Predicting Maximal Gaps in Sets of Primes

Kourbatov, Alexei; Wolf, Marek

doi:10.3390/math7050400

开放式访问第条

素数集最大间隙的预测

通过

阿列克谢·库尔巴托夫

^1,*,†和

马雷克·沃尔夫

^2,*,†

¹

JavaScripter.net，15127 NE 24th St.，#578，Redmond，WA 98052，美国

²

波兰华沙Wóycickiego 1/3，Bldg.21，PL-01-938，红衣主教Stefan Wyszynski大学数学与自然科学学院

^*

应向其发送信件的作者。

^†

作者们为这项工作做出了同等贡献。

数学 2019,7(5), 400;https://doi.org/10.3390/math7050400

收到的提交文件：2019年4月5日/修订日期：2019年4月26日/接受日期：2019年4月29日/发布日期：2019年5月4日

（本文属于数学与计算机科学)

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摘要

:

让

q个 > 第页 \geq 1

是互质整数。让

{P（P）}_{c（c）} = {P（P）}_{c（c）} (q个, 第页, H（H）)

是素数的递增序列第页满足两个条件：（i）

第页 \equiv 第页

（修订版q个)和（ii）第页开始一个素数k个-具有给定模式的元组

H（H）

.让

π_{c（c）} (x个)

是中的素数

{P（P）}_{c（c）}

不超过x个.我们推导了预测最大间隙增长趋势的公式

克_{c（c）} (x个) = {最大值}_{{第页}^{'} \leq x个} ({第页}^{'} - 第页)

在连续素数之间

第页, {第页}^{'} \in {P（P）}_{c（c）}

.素数的广泛计算

10^{14}

显示一个简单的趋势公式

克_{c（c）} (x个) \sim \frac{x个}{π_{c（c）} (x个)} \cdot (日志 π_{c（c）} (x个) + 哦_{k个} (1))

适用于的初始素数之间的最大间隙k个-元组

k个 \geq 2

剩余类中的（如双素数、素数三元组等）第页（修订版q个). 对于

k个 = 1

然而，一个更复杂的公式

克_{c（c）} (x个) \sim \frac{x个}{π_{c（c）} (x个)} \cdot (日志 \frac{π_{c（c）}^{2} (x个)}{x个} + 哦 (日志 q个))

可以更好地预测最大间隙大小。后者包括所有素数序列中最大间隙的重要特例(

k个 = 1

,

q个 = 2

,

第页 = 1

). 适当重缩放的最大间隙的分布

克_{c（c）} (x个)

接近Gumbel极值分布。计算表明，几乎所有的最大间隙都满足Cramér猜想的广义强形式。我们还推测

{P（P）}_{c（c）}

在下面x个是

哦_{k个} (日志 x个)

.

关键词：

克拉姆猜想;耿贝尔分布;基本间隙;首要的k个-元组;残渣等级;Shanks猜想;托蒂恩

MSC公司：

11A41；11号05

1.简介

A类基本间隙是连续质数之间的差值。素数间隙的序列表现得相当不稳定（参见OEISA001223号[1]). 素数定理告诉我们平均的邻近素数之间的间隙x个是关于

日志 x个

，实际间隙接近x个可以明显大于或小于

日志 x个

。我们称之为缺口最大如果它严格地大于它之前的所有间隙。许多作者已经研究了素数之间的大间隙；参见，例如[2,三,4,5,6,7,8,9,10,11]. 在19世纪10年代初，Ramanujan考虑了最大素数间隙到低7位数素数[2]第133页。一个多世纪后，我们知道了以下素数之间的所有最大差距

2^{64}

[三].

让

克 (x个)

是素数之间的最大间隙，不超过x个:

克 (x个) = \underset{{第页}_{n个 + 1} \leq x个}{最大值} ({第页}_{n个 + 1} - {第页}_{n个}) .

估算

克 (x个)

是一个微妙的问题。克拉梅尔[4]基于概率的推测

克 (x个) = 哦 ({日志}^{2} x个)

，而Shanks[5]启发性地发现

克 (x个) \sim {日志}^{2} x个

.格兰维尔[6]启发性地认为，对于最大间隙的特定子序列，我们应该期望显著更大的尺寸

克 (x个)

; 即，

\underset{x个 \to \infty}{酸橙酱} \frac{克 (x个)}{{日志}^{2} x个} \geq 2 {e（电子）}^{- γ} \approx 1.1229

.

贝克、哈曼和平茨[7]证明了

克 (x个) = 哦 ({x个}^{0.525})

; 事实上，计算表明

克 (x个) < {x个}^{0.525}

对于

x个 \geq 127

福特、格林、科尼亚金、梅纳德和陶[8]证明了

克 (x个)

至少是

\frac{c（c） 日志 x个 日志 日志 x个 日志 日志 日志 日志 x个}{日志 日志 日志 x个}

解决了Erdős的一个长期猜想。

早些时候，我们独立地提出了与Cramér和Shanks猜想密切相关的公式。狼[12,13,14]表示最大间隙的可能大小

克 (x个)

就素数计算函数而言

π (x个)

:

克 (x个) \sim \frac{x个}{π (x个)} \cdot (日志 \frac{π^{2} (x个)}{x个} + 哦 (1)),

(1)

这与Shanks猜想类似

克 (x个) \sim {日志}^{2} x个 - 2 日志 x个 日志 日志 x个 + 哦 (日志 x个)

; 另请参阅Cadwell[15]. 将问题陈述扩展到素数k元组，库尔巴托夫[16,17]经验性测试（针对

x个 \leq 10^{15}

,

k个 \leq 7

)以下是最大间隙可能大小的启发式公式

克_{k个} (x个)

在素数之间k个-下方的元组x个:

克_{k个} (x个) \sim 一 (x个) \cdot (日志 \frac{x个}{一 (x个)} + 哦 (1)),

(2)

哪里

一 (x个)

是特定素数之间的预期平均差距k个-元组接近x个。类似于(1)，公式(2)也暗示了Shanks猜想的一个类比，

克_{k个} (x个) \sim C类 {日志}^{k个 + 1} x个

，具有大小的负修正项

哦_{k个} ({(日志 x个)}^{k个} 日志 日志 x个)

; 另请参阅[18,19].

本文研究素数间隙增长问题的进一步推广，即：如果我们只考虑特定素数中的素数，最大间隙会发生什么残渣等级国防部q个? 新的问题陈述包括特殊情况，最大素数间隙(

k个 = 1

,

q个 = 2

)以及之间的最大间隙素数k元组(

k个 \geq 2

,

q个 = 2

). 我们目前的目标之一是推广公式(1)和(2)剩余类中素数之间的差距，并在计算实验中进行测试。另一个目标是调查有多少素数之间应该有最大的间隔

第页 \leq x个

在剩余类中，有一个附加（可选）条件第页开始一个特定类型的主星座。

1.1. 符号

q个,第页	互质整数， $1 \leq 第页 < q个$
${第页}_{n个}$	这个n个-th素数； ${{第页}_{n个}} = {2, 三, 5, 7, 11, \dots}$
${P（P）}_{c（c）} = {P（P）}_{c（c）} (q个, 第页, H（H）)$	素数递增序列第页这样（i） $第页 \equiv 第页$ （修订版q个)和
	（ii）第页是素数中最小的素数k个-具有给定模式的元组 $H（H）$ .
	注： ${P（P）}_{c（c）}$ 取决于q个,第页,k个，在图案上 $H（H）$ 的k个-元组。
	什么时候？ $k个 = 1$ , ${P（P）}_{c（c）}$ 是的序列全部的素数 $第页 \equiv 第页$ （修订版q个).
$H（H）$	这个k个-偏移量的元组模式： $H（H） = (Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{k个})$ （请参见第1.2节)
$gcd公司 (米, n个)$	最大公约数米和n个
$φ (q个)$	欧拉方向函数（OEISA000010号)
$φ_{k个, H（H）} (q个)$	Golubev推广(5)欧拉方位（参见第2.1.1节)
$甘贝尔 (x个; α, μ)$	甘贝尔分布cdf： $甘贝尔 (x个; α, μ) = {e（电子）}^{- {e（电子）}^{- \frac{x个 - μ}{α}}}$
$费用 (x个; α)$	指数分布cdf： $费用 (x个; α) = 1 - {e（电子）}^{- x个 / α}$
$α$	这个刻度参数指数/甘贝尔分布（如适用）
$μ$	这个位置参数(模式)Gumbel分布的
$γ$	Euler–Mascheroni常数： $γ = 0.57721 \dots$
${C类}_{k个} = {C类}_{k个, H（H）}$	Hardy–Littlewood常数（参见附录B)
$日志 x个$	的自然对数x个
$锂 x个$	的对数积分x个: $锂 x个 = \int_{0}^{x个} \frac{d日 t吨}{日志 t吨} = \int_{2}^{x个} \frac{d日 t吨}{日志 t吨} + 1.04516 \dots$
$锂_{k个} (x个)$	积分 $\int_{2}^{x个} \frac{d日 t吨}{{日志}^{k个} t吨}$ （请参见附录C)
	间隙测量功能：
$克 (x个)$	素数之间的最大间隙 $\leq x个$
$克_{q个, 第页} (x个)$	素数之间的最大间隙 $第页 = 第页 + n个 q个 \leq x个$ （案例 $k个 = 1$ )
$克_{c（c）} (x个)$	素数之间的最大间隙 $第页 \in {P（P）}_{c（c）}$ 不超过x个
$对_{c（c）} (n个)$	这个n个-素数之间的第个记录（最大）间隙 $第页 \in {P（P）}_{c（c）}$
一, $一_{c（c）}$ , ${\bar{一}}_{c（c）}$	中质数之间的预期平均间隙 ${P（P）}_{c（c）}$ （请参见第2.2节)
T型, ${T型}_{c（c）}$ , ${\bar{T型}}_{c（c）}$	预测最大缺口增长的趋势函数（参见第2.3节)
	间隙计数功能：
${N个}_{c（c）} (x个)$	最大间隙数 $克_{c（c）}$ 具有终结点 $第页 \leq x个$
${N个}_{q个, 第页} (x个)$	最大间隙数 $克_{q个, 第页}$ 具有终结点 $第页 \leq x个$ （案例 $k个 = 1$ )
$τ_{q个, 第页} (d日, x个)$	给定偶数大小的间隙数 $d日 = {第页}^{'} - 第页$ 在连续的
	素数 $第页, {第页}^{'} \equiv 第页$ （修订版q个)，使用 ${第页}^{'} \leq x个$ ; $τ_{q个, 第页} (d日, x个) = 0$ 如果 $q个 ∤ d日$ 或 $2 ∤ d日$ .
	素数计数功能：
$π (x个)$	素数的总数 ${第页}_{n个} \leq x个$
$π_{c（c）} (x个)$	素数的总数 $第页 \in {P（P）}_{c（c）}$ 不超过x个
$π (x个; q个, 第页)$	素数的总数 $第页 = 第页 + n个 q个 \leq x个$ （案例 $k个 = 1$ )

数量与c（c）下标通常取决于q个,第页,k个以及素数的模式k个-元组。然而，平均差距一,

一_{c（c）}

,

{\bar{一}}_{c（c）}

和趋势函数T型,

{T型}_{c（c）}

,

{\bar{T型}}_{c（c）}

独立于第页。表达式如

π_{c（c）}^{2} (x个)

或

{日志}^{2} x个

表示广场相应功能的。

1.2. 定义：基本k个-元组、间隙、序列 ${P（P）}_{c（c）}$

素数k元组是群集k个具有可容许模式的连续素数

H（H）

.A型k个-元组是可接受的（无限可重复），除非它被基本的可除性参数禁止。例如，五个数字的集群(第页,

第页 + 2

,

第页 + 4

,

第页 + 6

,

第页 + 8

)被禁止，因为其中一个数字可以被5整除（而且，至少一个可被3）整除；因此，这五个数字不可能同时无限频繁地成为质数。同样，三个数字的集群(第页,

第页 + 2

,

第页 + 4

)禁止使用，因为其中一个数字可以被3整除；所以这三个数字不可能同时无限频繁地成为质数。在下文中，当我们谈到k个-元组，我们肯定是指最稠密可容许素数k元组，具有给定的

k个 \leq 7

然而，我们的观察可以扩展到其他可接受的情况k个-元组，包括具有较大元组的元组k个不一定是密度最大的。密度最大的k个-存在于给定的元组k个有时可能被称为素星座或素数k-元组下面是素数的例子k个-元组

k个 = 2

, 4, 6.

双素数是具有以下形式的连续素数对(第页, $第页 + 2$ ). 这是两种模式中最密集的一种； $H（H） = (0, 2)$ .
素数四胞胎是由四个形式的连续素数组成的簇(第页, $第页 + 2$ , $第页 + 6$ , $第页 + 8$ ). 这是四种模式中最密集的一种； $H（H） = (0, 2, 6, 8)$ .
素数六边形是六个连续素数的簇(第页, $第页 + 4$ , $第页 + 6$ , $第页 + 10$ , $第页 + 12$ , $第页 + 16$ ). 这是六种模式中最密集的一种； $H（H） = (0, 4, 6, 10, 12, 16)$ .

A类缺口在质数之间k个-tuples是距离

{第页}^{'} - 第页

在初始素数之间第页和

{第页}^{'}

连续两次k个-相同类型的元组（即具有相同模式）。例如，孪生素数对之间的间隙

(17, 19)

和

(29, 31)

为12:

{第页}^{'} - 第页 = 29 - 17 = 12 .

A类最大间隙在质数之间k个-元组是一个严格大于前面两个元组之间所有间隙的间隙k个-相同类型的元组。例如，双素数之间的6号间隙

(5, 7)

和

(11, 13)

最大，而孪生素数之间的间隙（也为6号）

(11, 13)

和

(17, 19)

是不最大值。

让

q个 > 第页 \geq 1

是互质整数。让

{P（P）}_{c（c）} = {P（P）}_{c（c）} (q个, 第页, H（H）)

是素数的递增序列第页满足两个条件：（i）

第页 \equiv 第页

（修订版q个)和（ii）第页开始一个素数k个-具有给定模式的元组

H（H）

重要的是，

{P（P）}_{c（c）}

取决于q个,第页,k个，以及k个-元组。什么时候？

k个 = 1

,

{P（P）}_{c（c）}

是的序列全部的素数

第页 \equiv 第页

（修订版q个). 中质数之间的间隙

{P（P）}_{c（c）}

定义为差异

{第页}^{'} - 第页

在连续素数之间

第页, {第页}^{'} \in {P（P）}_{c（c）}

如前所述，如果间隙严格大于所有之前的间隙，则间隙为最大。因此，对于连续素数

第页, {第页}^{'} \in {P（P）}_{c（c）}

我们定义

克_{c（c）} (x个) = \underset{\binom{{第页}^{'} < x个}{第页, {第页}^{'} \in {P（P）}_{c（c）}}}{最大值} ({第页}^{'} - 第页) .

研究中素数之间的最大间隙

{P（P）}_{c（c）}

很方便。的确，如果模量q个用于定义

{P（P）}_{c（c）}

“不太小”，我们得到大量数据研究最大间隙；也就是说，我们得到了对应于

{P（P）}_{c（c）}

不同的第页为了同样的目的q个，这使我们能够研究这些序列的常见属性。（此类财产之一是平均的中素数之间的最大间隙数

{P（P）}_{c（c）}

在下面x个.）相比之下，关于最大素数间隙的数据很少：目前我们知道，以下素数之间只有80个最大间隙

2^{64}

[三]. 已知的最大间隙更少k个-任何给定类型的元组[17].

备注 1

（i）: 在第2节我们导出了预测最大间隙最可能大小的公式 $克_{c（c）} (x个)$ 。目前尚不清楚这些最可能的大小与 $克_{c（c）} (x个)$ 因此，在特殊情况下 $k个 = 1$ , $q个 = 2$ , $第页 = 1$ ，的可能值 $克 (x个)$ 似乎是关于 ${日志}^{2} x个 - 2 日志 x个日志日志 x个$ [13]; 但不难相信 $克 (x个)$ 更接近 $2 {e（电子）}^{- γ} {日志}^{2} x个$ [6]. 有关超大缺口的进一步讨论，请参见第3.5节.
（ii）: 按顺序计算间隙有多难 ${P（P）}_{c（c）}$ ? 鉴于 $k个 = 1$ , $q个 \approx 10^{三}$ 和r与q互素，我们的PARI/GP代码(附录A)按顺序计算所有最大间隙需要几个小时 ${P（P）}_{c（c）}$ 最多14位素数。在一些数值实验中，我们一直进行计算 $10^{14}$ 。然而，在大多数情况下，我们在停止计算 ${e（电子）}^{28}$ 或在 $10^{12}$ 甚至更早，为了快速收集所有r互质到q的统计数据，对序列也使用了类似的策略 ${P（P）}_{c（c）}$ 具有 $k个 \geq 2$ （源代码 $k个 \geq 2$ 不包括在内）。请参见第3节以详细讨论我们的数值结果。

1.3。素数其他子集的推广

序列

{P（P）}_{c（c）}

作为特殊情况，包括许多不同的素数子集：给定剩余类中的素数、双素数、三元组、四元组等。然而，公式类似于(1)和(2)肯定有更广泛的适用范围。也就是说，我们期望(1)或(2)，具有一般形式

最大间隙尺寸 \sim (附近的平均间隙 x个) \cdot L（左） (x个), 具有 L（左） (x个) ≲ c（c） 日志 x个,

也适用于以下素数子集中的最大间隙：

素数诱导素数序列[20],A006450型
素数诱导素数的高阶迭代[21,22,23],A038580型
素数 $第页 = {n个}^{2} + 1$ , $n个 \in N个$ [24],A002496号
素数 $第页 = （f） (n个)$ ，其中 $（f） (n个)$ 是中的不可约多项式n个,
Beatty类型序列中的素数： $第页 = ⌊ β n个 + δ ⌋$ , $n个 \in N个$ ，对于固定的非理性 $β > 1$ 和一个固定的实数 $δ$ [25],A132222号.

上述清单并非详尽无遗，但可以作为未来工作的起点。

1.4. 方程式（1）、（2）何时不适用？

方程式类比(1)和(2)是不适用于（几乎）每个间隙都最大的序列。此类示例包括：

米尔斯素数[26],A051254号,
底座-B类重定素数[27],A076481号,
最接近的素数 ${e（电子）}^{n个}$ (A037028号),
一般来说，其项以指数或超指数增长的任何序列。

2.启发和猜想

我们现在集中于推导公式的类比(1)和(2)对于序列

{P（P）}_{c（c）} = {P（P）}_{c（c）} (q个, 第页, H（H）)

.

2.1. k-元组的均匀分布

我们到处假设

q个 > 第页

是互质正整数。让

π (x个; q个, 第页)

是素数

第页 \equiv 第页

（修订版q个)这样的话

第页 \leq x个

算术级数的素数定理[28,29]确定

π (x个; q个, 第页) \sim \frac{锂 x个}{φ (q个)} 作为 x个 \to \infty .

(3)

此外，广义黎曼假设（GRH）意味着

π (x个; q个, 第页) = \frac{锂 x个}{φ (q个)} + 哦_{ε} ({x个}^{1 / 2 + ε}) 对于 任何 ε > 0 .

(4)

也就是说，下面的素数x个在

φ (q个)

“允许”残留类别（这些类别构成还原残渣系统模q个). 粗略地说，GRH意味着

x个 \to \infty

，数字

π (x个; q个, 第页)

和

⌊ 锂 x个 / φ (q个) ⌋

他们的左半位数几乎一致。

根据经验证据，下面我们推测素数也会出现类似的现象k个-元组：在每个

H（H）

-允许的残留物类别（定义如下第2.1.1节)有无穷多个素数开始于一个可容许的k个-具有特定模式的元组

H（H）

此外，这些素数在所有素数中的分布大致相等

H（H）

-允许的剩余类模q个我们的推测与哈代-利特伍德密切相关k个-元组猜想[30]贝特曼-霍恩猜想[31].

2.1.1. 计算 $H（H）$ -允许的残留物类别

举个例子：

H（H） = (0, 2)

.模4的哪些剩余类可能包含较小素数第页在一对孪生素数中

(第页, 第页 + 2)

? 显然，剩余类0 mod 4是被禁止的：这类中的所有数字都是偶数。出于同样的原因，禁止使用2类mod 4残留物。剩余的残留物类别，

第页 \equiv 1

mod 4和

第页 \equiv 三

不禁止使用mod 4。我们称这两个类

H（H）

-允许事实上，这两个剩余类中的每一个都包含较少的孪生素数，并且推测每一类中都有无限多这样的素数（参见OEISA071695号和A071698号).

一般来说，如果允许k个-带模式的元组

H（H） = (Δ_{1}, Δ_{2}, \dots, Δ_{k个})

，我们说剩余类第页（修订版q个)是

H（H）

-允许如果

gcd公司 (第页 + Δ_{1}, q个) = gcd公司 (第页 + Δ_{2}, q个) = gcd公司 (第页 + Δ_{三}, q个) = \dots = gcd公司 (第页 + Δ_{k个}, q个) = 1 .

因此，剩余类为

H（H）

-如果不禁止（根据可除性考虑）包含无限多素数，则允许第页开始素数k个-带模式的元组

H（H）

.

模有多少余数类q个是

H（H）

-允许吗？要计算它们，我们需要适当地概括欧拉的总方位

φ (q个)

：Golubev的totiten函数[32,33,34]; 另请参见[35]第289页。

定义 1

Golubev的totient

φ_{k个, H（H）} (q个)

是的数字

H（H）

-给定模式的模q允许剩余类

H（H） = (Δ_{1}, \dots, Δ_{k个})

更正式地说，

φ_{k个, H（H）} (q个) = \sum_{\binom{1 \leq x个 \leq q个}{gcd公司 (x个 + Δ_{1}, q个) = \dots = gcd公司 (x个 + Δ_{k个}, q个) = 1}} 1 .

（5）

例子 1

对于素数四胞胎

(第页, 第页 + 2, 第页 + 6, 第页 + 8)

我们有

k个 = 4, H（H） = (Δ_{1}, Δ_{2}, Δ_{三}, Δ_{4}) = (0, 2, 6, 8), 一 n个 d日 φ_{4, H（H）} (q个) = \underline{A类 319516} (q个) .

例如，当

q个 = 30

，我们有

φ_{4, H（H）} (q个) = 1

：实际上，只有一个剩余类，即，

第页 \equiv 11

（mod 30）其中可除性考虑允许无限多素数第页在质数四胞胎的开始

(第页, 第页 + 2, 第页 + 6, 第页 + 8)

.

请注意

φ_{1} (q个) = φ (q个)

是欧拉的总方向函数，A000010号; 和，对于密度最大的容许值k个-元组，

φ_{2, H（H）} (q个)

是A002472号，另请参见Alder[36];

φ_{三, H（H）} (q个)

是A319534型;

φ_{4, H（H）} (q个)

是A319516型;

φ_{5, H（H）} (q个)

是A321029型; 和

φ_{6, H（H）} (q个)

是A321030型像Euler的totient一样，函数

φ_{k个, H（H）}

是乘法的[33].

2.1.2. 这个k个-元组无限猜想

我们期望每个

H（H）

-允许的残留物类别第页（修订版q个)包含无限多素数第页起始容许素数k个-带模式的元组

H（H）

换句话说，对应的序列

{P（P）}_{c（c）} = {P（P）}_{c（c）} (q个, 第页, H（H）)

是无限的.

备注 2

（i）: k元组无穷大猜想推广了Dirichlet的算术级数定理[37].
（ii）: 这个猜想来自贝特曼-霍恩猜想[31].

2.1.3. 这个k个-Tuple等分布猜想

我们推测素数

第页 \in {P（P）}_{c（c）}

,

第页 \leq x个

，是

π_{c（c）} (x个) = \frac{{C类}_{k个, H（H）}}{φ_{k个, H（H）} (q个)} 锂_{k个} (x个) + 哦_{η, H（H）} ({x个}^{η}) 作为 x个 \to \infty,

(6)

哪里

η < 1

，系数

{C类}_{k个, H（H）}

是Hardy–Littlewood常数对于特定的k个-元组(附录B),

锂_{k个} (x个) = \int_{2}^{x个} {日志}^{- k个} t吨 d日 t吨

(附录C)、和

φ_{k个, H（H）} (q个)

是Golubev的总函数(5).

备注三。

（i）: 推测(6)类似于基于GRH的方程(4); 后者与案件有关 $k个 = 1$ .
（ii）: 该猜想与贝特曼-霍恩和哈迪-利特伍德k-tuple猜想相容，但并不遵循它们。
（iii）: 看起来，类似于(4)，英寸(6)我们可以接受 $η = \frac{1}{2} + ε$ 对于任何 $ε > 0$ .

2.2. 平均间隙尺寸

考虑一个序列

{P（P）}_{c（c）} = {P（P）}_{c（c）} (q个, 第页, H（H）)

，其中剩余类第页（修订版q个)是

H（H）

-允许。我们定义预期平均差距在中的素数之间

{P（P）}_{c（c）}

如下所示。

定义 2

这个预期平均差距在中的素数之间

{P（P）}_{c（c）}

在下面x是

一_{c（c）} (x个) = \frac{φ_{k个, H（H）} (q个)}{{C类}_{k个, H（H）}} \cdot \frac{x个}{锂_{k个} (x个)} .

(7)

定义三。

这个预期平均差距在中的素数之间

{P（P）}_{c（c）}

近的x是

{\bar{一}}_{c（c）} (x个) = \frac{φ_{k个, H（H）} (q个)}{{C类}_{k个, H（H）}} \cdot {日志}^{k个} x个 .

(8)

鉴于均匀分布猜想(6)，从这些定义中很容易看出

\frac{x个}{π_{c（c）} (x个)} \approx 一_{c（c）} (x个) < {\bar{一}}_{c（c）} (x个) 对于大型 x个 .

我们有极限（收敛非常慢）：

\underset{x个 \to \infty}{林} \frac{一_{c（c）} (x个)}{{\bar{一}}_{c（c）} (x个)} = 1,

(9)

\underset{x个 \to \infty}{林} \frac{{\bar{一}}_{c（c）} (x个) - 一_{c（c）} (x个)}{{\bar{一}}_{c（c）} (x个)} \cdot 日志 x个 = k个 .

(10)

2.3. 最大间隙尺寸

回忆一下那个公式(1)适用于特殊情况

q个 = 2, k个 = 1

[12,13,14]，同时(2)适用于特殊情况

q个 = 2, k个 \geq 2

[16]. 我们现在准备概括一下(1)和(2)用于预测序列中素数之间的最大间隙

{P（P）}_{c（c）}

具有

q个 \geq 2

.

2.3.1. 案例k个-Tuples公司： $k个 \geq 2$

考虑一个概率示例。假设罕见随机事件之间的间隔是指数分布的，使用cdf

费用 (ξ; α) = 1 - {e（电子）}^{- ξ / α}

，其中

α

是事件之间的平均间隔。如果我们继续观察这些事件x个秒，极值理论（EVT）预测事件之间的预期最大间隔为

预期最大间隔 = α 日志 \frac{x个}{α} + 哦 (α) = \frac{x个}{Π (x个)} 日志 Π (x个) + 哦 (α),

(11)

哪里

Π (x个) \approx x个 / α

是我们观察到的事件总数x个秒。（有关推导方程式的详细信息(11)，参见示例[38]第114-116页或[16]，第8节）

通过与EVT类比，我们定义了最大间隙的预期趋势函数，如下所示。

定义 4

这个下降趋势中素数之间的最大间隙

{P（P）}_{c（c）}

是

{T型}_{c（c）} (x个) = 一_{c（c）} (x个) \cdot 日志 \frac{{C类}_{k个, H（H）} 锂_{k个} (x个)}{φ_{k个, H（H）} (q个)} .

(12)

鉴于均匀分布猜想(6),

{T型}_{c（c）} (x个) \approx 一_{c（c）} (x个) \cdot 日志 π_{c（c）} (x个) \approx \frac{x个}{π_{c（c）} (x个)} \cdot 日志 π_{c（c）} (x个) 作为 x个 \to \infty .

（13）

我们还定义了另一个趋势函数，

{\bar{T型}}_{c（c）} (x个)

，因为它不使用

锂_{k个} (x个)

.

定义 5

这个上升趋势中素数之间的最大间隙

{P（P）}_{c（c）}

是

{\bar{T型}}_{c（c）} (x个) = {\bar{一}}_{c（c）} (x个) \cdot 日志 \frac{x个}{{\bar{一}}_{c（c）} (x个)} .

(14)

上述定义意味着

{T型}_{c（c）} (x个) < {\bar{T型}}_{c（c）} (x个) < {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) \cdot {日志}^{k个 + 1} x个 对于大型 x个 .

(15)

同时，我们具有渐近等价性：

{T型}_{c（c）} (x个) \sim {\bar{T型}}_{c（c）} (x个) \sim {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) \cdot {日志}^{k个 + 1} x个 作为 x个 \to \infty .

(16)

我们有局限性（收敛速度很慢）：

\underset{x个 \to \infty}{林} \frac{{\bar{T型}}_{c（c）} (x个) - {T型}_{c（c）} (x个)}{{\bar{一}}_{c（c）} (x个)} = k个,

(17)

\underset{x个 \to \infty}{林} \frac{{C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个 + 1} 第页 - {\bar{T型}}_{c（c）} (x个)}{{\bar{一}}_{c（c）} (x个) 日志 日志 x个} = k个 .

(18)

因此，

{\bar{T型}}_{c（c）} (x个) - {T型}_{c（c）} (x个) = 哦_{k个} ({\bar{一}}_{c（c）})

，同时

{C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个 + 1} 第页 - {\bar{T型}}_{c（c）} (x个) = 哦_{k个} ({\bar{一}}_{c（c）} 日志 日志 x个)

.

关于最大间隙的行为，我们做出以下推测

克_{c（c）} (x个)

.

对趋势的推测 $克_{c（c）} (x个)$ .对于任何序列

{P（P）}_{c（c）}

具有

k个 \geq 2

，最大间隙的正比例

克_{c（c）} (x个)

满足双重不等式

{T型}_{c（c）} (x个) ≲ 克_{c（c）} (x个) ≲ {\bar{T型}}_{c（c）} (x个) 作为 x个 \to \infty,

(19)

和区别

克_{c（c）} (x个) - {\bar{T型}}_{c（c）} (x个)

无限频繁地改变符号。

广义Cramér猜想 $克_{c（c）} (第页)$ .几乎所有最大间隙

克_{c（c）} (第页)

满足

克_{c（c）} (第页) < {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个 + 1} 第页 .

(20)

广义Shanks猜想 $克_{c（c）} (第页)$ .几乎所有的最大间隙

克_{c（c）} (第页)

满足

克_{c（c）} (第页) \sim {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个 + 1} 第页 作为 第页 \to \infty .

(21)

在这里

克_{c（c）} (第页)

表示在质数处结束的最大间隙第页.

2.3.2. 底漆情况： $k个 = 1$

基于EVT的趋势公式(12)和(14)能够很好地实现最大间隙k个-元组，

k个 \geq 2

然而，当

k个 = 1

，观察到的最大间隙大小

克_{q个, 第页} (x个)

剩余类中的素数之间第页国防部q个通常比相应的降低趋势公式类似于(12). 例如，使用

k个 = 1

和

q个 = 2

，最大素数间隙的最可能值

克 (x个)

结果小于EVT预测值

\frac{x个 日志 锂 x个}{锂 x个}

-减少约

日志 x个 日志 日志 x个

（参见卡德维尔[15])第912页。在这方面，素数的行为不像“随机飞镖”。相反，这种情况看起来好像素数“密谋在一起”，因此每个素数

{第页}_{n个} \leq x个

降低典型的最大间隙

克 (x个)

大约

{第页}_{n个}^{- 1} 日志 x个

; 确实，我们有

\sum_{{第页}_{n个} \leq x个} {第页}_{n个}^{- 1} \sim 日志 日志 x个 .

下面我们对这一现象进行启发式解释。

让

τ_{q个, 第页} (d日, x个)

是给定偶数大小的间隙数

d日 = {第页}^{'} - 第页

在连续素数之间

第页, {第页}^{'} \equiv 第页

（修订版q个),

{第页}^{'} \leq x个

从经验上讲

τ_{q个, 第页}

具有表格（参见[13,39,40])

τ_{q个, 第页} (d日, x个) \approx {P（P）}_{q个} (d日) {B类}_{q个} (x个) {e（电子）}^{- d日 \cdot {A类}_{q个} (x个)},

(22)

哪里

{P（P）}_{q个} (d日)

是一个振荡因子（编码奇异级数)、和

τ_{q个, 第页} (d日, x个) = {P（P）}_{q个} (d日) = 0 如果 q个 ∤ d日 或 2 ∤ d日 .

(23)

现在的要点是我们可以找到未知函数

{A类}_{q个} (x个)

和

{B类}_{q个} (x个)

英寸(22)假设

τ_{q个, 第页}

作为的函数d日并使用以下两个条件（根据定义为真

τ_{q个, 第页}

):

(一) 间隙总数为 \sum_{d日 = 2}^{克_{q个, 第页} (x个)} τ_{q个, 第页} (d日, x个) \approx π (x个; q个, 第页);

(24)

(b条) 间隙的总长度为 \sum_{d日 = 2}^{克_{q个, 第页} (x个)} d日 \cdot τ_{q个, 第页} (d日, x个) \approx x个 .

(25)

振荡因子的不稳定行为

{P（P）}_{q个} (d日)

在计算总和方面存在障碍(24)和(25). 我们假设，对于足够正则的函数

（f） (d日, x个)

,

\sum_{d日} {P（P）}_{q个} (d日) （f） (d日, x个) \approx 秒 \sum_{d日} （f） (d日, x个),

（26）

哪里秒平均来说，

{P（P）}_{q个} (d日) \approx 秒

; 总和是d日这样(26)非零。扩展方程中的求和(24), (25)到无穷大，使用(26)、和写作

d日 = c（c） j个, j个 \in N个, c（c） = 生命周期管理 (2, q个) = 哦 (q个), 秒 = \underset{n个 \to \infty}{林} \frac{1}{n个} \sum_{j个 = 1}^{n个} {P（P）}_{q个} (c（c） j个),

我们得到了两个级数表达式：(24)给出了一个几何级数

\sum_{d日 = 2}^{\infty} τ_{q个, 第页} (d日, x个) \approx 秒 {B类}_{q个} (x个) \sum_{j个 = 1}^{\infty} {e（电子）}^{- c（c） j个 {A类}_{q个} (x个)} = 秒 {B类}_{q个} (x个) \cdot \frac{{e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)}}{1 - {e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)}} \approx π (x个; q个, 第页),

(27)

同时(25)产生微分几何级数

\sum_{d日 = 2}^{\infty} d日 \cdot τ_{q个, 第页} (d日, x个) \approx c（c） 秒 {B类}_{q个} (x个) \sum_{j个 = 1}^{\infty} j个 {e（电子）}^{- c（c） j个 {A类}_{q个} (x个)} = c（c） 秒 {B类}_{q个} (x个) \cdot \frac{{e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)}}{{(1 - {e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)})}^{2}} \approx x个 .

(28)

因此，我们得到了两个方程：

秒 {B类}_{q个} (x个) \cdot \frac{{e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)}}{1 - {e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)}} \approx π (x个; q个, 第页), c（c） 秒 {B类}_{q个} (x个) \cdot \frac{{e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)}}{{(1 - {e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)})}^{2}} \approx x个 .

为了解这些方程，我们使用近似值

{e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)} \approx 1

和

1 - {e（电子）}^{- c（c） {A类}_{q个} (x个)} \approx c（c） {A类}_{q个} (x个)

（这是合理的，因为我们期望

{A类}_{q个} (x个) \to 0

对于大型x个). 通过这种方式，我们获得

{A类}_{q个} (x个) \approx \frac{π (x个; q个, 第页)}{x个}, {B类}_{q个} (x个) \approx \frac{c（c） π^{2} (x个; q个, 第页)}{秒 x个} .

(29)

事后我们确实看到了

{A类}_{q个} (x个) \to 0

作为

x个 \to \infty

.替换(29)到(22)我们得到

τ_{q个, 第页} (d日, x个) \approx {P（P）}_{q个} (d日) \frac{c（c） π^{2} (x个; q个, 第页)}{秒 x个} {e（电子）}^{- d日 \cdot π (x个; q个, 第页) / x个} .

(30)

发件人(30)我们可以得到一个近似公式

克_{q个, 第页} (x个)

。请注意

τ_{q个, 第页} (d日, x个) = 1

当尺寸间隙d日最大值——在这种情况下

d日 = 克_{q个, 第页} (x个)

因此，要获得最大间隙的近似值

克_{q个, 第页} (x个)

，我们解决d日方程式

τ_{q个, 第页} (d日, x个) = 1

，或

\frac{c（c） π^{2} (x个; q个, 第页)}{x个} {e（电子）}^{- d日 \cdot π (x个; q个, 第页) / x个} \approx 1,

(31)

我们跳过了

{P（P）}_{q个} (d日) / 秒

因为，平均而言，

{P（P）}_{q个} (d日) \approx 秒

.取(31)我们找到了解决方案

克_{q个, 第页} (x个)

直接表示为

π (x个; q个, 第页)

:

克_{q个, 第页} (x个) \approx \frac{x个}{π (x个; q个, 第页)} \cdot (日志 \frac{π^{2} (x个; q个, 第页)}{x个} + 日志 c（c）) .

（32）

自

π (x个; q个, 第页) \approx \frac{锂 x个}{φ (q个)}

和

日志 \frac{π^{2} (x个; q个, 第页)}{x个} \approx 2 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)} - 日志 x个

，我们可以说明以下内容

对趋势的推测 $克_{q个, 第页} (x个)$ .最大间隙的最可能大小

克_{q个, 第页} (x个)

接近趋势曲线

T型 (q个, x个)

:

克_{q个, 第页} (x个) \sim T型 (q个, x个) = \frac{φ (q个) x个}{锂 x个} \cdot (2 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)} - 日志 x个 + b条),

(33)

哪里

b条 = b条 (q个, x个) = 哦 (日志 q个)

趋于常数

x个 \to \infty

.差异

克_{q个, 第页} (x个) - T型 (q个, x个)

无限频繁地改变符号。

此外，我们预计分布宽度附近最大间隙的x个是

哦_{q个} (日志 x个)

; 也就是说，分布宽度与平均间隙的顺序相同

φ (q个) 日志 x个

（请参见第3.2节). 另一方面，对于大型x个，趋势(33)与线路不同

φ (q个) {日志}^{2} x个

通过

哦_{q个} (日志 x个 日志 日志 x个)

也就是说，比平均差距大得多。这表明克拉姆和香克斯猜想的自然推广：

广义Cramér猜想 $克_{q个, 第页} (第页)$ .几乎所有最大间隙

克_{q个, 第页} (第页)

满足

克_{q个, 第页} (第页) < φ (q个) {日志}^{2} 第页 .

(34)

广义Shanks猜想 $克_{q个, 第页} (第页)$ .几乎所有最大间隙

克_{q个, 第页} (第页)

满足

克_{q个, 第页} (第页) \sim φ (q个) {日志}^{2} 第页 作为 第页 \to \infty .

(35)

猜测(34)和(35)可以视为(20), (21)的

k个 = 1

.

2.4. 有多少最大间隙？

本节概括了[41],第2.3节.让

对_{c（c）} (n个)

是的大小n个-中素数之间的第个记录（最大）间隙

{P（P）}_{c（c）}

。表示方式

{N个}_{c（c）} (x个)

中素数之间观察到的最大间隔总数

{P（P）}_{c（c）}

不超过x个.让

ℓ = ℓ (x个; q个, H（H）)

是一个连续的缓变函数估计

\underset{第页}{意思是} ({N个}_{c（c）} (e（电子） x个) - {N个}_{c（c）} (x个))

，中素数之间最大间隔的平均数

{P（P）}_{c（c）}

，具有上端点

{第页}^{'} \in [x个, e（电子） x个]

。对于

x个 \to \infty

，我们将启发性地论证，如果ℓ存在，则限制为

k个 + 1

。假设

\underset{x个 \to \infty}{林} \frac{{N个}_{c（c）} (x个)}{日志 x个} = \underset{x个 \to \infty}{林} \frac{{意思是}_{第页} {N个}_{c（c）} (x个)}{日志 x个} = \underset{x个 \to \infty}{林} ℓ (x个; q个, H（H）) = ℓ_{*} > 0,

和限制

ℓ_{*}

独立于q个.让n个是最大间隙的“典型”数量x个; 我们的假设

\underset{x个 \to \infty}{林} ℓ = ℓ_{*}

意味着

n个 \sim ℓ_{*} 日志 x个 作为 x个 \to \infty .

(36)

对于大型n个，我们可以估计典型的n个-第个最大间隙

对_{c（c）} (n个)

使用广义Cramér和Shanks猜想(20)和(21):

对_{c（c）} (n个) = 克_{c（c）} (x个) ≲ {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个 + 1} x个 \sim {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) \frac{{n个}^{k个 + 1}}{ℓ_{*}^{k个 + 1}} .

(37)

定义

Δ 对_{c（c）} (n个) = 对_{c（c）} (n个 + 1) - 对_{c（c）} (n个) .

按公式(37)，对于大型q个和大型n个我们有

\underset{第页}{意思是} 对_{c（c）} (n个) \sim {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) \frac{{n个}^{k个 + 1}}{ℓ_{*}^{k个 + 1}},

\begin{matrix} \underset{第页}{意思是} Δ 对_{c（c）} (n个) & = \underset{第页}{意思是} (对_{c（c）} (n个 + 1) - 对_{c（c）} (n个)) \\ \sim \frac{{C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个)}{ℓ_{*}^{k个 + 1}} \cdot ({(n个 + 1)}^{k个 + 1} - {n个}^{k个 + 1}) \\ \sim \frac{{C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个)}{ℓ_{*}^{k个 + 1}} \cdot (k个 + 1) {n个}^{k个}, \end{matrix}

取平均值

H（H）

-允许残留物类别；看见第2.1.1节.将此与(36)，我们发现

\underset{第页}{意思是} Δ 对_{c（c）} (n个) \sim \frac{k个 + 1}{ℓ_{*}} \cdot {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个} x个 .

(38)

另一方面，从启发性的角度来看，我们预计，平均而言，两个连续的记录差距应该不同于“本地”平均差距(8)在中的素数之间

{P（P）}_{c（c）}

:

\underset{第页}{意思是} Δ 对_{c（c）} (n个) \sim {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个} x个 (\sim 附近的平均间隙 x个) .

(39)

方程式(38)和(39)暗示

ℓ_{*} = k个 + 1 .

因此，对于大型x个我们应该期待（参见第3.3节和第3.4节; 参见[42])

{N个}_{c（c）} (x个) \sim (k个 + 1) 日志 x个 作为 x个 \to \infty .

(40)

特殊情况。对于数字

{N个}_{q个, 第页}

素数之间的最大间隙

第页 \equiv 第页

（修订版q个)我们有

{N个}_{q个, 第页} (x个) \sim 2 日志 x个 作为 x个 \to \infty .

(41)

这与以下最大素数间隙数的半经验公式渐近等价x个（即，对于特殊情况

k个 = 1

,

q个 = 2

; 参见[43],第3.4节; 组织环境信息系统A005669号):

{N个}_{2, 1} (x个) \sim 2 日志 锂 x个 作为 x个 \to \infty .

(42)

公式(42)告诉我们最大素数间隔平均发生在两次与身份证号码随机序列中的记录一样频繁

⌊ 锂 x个 ⌋

条款。还要注意以下简单的概括(42)粗略估计

{N个}_{q个, 第页} (x个)

一般情况下：

{N个}_{q个, 第页} (x个) \approx 最大值 (0, 2 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)}) .

(43)

计算表明，对于最大素数间隙的特殊情况

克 (x个)

，公式(42)效果很好。然而，更通用的公式(43)通常高估

{N个}_{q个, 第页} (x个)

同时(43)是小于

2 日志 x个

因此(41)以及(43)高估实际差距

{N个}_{q个, 第页} (x个)

在大多数情况下。

在第3.3节我们将看到一种基于在区间内观察到的素数最大间隙平均数的替代（后验）近似

[x个, e（电子） x个]

即估计平均数

ℓ (x个; q个, H（H）)

具有端点的最大间隙

[x个, e（电子） x个]

是

ℓ (x个; q个, H（H）) \approx \underset{第页}{意思是} ({N个}_{c（c）} (e（电子） x个) - {N个}_{c（c）} (x个)) \approx k个 + 1 - \frac{κ (q个, H（H）)}{日志 x个 + δ (q个, H（H）)} .

(44)

3.数值结果

为了测试上一节的推测，我们进行了大量的计算实验。我们使用了PARI/GP（参见附录A对于代码示例）计算最大间隙

克_{c（c）}

在初始素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

在最稠密的容许素数中k个-元组，

k个 \leq 6

。我们试验了许多不同的

q个 \in [4, 10^{5}]

.为给定的q个，我们使用了所有

H（H）

-允许的残留物类别第页（修订版q个). 有关素数之间最大间隙的计算实验的更多详细信息

第页 = 第页 + n个 q个

（即，对于这种情况

k个 = 1

)，另请参见[43]，第3节。在本节中，我们省略了下标

H（H）

在里面

φ_{k个}

和

{C类}_{k个}

因为我们正在与密度最大的 k个-元组：对于每个

k个 = 2, 4, 6

只有一种最密集的图案

H（H）

，而对于每个

k个 = 三, 5, 7

有两种最密集的模式

H（H）

，函数的数值相等

φ_{k个} (q个)

并等于Hardy–Littlewood常数

{C类}_{k个}

.

3.1. 最大间隙的增长趋势

绝大多数最大间隙尺寸

克_{c（c）} (x个)

确实在预测的趋势曲线附近观察到第2.3节具体来说，对于最大间隙

克_{c（c）}

在素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

在里面k个-元组(

k个 \geq 2

)，间隙大小大多位于等式对应趋势曲线的附近(12)和(14)源自极值理论。然而，对于

k个 = 1

，趋势方程(33)更好地预测最大间隙

克_{q个, 第页}

.

图1,图2和图3说明我们的数值结果

k个 = 1, 2, 6

,

q个 = 313

。这些图中的水平轴为

{日志}^{k个 + 1} 第页

对于gap结束素数第页注意，图中所示的所有间隙均满足广义克雷默猜想，即不等式(20), (34); 有关罕见的异常，请参阅第3.5节。其他值的结果q个看起来像图1,图2和图3.

数字证据表明

对于 $k个 = 1$ （最大间隙的情况 $克_{q个, 第页}$ 在素数之间 $第页 = 第页 + n个 q个$ )基于EVT的趋势曲线 $\frac{φ (q个) x个}{锂 x个} 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)}$ 太高了(图1，蓝色曲线）。同时，趋势(33) (图1，红色曲线）

$T型 (q个, x个) = \frac{φ (q个) x个}{锂 x个} \cdot (2 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)} - 日志 x个 + b条)$

令人满意地预测间隙大小 $克_{q个, 第页} (x个)$ ，带有经验修正项

$b条 = b条 (q个, x个) \approx ({b条}_{0} + \frac{{b条}_{1}}{{(日志日志 x个)}^{{b条}_{2}}}) 日志 φ (q个) ≍ 日志 φ (q个),$

(45)

其中参数值

${b条}_{0} = 1, {b条}_{1} = 4, {b条}_{2} = 2.7$

(46)

接近最佳 $q个 \in [10^{2}, 10^{5}]$ 和 $x个 \in [10^{7}, 10^{14}]$ 。这里是限定符最优的与缩放变换一起理解(47)以下介绍了第3.2节.一种趋势 $T型 (q个, x个)$ 如果转换后为最佳(47)最可能的重标度值w个结果接近于零，最适合的甘贝尔分布模式w个-值也接近于零， $μ \approx 0$ ; 看见图4.鉴于(45)无论如何，这是可能的q个，最佳条件b条英寸(33)有表单 $b条 (q个, x个) = (1 + β (q个, x个)) \cdot 日志 φ (q个) \sim 日志 φ (q个)$ ，其中 $β (q个, x个)$ 非常缓慢地降至零 $x个 \to \infty$ （请注意，在第2.3.2节我们正确估计了b条成为 $哦 (日志 q个)$ 但没有预测欧拉函数的出现 $φ (q个)$ 在任期内b条.)
对于 $k个 = 2$ ，约为最大间隙的一半 $克_{c（c）}$ 在较小的孪生素数之间 $第页 \in {P（P）}_{c（c）}$ 低于降低趋势曲线 ${T型}_{c（c）} (x个)$ 方程式的(12)而另一半在曲线上方；看见图2.
对于 $k个 \geq 三$ ，超过最大间隙的一半 $克_{c（c）}$ 通常高于较低的趋势曲线 ${T型}_{c（c）} (x个)$ 方程式的(12). 同时，超过一半的最大缺口通常低于上趋势曲线 ${\bar{T型}}_{c（c）} (x个)$ 方程式的(14); 看见图3回顾一下这两条趋势曲线 ${T型}_{c（c）}$ 和 ${\bar{T型}}_{c（c）}$ 都在 $k个 {\bar{一}}_{c（c）}$ 彼此之间作为 $x个 \to \infty$ ; 参见(17).

如Brent所述[44]，双素数似乎比素数更随机。同样，我们可以添加最大间隙

克_{q个, 第页}

剩余类中的素数之间的随机性似乎比素数的随机性小一些k个-元组；素数

第页 \equiv 第页

（修订版q个)不要像我们基于极值理论所预期的那样彼此相距太远。平茨[45]讨论素数的“随机”和非随机行为的其他各个方面。

3.2. 最大间隙的分布

在第3.1节我们测试了确定序列中素数之间最大间隙增长趋势的方程

{P（P）}_{c（c）}

.最大间隙大小如何分布在各自趋势的附近？

我们将执行重缩放转换（由极值理论驱动）：从实际差距大小中减去趋势，然后将结果除以一个自然单位，即“局部”平均差距。这样，每个最大间隙大小都映射到其重缩放值：

最大间隙尺寸 克 \mapsto 重缩放值 = \frac{克 - 趋势}{平均间隙} .

趋势曲线上方的间隙映射到正的重新缩放值，而趋势曲线下方的间隙映射为负的重新缩放的值。

案例

k个 = 1

.对于最大间隙

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 \equiv 第页

（修订版q个)，趋势函数T型由方程式给出(33), (45)和(46). 缩放操作具有以下形式

克_{q个, 第页} (x个) \mapsto w个 = \frac{克_{q个, 第页} (x个) - T型 (q个, x个)}{一 (q个, x个)} .

(47)

哪里

一 (q个, x个) = \frac{φ (q个) x个}{锂 x个}

.图4显示重缩放值的直方图w个对于最大间隙

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 \equiv 第页

（修订版q个)的

q个 = 16001

.

案例

k个 \geq 2

.对于最大间隙

克_{c（c）}

在质数之间k个-具有的元组

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

，我们可以利用这个趋势

{T型}_{c（c）}

方程式的(12). 然后缩放操作具有以下形式

克_{c（c）} (x个) \mapsto 小时 = \frac{克_{c（c）} (x个) - {T型}_{c（c）} (x个)}{一_{c（c）} (x个)},

(48)

哪里

一_{c（c）} (x个)

由定义(7).图5显示重缩放值的直方图小时对于最大间隙

克_{c（c）}

在较小的双素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

对于q个= 16001,

k个 = 2

.

在两者中图4和图5请注意，直方图和拟合分布向右倾斜，即右尾巴更长更重。在两参数分布中，Gumbel极值分布是一个很好的拟合；参见[46,47]. 这在我们所有的计算实验中都是正确的。

备注 4

对于中显示的所有直方图图4和图5，Kolmogorov–Smirnov优良率统计值小于0.01；事实上，对于大多数直方图来说，fit统计的goodness-of-fit约为0.003。

如果我们考虑三参数分布，那么最佳拟合是广义极值（GEV）分布，其中包括作为特例的甘贝尔分布。这个形状参数在最佳拟合下，GEV分布接近于零；请注意，甘贝尔分布是一个形状参数为零的GEV分布。因此，甘贝尔分布可以成为适当重标的最大间隙序列的极限定律吗

克_{q个, 第页} (第页)

和

克_{c（c）} (第页)

作为

第页 \to \infty

? 这种极限分布是否存在？

比例参数

α

。对于

k个 = 1

，我们观察到w个-值(47)在范围内

α \in [0.7, 1]

.参数

α

似乎慢慢增长到1

第页 \to \infty

; 看见图4。对于

k个 \geq 2

，最佳拟合Gumbel分布的标度参数小时-值(48)通常略大于1；看见图5。但是，如果不是(48)我们使用（更简单的）缩放变换

克_{c（c）} (x个) \mapsto \bar{小时} = \frac{克_{c（c）} (x个) - {\bar{T型}}_{c（c）} (x个)}{{\bar{一}}_{c（c）} (x个)},

(49)

哪里

{\bar{一}}_{c（c）}

和

{\bar{T型}}_{c（c）}

分别由定义(8)和(14)，然后得到的Gumbel分布

\bar{小时}

-值通常具有刻度

α

略低于1。在与随机的，随机的差距，规模也接近1；参见[43]，第3.3节。

3.3. 计算最大间隙

我们使用了PARI/GP功能findallgaps公司（请参阅中的源代码附录A.2)确定最大间隙的平均数

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 = 第页 + n个 q个

,

第页 \in [x个, e（电子） x个]

，用于

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 = 1, 2, \dots, 27

也收集了类似的差距统计数据

克_{c（c）}

.图6,图7,图8和图9显示此计算的结果

q个 = 16001

,

k个 \leq 4

.何时x个较大时，最大间隙的平均数

克_{c（c）}

对于

第页 \in [x个, e（电子） x个]

看起来确实如此非常缓慢方法

k个 + 1

，如方程式所预测(40). 什么时候？x个很小(

x个 < q个 / e（电子）

)，有至多一素数

第页 \in [2, e（电子） x个]

按顺序

{P（P）}_{c（c）}

-通常根本就没有这样的素数；因此，我们看不到任何差距

[x个, e（电子） x个]

，以及中相应的绘图点图6,图7,图8和图9为零。

从一些开始

{x个}_{0} > q个 / e（电子）

，差距计入

[x个, e（电子） x个]

不再为零。这里我们观察到一个“过渡区”，其中最大间隙的平均数

克_{c（c）} (第页)

对于素数

第页 \in [x个, e（电子） x个]

从0增长到略大于1，而x个从

{x个}_{0}

在过渡区域中绘制点的非单调行为部分地通过以下事实来解释，即这里的间隙大小可以与间隔的大小相比较

[x个, e（电子） x个]

然后，对于较大的x个，典型间隙数

克_{c（c）}

之间k个-元组继续缓慢增加；具体来说

意思是 ({N个}_{c（c）} (e（电子） x个) - {N个}_{c（c）} (x个))

与

日志 x个

近似于具有水平渐近线的双曲线

年 = k个 + 1

; 参见方程式(40)英寸第2.4节为什么观察到的曲线类似双曲线？如果我们与随机的，随机的缺口，那么也许可以用记录理论解释曲线；参见[42]. 但是素数不是随机数；所以我们只需处理双曲线图6,图7,图8和图9作为实验事实.

3.4。我们要等多久才能看到下一个最大差距？

让P（P）(n个) =A002386号(n个)和P'(n个) =A000101号(n个)是的上下端点n个-第个记录（最大）间隙

对 (n个)

素数之间：对(n个) =A005250型(n个)=P’(n个) −P（P）(n个).

考虑距离

P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1)

从一个最大间隙到下一个。（在统计学中，类似的数量有时称为“记录间时间”）。在图10我们给出了这些距离的曲线图；该图还显示了双素数从中可以看出图10，数量

P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1)

近似指数增长n个（但不是单调地）。事实上，预计典型的记录间时间可以满足要求

日志 (P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1)) < 日志 P（P） (n个) \sim \frac{n个}{2} 作为 n个 \to \infty .

(50)

方程中的渐近等价～(50)和(51)是方程式的重述(40)和(41). 如果认为

日志 (P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1)) \overset{?}{\sim} 日志 P（P） (n个)

因为我们不能排除这样的可能性

日志 (P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1))

可能（很少）变得像

日志 克 (x个) \approx 2 日志 日志 x个

，其中

x个 = P（P） (n个)

.

一般来说，让

{P（P）}_{c（c）} (n个)

和

{P（P）}_{c（c）}^{'} (n个)

是的端点n个-第个最大间隙

对_{c（c）} (n个)

在序列中的素数之间

{P（P）}_{c（c）}

，其中每个素数第页（修订版q个)并开始一个可容许素数k个-元组。然后，根据启发式推理第2.4节，用于典型的记录间时间

{P（P）}_{c（c）} (n个) - {P（P）}_{c（c）} (n个 - 1)

分离最大间隙

对_{c（c）} (n个 - 1)

和

对_{c（c）} (n个)

我们期待看到

日志 ({P（P）}_{c（c）} (n个) - {P（P）}_{c（c）} (n个 - 1)) < 日志 {P（P）}_{c（c）} (n个) \sim \frac{n个}{k个 + 1} 作为 n个 \to \infty .

(51)

在特殊情况下

k个 = 2

也就是说，对于双素数，右侧(51)预计将

\frac{n个}{三}

对于大型n个（鉴于图10建议在右手边

0.38 n个

基于非常有限的数据集

10 \leq n个 \leq 75

). 正如我们在中看到的第3.3节，之间最大间隙的平均数k个-素数出现的元组

第页 \in [x个, e（电子） x个]

慢慢接近

k个 + 1

从下面开始.对于中等值x个在计算中可以达到，此平均值通常介于1和

k个 + 1

因此，我们可以看到(51)生成预测

≍ {e（电子）}^{n个 / (k个 + 1)}

那个低估典型的记录间时间和素数

{P（P）}_{c（c）} (n个)

.计算可能得出估计值

{P（P）}_{c（c）} (n个) - {P（P）}_{c（c）} (n个 - 1) < {P（P）}_{c（c）} (n个) \approx C类 {e（电子）}^{β n个},

哪里

β \in [\frac{1}{k个 + 1}, 1],

估计值为

β

这取决于可用数据的范围。

备注 5

的示例图

日志 {P（P）}_{c（c）} (n个)

vs.n可以在OEIS网站上在线绘制：点击图表并滚动到序列的对数图A002386号(

k个 = 1

),A113275号(

k个 = 2

),A201597号(

k个 = 三

),1999年2月(

k个 = 三

),A229907型(

k个 = 4

),A201063号(

k个 = 5

),A201074号(

k个 = 5

),A200504型(

k个 = 6

). 在所有这些图中，当n足够大时，

日志 {P（P）}_{c（c）} (n个)

似乎与n近似成线性增长。我们推测，这种线性近似的斜率缓慢减小，接近斜率值

1 / (k个 + 1)

作为

n个 \to \infty

.

3.5. 超大差距： $克_{q个, 第页} (第页) > φ (q个) {日志}^{2} 第页$

回忆一下，对于最大素数间隙

克 (x个)

柄[5]关于渐近等式的猜想

克 (x个) \sim {日志}^{2} x个

克拉姆猜想的一种强化形式。这似乎表明（异常大的）最大间隙克事实上可能早于

x个 ≍ {e（电子）}^{\sqrt{克}}

另一方面，沃尔夫[48]推测通常是一个大小差距d日第一次出现在邻近素数之间

\sqrt{d日} \cdot {e（电子）}^{\sqrt{d日}}

结合这些观察结果，我们可以进一步观察到异常大的最大间隙，即，

最大间隙 克 = 克 (x个) > {日志}^{2} x个

(52)

也是那些第一次出现异常早的人。也就是说，它们发生在x个大约是

\sqrt{d日}

早于间隙的典型首次出现d日在

x个 ≍ \sqrt{d日} \cdot {e（电子）}^{\sqrt{d日}}

注意Granville[6]第24页，显示了异常大的间隙(52)十年中无限次地发生，我们甚至会看到无限多的超越

1.1229 {日志}^{2} x个

相反，Sun[49]，连接。2.3，做出了一个推测，暗示了如下异常(52)虽然Firoozbakht的猜想暗示了异常(52)素数永远不会出现

第页 \geq 11

; 参见[50]. 在这里，我们谨慎地预测(52)只是最大间隙的零比例。这可以被视为对广义克拉姆猜想的重述(20), (34)对于特殊情况

k个 = 1

,

q个 = 2

.

表1列出了异常大的最大间隙

克_{q个, 第页} (第页)

在素数之间

第页 \equiv 第页

（修订版q个)对于哪个不等式(34)不支持：

最大间隙 克_{q个, 第页} (第页) > φ (q个) {日志}^{2} 第页 .

三个部分表1对应于（i）奇数

q个, 第页

; （ii）均匀q个; （iii）均匀第页（路段之间的重叠是由于以下事实

φ (q个) = φ (2 q个)

对于奇数q个.）未找到与此属性的其他最大间隙

第页 < 10^{9}

,

q个 \leq 30000

。不存在如此大的差距

第页 < 10^{10}

,

q个 \leq 1000

.

备注 6

有趣的是，对于表1，数字q和r中的至少一个是复合的。到目前为止，我们还没有看到突破差距的情况(34)同时具有q和r素数。

4.总结

我们广泛研究了素数之间的记录（最大）间隙k个-剩余类中的元组（modq个). 我们的计算实验在第3节花了几个月的电脑时间。数字证据使我们能够得出以下结论，这些结论也得到了启发式推理的支持。

对于 $k个 = 1$ ，观察到的最大间隙增长趋势 $克_{q个, 第页} (x个)$ 由提供(33)和(45). 特别是对于最大素数间隙( $k个 = 1$ , $q个 = 2$ )趋势方程简化为

$克_{2, 1} (x个) \sim T型 (2, x个) = {日志}^{2} x个 - 2 日志 x个日志日志 x个 + 哦 (日志 x个) .$
对于 $k个 \geq 2$ ，最大间隙的显著比例 $克_{c（c）} (x个)$ 在方程式的趋势曲线之间观察到(12)和(14)，可以从极值理论中启发式地导出。
经过适当的重新缩放后，Gumbel分布可能是 $克_{q个, 第页} (第页)$ 以及 $克_{c（c）} (第页)$ 这种极限分布的存在是一个悬而未决的问题。
几乎所有最大间隙 $克_{q个, 第页} (第页)$ 剩余类mod中的素数之间q个似乎满足了克拉姆和香克斯猜想的适当推广(34)和(35):

$克_{q个, 第页} (第页) ≲ φ (q个) {日志}^{2} 第页 .$
类似的概括(20)和(21)对于几乎所有的最大间隙，克雷默和香克斯猜想显然都是正确的 $克_{c（c）} (第页)$ 在素数之间 ${P（P）}_{c（c）}$ :

$克_{c（c）} (第页) ≲ {C类}_{k个, H（H）}^{- 1} φ_{k个, H（H）} (q个) {日志}^{k个 + 1} 第页 .$
异常大的差距 $克_{q个, 第页} (第页) > φ (q个) {日志}^{2} 第页$ 非常罕见(表1). 我们推测，只有最大间隙的零比例是这种例外。类似的观察结果适用于 $克_{c（c）} (第页)$ 违反(20).
我们推测总数 ${N个}_{q个, 第页} (x个)$ 最大间隙的 $克_{q个, 第页}$ 观察到x个低于 $C类日志 x个$ 对一些人来说 $C类 > 2$ .
更一般地，我们推测：数字 ${N个}_{c（c）} (x个)$ 中素数之间的最大间隙 ${P（P）}_{c（c）}$ 高达x个满足不等式 ${N个}_{c（c）} (x个) < C类日志 x个$ 对一些人来说 $C类 > k个 + 1$ ，其中k个是模式中的整数数 $H（H）$ 定义序列 ${P（P）}_{c（c）}$ .

作者贡献

概念化和方法论，A.K.和M.W。；软件和可视化，A.K。；A.K.和M.W.的调查、数据管理、验证和正式分析。；写作——初稿准备，A.K。；写作——审查和编辑，A.K.和M.W。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

我们感谢匿名推荐人提供的有用建议。还要感谢网站的所有贡献者和编辑OEIS.org网站和PrimePuzzles.net软件.

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：

现金流量表	累积分布函数
pdf格式	概率密度函数
电动汽车	极值理论
GEV公司	广义极值分布
GRH公司	广义黎曼假设

附录A：计算实验详情

感兴趣的读者可以使用下面的程序复制和扩展我们的结果。

附录A.1。PARI/GP计划maxgap.GP

默认值（realprecision，11）

输出路径=“c:\\wgap”

\\maxgap（q，r，end[，b0，b1，b2]）ver2.1计算最大间隙g

\\素数p=qn+r，以及重标值（w，u，h）之间：

\\w-如arXiv:1901.03785（本文）的方程（33）、（45）-（47）中所示；

\\u-与w相同，但常数b=ln phi（q）；

\\h-基于极值理论（参考arXiv中的randomgap.gp:1610.03340）

\\结果将写入屏幕和输出路径字符串指定的文件夹中。

\\当素数超过结束参数时，计算结束。

最大间隙（q，r，end，b0=1，b1=4，b2=2.7）={

re=0；

p=pmin（q，r）；

t=eulerphi（q）；

inc=q；

而（p<结束，

m=p+re；

p=m+inc；

while（！i素数（p），p+=inc）；

while（！i素数（m），m-=inc）；

g=p-m；

如果（g>re，

re=克；Lip=li（p）；a=t*p/唇；Logp=对数（p）；

h=g/a-log（Lip/t）；

u=g/a-2*log（Lip/t）+Logp-log（t）；

w=g/a-2*log（Lip/t）+Logp-log（t）*（b0+b1/max（2，log（Logp））^b2）；

f=天花板（对数/对数（10））；

写入（输出路径“\\”q“_1e”f“.txt”，

w“u”“h”“g”“m”“p”q=“q”r=“r）；

打印（w“u”“h”“g”“m”“p”q=“q”r=“r）；

如果（g/t>log（p）^2，则写入（输出路径“\\”q“1e”f“.txt”，“超大”）；

如果（g%2==0，inc=lcm（2，q））；

\\可选部分：对于x=e^j，以间隔[x/e，ex]表示的p的统计

i=ceil（对数）；

j=楼层（对数）；

如果（N！='N，N[j]++）；当x=e^j时，在[x，ex]中用p计算最大值

写入（输出路径“\\”q“_exp”i“.txt”，w“”u“”h“”g“”m“”p“”q=“”q“”r=“”r）；

写入（输出路径“\\”q“_exp”j“.txt”，w“”u“”h“”g“”m“”p“”q=“”q“”r=“”r）；

)

}

附录A.2。PARI/GP：maxgap.GP的辅助功能

\\这些函数用于程序maxgap.gp

\\最好使用maxgap.gp将它们包含在同一个文件中

\\li（x）计算x的对数积分

li（x）=实（-eint1（-log（x）））

\\pmin（q，r）计算最小素数p=qn+r，对于n=0,1,2,3，。。。

pmin（q，r）=步骤（p=r，1e99，q，if（i素数（p），返回（p）））

\\findallgaps（q，end）：给定q，对q的所有r互素调用maxgap（q，r，end。

\\输出间隔[x，ex]中最大间隙的总计数和平均计数。

findallgaps（q，结束）={

t=欧拉比（q）；

N=矢量（99，j，0）；

对于（r=1，q，如果（gcd（q，r）==1，最大间隙（q，r，end））；

nmax=地板（原木（端部））；

对于（n=1，nmax，

平均值=1.0*N[N]/t；

写入（输出路径“\\”q“stats.txt”，n“”avg“”n[n]）；

)

}

附录A.3。配电装置注意事项

为了研究重标最大间隙的分布，我们使用了分布拟合软件EasyFit[51]. 使用创建的数据文件最大间隙.gp轻松导入EasyFit：

从文件菜单，选择打开.
选择数据文件。
指定字段分隔符=空间.
点击更新，然后好啊.

注意：PARI/GP以尾数指数格式输出大小实数带有空格在指数之前（例如。，1.7874829515电子5)，而EasyFit预计会有这样的数字没有空格（例如。，1.7874829515E-5号机组). 因此，在导入EasyFit之前，请在数据文件中搜索“E”并将所有事件替换为“E”.

附录B.哈代-利特伍德常数 ${C类}_{k个, H（H）}$

哈代小木k个-元组猜想[30]可以预测素数的平均频率k个-元组接近第页以及素数的近似总数k个-以下元组x个具体来说，哈迪-利特伍德k个-元组常量

{C类}_{k个, H（H）}

，除以

{日志}^{k个} 第页

，给我们一个素数平均频率的估计k个-元组接近第页:

的频率 k个 - 元组 \sim \frac{{C类}_{k个, H（H）}}{{日志}^{k个} 第页} .

因此([52]，第61–68页），针对给定的k个-元组模式

H（H）

，总数为k个-以下元组x个是

π_{k个, H（H）} (x个) \sim {C类}_{k个, H（H）} \int_{2}^{x个} \frac{d日 t吨}{{日志}^{k个} t吨} = {C类}_{k个, H（H）} 锂_{k个} (x个) .

Hardy–Littlewood常数

{C类}_{k个, H（H）}

可以用素数上的无穷乘积来定义。特别是对于最稠密的容许素数k个-元组

k个 \leq 7

我们有：

\begin{matrix} {C类}_{1} & = 1 (依照惯例, 根据素数定理); \\ {C类}_{2, H（H）} & = 2 \prod_{第页 > 2} \frac{第页 (第页 - 2)}{{(第页 - 1)}^{2}} \approx 1.32032363169373914785562422 (\underline{A类 005597}, \underline{A类 114907}); \\ {C类}_{三, H（H）} & = \frac{9}{2} \prod_{第页 > 三} \frac{{第页}^{2} (第页 - 三)}{{(第页 - 1)}^{三}} \approx 2.85824859571922043243013466 (\underline{A类 065418}); \\ {C类}_{4, H（H）} & = \frac{27}{2} \prod_{第页 > 4} \frac{{第页}^{三} (第页 - 4)}{{(第页 - 1)}^{4}} \approx 4.1511806323741557516528556 (\underline{A类 065419}); \\ {C类}_{5, H（H）} & = \frac{15^{4}}{2^{11}} \prod_{第页 > 5} \frac{{第页}^{4} (第页 - 5)}{{(第页 - 1)}^{5}} \approx 10.131794949996079843988427 (\underline{A类 269843}); \\ {C类}_{6, H（H）} & = \frac{15^{5}}{2^{13}} \prod_{第页 > 6} \frac{{第页}^{5} (第页 - 6)}{{(第页 - 1)}^{6}} \approx 17.2986123115848886061221077 (\underline{A类 269846}); \\ {C类}_{7, H（H）} & = \frac{35^{6}}{三 \cdot 2^{22}} \prod_{第页 > 7} \frac{{第页}^{6} (第页 - 7)}{{(第页 - 1)}^{7}} \approx 53.9719483001296523960730291 (\underline{A类 271742}) . \end{matrix}

《福布斯》[53]给出了Hardy–Littlewood常数的最大值

k个 = 24

尽管有效数字较少；另请参见[54]第86页。从开始

k个 = 8

，我们可能经常会遇到一个以上的数值

{C类}_{k个, H（H）}

单人间k个.（如果有米不同的模式

H（H）

最稠密容许素数k个-相同的元组k个，然后我们通常会

⌈ \frac{米}{2} ⌉

不同的数值

{C类}_{k个, H（H）}

，取决于实际图案

H（H）

的k个-元组；参见[53].)

附录C积分Li_k个(x个)

让

k个 \in N个

和

x个 > 1

，并让

\begin{matrix} {F类}_{k个} (x个) & = \int \frac{d日 x个}{{日志}^{k个} x个} (不定积分); \\ 锂_{k个} (x个) & = \int_{2}^{x个} \frac{d日 t吨}{{日志}^{k个} t吨} (定积分) . \end{matrix}

表示方式

锂 x个

传统对数积分（主值）：

锂 x个 = \int_{0}^{x个} \frac{d日 t吨}{日志 t吨} = \int_{2}^{x个} \frac{d日 t吨}{日志 t吨} + 1.04516 \dots

在PARI/GP中，一种简单的计算方法

锂 x个

如下所示：li（x）=实（-eint1（-log（x）））.

积分

{F类}_{k个} (x个)

和

锂_{k个} (x个) = {F类}_{k个} (x个) - {F类}_{k个} (2)

也可以表示为

锂 x个

.按部件集成给出

\int \frac{d日 x个}{日志 x个} = \frac{x个}{日志 x个} + \frac{x个}{{日志}^{2} x个} + \frac{2 x个}{{日志}^{三} x个} + \frac{6 x个}{{日志}^{4} x个} + \dots + \frac{(k个 - 2)! x个}{{日志}^{k个 - 1} x个} + (k个 - 1)! \int \frac{d日 x个}{{日志}^{k个} x个} .

因此，

\begin{matrix} {F类}_{2} (x个) & = \frac{1}{1!} (锂 x个 - \frac{x个}{日志 x个}) + C类, \\ {F类}_{三} (x个) & = \frac{1}{2!} (锂 x个 - \frac{x个}{{日志}^{2} x个} (日志 x个 + 1)) + C类, \\ {F类}_{4} (x个) & = \frac{1}{三!} (锂 x个 - \frac{x个}{{日志}^{三} x个} ({日志}^{2} x个 + 日志 x个 + 2)) + C类, \\ {F类}_{5} (x个) & = \frac{1}{4!} (锂 x个 - \frac{x个}{{日志}^{4} x个} ({日志}^{三} x个 + {日志}^{2} x个 + 2 日志 x个 + 6)) + C类, \\ {F类}_{6} (x个) & = \frac{1}{5!} (锂 x个 - \frac{x个}{{日志}^{5} x个} ({日志}^{4} x个 + {日志}^{三} x个 + 2 {日志}^{2} x个 + 6 日志 x个 + 24)) + C类, \end{matrix}

一般来说，

{F类}_{k个 + 1} (x个) = \frac{1}{k个!} (锂 x个 - \frac{x个}{{日志}^{k个} x个} \sum_{j个 = 1}^{k个} (k个 - j个)! {日志}^{j个 - 1} x个) + C类 .

使用这些公式我们可以计算

锂_{k个} (x个)

用于近似

π_{c（c）} (x个)

（序列的素数计数功能

{P（P）}_{c（c）}

)根据k个-元组均匀分布猜想(6):

π_{c（c）} (x个) \approx \frac{{C类}_{k个, H（H）}}{φ_{k个, H（H）} (q个)} 锂_{k个} (x个) = \frac{{C类}_{k个, H（H）}}{φ_{k个, H（H）} (q个)} ({F类}_{k个} (x个) - {F类}_{k个} (2)) .

的值

锂 x个

，因此

锂_{k个} (x个)

，无需（数值）积分即可计算。例如，可以使用以下快速收敛的级数

锂 x个

，使用

n个!

分母和

{日志}^{n个} x个

分子中（参见[55]，公式1.6.1.8–9）：

锂 x个 = 日志 日志 x个 + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{日志}^{n个} x个}{n个 \cdot n个!} 对于 x个 > 1 .

工具书类

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图1。最大间隙

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \leq x个

对于

q个 = 313

,

x个 < 10^{12}

.红色曲线：趋势(33), (45); 蓝色曲线：基于EVT的趋势

\frac{φ (q个) x个}{锂 x个} 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)}

; 顶部线条：

年 = φ (q个) {日志}^{2} 第页

.

图1。最大间隙

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \leq x个

对于

q个 = 313

,

x个 < 10^{12}

.红色曲线：趋势(33), (45); 蓝色曲线：基于EVT的趋势

\frac{φ (q个) x个}{锂 x个} 日志 \frac{锂 x个}{φ (q个)}

; 顶行：

年 = φ (q个) {日志}^{2} 第页

.

图2。最大间隙

克_{c（c）}

在较小的孪生素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

在下面x个对于

q个 = 313

,

x个 < 10^{12}

,

k个 = 2

.点曲线：趋势

{T型}_{c（c）}

方程式的(12); 顶行：

年 = {C类}_{2}^{- 1} φ_{2} (q个) {日志}^{三} 第页

.

图2。最大间隙

克_{c（c）}

在较小的孪生素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

在下面x个对于

q个 = 313

,

x个 < 10^{12}

,

k个 = 2

.点曲线：趋势

{T型}_{c（c）}

方程式的(12); 顶行：

年 = {C类}_{2}^{- 1} φ_{2} (q个) {日志}^{三} 第页

.

图3。最大间隙

克_{c（c）}

素数六元组之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

在下面x个对于

q个 = 313

,

x个 < 10^{14}

,

k个 = 6

点曲线：趋势

{T型}_{c（c）}

（●）和

{\bar{T型}}_{c（c）}

方程式（▲）(12)和(14); 顶行：

年 = {C类}_{6}^{- 1} φ_{6} (q个) {日志}^{7} 第页

.

图3。最大间隙

克_{c（c）}

在质数六倍体之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

在下面x个对于

q个 = 313

,

x个 < 10^{14}

,

k个 = 6

点曲线：趋势

{T型}_{c（c）}

（●）和

{\bar{T型}}_{c（c）}

方程式（▲）(12)和(14); 顶行：

年 = {C类}_{6}^{- 1} φ_{6} (q个) {日志}^{7} 第页

.

图4。的柱状图w个-值(47)对于最大间隙

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 = 第页 + n个 q个

对于

q个 = 16001

,

第页 \in [1, 16000]

.曲线是具有刻度的最适合Gumbel分布（pdf）

α

和模式

μ

.

图4。的柱状图w个-值(47)对于最大间隙

克_{q个, 第页}

在素数之间

第页 = 第页 + n个 q个

对于

q个 = 16001

,

第页 \in [1, 16000]

.曲线是具有刻度的最适合Gumbel分布（pdf）

α

和模式

μ

.

图5。的直方图小时-值(48)对于最大间隙

克_{c（c）}

在较小的孪生素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

对于

q个 = 16001

和

H（H）

-允许的残留物类别

第页 \in [1, 16000]

,

第页 \neq 15999

.曲线是具有刻度的最适合Gumbel分布（pdf）

α

和模式

μ

.

图5。的直方图小时-值(48)对于最大间隙

克_{c（c）}

在较小的孪生素数之间

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

对于

q个 = 16001

和

H（H）

-允许的残留物类别

第页 \in [1, 16000]

,

第页 \neq 15999

.曲线是具有刻度的最适合Gumbel分布（pdf）

α

和模式

μ

.

图6。底漆

第页 = 第页 + n个 q个

,

k个 = 1

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{q个, c（c）}

观察

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 2

.

图6。底漆

第页 = 第页 + n个 q个

,

k个 = 1

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{q个, c（c）}

观察

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 2

.

图7。较小的双素数

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

,

k个 = 2

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{c（c）}

观察到的

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 三

.

图7。较小的双素数

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

,

k个 = 2

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{c（c）}

观察到的

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 三

.

图8。素数三胞胎(第页,

第页 + 2

,

第页 + 6

),

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

,

k个 = 三

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{c（c）}

观察

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 4

.

图8。素数三胞胎(第页,

第页 + 2

,

第页 + 6

),

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

,

k个 = 三

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{c（c）}

观察到的

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 4

.

图9。素数四胞胎(第页,

第页 + 2

,

第页 + 6

,

第页 + 8

),

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

,

k个 = 4

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{c（c）}

观察到的

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 5

.

图9。素数四胞胎(第页,

第页 + 2

,

第页 + 6

,

第页 + 8

),

第页 = 第页 + n个 q个 \in {P（P）}_{c（c）}

,

k个 = 4

,

q个 = 16001

.最大间隙的平均数

克_{c（c）}

观察到的

第页 \in [x个, e（电子） x个]

,

x个 = {e（电子）}^{j个}

,

j个 \leq 27

.对所有人进行平均

H（H）

-允许第页点曲线是具有水平渐近线的双曲线

年 = 5

.

图10。记录间时间

P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1)

对于素数（黑色）和类似数量之间的间隙

{P（P）}_{c（c）} (n个) - {P（P）}_{c（c）} (n个 - 1)

用于双素数之间的间隙（红色）。直线是指数拟合。的值

n个 < 10

被跳过。

图10。记录间时间

P（P） (n个) - P（P） (n个 - 1)

用于素数（黑色）和类似数量之间的间隙

{P（P）}_{c（c）} (n个) - {P（P）}_{c（c）} (n个 - 1)

双素数之间的间隙（红色）。直线是指数拟合。的值

n个 < 10

被跳过。

表1。异常大的最大间隙：

克_{q个, 第页} (第页) > φ (q个) {日志}^{2} 第页

对于

第页 < 10^{9}

,

第页 < q个 \leq 30000

.

表1。异常大的最大间隙：

克_{q个, 第页} (第页) > φ (q个) {日志}^{2} 第页

对于

第页 < 10^{9}

,

第页 < q个 \leq 30000

.

间隙 $克_{q个, 第页} (第页)$	间隙起点	间隙结束(第页)	$q个$	$第页$	$克_{q个, 第页} (第页) / (φ (q个) {日志}^{2} 第页$ )
（i） 208650个	3415781	3624431	1605	341	1.0786589153
316790	726611	1043401	2005	801	1.0309808771
229350	1409633	1638983	2085	173	1.0145547849
532602	355339	887941	4227	271	1.0081862161
984170	5357381	6341551	4279	73	1.0339720553
1263426	10176791	11440217	4897	825	1.0056800570
2306938	82541821	84848759	6907	3171	1.0022590147
3415794	376981823	380397617	8497	3921	1.0703375544
2266530	198565889	200832419	8785	7319	1.0335372951
7326222	222677837	230004059	20017	8729	1.0166221904
6336090	10862323	17198413	23467	20569	1.0064940453
7230930	130172279	137403209	24595	15539	1.0468373915
5910084	51763573	57673657	28971	21367	1.0199911211
（ii）411480	470669167	471080647	3048	55	1.0235488825
208650	3415781	3624431	3210	341	1.0786589153
316790	726611	1043401	4010	801	1.0309808771
229350	1409633	1638983	4170	173	1.0145547849
657504	896016139	896673643	4566	2563	1.0179389550
1530912	728869417	730400329	6896	3593	1.0684247390
532602	355339	887941	8454	271	1.0081862161
984170	5357381	6341551	8558	73	1.0339720553
1263426	10176791	11440217	9794	825	1.0056800570
2119706	665152001	667271707	10046	6341	1.0223668231
1885228	163504573	165389801	10532	5805	1.0000704209
1594416	145465687	147060103	13512	9007	1.0026889378
2306938	82541821	84848759	13814	3171	1.0022590147
3108778	524646211	527754989	15622	12585	1.0098218219
1896608	164663	2061271	16934	12257	1.0598397341
3415794	376981823	380397617	16994	3921	1.0703375544
2266530	198565889	200832419	17570	7319	1.0335372951
2937868	71725099	74662967	17698	12803	1.0103309882
2823288	37906669	40729957	18098	9457	1.0162761199
2453760	11626561	14080321	18176	12097	1.0107626289
3906628	190071823	193978451	18692	11567	1.1480589845
2157480	13074917	15232397	27660	19397	1.0716522452
5450496	366870073	372320569	28388	11949	1.0140771094
3422630	735473	4158103	29762	21185	1.0368176014
（三）657504	896016139	896673643	2283	280	1.0179389550
2119706	665152001	667271707	5023	1318	1.0223668231
3108778	524646211	527754989	7811	4774	1.0098218219
1896608	164663	2061271	8467	3790	1.0598397341
2937868	71725099	74662967	8849	3954	1.0103309882
2823288	37906669	40729957	9049	408	1.0162761199
3422630	735473	4158103	14881	6304	1.0368176014
3758772	144803717	148562489	15927	11360	1.0000152764
3002682	8462609	11465291	16869	11240	1.0107025944
8083028	344107541	352190569	19619	9900	1.1134625422
4575906	20250677	24826583	22653	21548	1.0463153374
5609136	34016537	39625673	26967	11150	1.0412524005
7044864	302145839	309190703	27519	14738	1.0048671503
6580070	9659921	16239991	28609	18688	1.0046426332

分享和引用

MDPI和ACS样式

科尔巴托夫，A。；M.沃尔夫。预测素数集合中的最大间隙。数学 2019,7, 400.https://doi.org/10.3390/math7050400

AMA风格

库尔巴托夫A，沃尔夫M。预测素数集合中的最大间隙。数学. 2019; 7(5):400.https://doi.org/10.3390/math7050400

芝加哥/图拉比安风格

库尔巴托夫、阿列克谢和马雷克·沃尔夫。2019.“预测素数集的最大间距”数学7、5号：400。https://doi.org/10.3390/math7050400

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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素数集最大间隙的预测

摘要

1.简介

1.1. 符号

1.2. 定义：基本k个-元组、间隙、序列 P（P） c（c）

1.3。素数其他子集的推广

1.4. 方程式（1）、（2）何时不适用？

2.启发和猜想

2.1. k-元组的均匀分布

2.1.1. 计算 H（H） -允许的残留物类别

2.1.2. 这个k个-元组无限猜想

2.1.3. 这个k个-Tuple等分布猜想

2.2. 平均间隙尺寸

2.3. 最大间隙尺寸

2.3.1. 案例k个-Tuples公司： k个 ≥ 2

2.3.2. 底漆情况： k个 = 1

2.4. 有多少最大间隙？

3.数值结果

3.1. 最大间隙的增长趋势

3.2. 最大间隙的分布

3.3. 计算最大间隙

3.4。我们要等多久才能看到下一个最大差距？

3.5. 超大差距： 克 q个 , 第页 ( 第页 ) > φ ( q个 ) 日志 2 第页

4.总结

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

缩写

附录A：计算实验详情

附录A.1。PARI/GP计划maxgap.GP

附录A.2。PARI/GP：maxgap.GP的辅助功能

附录A.3。配电装置注意事项

附录B.哈代-利特伍德常数 C类 k个 , H（H）

附录C积分Lik个(x个)

工具书类

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更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

1.2. 定义：基本k个-元组、间隙、序列 ${P（P）}_{c（c）}$

2.1.1. 计算 $H（H）$ -允许的残留物类别

2.3.1. 案例k个-Tuples公司： $k个 \geq 2$

2.3.2. 底漆情况： $k个 = 1$

3.5. 超大差距： $克_{q个, 第页} (第页) > φ (q个) {日志}^{2} 第页$

附录B.哈代-利特伍德常数 ${C类}_{k个, H（H）}$

附录C积分Li_k个(x个)