1.简介
哈密尔顿-雅可比方程是经典力学的另一种形式，与拉格朗日力学和哈密尔顿力学等其他形式等效[1,2]. 哈密尔顿-雅可比方程在识别机械系统的守恒量方面特别有用，即使在机械问题本身无法完全解决的情况下，也有可能做到这一点。 哈密尔顿-雅可比方程已经在辛哈密顿系统的情况下进行了广泛的研究，更具体地说，是针对哈密顿函数H（H）定义在余切束中配置空间的问哈密顿向量场由方程获得哪里是上的正则辛形式如我们所知，束坐标也是达布坐标，因此具有本地形式 Hamilton–Jacobi问题在于找到一个函数这样的话对一些人来说上述方程式(1)称为哈密尔顿-雅可比方程H（H）当然，很容易看出这一点(1)可以写为：这就打开了考虑通用1-形式的可能性问（视为余切束的截面). 最近，给出这样一个部分的观察结果相关许可证及其投影通过到上面问从这个意义上说和是-当且仅当(2)持有，前提是闭的（或者，等价地，它的图像是一个拉格朗日子流形)为在许多其他情况下讨论Hamilton–Jacobi问题开辟了可能性[三,4,5,6]非完整系统、多符号场理论、含时力学等。 参考中[7]，我们已经开始对接触哈密尔顿系统的哈密尔顿-雅可比理论进行扩展（另请参阅参考文献[8]). 让我们回顾一下，接触哈密尔顿系统是由接触流形上的哈密尔顿函数定义的，在我们的例子中是扩展余切丛配备标准接触形式，其中z（z）是中的全局坐标和Liouville形式带有明显的标识。 接触哈密顿系统广泛应用于物理学的许多领域，如热力学、耗散系统、宇宙学，甚至在生物学（所谓的神经几何学）中。1930年，G.Herglotz得到了相应的Hamilton方程[9]使用一个扩展了哈密尔顿通常原理的变分原理，但也可以使用接触几何导出它们。 本文的目的是利用与哈密顿量有关的两个向量场，继续研究接触背景下的哈密尔顿-雅可比问题H（H）:
我们注意到其他作者已经处理了Hamilton–Jacobi问题[10,11]他们建立了赫兹变分原理和哈密尔顿-雅可比方程之间的关系，尽管他们的兴趣是分析性的，而不是几何性的。 本文内容如下。第2节致力于介绍接触流形和接触哈密顿系统的主要成分，以及将接触流形解释为雅可比结构。在第3节，我们讨论了接触流形的不同类型的子流形。第4节是论文的主体部分；在这里，我们讨论了接触哈密顿向量场以及相应的演化向量场的哈密尔顿-雅可比问题。由于可能发生的可能性不同，结果比辛哈密顿系统更复杂。在第5节，我们研究了接触哈密顿系统的Hamilton–Jacobi问题及其共选择性的关系。最后，在中讨论了一些示例第6节. 2.接触哈密顿系统
2.1. 触点歧管
考虑接触歧管[12,13,14,15,16,17]带触点形式; 这意味着、和M（M）具有奇数维度然后，存在唯一的向量场（称为Reeb向量场），以便 接触流形有一个达布定理（参见参考文献[18,19])这样，在每个点周围M（M），可以找到局部坐标（称为达布坐标）这样的话我们有 接触结构定义了切向量和covector之间的同构。对于每个, 我们还将表示为对应的同构-向量场与1-形式之间的模M（M）; ♯ 将表示的倒数.
因此，我们有因此，在这个意义上，是的双重对象. 对于哈密顿函数H（H）在M（M），我们定义了哈密顿向量场通过 因此，积分曲线属于满足接触哈密尔顿方程 除了哈密顿向量场与哈密顿函数相关H（H），还有另一个相关的向量场，称为演化向量场由定义因此，它读取本地坐标如下： 备注 1 演化向量场在热力学的几何描述中起着相关作用（参见参考文献[20,21]). 给定联系人量纲流形，我们可以考虑以下分布M（M），我们会打电话给垂直的和水平的分布，分别为： 我们有一个惠特尼和分解并且，在每个点: 我们将表示为和这些子空间上的投影。我们注意到和，还有那个是非退化的，并且由Reeb向量场生成.
定义 1 - 1
两接触流形之间的微分同胚是一个接触对称性如果 - 2
微分同构是一个共形接触态如果存在无处为零的函数这样的话 - 三。
向量场是一个无穷小接触态（分别为，无穷小共形接触态)如果它的流量包括接触形态（分别为，共形接触纯).
因此，我们有
提议 1 - 1
- 2
X是无穷小共形接触态当且仅当存在这样的话 在这种情况下，我们说是一个无穷小共形接触态。
如果是一个-维度接触流形，采用达布坐标，然后哪里 和都是双重基础。
2.2. 作为Jacobi结构的接触流形
定义 2 雅可比流形[19,22,23]是三元组，其中Λ是一个双向量场（一个不对称逆变2-张量场），并且是向量场，因此满足以下恒等式：哪里是Schouten–Nijenhuis括号。 给定Jacobi流形，我们定义雅可比支架:哪里 这个括号是双线性的，反对称的，并且满足雅可比恒等式。此外，它满足了弱莱布尼茨规则：也就是说，是Kirillov意义上的局部李代数。 相反，给定局部李代数，我们可以在上找到Jacobi结构M（M）雅可比括号与代数括号重合。
给定接触歧管，我们可以定义相关的Jacobi结构通过哪里.对于任意函数（f）在M（M），我们可以证明哈密顿向量场关于接触结构与相关Jacobi结构定义的一致，例如：哪里是从切向量到切向量的向量束同构，定义如下即。，适用于所有连接器和. 3.子流形
与辛流形的情况一样，我们可以考虑接触流形的几种有趣的子流形。为了定义它们，我们将使用以下概念补充用于接触结构[13]: 让是一个接触歧管.让是一个线性子空间。我们定义接触补码属于哪里是毁灭者。 我们将此定义扩展到分布通过在每个切线空间中逐点取补码。
在这里，是根据上一节关联的2-张量。
定义 三。 让成为子流形。我们说N是：
各向异性条件可以用局部坐标表示，如下所示。
让成为k个-由函数零集局部给出的维数流形，使用.
因此，N个是共同性的当且仅当，为所有人.
根据(11)，我们得出结论N个是共同性的当且仅当为所有人. 利用上述结果，可以很容易地证明勒让德子流形的以下特征。
提议 2 让是尺寸的接触歧管M的子流形N是Legendrian当且仅当它是（然后它的维数为n）。
考虑一个函数，并让上的正则接触结构.给，是正则投影，并且是典型的Liouville形式吗.束内坐标，我们有以便是达布坐标。 我们表示为1-喷射（f），说： 然后，有人立即检查是的勒让德子流形此外，我们还有：
提议 三。 A部分正则投影的是的Legendarian子流形当且仅当γ局部为函数的1-射流.
备注 三。 上述结果是众所周知的事实的自然延伸，即余切束的截面α是关于正则辛结构的拉格朗日子流形在当且仅当α是闭1-形式（因此，是局部精确的）。
4.哈密尔顿-雅各比方程
4.1. 哈密顿向量场的Hamilton–Jacobi方程
我们考虑扩展相空间，和哈密顿函数（见下图）。 回想一下，我们有局部正则坐标这样一种形式是,是上的规范1-形式，可以局部表示为：是带有Reeb向量场的接触流形 考虑哈密顿向量场对于给定的哈密顿函数，例如： 回想一下是一个Jacobi流形以通常的方式给出（参见第2.2节). 建议的联系结构为我们提供了接触哈密尔顿方程.为所有人. 考虑一段即。，。我们可以使用到项目在只是定义一个向量场在通过 假设在局部坐标系中我们可以计算并获得 现在假设：
是的共同性子流形;
是的拉格朗日子流形，对于任何，其中.
请注意，上述两个条件意味着被拉格朗日树叶剥落,.
我们将讨论上述条件的后果。子流形由函数局部定义 此外，如果，对于任何固定的拉格朗日子流形，然后我们得到和，再次使用(21)，我们得到 我们可以写下方程式(24)以一种更友好的方式。首先，考虑定义在: 定理 1 假设投影的截面γ是这样的是的共同性子流形、和是的拉格朗日子流形，对于任何然后，向量场和γ相关当且仅当(24)持有（相当于(25)保持）。 方程式(24)和(25)被模糊地称为关于接触结构的Hamilton–Jacobi方程.A部分满足定理和Hamilton–Jacobi方程的假设将被称为解决方案Hamilton–Jacobi问题的H（H）. 备注 4 注意，如果γ是H的Hamilton–Jacobi问题的解，那么与共同性子流形相切，但不一定适用于拉格朗日子流形,。发生这种情况的条件是对于任何，即，当且仅当 在这种情况下，我们称γ为Hamilton–Jacobi问题的强解。
子流形上条件的一个刻画如下所示。让成为z（z）-从属的k个-上的表单问.让是固定的外部导数z（z），即：哪里.在局部坐标中，我们有哪里是一个函数，并且是一个z（z）-依赖1-形式。 定理 2 设γ是结束.然后，是一个共同性子流形，并且都是拉格朗日子流形当且仅当和对于某些功能也就是说，本地存在一个函数这样的话和.
证明。 修复; 然后，拉格朗日函数是当且仅当关闭；因此，，所以所有拉格朗日函数是当且仅当.通过Poincaré引理，局部，.
现在，还假设是各向同性的。然后，方程式(23)可以写为或者，同等地和线性相关。 在当地，我们得到了. □
4.1.1. 完整的解决方案
接下来，我们将讨论哈密顿量的Hamilton–Jacobi问题的完全解的概念H（H）.
定义 4 哈密尔顿H的Hamilton–Jacobi方程的完全解是微分同胚使得对于任何一组参数，映射是哈密尔顿-雅可比方程的解。此外，如果是强的，则完整解称为强完整解。 我们有以下图表：定义函数的位置因此，在某种程度上，满意的是和是正则投影。 第一个结果是哪里换句话说， 因此，自与任何子流形相切，我们推断 所以，这些函数是守恒量。
然而，自从，所以 定理 三。 对合中不存在线性无关的第一积分交换集(44)对于Hamilton–Jacobi方程的完整强解。
证明。 如果所有的特定解都是强的，那么Reeb向量场将横向于共同性子流形的确，如果与子流形相切哪里所以，不依赖于z（z）; 因此，它不能是微分同构。 因此，如果支架消失，那么我们将得到函数不能线性独立。的确，我们应该为所有人然而，这意味着和在这种情况下是线性相关的. □ 4.1.2. 另一种方法
而不是考虑如上所述，我们可以考虑正则投影的一部分，说吧.
我们想要实现哪里。使用的局部表达式，我们有，自方程式(32)仅当且仅当： 现在，请注意是上的1表格问然后，我们在当地有. 接下来，我们假设是的勒让德子流形。这意味着是的拉格朗日子流形.
根据提案3，是勒让德子流形当且仅当它是函数的局部1-jet，即，我们认为作为来自的函数问到换句话说，我们有： 如果我们假设满足上述条件，我们可以看到方程(33)成为 定义 5 假设截面γ为是的勒让德子流形和是的拉格朗日子流形然后，γ被称为接触哈密顿H的Hamilton–Jacobi问题的解，如果和如果方程(36)持有。 我们可以用与哈密顿向量场类似的方式讨论完全解的存在性。我们省略了留给读者的细节。
4.2. 演化向量场的Hamilton–Jacobi方程
4.2.1. 第一种方法
假设是为哈密顿函数定义的演化向量场.那么，我们有 假设是正则投影的一部分，说吧.
我们有这个当且仅当 现在假设：
是的共同性子流形;
是的勒让德子流形，对于任何，其中.
定理 4 假设投影的截面γ是这样的是的共同性子流形、和是的Legendarian子流形，对于任何然后，向量场和γ相关当且仅当(39)持有。 方程式(39)被称为演化向量场的Hamilton–Jacobi方程.A部分满足定理和Hamilton–Jacobi方程的假设将被称为解决方案的演化向量场的Hamilton–Jacobi问题H（H）. 4.2.2. 另一种方法
我们将保留上一小节的注释，但现在是正则投影的一部分，说吧.
直接计算表明当且仅当 如果我们假设，对于某些功能（或同等地，是的勒让德子流形)，然后因此（40）满足，并且(40)成为 备注 5 注意f和定义（本地）相同的1-jet。
因此，我们有以下几点。
定理 5 假设投影的截面γ是这样的是的勒让德子流形然后，向量场和γ相关当且仅当(42)持有。 方程式(42)被称为演化向量场的Hamilton–Jacobi方程.A部分满足定理和Hamilton–Jacobi方程的假设将被称为解决方案的演化向量场的Hamilton–Jacobi问题H（H）. 4.2.3. 完整的解决方案
与哈密顿向量场的情况一样，我们可以考虑演化向量场的完全解。
定义 6 演化向量场的Hamilton–Jacobi方程的完全解接触流形上哈密顿量H的是微分同构这样，对于任何一组参数，映射是哈密尔顿-雅可比方程的解。 为了简单起见，我们将使用符号.
与前面的例子一样，我们定义了函数因此，在某种程度上，特此确认：哪里是到因素。 因此，根据我们的假设，与任何子流形相切，我们推断 所以，这些函数是演化向量场的守恒量。
然而，自从，所以 定理 6 对合中不存在线性无关的第一积分交换集(44)对于演化向量场的Hamilton–Jacobi方程的完整解。
证明。 由于截面的图像是勒让德的，因此它们是因此，Reeb向量场将与它们横向，因此，至少有一些索引这样的话 因此，如果所有支架消失，那么我们将获得不能线性独立。□
5.哈密尔顿-雅可比方程的辛化
5.1. 齐次哈密顿系统和接触系统
齐次辛系统和接触系统之间有着密切的关系；例如，参见参考[24,25]. 在这里，我们简要回顾一些关于余切丛辛化的事实。 对于任何歧管M（M），一个函数据说是同种类的如果，对于任何，我们有对于任何在这种情况下，函数F类可以投影到投影束结束M（M）通过对每个余切空间的投影得到。我们对以下情况感兴趣，带有自然坐标在我们注意到，这个定义可以推广到任何向量束。
让是上的齐次哈密顿函数.当地有，对于所有人等价地，一个人可以写对于，其中,定义明确。 通过上述更改，我们确定了歧管作为射影丛余切束的，取无穷远处的点，即由.
以下参考[25],第4.1节，地图发送哈密顿辛系统哈密顿接触系统，其中和分别是典型辛形式和接触形式。观察到，表示为，对应于射影束中的齐次坐标。事实上，地图是投影到负号，即发送光纤中每个点的映射到穿过它的线和原点。 地图满足和.
可以看出提供了共形接触态和齐次辛态之间的双射。此外，映射齐次拉格朗日子流形Legendrian子流形的确，如果是同质的，那么Legendrian是当且仅当是拉格朗日语。此外，哈密尔顿方程转换为哈密尔顿方程H（H）即。，。参见参考文献[25,26]有关此主题的更多详细信息。 我们还注意到，这种结构与参考文献中定义的辛同胚[24]，由给出哪里t吨是第二个的（全局）坐标因素。“辛化”哈密顿量是所以这两种动力-相关。那就是，是这样的哪里是前两个因素的投影。 下面的图提供了共模性也就是说，这个映射是一个映射到上面此外，它是上的一个纤维束自同构（见下图）： 5.2. 哈密顿向量场的关系
现在，我们将在两种情况下建立汉密尔顿-雅各比问题的解决方案之间的关系。假设是辛Hamilton–Jacobi方程的解，即。，是拉格朗日的或者，相当于哪里是投影向量场正则投影。我们想使用这个解决方案辛化中的Hamilton–Jacobi问题（我们通常称之为“辛解”），以获得接触设置中的解（为了简单起见，称为“接触解”）。我们假设然后拿走.在本地坐标中： 我们注意到投影向量场和重合。的虚线（分别为，)通勤当且仅当是辛解（分别为，是哈密尔顿-雅各比问题的接触解）。
引理 1 设H是哈密顿量它的辛式版本。假设.然后，是辛解，或者等价地，和是-当且仅当和与γ有关。
证明。 假设和是-相关。然后，通过图（51）的交换性，我们可以看到和是-相关。
相反，假设和是-相关。让，并让 我们注意到是的倒数沿着子流形特别是，看一下图表（51），这意味着和是-相关。 □
引理 2 假设是拉格朗日语。然后，γ的图像是各向异性的拉格朗日函数是当且仅当对于某些功能.
相反，如果γ的图像是各向异性的是拉格朗日人，那么我们可以选择因此是各向同性的。事实上，它是由以下任一方给出的，其中g是PDE的解 证明。 让它的形象是拉格朗日式的。那就是，.在中拆分零件问和中，我们看到这相当于 现在，.根据定理2，有必要和。我们计算因此是拉格朗日人是共同性的当且仅当与…成比例. 相反，假设满足和.我们必须找到因此(54)都很满意。自，我们有(54)相当于 解决方案在上面的第一个方程上，可以清楚地解出第二个方程。既然我们寻找非暴力，我们让所以这只是如果我们允许这个方程可以写成我们注意到这个向量场是相互转换的， 如果此PDE具有局部解，并使用上述方程进行操作，则其中一个解为：， 该条件显然是必要的，并且通过（Thm.19.27）也足够了[27]. 我们有这个 □ 结合最后两个结果，我们得到了Hamilton–Jacobi问题辛解和接触解之间的对应关系。
定理 7 设H是哈密顿量，并且它的同情版本。然后，是辛Hamilton–Jacobi问题的解，当且仅当是H和对于某些功能.
相反，给定Hamilton–Jacobi方程的接触解γ，则存在辛解这样的话，其中g是PDE的解决方案 替代方法
对于每个z（z），我们有部分表单的，正在。我们知道是接触Hamilton–Jacobi问题的解当且仅当是传奇人物，并且 条件是勒让德等同于我们写的地方，根据定义并使用它是拉格朗日语因此，，使用功能仅取决于。这可以概括如下： 定理 8 假设是辛Hamilton–Jacobi问题的解。然后，是接触Hamilton–Jacobi问题的解当且仅当 5.3. 进化向量场的关系
我们现在考虑进化领域首先，请注意所以我们不能像以前那样简单地期望投影向量场。事实上，人们可以很容易地证明，在辛哈密顿量是以下形式的假设下然后是相关的向量场这样的话永远不会验证 我们现在将看到，尽管存在这种明显的障碍，人们仍然可以建立一些关系。让是辛问题的解并定义截面这将是演化场的相关Hamilton–Jacobi问题的一个解决方案当且仅当是传奇人物，并且 勒让德条件等价于或者，使用它是拉格朗日函数，如前一节所示， 另一方面，我们知道是辛问题的解，因此，，根据定义，这意味着具有C类常数。自)，使用前面的方程式，我们得到： 然后，条件读取当且仅当在每一点，我们有： 找到的函数形式告诉我们，它要么在每一点都是非零的，要么在任何地方都消失了。如果它不在任何地方消失，我们就认为第二个方程一定是真的。实际上，假设前两个方程不成立。那么，第三个等式不仅在给定的点上，而且在开放的邻域中都必须成立哪里是任意函数。再次使用是拉格朗日，我们可以写这意味着小时还取决于z（z）因此，如果，那么第二个方程在每一点都成立。使用它是拉格朗日函数，我们看到这等价于因此，我们发现： 定理 9 让是辛问题的一个解，其中，并考虑该部分那么，当且仅当满足以下两个条件之一时，γ是演化场接触问题的解： - 1
,
- 2
.
6.示例
6.1. 具有线性耗散的粒子
考虑哈密顿量H（H）:哪里是一个常量。扩展相空间为. 假设是正则投影的一部分也就是说， 我们假设是的勒让德子流形如中所示第4.2.2节; 那么，和和是-当且仅当对于常量然后，Hamilton–Jacobi方程变为或者，同等地，这是一个非线性常微分方程。 6.2. 热力学系统应用
我们认为热力学系统能量表示法因此热力学相空间表示扩展变量的是流形，配备了其标准接触形式 配置歧管上的局部坐标问是，其中U型是内能，并且的表示其余的扩展变量。通过勒让德变换，可以选择其他变量，例如熵，而不是内能。
热力学系统的状态始终取决于平衡子流形，这是一个勒让德子流形。这对是一个热力系统.方程（局部）定义被称为状态方程系统的。
关于热力学系统，可以考虑由哈密顿向量场生成的动力学与哈密顿量相关H（H）。如果此动态表示准静态过程也就是说，每次系统处于平衡状态时，其演化状态都保持在子流形中，对于接触哈密顿向量场是必需的与…相切。只有当且仅当H（H）消失于.
使用哈密尔顿-雅各比理论，我们可以看到满意的当且仅当和是-相关。
经典理想气体
有关此示例的详细描述，请参阅参考资料[28,29]; 我们在这里总结了主要成分。 经典理想气体由以下变量描述。
U型：内能，
吨：温度，
S公司：熵，
对：压力，
V（V）：体积，
：化学势，
N个：摩尔数。
因此，热力学相空间为，触点1形式为 哈密顿函数是哪里R（右）是理想气体的常数。Reeb向量场为. 这里的哈密顿矢量场表示理想气体的等容等温过程。
假设是局部给定的截面我们知道这一点是的勒让德子流形当且仅当， 哈密尔顿-雅可比方程为对一些人来说也就是说， 这是一个一阶线性偏微分方程，其解由下式给出具有任意函数。这个案子与热力学解释相关的，由下式给出 7.结论
本文构造了接触哈密顿系统的哈密尔顿-雅可比理论，在几个方面完成了前人的一些第一近似。让我们考虑与给定哈密顿量相关的两个主要向量场，这两个向量场产生了两个不同的动力学。一方面，通常的哈密顿向量场，另一方面，所谓的进化场，后者在热力学系统的研究中起着至关重要的作用。对于这两种情况，都得到了相应的Hamilton–Jacobi方程（每个动力学两个，总共四个），用它们的解提供共向、拉格朗日或勒让德子流形的特征来描述它们。这些特征使辛力学在研究哈密尔顿-雅可比方程的性质时获得了新的结果。
我们还研究了一种替代公式，使用所谓的接触结构的共选择性，从而将我们的结果与这种情况下已知的结果联系起来，尽管我们遇到的问题是我们必须处理齐次哈密顿量（这不会发生在接触情况下）。最后，我们考虑两个示例来说明所获得的结果。
我们相信，这些结果可以应用于不同的领域，例如宇宙学或热力学，仅举几个例子。我们打算解决的任务之一是对离散Hamilton–Jacobi方程的详细研究和生成函数的识别，这使我们能够使用一般理论来积分由Hamilton量生成的耗散方程。
