Birnbaum-Saunders Quantile Regression Models with Application to Spatial Data

Sánchez, Luis; Leiva, Víctor; Galea, Manuel; Saulo, Helton

doi:10.3390/math8061000

开放式访问编辑的选择第条

Birnbaum-Saunders分位数回归模型及其在空间数据中的应用

¹

智利特穆科拉弗伦特拉大学数学与统计系，邮编：4780000

²

智利瓦尔帕莱索市瓦尔帕拉索天主教大学工业工程学院2362807

^三

智利圣地亚哥智利天主教大学统计部，邮编8320000

⁴

巴西巴西利亚巴西利亚大学统计系，巴西利亚70910-90

^*

应向其寄送信件的作者。

数学 2020,8(6), 1000;https://doi.org/10.3390/math8061000

收到的提交文件：2020年4月30日/修订日期：2020年6月11日/接受日期：2020年6月12日/发布日期：2020年6月18日

（本文属于特刊统计模拟与计算)

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版本注释

摘要

:

本文提出了一种基于Birnbaum–Saunders分布的空间分位数回归模型。这种分布已在许多领域得到广泛研究和应用。为了建立这样一个空间模型，建立了多元Birnbaum–Saunders分布的参数化，其中一个参数与各自边际分布的分位数相关联。模型参数采用最大似然法进行估计。最后，利用数据集对所建立的模型进行了说明。

关键词：

数据分析;地质统计模型;最大似然法;多元分布;R软件;统计参数化

1.简介

最近备受关注的一种不对称分布是Birnbaum–Saunders（BS）模型。它起源于材料疲劳，已应用于可靠性和疲劳研究[1,2,三]. 关于BS分布的数学和统计特性、推断、建模和诊断，已经做了大量工作。它的自然应用主要集中在工程上。然而，今天它们涵盖了不同的领域，包括空气污染[4,5]，业务[6]，地球科学[7,8]，行业[9,10]和医学[11,12]等领域。这些应用程序由一个国际跨学科研究小组执行。

标准回归模型提供了对给定协变量特定值的平均响应的估计。这些模型不能用于估计与平均值不同的其他参数，这是此类模型的一个局限性。然而，首先，在工程、环境和社会科学以及其他领域，从业者通常对估算分位数感兴趣，以确定产品保证、确定土壤中的营养水平或测量穷人（下尾）和富人（上尾）的经济不平等人们的家庭收入[13]. 其次，标准回归模型的另一个局限性是，如果响应变量服从一个歪斜分布，那么平均值并不是一个很好的中央趋势指标来总结数据，在这种情况下，中位数是一个更具信息性和稳健性的估计。此外，第三，回归模型可以描述与变异性、偏度和其他高阶矩相关的整个分布的参数，这些参数可以表征分布[14]. 为了解决上述前两个局限性，分位数回归模型由[15]，将中值回归模型扩展为[16]，并将普通样本分位数推广到回归设置。我们感兴趣的是通过回归对BS分布的中位数或其他分位数进行建模；参见[17,18].

如果在建模中添加空间分量，平均值（或中位数）估计值的准确性可能会提高[19]. 空间分位数回归的想法最初是由[20]、和[21]讨论了基于条件分位数函数的一般空间分位数回归，而[22]显示了空间分位数回归的变体。我们在下一节中提供分位数回归的背景，包括空间情况。参考[23,24,25]介绍了BS空间均值回归模型及其对条件均值的诊断；参见[26]有关诊断方法的详细信息。将随机过程应用于空间数据建模，以了解相应的有限维多元分布。BS多元分布由以下人员提出和研究[27,28,29]. BS分位数回归模型最近由[13]对于独立案例，考虑了家庭收入数据。然而，对于具有空间相关性的数据，还没有提出BS分位数回归的研究。

这项工作的主要目标是建立一类基于BS分布的新型空间分位数回归模型。为了实现这一点，我们提出了一种分位数参数化来生成一个新的多元BS模型，该模型的参数由最大似然法估计。随后，应用数据集进行说明。

剩下的论文组织如下。在第2节描述了独立数据和空间数据情况下的分位数回归模型。第3节给出了原始参数化中的单变量BS分布和它的新参数化，这使我们能够对分位数进行建模。在第4节介绍了多元正态分布及其与多元BS分布新参数化的联系。在第5节，我们建立了基于BS分布的空间分位数回归模型。第6节使用最大似然法推导模型参数的估计，而模型检查工具在第7节.英寸第8节，我们使用空间数据进行了一个实证示例，以说明新模型的潜在应用。结论和未来工作见第9节.一个附录A本文最后给出了分数向量和Hessian矩阵的导数。

2.分位数回归

标准回归模型已在不同领域广泛使用，其定义为

年_{我} = {x个}_{我}^{⊤} β + ε_{我}, 我 = \bar{1, n个},

哪里年是因变量（或响应变量）；

x个

对应于自变量向量的值（协变量）

X（X）

;

β

是回归参数的向量；和

ε

是随机错误

E类 [ε] = 0

,

变量 [ε] = ς^{2}

（恒定方差），以及

Cov公司 [ε_{我}, ε_{k个}] = 0

，用于

我 \neq k个

（不相关错误）。这意味着回归模型描述了条件平均值

E类 [年 | X（X） = x个] = {x个}^{⊤} β

，因此它可以由的概率密度函数（PDF）编写年根据其平均值进行参数化。例如，如果年正态分布，则其线性回归模型可视为

年_{我} | {X（X）}_{我} = {x个}_{我} \sim N个 (μ_{我} = {x个}_{我}^{⊤} β, ς^{2}), 我 = \bar{1, n个},

(1)

具有

年_{1} | {X（X）}_{1} = {x个}_{1}, \dots, 年_{n个} | {X（X）}_{n个} = {x个}_{n个}

是独立的随机变量。此外，我们可以将表达式推广为

μ_{我}

在中给出(1)当考虑

μ_{我} = {小时}_{1} ({x个}_{我}^{⊤} β)

，其中

{小时}_{1}

是可逆函数，例如在广义线性模型中[30]. 如果我们现在考虑k个-参数分布，带

θ = {(θ_{1} = μ = {小时}_{1} ({x个}^{⊤} β), θ_{2}, \dots, θ_{k个})}^{⊤}

也就是说，根据平均值参数化分布[31,32]除了其他参数外，还可以建立更通用的形式模型

年_{我} | {X（X）}_{我} = {x个}_{我} \sim {（f）}_{_{年}} (年; θ_{1} = {小时}_{1} ({x个}_{我}^{⊤} β), θ_{2}, \dots, θ_{k个}), 我 = \bar{1, n个},

(2)

哪里年现在遵循一些分布。

响应的分位数回归模型年提供一种机制来估计和预测中值响应以及其他分位数[15]. 这类回归模型基于以下等分位数函数：

问_{_{年}} (τ; θ) = inf公司 {年 : {F类}_{_{年}} (年; θ) \geq τ},

哪里

θ

是一个

k个 \times 1

基本分布的参数向量和

0 < τ < 1

如果年是其分位数函数，我们可以表示分位数回归模型，类似于(2)，作为

年_{我} | {X（X）}_{我} = {x个}_{我} \sim {（f）}_{_{年}} (年; 问_{_{年}} (τ; β, {x个}_{我}) = 小时 ({x个}_{我}^{⊤} β), θ_{2}, \dots, θ_{k个}), 我 = \bar{1, n个},

(3)

哪里小时是一个可逆函数，具有正支撑且至少两次可微，

τ

是一个固定值，和之前一样，

年_{1} | {X（X）}_{1} = {x个}_{1}, \dots, 年_{n个} | {X（X）}_{n个} = {x个}_{n个}

是独立的随机变量。

让

{年 (秒), 秒 \in D类}

是在一个区域上定义的随机过程

D类 \subset {R（右）}^{2}

。我们使用符号

问_{_{年 (秒)}} (τ; θ) = inf公司 {年 : {F类}_{_{年 (秒)}} (年; θ) \geq τ}

表示的分位数函数年在该位置

秒 \in D类 \subset {R（右）}^{2}

。如果我们考虑空间位置

秒_{我}

，过程的分位数函数可以通过回归建模为

问_{_{年 (秒_{我})}} (τ; β | x个 (秒_{我})) = x个 {(秒_{我})}^{⊤} β

，或者更一般地说

问_{_{年 (秒_{我})}} (τ; β | x个 (秒_{我})) = {小时}^{负极 1} (x个 {(秒_{我})}^{⊤} β)

，用于

我 = \bar{1, n个}

在这里，

问_{_{年_{我}}} (τ; β | {x个}_{我})

是的条件分位数函数年给定一组值

{x个}_{我}

对于协变量，在位置

秒_{我}

，其中

τ

是固定值，并且小时如所示(三). 什么时候？

τ = 0.5

，对中值进行建模。通常假设过程的协方差函数仅取决于空间位置之间的距离，即随机过程是平稳的。

3.单变量Birnbaum-Saunders分布

如果

Z轴 \sim N个 (0, 1)

，然后是随机变量T型由提供

T型 = T型 (Z轴; α, ϱ) = ϱ {[α Z轴 / 2 + \sqrt{{(α Z轴 / 2)}^{2} + 1}]}^{2}

(4)

具有形状参数的BS分布

α > 0

和规模

ϱ > 0

，表示为

T型 \sim 英国标准 (α, ϱ)

.随机变量T型得到了积极的支持(4)是一对一的，这使我们能够确定

Z轴 = \frac{1}{α} (\sqrt{T型 / ϱ} 负极 \sqrt{ϱ / T型}) \sim N个 (0, 1) .

的PDF和累积分布函数（CDF）T型分别表示为

{（f）}_{T型} (t吨) = ϕ (A类 (t吨; α, ϱ)) 一 (t吨; α, ϱ), {F类}_{T型} (t吨) = Φ (A类 (t吨; α, ϱ)), t吨 > 0,

哪里

ϕ, Φ

是标准正态分布的PDF和CDF，而

\begin{matrix} A类 (t吨; α, ϱ) & = & \frac{1}{α} (\sqrt{t吨 / ϱ} 负极 \sqrt{ϱ / t吨}), 一 (t吨; α, ϱ) = \frac{d日}{d日 t吨} [A类 (t吨; α, ϱ)] = \frac{1}{2 α ϱ} [\sqrt{ϱ / t吨} + \sqrt{{(t吨 / ϱ)}^{三}}] . \end{matrix}

(5)

让

T型 \sim 英国标准 (α, ϱ)

。随后，以下属性保持不变：

（i）: $E类 [T型] = ϱ (1 + α^{2} / 2)$ .
（ii）: $变量 [T型] = ϱ^{2} α^{2} (1 + 5 α^{2} / 4)$ .
（iii）: $b条 T型 \sim 英国标准 (α, b条 ϱ)$ ，用于 $b条 > 0$ .
（iv）: $1 / T型 \sim 英国标准 (α, 1 / ϱ)$ .
（五）: $W公司 = {Z轴}^{2} = (1 / α^{2}) (T型 / ϱ + ϱ / T型负极 2) \sim χ^{2} (1)$ ，使用 $E类 [W公司] = 1$ 和 $变量 [W公司] = 2$ .

这些特性对于各种统计目的都很有用，例如矩和随机数的生成、参数估计以及基于回归的建模。接下来介绍BS分布的另一个特性。鉴于

q个 \in (0, 1)

，请注意q个BS分布的第个分位数定义为

问 = {t吨}_{q个} = \frac{ϱ}{4} {(α {z（z）}_{q个} + \sqrt{α^{2} {z（z）}_{q个}^{2} + 4})}^{2} = \frac{ϱ}{4} γ_{α}^{2},

(6)

哪里

γ_{α} = α {z（z）}_{q个} + \sqrt{α^{2} {z（z）}_{q个}^{2} + 4},

(7)

具有

{z（z）}_{q个}

成为q个标准正态分布的第个分位数。

4.多元BS分布和一种新的参数化

让

V（V） = {({V（V）}_{1}, \dots, {V（V）}_{n个})}^{⊤} \in {R（右）}^{n个}

是一个随机向量n个-变量正态分布，表示为

V（V） \sim {N个}_{n个} (μ, Σ)

，带平均向量

μ = (μ_{我}) \in {R（右）}^{n个}

和方差-方差矩阵

Σ = (σ_{k个 我}) \in {R（右）}^{n个 \times n个}

，使用

等级 (Σ) = n个

。请注意

Σ

对称、非奇异、正定，然后

V（V）

是非奇异的[33]. 当平均向量为零时，即，

μ = 0_{n个 \times 1}

，我们使用符号

ϕ_{n个}

和

Φ_{n个}

对于n个-分别变量正常PDF和CDF，其中

0_{n个 \times 1}

是一个

n个 \times 1

零向量。

随机向量

T型 = {({T型}_{1}, \dots, {T型}_{n个})}^{⊤} \in {R（右）}_{+}^{n个}

跟随n个-带参数的变BS分布

α = {(α_{1}, \dots, α_{n个})}^{⊤} \in {R（右）}_{+}^{n个}

,

ϱ = {(ϱ_{1}, \dots, ϱ_{n个})}^{⊤} \in {R（右）}_{+}^{n个}

、和

Σ \in {R（右）}^{n个 \times n个}

，如果

{T型}_{我} = T型 ({V（V）}_{我}; α_{我}, ϱ_{我})

，用于

我 = \bar{1, n个}

，其中T型在中给出(4)以及

V（V） = {({V（V）}_{1}, \dots, {V（V）}_{n个})}^{⊤} \in {R（右）}^{n个} \sim {N个}_{n个} (0_{n个 \times 1}, Σ)

，使用

Σ \in {R（右）}^{n个 \times n个}

是的方差-方差矩阵

V（V）

对角线元素等于1。因此，

Σ

也是的相关矩阵

V（V）

在这种情况下。请注意

Σ

是的相关矩阵

V（V）

而不是的

T型

，但我们使用符号

T型 \sim {英国标准}_{n个} (α, 问, Σ)

由于BS和正态分布之间的关系。观察到的CDF和PDF

T型 \sim {英国标准}_{n个} (α, ϱ, Σ)

分别由定义

{F类}_{T型} (t吨; α, ϱ, Σ) = Φ_{n个} (A类; Σ), {（f）}_{T型} (t吨; α, ϱ, Σ) = ϕ_{n个} (A类; Σ) 一 (t吨; α, ϱ), t吨 = ({t吨}_{1}, \dots, {t吨}_{n个}) \in {R（右）}_{+}^{n个},

哪里

A类 = A类 (t吨; α, ϱ) = {({A类}_{1}, \dots, {A类}_{n个})}^{⊤}

，使用

{A类}_{我} = A类 ({t吨}_{我}; α_{我}, ϱ_{我})

,

一 (t吨; α, ϱ) = \prod_{我 = 1}^{n个} 一 ({t吨}_{我}; α_{我}, ϱ_{我})

，以及两者

A类 ({t吨}_{我}; α_{我}, ϱ_{我})

和

一 ({t吨}_{我}; α_{我}, ϱ_{我})

表示为(5).

让

q个 \in (0, 1)

是一个固定的数字，并且

T型 \sim 英国标准 (α, ϱ)

。如果我们应用下面给出的转换

(α, ϱ) \mapsto (α, 问)

(8)

哪里问定义于(6)，则此转换是一对一的。因此，如果

T型 = ({T型}_{1}, \dots, {T型}_{n个}) \sim {英国标准}_{n个} (α, ϱ, Σ)

，我们有一个新的多元BS分布参数化，表示为

T型 \sim {英国标准}_{n个} (α, 问, Σ)

，作用类似于(8)通过转换表示为

(α, ϱ, Σ) \mapsto (α, 问, Σ),

(9)

其中元素

问_{我}, ϱ_{我}

属于

问, ϱ

与…相关(6)对于的边际分布

{T型}_{我}

,

\forall 我 = \bar{1, n个}

因此，根据(9)、CDF和PDF

T型 \sim {英国标准}_{n个} (α, 问, Σ)

分别由下式给出

{F类}_{T型} (t吨; α, 问, Σ) = Φ_{n个} (\bar{A类}; Σ), {（f）}_{T型} (t吨; α, 问, Σ) = ϕ_{n个} (\bar{A类}; Σ) \bar{一} (t吨; α, 问), t吨 = ({t吨}_{1}, \dots, {t吨}_{n个}) \in {R（右）}_{+}^{n个},

(10)

哪里

\bar{A类} = {({\bar{A类}}_{1}, \dots, {\bar{A类}}_{n个})}^{⊤}

，使用

{\bar{A类}}_{我} = A类 ({t吨}_{我}; α_{我}, 4 问_{我} / γ_{α_{我}}^{2}) = [1 / (α_{我} γ_{α_{我}} \sqrt{4 问_{我} {t吨}_{我}})] ({t吨}_{我} γ_{α_{我}}^{2} / 4 问_{我} 负极 1)

,

\bar{一} (t吨; α, 问) = \prod_{j个 = 1}^{n个} 一 ({t吨}_{我}; α_{我}, 4 问_{我} / γ_{α_{我}}^{2}) = \prod_{j个 = 1}^{n个} [1 / (α_{我} γ_{α_{我}} \sqrt{4 问_{我} {t吨}_{我}})] (γ_{α_{我}}^{2} / 2 + 2 问_{我} / {t吨}_{我})

、和

γ_{α_{我}}

在中定义(7).图1和图2显示中定义的PDF的不同图形图(10)带有

n个 = 2

，当参数

α

和问不同，这些PDF的不同旋转。

定理 1

让

T型 = ({T型}_{1}, \dots, {T型}_{n个}) \sim {英国标准}_{n个} (α, 问, Σ)

，使用

α = (α_{1}, \dots, α_{n个})

,

问 = (问_{1}, \dots, 问_{n个})

、和

Σ = (σ_{k个 我})

成为

n个 \times n个

5.空间模型的制定

让

T型 = {T型 (秒), 秒 \in D类}

是在一个区域上定义的随机过程

D类 \subset {R（右）}^{2}

.我们假设随机过程

T型

是稳定的和各向同性的，并且对于给定的空间位置

秒_{我}

，使用

我 = \bar{1, n个}

，过程的分位数函数可以建模为

问 (T型 (秒_{我}); β | {x个}_{我}) = 问_{我} = {小时}^{负极 1} ({x个}_{我}^{⊤} β), 我 = \bar{1, n个},

(11)

哪里小时是一个可逆函数，具有正支撑，至少两次可微，并且

{x个}_{我}^{⊤} = (1, {x个}_{我 1}, \dots, {x个}_{我 (第页 负极 1)})

表示的值

第页 负极 1

协变量，具有

{x个}_{我 j个} = {x个}_{j个} (秒_{我})

，用于

j个 = \bar{1, 第页 负极 1}

也就是说，

{x个}_{我 j个}

是协变量的值

{X（X）}_{j个}

在该位置

秒_{我}

。请注意

第页 < n个

必须满足。此外，

β = {(β_{0}, β_{1}, \dots, β_{第页 负极 1})}^{⊤}

是待估计未知参数的向量

(T型 (秒_{1}), \dots, T型 (秒_{n个})) = ({T型}_{1}, \dots, {T型}_{n个}) \sim {英国标准}_{n个} (α 1_{n个 \times 1}, 问 (β), Σ)

，使用

α > 0

和

1_{n个 \times 1}

成为

n个 \times 1

一的向量。请注意

问 (β)

与相关

问

定义于(9)，但现在取决于

β

在这里，

Σ = (σ_{我 j个})

是

n个 \times n个

之前定义的（非奇异）相关矩阵。因此，根据定理1（iv），BS空间分位数回归模型的方差-方差矩阵可以写成

变量 [T型] = \frac{4 α^{2}}{γ_{α}^{4}} [问 (β) 问 {(β)}^{⊤}] ⊙ (α^{2} Σ ⊙ Σ + 4 U型),

(12)

哪里

问 {(β)}^{⊤} = (问_{1} (β), \dots, 问_{n个} (β))

，使用

问_{我} (β) = {小时}^{负极 1} ({x个}_{我}^{⊤} β),

对于

我 = \bar{1, n个}

请注意，中所述BS空间过程的方差-方差矩阵(12)取决于它的分位数函数。

注意，空间相关性通常由Matérn族的函数建模[19]. 随后，通过使用该族和[36]，矩阵的元素

Σ

参与(12)由提供

σ_{我 j个} = \{\begin{matrix} 1, 我 = j个; \\ \frac{1}{2^{δ 负极 1} Γ (δ)} {(φ {小时}_{我 j个})}^{δ} {K（K）}_{δ} (φ {小时}_{我 j个}), 我 \neq j个; \end{matrix}

(13)

哪里

δ > 0

是一个形状参数；

Γ

是常用的伽马函数；

{小时}_{我 j个}

是位置之间的欧氏距离

秒_{我}

和

秒_{j个}

也就是说，

{小时}_{我 j个} = | | 秒_{我} 负极 秒_{j个} | |

;

φ > 0

是一个称为空间相关逆半径的参数[37]也与名为microrgodic的参数有关[36]; 和，

{K（K）}_{δ}

是第三类阶的修正贝塞尔函数

δ

[38]. Matérn家族的一些特殊案例在表1.

6.模型参数估计

让

θ = {(α, β^{⊤}, φ)}^{⊤}

是空间分位数回归模型未知参数的向量(11)，可用最大似然法估计，如下所示。请注意

φ > 0

是空间相关逆半径[39]中定义的Matérn空间相关函数(13). 因此，对应的log-likelihood函数

θ

基于观测矢量

t吨 = ({t吨}_{1}, \dots, {t吨}_{n个})

可以写成

ℓ (θ) = 负极 \frac{n个}{2} 日志 (2 π) 负极 \frac{1}{2} 日志 (| Σ |) 负极 \frac{1}{2} {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \bar{A类} + 日志 (\bar{一}),

(14)

哪里

\bar{A类} = \bar{A类} (t吨; α 1_{n个 \times 1}, 问)

，使用

问 = 问 (β)

,

\bar{一} = \bar{一} (t吨; α 1_{n个 \times 1}, 问)

、和

Σ

参与(12). 求…的导数(14)相对于相应的参数，导致

(第页 + 2) \times 1

分数向量，定义为

\begin{matrix} \dot{ℓ} (θ) & = & {[\frac{\partial ℓ (θ)}{\partial α}, {(\frac{\partial ℓ (θ)}{\partial β})}^{⊤}, \frac{\partial ℓ (θ)}{\partial φ}]}^{⊤} = {({\dot{ℓ}}_{α}, {\dot{ℓ}}_{β_{0}}, {\dot{ℓ}}_{β_{1}}, \dots, {\dot{ℓ}}_{β_{第页 负极 1}}, {\dot{ℓ}}_{φ})}^{⊤} . \end{matrix}

(15)

有关中给出的得分向量的详细信息(15)，请参阅附录A为了找到最大似然估计

\hat{θ}

属于

θ

，非线性系统

\dot{ℓ} (θ) = 0_{(第页 + 2) \times 1}

必须解决。由于该系统不提供封闭的分析解决方案，

\hat{θ}

必须使用非线性系统的迭代程序进行计算。这里是一个名为Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno的准Newton程序[40,41]，可以通过函数使用最佳和optimx公司在中实现R（右）软件；看见网址：www.R-project.org和[42]. 还检查了相应Hessian矩阵及其子矩阵的行列式的符号，以确保达到有效的最大值。

注意Hessian矩阵

\ddot{ℓ} (θ)

对于BS空间分位数回归模型

(第页 + 2) \times (第页 + 2)

对角块矩阵。此Hessian矩阵是通过对(14)，关于相应的参数，它由下式给出

\ddot{ℓ} (θ) = (\begin{matrix} \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial α^{2}} & \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial α \partial β^{⊤}} & \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial α \partial φ} \\ \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial β \partial α} & \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial β \partial β^{⊤}} & \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial β \partial φ} \\ \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial φ \partial α} & \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial φ \partial β} & \frac{\partial^{2} ℓ (θ)}{\partial φ^{2}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} {\ddot{ℓ}}_{α α} & {\ddot{ℓ}}_{α β} & {\ddot{ℓ}}_{α φ} \\ {\ddot{ℓ}}_{β α} & {\ddot{ℓ}}_{β β} & {\ddot{ℓ}}_{β φ} \\ {\ddot{ℓ}}_{φ α} & {\ddot{ℓ}}_{φ β} & {\ddot{ℓ}}_{φ φ} \end{matrix}),

(16)

其中矩阵的元素

\ddot{ℓ} (θ)

详见附录A因此，对于BS空间分位数回归模型

(第页 + 2) \times (第页 + 2)

预期Fisher信息矩阵，根据(16)，表示为

K（K） (θ) = E类 [负极 \ddot{ℓ} (θ)] = (\begin{matrix} {K（K）}_{α α} & {K（K）}_{α β} & {K（K）}_{α φ} \\ {K（K）}_{β α} & {K（K）}_{β β} & {K（K）}_{β φ} \\ {K（K）}_{φ α} & {K（K）}_{φ β} & {K（K）}_{φ φ} \end{matrix}),

其中矩阵的元素

K（K） (θ)

详见附录A也。

7.模型检查

我们考虑与马氏距离相关的多元BS分布的一个性质，以评估空间模型的拟合度，这可能用于在实践中验证模型。让

{u个}_{我} = {\bar{A类}}_{(我)}^{⊤} Σ^{负极 1} {\bar{A类}}_{(我)}, 我 = \bar{1, n个},

(17)

哪里

{\bar{A类}}_{(我)} = {({\bar{A类}}_{1 (我)}, \dots, {\bar{A类}}_{n个 (我)})}^{⊤}

，使用

{\bar{A类}}_{j个 (我)} = \frac{1}{α_{我} γ_{α_{我}}} \sqrt{\frac{4 {小时}^{负极 1} ({x个}_{我}^{⊤} {\hat{β}}_{(我)})}{{t吨}_{我}}} [\frac{{t吨}_{我} γ_{α_{我}}^{2}}{4 {小时}^{负极 1} ({x个}_{我}^{⊤} {\hat{β}}_{(我)})} 负极 1], j个 = \bar{1, n个},

和

{\hat{β}}_{(我)}

是的最大似然估计

β

使用没有案例的数据集获得我.牛顿-拉夫森一步近似法

{\hat{θ}}_{(我)}

可以通过以下方式获得

{\hat{θ}}_{(我)} = \hat{θ} 负极 {[{\ddot{ℓ}}_{(我)} (\hat{θ})]}^{负极 1} {\dot{ℓ}}_{(我)} (\hat{θ}), 我 = \bar{1, n个},

哪里

{\ddot{ℓ}}_{(我)} (θ)

和

{\dot{ℓ}}_{(我)} (θ)

是BS空间分位数回归模型的Hessian矩阵和得分向量，其参数采用最大似然法估计，无需实例我随后，根据假设

T型 \sim {英国标准}_{n个} (α 1_{n个 \times 1}, 问 (β), Σ),

{u个}_{我}

定义于(17)是一个随机变量的观察值，大约遵循

χ^{2}

分配

n个 负极 1

自由度，用于

我 = \bar{1, n个}

因此，通过使用Wilson–Hilferty近似[43]，我们有

{z（z）}_{我} = \frac{{(\frac{{u个}_{我}}{n个 负极 1})}^{1 / 三} 负极 [1 负极 \frac{2}{9 (n个 负极 1)}]}{{[\frac{2}{9 (n个 负极 1)}]}^{1 / 2}}, 我 = \bar{1, n个},

(18)

是一个随机变量的观察值，它大致遵循标准正态分布。因此，为

{z（z）}_{我}

在中给出(18)可用于评估模型拟合。除了Wilson–Hilferty的近似值外，随机分位数残差定义为[44]可用于评估BS空间分位数回归模型的拟合度。在这个模型的情况下，这样的残差由下式给出

{第页}_{我} = Φ^{负极 1} [F类 ({u个}_{我})], 我 = \bar{1, n个},

(19)

哪里

Φ^{负极 1}

是逆N（0，1）CDFF类是

χ^{2} (n个 负极 1)

CDF。由于随机分位数残差近似为N（0，1）分布，因此

{第页}_{我}

定义于(19)也可用于评估模型拟合度。

8.实证示例

我们分析了与土壤中关键养分的不平衡和不足相关的化学数据集，以说明本文获得的结果。该数据集对应于影响根系发育的镁（Mg）水平，以及与镁竞争营养吸收的钙（Ca）水平

n个 = 82

巴西某一地区的位置。响应变量(T型)是土壤中的镁含量（单位：cmolc/dm3）和协变量(X（X）)是土壤中Ca的含量（单位：cmolc/dm3）。

响应变量的描述性总结包括中值=2.0306的样本值（单位：cmolc/dm3）；平均值=2.008；标准偏差=0.7713；变异系数=0.3841；偏态系数=0.3394；峰度系数=2.9717；最小值=0.5734；最大值=4.2538。图3显示了响应值的直方图（a）、箱线图（b）和散点图（c）T型。在箱线图中，我们检测到对应于位置#12和#47的两个异常值。中的方向变异函数图3d表明没有首选方向，即全方位半变异函数是合适的。因此，可以将相关的随机过程视为各向同性。

为了估计BS空间分位数回归模型的参数，我们考虑了以下几点：（i）根据Matérn函数（带

δ = 0.5

; 看见表1); （ii）随机向量

(T型 (秒_{1}), \dots, T型 (秒_{82})) = ({T型}_{1}, \dots, {T型}_{82}) \sim {英国标准}_{82} (α 1_{82 \times 1}, 问 (β), Σ)

假设；（iii）

q个 = 0.5

（模拟中值的分位数）；以及（iii）链接的恒等式、对数和平方根函数小时中定义的空间分位数回归(11)使用并表示为

问_{我} = {x个}_{我}^{⊤} β, 日志 (问_{我}) = {x个}_{我}^{⊤} β, \sqrt{问_{我}} = {x个}_{我}^{⊤} β, 我 = \bar{1, 82},

(20)

哪里

β = {(β_{0}, β_{1})}^{⊤}

是回归系数向量

{x个}_{我}^{⊤} = (1, {x个}_{我})

，使用

{x个}_{我}

是的价值X（X）对于该位置我.

我们可以在使用修正的Akaike信息准则（CAIC）和Schwarz Bayesian信息准则（BIC）时比较空间回归模型。CAIC和BIC分别由下式给出

CAIC公司 = 2 d日 负极 2 ℓ (\hat{θ}) + (2 {d日}^{2} + 2 d日) / (n个 负极 d日 负极 1), 比克 = d日 日志 (n个) 负极 2 ℓ (\hat{θ}),

哪里

ℓ (\hat{θ})

是参数的log-likelihood函数

θ

与在评估的模型关联

θ = \hat{θ}

,d日是参数空间的维度，并且n个是数据集的大小。这两个标准都基于对数似然函数，并用更多参数惩罚模型。信息准则值越小的模型越好[45]. 具有中定义的链接的模型的对数似然、CAIC和BIC值(20)显示在中表2此外，我们将高斯空间回归拟合到数据集，其中考虑了平均值=中值（对称情况）的建模，允许我们比较(20). 请注意，具有平方根链接的BS模型优于高斯模型。从该表中，我们得出结论，应选择具有平方根链接函数的BS空间分位数回归。

所选模型参数的最大似然估计和相应的渐近标准误差，使用鲁棒协方差矩阵方法估计[46]括号中的和表示为：

\hat{α} = 0.2323 (0.0460), {\hat{β}}_{0} = 0.3821 (0.0030), {\hat{β}}_{1} = 0.1884 (0.0093), \hat{φ} = 0.0045 (0.0021) .

这些标准误差很低，表明所有参数都是以良好的统计精度估计的，并使我们能够推断它们一定是模型的一部分。基于(13)，注意参数

φ

使用置信区间法，显著性为5%，这意味着存在空间依赖性。因此，估计的BS空间分位数回归模型如下所示

{\hat{问}}_{我} = {(0.3821 + 0.1884 {x个}_{我})}^{2}, 我 = \bar{1, 82},

其中相关性矩阵确定为

\hat{Σ} = Σ (δ, \hat{φ})

，用于

δ = 0.5

并在进行评估

\hat{φ} = 0.0045

，而BS空间分位数回归模型的方差-方差矩阵定义于(12)估计为

\hat{变量 [T型]} = \frac{4 {\hat{α}}^{2}}{{\hat{γ_{α}}}^{4}} (\hat{问 (β)} {\hat{问 (β)}}^{⊤}) ⊙ ({\hat{α}}^{2} \hat{Σ} ⊙ \hat{Σ} + 4 \hat{U型}),

哪里

\hat{γ_{α}}

对应于

γ_{α}

评估时间：

\hat{α} = 0.2323

,

{\hat{问 (β)}}^{⊤} = ({\hat{问}}_{1}, \dots, {\hat{问}}_{82})

和

\hat{U型}

获得评估

U型

在

\hat{α}

和

\hat{φ}

.

图4提供了删除带外位置后，通过Wilson–Hilferty近似转换的残差QQ图。请注意，大多数残差都在带内。此外，图5a显示三维散点图，其中显示了T型。这些相同的值显示在中的二维散点图中图5b.这些曲线图使我们能够观察到我们的模型与数据的良好拟合。因此，我们得出结论，BS空间分位数回归模型足以描述这些空间数据，但如果考虑重尾非对称分布，例如BS-Student-t分布，则可以获得更好的拟合。然而，这超出了本研究的目标，为进一步研究提供了挑战。

9.结论和未来工作

在本文中，我们获得了以下发现：

（i）: 建立了多元Birnbaum-Saunders分布的一种新的参数化方法。
（ii）: 提出并推导了一种新的Birnbaum–Saunders空间分位数回归模型。
（iii）: 我们已经为所建议模型的参数开发了最大似然估计。
（iv）: 随机分位数残差已用于模型检查。我们利用威尔逊-希尔弗蒂近似值作为空间模型残差来评估充分性模型。
（v）: 所得结果已应用于实际数据集，以说明其潜在用途。

因此，我们导出了一类新的空间分位数回归，这对于建模正斜分布生成的数据很有用。这种空间回归的主要特征是对响应变量的分位数进行建模，该响应变量遵循Birnbaum-Saunders分布。数值结果表明，空间分位数回归模型具有良好的性能，这表明在处理具有空间相关性、正支持度和遵循向右倾斜分布的数据时，Birnbaum–Saunders分布是一个很好的建模选择。因此，它可以成为应用统计学家和数据科学家工具包的宝贵补充。

以下方面是Birnbaum–Saunders空间分位数回归模型的未决问题，可以在未来的工作中加以考虑：

（i）: 独立性的全球测试可能基于 ${H（H）}_{0} : σ_{我 j个} = 0$ （或 $Σ = 我_{n个}$ ，的 $n个 \times n个$ 单位矩阵）。具体来说，让 ${L（左）}_{满的}$ 是完整模型的似然函数 ${L（左）}_{减少}$ 是简化模型的似然函数（在 ${H（H）}_{0}$ 表示独立）。随后，我们可以使用似然比统计 $Λ = {L（左）}_{减少} / {L（左）}_{满的}$ 进行测试 ${H（H）}_{0}$ 因此，不使用 $负极 2 日志 (Λ)$ 未知，可以使用引导测试。
（ii）: 此外，我们可以考虑 ${H（H）}_{0} : φ = 0$ 与 ${H（H）}_{1} : φ > 0$ 在这种情况下 $负极 2 日志 (Λ)$ 在下面 ${H（H）}_{0}$ 是具有零自由度和一自由度的X平方分布的等权混合，其临界值为2.7055，显著性水平为5%[47]. 在空间情况下，这种分布也可能未知，因此可以使用引导技术。
（iii）: 研究极大似然估计量的渐近行为和性能的细节是很有意义的[48]. 然而，渐近框架对空间数据的适用性并不是一个容易的方面。这是因为至少有两个相关的框架，在估计空间相关性参数时，它们的行为可能会大不相同；有关这些渐近框架及其含义的详细信息，请参阅[49].
（iv）: Birnbaum–Saunders分布基于正态分布，空间分位数回归模型中的参数估计会受到非典型情况的影响。因此，可以考虑对这些情况进行稳健估计，例如基于Birnbaum–Saunders-t分布，以降低其影响；参见[50].
（v）: 除了通过回归添加到建模中的固定效应外，还可以通过混合模型添加随机效应，这可能会产生更复杂的Birnbaum-Saunders空间分位数回归模型并更接近现实[51].
（vi）: 可以对Birnbaum–Saunders空间分位数回归进行局部影响诊断，这允许检测病例的单个或组合影响。许多作者对Birnbaum-Saunders模型中的局部影响进行了研究；例如，请参见[18,23,25,52].

对这些问题的研究正在进行中，其结果将在未来的文章中报告。

作者贡献

所有作者在撰写本文时都提供了结果和想法。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

智利政府国家科学技术研究委员会（V.Leiva）的项目拨款“FONDECYT 1200525”和智利天主教大学研究副校长研究理事会（M.Galea）的项目赠款“Puente 001/2019”为该研究提供了部分支持。

致谢

作者还要感谢编辑和审稿人提出的建设性意见，这些意见改善了手稿的呈现。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A：得分向量和费希尔信息矩阵

附录A.1。得分向量

的元素

(第页 + 2) \times 1

中给出的得分向量(15)详细情况如下

\begin{matrix} {\dot{ℓ}}_{α} & = & 负极 {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial \bar{A类}}{\partial α} + \frac{\partial}{\partial α} [日志 (\bar{一})], \\ {\dot{ℓ}}_{β_{j个}} & = & 负极 {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial \bar{A类}}{\partial β_{j个}} + \frac{\partial}{\partial β_{j个}} [日志 (\bar{一})], \\ {\dot{ℓ}}_{φ} & = & 负极 \frac{1}{2} tr公司 (Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ}) + \frac{1}{2} {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} Σ^{负极 1} \bar{A类}, \end{matrix}

哪里

\partial \bar{A类} / \partial α = (\partial {\bar{A类}}_{k个} / \partial α)

和

\partial \bar{A类} / \partial β_{k个} = (\partial {\bar{A类}}_{k个} / \partial β_{j个})

，使用

\begin{matrix} \frac{\partial {\bar{A类}}_{k个}}{\partial α} & = & \sqrt{\frac{4 问_{k个}}{{t吨}_{k个}}} [\frac{γ_{α}^{'} {t吨}_{k个}}{2 α 问_{k个}} 负极 \frac{1}{{(α γ_{α})}^{2}} (γ_{α} + α γ_{α}^{'}) (\frac{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2}}{4 问_{k个}} 负极 1)], \\ \frac{\partial {\bar{A类}}_{k个}}{\partial β_{j个}} & = & 负极 \frac{1}{α γ_{α} \sqrt{{t吨}_{k个} 问_{k个}}} (\frac{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2}}{4 问_{k个}} + 1) \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} {x个}_{k个 j个}, \\ \frac{\partial}{\partial α} [日志 (\bar{一})] & = & 负极 \frac{n个}{α γ_{α}} (γ_{α} + α γ_{α}^{'}) + \sum_{k个 = 1}^{n个} \frac{2 {t吨}_{k个} γ_{α} γ_{α}^{'}}{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个}}, \\ \frac{\partial}{\partial β_{j个}} [日志 (\bar{一})] & = & \sum_{k个 = 1}^{n个} (负极 \frac{1}{2 问_{k个}} + \frac{4}{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个}}) \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} {x个}_{k个 j个} . \end{matrix}

此外，

\partial Σ / \partial φ = (\partial σ_{我 j个} / \partial φ)

，元素定义为

\frac{\partial σ_{我 j个}}{\partial φ} = \{\begin{matrix} \frac{{小时}_{我 j个}^{δ}}{2^{δ 负极 1} Γ (δ)} [δ φ^{δ 负极 1} {K（K）}_{δ} (φ {小时}_{我 j个}) + φ^{δ} {K（K）}_{δ}^{'} (φ {小时}_{我 j个}) {小时}_{我 j个}], & 我 \neq j个; \\ 0, & 我 = j个; \end{matrix}

哪里

{K（K）}_{δ}^{'} (u个) = d日 {K（K）}_{δ} (u个) / d日 u个

.

附录A.2。信息矩阵

为了获得Fisher信息矩阵，

负极 \ddot{ℓ} (θ)

必须在评估

θ = \hat{θ}

。对于BS空间分位数回归模型，请参见(11)，Hessian矩阵的元素可以表示为

\begin{array}{l} {\ddot{ℓ}}_{β_{j个} β_{我}} & = & 负极 [{(\frac{\partial \bar{A类}}{\partial β_{我}})}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial \bar{A类}}{\partial β_{j个}} + {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial^{2} \bar{A类}}{\partial β_{j个} \partial β_{我}}] + \frac{\partial}{\partial β_{我}} (\frac{\partial 日志 (\tilde{一})}{\partial β_{j个}}), \\ {\ddot{ℓ}}_{β_{j个} φ} & = & {\bar{A类}}^{⊤} (Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} Σ^{负极 1}) \frac{\partial \bar{A类}}{\partial β_{j个}}, \\ {\ddot{ℓ}}_{φ φ} & = & 负极 \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial φ} [tr公司 (Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ})] \\ + \frac{1}{2} {\bar{A类}}^{⊤} [(负极 Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} + Σ^{负极 1} \frac{\partial^{2} Σ}{\partial φ^{2}}) Σ^{负极 1} 负极 Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} Σ^{负极 1}] \bar{A类}, \end{array}

哪里

\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} {\tilde{A类}}_{k个}}{\partial β_{j个} \partial β_{我}} & = & \frac{1}{α γ_{α} \sqrt{{t吨}_{k个} 问_{k个}}} \{(\frac{三 {t吨}_{k个} γ_{α}^{2}}{8 问_{k个}^{2}} + \frac{1}{2 问_{k个}}) \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} \\ + (\frac{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2}}{4 问_{k个}} + 1) \frac{{小时}^{″} (问_{k个})}{{[{小时}^{'} (问_{k个})]}^{2}}\} \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} {x个}_{k个 j个} {x个}_{k个 我}, \\ \frac{\partial}{\partial β_{我}} (\frac{\partial 日志 (\tilde{一})}{\partial β_{j个}}) & = & \sum_{k个 = 1}^{n个} \{[\frac{1}{2 问_{k个}^{2}} 负极 \frac{16}{{({t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个})}^{2}}] \frac{1}{[{小时}^{'} (问_{k个})]} \\ + [\frac{1}{2 问_{k个}} 负极 \frac{4}{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个}}] \frac{{小时}^{″} (问_{k个})}{{[{小时}^{'} (问_{k个})]}^{2}}\} \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} {x个}_{k个 j个} {x个}_{k个 我}, \end{array}

和

\partial^{2} Σ / \partial φ^{2} = (\partial^{2} σ_{我 j个} / \partial φ^{2})

，其元素由

\frac{\partial^{2} σ_{我 j个}}{\partial φ^{2}} = \{\begin{matrix} \frac{{小时}_{我 j个}^{δ} φ^{δ 负极 2}}{2^{δ 负极 1} Γ (δ)} [δ (δ 负极 1) {K（K）}_{δ} (φ {小时}_{我 j个}) + δ φ {K（K）}_{δ}^{'} (φ {小时}_{我 j个}) & 我 \neq j个; \\ + δ φ {K（K）}_{δ}^{'} (φ {小时}_{我 j个}) + φ^{2} {K（K）}_{δ}^{″} (φ {小时}_{我 j个}) {小时}_{我 j个}], \\ 0, & 我 = j个; \end{matrix}

具有

{K（K）}_{δ}^{″} (u个) = {d日}^{2} {K（K）}_{δ} (u个) / d日 {u个}^{2}

。此外

第页 \times 1

和

三 \times 1

向量

{\ddot{ℓ}}_{β α} = {[{\ddot{ℓ}}_{α β}]}^{⊤}

和

{\ddot{ℓ}}_{φ α} = {[{\ddot{ℓ}}_{α φ}]}^{⊤}

分别具有以下给定的元素

\begin{matrix} {\ddot{ℓ}}_{α β_{j个}} & = & 负极 [{(\frac{\partial \bar{A类}}{\partial β_{j个}})}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial \bar{A类}}{\partial α} + {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial^{2} \bar{A类}}{\partial α \partial β_{j个}}] + \frac{\partial}{\partial α} (\frac{\partial 日志 (\tilde{一})}{\partial β_{j个}}), \\ {\ddot{ℓ}}_{α φ} & = & {\bar{A类}}^{⊤} (Σ^{负极 1} \frac{\partial Σ}{\partial φ} Σ^{负极 1}) \frac{\partial \bar{A类}}{\partial α}, \end{matrix}

哪里

\partial^{2} \bar{A类} / \partial α \partial β_{j个} = (\partial^{2} {\tilde{A类}}_{k个} / \partial α \partial β_{j个})

，使用

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} {\tilde{A类}}_{k个}}{\partial α \partial β_{j个}} & = & [\frac{1}{{(α γ_{α})}^{2}} (γ_{α} + α γ_{α}^{'}) (\frac{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2}}{4 问_{k个}} + 1) 负极 \frac{1}{α γ_{α}} (\frac{{t吨}_{k个} γ_{α} γ_{α}^{'}}{2 问_{k个}})] \\ \times \frac{1}{\sqrt{{t吨}_{k个} 问_{k个}}} \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} {x个}_{k个 j个}, \\ \frac{\partial}{\partial α} (\frac{\partial 日志 (\tilde{一})}{\partial β_{j个}}) & = & 负极 \sum_{k个 = 1}^{n个} (\frac{8 {t吨}_{k个} γ_{α} γ_{α}^{'}}{{({t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个})}^{2}}) \frac{1}{{小时}^{'} (问_{k个})} {x个}_{k个 j个} . \end{matrix}

此外，我们还有

{\ddot{ℓ}}_{α α} = 负极 [{(\frac{\partial \bar{A类}}{\partial α})}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial \bar{A类}}{\partial α} + {\bar{A类}}^{⊤} Σ^{负极 1} \frac{\partial^{2} \bar{A类}}{\partial α^{2}}] + \frac{\partial^{2} 日志 (\tilde{一})}{\partial α^{2}},

哪里

\partial^{2} \bar{A类} / \partial α^{2} = (\partial^{2} {\tilde{A类}}_{k个} / \partial α^{2})

，使用

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} {\tilde{A类}}_{k个}}{\partial α^{2}} & = & \sqrt{\frac{4 问_{k个}}{{t吨}_{k个}}} \{(\frac{{t吨}_{k个} γ_{α}^{2}}{4 问_{k个}} 负极 1) [\frac{2}{{(α γ_{α})}^{三}} {(γ_{α} + α γ_{α}^{'})}^{2} 负极 \frac{2 γ_{α}^{'} + α γ_{α}^{″}}{{(α γ_{α})}^{2}}] \\ 负极 \frac{(γ_{α} + α γ_{α}^{'}) {t吨}_{k个} γ_{α} γ_{α}^{'}}{2 问_{k个} {(α γ_{α})}^{2}} + \frac{{t吨}_{k个}}{2 问_{k个}} (\frac{γ_{α}^{″} α 负极 γ_{α}^{'}}{α^{2}})\} \end{matrix}

和

\begin{matrix} \frac{\partial^{2} 日志 (\tilde{一})}{\partial α^{2}} & = & 负极 n个 \frac{(2 γ_{α}^{'} + α γ_{α}^{″}) (α γ_{α}) 负极 {(γ_{α} + α γ_{α}^{'})}^{2}}{{(α γ_{α})}^{2}} \\ + \sum_{k个 = 1}^{n个} 2 {t吨}_{k个} \frac{({[γ_{α}^{'}]}^{2} + γ_{α} γ_{α}^{″}) ({t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个}) 负极 2 {t吨}_{k个} γ_{α}^{2} {(γ_{α}^{'})}^{2}}{{({t吨}_{k个} γ_{α}^{2} + 4 问_{k个})}^{2}} . \end{matrix}

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图1。重矩阵化双变量BS PDF图

α_{我} = 0.5

(一),

α_{我} = 0.8

(b条),

α_{我} = 1.5

(c（c）)带有

问_{我} = 1

、和

问_{我} = 0.5

(d日),

问_{我} = 0.8

(e（电子）),

问_{我} = 1.5

(（f）)带有

α_{我} = 1

，用于

我 = 1, 2

和

σ = 0.9

.

图1。重新参数化双变量BS PDF图

α_{我} = 0.5

(一),

α_{我} = 0.8

(b条),

α_{我} = 1.5

(c（c）)带有

问_{我} = 1

、和

问_{我} = 0.5

(d日),

问_{我} = 0.8

(e（电子）),

问_{我} = 1.5

(（f）)带有

α_{我} = 1

，用于

我 = 1, 2

和

σ = 0.9

.

图2。重矩阵化双变量BS PDF图

α_{我} = 0.5

和

问_{我} = 1

，用于

我 = 1, 2

，使用

σ = 0.9

, (一–d日)从不同的角度来看。

图2。重矩阵化双变量BS PDF图

α_{我} = 0.5

和

问_{我} = 1

，用于

我 = 1, 2

，使用

σ = 0.9

, (一–d日)从不同的角度来看。

图3。直方图(一)，箱线图(b条)，散点图(c（c）)和半变异函数(d日)用化学数据表示响应变量。

图4。用化学数据绘制转换残差的QQ图。

图5。三维(一)和二维(b条)用化学数据估计散射图与观察到的响应值。

表1。Matérn相关函数的特殊情况小时表示距离度量。

型号	形状参数	相关函数
指数	$δ = 0.5$	$σ (小时) = 经验 (负极 φ 小时)$
惠特尔	$δ = 1$	$σ (小时) = φ 小时 {K（K）}_{1} (φ 小时)$
高斯	$δ \to \infty$	$σ (小时) = 经验 (负极 {(φ 小时)}^{2})$

表2。具有化学数据的指示模型的对数似然、CAIC和BIC值。

型号	$ℓ (\hat{θ})$	CAIC公司	比克
高斯	−32.1411	70.5900	77.5024
BS–身份链接	−36.3659	81.2513	90.3587
BS–对数链接	−36.3659	81.2513	90.3587
BS–平方根链接	−24.9112	58.3419	67.4493

分享和引用

MDPI和ACS样式

桑切斯，L。；莱瓦，V。；加利亚，M。；H·索洛。Birnbaum-Saunders分位数回归模型及其在空间数据中的应用。数学 2020,8, 1000.https://doi.org/10.3390/math8061000

AMA风格

Sánchez L、Leiva V、Galea M、Saulo H。Birnbaum-Saunders分位数回归模型及其在空间数据中的应用。数学. 2020; 8(6):1000.https://doi.org/10.3390/math8061000

芝加哥/图拉宾风格

Sánchez、Luis、Víctor Leiva、Manuel Galea和Helton Saulo。2020年，“Birnbaum-Saunders分位数回归模型及其在空间数据中的应用”数学8、6号：1000。https://doi.org/10.3390/math8061000

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