1.简介
混合神经网络既不是连续时间的，也不是纯离散时间的，其中包括脉冲动力系统和分段常变量模型[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10]. 近年来，许多作者利用脉冲微分方程研究和开发了Hopfield型神经网络的动力学[11,12,13,14,15]和具有分段常数变元的微分方程[16,17,18,19]. 本文提出了一种新的Hopfield型神经网络模型，该模型具有不可预测的输入输出以及延迟的高级广义分段常数自变量。Hopfield型神经网络在自适应模式识别、视觉和图像处理方面非常有效[20,21,22]. 描述Hopfield神经网络的具有分段常数参数的微分方程可以“记忆”特定时刻的相位变量值，以便在中间过程中直到下一时刻使用这些值[5,6,7,8,9,10,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28]. 由混沌振荡元件组成的神经网络以与大脑中神经细胞几乎相同的方式存储和传输信息。众所周知，不可预测的振荡会导致混沌行为[29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41]. 因此，它们的存在对于研究神经网络中的混沌动力学是必要的。 我们的结果的新颖性必须考虑到振荡、混沌和神经网络建模。周期和概周期等振荡在[16,17,18,19,23,24,25,26,27,42,43,44,45]. 然而，发展最快的是不可预测的振荡，它是在[31,32,33,34,35,36,37,38,39]. 这是首次考虑具有广义型分段常数变元的神经网络的不可预测振荡。这一论点承认这种特性是滞后的和先进的，因此，它为神经网络的研究和应用提供了丰富的机会。 众所周知，在大脑神经元的活动中经常观察到振荡和周期性运动。神经网络领域的最新发展使人们对动力学的复杂性产生了越来越大的兴趣。神经网络中的振荡和混沌现象是真实存在的，并激发了许多科学家的兴趣[46,47,48,49,50]. 由于单个神经元的特性，它们出现在神经网络系统中[46,50,51]和神经元之间的突触联系[52,53]. 目前研究中的神经网络显示出不可预测的振荡和混沌。在中引入了不可预知功能[29]基于不可预测点和庞加莱混沌的动力学[30]. 更准确地说，该函数是Bebutov动力学的一个不可预测点，因此，它是混沌集的一员[31]. 不可预测点的概念拓展了经典动力系统理论的前沿，而不可预测函数为微分方程理论提供了不可预测振荡存在的新问题[29,30,31,32,33,34,35,36]. 这些研究被认为是新类型复杂运动出现的主要促成因素。Hopfield型神经网络、分流抑制细胞神经网络和惯性神经网络的不可预测振荡已经获得了显著的结果[37,38,39]. 据我们所知，关于具有分段常数变元的Hopfield型神经网络的动力学行为的结果很少[16,17,18,19,26,27]. 在本文中，我们尝试通过考虑广义类型的分段常量参数来扩展它们[5,6,7,8,9,10,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,43,44]并利用不可预测函数理论。我们通过考虑不可预测的输入改进了以前的方法，从而可以研究神经网络中混沌信号的分布。 2.前期工作
表示方式所有实数、自然数和整数的集合。引入向量的范数 作为哪里是绝对值。相应地，对于正方形矩阵，规范已使用。
我们修复了两个实值序列这样的话为所有人作为假设存在正数这样的话对于所有整数k个.
本文研究的主要对象是以下具有分段常数参数的Hopfield型神经网络系统：哪里如果 -当与其他单元和输入隔离时，单元自我调节或重置其电位的速率；
米-网络中神经元的数量；
-的状态我时间第个单位t吨;
,-单元输入电势的激活函数j个;
-单位的突触连接权重j个在单元上我;
-时变激励，对应于从网络外部到机组的外部输入我.
在本文中，我们假设参数和是真实的，并且激活功能是连续函数。此外，假设存在正常数和这样的不平等为每个人保留.
我们提供系统(1)以以下矢量形式：哪里是神经元状态向量， 和是激活，以及是输入向量。此外，,,是矩阵。 作为连续时间神经网络动力学的常用激活方式，我们考虑了以下S形函数[45]: 它们在神经网络中用作激活函数，因为它们既可以放大微弱信号，又不会被强信号饱和。激活函数和输出函数用传递函数这一术语来概括。如果激活函数决定了神经元接收的总信号，则传递函数将输入信号转换为输出信号。
具有分段常量参数的Hopfield型神经网络系统的框图如所示图1中描述了图的符号表1. 定义 1 ([29]).一致连续有界函数如果存在正数，则是不可预测的和序列两者都发散到无穷大作为在紧子集上一致和对于每个和. 3.主要成果
让表示空间米-维向量函数,符合规范假定该空间的函数满足以下属性：
- （A1）
它们是一致连续的；
- （A2）
存在一个数字这样的话对于每个功能;
- （A3）
存在一个序列发散到无穷大对于每个函数，在实轴的每个闭有界区间上一致.
- （C1）
和为所有人哪里为正常数；
- （C2）
存在正数,这样的话和;
- （C3）
是来自空间的函数，并且存在一个正数这样的话
- （C4）
- （C5）
- （C6）
，其中
;
- （C7）
;
- （C8）
存在一个序列使用该属性作为这样的话和作为在每个有限整数区间上，其中是定义1中给出的序列。
引理 1 ([10]).A函数是方程（1）的有界解，当且仅当它是下列积分方程的解： 证明。 让我们计算关于时间变量然后，我们有： 因此，我们可以找到所有即：由于有界，均匀连续。这意味着满足属性（A1）。 此外，我们还有即：最后一个不等式和条件（C4）意味着因此，满足属性（A2）。 现在，我们需要检查最后一个属性（A3）换句话说，我们必须验证是否存在序列它发散到无穷大，因此对于每一个 在实轴的每个闭合且有界的区间上一致。固定任意正数和一个封闭区间哪里具有。这足以表明足够大n个和我们选择两个数字和这样： 采取n个足够大以至于和在然后，对于，通过书写：可以看出：有效。如果我们把最后一个积分分成两部分，我们得到即： 我们需要找到最后一个积分的上限。为此，我们将通过将积分区间划分为以下子区间来评估它。对于固定，我们假设在不失一般性的情况下和所以确实存在对区间中的不连续矩
让我们表示：我们需要最后一个积分的如下表示。现在，如果我们将上一个表达式中的积分定义为：和：哪里然后我们可以写下：对于 ，根据条件（C8） 因此，我们得出：自从函数是均匀连续的n个和，我们可以找到一个这样的话如果经过讨论，我们得出结论：此外，我们的条件（C8）是：应用积分的类似思想我们得到： 因此，确实：经过这些评估，结果如下：为所有人因此，不平等(4)–(6)给那个对于因此，函数满足属性（A3）。因此，操作员在中是不变的. □ 证明。 让函数和属于这个空间我们获得了所有即：那么，这对所有人来说都是真的即： 因此，条件（C5）意味着运算符是收缩性的。这个引理被证明了。□
在证明解的稳定性时需要以下断言。
引理 4 ([10]).假设满足条件（C1）、（C7），并且是一个连续函数如果是以下问题的解决方案：然后是以下不等式：为所有人保留，其中K如（C6）中所定义。 证明。 首先，我们确定一个整数我这样的话然后考虑两种备选情况（a）和（b）.
对于（a），我们有：Gronwall–Bellman引理得出： 此外，对于，我们有：因此，根据条件（C7），用于 因此(8)为所有人保留,. 的断言案例（b） 可以用同样的方式证明。
因此，可以得出以下结论：(8)为所有人保留.证明了引理。□ 定理 1 假设条件（C1）–（C8）成立。如果功能ϑ不可预测，则系统(1)具有唯一的指数稳定的不可预测解决方案。 证明。 首先，我们展示是一个完整的空间。让有一个限制在是空间中的柯西序列可以很容易地看出极限函数一致连续且有界，因此满足属性（A2）和（A3）。剩下的只是表明满足属性（A3）。考虑一个封闭的有界区间我们有： 如果一个人拿的足够大n个和k个使得最后一个不等式右边的每个项都小于足够小的和然后是不等式满足于这意味着序列一致收敛于在因此，空间已完成。由于操作员在中是不变的和收缩的，分别根据引理2和3，从压缩映射定理可以得出具有唯一的固定点这是神经网络系统的唯一解决方案(1). 因此，显示了解的唯一性。 接下来，我们验证这个解决方案是不可预测的。我们可以找到一个正数和如下不等式：和：都很满意。假设这些数字和都是固定的。 表示：并考虑以下情况：（i）（ii） （i） 如果持有，我们有：对于 （ii）如果是真的，它是从(11)即：对于我们可以看到：和：从第二个等式中减去第一个等式，我们得到：因此，我们认为：对于 对于固定我们可以拿足够小的以便对一些人来说因此，对于这意味着与条件（C8）一起自函数z（z）是均匀连续的。利用这个事实和大型n个，我们可以找到一个这样：如果 根据在案例（i）和（ii）中获得的不等式，我们可以看到解决方案无法预测和.
最后，让我们考虑解决方案的稳定性.
表示哪里是神经网络系统的另一种解决方案(1)具有广义类型的分段常量参数。然后，将是一个解决方案(7). 通过应用不等式(8)至(12)，我们得出：因此，我们发现：最后一个不等式可以写成如下：如果我们对最后一个不等式应用Gronwall–Bellman引理，它将导致：换句话说，我们有：现在，根据条件（C6），我们得出如下结论：第页，共页(1)一致指数稳定。这个定理被证明了。□ 4.示例和数值模拟
在本节中，我们将提供两个示例。首先，我们利用中考虑的逻辑映射构造了一个不可预测函数的示例[29]. 然后，我们在第二个示例中使用此函数，该示例处理Hopfield型神经网络系统。 例子 1 考虑以下给出的离散逻辑图：哪里我们知道如果，则此映射的迭代属于间隔[54]. 此外，如果，方程式(13)有一个不可预测的解决方案。让 表示不可预测的解决方案(13)的.存在一个正数和序列发散到无穷大作为对于整数和有界区间中的每个i对于每个 考虑以下积分定义：哪里对于 值得注意的是在整个实轴上有界，使得在[37]，证明该功能是一个不可预测的函数。 因为我们不知道函数的初始值，我们无法将其可视化。因此，我们表示函数如下：哪里。值得注意的是，由于初始值未知，无法模拟不可预测的函数。 这就是为什么我们模拟一个函数接近函数的随着时间的增加。让我们确定：哪里是一个固定数字，不一定等于.减去等式(15)来自平等(14)以获得,最后一个方程表明指数递减。这意味着该函数指数趋向于不可预测的函数即，随着时间的增加，这些函数的图形接近。 功能和是微分方程的解：而不是描述不可预测解决方案的曲线，我们可以得到，渐近逼近第一个。在图2，我们描述了由初始值定义的图. 例子 2 考虑以下给出的Hopfield型神经网络：哪里, ,时变激励为：在这里，是示例1中提到的不可预测函数。 让参数起作用由序列定义,
我们可以看到，条件（C1）–（C8）对于神经网络是有效的(16)带有 对于而且，,.如果我们接受，然后系统(16)满足定理1的所有条件。因此(16)具有唯一的指数稳定的不可预测解决方案 由于初始值未知，因此无法模拟不可预测的解决方案。因此，我们考虑另一种解决方案，最初从该点开始.
函数的图形接近不可预测的解决方案方程式的(16)，随着时间的增加。也就是说，可以考虑。我们给出了解决方案的坐标在里面图3此外，图4指示解决方案的轨迹。 此外，我们描述了所提出的Hopfield型神经网络的电路实现(16)使用MATLAB Simulink。Hopfield型神经网络的Simulink模型如所示图5中描述了这些符号表2. 在框图中，我们将双曲正切传递函数作为sigmoid函数（f）和克为了实现框图，我们使用了MATLAB Simulink库中的传递函数“tansig”。输入是不可预测的函数。
