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数学
第7卷
第10版
10.3390/道路7100893
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第条

含梅森数扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵行列式和逆的研究

通过
魏云兰
1,2,
郑燕鹏
1,3,*,
姜兆林
1,*和
Sugoog Shon公司
2
1
中国临沂276000，临沂大学数学与统计学院
2
韩国水原大学信息技术学院，华成寺445-743
三
中国临沂276000，临沂大学自动化与电气工程学院
*
应向其发送信件的作者。
数学 2019,7(10), 893;https://doi.org/10.3390/math7100893
收到的提交文件：2019年7月5日/修订日期：2019年9月18日/接受日期：2019年9月20日/发布日期：2019年9月24日
（本文属于特刊2019年数学分析与解析数论)
版本注释

摘要

:
本文研究带扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵。利用一些矩阵变换、Schur补和矩阵分解技术以及Sherman-Morrison-Woodbury公式，我们导出了这些矩阵的显式行列式和逆。这些公式的一个特点是与著名的梅森数相联系。我们还提出了两种算法来说明我们的公式。

1.简介

梅森数在组合学、群论、混沌学、几何学、物理学等领域无所不在[1]。它们由以下循环生成[2]:
M（M） n个 + 1 = 三 M（M） n个 − 2 M（M） n个 − 1 哪里 M（M） 0 = 0 , M（M） 1 = 1 , n个 ≥ 1 ;
M（M） − ( n个 + 1 ) = 三 2 M（M） − n个 − 1 2 M（M） − ( n个 − 1 ) 哪里 M（M） 0 = 0 , M（M） − 1 = − 1 2 , n个 ≥ 1 .
比奈公式表明n个th梅森数 M（M） n个 = 2 n个 − 1 [三]。我们想提及的一个应用是Nussbaumer[4]应用与梅森数密切相关的数论变换处理离散信号的数字滤波和卷积问题。
在本文中，我们研究了与周期三对角Toeplitz矩阵相关的一些基本量（行列式和倒数），这些矩阵具有类型1的扰动角，定义如下
A类 = α 1 2 ℏ 0 ⋯ 0 γ 1 0 − 三 ℏ ⋱ ⋱ 0 0 ℏ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 2 ℏ 0 0 ⋱ ⋱ − 三 ℏ 2 ℏ α n个 0 ⋯ 0 ℏ γ n个 n个 × n个 ,
哪里 α 1 , α n个 , γ 1 , γ n个 , ℏ 是复数 ℏ ≠ 0 .让 我 ^ n个 成为 n个 × n个 “反向单位矩阵”，在第二对角线上有一个，在其他地方有零。形式的矩阵 B类 : = 我 ^ n个 A类 我 ^ n个 被称为周期三对角Toeplitz矩阵，具有类型2的扰动角，我们说 B类 是由 A类 很容易看出 A类 是一个周期三对角Toeplitz矩阵，具有类型1的扰动角当且仅当其转置 A类 T型 是一个周期性三对角Toeplitz矩阵，具有类型2的扰动角。
三对角矩阵不仅出现在纯线性代数中，而且出现在许多实际应用中，如并行计算[5]，计算机图形[6]，流体力学[7,8]，化学[9]，和偏微分方程[10,11,12,13,14,15]。以线性双曲型方程为例，一些学者研究了离散化偏微分方程中的一些矩阵。陈和金[16]讨论了Holmgren和Otto考虑的线性双曲方程[17]在一维和二维情况下。这里我们重申了二维情况下的线性双曲方程，
∂ u个 ( x个 1 , x个 2 , t吨 ) ∂ t吨 + v（v） 1 ∂ u个 ( x个 1 , x个 2 , t吨 ) ∂ x个 1 + v（v） 2 ∂ u个 ( x个 1 , x个 2 , t吨 ) ∂ x个 2 = 克 ,
哪里 0 < x个 1 , x个 2 ≤ 1 , t吨 > 0 , u个 ( x个 1 , 0 , t吨 ) = （f） ( x个 1 − 一 t吨 ) , , u个 ( 0 , x个 1 , t吨 ) = （f） ( x个 2 − 一 t吨 ) , u个 ( x个 1 , x个 2 , t吨 ) = （f） ( x个 1 + x个 2 ) , 克 = ( v（v） 1 + v（v） 2 − 一 ) （f） ′ .在这里 v（v） 1 , v（v） 2 、和一为正常数（f）是带导数的标量函数 （f） ′ .表示 秒 1 , 秒 2 , k个 分别作为两个空间步长和时间步长。为了简单起见，假设 v（v） 1 = v（v） 2 = v（v） 和 秒 1 = 秒 2 = 秒 .线性双曲方程分别基于梯形规则在时间和中心差两个空间进行离散。它的系数矩阵是一个带有扰动最后一行的三对角矩阵：
℘ = 2 ⊘ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 − ⊘ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋮ ⋱ − ⊘ 2 ⊘ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 − 2 ⊘ 2 + 2 ⊘ n个 × n个 ,
哪里 ⊘ = v（v） k个 / 秒 另一方面，还设计了一些并行计算算法来求解图形处理单元（GPU）上的三对角系统，这些算法是并行循环约简[18]和分区方法[19]。最近，Yang等人[20]提出了一种在CPU-GPU异构计算系统上混合直接和迭代方法求解块三角方程的并行求解方法，而Myllykoski等人[21]提出了一种广义图形处理单元实现的部分解变量的循环约简（PSCR）方法，用于求解某些类型的可分离块三对角线性系统。与使用单个CPU内核的等效CPU实现相比，PSCR方法的速度提高了24倍。
另一方面，已经对三对角矩阵或周期三对角矩阵进行了许多研究，特别是对它们的行列式和逆[22,23,24,25,26,27,28,29,30]。二十年前，威登堡[31]研究了三对角toeplitz矩阵和周期矩阵的逆，并将其应用于弹性静力学和振动理论。最近，El-Mikkawy和Atlan[32]提出了一种基于Doolittle LU分解的符号算法，Jia等人提出了一些算法[33,34,35]基于块对角化技术的k个-三对角矩阵。2018年，Tim和Emrah[36]利用后向连分式推导出周期三对角矩阵的LU分解，进而推导出其逆矩阵的显式公式。此外，人们可以将周期三对角Toeplitz矩阵视为周期三对角矩阵的特例，这一事实吸引了一些学者。Shehawey公司[37]广义黄和麦克尔[38]研究并提出了周期三对角Toeplitz矩阵的逆公式。
论文的其余部分组织如下：第2节利用Sherman-Morrison-Woodbury公式，通过矩阵变换、Schur补和矩阵分解，详细推导了带扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆[39]。具体地说，这些行列式和逆的表示公式以梅森数和一些初值的乘积的形式表示矩阵。此外，还可以得到具有2型扰动角的周期三对角Toeplitz矩阵的性质。第3节给出了数值结果，以验证我们理论结果的有效性。最终结论见第4节.

2.行列式和逆

在本节中，我们导出了带扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆的显式公式。由于第二类矩阵的结果很快就会出现，因此我们主要致力于计算具有1型扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的结果。
定理 1
让 A类 = ( 一 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ( n个 ≥ 三 ) 成为 n个 × n个 具有1型扰动角的周期三对角Toeplitz矩阵。然后
det（探测） A类 = ( − ℏ ) n个 − 2 { 2 M（M） n个 − 2 α 1 − 4 ( M（M） n个 − 三 + 1 ) α n个 ℏ + M（M） n个 − 1 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) } ,
哪里 M（M） 我 ( 我 = n个 − 三 , n个 − 2 , n个 − 1 ) 是第i个梅森数。
证明。 
定义循环矩阵
ϵ = ( ϵ 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ,
哪里
ϵ 我 , j个 = 1 , 我 = n个 , j个 = 1 , 1 , j个 = 我 + 1 , 0 , 否则 .
显然， ϵ 是可逆的，并且
det（探测） ϵ = ( − 1 ) n个 − 三 .
乘法 A类 通过 ϵ 从右边开始，然后分割 A类 ϵ 分为四个区块：
A类 ϵ = γ 1 α 1 2 ℏ 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 − 三 ℏ 2 ℏ 0 ⋮ 0 0 ℏ − 三 ℏ 2 ℏ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 ℏ − 三 ℏ 2 ℏ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 2 ℏ 2 ℏ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ − 三 ℏ γ n个 α n个 0 0 ⋯ ⋯ 0 ℏ = A类 11 A类 12 A类 21 A类 22 .
自 A类 22 是上三角形，其行列式很清楚
det（探测） A类 22 = ℏ n个 − 2 .
正如我们假设的那样 ℏ ≠ 0 ，所以 A类 22 是可逆的。它是已知的（参见，例如([29]，引理2.5）） A类 22 − 1 = ( 一 ¨ 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 哪里
一 ¨ 我 , j个 = M（M） j个 − 我 + 1 ℏ , 我 ≤ j个 , 0 , 我 > j个 ,
和 M（M） 我 是我第个梅森数。
接下来，取（7）和（参见，例如([40]，第10页）），我们得到
det（探测） ( A类 ϵ ) = det（探测） A类 22 det（探测） ( A类 11 − A类 12 A类 22 − 1 A类 21 ) .
因此
det（探测） A类 = det（探测） A类 22 det（探测） ( A类 11 − A类 12 A类 22 − 1 A类 21 ) det（探测） ϵ .
要查找 det（探测） A类 ，我们需要计算 ( A类 11 − A类 12 A类 22 − 1 A类 21 ) .从（7）我们有
A类 11 − A类 12 A类 22 − 1 A类 21 = γ 1 − 2 M（M） n个 − 2 γ n个 − 4 M（M） n个 − 三 ℏ α 1 − 2 M（M） n个 − 2 α n个 M（M） n个 − 1 γ n个 + 2 M（M） n个 − 2 ℏ M（M） n个 − 1 α n个 ,
等等
det（探测） A类 11 − A类 12 A类 22 − 1 A类 21 = [ 4 ( M（M） n个 − 三 + 1 ) α n个 − 2 M（M） n个 − 2 α 1 ] ℏ − M（M） n个 − 1 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) .
最后，应用(6)(8)、和(11)至(10)，我们得到了 A类 ，这就完成了证明。□
定理 2
让 A类 = ( 一 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ( n个 ≥ 三 ) 是一个非奇异的周期三对角Toeplitz矩阵，具有类型1的扰动角。然后 A类 − 1 = ( 一 ˘ 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 , 哪里
一 ˘ 我 , j个 = 2 M（M） n个 − 2 ℏ + M（M） n个 − 1 γ n个 ψ , 我 = 1 , j个 = 1 , 4 M（M） n个 − 三 ℏ − γ 1 + 2 M（M） n个 − 2 γ n个 ψ , 我 = 1 , j个 = 2 , ( M（M） n个 − 2 + 1 ) α n个 − ψ , 我 = 2 , j个 = 1 , 2 M（M） n个 − 三 α 1 ℏ + M（M） n个 − 2 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) − ψ ℏ , 我 = 2 , j个 = 2 , 三 ( M（M） n个 − 三 + 1 ) α n个 − ψ , 我 = 三 , j个 = 1 , ( M（M） n个 − 三 − 1 ) α 1 ℏ + ( M（M） n个 − 2 + 1 ) α n个 ℏ + M（M） n个 − 三 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) − ψ ℏ , 我 = 三 , j个 = 2 , 三 一 ˘ 我 , j个 − 1 − 2 一 ˘ 我 , j个 − 2 + 1 ℏ , 我 ∈ { 2 , 三 } , j个 = 我 + 1 , 三 一 ˘ 我 , j个 − 1 − 2 一 ˘ 我 , j个 − 2 , 我 ∈ { 1 , 2 , 三 } , 我 + 2 ≤ j个 ≤ n个 ; 三 ≤ j个 ≤ 我 ≤ n个 , 三 2 一 ˘ 我 − 1 , j个 − 1 2 一 ˘ 我 − 2 , j个 , j个 ∈ { 1 , 2 } , 4 ≤ 我 ≤ n个 ; 4 ≤ 我 < j个 ≤ n个 ,
ψ = 2 M（M） n个 − 2 α 1 ℏ − ( M（M） n个 − 1 + 1 ) α n个 ℏ + M（M） n个 − 1 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) ,
和 M（M） 我 ( 我 = n个 − 三 , n个 − 2 , n个 − 1 ) 是第i个梅森数。
证明。 
让 A类 − 1 = ( 一 ˘ 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 和单位矩阵 我 n个 = ( e（电子） 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ，其中
e（电子） 我 , j个 = 1 , 我 = j个 , 0 , o个 t吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子） .
对于非奇异 A类 ,
A类 − 1 A类 = A类 A类 − 1 = 我 n个 .
根据(15)，我们得到
e（电子） 我 , j个 = 2 一 ˘ 我 , j个 − 1 ℏ − 三 一 ˘ 我 , j个 ℏ + 一 ˘ 我 , j个 + 1 ℏ , 1 ≤ 我 ≤ n个 , 2 ≤ j个 ≤ n个 − 1 ,
e（电子） 我 , j个 = 一 ˘ 我 − 1 , j个 ℏ − 三 一 ˘ 我 , j个 ℏ + 2 一 ˘ 我 + 1 , j个 ℏ , 三 ≤ 我 ≤ n个 − 1 , 1 ≤ j个 ≤ n个 .
根据（14），我们得到(16)那个
一 ˘ 我 , j个 = 三 一 ˘ 我 , j个 − 1 − 2 一 ˘ 我 , j个 − 2 , 我 ∈ { 1 , 2 , 三 } , 我 + 2 ≤ j个 ≤ n个 ; 三 ≤ j个 ≤ 我 ≤ n个 ,
和 一 ˘ 我 , 我 + 1 = 三 一 ˘ 我 , 我 − 2 一 ˘ 我 , 我 − 1 + 1 ℏ 对于 我 = 2 , 三 .
类似地，从（17）可以得到
一 ˘ 我 , j个 = 三 一 ˘ 我 − 1 , j个 2 − 一 ˘ 我 − 2 , j个 2 , j个 ∈ { 1 , 2 } , 4 ≤ 我 ≤ n个 ; 4 ≤ 我 < j个 ≤ n个 .
因此，基于上述分析，我们需要确定六个初始值，即， 一 ˘ 我 , j个 ( 我 ∈ { 1 , 2 , 三 } , j个 ∈ { 1 , 2 } ) ，对于递归关系(18)和(19)为了计算 A类 证明的其余部分用于评估以下特定条目 A类 − 1 .
我们分解 A类 如下：
A类 = ℏ Δ + F类 G公司 ,
哪里 Δ = 三 T型 M（M） , n个 − 1 , F类 = （f） 1 T型 , （f） 2 T型 , G公司 = 克 1 克 2 具有
（f） 1 = α 1 + 2 M（M） n个 ℏ M（M） n个 + 1 , − ℏ , 0 , ⋯ , 0 , α n个 − 2 ℏ M（M） n个 + 1 1 × n个 , （f） 2 = γ 1 − ( M（M） n个 + 1 ) ℏ M（M） n个 + 1 , 0 , ⋯ , 0 , γ n个 + 2 M（M） n个 ℏ M（M） n个 + 1 1 × n个 , 克 1 = 1 , 0 , ⋯ , 0 1 × n个 , 克 2 = 0 , ⋯ , 0 , 1 1 × n个 ,
和 M（M） 我 这个我第个梅森数。
可以证实 Δ − 1 = 1 三 ( t吨 我 j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ，其中
t吨 我 j个 = M（M） j个 − 我 + 1 , 1 ≤ 我 ≤ j个 ≤ n个 , − 2 M（M） j个 − 我 − 1 , 1 ≤ j个 < 我 ≤ n个 ,
和 M（M） − 米 （2）中给出了 米 = 1 , 2 , … .
应用Sherman-Morrison-Woodbury公式（参见例如([39]第50页）至 ( ) 给予
A类 − 1 = ( ℏ Δ + F类 G公司 ) − 1 = 1 ℏ Δ − 1 − 1 ℏ 2 Δ − 1 F类 ( 我 n个 + 1 ℏ G公司 Δ − 1 F类 ) − 1 G公司 Δ − 1 .
现在我们计算右侧的每个分量(21).
分别相乘 Δ − 1 通过G公司和F类从左到右，
G公司 Δ − 1 = 1 三 η 1 η 2 ,
Δ − 1 F类 = 1 三 ξ 1 ξ 2 ,
哪里 η 1 和 η 2 是行向量， ξ 1 和 ξ 2 是列向量，
η 1 = ( M（M） j个 ) j个 = 1 n个 , η 2 = ( − 2 M（M） j个 − n个 − 1 ) j个 = 1 n个 , ξ 1 T型 = ξ 1 , 1 − 三 ℏ , ξ 2 , 1 , ξ 三 , 1 , ⋯ , ξ n个 , 1 , ξ 我 , 1 = M（M） n个 − 我 + 1 α n个 − 2 M（M） − 我 α 1 , 我 = 1 , 2 , ⋯ , n个 , ξ 2 = M（M） n个 − 我 + 1 γ n个 − 2 M（M） − 我 γ 1 + 2 M（M） n个 − 我 ℏ 我 = 1 n个 .
然后将（23）乘以 G公司 ℏ 从左侧开始，进一步添加 我 n个 计算矩阵的逆
我 n个 + G公司 ℏ Δ − 1 F类 − 1 = 三 ℏ 小时 − 2 M（M） − n个 γ 1 + γ n个 + 三 ℏ − ( γ 1 + M（M） n个 γ n个 + 2 M（M） n个 − 1 ℏ ) 2 M（M） − n个 α 1 − α n个 α 1 + M（M） n个 α n个 ,
哪里 小时 = M（M） n个 + 1 M（M） 1 − n个 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) + M（M） 2 − n个 α 1 ℏ − α n个 ℏ . 乘以可渗透公式 我 n个 + G公司 ℏ Δ − 1 F类 − 1 通过 Δ − 1 F类 从左边到旁边 G公司 Δ − 1 从右边分别得出
Δ − 1 F类 我 n个 + 1 ℏ G公司 Δ − 1 F类 − 1 G公司 Δ − 1 = ( k个 我 j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ,
哪里
k个 1 j个 = θ j个 ′ ℏ 三 + ( θ j个 ′ ′ γ 1 + θ j个 ′ ′ ′ γ n个 ) ℏ 2 M（M） n个 + 1 ψ + M（M） j个 ℏ 三 , 1 ≤ j个 ≤ n个 , k个 我 j个 = ( α 1 η 我 j个 ′ + α n个 η 我 j个 ′ ′ ) ℏ 2 + ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) η 我 j个 ′ ′ ′ ℏ 三 M（M） n个 + 1 ψ , 2 ≤ 我 ≤ n个 , 1 ≤ j个 ≤ n个 , ψ = 2 M（M） n个 − 2 α 1 ℏ − ( M（M） n个 − 1 + 1 ) α n个 ℏ + M（M） n个 − 1 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) , θ j个 ′ = 三 M（M） j个 ( M（M） n个 − 1 + 1 ) − M（M） n个 − 1 M（M） n个 − j个 + 1 ( M（M） j个 + 1 ) , 1 ≤ j个 ≤ n个 , θ j个 ′ ′ = M（M） n个 M（M） j个 − M（M） n个 − j个 + 1 ( M（M） j个 − 1 + 1 ) , 1 ≤ j个 ≤ n个 , θ j个 ′ ′ ′ = M（M） j个 ( M（M） n个 − 1 + 1 ) − M（M） n个 M（M） n个 − j个 + 1 ( M（M） j个 − 1 + 1 ) , 1 ≤ j个 ≤ n个 , η 我 j个 ′ = 2 M（M） n个 M（M） n个 − 我 M（M） j个 − 三 M（M） 我 M（M） j个 ( M（M） n个 − 我 + 1 ) + M（M） n个 M（M） 我 − 1 M（M） n个 − j个 + 1 ( M（M） j个 − 我 + 1 + 1 ) , 2 ≤ 我 ≤ n个 , 1 ≤ j个 ≤ n个 , η 我 j个 ′ ′ = M（M） 我 − 1 M（M） n个 + j个 − 1 ( M（M） n个 + j个 − 1 + 1 ) − M（M） n个 − 我 + 2 M（M） j个 ( M（M） n个 − 1 + 1 ) , 2 ≤ 我 ≤ n个 , 1 ≤ j个 ≤ n个 , η 我 j个 ′ ′ ′ = M（M） n个 + 1 [ M（M） n个 − 我 M（M） j个 + M（M） 我 − 1 M（M） n个 − j个 + 1 ( M（M） j个 − 我 + 1 ) ] , 2 ≤ 我 ≤ n个 , 1 ≤ j个 ≤ n个 .
从（21）和（24），我们有
( 一 ˘ 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 = 1 ℏ Δ − 1 − 1 ℏ 2 ( k个 我 j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ,
哪里
一 ˘ 我 , j个 = M（M） j个 − 我 + 1 三 ℏ − k个 我 , j个 ℏ 2 , 1 ≤ 我 ≤ j个 ≤ n个 ,
一 ˘ 我 , j个 = − 2 M（M） j个 − 我 − 1 三 ℏ − k个 我 , j个 ℏ 2 , 1 ≤ j个 < 我 ≤ n个 .
由(26)我们计算，
一 ˘ 1 , 1 = 2 M（M） n个 − 2 ℏ + M（M） n个 − 1 γ n个 ψ , 一 ˘ 1 , 2 = 4 M（M） n个 − 三 ℏ − γ 1 + 2 M（M） n个 − 2 γ n个 ψ , 一 ˘ 2 , 2 = 2 M（M） n个 − 三 α 1 ℏ + M（M） n个 − 2 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) − ψ ℏ .
通过（27）我们计算，
一 ˘ 2 , 1 = ( M（M） n个 − 2 + 1 ) α n个 − ψ , 一 ˘ 三 , 1 = 三 ( M（M） n个 − 三 + 1 ) α n个 − ψ , 一 ˘ 三 , 2 = ( M（M） n个 − 三 − 1 ) α 1 ℏ + ( M（M） n个 − 2 + 1 ) α n个 ℏ + M（M） n个 − 三 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) − ψ ℏ .
这就完成了证明。□
备注 1
公式 ( 26 ) 和 ( 27 ) 会给出一个解析公式 A类 − 1 。然而，有一个很大的优势 ( 12 ) 从计算的角度来看第3节.
接下来的两个定理是1型矩阵的并行结果。
定理 三。
让 A类 是一个周期性三对角Toeplitz矩阵，具有类型1的扰动角 B类 是一个周期性三对角Toeplitz矩阵，具有类型2的扰动角，由 A类 .然后
det（探测） B类 = ( − ℏ ) n个 − 2 { 2 M（M） n个 − 2 α 1 − 4 ( M（M） n个 − 三 + 1 ) α n个 ℏ + M（M） n个 − 1 ( α 1 γ n个 − α n个 γ 1 ) } .
证明。 
自 det（探测） B类 = det（探测） 我 ^ n个 det（探测） A类 det（探测） 我 ^ n个 ，我们利用定理1和 det（探测） 我 ^ n个 = ( − 1 ) n个 ( n个 − 1 ) 2 . □
定理 4
让 A类 是一个周期性三对角Toeplitz矩阵，具有类型1的扰动角 B类 是一个周期性三对角Toeplitz矩阵，具有类型2的扰动角，由 A类 .然后
B类 − 1 = ( 一 ˘ n个 + 1 − 我 , n个 + 1 − j个 ) 我 , j个 = 1 n个 ,
哪里 一 ˘ 我 , j个 与相同 ( 12 ) .
证明。 
它紧接着从 B类 − 1 = 我 ^ n个 − 1 A类 − 1 我 ^ n个 − 1 = 我 ^ n个 A类 − 1 我 ^ n个 以及定理2。□

3.算法

在这一节中，我们给出了两个求周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆的算法，该矩阵的角点为1型扰动，称为 A类 此外，我们对这些算法进行了分析，以说明我们的理论结果。
首先，基于定理1，我们给出了计算 A类 如下：
在算法1的基础上，我们比较了 A类 中LU分解和算法1之间表1具体来说，我们得到了 A类 是 2 n个 + 11 ，可以简化为 哦 ( 我 o个 克 n个 ) （请参见[41]第226-227页）。
算法1：具有1型扰动角的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式
 第1步：输入 α 1 , α n个 , γ 1 , γ n个 , ℏ ，订单n个并生成梅森数
  M（M） 我 ( 我 = n个 − 三 , n个 − 2 , n个 − 1 ) 通过（1）。
 步骤2：计算并输出 A类 由(4).
接下来，基于定理2，我们给出了计算 A类 如下：
算法2：具有1型扰动角的周期三对角Toeplitz矩阵的逆
 第1步：输入 α 1 , α n个 , γ 1 , γ n个 , ℏ ，订单n个并生成梅森数
  M（M） 我 ( 我 = n个 − 三 , n个 − 2 , n个 − 1 ) 通过（1）。
 第二步：计算 ψ 乘以（13）和六个初始值 一 ˘ 1 , 1 , 一 ˘ 1 , 2 , 一 ˘ 2 , 1 , 一 ˘ 2 , 2 , 一 ˘ 三 , 1 , 一 ˘ 三 , 2 （12）。
 步骤3：计算倒数的剩余元素：
一 ˘ 2 , 三 = 三 一 ˘ 2 , 2 − 2 一 ˘ 2 , 1 + 1 ℏ , 一 ˘ 三 , 4 = 三 一 ˘ 三 , 2 − 2 一 ˘ 三 , 1 + 1 ℏ , 一 ˘ 我 , j个 = 三 一 ˘ 我 , j个 − 1 − 2 一 ˘ 我 , j个 − 2 , 我 ∈ { 1 , 2 , 三 } , 我 + 2 ≤ j个 ≤ n个 , 一 ˘ 我 , j个 = 三 一 ˘ 我 , j个 − 1 − 2 一 ˘ 我 , j个 − 2 , 我 ∈ { 1 , 2 , 三 } , 三 ≤ j个 ≤ 我 ≤ n个 , 一 ˘ 我 , j个 = 三 2 一 ˘ 我 − 1 , j个 − 1 2 一 ˘ 我 − 2 , j个 , j个 ∈ { 1 , 2 } , 4 ≤ 我 ≤ n个 , 一 ˘ 我 , j个 = 三 2 一 ˘ 我 − 1 , j个 − 1 2 一 ˘ 我 − 2 , j个 , 4 ≤ 我 < j个 ≤ n个 .

 步骤4：输出反转 A类 − 1 = ( 一 ˘ 我 , j个 ) 我 , j个 = 1 n个 .
为了测试算法2的有效性，我们比较了 A类 中LU分解和算法2之间表2。LU分解的总运算次数为 5 n个 三 6 + 三 n个 2 + 91 n个 6 − 21 ，而算法2是 7 n个 2 2 − 三 n个 2 + 30 .

4.讨论

本文用著名的梅森数表示带扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的显式行列式和逆。这有助于减少计算过程中的操作总数。与我们当前工作相关的一些最新研究可以在[42,43,44,45,46,47,48]。其中，Qi等人提出了关于三对角行列式的Horadam多项式的一些闭合公式，并导出了关于广义Fibonacci多项式、Lucas多项式、Pell-Lucas多项式和第一类Chebyshev多项式的闭合公式。

5.结论

梅森数在数学、生物、物理、化学、工程和统计科学的许多不同领域广泛传播。本文给出了带扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆的显式公式。行列式的表示形式为梅森数与矩阵变换和舒尔补的一些初值的乘积。对于逆问题，我们的主要方法包括使用矩阵分解和Sherman-Morrison-Woodbury公式。特别是，逆矩阵仅由六个初始值确定。为了测试我们的方法的有效性，我们提出了两种求带扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆的算法，并比较了不同算法对这两个基本量的运算总数。经过比较，我们得出结论，我们的算法在一定程度上优于LU分解。

作者贡献

概念化、方法论、资金收购、Z.J.和Y.Z。；调查、资源、形式分析、软件、Y.Z.和Y.W。；书面原稿编制，Y.W。；写作审查和编辑、监督、可视化、S.S。

基金

本研究由山东省自然科学基金（ZR2016AM14）、国家自然科学基金会（11671187）和临沂大学博士研究基金（LYDX2018BS067）资助。

致谢

作者感谢匿名推荐人提出的有益建议，这些建议改进了本文的内容。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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表
表1。行列式的总数运算的比较 A类 .
表1。行列式的总数运算的比较 A类 .
算法数字运算
LU分解算法 13 n个 − 15
算法1 2 n个 + 11
表
表2。的求逆运算总数的比较 A类 .
表2。的求逆运算总数的比较 A类 .
算法数字运算
LU分解算法 5 n个 三 6 + 三 n个 2 + 91 n个 6 − 21
算法2 7 n个 2 2 − 三 n个 2 + 30

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

Wei Y，Zheng Y，Jiang Z，Shon S。含梅森数扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆的研究。数学. 2019; 7(10):893.https://doi.org/10.3390/math7100893

芝加哥/图拉宾风格

Wei、Yunlan、Yanpeng Zheng、Zhaolin Jiang和Sugoog Shon。2019.“含梅森数扰动角点的周期三对角Toeplitz矩阵的行列式和逆的研究”数学7，编号10:893。https://doi.org/10.3390/math7100893

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