1.简介
本文介绍了一种新型的振荡，称为不可预测轨迹[1]. 不可预测的轨迹必然是正泊松稳定的，其显著特征之一是在相应的准最小集中出现混沌。基于不可预测轨迹存在的混沌类型称为庞加莱混沌[1]. 符号动力学、逻辑映射和Hénon映射是一些具有不可预测运动的示例[1，2]. 而不是几个运动的相互作用，这是其他混沌类型的要求[三，4，5]，检查单个不可预测运动的存在就足以验证庞加莱混沌。因此，不可预测的振荡与Poincaré混沌的联系是基于Poisson稳定运动。泊松稳定运动的基本原理可参见[6]. 在微分方程理论中，泊松稳定解的类已被深入研究[7，8，9，10]。 本研究的理论基础在于动力系统理论，该理论由H.Poincaré和G.Birkhoff创立[6，11]. 正是这位法国天才懂得了混沌动力学的本质是泊松稳定运动。不同类型的振荡线由论文中不可预测点的概念维持[1]. 让是一个度量空间，并且，其中是非负实数的集合，是上的半流X（X）.A分如果存在正数，通过它的轨迹是不可预测的和序列两者都发散到无穷大，因此和对于每个.在纸上[1]证明了具有不可预测性的泊松稳定运动决定了拟最小集的灵敏度。通常，动力特性产生函数特性。例如，周期运动或概周期运动允许我们分别定义周期函数和概周期函数。类似地，从中引入的不可预测点发出[1]，在纸上[12]不可预测函数被定义为Bebutov动力学的一个点，其中状态空间是一组函数。在目前的研究中，我们用B拓扑取代了动力学的度量状态空间[13]，其中利用了实轴紧子集上分段连续函数的收敛性。这使得我们的建议在应用中更具普遍性和有效性，因为提出了建设性的可验证条件。在本研究中，它被应用于线性脉冲系统。 不可预测点和不可预测函数在混沌理论研究中的应用越来越广泛。例如，Miller考虑了Poincaré混沌的一些拓扑性质[14]、Thakur和Das[15]. 论文中考虑了具有不可预测解的各种类型的微分方程[2，12，16，17，18]在书中[19]. 最近在论文中证明了这一点[20]不可预测的运动也发生在随机过程中。 在过去的几十年里，除了混沌理论之外，脉冲微分方程从理论和实践的角度都发挥了重要作用[13，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30]. 这样的微分方程描述了现实世界中存在连续过程突然中断的现象的动力学，它们在诸如力学、电子学、医学、神经网络、通信系统和人口动力学等各个领域发挥着至关重要的作用[31，32，33，34，35，36，37，38]. 研究了Li-Yorke意义下的混沌以及脉冲系统中存在的混沌周期加倍路径[39，40]通过混沌复制技术。 在本研究中，我们表明不可预测的扰动会导致线性脉冲系统动力学中出现不连续的不可预测运动。在没有扰动项的情况下，所研究的线性系统具有一个简单的动力学，从而允许一个渐近稳定的正则解。然而，我们的结果表明，不可预测项的存在控制了结果动力学的行为，并且出现了不连续的不可预测解。在本研究中，我们还研究了冲动时刻存在不可预测性的情况。由于脉冲系统的性质，B-拓扑的概念[13]对于不连续不可预测解的理论研究是必需的。 我们已经获得了普通线性和拟线性系统以及离散方程的基本结果[17，18]. 本研究的主要贡献之一是提出了间断不可预测函数和不可预测离散集的新定义。另一个主要贡献是证明了线性脉冲系统不可预测解的存在性和唯一性。具有非不可预测和不可预测脉冲动作的系统正在调查中。 受益于[2，12，16，19]和脉冲微分方程理论的结果[13，21]研究了线性脉冲系统不连续不可预测解的存在性、唯一性和稳定性。为了构造一个不可预测的函数，一个由随机定义的离散伯努利过程产生的不可预测序列[20]被利用。 2.前期工作
在整篇论文中，，、和分别代表实数、自然数和整数的集合。此外，我们还利用了向量的常用欧几里德范数和方阵的谱范数[41]。 众所周知，脉冲系统的解是分段连续函数，具有第一类不连续性。研究脉冲系统的一个困难是，一般来说，不同解的间断矩不一致。因此B-拓扑我们的调查需要[13]。 表示方式在实轴上定义的所有函数的集合。它们是连续的，除了可数的点集。在这些点上，函数允许单边限制。如果函数不同，则点集不一定重合。这些点集没有有限的累加点，并且在两侧都是无界的。
两个功能和从，据说是-区间上的等价如果函数的间断点和在里面J型可以分别计算和，，因此对于每个、和对于每个，除了介于和对于每个我.在这种情况下F类和G公司是-等效于J型，我们还说函数位于-彼此相邻。借助这些邻域定义的拓扑称为B-拓扑.
在下文中，我们将表示为，间隔，如果和间隔，如果.
让，，是一个实数序列对于一些正数，、和作为.
定义 1 分段连续有界函数用一组不连续点，，令人满意对于每个如果存在正数，则称为不连续不可预测函数（d.u.f.），σ，序列实数和序列所有的整数都发散到无穷大
- （a）
作为关于整数的每个有界区间对于每个自然数n；
- （b）
对于每个正数ϵ，都存在一个正数δ，这样无论何时和属于相同的连续间隔;
- （c）
作为每个有界区间上的B-拓扑；
- （d）
对于每个自然数n，都存在一个区间不包含任何不连续点和、和对于每个.
在定义1中，我们将该属性称为条件一致连续 ，属性泊松稳定性 、和属性不可预测性 .
定义 2 假设是具有间断点集的分段连续有界函数，，令人满意和，，是中的有界序列.这对夫妇如果存在正数，则称为不可预测，σ，序列实数和序列所有的整数都发散到无穷大
- （a）
作为关于整数的每个有界区间对于每个自然数n；
- （b）
对于每个正数ϵ，都存在一个正数δ，这样无论何时和属于相同的连续间隔;
- （c）
作为每个有界区间上的B-拓扑；
- （d）
每个自然数n都有一个区间不包含任何不连续点和、和对于每个;
- （e）
作为对于整数和有界区间中的每个i对于每个自然数n。
与定义1类似，在定义2中，我们将属性条件一致连续 ，属性泊松稳定性 、和属性不可预测性 .
序列，据说是不可预测的离散集如果条件感到满意。
很明显，如果这对夫妇在定义2的意义上是不可预测的，那么是定义1意义上的不连续不可预测函数。
显然，定义1并不遵循定义2，因为仅仅通过减少术语就无法获得前者。零序列不是不可预测的序列。因此，本文需要这两个定义。
不可预测序列的定义如下。
定义 三 ([16]). 有界序列，英寸如果存在正数，则称为不可预测和序列，，，这两个正整数都发散到无穷大，因此作为对于整数和有界区间中的每个i对于每个. 根据本研究的目的，我们将脉冲系统的间断矩指定为哪里，，是一个实数序列，在定义3和是这样一个数字对于某些数字. 自，是一个不可预测的序列，存在一个正数和序列，两者都发散到无穷大作为对于每个我在整数的有界区间内对于每个自然数
让我们展示一下序列，，是不可预测的离散集。更确切地说，我们将证明定义1中提到的适用于，，使用，、和对于每个自然数n个.通过这些序列的选择、和，我们有 因此，作为对于每个我在整数的有界区间中。另一方面，对于每个自然数 此外，可以确认，，由定义(1)满足不等式具有和. 3.具有不可预测脉冲的线性系统
本节线性脉冲系统的主要对象，哪里，矩阵和通勤，顺序，，不连续力矩的定义如下(1)，以及是定义1意义上的d.u.f。我们认为，其中我是单位矩阵。 让我们用表示下列线性脉冲系统的Cauchy矩阵(2), 由于矩阵一个和B类通勤，我们有那个哪里表示序列的项数，，属于间隔、和[21]。 让我们用表示，，矩阵的特征值.
，其中是…的真实部分对于每个.
由于(4)，在条件下，存在数字和这样的话对于[13，21]。 让我们证明以下辅助断言。
引理 1 假设条件则满足以下不等式保持，其中. 证明。 通过使用(4)和(5)，我们可以证明对于. □ 定理 1 假设条件有效。如果是定义1意义上的d.u.f.，然后是系统(2)具有唯一渐近稳定的不连续不可预测解。 证明。 正如从脉冲微分方程理论中所知道的那样[13，21]，根据函数的有界性，系统(2)承认独特的解决方案在实轴上有界，满足方程 可以验证以下连续性点哪里因此，是条件一致连续函数。的渐近稳定性可以用与中提到的有界解的稳定性非常相似的方式进行验证[13]。 自是d.u.f.，存在正数，，序列实数和序列所有的整数都发散到无穷大，因此和在定义1中，保持，即当被替换为（f）.
让我们继续验证即定义1中的属性（c）。
固定任意正数和任意紧区间，其中。我们将显示足够大的n个不平等每个人都满意t吨在里面选择数字和这样的话和 让n个是一个足够大的自然数，以便对于，、和对于.我们假设在不失一般性的情况下。此外，假设对于. 如果，那么我们有 不平等(9)–(11)暗示对于，因此，在每个紧致区间上一致B类-拓扑结构。 接下来，我们将展示序列的存在性，它发散到无穷大，和正数，这样的话对于.
对应于d.u.f.的定义1。，间隔，不允许任何不连续点和因此，以下讨论忽略了不连续力矩的存在。
存在一个正数这样的不平等和对每个和自然数n个. 让我们确定一个任意的自然数n个，假设，其中每个，，是一个实值函数。可以确认存在一个整数，，因此 因此，不平等对有效. 存在数字在间隔中这样的话 假设对于某些数字让我们表示和 那么，对于，我们有 因此，对于每个t吨从间隔，很明显发散到无穷大。因此，是系统唯一的不连续不可预测解(2). □ 4.具有不可预测脉冲的线性系统
考虑以下线性脉冲系统，哪里、矩阵和通勤，顺序，，不连续力矩的定义如下(1)，以及在定义2的意义上是一对不可预测的情侣。此外，，其中我是单位矩阵。 值得注意的是(14)是一个具有不可预测脉冲的线性脉冲系统，它不是系统的特殊情况(2). 事实上，为了引入扰动在脉冲部分，不仅要考虑序列的不可预测性，还要假设序列和对于未受扰系统，必须与新术语保持一致。 在证明下列定理时，我们将再次使用符号和如定理1的证明所述。此外，我们设置.
定理 2 假设条件有效。如果这对夫妇在定义2的意义上是不可预测的，然后是系统(14)具有唯一渐近稳定的不连续不可预测解。 证明。 根据[13，21]，系统(14)拥有独特的解决方案它以整个实轴为界。此外，满足等式对于.如果t吨不是不连续力矩，然后 最后一个不等式得出了此外可以使用书中提到的结果进行验证[13，21]。 解的渐近稳定性可以验证为中有界解的稳定性[13]。 自从那对夫妇不可预测，存在正数，，序列实数和序列所有的整数都发散到无穷大，使得，、和在定义2中，函数保持不变和顺序，即当和分别替换为（f）和.
接下来，我们将重点讨论.固定任意正数和紧凑的间隔具有。我们将证明，对于足够大的n个不平等为每个人保留
让我们确定数字和满足不等式和 可以检查一下，如果n个是一个足够大的自然数，那么方程有效。 固定一个足够大的自然数n个这样的话，无论何时和对于.在不失一般性的前提下假设.面向所有人，我们有 此外，不平等等待此外，我们还有 因此，对于根据不等式(16)–(20). 因此，在中一致B类-每个紧区间上的拓扑。 解决方案的不可预测性可以证明与解决方案相同系统的(2). □ 5.示例
例子 1 在这个例子中，我们将通过逻辑映射的不可预测轨道和随机确定的不可预知序列来构造一个不连续的不可预见函数[20]。 在报纸上[2]，事实证明、物流图拥有不可预测的解决方案，在间隔中.存在一个正数和序列两者都发散到无穷大作为对于整数和有界区间中的每个i对于每个. 由于序列(22)，形式为(1)，使用，存在一个正数，一个序列实数和序列所有的整数都发散到无穷大作为对于整数和有界区间中的每个i对于每个自然数n，序列是一个不可预测的离散集。 在这个例子中，我们利用伯努利过程的实现，通过将不连续不可预测函数视为两个具有相等概率的整数1和3的无限序列来构造它根据（定理1[20]). 然后，存在一个不可预测的序列，，并且存在序列，，，两个正整数都发散到无穷大这样的话对于整数和有界区间中的每个i对于每个自然数n。 让是通过方程式定义的函数对于，。我们将展示这一点是定义1意义上的不连续不可预测函数。
可以证明，如果，，然后，。对于，，可以验证和然后也就是说那是给你的吗让我们来表示它们相应地，对于每个函数的值等于因此，通过使用不可预测性，我们有作为在每个有界区间上的B-拓扑中。此外，函数的值和，在相应的间隔上、和，对于固定n，分别等于和因此，我们有.
因此，是一个带有正数的不连续不可预测函数和序列.函数的图形表示为图1. 例子 2 哪里是示例1中的d.u.f.，以及 这对夫妇根据（引理1.4和1.5），在定义2的意义上是不可预测的[17]). 具有特征值可以证明这一点 哪里.不平等(5)对系统满意(23)带有和根据定理2，系统存在唯一渐近稳定的间断不可预测解(23). 值得注意的是，由于初始值未知，不可能模拟不可预测的函数。这就是为什么我们将模拟一个解决方案哪一个接近不可预测的解决方案随着时间的增加。我们可以用以下图表来代替描述不可预测解决方案的曲线。我们在中描述图2具有初值的解的图此外，图3表示解决方案的运行轨迹. 6.结论
在本研究中，我们给出了渐近稳定不连续不可预测解存在唯一的充分条件。为了确定解的不连续时刻是否存在不可预测性，引入了不可预测离散集和不连续不可预测函数的概念。我们的方法可以用于研究各种类型的脉冲微分方程的不可预测性。
