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数学
第7卷
第1版
10.3390/每小时7010084
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第条

通过Brancari距离的内插Ch irić-Reich-Rus型收缩

通过
哈森·阿伊迪
1,
陈志明
2,*和
埃尔达尔卡拉普讷尔
3,*
1
沙特阿拉伯朱拜勒工业大学朱拜勒教育学院数学系，Imam Abdulrahman Bin Faisal University，邮政信箱12020，邮编31961
2
国立清华大学计算与建模科学研究所，台湾新竹市南大路521号，邮编30013
三
台湾台中40402中国医科大学医院医学研究部
*
应向其发送信件的作者。
数学 2019,7(1), 84;https://doi.org/10.3390/math7010084
收到的提交文件：2018年11月29日/修订日期：2019年1月10日/接受日期：2019年1月14日/发布日期：2019年1月15日
（本文属于特刊不动点和最佳邻近点问题及其应用的最新进展)
版本注释

摘要

:
本文通过Brancari距离，提出了插值的奇irić-Reich-Rus型压缩的概念，并证明了这类映射的一些相关不动点结果。此外，还提供了一个示例来说明我们所得结果的可用性。
关键词：
branciari距离;内插式Chi-irić-Reich-Rus型收缩;固定点
MSC公司：
46T99；47H10；54H25个

1.简介和准备工作

1968年，坎南[1,2]推广Banach压缩原理[三]如下所示。
定理 1
让 ( X（X） , ρ ) 是一个完备度量空间，T是X上的自映射。假设存在 λ ∈ [ 0 , 1 2 ) 这样的话
ρ T型 ξ , T型 η ≤ λ ρ ( ξ , T型 ξ ) + ρ ( η , T型 η )   对于   每个   ξ , η ∈ X（X） .
那么T有一个唯一的不动点。
有关Kannan不动点定理的更多信息可以在Reich的早期论文中找到[4]. 表示方式 F类 我 x个 ( T型 ) 自映射的不动点集T型关于非空集X（X）2018年，卡拉普纳[5]考虑了关于插值理论的定理1。主要结果如下[5]通过内插Kannan型收缩
定理 2
([5]). 让 X（X） , ρ 是一个完整的度量空间。假设自映射 T型 : X（X） → X（X） 是这样的
ρ T型 ξ , T型 η ≤ λ ρ ξ , T型 ξ α · ρ η , T型 η 1 − α ,
哪里 λ ∈ [ 0 , 1 ) 和 α ∈ ( 0 , 1 ) ，对于所有人 ξ , η ∈ X（X） ∖ F类 我 x个 ( T型 ) 具有 F类 我 x个 ( T型 ) = { u个 ∈ X（X） : T型 u个 = u个 } 那么T在X中具有唯一的不动点。
如果 T型 : X（X） → X（X） 满足(1),T型据说是一个内插Kannan型收缩最近，作者[6]指出了[5]也就是说，定理2中的不动点可能不是唯一的。有关更多其他详细信息，请参阅([7,8]). 另一方面，已知的Reich不动点[9]如下所述。
定理 三。
让 X（X） , ρ 是一个完整的度量空间。如果 T型 : X（X） → X（X） 是这样的
ρ T型 ξ , T型 η ≤ λ ρ ( ξ , η ) + ρ ( ξ , T型 ξ ) + ρ ( η , T型 η ) ,
为所有人 ξ , η ∈ X（X） ，其中 λ ∈ 0 , 1 三 ，则T具有唯一的不动点。
请注意，这一结果也得到了奇-伊里奇和罗斯的独立证明。因此，每当我们提到Reich型收缩时，我们都会说“cir irić-Reich-Rus型收缩”
另一方面，Brianciari引入了Branciari距离空间的概念[10]其中三角形不等式被四边形不等式所取代。对于此设置中的一些已知固定点结果，我们可以参考[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21]. 在续集中， N个 将表示所有正整数的集合。首先，我们回顾了Branciari距离（矩形度量）空间的一些基本概念和符号。
定义 1
设X是一个非空集。让 d日 : X（X） × X（X） → [ 0 , ∞ ) 成为这样一种功能： ξ , η ∈ X（X） 以及所有不同的点 u个 , v（v） ∈ X（X） ，分别与ξ和η不同：
( d日 1 ) d日 ( ξ , η ) = 0 当且仅当 ξ = η （识别）；
( d日 2 ) d日 ( ξ , η ) = d日 ( η , ξ ) （对称）；
( d日 三 ) d日 ( ξ , η ) ≤ d日 ( ξ , u个 ) + d日 ( u个 , v（v） ) + d日 ( v（v） , η ) （四边形不等式）。
然后d被称为Brancari距离 ( X（X） , d日 ) 称为Brancari距离空间。
注意，在一些资料中，Branciari距离被称为“矩形度量”或“广义度量”。另一方面，据报道[22]标准公制和Branciari距离的拓扑结构是不可比较的。
定义 2
让 ( X（X） , d日 ) 是Brancari距离空间 { ξ n个 } 是X中的一个序列。
( 我 ) A序列 { ξ n个 } 收敛到点 x个 ∈ X（X） 如果 林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , x个 ) = 0 .
( 我 我 ) A序列 { ξ n个 } 据说是柯西 ε > 0 ，存在一个正整数 N个 = N个 ( ε ) 这样的话 d日 ( ξ n个 , ξ 米 ) < ε 为所有人 n个 , 米 > N个 .
( 我 我 我 ) 我们这么说 ( X（X） , d日 ) 如果X中的每个Cauchy序列是收敛的，则为完全的。
引理 1
让 ( X（X） , d日 ) 成为Brancari距离空间。我们说一个映射 T型 : X（X） → X（X） 持续时间为 u个 ∈ X（X） ，如果我们有 T型 ξ n个 → T型 u个 ，（换句话说， 林 n个 → ∞ d日 ( T型 ξ n个 , T型 u个 ) = 0 , )对于任何序列 { ξ n个 } 在X中收敛到 u个 ∈ X（X） 也就是说， ξ n个 → u个 .
以下建议在续集中很有用。
提议 1
([23]). 假设 { ξ n个 } 是Branciari距离空间中的Cauchy序列，因此
林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , u个 ) = 林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , z（z） ) = 0 ,
哪里 u个 , z（z） ∈ X（X） .然后 u个 = z（z） .
在本文中，使用Brancari距离，我们提出了内插式Chi-irić-Reich-Rus型收缩。我们还提供了一个示例来说明我们的方法。

2.主要成果

本节首先介绍内插式Chi-irić-Reich-Rus型收缩.
定义 三。
让 X（X） , d日 成为Brancari距离空间。X上的自映射T称为内插式Chi-irić-Reich-Rus型收缩，如果有 λ ∈ [ 0 , 1 ) 和正实数 α , β 具有 α + β < 1 这样的话
d日 T型 ξ , T型 η ≤ λ d日 ξ , η β · d日 ξ , T型 ξ α · d日 η , T型 η 1 − α − β ,
为所有人 ξ , η ∈ X（X） ∖ F类 我 x个 ( T型 ) .
定理 4
让 T型 : X（X） → X（X） 是完备Branciari距离空间上的插值Ćirić-Rech-Rus型收缩 X（X） , 第页 ，那么T在X中有一个固定点。
证明。 
我们取了一个任意的点 ξ 0 ∈ ( X（X） , 第页 ) .考虑 { ξ n个 } 通过 ξ n个 = T型 n个 ( ξ 0 ) 对于每个正整数n个.如果存在 n个 0 这样的话 ξ n个 0 = ξ n个 0 + 1 ，然后 ξ n个 0 是的固定点T型它完成了证明。在整个证明过程中，我们假设 ξ n个 ≠ ξ n个 + 1 对于每个 n个 ≥ 0 .
第1步：我们将证明
林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) = 0 .
通过替换这些值 ξ = ξ n个 和 η = ξ n个 − 1 英寸(三)，我们发现
d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 = d日 T型 ξ n个 , T型 ξ n个 − 1 ≤ λ d日 ξ n个 , ξ n个 − 1 β d日 ξ n个 , T型 ξ n个 α · d日 ξ n个 − 1 , T型 ξ n个 − 1 1 − α − β = λ d日 ξ n个 , ξ n个 − 1 β · d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 α · d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α − β = λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α · d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 α .
我们推导
d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 1 − α ≤ λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α .
因此，我们得出结论
d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 ≤ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 , 对于 全部的 n个 ≥ 1 .
也就是说， { d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 } 是具有非负项的非递增序列。最终，会有一个非负常数ℓ这样的话 林 n个 → ∞ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 = ℓ . 请注意 ℓ ≥ 0 . 确实，来自(6)，我们推断
d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 ≤ λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 ≤ λ n个 d日 ξ 0 , ξ 1 .
关于 λ < 1 ，并通过采取 n个 → ∞ 在不等式中(8)，我们推断 ℓ = 0 .
第二步：我们还将证明
林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) = 0 .
使用(三), (7)和四边形不等式，我们有
d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 = d日 T型 ξ n个 + 1 , T型 ξ n个 − 1 ≤ λ d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 − 1 β d日 ξ n个 + 1 , T型 ξ n个 + 1 α · d日 ξ n个 − 1 , T型 ξ n个 − 1 1 − α − β = λ d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 − 1 β · d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 + 2 α · d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α − β ≤ λ d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 − 1 β · d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 α · d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α − β ≤ λ d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 − 1 β · d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − β ≤ λ d日 ξ n个 + 1 , ξ n个 + 2 + d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 + d日 ξ n个 , ξ n个 − 1 β · d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − β ≤ λ d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 + 2 d日 ξ n个 , ξ n个 − 1 β · d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 + 2 d日 ξ n个 , ξ n个 − 1 1 − β ≤ λ d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 + 2 d日 ξ n个 , ξ n个 − 1 .
我们推断
( 1 − λ ) d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 ≤ 2 λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 , 对于 全部的 n个 ≥ 1 .
因此，
d日 ξ n个 + 2 , ξ n个 ≤ 2 λ 1 − λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 , 对于 全部的 n个 ≥ 1 .
出租 n个 → ∞ 英寸(10)和使用(4)，我们得到(9)，完成了步骤2的证明。
步骤3：我们将证明 ξ n个 ≠ ξ 米 为所有人 n个 ≠ 米 .
假设 ξ n个 = ξ 米 对一些人来说 n个 > 米 , 所以我们有 ξ n个 + 1 = T型 ξ n个 = T型 ξ 米 = ξ 米 + 1 .
通过继续朝这个方向，我们获得 ξ n个 + k = ξ 米 + k 为所有人 k ∈ N个 . 由(5)和(7)，我们有
0 < d日 ( ξ 米 , ξ 米 + 1 ) = d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) = d日 ( T型 ξ n个 − 1 , T型 ξ n个 ) ≤ λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 1 − α · d日 ξ n个 , ξ n个 + 1 α ≤ λ d日 ξ n个 − 1 , ξ n个 < d日 ( ξ n个 − 1 , ξ n个 ) < d日 ( ξ n个 − 2 , ξ n个 − 1 ) ⋮ < d日 ( ξ 米 , ξ 米 + 1 ) ,
这是一个矛盾。因此，在下文中，我们可以假设 ξ n个 ≠ ξ 米 为所有人 n个 ≠ 米 .
第4步：我们将证明 { ξ n个 } 是一个柯西序列，也就是说， 林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 第页 ) = 0 为所有人 第页 ∈ N个 .
案例 第页 = 1 和 第页 = 2 分别在步骤1和步骤2中证明。现在，接受 第页 ≥ 三 任意的。我们区分了两种情况：
案例（1）。让 第页 = 2 米 哪里 米 ≥ 2 . 通过四边形不等式，使用(8)，我们发现
d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 米 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 2 米 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 4 ) + d日 ( ξ n个 + 4 , ξ n个 + 5 ) + d日 ( ξ n个 + 5 , ξ n个 + 2 米 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 4 ) + d日 ( ξ n个 + 4 , ξ n个 + 5 ) + d日 ( ξ n个 + 5 , ξ n个 + 2 米 ) ⋮ ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 4 ) + d日 ( ξ n个 + 4 , ξ n个 + 5 ) + ⋯ + d日 ( ξ n个 + 2 米 − 1 , ξ n个 + 2 米 ) = d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + ∑ k = n个 + 2 n个 + 2 米 − 1 d日 ( ξ k , ξ k + 1 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + ∑ k = n个 + 2 n个 + 2 米 − 1 λ k d日 ( ξ 0 , ξ 1 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ 0 , ξ 1 ) ∑ k = n个 + 2 ∞ λ k = d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 ) + λ n个 + 2 1 − λ d日 ( ξ 0 , ξ 1 ) .
显然，
林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 米 ) = 0 .
案例（2）：Let 第页 = 2 米 + 1 哪里 米 ≥ 1 . 通过四边形不等式，使用(8)，我们发现
d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 2 米 + 1 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) + d日 ( ξ n个 + 1 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 2 米 + 1 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) + d日 ( ξ n个 + 1 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 4 ) + d日 ( ξ n个 + 4 , ξ n个 + 2 米 + 1 ) ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) + d日 ( ξ n个 + 1 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 4 ) + d日 ( ξ n个 + 4 , ξ n个 + 2 米 + 1 ) ⋮ ≤ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 1 ) + d日 ( ξ n个 + 1 , ξ n个 + 2 ) + d日 ( ξ n个 + 2 , ξ n个 + 三 ) + d日 ( ξ n个 + 三 , ξ n个 + 4 ) + ⋯ + d日 ( ξ n个 + 2 米 , ξ n个 + 2 米 + 1 ) = ∑ k = n个 n个 + 2 米 d日 ( ξ k , ξ k + 1 ) ≤ ∑ k = n个 n个 + 2 米 λ k d日 ( ξ 0 , ξ 1 ) ≤ d日 ( ξ 0 , ξ 1 ) ∑ k = n个 ∞ λ k = λ n个 1 − λ d日 ( ξ 0 , ξ 1 ) → 0 作为 n个 → ∞ .
最后，我们得到
林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , ξ n个 + 第页 ) = 0 均匀地 在里面 第页 .
我们的结论是 { ξ n个 } 是中的Cauchy序列 ( X（X） , d日 ) . 自 ( X（X） , d日 ) 已完成，存在 ξ ∈ X（X） 这样的话
林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , ξ ) = 0 .
我们会证明的 ξ 是的固定点T型。我们通过假设矛盾进行论证 ξ ≠ T型 ξ 回忆一下 ξ n个 ≠ T型 ξ n个 对于每个 n个 ≥ 0 .通过出租 ξ = ξ n个 和 η = ξ 英寸(三)，我们确定
d日 ξ n个 + 1 , T型 ξ = d日 T型 ξ n个 , T型 ξ ≤ λ d日 ξ n个 , ξ β · d日 ξ n个 , T型 ξ n个 α · d日 ξ , T型 ξ 1 − α − β .
出租 n个 → ∞ 在不等式中(12)，我们发现 林 n个 → ∞ d日 ( ξ n个 , T型 ξ ) = 0 . 通过命题1，我们得出结论： T型 ξ = ξ , 这与我们最后的假设相矛盾。因此 ξ = T型 ξ 等等 ξ 是的固定点 T型 .  ☐
以下示例说明了定理4。
例子 1
让 X（X） = { 0 , 1 , 2 , 三 } 是一个赋有Brancari距离ρ的集合，如下所示
ρ ( ξ , η ) 0 1 2 三 0 0 0.1 0.8 0.9 1 0.1 0 1 0.7 2 0.8 1 0 0.2 三 0.9 0.7 0.2 0
考虑X上的自映射T为 T型 : 0 1 2 三 0 0 1 三 .我们有 ρ ( 1 , 2 ) > ρ ( 1 , 三 ) + ρ ( 三 , 2 ) ，所以ρ不是度量。让 ξ , η ∈ X（X） ∖ F类 我 x个 ( T型 ) .然后 ( ξ , η ) ∈ { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } 。通过选择 λ ∈ [ 0 . 4 , 1 ) , α = 0 . 6 和 β = 0 . 三 ，很明显，自映射T是插值的Ćirić-Rech-Rus型收缩。这里，T有两个不动点，分别是0和3。
另一方面，不平等(2)不适用于 x个 = 0 和 年 = 三 （采用经典公制 d日 ( x个 , 年 ) = ∣ x个 − 年 ∣ ). 也就是说，定理3不适用。
在下文中，我们介绍了内插Kannan型收缩.
定义 4
让 X（X） , d日 成为Brancari距离空间。X上的自映射T称为内插Kannan型收缩，如果有常量 λ ∈ [ 0 , 1 ) 和 α ∈ ( 0 , 1 ) 这样的话
d日 T型 ξ , T型 η ≤ λ d日 ξ , T型 ξ α · d日 η , T型 η 1 − α ,
为所有人 ξ , η ∈ X（X） ∖ F类 我 x个 ( T型 ) .
定理 5
让 T型 : X（X） → X（X） 是完备Brancari距离空间上的内插Kannan型压缩 X（X） , 第页 ，那么T在X中有一个固定点。
我们跳过这个证明，因为它类似于定理4的证明。

作者贡献

所有作者在写这篇文章时都做出了同等重要的贡献。所有作者阅读并批准了最终手稿。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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Aydi H、Chen C-M、Karap nar E。通过Brancari距离的内插Ch irić-Reich-Rus型收缩。数学. 2019; 7(1):84.https://doi.org/10.3390/math7010084

芝加哥/图拉宾风格

Aydi、Hassen、Chi-Ming Chen和Erdal Karap nar。2019.“通过Brancari距离的内插Ch irić-Reich-Rus型收缩”数学7，编号1:84。https://doi.org/10.3390/math7010084

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

文章度量标准

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