Fractional Langevin Equation Involving Two Fractional Orders: Existence and Uniqueness Revisited

Fazli, Hossein; Sun, HongGuang; Nieto, Juan J.

doi:10.3390/math8050743

开放式访问第条

含两个分数阶的分数阶Langevin方程的存在唯一性

通过

侯赛因·法兹利

^1,*

,

孙红光

¹和

胡安·尼托

²

¹

河海大学力学与材料学院水文水资源与水利工程国家重点实验室，南京210098

²

西班牙圣地亚哥德孔波斯特拉大学数学研究所统计、数学分析与优化系，15782

^*

应向其寄送信件的作者。

数学 2020,8(5), 743;https://doi.org/10.3390/math8050743

收到的提交文件：2020年3月28日/修订日期：2020年5月4日/接受日期：2020年5月5日/发布日期：2020年5月8日

（本文属于特刊非线性方程：理论、方法和应用)

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摘要

:

我们考虑具有初始条件的非线性分数阶Langevin方程。利用Prabhakar积分算子的一些基本性质，我们找到了一个核内具有双参数Mittag–Leffler函数的等效Volterra积分方程。利用压缩映射定理和Weissinger不动点定理，得到了Lebesgue可积函数空间整体解的存在唯一性。一般解的新表示公式有助于我们找到分数阶Langevin方程的不动点问题，该方程的收缩常数与摩擦系数无关。通过两个例子说明了主要定理的可行性。

关键词：

分数阶朗之万方程;Mittag–Leffler函数;Prabhakar积分算子;存在;唯一性

1.简介

物理过程的动力学行为通常用微分方程表示。如果物理系统模型在某些方面具有记忆性和遗传性，例如粘弹性变形[1]，异常扩散[2]，股票市场[三]、细菌趋化性[4]和复杂网络[5]填充聚合物网络中的弛豫[6]聚合物的弛豫和反应动力学[7]，受阻尼影响的机械系统的描述[8]，生物医学材料的行为[9]; 相应的模型可以用分数阶微分方程来描述。

朗之万方程是描述波动环境中物理现象演化的布朗运动的基本理论[10,11]. 分数阶朗之万方程作为经典方程的推广，给出了一个由两个指标参数化的分数阶高斯过程，这对于分形过程的建模更为灵活[12,13,14,15,16].

近年来，各种研究人员提出并研究了分数阶导数的几乎同步发展、朗之万方程的各种推广。尽管许多应用程序得到了广泛使用[17,18,19,20,21,22]分数阶朗之万方程在文献中从理论和数值两个角度进行了广泛的研究。中的作者[23]研究了在不同区间上包含两个分数阶的非线性分数阶Langevin方程，作为非线性常微分方程三点三阶非局部边值问题的推广形式。在[24]，作者研究了具有非局部积分边界条件的分数阶Langevin方程。近年来，研究了两阶分数阶Langevin方程的反周期边值问题[25]. 在中讨论了Riemann-Liouville和Hadamard型分数阶Langevin方程耦合和非耦合系统的存在唯一性结果[26]. Guo等人[27]给出了在有外力和无外力情况下求解分数阶Langevin方程的有效数值方法。关于朗之万方程的一些最新研究可以在[28,29,30,31,32,33,34,35,36,37].

在本文中，我们主要研究了包含两个分数阶的分数阶Langevin方程的存在唯一性结果：

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {D类}^{β} ({D类}^{α} + λ) x个 (t吨) = （f） (t吨, x个 (t吨)), & 0 < t吨 \leq 1, \\ {x个}^{(我)} (0) = μ_{我}, & 0 \leq 我 < 我, \\ {x个}^{(我 + α)} (0) = ν_{我}, & 0 \leq 我 < n个, \end{matrix} \end{matrix}

(1)

哪里

米 负极 1 < α \leq 米

,

n个 负极 1 < β \leq n个

,

我 = 最大值 {米, n个}

,

米, n个 \in N个

,

{D类}^{α}

是Caputo分数导数，

x个 (t吨)

是颗粒位移，

{x个}^{(我 + α)} (0)

等于

{D类}^{我} {D类}^{α} x个 (0)

在顺序意义上，

λ \in R（右）

是摩擦系数

（f） : [0, 1] \times R（右） \to R（右）

是表示噪声项的给定函数。

根据中规定的标准[38]，问题(1)是由具有长程记忆的广义朗之万方程控制的异常系统的一般形式。与经典的朗之万方程相比，我们使用

{D类}^{β} x个 (t吨)

和

{D类}^{β} {D类}^{α} x个 (t吨)

代替通常将速度和加速度定义为位移的一阶和二阶导数，推导出包含摩擦记忆核的广义Langevin方程。例如，如果

0 < β \leq 1, α = 1

然后根据Caputo分数导数算子的标准定义，我们得到了广义Langevin方程的一个特例，其中摩擦记忆核等于

\frac{λ}{Γ (1 负极 β)} {t吨}^{β 负极 1}

根据中的计算([39]在这种情况下，产生的运动实际上是次扩散的。此外，值得注意的是，如果

α + β > 2

那么我们对主要问题没有任何物理意义。对于这种情况，分数阶微分方程作为一个具有初始条件的序列分数阶微分方程式，这只是一个有价值的问题。

正如我们在上述关于分数阶Langevin方程分析的论文中所看到的那样，使用各种经典不动点定理是一种常用且有用的技术，可以获得涉及不同初始或边界条件的分数阶Langervin方程的存在性和唯一性结果。在上述论文中，与分数阶朗之万方程相关的不动点问题的收缩常数取决于摩擦系数

λ

例如，在获得的存在性和唯一性结果中[33,34]，收缩常数

{R（右）}_{1}, {R（右）}_{2}

满足以下条件

\begin{matrix} {R（右）}_{1} = \underset{0 \leq t吨 \leq 1}{啜饮} ({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{α + β 负极 1}}{Γ (α + β)} 一 (秒) d日 秒 + \frac{| λ |}{Γ (α + 1)}) < 1, \end{matrix}

（2）

和

\begin{matrix} {R（右）}_{2} = k个 (\frac{{∥ 一 ∥}_{第页}}{Γ (α + β)} d日 秒 + \frac{| λ |}{Γ (α)}) < 1, \end{matrix}

（3）

哪里

k个 = {(\frac{1}{1 负极 q个 (1 负极 α)})}^{\frac{1}{q个}}

和

{第页}^{负极 1} + {q个}^{负极 1} = 1

分别是。如关系中所述(2)和(三)，收缩常数

{R（右）}_{1}, {R（右）}_{2}

取决于摩擦常数

λ

因此，从(2)，我们不能讨论涉及摩擦常数的问题

| λ | \geq Γ (α + 1)

类似地，从(三)，我们不能研究涉及摩擦常数的问题

| λ | \geq Γ (α)

。请注意

0 < 1 负极 q个 (1 负极 α) < 1

因此，我们不能讨论大摩擦系数问题解的存在性和唯一性

λ

在本文中，我们努力克服这一主要限制。首先，我们提出了方程通解的一种新构造(1)使用双参数Mittag–Leffler函数和Prabhakar运算符的一些基本属性。这是在中完成的第2节然后利用压缩映射定理和Weissinger不动点定理，在一些弱条件下得到了一个新的存在唯一性结果。这是的内容第3节。中给出了两个示例第4节来说明我们的结果。

2.前期工作和辅助成果

在下一节中，我们应用与分数阶微积分相关的一些技术计算来构建与初值问题相对应的新的一般解(1)它为证明主要结果提供了一个极其强大的工具。此外，为了方便读者，我们还介绍了分数微积分的一些预备知识和符号。有关详细信息，请参阅[40,41,42,43,44,45,46].

定义 1

Riemann-Liouville分数阶积分

α > 0

对于函数

x个 : [0, 1] \to R（右）

,

x个 \in 我^{1} [0, 1]

定义为

\begin{matrix} 我^{α} x个 (t吨) = \frac{1}{Γ (α)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} x个 (秒) d日 秒 . \end{matrix}

定义 2

Caputo分数阶导数

α > 0

函数的

x个 : [0, 1] \to R（右）

定义为

\begin{matrix} {D类}^{α} x个 (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 负极 α)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{n个 负极 α 负极 1} {x个}^{(n个)} (秒) d日 秒, \end{matrix}

哪里

n个 负极 1 < α \leq n个

和

n个 \in N个

，前提是右侧积分存在且有限。

定义三

([46]). 让

α, β > 0

,

λ \in R（右）

和

x个 \in 我^{1} [0, 1]

Prabhakar积分可以写成

\begin{matrix} E类 [α, β, λ] x个 (t吨) = {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{β 负极 1} {E类}_{α, β} (λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) x个 (秒) d日 秒, \end{matrix}

哪里

{E类}_{α, β} (\cdot)

是所谓的双参数Mittag-Lefler函数，定义如下

{E类}_{α, β} (z（z）) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{z（z）}^{n个}}{Γ (n个 α + β)},

和

{E类}_{α} (\cdot) = {E类}_{α, 1} (\cdot)

类似于Mittag–Leffler函数

{E类}_{α} (z（z）)

,

{E类}_{α, β} (z（z）)

是秩序的全部功能

\frac{1}{α}

.

引理 1

([46]). 让

α, β, γ \geq 0

和

x个 \in 我^{1} [0, 1]

。那么

我^{γ} E类 [α, β, λ] x个 (t吨) = E类 [α, β, λ] 我^{γ} x个 (t吨) = E类 [α, β + γ, λ] x个 (t吨),

几乎到处都有

[0, 1]

此外，

E类 [α, β, λ] {t吨}^{γ} = Γ (γ + 1) {t吨}^{γ + β} {E类}_{α, β} (λ {t吨}^{α})

.

引理 2

的一般解决方案(1)由提供

\begin{matrix} \begin{matrix} x个 (t吨) = & \sum_{j个 = 0}^{米 负极 1} μ_{j个} {t吨}^{j个} {E类}_{α + j个} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} ν_{我} {t吨}^{α + 我} {E类}_{α, α} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} μ_{我} {t吨}^{我} (\frac{1}{Γ (我 + 1)} 负极 {E类}_{α} (负极 λ {t吨}^{α})) \\ + {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α + β 负极 1} {E类}_{α, α + β} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 . \end{matrix} \end{matrix}

(4)

证明。

让

x个 (t吨)

解决问题(1)，我们有

\begin{matrix} ({D类}^{α} + λ) x个 (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} 一_{我} {t吨}^{我} + {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{β 负极 1}}{Γ (β)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 . \end{matrix}

通过使用初始问题的初始条件(1)，我们发现

一_{我} = \frac{ν_{我} + λ μ_{我}}{Γ (我 + 1)}, 我 = 0, 1, \dots, n个 负极 1

因此，我们有

\begin{matrix} ({D类}^{α} + λ) x个 (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} \frac{ν_{我} + λ μ_{我}}{Γ (我 + 1)} {t吨}^{我} + {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{(t吨 负极 秒)}^{β 负极 1}}{Γ (β)} （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 . \end{matrix}

(5)

现在，使用Kilbas等人([40]，第3.1节），方程的解(5)由以下表达式给出

\begin{matrix} x个 (t吨) = \sum_{j个 = 0}^{米 负极 1} μ_{j个} {t吨}^{j个} {E类}_{α, j个 + 1} (负极 λ {t吨}^{α}) + {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) (\sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} \frac{ν_{我} + λ μ_{我}}{Γ (我 + 1)} 秒^{我} + 我^{β} （f） (\cdot, x个 (\cdot)) (秒)) d日 秒 . \end{matrix}

(6)

注释

{E类}_{α, α} (z（z）) = α {E类}_{α}^{'} (z（z）)

等等

{(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) = \frac{d日}{d日 秒} (\frac{1}{λ} {E类}_{α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}))

由此得出

{¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) d日 秒 = \frac{1}{λ} (1 负极 {E类}_{α} (负极 λ {t吨}^{α}))

另一方面，通过部件集成可以揭示

\begin{matrix} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) 秒^{我} d日 秒 = \frac{1}{λ} (秒^{我} {E类}_{α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) |_{0}^{t吨} 负极 我 {¦Β}_{0}^{t吨} {E类}_{α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) 秒^{我 负极 1} d日 秒), \end{matrix}

(7)

对于每个

我 \in N个

.将引理1应用于右手边的第二项(7)，我们得出结论

\begin{matrix} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) 秒^{我} d日 秒 = \frac{1}{λ} ({t吨}^{我} 负极 Γ (我 + 1) {t吨}^{我} {E类}_{α} (负极 λ {t吨}^{α})), \end{matrix}

对于每个

我 \in N个

.因此

\begin{matrix} x个 (t吨) & = & \sum_{j个 = 0}^{米 负极 1} μ_{j个} {t吨}^{j个} {E类}_{α, j个 + 1} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} \frac{ν_{我}}{Γ (我 + 1)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) 秒^{我} d日 秒 \\ + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} \frac{λ μ_{我}}{Γ (我 + 1)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) 秒^{我} d日 秒 + {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α 负极 1} {E类}_{α, α} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) (我^{β} （f） (\cdot, x个 (\cdot)) (秒)) d日 秒 \\ = & \sum_{j个 = 0}^{米 负极 1} μ_{j个} {t吨}^{j个} {E类}_{α, j个 + 1} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} ν_{我} {t吨}^{α + 我} {E类}_{α, α} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} \frac{λ μ_{我}}{Γ (我 + 1)} (\frac{1}{λ} ({t吨}^{我} 负极 Γ (我 + 1) {t吨}^{我} {E类}_{α} (负极 λ {t吨}^{α}))) \\ + {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α + β 负极 1} {E类}_{α, α + β} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 \\ = & \sum_{j个 = 0}^{米 负极 1} μ_{j个} {t吨}^{j个} {E类}_{α, j个 + 1} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} ν_{我} {t吨}^{α + 我} {E类}_{α, α} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} μ_{我} {t吨}^{我} (\frac{1}{Γ (我 + 1)} 负极 {E类}_{α} (负极 λ {t吨}^{α})) \\ + {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α + β 负极 1} {E类}_{α, α + β} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒, \end{matrix}

这是期望的结果。□

现在，我们说明Weissinger的不动点定理([41]，定理D.7）作为证明定理3所需的所谓压缩映射定理的推广。

定理 1

设X为Banach空间，并设

θ_{n个} \geq 0

对于每个

n个 \in N个 \cup {0}

这样的话

\sum_{n个 = 0}^{\infty} θ_{n个}

聚合。此外，假设

T型 : X（X） \to X（X）

是满足不等式的非线性映射

∥ {T型}^{n个} x个 负极 {T型}^{n个} 年 ∥ \leq θ_{n个} ∥ x个 负极 年 ∥

对于每个

n个 \in N个

以及每个

x个, 年 \in X（X）

然后，T有一个唯一的不动点

{x个}^{*}

此外，序列

{{T型}^{n个} {x个}_{0}}_{n个 = 0}^{\infty}

收敛到这个不动点

{x个}^{*}

，对于任何

{x个}_{0} \in X（X）

.

3.存在性和唯一性

我们在下一节的目的是深入研究主要问题的存在性和唯一性结果(1)在勒贝格空间。

定理 2

让

最大值 {1, \frac{1}{α + β}} \leq 第页 \leq \infty

,

{第页}^{负极 1} + {q个}^{负极 1} = 1

以下假设1-3成立：

假设 1

（f） (t吨, 0) \in 我^{q个} [0, 1]

.

假设 2

存在非负

一 \in 我^{第页} [0, 1]

这样的话

| （f） (t吨, {x个}_{2}) 负极 （f） (t吨, {x个}_{1}) | \leq 一 (t吨) | {x个}_{2} 负极 {x个}_{1} |,

对于每个

t吨 \in [0, 1]

和

{x个}_{1}, {x个}_{2} \in R（右）

.

假设三。

R（右） : = \frac{{M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页}}{{(1 负极 q个 + q个 (α + β))}^{\frac{1}{q个}}} < 1

哪里

{M（M）}_{1} = {啜饮}_{t吨 \in [0, 1]} |{E类}_{α, α + β} (负极 λ {t吨}^{α})|

.

然后是积分方程(4)在以下方面有独特的解决方案

我^{q个} [0, 1]

.

证明。

我们定义操作符T型如下：

\begin{matrix} T型 x个 (t吨) = {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒)}^{α + β 负极 1} {E类}_{α, α + β} (负极 λ {(t吨 负极 秒)}^{α}) （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒 + ϕ (t吨), \end{matrix}

(8)

哪里

\begin{matrix} ϕ (t吨) = \sum_{j个 = 0}^{米 负极 1} μ_{j个} {t吨}^{j个} {E类}_{α, j个 + 1} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} ν_{我} {t吨}^{α + 我} {E类}_{α, α} (负极 λ {t吨}^{α}) + \sum_{我 = 0}^{n个 负极 1} μ_{我} {t吨}^{我} (\frac{1}{Γ (我 + 1)} 负极 {E类}_{α} (负极 λ {t吨}^{α})) . \end{matrix}

(9)

让

M（M） (t吨) = {t吨}^{α + β 负极 1} {E类}_{α, α + β} (负极 λ {t吨}^{α})

,

{M（M）}_{1} = {啜饮}_{t吨 \in [0, 1]} |{E类}_{α, α + β} (负极 λ {t吨}^{α})|

和

{M（M）}_{2} = {啜饮}_{t吨 \in [0, 1]} |ϕ (t吨)|

注意，广义Mittag–Leffler函数是完整函数[43,44]. 对于每个

x个 \in 我^{q个} [0, 1]

，我们有

\begin{matrix} | T型 x个 (t吨) | & \leq & |{¦Β}_{0}^{t吨} M（M） (t吨 负极 秒) （f） (秒, x个 (秒)) d日 秒| + {M（M）}_{2} \\ \leq & {¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒)| |（f） (秒, 0)| + |M（M） (t吨 负极 秒)| |（f） (秒, x个 (秒)) 负极 （f） (秒, 0)| d日 秒 + {M（M）}_{2} \\ \leq & {¦Β}_{0}^{t吨} {|M（M） (t吨 负极 秒)|}^{\frac{1}{q个}} |（f） (秒, 0)| {|M（M） (t吨 负极 秒)|}^{\frac{1}{第页}} d日 秒 + {¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒)| |x个 (秒)| |一 (秒)| d日 秒 + {M（M）}_{2} \\ \leq & {({¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒)| {|（f） (秒, 0)|}^{q个} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} {({¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒)| d日 秒)}^{\frac{1}{第页}} \\ + {M（M）}_{1} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} {({¦Β}_{0}^{t吨} {|一 (秒)|}^{第页} d日 秒)}^{\frac{1}{第页}} + {M（M）}_{2} \\ \leq & {M（M）}_{1}^{\frac{1}{q个}} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α + β}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} \cdot \frac{{M（M）}_{1}^{\frac{1}{第页}}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} + {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2} \\ = & \frac{{M（M）}_{1}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α + β}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2} . \end{matrix}

因此，我们有

\begin{matrix} {∥ T型 x个 ∥}_{q个} & \leq & \frac{{M（M）}_{1}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α + β}} d日 秒 d日 t吨)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒 d日 t吨)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2} \\ = & \frac{{M（M）}_{1}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{秒}^{1} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α + β}} d日 t吨 d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{秒}^{1} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 t吨 d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2} \\ = & \frac{{M（M）}_{1}}{α + β} {∥ （f） (秒, 0) ∥}_{q个} + \frac{{M（M）}_{1}}{{(1 负极 q个 + q个 (α + β))}^{\frac{1}{q个}}} {∥ 一 ∥}_{第页} {∥ x个 ∥}_{q个} + {M（M）}_{2}, \end{matrix}

这就产生了

T型 : 我^{q个} [0, 1] \to 我^{q个} [0, 1]

。现在，为了

x个, 年 \in 我^{q个} [0, 1]

，我们获得

\begin{matrix} | T型 x个 (t吨) 负极 T型 年 (t吨) | & \leq & {¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒)| |（f） (秒, x个 (秒)) 负极 （f） (秒, 年 (秒))| d日 秒 \\ \leq & {¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒)| |x个 (秒) 负极 年 (秒)| |一 (秒)| d日 秒 \\ \leq & {M（M）}_{1} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒) 负极 年 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} {({¦Β}_{0}^{t吨} {|一 (秒)|}^{第页} d日 秒)}^{\frac{1}{第页}} \\ = & {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒) 负极 年 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}}, \end{matrix}

这意味着

\begin{matrix} {∥ T型 x个 负极 T型 年 ∥}_{q个} & = & {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒) 负极 年 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 秒 d日 t吨)}^{\frac{1}{q个}} \\ = & {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{秒}^{1} \frac{{|x个 (秒) 负极 年 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{q个 负极 q个 (α + β)}} d日 t吨 d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} \\ = & {M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页} {({¦Β}_{0}^{1} \frac{{(1 负极 秒)}^{1 负极 q个 + q个 (α + β)}}{1 负极 q个 + q个 (α + β)} {|x个 (秒) 负极 年 (秒)|}^{q个} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} \\ \leq & \frac{{M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页}}{{(1 负极 q个 + q个 (α + β))}^{\frac{1}{q个}}} {∥ x个 负极 年 ∥}_{q个}, \\ = & {R（右） ∥ x个 负极 年 ∥}_{q个} . \end{matrix}

请注意

1 负极 q个 + q个 (α + β) \geq 0

因为

第页 \geq \frac{1}{α + β}

因此，T型是收缩，因为

R（右） < 1

根据巴拿赫收缩原理，T型有一个唯一的不动点，这是初始问题的唯一解(1). □

备注 1

我们回忆起[43,44]那个

{E类}_{α, β} (负极 z（z）)

是完全单调函数

0 < α \leq 1

和

β \geq α

也就是说，

{E类}_{α, β} (负极 z（z）)

拥有衍生物

\frac{{d日}^{n个}}{d日 {z（z）}^{n个}} ({E类}_{α, β} (负极 z（z）))

为所有人

n个 = 0, 1, 2, \dots

和

{(负极 1)}^{n个} \frac{{d日}^{n个}}{d日 {z（z）}^{n个}} ({E类}_{α, β} (负极 z（z）)) \geq 0

为所有人

z（z） > 0

因此，

{E类}_{α, α + β} (负极 λ {t吨}^{α}) \leq {E类}_{α, α + β} (0) = \frac{1}{Γ (α + β)}

对于

λ \geq 0

,

0 < α \leq 1

和

0 \leq t吨 \leq 1

.

定理三。

让

1 \leq q个 \leq \infty

以下假设4和5成立：

假设 4

（f） (t吨, 0) \in 我^{q个} [0, 1]

.

假设 5

存在

我 > 0

这样的话

| （f） (t吨, {x个}_{2}) 负极 （f） (t吨, {x个}_{1}) | \leq 我 | {x个}_{2} 负极 {x个}_{1} |,

几乎每个

t吨 \in [0, 1]

和

{x个}_{1}, {x个}_{2} \in R（右）

.

然后是积分方程(4)在以下方面有独特的解决方案

我^{q个} [0, 1]

.

证明。

使用Theroem 2证明中的符号，并使用相同的参数，我们得到

\begin{matrix} | T型 x个 (t吨) | \leq \frac{{M（M）}_{1}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α 负极 β}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + \frac{{M（M）}_{1} 我}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α 负极 β}} d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2}, \end{matrix}

因此，

\begin{matrix} {∥ T型 x个 ∥}_{q个} & \leq & \frac{{M（M）}_{1}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α 负极 β}} d日 秒 d日 t吨)}^{\frac{1}{q个}} + \frac{{M（M）}_{1} 我}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α 负极 β}} d日 秒 d日 t吨)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2} \\ = & \frac{{M（M）}_{1}}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{秒}^{1} \frac{{|（f） (秒, 0)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α 负极 β}} d日 t吨 d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + \frac{{M（M）}_{1} 我}{{(α + β)}^{\frac{1}{第页}}} {({¦Β}_{0}^{1} {¦Β}_{秒}^{1} \frac{{|x个 (秒)|}^{q个}}{{(t吨 负极 秒)}^{1 负极 α 负极 β}} d日 t吨 d日 秒)}^{\frac{1}{q个}} + {M（M）}_{2} \\ \leq & \frac{{M（M）}_{1}}{α + β} ({∥ （f） (0, 秒) ∥}_{q个} + 我 {∥ x个 ∥}_{q个}) + {M（M）}_{2}, \end{matrix}

这就产生了

T型 : 我^{q个} [0, 1] \to 我^{q个} [0, 1]

另一方面，对于每个

n个 \in N个

以及每个

t吨 \in [0, 1]

，我们有

\begin{matrix} | {T型}^{n个} x个 (t吨) 负极 {T型}^{n个} 年 (t吨) | & \leq & {¦Β}_{0}^{t吨} |M（M） (t吨 负极 秒_{1})| |（f） (秒_{1}, {T型}^{n个 负极 1} x个 (秒_{1})) 负极 （f） (秒_{1}, {T型}^{n个 负极 1} 年 (秒_{1}))| d日 秒_{1} \\ \leq & {M（M）}_{1} 我 {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{1})}^{α + β 负极 1} |{T型}^{n个 负极 1} x个 (秒_{1}) 负极 {T型}^{n个 负极 1} 年 (秒_{1})| d日 秒_{1} \\ \leq & {({M（M）}_{1} 我)}^{2} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{1})}^{α + β 负极 1} ({¦Β}_{0}^{秒_{1}} {(秒_{1} 负极 秒_{2})}^{α + β 负极 1} |{T型}^{n个 负极 2} x个 (秒_{2}) 负极 {T型}^{n个 负极 2} 年 (秒_{2})| d日 秒_{2}) d日 秒_{1} \\ = & {({M（M）}_{1} 我)}^{2} {¦Β}_{0}^{t吨} {¦Β}_{秒_{2}}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{1})}^{α + β 负极 1} {(秒_{1} 负极 秒_{2})}^{α + β 负极 1} |{T型}^{n个 负极 2} x个 (秒_{2}) 负极 {T型}^{n个 负极 2} 年 (秒_{2})| d日 秒_{1} d日 秒_{2} \\ = & {({M（M）}_{1} 我)}^{2} {¦Β}_{0}^{t吨} ({¦Β}_{秒_{2}}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{1})}^{α + β 负极 1} {(秒_{1} 负极 秒_{2})}^{α + β 负极 1} d日 秒_{1}) |{T型}^{n个 负极 2} x个 (秒_{2}) 负极 {T型}^{n个 负极 2} 年 (秒_{2})| d日 秒_{2} \\ = & \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{2}}{Γ (2 α + 2 β)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{2})}^{2 α + 2 β 负极 1} |{T型}^{n个 负极 2} x个 (秒_{2}) 负极 {T型}^{n个 负极 2} 年 (秒_{2})| d日 秒_{2} \\ ⋮ \\ \leq & \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{n个}}{Γ (n个 α + n个 β)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{n个})}^{n个 α + n个 β 负极 1} |x个 (秒_{n个}) 负极 年 (秒_{n个})| d日 秒_{n个} \\ = & \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{n个}}{Γ (n个 α + n个 β)} {¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{n个})}^{\frac{n个 α + n个 β 负极 1}{q个}} |x个 (秒_{n个}) 负极 年 (秒_{n个})| {(t吨 负极 秒_{n个})}^{\frac{n个 α + n个 β 负极 1}{第页}} d日 秒_{n个} \\ \leq & \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{n个}}{Γ (n个 α + n个 β)} {({¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{n个})}^{n个 α + n个 β 负极 1} {|x个 (秒_{n个}) 负极 年 (秒_{n个})|}^{q个} d日 秒_{n个})}^{\frac{1}{q个}} {({¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{n个})}^{n个 α + n个 β 负极 1} d日 秒_{n个})}^{\frac{1}{第页}} \\ \leq & \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{n个}}{{(n个 α + n个 β)}^{\frac{1}{第页}} Γ (n个 α + n个 β)} {({¦Β}_{0}^{t吨} {(t吨 负极 秒_{n个})}^{n个 α + n个 β 负极 1} {|x个 (秒_{n个}) 负极 年 (秒_{n个})|}^{q个} d日 秒_{n个})}^{\frac{1}{q个}} . \end{matrix}

因此，我们得出结论

\begin{matrix} ∥ {T型}^{n个} x个 负极 {T型}^{n个} {年 ∥}_{q个} \leq \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{n个}}{Γ (n个 (α + β) + 1)} {∥ x个 负极 年 ∥}_{q个}, \end{matrix}

对于每个

n个 \in N个

以及所有

x个, 年 \in 我^{q个} [0, 1]

.现在让我们

θ_{n个} = \frac{{(Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)}^{n个}}{Γ (n个 (α + β) + 1)}

从广义Mittag–Leffler函数的定义来看，我们有

\sum_{n个 = 0}^{\infty} θ_{n个} = {E类}_{α + β} (Γ (α + β) {M（M）}_{1} 我)

因此系列

\sum_{n个 = 0}^{\infty} θ_{n个}

聚合。因此，存在唯一的不动点T型遵循Weissinger的不动点定理。□

4.示例

在本节中，提供了一些示例，以说明本文分析结果的适用性。

例子 1

考虑初值问题

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {D类}^{\frac{4}{5}} ({D类}^{\frac{1}{2}} + λ) x个 (t吨) = 1 + {t吨}^{2} + \frac{罪 t吨 + 阿卡坦 x个 (t吨)}{2 {e（电子）}^{t吨} \sqrt[三]{t吨}} 0 < t吨 \leq 1, \\ x个 (0) = 1, {D类}^{\frac{1}{2}} x个 (0) = 1 . \end{matrix} \end{matrix}

(10)

在这里

（f） (t吨, x个) = 1 + {t吨}^{2} + \frac{罪 t吨 + 阿卡坦 x个}{2 {e（电子）}^{t吨} \sqrt[三]{t吨}}, α = \frac{1}{2}, β = \frac{4}{5}

和摩擦常数

λ \geq 0

.

让

第页 = q个 = 2

显然，

（f） (t吨, 0) = 1 + {t吨}^{2} + \frac{罪 t吨}{2 {e（电子）}^{t吨} \sqrt[三]{t吨}}

和

（f） (t吨, 0) \in 我^{2} [0, 1]

事实上，很容易看出

{∥ （f） (t吨, 0) ∥}_{2} \leq 1 + {(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} {(\frac{Γ (\frac{1}{三})}{\sqrt[三]{2}})}^{\frac{1}{2}}

另一方面，

| （f） (t吨, x个) 负极 （f） (t吨, 年) | \leq \frac{1}{2 {e（电子）}^{t吨} \sqrt[三]{t吨}} | x个 负极 年 |

具有

一 (t吨) = \frac{1}{2 {e（电子）}^{t吨} \sqrt[三]{t吨}}

类似地，我们看到

一 \in 我^{2} [0, 1]

和

{∥ 一 ∥}_{2} \leq \frac{1}{2} {(\frac{Γ (\frac{1}{三})}{\sqrt[三]{2}})}^{\frac{1}{2}}

此外，从备注1可以看出

{M（M）}_{1} = {啜饮}_{t吨 \in [0, 1]} |{E类}_{\frac{1}{2}, \frac{13}{10}} (负极 λ {t吨}^{\frac{1}{2}})| \leq \frac{1}{Γ (\frac{13}{10})}

因此，

R（右） = \frac{{M（M）}_{1} {∥ 一 ∥}_{第页}}{{(1 负极 q个 + q个 (α + β))}^{\frac{1}{q个}}} < \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{Γ (\frac{1}{三})}{\sqrt[三]{2}}}}{\sqrt{1.6} Γ (\frac{13}{10})} = 0.64226 < 1 .

注意，收缩常数R与摩擦常数λ无关。因此，根据定理2，初值问题(10)在以下方面有独特的解决方案

我^{2} [0, 1]

.

例子 2

考虑初值问题

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {D类}^{\frac{1}{三}} ({D类}^{\frac{5}{4}} + λ) x个 (t吨) = 克 (t吨) \frac{| x个 (t吨) |}{1 + | x个 (t吨) |} 0 < t吨 \leq 1, \\ x个 (0) = 1, {x个}^{'} (0) = 负极 1, {D类}^{\frac{5}{4}} x个 (0) = 1, \end{matrix} \end{matrix}

(11)

哪里

克 \in 我^{\infty} [0, 1]

和摩擦常数

λ \in R（右）

.

请注意

（f） (t吨, 0) = 0

和

| （f） (t吨, x个) 负极 （f） (t吨, 年) | \leq 我 | x个 负极 年 |

几乎每个

t吨 \in [0, 1]

具有

我 = {∥ 克 ∥}_{\infty}

因此，根据定理3，初始值问题(11)在以下方面有独特的解决方案

我^{\infty} [0, 1]

.

5.结论

本文研究了两个分数阶非线性分数阶Langevin方程的初值问题。作为第一步，通过应用分数阶微积分的工具并利用Prabhakar积分算子的一些基本性质，我们建立了与我们提出的模型相关联的解的一般结构。一旦不动点算子方程成立，利用压缩映射定理和Weissinger不动点定理建立了存在性结果。最后，给出了两个示例来支持该结果。

作者贡献

监督，H.S。；Writing review and editing，H.F.和J.J.N.所有作者都阅读并同意手稿的出版版本。

基金

作者感谢编辑和审稿人的宝贵意见。H.Fazli和H.Sun的工作得到了国家重点研发计划（2017YFC0405203）、国家自然科学基金（11972148）的支持。J.J.Nieto的研究得到了Xunta de Galicia、ED431C 2019/02和AEI/FEDER（西班牙）项目MTM2016-75140-P的部分支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

MDPI和ACS样式

法兹利，H。；Sun，H。；J.J.尼托。包含两个分数阶的分数阶Langevin方程：存在性和唯一性。数学 2020,8，第743页。https://doi.org/10.3390/math8050743

AMA风格

Fazli H、Sun H、Nieto JJ。包含两个分数阶的分数阶Langevin方程：重新讨论存在性和唯一性。数学. 2020; 8(5):743.https://doi.org/10.3390/math8050743

芝加哥/图拉宾风格

法兹利、侯赛因、孙红光和胡安·尼托。2020年，“涉及两个分数阶的分数阶Langevin方程：存在性和唯一性再认识”数学8号，第5号：743。https://doi.org/10.3390/math8050743

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含两个分数阶的分数阶Langevin方程的存在唯一性

摘要

1.简介

2.前期工作和辅助成果

3.存在性和唯一性

4.示例

5.结论

作者贡献

基金

利益冲突

参考文献

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