Multi-Objective Topology Optimization of a Compliant Parallel Planar Mechanism under Combined Load Cases and Constraints

Wang, Gao; Zhu, Dachang; Liu, Ning; Zhao, Wei

doi:10.3390/mi8090279

开放式访问第条

组合载荷和约束下柔性并联平面机构的多目标拓扑优化

¹

暨南大学信息科学与技术学院，广州510632

²

广州大学机电工程学院，广州510006

^三

中国教育部灾害预测与控制工程重点实验室，暨南大学，广州510632

^*

应向其发送信件的作者。

微机器 2017,8(9), 279;https://doi.org/10.3390/mi8090279

收到的提交文件：2017年7月1日/修订日期：2017年8月29日/接受日期：2017年9月5日/发布日期：2017年9月14日

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版本注释

摘要

:

本文主要研究柔性并联机构（CPM）平面连续体结构的一种新型构型设计及其平面运动的振动相干频率特性分析，它可以抑制随机振动对超精密定位和制造设备的影响，提高机构的固有频率响应。首先，利用运动微分雅可比矩阵构造了完全CPM与传统同构并联机构之间的向量映射同构，以机构静刚度和平均振动相干频率的折衷规划为设计变量，以柔度最小化为目标函数，建立了拓扑优化的数学模型。考虑体积分数的约束，利用固体各向同性惩罚材料（SIMP）技术对基于棱柱-回转-回转（3-PRR）平面纳米定位连续体结构的多目标微位移机构拓扑结构进行了优化，它结合了优化算法的准则和向量同构映射方法。研究了连续体结构微位移机构的多目标拓扑优化问题，并通过不同初始拒绝率的优化提出了优化方法。仿真结果表明，连续体结构的刚度和减振性能得到了改善，而3-PRR微位移平面全CPM和同构原型机构的微分运动学特性定位保持不变。模态分析也为微位移机构的尺寸设计及其最佳模态参数提供了合理的结构。在优化迭代中，减少了连续体结构频率响应中的交叉振荡，并快速收敛。基于锆钛酸铅（PZT）驱动器的平面全柔性微位移连续结构的实验验证了优化机构的性能。

关键词：

多目标拓扑优化;微分向量同构映射;3-PRR平面微位移;SIMP公司

1.简介

如今，定位机械部件在微纳应用中变得非常重要，如细胞操作、外科手术、航空航天、微流体、光学系统、微加工和微组装等[1]. 作为微/纳米制造技术的重要组成部分，需要具有亚微米级受控运动的高精度定位装置。所需的运动由文献中称为“挠曲”的这些柔性关节的偏转提供，由挠曲组成的机构代替刚性关节称为“柔顺机构”[2]. 柔顺并联机构/模块（CPM）通过其柔顺构件的偏转传递运动/力，具有传统CPM的特点。一方面，CPM具有许多优点，可应用于高精度应用，提供高分辨率、无摩擦、平滑和连续的运动。另一方面，CPM允许小位移高达0.01μm，具有亚微米精度，由于其对称结构，其运动对温度变化不敏感，与使用传统刚性接头的高精度机构相比，CPM重量减轻，结构紧凑，制造成本更低。

并联运动结构由于其零侧隙、无需润滑、减少磨损、精度高、结构紧凑、整体结构等优点，大多应用于微定位阶段，但其工作空间有限、灵活性、非线性运动、，正运动学计算困难[三]. 幸运的是，基于柔性的柔顺机构可以避免这些缺点，因为它们具有微范围运动。此外，由于弯曲位移较小，运动学在工作空间范围内可以假设为线性。由于与刚性机构相比，关节中没有齿隙或摩擦问题，因此这些结构的可重复性可以通过较少的弯曲来消除。文献中，各种类型的CPM已用于顺应性定位阶段。这些机构基于刚体平行原型。许多平面并联柔顺机构都是基于三角级设计的，对于柔顺机构，使用了最常见的运动结构3-RRR[4]. 三个连杆通过三个旋转接头相互连接，驱动三角级。末端执行器沿x个-年方向和绕z（z）方向。这种平行运动结构放大了执行器的运动。将旋转关节替换为柔性铰链，柔性铰链是根据所需的平行运动性能设计的。另一个三角形平台具有3-PRR运动学结构，由1个棱柱关节和2个旋转关节组成，用于[5]作为CPM。

设计CPM有三种主要方法：（a）Howell和Midha提出的伪刚体模型综合方法[6,7]; （b）连续结构优化方法[8,9]; 和（c）创新设计方法，如基于约束的设计方法、构建块方法[10,11]基于螺旋理论的方法和自由约束拓扑方法[12]. 此外，还总结了求解力-位移方程的两种主要方法：（a）基于微分方程的方法；（b）能量法，如卡斯蒂利亚诺定理和虚功原理。对于柔顺机构，由于尺寸、载荷和运动范围等复杂问题，没有明显的边界来识别自由度（DOF）或约束度（DOC）。柔顺机构的自由度，特别是平面柔顺机构，是使用伪刚体模型概念确定的。[13]提出了一种基于特征螺旋的方法来确定柔顺机构的自由度或柔顺性。此外，基于约束的设计方法、基于螺旋理论的方法和自由约束拓扑方法（FACT）[14,15]建议用于分析柔顺机构的DOF和/或DOC。尽管CPM具有用作高精度应用的微定位平台的巨大优势，但它们对制造公差和装配误差非常敏感。在定量分析柔顺机构的自由度时，很难用柔顺机构实现空间多自由度微纳定位操作。针对这一问题，一些研究人员设计了一种新型的完全柔顺并联机构，用刚性铰链代替柔性铰链，将传统的并联空间多自由度机构特性集成到柔顺机构中[16,17]. 然而，设计往往依赖设计者的经验，这将导致柔性铰链配置的多样性，即只有铰链是柔性的，而其他部件仍然是刚性的。刚性-柔性混合模式的运动学和动力学分析变得更加复杂，柔顺机构的整体刚度不足。因此，很难有效抑制环境随机振动的干扰，保证精密定位和加工精度。此外，还难以满足整体刚度和精度要求[4]。

郝和孔[5,18,19]对基于空间CPM的多波束模块进行了非线性分析，并提出了一种基于归一化的方法来分析这类空间兼容并行模块（CPM）的移动性，以解决运动/载荷的尺寸不均匀问题。归一化策略（无量纲/同质度量）可以统一柔顺机构的尺寸，并用于柔顺/弯曲机构的建模和设计。Zhang等人[20]研究了具有三个柔性中间连杆的3-PRR平面并联机器人的弹性运动与刚体运动的耦合特性，以消除多余的柔性振动，所设计的轻量化机器人具有快速移动的能力，但缺乏实用性。

在用于结构创新设计的分析方法中，进化结构优化（ESO）方法因其简单且易于在通用有限元软件中实现而成为一个很好的选择。谢和史蒂文在有限元分析方法中提出了逐步去除多余材料的概念，以实现优化设计[21]. 它还被证明适用于多载荷工况下的更实际问题或优化结构频率。为了获得更好的结果，开发了一种处理多工况ESO刚度约束和修正拒绝比问题的程序。研究还发现，单元尺寸对最小应力和体积减小的历史也有显著影响。优化后的结构拓扑主要由单元尺寸控制。初始抑制比和进化速率的选择对结构拓扑也有显著影响。提出了一些基于SIMP的改进ESO方法，以减少进化步长，提高灵敏度分析的准确性。采用SIMP方法描述单元相对密度与刚度的关系，以单元相对密度为设计变量，以平均柔度为目标函数，防止棋盘格现象，消除网格独立性[22,23]. 该策略首先通过消除低应力材料获得结构拓扑的粗略设计，然后计算刚度和频率，最后分析局部应力。

研究表明，使用优化算法准则和向量同构映射方法会在各种拓扑和约束条件下导致多样性结果变化。在优化迭代中，将相对密度小于或等于拒绝率的元素从设计域中删除，并将所有剩余元素输入下一次迭代。基于中的工作[24]，Wang和Zhu提出了3-RRR型CPM用于位移和[25]还提出了一种对设计变量任意变化的静态位移进行灵敏度再分析的新方法，这是本研究的关键一步。这种CPM具有良好的特性，例如运动静态解耦和扩大运动范围。这种连续体结构中在拓扑约束下优化的对应3-PRR机构将获得更多的实用价值。

基于上述方法，本文进一步研究了一些特殊载荷工况下的连续体结构，这些结构无法顺利优化，或者当材料去除量过度增加时，该连续体的后期优化突然终止。在优化迭代中，将相对密度小于或等于拒绝比的元素从设计域中删除，并将所有剩余元素保留到下一次迭代中。它可以及时灵活地调整低效率材料去除的标准。该程序基于系统和逐步移除与结构最大应力相比应力较低的构件。然而，该方法既不能直接反映运动学和动力学性能，也不能有效满足高精度定位要求。幸运的是，它可以使用线切割电火花加工（WEDM）将所有柔性铰链集成到一个连续体结构中进行加工。从而获得综合CPM[26]. 在集成CPM中，如何配置柔性铰链仍然是一个问题。为了获得高刚度、机构唯一性和多自由度的运动学性能，有必要提出一种连续体结构中CPM的新设计方法。新CPMs综合的实用方法使用拓扑优化理论和模态参数，包括边界约束和载荷工况条件，以及最大化积分刚度。针对单目标优化的柔性最小化问题进行了几项研究[27,28,29]采用柔顺机构综合方法。然而，忽略了柔性和振动相干频率之间的耦合，所设计的机构结构不能主动抑制机械操作对精度的影响，因为在载荷工况下存在随机振动。根据高精度微/纳米定位位移工作台的运动特点，提出了一种新的全CPM平面机械形式综合方法。基于并联机构原型中空间矢量约束的输出准则，提出了一种多目标优化函数，以最大化肢体刚度和振动相干频率。作为蠕动运动的例子，考虑了3-PRR平面全柔顺精密定位微位移工作台。将矢量运动的雅可比矩阵建立为输出等效准则下的多目标拓扑优化，并使用连续SIMP方法建立了全CPM拓扑优化模型[24,30]有序多材料SIMP插值可以解决多材料拓扑优化问题[31]. 对CPM运动学特性的分析表明，主要问题是合理分配折衷规划法的权重和采用平均固有频率法。得到了静刚度、应力分布、前6阶振型-相干频率及其模态参数。实验结果表明，该方法能够获得理想的拓扑机构，满足定位位移精度要求。

本文的结构如下。通过向量同构映射构造雅可比方程的基本理论描述如下第2节。3-PRR平面全CPM的多目标拓扑优化模型如所示第3节.使用Hyperworks进行多目标优化和分析^®（Altair Engineering，Inc.，美国密歇根州特洛伊）和Optistruct^®（Altair Engineering，Inc.）分别在第4节。一些实验结果列于第5节结论见第6节.

2.利用向量同构映射构造雅可比方程

2.1. 常规3-PRR平面并联机械手

传统的3-PRR平面CPM包括一个移动平台、一个固定平台和三个与之相连的肢体。每个翼片由1对棱柱（P）和2对回转（R）组成，如图所示图1根据有源对P平面形式的不同，3-PRR并联机构可以在平面上执行两个平移或两个平移和一个旋转的两种运动形式，如所示图1a、 b。的形式图1本文采用a。

2.2. 同构向量雅可比矩阵

平面全CPM应在原型机构运动性能方面保持一致，即同构特性。运动学雅可比矩阵揭示了操纵空间和关节空间之间的映射关系。原型机构和拓扑优化结果之间的同构特性应具有相同的运动学雅可比矩阵。因此，可以求解原型3-PRR平面CPM的运动矢量雅可比矩阵，并将其设置为机构拓扑优化的同构矢量方程约束。

原型机构如所示图2肢体的矢量方程应收账₃₁对₃₂可以描述为

\vec{A类 哦} + \vec{哦 对_{32}} = \vec{A类 对_{31}} + \vec{对_{31} 对_{32}}

(1)

将方程（1）与设计变量进行微分，即可得到

{v（v）}_{o个} + \dot{ϕ} \cdot (k个 \times \vec{哦 对_{32}}) = {\dot{第页}}_{三} \cdot (k个 \times \vec{A类 对_{31}}) + ({\dot{第页}}_{三} + {\dot{ψ}}_{三}) \cdot (k个 \times \vec{对_{31} 对_{32}})

(2)

哪里

\dot{ϕ}

是围绕移动平台中心的旋转角度对₃₂;

{\dot{第页}}_{三}

是棱镜副的线性驱动速度；

{\dot{ψ}}_{三}

是肢体的旋转角度对₃₁对₃₂,k个是单位矢量x个方向；等式（2）中的叉积表示朝向的投影方向x个方向。

考虑方程（2）两侧的点积对₃₁对₃₂，可以获得

\vec{对_{31} 对_{32}} \cdot {v（v）}_{o个} + \dot{ϕ} \cdot k个 \cdot (\vec{哦 对_{32}} \times \vec{对_{31} 对_{32}}) = {\dot{第页}}_{三} \cdot k个 \cdot (\vec{A类 对_{31}} \times \vec{对_{31} 对_{32}})

(3)

类似地，我们可以得到两翼的向量方程对₁₁对₁₂和对₂₁对₂₂，并使用矩阵形式将其重写为

{J型}_{x个} \cdot \dot{x个} = {J型}_{问} \cdot \dot{问}

(4)

哪里

\begin{array}{l} {J型}_{x个} = [\begin{matrix} {\vec{对_{11} 对_{12}} |}_{x个} & {\vec{对_{11} 对_{12}} |}_{年} & {\vec{哦 对_{12}} |}_{x个} {\cdot \vec{对_{11} 对_{12}} |}_{年} - {\vec{哦 对_{12}} |}_{年} {\cdot \vec{对_{11} 对_{12}} |}_{x个} \\ {\vec{对_{21} 对_{22}} |}_{x个} & {\vec{对_{21} 对_{22}} |}_{年} & {\vec{哦 对_{22}} |}_{x个} {\cdot \vec{对_{21} 对_{22}} |}_{年} - {\vec{哦 对_{22}} |}_{年} {\cdot \vec{对_{21} 对_{22}} |}_{x个} \\ {\vec{对_{31} 对_{32}} |}_{x个} & {\vec{对_{31} 对_{32}} |}_{年} & {\vec{哦 对_{32}} |}_{x个} {\cdot \vec{对_{31} 对_{32}} |}_{年} - {\vec{哦 对_{32}} |}_{年} {\cdot \vec{对_{31} 对_{32}} |}_{x个} \end{matrix}], \\ {J型}_{问} = [\begin{matrix} {\vec{C类 对_{11}} |}_{x个} {\cdot \vec{对_{11} 对_{12}} |}_{年} - {\vec{C类 对_{11}} |}_{年} {\cdot \vec{对_{11} 对_{12}} |}_{x个} & 0 & 0 \\ 0 & {\vec{B类 对_{21}} |}_{x个} {\cdot \vec{对_{21} 对_{22}} |}_{年} - {\vec{B类 对_{21}} |}_{年} {\cdot \vec{对_{21} 对_{22}} |}_{x个} & 0 \\ 0 & 0 & {\vec{C类 对_{31}} |}_{x个} {\cdot \vec{对_{31} 对_{32}} |}_{年} - {\vec{C类 对_{31}} |}_{年} {\cdot \vec{对_{31} 对_{32}} |}_{x个} \end{matrix}] \end{array}

用逆矩阵的预乘变换方程（4）J型_x个在两侧，我们可以得到运动学雅可比方程

\dot{x个} = {J型}_{D类} \dot{问}

(5)

哪里

{J型}_{D类} = {J型}_{x个}^{- 1} \cdot {J型}_{问}

;

\dot{x个} = {[\begin{matrix} {v（v）}_{o个 x个} & {v（v）}_{o个 年} & \dot{δ} \end{matrix}]}^{T型}

表示位移速度x个-年旋转的方向和位置z（z）移动平台上的方向；

\dot{问} = {[\begin{matrix} {\dot{第页}}_{1} & {\dot{第页}}_{2} & {\dot{第页}}_{三} \end{matrix}]}^{T型}

表示三对棱柱体的位移速度；

{\cdot |}_{x个}

和

{\cdot |}_{年}

表示矢量分量x个-年指示。

2.3. 同构矢量运动微分雅可比方程

为了获得与传统同构并联机构相同的全CPM拓扑优化微分运动性能，拓扑优化约束应为传统并联机构微分运动雅可比矩阵，以3-PRR平面CPM为例，用多目标拓扑优化方法说明和设计同构的3-PRR全平面CPM。3-PRR CPM如所示图2根据向量同构映射方法，雅可比矩阵J型_D类可以得到CPM的微分运动学，这是关于矩阵中变量的微分解。

当参数变化时，即

φ_{1} \to φ_{1} + Δ φ_{1}

、肢体约束方程CR公司₁₁对₁₂可以写为

{\begin{cases} {对_{12} |}_{x个} = {第页}_{1} + {第页}_{1} \cdot 余弦 φ_{1} \\ {对_{12}^{'} |}_{x个} = {第页}_{1}^{'} + {第页}_{1} \cdot 余弦 (φ_{1} + Δ φ_{1}) \\ {对_{12} |}_{年} = {第页}_{1} \cdot 罪 φ_{1} \\ {对_{12}^{'} |}_{年} = {第页}_{1} \cdot 罪 (φ_{1} + Δ φ_{1}) \end{cases}

(6)

哪里

余弦 Δ φ_{1} = 1

,

罪 Δ φ_{1} = Δ φ_{1}

,

Δ x个 = {对_{12} |}_{x个} - {对_{12}^{'} |}_{x个}

,

Δ 年 = {对_{12} |}_{年} - {对_{12}^{'} |}_{年}

.利用微/纳米运动特性和等效无穷小原理，我们可以获得

{\begin{cases} Δ x个 = {第页}_{1} \cdot Δ φ_{1} \cdot 罪 φ_{1} - Δ {第页}_{1} \\ Δ 年 = - {第页}_{1} \cdot Δ φ_{1} \cdot 余弦 φ_{1} \end{cases}

(7)

肢体的运动学变量CR公司₁₁对₁₂可以描述为

Δ x个 \cdot 余弦 φ_{1} + Δ 年 \cdot 罪 φ_{1} + Δ {第页}_{1} \cdot c（c） o个 秒 φ_{1} = 0

(8)

类似地

φ_{2} \to φ_{2} + Δ φ_{2}

、肢体约束方程巴西₂₁对₂₂可以描述为

{\begin{cases} {对_{22} |}_{x个} = {对_{12} |}_{x个} - e（电子） \cdot 余弦 (\frac{π}{三} - φ) = \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot 我 - \frac{1}{2} \cdot {第页}_{2} + {第页}_{2} \cdot 余弦 φ_{2} \\ {对_{22} |}_{年} = {对_{12} |}_{年} + e（电子） \cdot 罪 (\frac{π}{三} - φ) = \frac{1}{2} \cdot 我 + \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot {第页}_{2} + {第页}_{2} \cdot 罪 φ_{2} \\ {对_{22}^{'} |}_{x个} = {对_{12} |}_{x个} - \frac{1}{2} \cdot e（电子） \cdot 余弦 (δ + Δ δ) - \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot e（电子） \cdot 罪 (δ + Δ δ) = \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot 我 - \frac{1}{2} \cdot {第页}_{2}^{'} + {第页}_{2} \cdot 余弦 (φ_{2} + Δ φ_{2}) \\ {对_{22}^{'} |}_{年} = {对_{12} |}_{年} + \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot e（电子） \cdot 余弦 (δ + Δ δ) - \frac{1}{2} \cdot e（电子） \cdot 罪 (δ + Δ δ) = \frac{1}{2} \cdot 我 + \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot {第页}_{2}^{'} + {第页}_{2} \cdot 罪 (φ_{2} + Δ φ_{2}) \end{cases}

(9)

和

{\begin{cases} Δ x个 = \frac{1}{2} \cdot Δ {第页}_{2} + {第页}_{2} \cdot Δ φ_{2} \cdot 罪 φ_{2} - \frac{1}{2} \cdot e（电子） \cdot Δ δ \cdot 罪 δ + \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot e（电子） \cdot Δ δ \cdot 余弦 δ \\ Δ 年 = \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot Δ {第页}_{2} - {第页}_{2} \cdot Δ φ_{2} \cdot 余弦 φ_{2} + \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot e（电子） \cdot Δ δ \cdot 罪 δ + \frac{1}{2} \cdot e（电子） \cdot Δ δ \cdot 余弦 δ \end{cases}

(10)

肢体的运动学变量巴西₂₁对₂₂可以描述为

Δ x个 \cdot 余弦 φ_{2} + Δ 年 \cdot 罪 φ_{2} - \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot e（电子） \cdot Δ δ \cdot 余弦 (δ - φ_{2}) + \frac{1}{2} \cdot e（电子） \cdot Δ δ \cdot 罪 (δ - φ_{2}) - \frac{1}{2} \cdot Δ {第页}_{2} \cdot 余弦 φ_{2} + \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot Δ {第页}_{2} \cdot 罪 φ_{2} = 0

(11)

使用

φ_{三} \to φ_{三} + Δ φ_{三}

、肢体约束方程应收账₃₁对₃₂可以描述为

{\begin{cases} {对_{32} |}_{x个} = {对_{12} |}_{x个} - e（电子） \cdot 余弦 δ = - \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot {第页}_{三} + {第页}_{三} \cdot 余弦 φ_{三} \\ {对_{32} |}_{年} = {对_{12} |}_{年} - e（电子） \cdot 罪 δ = 我 - \frac{1}{2} \cdot {第页}_{三} - {第页}_{三} \cdot 余弦 (φ_{三} + Δ φ_{三}) \\ {对_{32}^{'} |}_{x个} = {对_{12} |}_{x个} - e（电子） \cdot 余弦 (δ + Δ δ) = - \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot {第页}_{三}^{'} + {第页}_{三} \cdot 余弦 (φ_{三} + Δ φ_{三}) \\ {对_{32}^{'} |}_{年} = {对_{12} |}_{年} - e（电子） \cdot 罪 (δ + Δ δ) = 我 - \frac{1}{2} \cdot {第页}_{三}^{'} - {第页}_{三} \cdot 罪 (φ_{三} + Δ φ_{三}) \end{cases}

(12)

所以

{\begin{cases} Δ x个 = \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot Δ {第页}_{三} + {第页}_{三} \cdot Δ φ_{三} \cdot 罪 φ_{三} - e（电子） \cdot Δ δ \cdot 罪 δ \\ Δ 年 = \frac{1}{2} \cdot Δ {第页}_{三} + {第页}_{三} \cdot Δ φ_{三} \cdot 余弦 φ_{三} + e（电子） \cdot Δ δ \cdot 余弦 δ \end{cases}

(13)

肢体的运动学变量巴西₂₁对₂₂可以描述为

Δ x个 \cdot 余弦 φ_{三} - Δ 年 \cdot 罪 φ_{三} + 第页 \cdot Δ δ \cdot 罪 δ \cdot 余弦 φ_{三} - 第页 \cdot Δ δ \cdot 余弦 δ \cdot 罪 φ_{三} - \frac{\sqrt{三}}{2} \cdot Δ {第页}_{三} \cdot 余弦 φ_{三} + \frac{1}{2} \cdot Δ {第页}_{三} \cdot 罪 φ_{三} = 0

(14)

假设每个肢体的位移等于无穷大，并定义为

φ_{我} \to φ_{我} + Δ φ_{我}

,我=1、2、3，则方程式（8）、（11）和（14）可以重新排列并简化为运动学雅可比矩阵问具有无限位移。揭示了向量连续映射关系[第页₁ 第页₂ 第页_三]^T型= [问] [x yδ]^T型3-PRR并联原型机构肢体与任务位移的关系式（15）

[\begin{matrix} Δ {第页}_{1} \\ Δ {第页}_{2} \\ Δ {第页}_{三} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 1 & 棕褐色的 φ_{1} & 0 \\ \frac{余弦 φ_{2}}{余弦 (φ_{2} + \frac{π}{三})} & \frac{罪 φ_{2}}{余弦 (φ_{2} + \frac{π}{三})} & \frac{e（电子） \cdot 罪 (δ - φ_{2} - \frac{π}{三})}{余弦 (φ_{2} + \frac{π}{三})} \\ \frac{余弦 φ_{三}}{罪 (\frac{π}{三} - φ_{三})} & \frac{罪 φ_{三}}{罪 (\frac{π}{三} - φ_{三})} & \frac{e（电子） \cdot 罪 (δ - φ_{三})}{余弦 (\frac{π}{三} - φ_{三})} \end{matrix}] \cdot [\begin{array}{l} Δ x个 \\ Δ 年 \\ Δ δ \end{array}] = [问] \cdot [\begin{array}{l} Δ x个 \\ Δ 年 \\ Δ δ \end{array}]

(15)

其中[x yδ]^T型是表示运动输入的棱镜对[第页₁ 第页₂ 第页_三]^T型是运动输出，以及问是雅可比矩阵。在拓扑优化过程中，计算J型= [问]⁻¹以反映3-PRR平面全CPM的微分运动同构特性。

3.3-PRR平面全CPMs多目标拓扑优化模型

3.1. 静态刚度拓扑优化模型

最大结构刚度拓扑优化问题是如何在给定范围内获得所构造机构的最佳材料分布。根据并联机构的输入输出映射关系和SIMP方法，以材料密度为设计变量，以柔性最小化为目标函数，体积比为约束条件，建立了3-PRR拓扑优化模型。在优化迭代中，元素中间密度在0到1之间变化，具有惩罚因子和元素相对密度，因此可以获得{0，1}离散变量优化模型[32]。

初始弹性模量和优化弹性模量之间的关系可以写为

{E类}_{e（电子）} (ρ) = ρ_{e（电子）}^{第页} \cdot ({E类}_{0} - {E类}_{最小值}) + {E类}_{最小值}, 0 < ρ_{最小值} \leq ρ_{e（电子）} \leq 1

(16)

哪里E类_ε是e（电子）-我第个单元弹性模量，ρ_{e（电子）}是e（电子）-我元素相对密度，E类₀是材料的初始弹性模量，E类_最小值是空心材料的元件弹性模量，取为E类₀/1000用于数值稳定性，ρ_最小值是空材料的最小密度，以及第页是常量值为3的惩罚因子。在二维优化中，中密度材料的惩罚因子余域应满足

第页 \geq 最大值 {\frac{2}{1 - μ_{0}}, \frac{4}{1 + μ_{0}}}

(17)

哪里μ₀是给定材料的泊松比，常数值为0.3[33]。

根据3-PRR全CPM中微位移的雅可比矩阵，连续映射拓扑优化SIMP模型可以写成

{\begin{cases} 最小值 C类 = \sum_{我 = 1}^{三} \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot K（K） \cdot {U型}_{我} = \sum_{e（电子） = 1}^{N个} \sum_{我 = 1}^{三} \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{e（电子） j个}^{T型} \cdot ρ_{e（电子）}^{第页} \cdot {K（K）}_{e（电子）} \cdot {U型}_{e（电子） 我} \\ 秒 . 吨 . {K（K） \cdot {\tilde{U型}}_{j个} = {F类}_{j个}, K（K） \cdot {U型}_{我} = {F类}_{我}, {F类}_{j个} = 问_{我 j个} \cdot {F类}_{我}} 我 = 1, 2, 三 . j个 = 1, 2, 三 . \\ \forall : \to \int_{Ω} ρ_{e（电子）} d日 Ω \leq V（V）, 0 < ρ_{最小值} \leq ρ_{e（电子）} \leq 1 e（电子） = 1, 2, \dots, N个 . \end{cases}

(18)

在方程式（18）中，

{\tilde{U型}}_{j个}

是伴随位移矢量，K（K）是蠕变结构的整体后优化刚度，U型_我是实际载荷下的位移，F类_我是我第个实际负载，U型_工程安装是我第th个实际负载，F类_j个是j个第个虚拟负载，

{\tilde{U型}}_{e（电子） j个}

是j个第个虚拟负载，K（K）_{e（电子）}是元件刚度，V（V）是设计代码中允许的材料体积。为了避免整个刚度奇异矩阵，我们假设

ρ_{最小值} = 0.001

、和问_ij公司是相对于运动输出的向量同构映射矩阵

{\dot{第页}}_{我}

问_{我 j个} = \frac{\partial （f） ({v（v）}_{o个 x个}, {v（v）}_{o个 年}, \dot{δ})}{\partial {\dot{第页}}_{1}} d日 {\dot{第页}}_{1} + \frac{\partial （f） ({v（v）}_{o个 x个}, {v（v）}_{o个 年}, \dot{δ})}{\partial {\dot{第页}}_{2}} d日 {\dot{第页}}_{2} + \frac{\partial （f） ({v（v）}_{o个 x个}, {v（v）}_{o个 年}, \dot{δ})}{\partial {\dot{第页}}_{三}} d日 {\dot{第页}}_{三}

(19)

通过下式给出了3-PRR全柔顺并联机构在单载荷工况和多输入折衷规划方法下的拓扑优化目标函数

\underset{ρ}{最小值} C类 (ρ) = {\sum_{我 = 1}^{米} {[ω_{我} \cdot \frac{{C类}_{我} (ρ) - {C类}_{我}^{最小值}}{{C类}_{我}^{最大值} - {C类}_{我}^{最小值}}]}^{第页}}^{\frac{1}{第页}}

（20）

哪里米是荷载工况的元素，ω_我是我第次荷载工况加权，第页是定值为3的惩罚因子，C类_我(ρ)是的灵活性目标函数我第种载荷情况，

{C类}_{我}^{最大值}

和

{C类}_{我}^{最小值}

是的最大值和最小值我荷载工况柔度目标函数。

3.2. 动态固有频率拓扑优化模型

动态固有频率优化集以低阶有效频率最大化为目标函数，以结构体积分数为约束条件进行拓扑优化设计。然而，在最优迭代中，由于单个结构单元材料的可拆卸性，目标函数的振荡问题将发生在相邻高阶特征值降到低阶的阶段。为了克服某些阶次频率的振荡现象，将动态固有频率拓扑优化的目标函数设置为平均频率特征值Λ，由提出[34]

Λ = {\begin{array}{l} Λ_{0} + {(\frac{1}{秒} \cdot \sum_{我 = 1}^{米} ω_{我} \cdot {(λ_{我} - λ_{0})}^{n个})}^{\frac{1}{n个}} & 我 （f） (n个 \neq 0) \begin{array}{l}  \end{array} \exists \begin{array}{l}  \end{array} n个 = \pm 1, \pm 2, \dots \\ Λ_{0} + 经验 (\frac{1}{秒} \cdot \sum_{我 = 1}^{米} ω_{我} \cdot 自然对数 | λ_{我} - λ_{0} |) & 我 （f） (n个 = 0) . \end{array}

(21)

在这里Λ是平均频率特征值，λ_我是我第个特征值，λ₀和秒是给定的参数，ω_我是的重量我第个特征值，以及米是优化的低阶特征值的阶值。指数n个是频率决定因素。何时n个是负奇数Λ应最大化指定订单。何时n个为负偶数时，指定阶固有频率与给定固有频率之差应最大化。

针对3-PRR全柔性并联机构的拓扑优化问题，以体积分数为约束条件，建立了基于平均频率特征值最大化的目标函数。为了方便地解决优化问题，我们设置n个常量-1参考文献[22]. 优化模型如下所示

{\begin{cases} \underset{ρ_{1}, ρ_{2}, \dots, ρ_{n个}}{最大值} {Λ |_{ρ_{我}} = λ_{0} + 秒 \cdot {(\sum_{我 = 1}^{米} \frac{ω_{我}}{λ_{我} - λ_{0}})}^{- 1}} . \\ 秒 . 吨 . {\begin{array}{l} (K（K） - λ_{我} M（M）) \cdot {δ_{我}} = 0 & 我 = 1, 2, \dots, {D类}_{克} \\ \sum_{e（电子） = 1}^{n个} {V（V）}_{e（电子）} \cdot ρ_{e（电子）} - {V（V）}_{*} \leq 0 & {V（V）}_{*} = α \cdot {V（V）}_{0} \\ 0 < ρ_{最小值} \leq ρ_{e（电子）} \leq 1 & e（电子） = 1, 2, \dots, N个 \end{array} \end{cases}

（22）

哪里K（K）是整个刚度矩阵，M（M）是整个质量矩阵{δ_我}是特征向量我第个特征值，以及D类_克是优化机构有限元模型的整体自由度。

3.3. 加权刚度和频率特征值多目标拓扑优化模型

基于折衷规划和平均频率特征值，可获得与目标函数线性分组的优化加权模型，该模型将方程（20）中的静态柔度最小化与方程（22）中的动态固有频率最大化相结合。3-PRR完全柔顺并联机构的多目标拓扑优化函数可由两个单目标函数的积分表示为方程（23）

\underset{ρ}{最小值} F类 (ρ) = {ω^{2} \cdot {[\sum_{我 = 1}^{米} ω_{我} \cdot \frac{{C类}_{我} (ρ) - {C类}_{我}^{最小值}}{{C类}_{我}^{最大值} - {C类}_{我}^{最小值}}]}^{2} + {(1 - ω)}^{2} \cdot {[\frac{Λ_{最大值} - Λ (ρ)}{Λ_{最大值} - Λ_{最小值}}]}^{2}}^{\frac{1}{2}}

(23)

其中F类(ρ)是综合目标函数，ω是柔度和固有频率的加权目标函数，Λ_最大值和Λ_最小值分别是固有频率的最大值和最小值，便于无量纲化。

3.4. 多目标优化准则和迭代公式

根据相对密度区分（23）ρ_{e（电子）}用梯度迭代法求解多目标函数

\frac{\partial F类}{\partial ρ} d日 ρ = \frac{\partial C类}{\partial ρ_{e（电子）}} d日 ρ_{e（电子）} + \frac{\partial Λ}{\partial ρ_{e（电子）}} d日 ρ_{e（电子）}

(24)

假设输入和输出与设计变量无关，并对总刚度矩阵进行微分K（K），总质量矩阵M（M）、和米第个特征值λ_米关于设计变量ρ_{e（电子）}，约束函数的灵敏度可导出为

{\begin{cases} \frac{\partial K（K）}{\partial ρ_{e（电子）}} = {\sum_{e（电子） = 1}^{N个} 第页 \cdot (ρ_{e（电子）})}^{第页 - 1} \cdot {k个}_{e（电子）} \\ \frac{\partial M（M）}{\partial ρ_{e（电子）}} = {\sum_{e（电子） = 1}^{N个} 第页 \cdot (ρ_{e（电子）})}^{第页 - 1} \cdot 米_{e（电子）} \\ \frac{\partial λ_{米}}{\partial ρ_{e（电子）}} = δ_{米}^{T型} \cdot (\frac{\partial K（K）}{\partial ρ_{e（电子）}} - λ_{米} \cdot \frac{\partial M（M）}{\partial ρ_{e（电子）}}) \cdot δ_{米} \end{cases}

(25)

区分单目标函数C类关于设计变量ρ_{e（电子）}，我们可以获得

\begin{array}{l} \frac{\partial C类}{\partial ρ_{e（电子）}} = \frac{\partial (\sum_{我 = 1}^{三} \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot K（K） \cdot {U型}_{我})}{\partial ρ_{e（电子）}} = \frac{\partial \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型}}{\partial ρ_{e（电子）}} \cdot K（K） \cdot \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我} + \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot \frac{\partial K（K）}{\partial ρ_{e（电子）}} \cdot \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我} + \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot K（K） \cdot \frac{\partial \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我}}{\partial ρ_{e（电子）}} \\ = (\frac{\partial \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型}}{\partial ρ_{e（电子）}} \cdot K（K） + \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot \frac{\partial K（K）}{\partial ρ_{e（电子）}}) \cdot \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我} + \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot (\frac{\partial K（K）}{\partial ρ_{e（电子）}} \cdot \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我} + K（K） \cdot \frac{\partial \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我}}{\partial ρ_{e（电子）}}) - \sum_{j个 = 1}^{三} {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot \frac{\partial K（K）}{\partial ρ_{e（电子）}} \cdot \sum_{我 = 1}^{三} {U型}_{我} \end{array}

(26)

替换

K（K） = \sum_{e（电子） = 1}^{N个} ρ_{e（电子）}^{第页} \cdot {K（K）}_{e（电子）}

和（25）到（26），目标函数C类由提供

\frac{\partial C类}{\partial ρ_{e（电子）}} = \sum_{e（电子） = 1}^{N个} \sum_{我 = 1}^{三} \sum_{j个 = 1}^{三} 第页 \cdot {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot ρ_{e（电子）}^{第页 - 1} \cdot {K（K）}_{e（电子）} \cdot {U型}_{我}

(27)

注意，集成的多目标功能灵活性F类可以描述为

\frac{\partial F类}{\partial ρ} = - ω \cdot \sum_{e（电子） = 1}^{N个} \sum_{我 = 1}^{三} \sum_{j个 = 1}^{三} 第页 \cdot {\tilde{U型}}_{j个}^{T型} \cdot ρ_{e（电子）}^{第页 - 1} \cdot {K（K）}_{e（电子）} \cdot {U型}_{我} + \frac{(1 - ω) \cdot Λ_{0} \cdot {(Λ - λ_{0})}^{2}}{Λ^{2} \cdot 秒} \cdot \sum_{e（电子） = 1}^{N个} \sum_{米 = 1}^{7} \frac{ω_{j个}}{{(λ_{米} - λ_{0})}^{2}} \cdot \frac{\partial λ_{米}}{\partial ρ_{e（电子）}}

(28)

因此，优化准则可以由方程（23）导出，该方程由一个目标函数和两个约束条件组成。因此，优化标准可以改写为

\begin{array}{l} F类 我 n个 d日 : Ρ = {ρ_{1}, ρ_{2}, ρ_{三}, \dots, ρ_{我}}^{T型}, 我 = 1, 2, \dots, 米 \\ \underset{ρ}{最小值} F类 (ρ) = {ω^{2} \cdot {[\sum_{我 = 1}^{米} ω_{我} \cdot \frac{{C类}^{'} (ρ_{我}) - {C类}_{我}^{最小值}}{{C类}_{我}^{最大值} - {C类}_{我}^{最小值}}]}^{2} + {(1 - ω)}^{2} \cdot {[\frac{Λ_{最大值} - Λ^{'} (ρ_{我})}{Λ_{最大值} - Λ_{最小值}}]}^{2}}^{\frac{1}{2}}, \\ 秒 . 吨 . {\begin{matrix} V（V） = （f） \cdot {V（V）}_{0} = \sum_{我 = 1}^{米} \sum_{j个 = 1}^{n个} {v（v）}_{我 j个} \cdot ρ_{我} \leq {（f）}_{0} \cdot {V（V）}_{0}, & 我 = 1, 2, \dots, 米, j个 = 1, 2, \dots, n个 \\ {C类}^{'} (ρ_{我}) = \frac{\sum_{我 = 1}^{米} \sum_{j个 = 1}^{n个} {d日}_{我 j个} \cdot C类 (ρ_{我})}{\sum_{我 = 1}^{米} \sum_{j个 = 1}^{n个} {d日}_{我 j个}}, & 0 < ρ_{最小值} \leq ρ_{我} \leq ρ_{最大值} \leq 1 . \end{matrix} \end{array}

(29)

哪里米是所有剩余元素的数量，n个是子域中元素的数量，我是子域号，j个是子域中的元素编号，V（V）是所有剩余元素的总体积，v（v）_ij公司是的体积j个中的第个元素我第个子域，（f）是体积分数，V（V）₀是初始体积，ρ_最小值和ρ_最大值分别为元素相对密度的最小值和最大值，C类'表示滤波后的灵活性。第页_ij公司表示我th元素和j个第个元素，第页_最小值是圆形子域Ω的默认半径_我以元素的中心为中心，随着灵敏度的变化确定影响域,和d日_ij公司是由定义的相应权重因子d日_ij公司=第页_最小值−第页_ij公司.

基于多目标优化标准的迭代公式可以写成

ρ_{我}^{k个} = {\begin{matrix} {[{F类}_{我}^{k个 - 1} (ρ)]}^{τ} \cdot ρ_{我}^{k个 - 1}, & ρ_{最小值} < ρ_{我}^{k个} < ρ_{最大值} \\ ρ_{最小值}, & ρ_{我}^{k个} \leq ρ_{最小值} \\ ρ_{最大值}, & ρ_{我}^{k个} \geq ρ_{最大值} . \end{matrix}

(30)

哪里k个是迭代次数，τ是保证稳定性和收敛性的阻尼系数。优化过程将收敛，作为相对误差ξ相邻两次迭代的收敛精度低于ξ_最大值，定义为

ξ = \frac{| \sum_{我 = 1}^{米} {C类}_{k个} - \sum_{我 = 1}^{米} {C类}_{k个 - 1} |}{\sum_{我 = 1}^{米} {C类}_{k个 - 1}} \leq ξ_{最大值}

（31）

4.多目标拓扑优化与求解

4.1. 多目标原型机构载荷工况下的拓扑优化

基于3-PRR平面全CPMs，我们通过切割一些规则区域，绘制了一个完整的三角形板材料，以满足具有柔性铰链的同构特性。假设钢板的弹性模量E类为21000 Mpa，泊松比μ为0.3，材料密度ρ为7900 kg/m^三，板厚8mm，体积分数（f）₀为0.4。采用5510个三角形单元和3029个节点填充设计区域，可以得到完整的设计系统。

移动平台和肢体之间的连接发生了本质上的变化，如所示图3.负载情况下的后优化机构拓扑为自由铰链模式，满足3-PRR全CPM。对每个载荷工况的有限元模型进行了求解，并获得了每个载荷工况下的von Mises应力分布，作为材料去除的指标（Xie和Steven[21]). 微/纳米级直接驱动器可以放置在不规则的设计区域中，其范围受限于驱动器的内置尺寸。原型模型是在三维软件Solidworks中构建的^®（Dassault Systèmes SolidWorks Corp，美国马萨诸塞州康科德），并在CAE软件Hyperworks中进行预处理^®包括精细删除、材料元素属性分配和输入荷载工况。结果如所示图4.

下面给出了CPM型平面连续体结构多目标拓扑优化方法的详细分步算法。

步骤1：使用密集的有限元网格离散原始设计域，如下所示图4.

第2步：定义所有边界约束，并根据SIMP模型应用负载条件，如方程式（18）所示。

步骤3：为设计变量分配初始值。

步骤4：将柔度C和频率∧之间的关系构建为等式（20）、（22）和（23）。

步骤5：对连续体结构进行线性有限元分析。

步骤6：将所有柔度分析的多目标公式区分为等式（24）、（27）和（28）。

第7步：按照方程式（25）计算所有剩余元素的约束函数灵敏度。

步骤8：将优化标准计算为等式（29），并将设计变量更新为等式（30）。如果元素满足等式（30），则将删除这些元素。

第9步：如果所有剩余元素的总体积V满足等式（29）中的体积约束，而柔度C满足方程（31），则优化过程将终止。否则，该过程将返回到步骤4。

4.2. 3-PRR平面全CPM的同构原型

对于Hyperworks中移除的连续体结构^®，所选材料的属性设置为材料类型，不锈钢304#，杨氏模量2.05×10⁻⁵F/mm（英尺/毫米）²，泊松比0.3，材料密度7.85×10⁻⁹吨/毫米^三，荷载为1 KN。

根据定义为方程式（18）的连续映射拓扑优化SIMP模型，平面全CPM原型中的材料分配可以通过删除获得，如所示图5.所选材料字段中的保留红色区域填充密度为1的材料，非设计冗余材料字段除外。蓝色区域填充了密度为零的材料，应从冗余材料字段中删除。目标函数的灵活性如所示图6，只需5个迭代步骤即可快速收敛。

4.3. 拓扑优化的分析与仿真结果

将3-PRR平面全CPM拓扑优化的CAD模型导入Solidworks^®，也可以在Hyperworks中使用^®用于与处理结果相关联的运动静态模拟。应力分布结果如所示图7最大应力集中在驱动器的输出端，值为29.64 MPa，小于材料屈服强度。

将初始设计机构参数与优化机构进行比较，如所示表1得到了同一载荷工况下不同边界约束下的应力分布。

实验结果表明，优化机构的最大静应力比初始未优化机构减少了47%，后优化机构的最小静应力也增加了。材料静应力均匀性分布明显优于原始机制。3-PRR平面全CPM样机优化材料结构的运动静态特性如所示图8，包括方向的位移x个-年和旋转方向z（z）分别是。

在这种情况下，将1000N的静载荷分别施加到具有3-PRR平面全CPM原型的优化连续体结构的每个末端。根据中所示的输入和输出的映射关系图3，方向的输出位移x个-年和旋转方向z（z）在移动平台中定义。以柔度最小化为目标函数，体积比为约束条件的拓扑优化过程后，可以获得材料元素分布和目标函数迭代，如所示图9和图10，在18次迭代后收敛。

在图9纳蒂尔蓝片是一个无设计区域，代表边界约束条件和压电陶瓷驱动器的固定安装。黄色片由材料密度为1或接近1的保留元素构成。经过优化迭代后，3-PRR平面全CPM原型优化材料结构的最大和最小柔度参数如所示表2.

在以一阶固有频率为目标函数、体积比为约束条件的动力学拓扑优化迭代中，如下所示图3，可以得到26次迭代优化后的物元分布和目标函数迭代图，如所示图11和图12分别是。

采用3-PRR全CPM优化材料结构的前3阶固有频率参数如所示表3.

机构的固有振动特性是模态的，这对微纳制造尤为重要。利用Optistruct软件工具，在相同的输入载荷工况和边界约束条件下，对优化后的连续体结构机构进行了模态分析^®对3-PRR平面全CPMs样机的新型优化连续体结构机构的综合目标函数进行了细化。在Optistruct用户定义的功能面板中，采用平均频率法，通过自加权折衷编程验证了前6种振型^®利用多目标集成拓扑优化函数（23）的原型，将集成目标函数描述为（32），静态单目标拓扑优化的最大和最小灵活性列于表2以及中列出的前3阶动力学单目标拓扑优化的最大和最小固有频率表3综合目标函数的结果定义为（32）

\underset{ρ}{最小值} F类 (ρ) = {{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {[\sum_{我 = 1}^{米} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{C类}_{我} (ρ) - 4.7}{8.3 - 4.7}]}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot {[\frac{406.22 - Λ (ρ)}{406.22 - 365.57}]}^{2}}^{\frac{1}{2}}

(32)

哪里我=1表示单荷载工况，我们可以定义ω_我=1，拓扑优化中的多目标设计变量为柔性C类₁(ρ)和1阶固有频率Λ(ρ)，最大的灵活性

{C类}_{我}^{最大值}

在静态优化之前（值为8.3 mm/N），最小柔度

{C类}_{我}^{最小值}

以4.7 mm/N的值进行静态优化后，最大固有频率Λ_最大值在406.22 Hz的值下进行动力学优化后，最小固有频率Λ_最小值在动力学优化之前，其值为365.57 Hz。根据rss公司Optistruct中的函数^®，将集成的多目标优化函数导入

d日 e（电子） 问 u个 一 吨 我 o个 n个

调色板，如所示图13，将（a，b）替换为C类₁(ρ)以及Λ_最大值分别是。所以积分目标函数的最小值F类（a，b）和体积比约束条件在Optistruct模块中求解^®，结果如式（33）所示

F类 (一, b条) = 第页 秒 秒 (0.5 \cdot (\frac{一 - 4.7}{8.3 - 4.7}), 0.5 \cdot (\frac{406.22 - b条}{406.22 - 365.57}))

(33)

综上所述，以3-PRR平面全CPM为原型的优化材料结构模型进行了40次优化迭代。可以获得多目标拓扑优化结果、前6阶模态形状、最小柔度迭代和最大频率迭代的图形，如所示图14,图15,图16,图17和图18.比较图18多目标拓扑优化中的一阶固有频率迭代与图12平均频率法的迭代更稳定，更容易收敛。

图14显示了灵活性的优化结果C类，固有频率Λ、和体积分数（f）.英寸图17，随着材料逐渐从设计领域中移除，柔性增加。当其余元件的总体积达到目标体积时，柔度达到5.489 mm/N，固有频率稳定在405.5 Hz左右，如所示图18它的性能优于之前的3-PRR平面全CPM边缘连接结构，这归功于在优化迭代中所有元素的密度都可以自我调整。

多目标优化方法获得初始体积的40%(（f）₀=0.4）和体积分数（f）达到0.3836。何时（f）等于0.55，优化只需要26次迭代。所有剩余元素的模态形状显示在图15和图16优化后计算出的最小和最大柔度、前3个固有频率和振型如所示表4.

优化后的3-PRR平面全CPM材料原型的模态分析结果表明，低阶固有频率比原始状态有了显著提高。该方法可以抑制机构的振动，避免失去精确定位运动学甚至共振现象。同时，振动相关频率和相关模态综合的结果将为系统综合（结构选择、尺寸和拓扑优化）提供可行的依据。

5.实验和结果

5.1. 拓扑优化运动学参数计算

根据方程（15）中的微分雅可比矩阵，平面CPM样机优化连续体结构机构的运动学分析可以用以下值初始化表5.

将初始值替换为（15）

问

矩阵可以得到为

问 = (\begin{matrix} - 1 & - 1.7321 & 0 \\ 3.7321 & 1 & - 33.4607 \\ 0.5774 & - 1 & - 19.3185 \end{matrix})

(34)

然后是微分运动学雅可比矩阵

J型

可以通过以下方式获得

J型 = (\begin{matrix} 1.3660 & 0.8660 & - 1.5000 \\ - 1.3660 & - 0.5000 & 0.8660 \\ 0.1115 & 0.0518 & - 0.1414 \end{matrix})

(35)

其中肢体位移满足[Δ第页₁Δ第页₂Δ第页_三]^T型= [5 × 10⁻⁴5 × 10⁻⁴5×10⁻⁴]^T型（单位：mm），带有[Δx个Δ年Δδ]^T型=J型·[Δ第页₁Δ第页₂Δ第页_三]^T型.3自由度参数可获得为[Δx个Δ年Δδ]^T型= [3.7 × 10⁻⁴−5 × 10⁻⁴1.1 × 10⁻⁴]^T型.将拓扑优化结果导入SolidWorks^®为了进一步平滑处理，在Hyperworks中模拟了运动静态特性^®如所示图19.

5.2. 微/纳米致动器结构

利用优化机构的结果作为3-PRR平面CPMs原型，我们通过线切割45不锈钢的配置获得了物理模型，如所示图20将压电陶瓷驱动器（PZT）与一种压电双晶片安装在固定的安装区域，构建了一种完整材料的新型非铰链平面全CPM，其参数列于表6.通过在每个安装槽上施加三对PZT执行器来实现定位控制。

微/纳米驱动器的完整结构包括基于PC的控制系统、驱动电源、PZT驱动器和位移检测装置。该控制系统与我们开发的高精度数字控制器一起使用[35]。

当向PZT致动器施加控制电压时，由于逆压电效应，其表面会产生应变。纵向弯曲和横向扭转将在PZT致动器中产生，并可转换为施加在致动器两侧的集中平面扭矩。等效弯矩可表示为

{M（M）}_{第页 我 e（电子） z（z） o个}^{一 c（c） 吨 我 v（v） e（电子）} (吨) = \frac{b条 \cdot {E类}_{第页} \cdot {d日}_{31} \cdot (吨_{b条} + 吨_{第页})}{2} \cdot {V（V）}_{一} (吨) = {M（M）}_{第页} \cdot {V（V）}_{一} (吨)

(36)

哪里M（M）_第页是执行器的常数，b条是PZT致动器的宽度，吨_b条和吨_第页分别为槽和PZT厚度，V（V）_一(吨)是控制电压。

控制器工作在速度或电压模式下，电压输出与执行器的速度直接相关。积分速度以获得位移将实现微/纳米定位。为了避免地面振动、气流和温度波动实验过程中可能产生的干扰，将工作台和激光干涉仪放置在隔离外部振动干扰的实验室中，如所示图21.

控制系统将16位分辨率的模拟电压传输给PZT驱动器，实现连续结构的精细定位位移(x个–年−θ)在优化的移动平台中，如所示图22位移检测装置在电压模式下获得实际位移数据，并可反馈给需要定位的控制器[36]. 与命令位置和实际位置相比，控制器可以调整驱动电压偏差，实现稳定精细的定位。PZT位移的精确检测是PID闭环控制的基础[37]. 然而，测量PZT的纳米级精细定位位移是困难的。因此，本文使用3-PRR样机将PZT致动器安装在优化材料的线切割槽中。首先通过安装的光学模块以光信号的形式测量PZT驱动器的位移，然后通过位置敏感探测器（PSD）接收光信号并将其转换为等效电信号反馈给控制器。PZT精细定位步骤应与PSD的定位分辨率相匹配，并通过光学杠杆放大精细位移，因此PZT位移可以通过PSD装置测量。微/纳米精细定位位移检测装置如所示图23.

让x个是光线入射点与PSD中点的距离

x个 = \frac{我_{2} - 我_{1}}{我_{2} + 我_{1}} \times 我

(37)

哪里

我_{1}

和

我_{2}

是两级输出电流；我是PSD的长度，以及对选择用于测量可以替代线性表示的光点位移的电压

x个 = \frac{(我_{2} - 我_{1}) \cdot 对}{(我_{2} + 我_{1}) \cdot 对} \cdot 我 = \frac{{V（V）}_{2} - {V（V）}_{1}}{{V（V）}_{2} - {V（V）}_{1}} \cdot 我

（38）

哪里

{V（V）}_{1}

和

{V（V）}_{2}

是

我_{1}

/

我_{2}

和

对

形成PSD的输出电压和实际位移

{x个}^{'}

PZT的

{x个}^{'} = \frac{{V（V）}_{2} - {V（V）}_{1}}{{V（V）}_{2} + {V（V）}_{1}} \cdot \frac{我}{β},

(39)

哪里

β

是光学模块的放大倍数。

5.3. 实验验证

在本研究中，PZT驱动器电源使用可调范围内的直流稳压电源，步进值为0.1V至1.0V。使用双频激光干涉仪（型号XL80，Renishaw Co.Ltd.，Gloucestershire，UK）测量方向位移的精细定位x个-年（XL80线性光学模块）和旋转方向z（z）（XL80旋转轴测量角度光学模块）。线性测量位移分辨率为10⁻⁶m、旋转分辨率为10⁻⁶rad.初始电压设置为20 V，位移步长为λ/16=536 nm/16=33.5 nm，位移检测装置放大20倍。用激光干涉仪XL80对PZT的微位移和旋转进行了多次测量，并对测量结果进行了平均，以获得方向上的精细定位位移x个-年和旋转方向z（z）分别是。将仿真结果与PZT的仿真实验进行比较，结果如下表7.

结果发现，由于制造、致动器装配误差等原因，实验结果与理论模拟结果不兼容。这种比较结果之间的差异可以理解为，实验结果的整数部分表明亚微米精度。

6.结论

本文提出了一种基于差分运动矢量同构映射和3-PRR平面全CPM样机的连续体结构同构机构多目标拓扑优化设计方法。首先，得到3-PRR平面输入输出全CPM映射关系的雅可比矩阵。然后，利用向量同构映射构造了完整材料中3-PRR的同源机制。在此基础上，采用多目标拓扑优化方法，通过可变剔除率去除连续体结构中的多余材料。第三，基于PZT驱动器的平面全CPM位移系统的实验验证了仿真结果。优化后的连续体结构机构的实验结果在数量级上与方程（15）的运动特性一致，保证了差动位移精度和固有振动频率。初始3-PRR平面全CPM和优化连续体结构机构的结构特征和同源性比较在同构性质上完全一致。实验结果表明，优化后的平面全CPM压电陶瓷驱动的精细定位位移也与理论预期和仿真结果一致，实验同时验证了精度和结构的重复性。总之，我们可以得出以下结论。

(1): 采用平均频率和折衷规划方法构建SIMP优化模型。利用Optistruct求解3-PRR平面全CPMs原型的多目标拓扑优化加权刚度和频率特征值^®优化前后静刚度和前三阶固有频率的对比分析表明，达到了静刚度最大化和振动相干频率最大化的目标。使用平均频率法，一阶频率迭代图表明，变化幅度趋于稳定和收敛。
(2): 采用连续体结构材料的优化3-PRR平面全CPMs原型被导入Hyperworks^®用于执行有限元静态分析。4.91×10的位移⁻⁴毫米英寸x个方向，−4.72×10⁻⁴毫米英寸年方向和2.39×10⁻⁵rad英寸z（z）通过模拟获得了角度，而相应的实验位移为5.32×10⁻⁴毫米英寸x个方向，−5.88×10⁻⁴毫米英寸年方向和3.91×10⁻⁵rad英寸z（z）角度。大小的符号和顺序在各个方向上都是一致的。验证了实验结果的整体部分足够准确，可以代表平面连续体结构多目标拓扑优化的设计方法。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（51165009/11402097）、广东省科技项目（2013B011302/2015B090922009）和广州市科技计划（20150801002/2015Y2000010/201604036011）的支持。作者感谢广州万达智能设备技术有限公司在实验装置方面对他们的支持。作者还要感谢审稿人和编辑为改进论文所做的努力。

作者贡献

高旺设计了整个项目框架；高旺和朱大昌构思并设计了实验过程；朱大昌进行了实验；高旺和刘宁分析了数据；刘宁（Ning Liu）与万达智能设备技术有限公司（中国广州）提供了分析工具和实验装置；高旺写了这篇论文，魏昭修改了这篇文章的手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。创始赞助商在研究设计中没有任何作用；收集、分析或解释数据；在撰写手稿时，以及在决定公布结果时。

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图1。3-PRR平面并联样机机械手的结构(一)相互交叉的活动对；(b条)活动对在一点相交。

图2。3-PRR平面并联原型机构。

图3。3-PRR平面全CPMs拓扑优化及负载情况。

图4。预处理拓扑优化模型的连续结构。

图5。使用3-PRR平面全CPM原型在Hyperworks中进行拓扑优化。

图6。3-PRR平面全CPM拓扑优化迭代过程。

图7。3-PRR平面全CPMs原型的应力分布。

图7。3-PRR平面全CPM原型的应力分布。

图8。优化材料结构的运动静态特性(一)优化材料结构的位移与方向x个; (b条)优化材料结构的位移与方向年; (c（c）)具有旋转方向的优化材料结构的位移z（z）.

图8。优化材料结构的运动静态特性(一)优化材料结构的位移与方向x个; (b条)优化材料结构随方向的位移年; (c（c）)具有旋转方向的优化材料结构的位移z（z）.

图9。静态载荷下优化拓扑机构的材料分布。

图10。目标函数在静态拓扑优化条件下的迭代。

图11。材料元素分布的动力学拓扑优化结果。

图12。动力学拓扑优化结果的目标函数迭代。

图13。用户定义的集成多目标函数。

图14。新机构的多目标函数拓扑优化结果。

图14。新机构的多目标功能拓扑优化结果。

图15。用新机构优化多目标的1～3阶模态形状。

图16。用新机构优化多目标的4~6阶模态形状。

图17。多目标拓扑优化过程中的灵活性迭代次数。

图18。多目标拓扑优化中的一阶固有频率迭代。

图19。Hyperworks的运动静态特性仿真结果^®.

图20。优化材料和PZT驱动器的物理模型。

图21。基于PZT的微/纳米位移控制和测量工作台。

图22。电压模式下的控制系统驱动图。

图23。屏蔽门精细定位位移检测装置的配置。

表1。优化前后的应力分布比较。

表1。优化前后应力分布的比较。

期间	最大值	最小值
之前	55.95	8.851 × 10⁻²
之后	29.64	1.289 × 10⁻¹

单位为MPa。

表2。迭代中优化的材料机构柔性参数。

步骤	符合性：mm/N	步骤	符合性：mm/N
零	8.332893	第九	4.828077
第一	6.202367	第十二	4.711885
第二	4.960233	第十五	4.778118
第三	4.716350	第十八	4.689774
第六	5.065805	-	-

表3。迭代中优化的材料机构柔性参数。

步骤	1-订单	2个订单	3-订单
零	3.655654 × 10²	3.655925 × 10²	4.365313 × 10²
第三	4.283030 × 10²	4.283868 × 10²	4.607935 × 10²
第六	4.504044 × 10²	4.504838×10²	4.568943 × 10²
第九	4.507617 × 10²	4.602106×10²	4.602923 × 10²
第十二	4.529252 × 10²	4.529726 × 10²	4.641970 × 10²
第十五	4.557257 × 10²	4.557837 × 10²	4.601292 × 10²
第十八	4.218893×10²	4.220290 × 10²	4.321031 × 10²
第二十一	4.007571 × 10²	4.010012 × 10²	4.109230 × 10²
第二十四	4.048481 × 10²	4.051532 × 10²	4.104682 × 10²
第二十六	4.062230 × 10²	4.065501 × 10²	4.103355 × 10²

前3阶固有频率（/Hz）。

表4。优化后的机构柔度、前3个固有频率和模态形状识别（单位：频率/Hz）。

步骤	灵活性（符合性：mm/N）	第一个订单	第2个订单	第三个订单
零	8.332893	3.655654 × 10²	3.655925 × 10²	4.365313 × 10²
第四	6.514099	3.792490 × 10²	3.793375×10²	4.302357 × 10²
第八	6.228108	3.972276×10²	3.973315 × 10²	4.515919 × 10²
第十二	5.853777	4.031293 × 10²	4.032470 × 10²	4.751472 × 10²
第十六	5.722705	4.034842×10²	4.035777 × 10²	4.945665 × 10²
第二十	5.652853	4.041327 × 10²	4.041886 × 10²	5.039851 × 10²
第二十四	5.591794	4.045151 × 10²	4.045541 × 10²	5.084239 × 10²
第二十八	5.551433	4.049462 × 10²	4.049620 × 10²	5.096651 × 10²
第三十二	5.514682	4.050445 × 10²	4.050513 × 10²	5.090571 × 10²
第三十六	5.485535	4.051269 × 10²	4.051345 × 10²	5.072908 × 10²
第四十	5.457566	4.046456 × 10²	4.046636 × 10²	5.061273×10²

一阶振型代替纵向弯曲，二阶振型替代横向扭转，三阶振型取代纵向弯曲。

表5。微分雅可比矩阵的初值。

参数	$φ_{1}$	$φ_{2}$	$φ_{三}$	$δ$	$e（电子）$
初始值（/rad，/mm）	$\frac{2}{三} π$	$\frac{13}{12} π$	$\frac{2}{三} π$	$\frac{1}{12} π$	8

表6。PZT驱动器的参数。

条款	值
执行机构类型	RS47-5.9-0.8-1
外形尺寸我×W公司×T型（毫米）	47.2 × 5.9 × 0.8
电源电压（DCV）	0–200
双向位移（mm）	±1.8
单向输出力（mN）	300
最大振幅响应	≥200
静电电容（nF）	44.8
杨氏模量(E类_第页)	3.8 × 10⁹N/m（牛顿/米）²
压电常数(d日₃₁)	−189 × 10⁻¹²客户编号

表7。将仿真结果与多目标优化运动学机构的仿真结果进行了比较。

方向	模拟	实验
位移inx个’	4.91 × 10⁻⁴毫米	5.32 × 10⁻⁴毫米
位移in年’	−4.72 × 10⁻⁴毫米	−5.88 × 10⁻⁴毫米
旋转方向θ_z（z）	2.39 × 10⁻⁵拉德	3.91 × 10⁻⁵拉德

分享和引用

MDPI和ACS样式

王，G。；朱，D。；刘，N。；W.赵。组合载荷工况和约束下柔性并联平面机构的多目标拓扑优化。微机器 2017,8, 279.https://doi.org/10.3390/mi8090279

AMA风格

王刚，朱德，刘恩，赵伟。组合载荷工况和约束下柔性并联平面机构的多目标拓扑优化。微机器. 2017; 8(9):279.https://doi.org/10.3390/mi8090279

芝加哥/图拉宾风格

王、高、朱大昌、刘宁和赵伟。2017.“组合载荷工况和约束条件下柔顺平行平面机构的多目标拓扑优化”微机器8、9号：279。https://doi.org/10.3390/mi8090279

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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