 0 .

像往常一样，

(π^{*}, λ^{*})

具有

λ^{*} \geq 0

称为鞍点拉格朗日函数，

我_{{x个}_{0}} (π, λ)

，如果：

\underset{λ \geq 0}{啜饮} 我_{{x个}_{0}} (π^{*}, λ) = 我_{{x个}_{0}} (π^{*}, λ^{*}) = \underset{π}{inf公司} 我_{{x个}_{0}} (π, λ^{*})

引理1

让

(π^{*}, λ^{*})

成为…的鞍点

我_{{x个}_{0}} (π, λ) .

然后，（MV）的值由下式给出

\underset{π}{inf公司} \underset{λ \geq 0}{啜饮} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) = \underset{λ \geq 0}{啜饮} \underset{π}{inf公司} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) = 我_{{x个}_{0}} (π^{*}, λ^{*})

和

π^{*}

最适合（MV）。

证明:

显然，（MV）的值等于

{inf公司}_{π} {啜饮}_{λ \geq 0} 我_{{x个}_{0}} (π, λ)

和：

\underset{π}{inf公司} \underset{λ \geq 0}{啜饮} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) \geq \underset{λ \geq 0}{啜饮} \underset{π}{inf公司} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) .

对于逆不等式，我们得到：

\begin{matrix} \underset{π}{inf公司} \underset{λ \geq 0}{啜饮} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) & \leq & \underset{λ \geq 0}{啜饮} 我_{{x个}_{0}} (π^{*}, λ) = 我_{{x个}_{0}} (π^{*}, λ^{*}) \\ = & \underset{π}{inf公司} 我_{{x个}_{0}} (π, λ^{*}) \leq \underset{λ \geq 0}{啜饮} \underset{π}{inf公司} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) \end{matrix}

下面是第一句话。此外，从鞍点的定义中，我们得到了所有

λ \geq 0

λ^{*} (μ - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}]) \geq λ (μ - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}])

因此，

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}] \geq μ

然后，我们得出结论

我_{{x个}_{0}} (π^{*}, λ^{*}) = {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}]

、和

π^{*}

最适合（MV）。☐

从引理1中，我们看到寻找鞍点就足够了

(π^{*}, λ^{*})

属于

我_{{x个}_{0}} (π, λ)

不难看出这对

(π^{*}, λ^{*})

是鞍点，如果

λ^{*} > 0

和

π^{*} = π^{*} (λ^{*})

满足：

π^{*} 最适合 对 (λ^{*}) 一 n个 d日 {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}] = μ

在这里，

对 (λ)

表示所谓的拉格朗日问题对于参数

λ > 0

对 (λ) \{\begin{matrix} 我_{{x个}_{0}} (π, λ) \to 最小值 \\ π 是一种可以接受的投资策略 \end{matrix}

请注意，问题

对 (λ)

不是一个标准的随机控制问题。我们嵌入了问题，

对 (λ)

变成了一个可处理的辅助问题，

问 对 (η)

，这是一个随机LQ问题。对于

η \in R（右）

，定义

问 对 (η) \{\begin{matrix} {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{T型}^{π} - η)}^{2}] \to 最小值 \\ π 是一种可接受的投资策略 \end{matrix}

以下结果显示了问题之间的关系

对 (λ)

和

问 对 (η)

.

引理2

如果

π^{*}

最适合

对 (λ)

，然后

π^{*}

最适合

问 对 (η)

具有

η : = {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}] + λ

.

证明:

假设

π^{*}

不适合

问 对 (η)

具有

η : = {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}] + λ

那么，存在一个可接受的π，以便：

{E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{T型}^{π})}^{2}] - 2 η {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] < {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{T型}^{π^{*}})}^{2}] - 2 η {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}]

定义函数

U型 : {R（右）}^{2} \to R（右）

通过

U型 (x个, 年) : = 年 - {x个}^{2} + 2 λ (μ - x个)

然后，U型是凹面的

U型 (x个, 年) = 我_{{x个}_{0}} (π, λ)

对于

x个 : = {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}]

和

年 : = {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{T型}^{π})}^{2}] .

此外，我们设置

{x个}^{*} : = {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π^{*}}]

和

年^{*} : = {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{T型}^{π^{*}})}^{2}] .

凹面U型暗示：

\begin{matrix} U型 (x个, 年) & \leq & U型 ({x个}^{*}, 年^{*}) - 2 (λ + {x个}^{*}) (x个 - {x个}^{*}) + 年 - 年^{*} \\ = & U型 ({x个}^{*}, 年^{*}) - 2 η (x个 - {x个}^{*}) + 年 - 年^{*} < U型 ({x个}^{*}, 年^{*}) \end{matrix}

最后一个不等式是由于我们的假设

年 - 2 η x个 < 年^{*} - 2 η {x个}^{*} .

因此，

π^{*}

不适合

对 (λ)

，导致矛盾。☐

引理2的含义是

对 (λ)

（只要存在）可以通过解决问题找到

问 对 (η)

的确，如果

对 (λ)

有一个最优解，如果

问 对 (η)

是唯一的，它必须是

对 (λ)

.

4.经典适应性投资者的MV解决方案

我们将首先解决问题

问 对 (η)

，这是一个没有运行成本和终端成本的经典随机控制问题

{(x个 - η)}^{2}

让我们表示

V（V） (t吨, x个) : = \underset{π}{inf公司} {E类}_{t吨, x个} [{({X（X）}_{T型}^{π} - η)}^{2}]

像往常一样，

{E类}_{t吨, x个}

是给定的条件期望

{X（X）}_{t吨}^{π} = x个

考虑到财富过程的生成者，相应的汉密尔顿-雅各比-贝尔曼（HJB）方程式如下（注意，略带滥用符号，我们再次命名该行为π):

\begin{matrix} 0 & = & \underset{π \in {R（右）}^{d日}}{inf公司} {{v（v）}_{t吨} + {v（v）}_{x个} (第页 x个 + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π) + \frac{1}{2} {v（v）}_{x个 x个} (π^{⊤} Σ π + β^{2} + 2 β π^{⊤} σ ρ)\} \end{matrix}

(8)

\begin{matrix} {(x个 - η)}^{2} & = & v（v） (T型, x个) \end{matrix}

(9)

其中我们表示为

{v（v）}_{t吨}

和

{v（v）}_{x个}

偏导数。由于这是一个标准的LQ问题，使用Ansatz可以很容易地找到HJB方程的解

v（v） (t吨, x个) = A类 (t吨) + B类 (t吨) x个 + C (t吨) {x个}^{2}

将此形式代入HJB方程中，可得出：

\begin{matrix} 0 & = & \underset{π \in {R（右）}^{d日}}{inf公司} {\dot{A类} (t吨) + \dot{B类} (t吨) x个 + \dot{C} (t吨) {x个}^{2} + (B类 (t吨) + 2 C (t吨) x个) (第页 x个 + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π) \\ + C (t吨) (π^{⊤} Σ π + β^{2} + 2 β π^{⊤} σ ρ)\} \end{matrix}

哪里

\dot{A类} (t吨)

表示导数w.r.t.时间。该方程的最小值由下式给出：

π^{*} (t吨, x个) = - Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) (\frac{B类 (t吨)}{2 C (t吨)} + x个) - β Σ^{- 1} σ ρ

(10)

将最小值点插入HJB方程并收集无需x个，与的条款x个和条款

{x个}^{2}

得出以下常微分方程

B类 (t吨)

,

C (t吨)

和

A类 (t吨)

:

\begin{matrix} \dot{C} (t吨) & = & - C (t吨) (2 第页 - {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} (b条 - 对 1)) \end{matrix}

(11)

\begin{matrix} \dot{B类} (t吨) & = & - B类 (t吨) (第页 - {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} (b条 - 第页 1)) - 2 C (t吨) (α - β {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} σ ρ) \end{matrix}

(12)

\begin{matrix} \dot{A类} (t吨) & = & - B类 (t吨) (α - β {(b条 - 对 1)}^{⊤} Σ^{- 1} σ ρ) - C (t吨) β^{2} (1 - ρ^{⊤} σ^{⊤} Σ^{- 1} σ ρ) + \end{matrix}

(13)

\begin{matrix} + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) \frac{B类 {(t吨)}^{2}}{4 C (t吨)} \end{matrix}

(14)

带边界条件

C (T型) = 1, B类 (T型) = - 2 η, A类 (T型) = η^{2}

.的微分方程

A类 (t吨)

仅涉及

B类 (t吨)

和

C (t吨)

在右侧。由于我们只对最佳投资策略感兴趣，

π^{*}

，有趣的数量是

小时 (t吨) : = \frac{B类 (t吨)}{C (t吨)}

。对于

小时 (t吨)

，我们得到微分方程

\dot{小时} (t吨) = \frac{\dot{B类} (t吨) C (t吨) - B类 (t吨) \dot{C} (t吨)}{C^{2} (t吨)} = 小时 (t吨) 第页 - 2 δ 第页

具有

δ 第页 : = α - β {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} σ ρ

和边界条件

小时 (T型) = - 2 η

解决方案如下所示

小时 (t吨) = 2 δ - 2 (δ + η) {e（电子）}^{- 第页 (T型 - t吨)}

将此表达式插入方程式(10)产量：

π^{*} (t吨, x个) = - Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) (δ - (δ + η) {e（电子）}^{- 第页 (T型 - t吨)} + x个) - β Σ^{- 1} σ ρ

(15)

总之，我们通过标准验证参数获得了以下结果(囊性纤维变性例如[4,18]):

定理3

问题的价值函数

问 对 (η)

由提供

V（V） (t吨, x个) = A类 (t吨) + B类 (t吨) x个 + C (t吨) {x个}^{2}

具有

A类, B类, C

分别为方程（13）、（12）和（11）的解，以及最优投资策略

(π_{t吨}^{*})

通过方程式确定(15)由

π_{t吨}^{*} : = π^{*} (t吨, {X（X）}_{t吨}^{*})

，其中

({X（X）}_{t吨}^{*})

是对应的最优财富过程求解方程(5)带有

π^{*}

.

最后，我们要解决问题（MV）。因此，我们必须计算

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}]

，最优策略下的预期终端财富，

π^{*}

，用于

问 对 (η)

。我们获得：

\begin{matrix} {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{t吨}^{*}] & = & {x个}_{0} + \int_{0}^{t吨} 对 {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{秒}^{*}] + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} E类 [π_{秒}^{*}] d日 秒 \\ = & {x个}_{0} + \int_{0}^{t吨} 第页 {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{秒}^{*}] + δ 第页 - 一 (δ - (δ + η) {e（电子）}^{- 第页 (T型 - 秒)} + {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{秒}^{*}]) d日 秒 \end{matrix}

具有

一 : = {(b条 - 第页 1)}^{⊤} Σ^{- 1} (b条 - 第页 1)

因此，

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}]

通过求解常微分方程得出：

\begin{matrix} \dot{小时} (t吨) & = & 小时 (t吨) (第页 - 一) + δ 第页 - δ 一 + 一 (δ + η) {e（电子）}^{- 第页 (T型 - t吨)} \\ 小时 (0) & = & {x个}_{0} \end{matrix}

我们得到：

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}] = {x个}_{0} {e（电子）}^{- T型 (一 - 第页)} - δ {e（电子）}^{- T型 一} (1 - {e（电子）}^{第页 T型}) + η (1 - {e（电子）}^{- T型 一})

发件人

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}] = μ

、和

η = λ^{*} + μ

我们得出结论：

λ^{*} = \frac{{e（电子）}^{- T型 一}}{1 - {e（电子）}^{- T型 一}} (μ - {x个}_{0} {e（电子）}^{T型 第页} - δ ({e（电子）}^{第页 T型} - 1))

(16)

根据方程式，为正(7). 因此，我们得到以下结果：

定理4

最佳投资策略，

π^{*}

，问题（MV）由方程式确定(15)带有

η = μ + λ^{*}

和

λ^{*}

由方程式给出(16).

5.具有确定性投资策略的投资者的MV问题

在本节中，我们假设投资策略必须预先确定，即该过程，π是

{F类}_{0}

-可测量，这意味着它是确定性的，并且只是时间的函数。因此，保险公司的基金经理必须在

t吨 = 0

时间范围内的投资策略

[0, T型]

而不需要进一步了解过程的演变。这似乎至少有时比自适应策略等式更现实(15). 在[1]其中，作者通过养老基金推动这一策略，而养老基金通常只由依赖时间的投资策略进行管理。因此，我们认为

(M（M） V（V） D类) \{\begin{matrix} {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] \to 最小值 \\ {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] \geq μ \\ π 是一种确定性的投资策略 \end{matrix}

现在，对于一类较小的投资策略来说，这也是同样的问题。我们考虑第一个问题

对 D类 (λ)

:

对 D类 (λ) \{\begin{matrix} {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] + 2 λ (μ - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}]) \to 最小值 \\ π 是一种确定的投资策略 \end{matrix}

在这里，没有必要考虑人为问题，

问 对 (η)

.

对 D类 (λ)

可以转化为确定性控制问题，如下所示。为此，请注意随机微分方程(5)因为财富很容易解决。当我们表示为

{\tilde{X（X）}}_{t吨}^{π} = \frac{{X（X）}_{t吨}^{π}}{{S公司}_{0} (t吨)}

贴现财富过程，然后我们得到：

{\tilde{X（X）}}_{t吨}^{π} = {x个}_{0} + \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- 第页 秒} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒}) d日 秒 + \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- 第页 秒} \sqrt{π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} + β^{2} + 2 β π_{秒}^{⊤} σ ρ} d日 {\hat{W公司}}_{秒}

(17)

对于确定性过程，π，第二个积分显然是一个真鞅，我们得到：

\begin{matrix} {E类}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{t吨}^{π}] & = & {x个}_{0} + \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- 第页 秒} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒}) d日 秒 = : x个 (t吨) \\ {变量}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{t吨}^{π}] & = & \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- 2 第页 秒} (π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} + β^{2} + 2 β π_{秒}^{⊤} σ ρ) d日 秒 = : 年 (t吨) \end{matrix}

请注意

x个 (t吨)

和

年 (t吨)

两者都取决于π因此

对 D类 (λ)

可以写为：

\begin{matrix} {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] + 2 λ (μ - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}]) & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} {变量}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}] + 2 λ (μ - {e（电子）}^{对 T型} {E类}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}]) \\ = & {e（电子）}^{2 第页 T型} 年 (T型) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} x个 (T型)) \end{matrix}

那么确定性控制问题是：

对 D类 (λ) \{\begin{matrix} {e（电子）}^{2 第页 T型} 年 (T型) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} x个 (T型)) \to 最小值 \\ \dot{x个} (t吨) = {e（电子）}^{- 第页 t吨} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨}) \\ \dot{年} (t吨) = {e（电子）}^{- 2 第页 t吨} (π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + β^{2} + 2 β π_{t吨}^{⊤} σ ρ) \\ π_{t吨} \in {R（右）}^{d日} \end{matrix}

这个问题的价值函数是：

V（V） (t吨, x个, 年) : = \underset{π}{inf公司} \{{e（电子）}^{2 第页 T型} 年 (T型) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} x个 (T型))\}

显然，相关的HJB方程是：

\begin{matrix} 0 & = & \underset{π \in {R（右）}^{d日}}{inf公司} {{v（v）}_{t吨} + {v（v）}_{x个} {e（电子）}^{- 第页 t吨} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π) + {v（v）}_{年} {e（电子）}^{- 2 第页 t吨} (π^{⊤} Σ π + β^{2} + 2 β π^{⊤} σ ρ)\} \end{matrix}

(18)

\begin{matrix} v（v） (T型, x个, 年) & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} 年 + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} x个) \end{matrix}

(19)

为了找到解决方案，我们现在考虑Ansatz

v（v） (t吨, x个, 年) = {e（电子）}^{2 第页 T型} (年 + 克 (t吨)) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} (x个 + （f） (t吨)))

具有

（f） (T型) = 克 (T型) = 0

因此，我们得到：

\begin{matrix} {v（v）}_{t吨} & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} \dot{克} (t吨) - 2 λ {e（电子）}^{第页 T型} \dot{（f）} (t吨) \\ {v（v）}_{x个} & = & - 2 λ {e（电子）}^{第页 T型} \\ {v（v）}_{年} & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} \end{matrix}

方程的极小值(18)由以下因素决定：

\begin{matrix} π_{t吨}^{*} & = & - Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) \frac{{v（v）}_{x个}}{{v（v）}_{年}} \frac{{e（电子）}^{第页 t吨}}{2} - β Σ^{- 1} σ ρ \end{matrix}

\begin{matrix} = & Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) λ {e（电子）}^{- 第页 (T型 - t吨)} - β Σ^{- 1} σ ρ \end{matrix}

(20)

将其插入HJB方程(18)产量：

\begin{matrix} 0 & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} \dot{克} (t吨) - 2 λ {e（电子）}^{第页 T型} \dot{（f）} (t吨) - 2 λ {e（电子）}^{第页 T型} {\dot{x个}}^{*} (t吨) + {e（电子）}^{2 第页 T型} {\dot{年}}^{*} (t吨) . \end{matrix}

注意，当

\dot{（f）} (t吨) = - {\dot{x个}}^{*} (t吨)

和

\dot{克} (t吨) = - {\dot{年}}^{*} (t吨)

; 因此：

\begin{matrix} （f） (t吨) & = & \int_{t吨}^{T型} {e（电子）}^{- 第页 秒} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒}^{*}) d日 秒 \end{matrix}

(21)

\begin{matrix} 克 (t吨) & = & \int_{t吨}^{T型} {e（电子）}^{- 2 第页 秒} ({(π_{秒}^{*})}^{⊤} Σ π_{秒}^{*} + β^{2} + 2 β {(π_{秒}^{*})}^{⊤} σ ρ) d日 秒 \end{matrix}

(22)

注意，在控制之下

π^{*}

和相应的状态轨迹

{x个}^{*}, 年^{*}

，它认为

{x个}^{*} (t吨) + （f） (t吨) = {E类}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{*}]

和

年^{*} (t吨) + 克 (t吨) = {变量}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{*}]

对所有人来说

t吨 \in [0, T型]

。我们在以下定理中总结了我们的结果。验证很简单。

定理5

问题的价值函数

对 D类 (λ)

由提供

V（V） (t吨, x个, 年) = {e（电子）}^{2 第页 T型} (年 + 克 (t吨)) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} (x个 + （f） (t吨)))

具有

（f）, 克

分别为方程（21）和（22）的解。最佳投资策略

(π_{t吨}^{*})

由公式给出(20).

最后，我们解决了问题（MVD）。首先要注意：

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}] = {e（电子）}^{第页 T型} {x个}_{0} + δ ({e（电子）}^{第页 T型} - 1) + 一 λ T型

发件人

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}] = μ

，我们得到：

λ^{*} = {(一 T型)}^{- 1} (μ - {e（电子）}^{对 T型} {x个}_{0} - δ ({e（电子）}^{第页 T型} - 1))

(23)

根据条件方程式，为正(7). 因此，我们得到以下结果：

定理6

最佳投资策略，

π^{*}

，因为问题（MVD）由方程式确定(20)带有

λ^{*}

由方程式给出(23).

备注：在这种情况下，也很容易确定具有最小可实现方差的策略。如果金融市场与风险准备金不完全相关，则此最小方差不为零。对于任意确定性投资策略，我们得到：

\begin{matrix} {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} \int_{0}^{T型} {e（电子）}^{- 2 第页 秒} (π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} + β^{2} + 2 β π_{秒}^{⊤} σ ρ) d日 秒 \end{matrix}

在中最小化此表达式

π_{秒}

产生最小方差投资策略：

{\hat{π}}_{t吨} \equiv - β Σ^{- 1} σ ρ

具有相应的最小方差

{变量}_{{x个}_{0}} [{\hat{X（X）}}_{T型}] = \frac{1}{2 第页} β^{2} (1 - ρ^{⊤} σ^{⊤} Σ^{- 1} σ ρ) ({e（电子）}^{2 第页 T型} - 1)

和期望：

{E类}_{{x个}_{0}} [{\hat{X（X）}}_{T型}] = {x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型} + δ ({e（电子）}^{第页 T型} - 1)

因此，如果

μ \leq {x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型} + δ ({e（电子）}^{第页 T型} - 1)

，问题（MVD）是微不足道的，因为这样，

\hat{π}

满足约束条件

{E类}_{{x个}_{0}} [{\hat{X（X）}}_{T型}] \geq μ

并产生最小的可能方差。因此，条件方程式(7)是合理的。

备注：当然，对于给定的预期回报μ当我们最小化较小的确定性投资策略集上的方差时，方差将不小于经典随机情况下的方差。事实上，当我们假设

α = β = 0

也就是说，没有额外的保险业务

d日 = k个 = 1

，我们获得了（MVD）和（MV）的最优终端财富密度。发件人第5节，我们得出结论，对于（MVD），最优终端财富满足：

{X（X）}_{T型}^{*} \sim N个 (μ, \frac{{(μ - {x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型})}^{2}}{一 T型})

对于问题（MV），可通过拉格朗日方法导出最优终端财富，并通过（cp.定理3.3 in[14]):

{X（X）}_{T型}^{*} = \frac{1}{{e（电子）}^{一 T型} - 1} (μ {e（电子）}^{一 T型} - {x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型} + ({x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型} - μ) 我_{T型})

哪里

我_{T型}

是风险中性密度，由以下公式得出：

我_{T型} = 经验 (- \frac{1}{2} 一 T型 - \sqrt{一} {W公司}_{T型})

在图1，我们为参数绘制了（MVD）和（MV）的最佳终端财富的两个密度

{x个}_{0} = 10, μ = 12, 第页 = 0.02, b条 = 0.15, σ = 0.2

和

T型 = 1

.

图1。（MVD）和（MV）的最佳终端财富密度。

显然，在这个时间范围内(

T型 = 1

)，这两种策略的表现有很大差异。这里的确定性策略似乎只对小时间范围有意义。

6.更一般的平均风险问题和其他优化标准

在本节中，我们将简要讨论具有确定性投资策略的投资问题的其他一些最优性准则。当然，当采用自适应投资策略的经典随机控制问题的解产生一个最优策略时，该策略本身就是确定性的，那么该策略在较小的一类确定性策略中也是最优的。当我们将破产概率或预期指数效用作为目标函数时，可能会出现这种情况。我们在下面讨论这些情况。然而，我们在本节开始时观察到，在均值-方差框架中，我们的最优确定性投资策略不仅是为了最小化方差的最优加权平均值。

6.1. 更一般的平均风险问题

当然，方差或标准差只是衡量风险的一种方法。假设现在ϱ是一个任意的、法律不变的和正的同质风险度量，即。，

ϱ (λ X（X）) = λ ϱ (X（X）)

对所有人来说

λ > 0

。我们现在声称问题

(M（M） R（右） D类) \{\begin{matrix} ϱ ({X（X）}_{T型}^{π} - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}]) \to 最小值 \\ {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] \geq μ \\ π 是一种确定的投资策略 \end{matrix}

具有与（MVD）相同的解决方案，这是在使用标准偏差时获得的

ϱ (X（X）) : = \sqrt{变量 [X（X）]}

.

定理7

MRD的最优投资策略与MVD的最佳投资策略一致。

证明:

首先要注意，在这两种情况下，因为

{变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] = {e（电子）}^{2 第页 T型} {变量}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}]

事实上

ϱ ({X（X）}_{T型}^{π} - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}]) = {e（电子）}^{第页 T型} ϱ ({\tilde{X（X）}}_{T型}^{π} - {E类}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}])

，我们可以使用

{X（X）}_{T型}^{π}

替换为

{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}

和侧面约束，

{E类}_{{x个}_{0}} [{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}] \geq μ {e（电子）}^{- 第页 T型} .

现在，根据方程式(17)我们看到，对于确定性投资策略，

{\tilde{X（X）}}_{T型}^{π}

具有正态分布，

N个 (米_{π}, 秒_{π}^{2})

，带参数：

\begin{matrix} 米_{π} & = & {x个}_{0} + \int_{0}^{T型} {e（电子）}^{- 第页 秒} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒}) d日 秒 \\ 秒_{π}^{2} & = & \int_{0}^{T型} {e（电子）}^{- 2 第页 秒} (π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} + β^{2} + 2 β ρ π_{秒}^{⊤} σ) d日 秒 \end{matrix}

因此，在分销中

{X（X）}_{T型}^{π} \overset{d日}{=} 米_{π} + 秒_{π} Z轴

，其中Z轴是标准正态随机变量。因此，优化问题（MRD）可以写成：

(M（M） R（右） D类) \{\begin{matrix} ϱ (秒_{π} Z轴) \to 最小值 \\ 米_{π} \geq μ {e（电子）}^{- 第页 T型} \\ π 是一种确定的投资策略 \end{matrix}

自ϱ是正齐次的，我们得到

ϱ (秒_{π} Z轴) = 秒_{π} ϱ (Z轴)

，这意味着我们必须将

{X（X）}_{T型}^{π}

因此，声明如下。☐

因此，我们得到的最优投资策略对于风险度量的选择是非常稳健的。事实上，它并不取决于精确的风险度量，只要我们同意采用一个不变的正齐次律。实际上，结果对函数也是有效的，ϱ，它是任何阶的正齐次。

6.2. 终端财富指数效用最大化

在本小节中，我们考虑最大化

{E类}_{{x个}_{0}} [- \frac{1}{γ} {e（电子）}^{- γ {X（X）}_{T型}^{π}}]

具有

γ > 0

。对于经典随机情况和只有一只股票，这是在[2]. 我们现在在确定性策略的框架中直接考虑多资产模型，即我们考虑：

\{\begin{matrix} {E类}_{{x个}_{0}} [- \frac{1}{γ} {e（电子）}^{- γ {X（X）}_{T型}^{π}}] \to 最大值 \\ π 是一种确定的投资策略 \end{matrix}

事实证明，解决这个问题很容易。我们已经知道确定性π那个

{X（X）}_{T型}^{π}

具有正态分布

N个 (米_{π}, 秒_{π}^{2})

带参数：

\begin{matrix} 米_{π} & = & {e（电子）}^{第页 T型} ({x个}_{0} + \int_{0}^{T型} {e（电子）}^{- 第页 秒} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒}) d日 秒) \\ 秒_{π}^{2} & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} (\int_{0}^{T型} {e（电子）}^{- 2 对 秒} (π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} + β^{2} + 2 β ρ π_{秒}^{⊤} σ) d日 秒) \end{matrix}

因此，我们可以写

{X（X）}_{T型}^{π} = 米_{π} + 秒_{π} Z轴

，目标函数因此减少为：

{E类}_{{x个}_{0}} [- \frac{1}{γ} {e（电子）}^{- γ {X（X）}_{T型}^{π}}] = - \frac{1}{γ} {e（电子）}^{- γ 米_{π}} {E类}_{{x个}_{0}} [{e（电子）}^{- γ 秒_{π} Z轴}] = - \frac{1}{γ} {e（电子）}^{- γ 米_{π} + \frac{1}{2} γ^{2} 秒_{π}^{2}}

显然，这个问题相当于最小化

- \frac{2}{γ} 米_{π} + 秒_{π}^{2}

，我们最终会遇到以下确定性控制问题：

\{\begin{matrix} {e（电子）}^{2 第页 T型} 年 (T型) - \frac{2}{γ} {e（电子）}^{第页 T型} x个 (T型) \to 最小值 \\ \dot{x个} (t吨) = {e（电子）}^{- 第页 t吨} (α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨}) \\ \dot{年} (t吨) = {e（电子）}^{- 2 第页 t吨} (π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + β^{2} + 2 β π_{t吨}^{⊤} σ ρ) \\ π_{t吨} \in {R（右）}^{d日} \end{matrix}

然而，这等同于问题

对 D类 (λ)

具有

λ = \frac{1}{γ}

，我们从方程式中得知(20)最优投资策略如下：

π_{t吨}^{*} = Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) \frac{1}{γ} {e（电子）}^{- 第页 (T型 - t吨)} - β Σ^{- 1} σ ρ

因此，根据方程式(23)对于指数效用函数问题，最优均值-方差策略和最优策略之间存在一对一的关系。有关预期效用和均值方差之间关系的早期讨论，请参见，例如[19,20]. 注意，可以看出，我们在这里计算的最优投资策略在更大的适应策略类别中也是最优的。

6.3. 最小化破产概率

精算学中另一个流行的“风险度量”是受控风险准备金的破产概率。当我们考虑

({F类}_{t吨})

-经过调整的投资策略，很容易找到使过程破产概率最小的投资策略方程(5). 根据[21]，最优反馈函数，

π^{*} (x个)

，是通过使过程的平均值与方差之比最大化而获得的，即：

\frac{第页 x个 + α + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π}{π^{⊤} Σ π + β^{2} + 2 β π^{⊤} σ ρ}

显然，当

第页 = 0

，然后是最大化，

π^{*}

，独立于x个和确定性。如果进一步

d日 = k个 = 1

和

α = 0

，然后

π^{*} = \frac{β}{σ}

.

7.Lévy过程的问题

保险公司风险准备金流程的标准模型是所谓的Cramér–Lundberg模型。它假设风险准备金过程遵循一个Lévy过程，即保费收入过程与迄今已支付的索赔之间的差额。更准确地说，通常假设：

{Y（Y）}_{t吨} = {x个}_{0} + c（c） t吨 - \sum_{k个 = 1}^{{N个}_{t吨}} {U型}_{k个}

(24)

哪里

c（c） > 0

是保费收入率，

N个 = ({N个}_{t吨})

是带参数的泊松过程

ν > 0

计算索赔数量，以及

{U型}_{1}, {U型}_{2}, \dots

是独立且同分布的随机变量，代表索赔金额。我们表示

米 : = E类 U型

和

米_{2} : = E类 {U型}^{2}

.方程式中的过程(1)可以看作是过程方程的扩散近似(24)当索赔金额较小且频繁时。我们在中考虑的均值-方差问题第4节和第5节可以按照相同的思路在Lévy框架中处理。经典问题（MV）的解可以从[10]. 在这里，我们集中讨论确定性投资策略的问题（MVD）。我们假设：

μ > {x个}_{0} {e（电子）}^{第页 T型} + ({e（电子）}^{第页 T型} - 1) \frac{c（c） - ν 米}{第页}

(25)

为了有一个优雅的符号，我们写

({Y（Y）}_{t吨})

借助泊松随机测度，

M（M） ([0, t吨] \times B类), t吨 \geq 0, B类 \in B类 ({R（右）}_{+})

，它是集合中取值的所有索赔的总和B类及时更新t吨。因此，我们可以写：

{Y（Y）}_{t吨} = {x个}_{0} + c（c） t吨 - \int_{[0, t吨]} \int_{{R（右）}_{+}} 年 M（M） (d日 秒, d日 年)

(26)

为了简单起见，我们将金融市场与前面的部分保持一致，但也可以考虑跳跃式增长。我们再次假设可接受的交易策略

π = (π_{t吨})

是

{F类}_{0}

-可测量。保险公司的相应财富遵循随机微分方程：

\begin{matrix} d日 {X（X）}_{t吨}^{π} & = & [第页 {X（X）}_{t吨}^{π} + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨}] d日 t吨 + d日 {Y（Y）}_{t吨} + π_{t吨}^{⊤} σ d日 {W公司}_{t吨} \end{matrix}

(27)

\begin{matrix} {X（X）}_{0}^{π} & = & {x个}_{0} \end{matrix}

我们再次考虑第5节.如中所示第5节，我们从问题开始

对 D类 (λ)

：接下来，我们计算

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{t吨}^{π}]

为此，请注意

{Y（Y）}_{t吨} - (c（c） - ν 米) t吨

是鞅。因此，我们得到：

\begin{matrix} {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{t吨}^{π}] & = & {x个}_{0} + \int_{0}^{t吨} 第页 {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{秒}^{π}] + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒} d日 秒 + (c（c） - ν 米) t吨 \end{matrix}

这是一个常微分方程

（f） (t吨) : = {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{t吨}^{π}]

形式：

\dot{（f）} (t吨) = 第页 （f） (t吨) + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨} + c（c） - ν 米

带边界条件

（f） (0) = {x个}_{0}

解决方案如下：

（f） (t吨) {e（电子）}^{- 第页 t吨} = {x个}_{0} + \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- 第页 秒} ({(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒} + c（c） - ν 米) d日 秒 = : x个 (t吨)

为了计算方差，我们需要

{X（X）}_{t吨}^{π}

。使用部分积分，我们得到：

\begin{matrix} {({X（X）}_{t吨}^{π})}^{2} & = & {x个}_{0}^{2} + 2 \int_{0}^{t吨} {X（X）}_{秒 -}^{π} d日 {X（X）}_{秒}^{π} + [{X（X）}^{π}, {X（X）}^{π}] (t吨) \\ = & {x个}_{0}^{2} + 2 \int_{0}^{t吨} 第页 {({X（X）}_{秒 -}^{π})}^{2} + {X（X）}_{秒 -}^{π} {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒} d日 秒 + 2 \int_{0}^{t吨} {X（X）}_{秒 -}^{π} π_{秒}^{⊤} σ d日 {W公司}_{秒} \\ + 2 \int_{0}^{t吨} c（c） {X（X）}_{秒 -}^{π} d日 秒 - \int_{0}^{t吨} \int_{{R（右）}_{+}} {X（X）}_{秒 -}^{π} 年 M（M） (d日 秒, d日 年) + \int_{0}^{t吨} π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} d日 秒 + \int_{0}^{t吨} \int_{{R（右）}_{+}} 年^{2} M（M） (d日 秒, d日 年) \end{matrix}

取期望值得出：

\begin{matrix} {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{t吨}^{π})}^{2}] & = & {x个}_{0}^{2} + 2 \int_{0}^{t吨} [第页 {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{秒 -}^{π})}^{2}] + {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{秒 -}^{π}] ({(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒} + c（c）)] d日 秒 \\ + \int_{0}^{t吨} π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} d日 秒 + 米_{2} ν t吨 - 2 \int_{0}^{t吨} {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{秒 -}^{π}] ν 米 d日 秒 \end{matrix}

这是一个关于

克 (t吨) : = {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{t吨}^{π})}^{2}]

表单的

\dot{克} (t吨) = 2 第页 克 (t吨) + 2 （f） (t吨) ({(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨} + c（c） - ν 米) + π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + 米_{2} ν

边界条件由

克 (0) = {x个}_{0}^{2}

当我们将方差定义为时间的函数时

小时 (t吨) : = {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{t吨}^{π}] = {E类}_{{x个}_{0}} [{({X（X）}_{t吨}^{π})}^{2}] - {({E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{t吨}^{π}])}^{2} = 克 (t吨) - {（f）}^{2} (t吨)

，如下所示：

\begin{matrix} \dot{小时} (t吨) & = & \dot{克} (t吨) - 2 （f） (t吨) \dot{（f）} (t吨) = 2 第页 小时 (t吨) + π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + 米_{2} ν \end{matrix}

带边界条件

小时 (0) = 0

因此，我们得到：

小时 (t吨) {e（电子）}^{- 2 第页 t吨} = \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- 2 对 秒} (π_{秒}^{⊤} Σ π_{秒} + 米_{2} ν) d日 秒 = : 年 (t吨)

的目标函数

对 D类 (λ)

可以写为：

\begin{matrix} {变量}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}] + 2 λ (μ - {E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{π}]) & = & {e（电子）}^{2 第页 T型} 年 (T型) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} x个 (T型)) \end{matrix}

我们得到了确定性控制问题：

对 D类 (λ) \{\begin{matrix} {e（电子）}^{2 第页 T型} 年 (T型) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} x个 (T型)) \to 最小值 \\ \dot{x个} (t吨) = {e（电子）}^{- 第页 t吨} (c（c） - ν 米 + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{t吨}) \\ \dot{年} (t吨) = {e（电子）}^{- 2 第页 t吨} (π_{t吨}^{⊤} Σ π_{t吨} + 米_{2} ν) \\ π_{t吨} \in {R（右）}^{d日} \end{matrix}

与中的相同第5节，我们必须设置的位置

ρ : = {(0, \dots, 0)}^{⊤}

并更换α通过

c（c） - ν 米

和

β^{2}

通过

米_{2} ν

。我们再次使用Ansatz：

v（v） (t吨, x个, 年) = {e（电子）}^{2 第页 T型} (年 + 克 (t吨)) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} (x个 + （f） (t吨)))

(28)

HJB方程的极小值(18)由以下因素决定：

\begin{matrix} π_{t吨}^{*} & = & Σ^{- 1} (b条 - 第页 1) λ {e（电子）}^{- 对 (T型 - t吨)} \end{matrix}

(29)

值函数由方程给出(28)具有：

\begin{matrix} （f） (t吨) & = & \int_{t吨}^{T型} {e（电子）}^{- 第页 秒} (c（c） - ν 米 + {(b条 - 第页 1)}^{⊤} π_{秒}^{*}) d日 秒 \end{matrix}

(30)

\begin{matrix} 克 (t吨) & = & \int_{t吨}^{T型} {e（电子）}^{- 2 第页 秒} ({(π_{秒}^{*})}^{⊤} Σ π_{秒}^{*} + 米_{2} ν) d日 秒 \end{matrix}

(31)

我们在下面的定理中总结了我们的结果。验证很简单。

定理8

问题的价值函数

对 D类 (λ)

由提供

V（V） (t吨, x个, 年) = {e（电子）}^{2 第页 T型} (年 + 克 (t吨)) + 2 λ (μ - {e（电子）}^{第页 T型} (x个 + （f） (t吨)))

具有

（f）, 克

分别为方程（30）和（31）的解。最佳投资策略

(π_{t吨}^{*})

由方程式给出(29).

最后，我们解决了问题（MVD）。请注意：

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}] = {e（电子）}^{第页 T型} {x个}_{0} + 一 λ T型 + \frac{c（c） - ν 米}{第页} ({e（电子）}^{第页 T型} - 1)

发件人

{E类}_{{x个}_{0}} [{X（X）}_{T型}^{*}] = μ

，我们得到：

λ^{*} = {(一 T型)}^{- 1} (μ - {e（电子）}^{第页 T型} {x个}_{0} + \frac{c（c） - ν 米}{第页} (1 - {e（电子）}^{第页 T型}))

(32)

根据条件方程式，为正(25). 因此，我们得到以下结果：

定理9

最佳投资策略，

π^{*}

，因为问题（MVD）由方程式确定(29)带有

λ^{*}

由方程式给出(32).

因此，我们看到最优控制只取决于风险准备金的漂移（这里，

c（c） - ν 米

)过程是否有跳跃并不重要。

8.结论

我们已经证明，具有确定性投资策略的随机控制问题会导致确定性控制问题，这些问题通常更容易解决。特别是，在布朗环境下，终端财富在任何可容许的确定性投资策略下都具有正态分布。这导致了一些非常有利的特性，例如最优控制对一类目标函数不敏感。此外，这些问题之间有一些有趣的联系。例如，均值-方差问题的最优确定性投资策略对应于具有指数效用的保险公司的最优投资策略。最后，我们还表明，当前方法在Lévy过程的设置中有效。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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保险公司的最优确定性投资策略

摘要

1.简介

2.模型

3.MV到普通随机控制问题的转换

4.经典适应性投资者的MV解决方案

5.具有确定性投资策略的投资者的MV问题

6.更一般的平均风险问题和其他优化标准

6.1. 更一般的平均风险问题

6.2. 终端财富指数效用最大化

6.3. 最小化破产概率

7.Lévy过程的问题

8.结论

利益冲突

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