1.简介
近几十年来，分数阶导数受到了广泛关注，因为它们被有效地用于解决金融问题[1,2,三]，生物学[4]，物理[5,6,7,8]，热力学[9,10]，水文[11,12]，生物化学和化学[13]. 由于分数阶积分和导数可以表示各种物质的记忆和遗传特性，因此这些新的分数阶模型比以前使用的整数阶模型更适合[14]. 这是分数阶模型与积分阶模型相比最重要的优点，在积分阶模型中，这些影响被忽略了。 另一方面，波动或随机性在许多现象中都很重要。因此，在对海洋学、物理学、生物学、气象学、环境科学等领域发生的不同物理现象进行建模时，随机效应变得非常重要。考虑时间随机波动的方程称为随机微分方程。
最近，一些关于随机扰动分数阶微分方程近似解的研究已经发表，如Taheri等人的研究[15]，邹[16]，Mohammed等人[17,18]穆罕默德[19]，卡姆拉尼[20]、李和杨[21]刘和燕[22]而随机分数阶微分方程的精确解至今尚未被讨论。 在本研究中，我们考虑了一维随机分数空间Kuramoto–Sivashinsky（S-FS-KS）方程，其中包含itó意义上的乘法噪声：哪里第页,第页、和q个是非零实数常数，是分数空间导数的阶数，是噪声强度，以及是标准高斯过程，它仅取决于t吨. 确定性Kuramoto–Sivashinsky方程(1)（即。，)带有许多作者已经研究过用不同的方法（如改进的tanh-coth方法）来获得其精确解[23]、tanh方法和扩展的tanh方法[24]，同伦分析方法[25]，的-膨胀法[26]，摄动法[27]Weiss–Tabor–Carnevale方法[28]，Painlevé展开方法[29]，截断展开法[30]，多项式展开法[31,32,33,34,35,36,37]除其他外；另请参阅其中的参考文献。 本文的目的是找到S-FS-KS的精确解(1)通过使用-膨胀法。本文的结果改进并概括了早期的研究，如[24]. 还讨论了乘性噪声如何影响这些解。据我们所知，这是第一篇建立S-FS-KS精确解的论文(1). 在下一节中，我们定义顺序Jumarie导数的一些重要性质，并且我们陈述了修正的Riemann-Liouville导数的一些重要性质。在第3节，我们得到了S-FS-KS方程的波动方程(1)，在中时第4节我们有S-FS-KS的精确随机解(1)通过应用-膨胀法。在第5节，我们展示了几种图形表示，以证明随机项对S-FS-KS获得的解的影响。最后，给出了本文的结论。 2.改进的Riemann–Liouville导数和性质
订单朱马里导数的定义如下[38]:哪里克:是一个连续函数，但不一定是一阶可微的是Gamma函数。 现在，让我们将修改的Riemann–Liouville导数的一些重要性质陈述如下：和哪里称为sigma指数[39,40]. 3.S-FS-KS方程的波动方程
获得SKS方程的波动方程(1)，我们应用下一个波变换哪里是确定性函数c（c）是波速。通过微分方程(2)关于x个和t吨，我们获得哪里是Itó校正项。现在，替换方程式(三)到方程式中(1)，我们获得我们放在哪里,和.考虑到双方的期望是确定性函数，我们有 自是标准高斯随机变量，那么对于任何实际常数我们有现在，方程式(5)有表单 积分方程式(6)根据产量其中，我们将积分常数设置为零。 4.S-FS-KS方程的精确解
在这里，我们应用-膨胀法[41]为了找到方程的解(7). 因此，我们得到了S-FS-KS的精确解(1). 首先，我们假设S-FS-KS方程的解(7)，具有表单哪里是必须稍后计算的不确定常数，以及G公司解决哪里是未知常数。现在让我们计算参数M（M）通过平衡具有在方程式中(7)如下因此 放置方程式(11)到方程式中(7)并利用方程式(9)，我们得到了一个6次多项式如下 通过将()到零，我们有一个代数方程组。通过使用Maple求解该系统，我们得到了两种情况：
通过求解方程(9)带有如果我们获得哪里和是常量。放置方程式(14)到方程式中(13)，我们有 因此，在这种情况下S-FS-KS的精确解(1)，通过使用(2)，具有表单哪里,和 求解方程式(9)带有如果我们获得 因此，通过使用(2)，S-FS-KS的精确解(1)有表单哪里,和 特殊情况：
案例1：如果我们选择然后是方程式(15)以及(19)成为哪里,和和哪里,和 案例2：如果我们选择和然后是方程式(15)以及(19)成为哪里,和和哪里,和 备注 1 如果我们把（即方程式(1)无噪音）和在方程式中(20)–(23)，然后我们得到了与中所述相同的结果[24]. 5.噪声对S-FS-KS解决方案的影响
在这里，我们讨论了随机项对S-FS-KS方程精确解的影响(1)并确定参数。我们针对不同的（噪音强度）。我们利用MATLAB程序绘制解决方案在方程式中定义(21)的和如下： 在图1,图2和图3如图中的第一个图所示，当噪声强度为零时，曲面变得不太平坦。然而，当噪声出现且强度增加时()，我们注意到在轻微的过境行为之后，表面变得更加平面。这表明由于乘性噪声效应，解是稳定的。 6.结论
本文给出了随机分数空间Kuramoto–Sivashinsky方程的不同精确解(1)，受乘法噪声的影响。此外，一些结果得到了扩展和改进，如[24]. 这些类型的解可以用来解释各种有趣而复杂的物理现象。最后，我们使用MATLAB程序生成一些图形表示，以显示随机项对S-FS-KS解的影响(1). 在本文中，我们考虑了乘性噪声和分数空间。在未来的工作中，我们可以考虑加性噪声和分数时间。
