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数学
第7卷
第1版
10.3390/每小时7010074
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第条

Tribonacci和Tribonaci-Lucas Sedenions

通过
Yüksel Soykan先生
土耳其Zonguldak Bulent Ecevit大学数学、艺术和科学系，邮编67100
数学 2019,7(1), 74;https://doi.org/10.3390/math7010074
收到的提交文件：2018年11月14日/修订日期：2019年1月5日/接受日期：2019年1月9日/发布日期：2019年1月11日
（本文属于数学与计算机科学)
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版本注释

摘要

以下为：
六元数构成了一个16维的凯利-狄克逊代数。在本文中，我们介绍了Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions。此外，我们给出了这些定子的一些性质，并导出了它们之间的关系。
关键词：
Tribonacci数;塞德尼翁;三角洲沉积岩;三角洲苔藓
MSC公司：
11B39；11B83；17A45；2015年1月5日

1.简介

Tribonacci序列 { T型 n个 } n个 ≥ 0 和Tribonacci-Lucas序列 { K（K） n个 } n个 ≥ 0 由三阶递推关系定义：
T型 n个 = T型 n个 − 1 + T型 n个 − 2 + T型 n个 − 三 , T型 0 = 0 , T型 1 = 1 , T型 2 = 1 ,
以及：
K（K） n个 = K（K） n个 − 1 + K（K） n个 − 2 + K（K） n个 − 三 , K（K） 0 = 三 , K（K） 1 = 1 , K（K） 2 = 三
分别是。Tribonacci概念是由14岁的学生M.Feinberg介绍的[1]1963年。它的基本特性如所示[2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12]和Binet公式n个第个数字是在[13].
序列 { T型 n个 } n个 ≥ 0 和 { K（K） n个 } n个 ≥ 0 可以通过定义以下内容扩展到负下标：
T型 − n个 = − T型 − ( n个 − 1 ) − T型 − ( n个 − 2 ) + T型 − ( n个 − 三 )
以及：
K（K） − n个 = − K（K） − ( n个 − 1 ) − K（K） − ( n个 − 2 ) + K（K） − ( n个 − 三 )
对于 n个 = 1 , 2 , 三 , … 分别是。因此，复发(1)和(2)保留所有整数 n个 。
通过写作 T型 n个 − 1 = T型 n个 − 2 + T型 n个 − 三 + T型 n个 − 4 , 代替 T型 n个 − 2 在(1)，并消除 T型 n个 − 2 和 T型 n个 − 三 在这个递归关系和递归关系之间(1)，对于 n个 ≥ 4 以下为：
T型 n个 = 2 T型 n个 − 1 − T型 n个 − 4 , T型 0 = 0 , T型 1 = T型 2 = 1 , T型 三 = 2 。
扩展的定义 T型 n个 负下标可以通过写递归关系来证明(三)作为：
T型 − n个 = 2 T型 − n个 + 三 − T型 − n个 + 4 。
请注意 T型 − n个 = T型 n个 − 1 2 − T型 n个 − 2 T型 n个 （请参见[4]).
接下来，我们给出带有正负下标的Tribonacci和Tribonaci-Lucas数的前几个值：
n个 0 1 2 三 4 5 6 7 8 9 10 … T型 n个 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81 149 … T型 − n个 0 0 1 − 1 0 2 − 三 1 4 − 8 5 … K（K） n个 三 1 三 7 11 21 39 71 131 241 443 … K（K） − n个 三 − 1 − 1 5 − 5 − 1 11 − 15 三 23 − 41 …
众所周知，对于所有整数 n个 , 通常的Tribonacci和Tribonaci-Lucas数可以使用Binet公式表示：
T型 n个 = α n个 + 1 ( α − β ) ( α − γ ) + β n个 + 1 ( β − α ) ( β − γ ) + γ n个 + 1 ( γ − α ) ( γ − β )
以及：
K（K） n个 = α n个 + β n个 + γ n个
分别，其中 α , β 、和 γ 是三次方程的根 x个 三 − x个 2 − x个 − 1 = 0 。 此外，
α = 1 + 19 + 三 33 三 + 19 − 三 33 三 三 , β = 1 + ω 19 + 三 33 三 + ω 2 19 − 三 33 三 三 , γ = 1 + ω 2 19 + 三 33 三 + ω 19 − 三 33 三 三
哪里：
ω = − 1 + 我 三 2 = 经验 ( 2 π 我 / 三 ) ,
是单位的原始立方根。请注意，我们具有以下身份：
α + β + γ = 1 , α β + α γ + β γ = − 1 , α β γ = 1 。
Tribonacci序列的生成函数 { T型 n个 } n个 ≥ 0 和Tribonacci-Lucas层序 { K（K） n个 } n个 ≥ 0 是：
∑ n个 = 0 ∞ T型 n个 x个 n个 = x个 1 − x个 − x个 2 − x个 三 和 ∑ n个 = 0 ∞ K（K） n个 x个 n个 = 三 − 2 x个 − x个 2 1 − x个 − x个 2 − x个 三 。
我们现在介绍了Tribonacci和Tribonaci-Lucas数的一些性质。
  • 我们有[三]:
    N个 n个 = T型 n个 + 1 T型 n个 T型 n个 − 1 T型 n个 + T型 n个 − 1 T型 n个 − 1 + T型 n个 − 2 T型 n个 − 2 + T型 n个 − 三 T型 n个 T型 n个 − 1 T型 n个 − 2
    以及：
    t吨 第页 ( N个 n个 ) = K（K） n个 = T型 n个 + 2 T型 n个 − 1 + 三 T型 n个 − 2 = 三 T型 n个 + 1 − 2 T型 n个 − T型 n个 − 1 , C类 n个 = − T型 n个 2 + 2 T型 n个 − 1 2 + 三 T型 n个 − 2 2 − 2 T型 n个 T型 n个 − 1 + 2 T型 n个 T型 n个 − 2 + 4 T型 n个 − 1 T型 n个 − 2
    哪里：
    N个 = 1 1 0 1 0 1 1 0 0 ,
    t吨 第页 ( 。 ) 是跟踪运算符，并且 C类 n个 定义如下：
    C类 n个 = α n个 β n个 + α n个 γ n个 + β n个 γ n个
    它是第二阶主要未成年人的决定因素之和 N个 n个 。
  • 我们有[4]:
    T型 n个 − 1 三 − 1 = 2 T型 n个 − 2 T型 n个 − 1 T型 n个 + T型 n个 − 三 T型 n个 − 1 T型 n个 + 1 − T型 n个 − 2 2 T型 n个 + 1 − T型 n个 − 三 T型 n个 2 = T型 n个 − 2 ( 2 T型 n个 − 1 T型 n个 − T型 n个 + 1 ) + T型 n个 − 三 ( T型 n个 2 − T型 n个 − 1 T型 n个 + 1 ) 。
  • Tribonacci数满足以下等式[12]:
    T型 k个 + n个 = T型 k个 K（K） n个 − T型 k个 − n个 C类 n个 + T型 k个 − 2 n个 。
本文在下一节中定义了Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions，并给出了它们的一些性质。在给出它们的定义之前，我们先介绍一些关于Cayley-Dickson代数的信息。
代数 C类 （复数）， H（H） （四元数），以及 O（运行） （八元数）是从实数得到的实除代数 R（右） 通过一种称为Cayley-Dickson过程（施工）的加倍程序。通过加倍 R（右） （暗淡 2 0 = 1 )，我们得到复数 C类 （暗淡 2 1 = 2 )；然后， C类 生成四元数 H（H） （暗淡 2 2 = 4 )；和 H（H） 生产八角 O（运行） （暗淡 2 三 = 8 ). 下一个加倍过程适用于 O（运行） 然后生成一个代数 S公司 （暗淡 2 4 = 16 )称为塞德尼翁。这种加倍过程可以延伸到景天以外，形成所谓的景天 2 n个 -离子（参见示例[14,15,16]).
接下来，我们解释这个加倍过程。
Cayley-Dickson代数是一个序列 A类 0 , A类 1 , … 非关联的 R（右） -具有对合的代数。术语“共轭”可以用来指对合，因为它推广了复数上的通常共轭。有关Cayley-Dickson代数基本性质的完整解释，请参见[14]. 归纳地定义了Cayley-Dickson代数。我们首先定义 A类 0 成为 R（右） 。 鉴于 A类 n个 − 1 , 代数 A类 n个 被额外定义为 A类 n个 − 1 × A类 n个 − 1 。 中的共轭 A类 n个 定义如下：
( 一 , b ) ¯ = ( 一 ¯ , − b )
乘法的定义如下：
( 一 , b ) ( c（c） , d日 ) = ( 一 c（c） − d日 ¯ b , d日 一 + b c（c） ¯ )
加法由组件定义为：
( 一 , b ) + ( c（c） , d日 ) = ( 一 + c（c） , b + d日 ) 。
请注意 A类 n个 具有维度 2 n个 作为 R（右） -向量空间。如果我们像往常一样， x个 = 重新 ( x个 x个 ¯ ) 对于 x个 ∈ A类 n个 ，然后 x个 x个 ¯ = x个 ¯ x个 = x个 2 。
现在，假设 B类 16 = { e（电子） 我 ∈ S公司 以下为： 我 = 0 , 1 , 2 , … , 15 } 是 S公司 ，其中 e（电子） 0 是身份（或单位）和 e（电子） 1 , e（电子） 2 , … , e（电子） 15 被称为想象。然后，是一种景泰蓝 S公司 ∈ S公司 可以写为：
S公司 = ∑ 我 = 0 15 一 我 e（电子） 我 = 一 0 + ∑ 我 = 1 15 一 我 e（电子） 我
哪里 一 0 , 一 1 , … , 一 15 都是实数。在这里， 一 0 被称为S公司、和 ∑ 我 = 1 15 一 我 e（电子） 我 被称为它的想象部分。
sedenion的加法被定义为组件式，乘法的定义如下：如果 S公司 1 , S公司 2 ∈ S公司 ，那么我们有：
S公司 1 S公司 2 = ∑ 我 = 0 15 一 我 e（电子） 我 ∑ 我 = 0 15 b 我 e（电子） 我 = ∑ 我 , j = 0 15 一 我 b j ( e（电子） 我 e（电子） j ) 。
通过设置 我 选择 e（电子） 我 哪里 我 = 0 , 1 , 2 , … , 15 , 基本元素的乘法规则 e（电子） 我 ∈ B类 16 可以概括如下图1（请参见[17,18]).
从上表中可以看出：
e（电子） 0 e（电子） 我 = e（电子） 我 e（电子） 0 = e（电子） 我 ; e（电子） 我 e（电子） 我 = − e（电子） 0 对于 我 ≠ 0 ; e（电子） 我 e（电子） j = − e（电子） j e（电子） 我 对于 我 ≠ j 和 我 , j ≠ 0 。
需要乘法的操作(5)是相当多的。使用naive方法计算sedenion乘法（乘积）需要256次乘法和240次加法，而在[19]，只能计算122次乘法（在硬件实现的情况下是乘数）和298次加法（有关更多详细信息，请参阅[19]).
使用直接乘法，两个数相乘所需的操作数 2 n个 -离子如下所示表1。
用减少实数乘法次数的四元数、八元数和四元数乘法的有效算法已经存在，合成计算这两种乘法的高效算法的结果 2 n个 -离子产物如下表2。
Cayley-Dickson过程的问题是，加倍过程的每一步都会导致结构的逐渐损失。 R（右） 是一个有序域，它具有我们在处理数字时非常熟悉的所有优良特性，例如：结合性、交换性、除法性、自共轭性等。当我们加倍时 R（右） 拥有 C类 , C类 失去自共轭属性（不再是有序字段）；接下来， H（H） 失去交换性，以及 O（运行） 将丢失关联属性。当我们加倍 O（运行） 以获得 S公司 ; S公司 失去除法属性。这意味着 S公司 是非交换的、非关联的，并且具有乘法恒等式元素 e（电子） 0 和乘法逆，但它不是除法代数，因为它有零因子；这意味着可以将两个非零sedenion相乘以获得零：一个示例是 ( e（电子） 三 + e（电子） 10 ) ( e（电子） 6 − e（电子） 15 ) = 0 ，另一个例子是 ( e（电子） 2 − e（电子） 14 ) ( e（电子） 三 + e（电子） 15 ) = 0 （请参见[18]).
复数以外的代数通称为超复数。所有基于Cayley-Dickson构造的sedenion之后的超复数系统都包含零因子。
请注意，还有另一种景泰蓝，称为圆锥形景泰蓝或查尔斯·缪斯的景泰蓝；参见[22,23,24]了解更多信息。术语sedenion也用于其他16维代数结构，例如双四元数的两个副本的张量积，或实域上四乘四矩阵的代数。
过去，具有零因子的非结合代数和相关结构没有得到太多关注，因为它们在大多数数学学科中似乎没有任何有用的应用。最近，理论物理学家将大量注意力集中在Cayley-Dickson代数上 O（运行） （八元数）和 S公司 （sedenions），因为它们在形成许多新的基本粒子理论方面越来越有用。特别是八角头 O（运行） （这是实域上唯一的非结合赋范除法代数；参见示例[25,26])人们发现它涉及许多意想不到的领域（如拓扑学、量子理论、Clifford代数等），在许多科学领域，如线性引力和电磁理论，都出现了塞德尼子。
简要地， S公司 sedenion代数具有以下特性：
  • S公司 是实域上的16维非结合非交换（Cayley-Dickson）代数，
  • S公司 不是合成代数或除法代数，因为它有零因子，
  • S公司 是非替代代数，即，如果 S公司 1 和 S公司 2 是塞德尼翁，规则 S公司 1 2 S公司 2 = S公司 1 ( S公司 1 S公司 2 ) 和 S公司 1 S公司 2 2 = ( S公司 1 S公司 2 ) S公司 2 不要总是抱着，
  • S公司 是幂关联代数，即，如果S公司那么是一种景泰蓝 S公司 n个 S公司 米 = S公司 n个 + 米 。

2.Tribonacci-Lucas Sedenion及其生成函数和Binet公式

在本节中，我们定义了Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions，并给出了它们的生成函数和Binet公式。首先，我们从文献中给出了关于四元数序列、八元数序列和四元数列的一些信息。
Horadam公司[27]引入n个th斐波那契和n个第个卢卡斯四元数为：
问 n个 = F类 n个 + F类 n个 + 1 e（电子） 1 + F类 n个 + 2 e（电子） 2 + F类 n个 + 三 e（电子） 三 = ∑ 秒 = 0 三 F类 n个 + 秒 e（电子） 秒
以及：
R（右） n个 = L（左） n个 + L（左） n个 + 1 e（电子） 1 + L（左） n个 + 2 e（电子） 2 + L（左） n个 + 三 e（电子） 三 = ∑ 秒 = 0 三 L（左） n个 + 秒 e（电子） 秒
分别，其中 F类 n个 和 L（左） n个 是n个第个斐波那契数和卢卡斯数。他还将广义斐波那契四元数定义为：
P（P） n个 = H（H） n个 + H（H） n个 + 1 e（电子） 1 + H（H） n个 + 2 e（电子） 2 + H（H） n个 + 三 e（电子） 三 = ∑ 秒 = 0 三 H（H） n个 + 秒 e（电子） 秒
哪里 H（H） n个 是n个第个广义斐波那契数（现在称为霍拉达姆数） H（H） 1 = 第页 , H（H） 2 = 第页 + q个 , H（H） n个 = H（H） n个 − 1 + H（H） n个 − 2 (第页和q个是任意整数）。斐波那契四元数的许多其他推广已经给出；例如，见哈利西和卡拉塔什[28]和波兰[29].
Cerda-莫拉莱斯[30]定义并研究了广义Tribonacci四元数序列，其中包括先前引入的Tribonaci、Padovan、Narayana和三阶Jacobsthal四元数。她将广义Tribonacci四元数定义为：
问 v（v） , n个 = V（V） n个 + V（V） n个 + 1 e（电子） 1 + V（V） n个 + 2 e（电子） 2 + V（V） n个 + 三 e（电子） 三 = ∑ 秒 = 0 三 V（V） n个 + 秒 e（电子） 秒
哪里 V（V） n个 是n个由三阶递推关系定义的第个广义Tribonacci数：
V（V） n个 = 第页 V（V） n个 − 1 + 秒 V（V） n个 − 2 + t吨 V（V） n个 − 三 。
在这里， V（V） 0 = 一 , V（V） 1 = b , V（V） 2 = c（c） 是任意整数 第页 , 秒 , t吨 是实数。
许多作者以多种不同的方式定义和研究了各种八角数列家族（如斐波那契八角、佩尔八角、雅各布斯塔尔八角和三阶雅各布斯塔尔八角）。例如，凯西利奥格鲁和阿克库什[31]引入了斐波那契和卢卡斯八元数：
问 n个 = ∑ 秒 = 0 7 F类 n个 + 秒 e（电子） 秒
以及：
R（右） n个 = ∑ 秒 = 0 7 L（左） n个 + 秒 e（电子） 秒
分别，其中 F类 n个 和 L（左） n个 是n个第个斐波那契数和卢卡斯数。参考文献[32]、希曼和伊佩克介绍了雅各布斯塔尔八元数和雅各布斯塔-卢卡斯八元数。参考文献[33]，Cerda Morales引入了三阶Jacobthal八元数，也在参考文献中[34]，她定义并研究了Tribonacci型八元数。
许多作者定义并研究了定数序列（例如二阶定数序列：斐波那契定数序列、k-Pell和k-Pell-Lucas定数序列，Jacobsthal和Jacobstha-Lucas定数序列）。例如，Bilgici、Tokešer和Unal[17]介绍了斐波纳契和卢卡斯沉积岩：
F类 ^ n个 = ∑ 秒 = 0 15 F类 n个 + 秒 e（电子） 秒
以及：
L（左） ^ n个 = ∑ 秒 = 0 15 L（左） n个 + 秒 e（电子） 秒
分别，其中 F类 n个 和 L（左） n个 是n个第个斐波那契数和卢卡斯数。参考文献[35]，Catarino引入了k-Pell和k-Pell-Lucas sedenions。参考文献[36]、希曼和伊佩克介绍了雅各布斯塔尔和雅各布斯-卢卡斯塞德尼昂。
居尔[37]引入了k-Fibonacci和k-Lucas三重离子：
T型 F类 k个 , n个 = ∑ 秒 = 0 31 F类 k个 , n个 + 秒 e（电子） 秒
以及：
T型 L（左） k个 , n个 = ∑ 秒 = 0 31 L（左） k个 , n个 + 秒 e（电子） 秒
分别，其中 F类 k个 , n个 和 L（左） k个 , n个 是n个第k个k-Fibonacci和k-Lucas数。
我们现在在sedenion代数上定义Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenion S公司 . Then个th Tribonacci sedenion是：
T型 ^ n个 = ∑ 秒 = 0 15 T型 n个 + 秒 e（电子） 秒 = T型 n个 + ∑ 秒 = 1 15 T型 n个 + 秒 e（电子） 秒
和n个th Tribonacci-Lucas sedenion为：
K（K） ^ n个 = ∑ 秒 = 0 15 K（K） n个 + 秒 e（电子） 秒 = K（K） n个 + ∑ 秒 = 1 15 K（K） n个 + 秒 e（电子） 秒 。
可以很容易地看出：
T型 ^ n个 = T型 ^ n个 − 1 + T型 ^ n个 − 2 + T型 ^ n个 − 三
以及：
K（K） ^ n个 = K（K） ^ n个 − 1 + K（K） ^ n个 − 2 + K（K） ^ n个 − 三 。
请注意：
T型 ^ − n个 = − T型 ^ − ( n个 − 1 ) − T型 ^ − ( n个 − 2 ) + T型 ^ − ( n个 − 三 )
以及：
K（K） ^ − n个 = − K（K） ^ − ( n个 − 1 ) − K（K） ^ − ( n个 − 2 ) + K（K） ^ − ( n个 − 三 ) 。
的共轭 T型 ^ n个 和 K（K） ^ n个 定义如下：
T型 ^ n个 ¯ = T型 n个 − ∑ 秒 = 1 15 T型 n个 + 秒 e（电子） 秒 = T型 n个 − T型 n个 + 1 e（电子） 1 − T型 n个 + 2 e（电子） 2 − … − T型 n个 + 15 e（电子） 15
以及：
K（K） ^ n个 ¯ = K（K） n个 − ∑ 秒 = 1 15 K（K） n个 + 秒 e（电子） 秒 = K（K） n个 − K（K） n个 + 1 e（电子） 1 − K（K） n个 + 2 e（电子） 2 − … − K（K） n个 + 15 e（电子） 15
分别是。The norms ofn个Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions为：
T型 ^ n个 2 = N个 2 ( T型 ^ n个 ) = T型 ^ n个 T型 ^ n个 ¯ = T型 ^ n个 ¯ T型 ^ n个 = T型 n个 2 + T型 n个 + 1 2 + … + T型 n个 + 15 2
以及：
K（K） ^ n个 2 = N个 2 ( K（K） ^ n个 ) = K（K） ^ n个 K（K） ^ n个 ¯ = K（K） ^ n个 ¯ K（K） ^ n个 = K（K） n个 2 + K（K） n个 + 1 2 + … + K（K） n个 + 15 2
分别是。
计算 T型 ^ n个 和 K（K） ^ n个 , 我们需要以下引理。
引理 1
([38])。 以下公式有效：
∑ 我 = 1 n个 T型 我 2 = 1 + 4 T型 n个 T型 n个 + 1 − ( T型 n个 + 1 − T型 n个 − 1 ) 2 4 ,
∑ 我 = 1 n个 K（K） 我 2 = − K（K） n个 + 1 2 − K（K） n个 − 1 2 + K（K） 2 n个 + 三 + K（K） 2 n个 − 2 2 − 2 。
我们现在可以计算 T型 ^ n个 和 K（K） ^ n个 。
定理 1
第n个Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions的规范如下所示：
T型 ^ n个 2 = 4 ( T型 n个 + 15 T型 n个 + 16 − T型 n个 − 1 T型 n个 ) + ( T型 n个 − T型 n个 − 2 ) 2 − ( T型 n个 + 16 − T型 n个 + 14 ) 2 4 , K（K） ^ n个 2 = − K（K） n个 + 16 2 − K（K） n个 + 14 2 + K（K） n个 2 + K（K） n个 − 2 2 + K（K） 2 n个 + 33 + K（K） 2 n个 + 28 − K（K） 2 n个 + 1 − K（K） 2 n个 − 4 2 。
证明。 
我们从以下计算中获得了结果：
T型 ^ n个 2 = ∑ 我 = n个 n个 + 15 T型 我 2 = ∑ 我 = 1 n个 + 15 T型 我 2 − ∑ 我 = 1 n个 − 1 T型 我 2 = 1 + 4 T型 n个 + 15 T型 n个 + 16 − ( T型 n个 + 16 − T型 n个 + 14 ) 2 4 − 1 + 4 T型 n个 − 1 T型 n个 − ( T型 n个 − T型 n个 − 2 ) 2 4 = 4 ( T型 n个 + 15 T型 n个 + 16 − T型 n个 − 1 T型 n个 ) + ( T型 n个 − T型 n个 − 2 ) 2 − ( T型 n个 + 16 − T型 n个 + 14 ) 2 4
以及：
K（K） ^ n个 2 = ∑ 我 = n个 n个 + 15 K（K） 我 2 = ∑ 我 = 1 n个 + 15 K（K） 我 2 − ∑ 我 = 1 n个 − 1 K（K） 我 2 = ( − K（K） n个 + 16 2 − K（K） n个 + 14 2 + K（K） 2 n个 + 33 + K（K） 2 n个 + 28 2 − 2 ) − ( − K（K） n个 2 − K（K） n个 − 2 2 + K（K） 2 n个 + 1 + K（K） 2 n个 − 4 2 − 2 ) = − K（K） n个 + 16 2 − K（K） n个 + 14 2 − K（K） 2 n个 + 1 − K（K） 2 n个 − 4 + K（K） 2 n个 + 33 + K（K） n个 2 + K（K） n个 − 2 2 + K（K） 2 n个 + 28 2 。
 □
现在，我们将说明Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions的Binet公式，在本文的其余部分，我们修正了以下符号。
α ^ = ∑ 秒 = 0 15 α 秒 e（电子） 秒 , β ^ = ∑ 秒 = 0 15 β 秒 e（电子） 秒 , γ ^ = ∑ 秒 = 0 15 γ 秒 e（电子） 秒 。
定理 2
对于任何整数 n个 , 第n个Tribonacci sedenion是：
T型 ^ n个 = α ^ α n个 + 1 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β n个 + 1 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ n个 + 1 ( γ − α ) ( γ − β )
第n个Tribonacci-Lucas sedenion为：
K（K） ^ n个 = α ^ α n个 + β ^ β n个 + γ ^ γ n个 。
证明。 
重复使用(4)英寸(6)使我们能够为 α ^ = ∑ 秒 = 0 15 α 秒 e（电子） 秒 , β ^ = ∑ 秒 = 0 15 β 秒 e（电子） 秒 和 γ ^ = ∑ 秒 = 0 15 γ 秒 e（电子） 秒 以下为：
T型 ^ n个 = ∑ 秒 = 0 15 T型 n个 + 秒 e（电子） 秒 = ∑ 秒 = 0 15 α n个 + 1 + 秒 e（电子） 秒 ( α − β ) ( α − γ ) + β n个 + 1 + 秒 e（电子） 秒 ( β − α ) ( β − γ ) + γ n个 + 1 + 秒 e（电子） 秒 ( γ − α ) ( γ − β ) = α ^ α n个 + 1 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β n个 + 1 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ n个 + 1 ( γ − α ) ( γ − β ) 。
同样，我们可以获得(13). □
下一个定理为我们提供了Tribonacci-Lucas sedenions和Tribonaci-Lucas sedenions的Binet公式的另一种证明。为此，我们需要的是 { T型 n个 } n个 ≥ 0 和 { K（K） n个 } n个 ≥ 0 以下为：
柠檬 2
对于所有整数 n个 , 我们有：
（a） 
α α n个 + 2 = T型 n个 + 2 α 2 + ( T型 n个 + 1 + T型 n个 ) α + T型 n个 + 1 , β β n个 + 2 = T型 n个 + 2 β 2 + ( T型 n个 + 1 + T型 n个 ) β + T型 n个 + 1 , γ γ n个 + 2 = T型 n个 + 2 γ 2 + ( T型 n个 + 1 + T型 n个 ) γ + T型 n个 + 1 。
（b） 
P（P） α n个 + 2 = K（K） n个 + 2 α 2 + ( K（K） n个 + 1 + K（K） n个 ) α + K（K） n个 + 1 , 问 β n个 + 2 = K（K） n个 + 2 β 2 + ( K（K） n个 + 1 + K（K） n个 ) β + K（K） n个 + 1 , R（右） γ n个 + 2 = K（K） n个 + 2 γ 2 + ( K（K） n个 + 1 + K（K） n个 ) γ + K（K） n个 + 1 ,
哪里
P（P） = 三 − ( β + γ ) + 三 β γ , 问 = 三 − ( α + γ ) + 三 α γ , R（右） = 三 − ( α + β γ ) + 三 α β 。
证明。 
请参见[39]或[34].
定理2的替代证明：
请注意：
α 2 T型 ^ n个 + 2 + α ( T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 ) + T型 ^ n个 + 1 = α 2 ( T型 n个 + 2 + T型 n个 + 三 e（电子） 1 + … + T型 n个 + 17 e（电子） 15 ) + α ( ( T型 n个 + 1 + T型 n个 ) + ( T型 n个 + 2 + T型 n个 + 1 ) e（电子） 1 + … + ( T型 n个 + 16 + T型 n个 + 15 ) e（电子） 15 ) + ( T型 n个 + 1 + T型 n个 + 2 e（电子） 1 + … + T型 n个 + 16 e（电子） 15 ) = α 2 T型 n个 + 2 + α ( T型 n个 + 1 + T型 n个 ) + T型 n个 + 1 + ( α 2 T型 n个 + 三 + ( T型 n个 + 2 + T型 n个 + 1 ) + T型 n个 + 2 ) e（电子） 1 + ( α 2 T型 n个 + 4 + ( T型 n个 + 三 + T型 n个 + 2 ) + T型 n个 + 三 ) e（电子） 2 ⋮ + ( α 2 T型 n个 + 17 + ( T型 n个 + 16 + T型 n个 + 15 ) + T型 n个 + 16 ) e（电子） 15 。
来自身份 α n个 + 三 = T型 n个 + 2 α 2 + ( T型 n个 + 1 + T型 n个 ) α + T型 n个 + 1 对于n个第个Tribonacci数 T型 n个 , 我们有：
α 2 T型 ^ n个 + 2 + α ( T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 ) + T型 ^ n个 + 1 = α ^ α n个 + 三 。
同样，我们得到：
β 2 T型 ^ n个 + 2 + β ( T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 ) + T型 ^ n个 + 1 = β ^ β n个 + 三
以及：
γ 2 T型 ^ n个 + 2 + γ ( T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 ) + T型 ^ n个 + 1 = γ ^ γ n个 + 三 。
减法(15)来自(14)，我们有：
( α + β ) T型 ^ n个 + 2 + ( T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 ) = α ^ α n个 + 三 − β ^ β n个 + 三 α − β 。
类似地，减法(16)来自(14)，我们得到：
( α + γ ) T型 ^ n个 + 2 + ( T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 ) = α ^ α n个 + 三 − γ ^ γ n个 + 三 α − γ 。
最后，减法(18)来自(17)，我们得到：
T型 ^ n个 + 2 = 1 α − β α ^ α n个 + 三 − β ^ β n个 + 三 α − β − α ^ α n个 + 三 − γ ^ γ n个 + 三 α − γ = α ^ α n个 + 三 ( α − β ) ( α − γ ) − β ^ β n个 + 三 ( α − β ) ( β − γ ) + γ ^ γ n个 + 三 ( γ − α ) ( γ − β ) = α ^ α n个 + 三 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β n个 + 三 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ n个 + 三 ( γ − α ) ( γ − β ) 。
因此，这证明了(12). 同样，我们得到(13). □
接下来，我们介绍生成函数。
定理 三。
Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions的生成函数为：
克 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ T型 ^ n个 x个 n个 = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + T型 ^ − 1 x个 2 1 − x个 − x个 2 − x个 三
以及：
克 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ K（K） ^ n个 x个 n个 = K（K） ^ 0 + ( K（K） ^ 1 − K（K） ^ 0 ) x个 + K（K） ^ − 1 x个 2 1 − x个 − x个 2 − x个 三
分别是。
证明。 
定义 克 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ T型 ^ n个 x个 n个 。 请注意：
克 ( x个 ) = T型 ^ 0 + T型 ^ 1 x个 + T型 ^ 2 x个 2 + T型 ^ 三 x个 三 + T型 ^ 4 x个 4 + T型 ^ 5 x个 5 + … + T型 ^ n个 x个 n个 + … x个 克 ( x个 ) = T型 ^ 0 x个 + T型 ^ 1 x个 2 + T型 ^ 2 x个 三 + T型 ^ 三 x个 4 + T型 ^ 4 x个 5 + … + T型 ^ n个 − 1 x个 n个 + … x个 2 克 ( x个 ) = T型 ^ 0 x个 2 + T型 ^ 1 x个 三 + T型 ^ 2 x个 4 + T型 ^ 三 x个 5 + … + T型 ^ n个 − 2 x个 n个 + … x个 三 克 ( x个 ) = T型 ^ 0 x个 三 + T型 ^ 1 x个 4 + T型 ^ 2 x个 5 + … + T型 ^ n个 − 三 x个 n个 + …
使用上表和递归关系 T型 ^ n个 = T型 ^ n个 − 1 + T型 ^ n个 − 2 + T型 ^ n个 − 三 ，我们有：
克 ( x个 ) − x个 克 ( x个 ) − x个 2 克 ( x个 ) − x个 三 克 ( x个 ) = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + ( T型 ^ 2 − T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 2 + ( T型 ^ 三 − T型 ^ 2 − T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 三 + ( T型 ^ 4 − T型 ^ 三 − T型 ^ 2 − T型 ^ 1 ) x个 4 + … + ( T型 ^ n个 − T型 ^ n个 − 1 − T型 ^ n个 − 2 − T型 ^ n个 − 三 + ) x个 n个 + … = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + ( T型 ^ 2 − T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 2 。
由此可见：
克 ( x个 ) = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + ( T型 ^ 2 − T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 2 1 − x个 − x个 2 − x个 三 。
自 T型 ^ 2 − T型 ^ 1 − T型 ^ 0 = T型 ^ − 1 , Tribonacci sedenion的生成函数为：
克 ( x个 ) = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + T型 ^ − 1 x个 2 1 − x个 − x个 2 − x个 三 。
同样，我们可以获得(20). □
在下面的定理中，我们使用生成函数给出了Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenion的另一种形式的Binet公式。
定理 4
对于任何整数 n个 , 第n个Tribonacci sedenion是：
T型 ^ n个 = ( ( α 2 − α ) T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) α n个 α − γ α − β + ( ( β 2 − β ) T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) β n个 β − γ β − α + ( ( γ 2 − γ ) T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) γ n个 γ − β γ − α
第n个Tribonacci-Lucas sedenion为：
K（K） ^ n个 = ( ( α 2 − α ) K（K） ^ 0 + α K（K） ^ 1 + K（K） ^ − 1 ) α n个 α − γ α − β + ( ( β 2 − β ) K（K） ^ 0 + β K（K） ^ 1 + K（K） ^ − 1 ) β n个 β − γ β − α + ( ( γ 2 − γ ) K（K） ^ 0 + γ K（K） ^ 1 + K（K） ^ − 1 ) γ n个 γ − β γ − α 。
证明。 
我们可以使用生成函数。因为方程的根 1 − x个 − x个 2 − x个 三 = 0 是 α β , β γ , α γ 以及：
1 − x个 − x个 2 − x个 三 = ( 1 − α x个 ) ( 1 − β x个 ) ( 1 − γ x个 )
我们可以写出 T型 ^ n个 作为：
克 ( x个 ) = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + T型 ^ − 1 x个 2 1 − x个 − x个 2 − x个 三 = T型 ^ 0 + ( T型 ^ 1 − T型 ^ 0 ) x个 + T型 ^ − 1 x个 2 ( 1 − α x个 ) ( 1 − β x个 ) ( 1 − γ x个 ) = A类 ( 1 − α x个 ) + B类 ( 1 − β x个 ) + C类 ( 1 − γ x个 ) = A类 ( 1 − β x个 ) ( 1 − γ x个 ) + B类 ( 1 − α x个 ) ( 1 − γ x个 ) + C类 ( 1 − α x个 ) ( 1 − β x个 ) ( 1 − α x个 ) ( 1 − β x个 ) ( 1 − γ x个 ) = ( A类 + B类 + C类 ) + ( − A类 β − A类 γ − B类 α − B类 γ − C类 α − C类 β ) x个 + ( A类 β γ + B类 α γ + C类 α β ) x个 2 ( 1 − α x个 ) ( 1 − β x个 ) ( 1 − γ x个 ) 。
我们需要找到 A类 , B类 、和C类，因此应求解以下方程组：
A类 + B类 + C类 = T型 ^ 0 − A类 β − A类 γ − B类 α − B类 γ − C类 α − C类 β = T型 ^ 1 − T型 ^ 0 A类 β γ + B类 α γ + C类 α β = T型 ^ − 1
我们发现：
A类 = − α T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 + α 2 T型 ^ 0 α 2 − α β − α γ + β γ = ( ( α 2 − α ) T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) α − γ α − β , B类 = − β T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 + β 2 T型 ^ 0 β 2 − α β + α γ − β γ = ( ( β 2 − β ) T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) β − γ β − α , C类 = − γ T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 + γ 2 T型 ^ 0 γ 2 + α β − α γ − β γ = ( ( γ 2 − γ ) T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) γ − β γ − α 。
以及：
克 ( x个 ) = ( ( α 2 − α ) T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) α − γ α − β ∑ n个 = 0 ∞ α n个 x个 n个 + ( ( β 2 − β ) T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) β − γ β − α ∑ n个 = 0 ∞ β n个 x个 n个 + ( − γ T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 + γ 2 T型 ^ 0 ) γ − β γ − α ∑ n个 = 0 ∞ γ n个 x个 n个 = ∑ n个 = 0 ∞ ( ( α 2 − α ) T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) α n个 α − γ α − β + ( ( β 2 − β ) T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) β n个 β − γ β − α + ( ( γ 2 − γ ) T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) γ n个 γ − β γ − α x个 n个 。
因此，Binet的Tribonacci沉积公式为：
T型 ^ n个 = ( ( α 2 − α ) T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) α n个 α − γ α − β + ( ( β 2 − β ) T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) β n个 β − γ β − α + ( ( γ 2 − γ ) T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 ) γ n个 γ − β γ − α 。
类似地，我们可以得到三波那个契-卢卡斯塞德尼翁的比奈公式。 □
如果我们比较定理2和定理4，并使用 T型 ^ n个 , K（K） ^ n个 , 我们有以下备注显示了 T型 ^ − 1 , T型 ^ 0 , T型 ^ 1 ; K（K） ^ − 1 , K（K） ^ 0 , K（K） ^ 1 和 α ^ , β ^ , γ ^ 。 在分别求解（a）和（c）中的方程组后，我们得到（b）和（d）。
备注 1
我们具有以下身份：
（a） 
( α 2 − α ) T型 ^ 0 + α T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 α = α ^ ( β 2 − β ) T型 ^ 0 + β T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 β = β ^ ( γ 2 − γ ) T型 ^ 0 + γ T型 ^ 1 + T型 ^ − 1 γ = γ ^
（b） 
∑ 秒 = 0 15 T型 − 1 + 秒 e（电子） 秒 = T型 ^ − 1 = α ^ ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ ( γ − α ) ( γ − β ) ∑ 秒 = 0 15 T型 秒 e（电子） 秒 = T型 ^ 0 = α ^ α ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ ( γ − α ) ( γ − β ) ∑ 秒 = 0 15 T型 1 + 秒 e（电子） 秒 = T型 ^ 1 = α ^ α 2 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β 2 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ 2 ( γ − α ) ( γ − β )
（c） 
( ( α 2 − α ) K（K） ^ 0 + α K（K） ^ 1 + K（K） ^ − 1 ) α − γ α − β = α ^ ( ( β 2 − β ) K（K） ^ 0 + β K（K） ^ 1 + K（K） ^ − 1 ) β − γ β − α = β ^ ( ( γ 2 − γ ) K（K） ^ 0 + γ K（K） ^ 1 + K（K） ^ − 1 ) γ − β γ − α = γ ^
（d） 
∑ 秒 = 0 15 K（K） − 1 + 秒 e（电子） 秒 = K（K） ^ − 1 = α ^ α − 1 + β ^ β − 1 + γ ^ γ − 1 ∑ 秒 = 0 15 K（K） 秒 e（电子） 秒 = K（K） ^ 0 = α ^ + β ^ + γ ^ ∑ 秒 = 0 15 K（K） 1 + 秒 e（电子） 秒 = K（K） ^ 1 = α ^ α + β ^ β + γ ^ γ 。
使用上述备注，我们可以发现 T型 ^ 2 , K（K） ^ 2 如下所示：
∑ 秒 = 0 15 T型 2 + 秒 e（电子） 秒 = T型 ^ 2 = T型 ^ 1 + T型 ^ 0 + T型 ^ − 1 = α ^ α 三 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β 三 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ 三 ( γ − α ) ( γ − β )
以及：
∑ 秒 = 0 15 K（K） 2 + 秒 e（电子） 秒 = K（K） ^ 2 = K（K） ^ 1 + K（K） ^ 0 + K（K） ^ − 1 = α ^ α 2 + β ^ β 2 + γ ^ γ 2 。
当然(21)和(22)可以直接从中找到(12)和(13).
现在，我们给出了公式，它给出了第一个公式的总和n个Tribonacci和Tribonaci-Lucas数字。
柠檬 三。
对于每个整数 n个 ≥ 0 , 我们有：
∑ 我 = 0 n个 T型 我 = T型 0 + 1 2 ( T型 n个 + 2 + T型 n个 − 1 ) = 1 2 ( T型 n个 + 2 + T型 n个 − 1 )
以及：
∑ 我 = 0 n个 K（K） 我 = K（K） n个 + 2 + K（K） n个 2 。
证明。 
(23)和(24)可以很容易地用数学归纳法证明。为了证明(23)使用伸缩求和法，请参见[40]，或使用矩阵对角化证明，请参见[41]，或另请参阅[30].
为了证明(24)，请参阅[42]. 自 K（K） 0 = 三 和 ∑ 我 = 1 n个 K（K） 我 = K（K） n个 + 2 + K（K） n个 − 6 2 , 由此可见 ∑ 我 = 0 n个 K（K） 我 = K（K） n个 + 2 + K（K） n个 2 。  □
还有一个公式是第一个n个负Tribonacci数：
∑ 我 = 1 n个 T型 − 我 = 1 2 ( 1 − T型 − n个 − 1 − T型 − n个 + 1 ) 。
有关上述公式的证明，请参见Kuhapatanakul和Sukruan[43].
接下来，我们给出了第一个公式的总和n个Tribonacci和Tribonaci-Lucas sedenions。
定理 5
Tribonacci和Tribonaci-Lucas沉积物的求和公式为
∑ 我 = 0 n个 T型 ^ 我 = 1 2 ( T型 ^ n个 + 2 + T型 ^ n个 + c（c） 1 )
以及：
∑ 我 = 0 n个 K（K） ^ 我 = 1 2 ( K（K） ^ n个 + 2 + K（K） ^ n个 + c（c） 2 )
分别，其中：
c（c） 1 = − 1 − e（电子） 1 − 三 e（电子） 2 − 5 e（电子） 三 − 9 e（电子） 4 − 17 e（电子） 5 − 31 e（电子） 6 − 57 e（电子） 7 − 105 e（电子） 8 − 193 e（电子） 9 − 355 e（电子） 10 − 653 e（电子） 11 − 1201 e（电子） 12 − 2209 e（电子） 13 − 4063 e（电子） 14 − 7473 e（电子） 15
以及：
c（c） 2 = − 6 e（电子） 1 − 8 e（电子） 2 − 14 e（电子） 三 − 28 e（电子） 4 − 50 e（电子） 5 − 92 e（电子） 6 − 170 e（电子） 7 − 312 e（电子） 8 − 574 e（电子） 9 − 1056 e（电子） 10 − 1842 e（电子） 11 − 3572 e（电子） 12 − 6570 e（电子） 13 − 12084 e（电子） 14 − 22226 e（电子） 15 。
证明。 
使用(6)和(23)，我们得到：
∑ 我 = 0 n个 T型 ^ 我 = ∑ 我 = 0 n个 T型 我 + e（电子） 1 ∑ 我 = 0 n个 T型 我 + 1 + e（电子） 2 ∑ 我 = 0 n个 T型 我 + 2 + … + e（电子） 15 ∑ 我 = 0 n个 T型 我 + 15 = ( T型 0 + … + T型 n个 ) + e（电子） 1 ( T型 1 + … + T型 n个 + 1 ) + e（电子） 2 ( T型 2 + … + T型 n个 + 2 ) + … + e（电子） 15 ( T型 15 + … + T型 n个 + 15 ) 。
以及：
2 ∑ 我 = 0 n个 T型 ^ 我 = ( T型 n个 + 2 + T型 n个 − 1 ) + e（电子） 1 ( T型 n个 + 三 + T型 n个 + 1 − 1 − 2 T型 0 ) + e（电子） 2 ( T型 n个 + 4 + T型 n个 + 三 − 1 − 2 ( T型 0 + T型 1 ) ) ⋮ + e（电子） 15 ( T型 n个 + 17 + T型 n个 + 15 − 1 − 2 ( T型 0 + T型 1 + … + T型 14 ) ) = T型 ^ n个 + 2 + T型 ^ n个 + c（c） 1
哪里 c（c） 1 = − 1 + e（电子） 1 ( − 1 − 2 T型 0 ) + e（电子） 2 ( − 1 − 2 ( T型 0 + T型 1 ) ) + … + e（电子） 15 ( − 1 − 2 ( T型 0 + … + T型 14 ) ) 。 因此：
∑ 我 = 0 n个 T型 ^ 我 = 1 2 ( T型 ^ n个 + 2 + T型 ^ n个 + c（c） 1 ) 。
我们可以计算 c（c） 1 作为：
c（c） 1 = − 1 − e（电子） 1 − 三 e（电子） 2 − 5 e（电子） 三 − 9 e（电子） 4 − 17 e（电子） 5 − 31 e（电子） 6 − 57 e（电子） 7 − 105 e（电子） 8 − 193 e（电子） 9 − 355 e（电子） 10 − 653 e（电子） 11 − 1201 e（电子） 12 − 2209 e（电子） 13 − 4063 e（电子） 14 − 7473 e（电子） 15 。
这证明了(25). 同样，我们可以获得(26). □

3.Tribonacci和Tribonaci-Lucas Sedenion的一些恒等式

在本节中，我们给出了关于Tribonacci和Tribonacci-Lucas sedenion的恒等式。
定理 6
对于 n个 ≥ 1 , 以下身份保持不变：
（a） 
K（K） ^ n个 = 三 T型 ^ n个 + 1 − 2 T型 ^ n个 − T型 ^ n个 − 1 ,
（b） 
T型 ^ n个 + T型 ^ n个 ¯ = 2 T型 n个 , K（K） ^ n个 + K（K） ^ n个 ¯ = 2 K（K） n个 ,
（c） 
T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 = α ^ α + 1 α n个 + 1 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β + 1 β n个 + 1 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ + 1 γ n个 + 1 ( γ − α ) ( γ − β ) ,
（d） 
K（K） ^ n个 + 1 + K（K） ^ n个 = α ^ α + 1 α n个 + β ^ β + 1 β n个 + γ ^ γ + 1 γ n个 ,
（e） 
∑ 我 = 0 n个 n个 我 F类 ^ 我 = α ^ α ( 1 + α ) n个 ( α − β ) ( α − γ ) + β ^ β ( 1 + β ) n个 ( β − α ) ( β − γ ) + γ ^ γ ( 1 + γ ) n个 ( γ − α ) ( γ − β ) ,
（f） 
∑ 我 = 0 n个 n个 我 K（K） ^ 我 = α ^ ( 1 + α ) n个 + β ^ ( 1 + β ) n个 + γ ^ ( 1 + γ ) n个 。
证明。 
（a） 遵循递归关系 K（K） n个 = 三 T型 n个 + 1 − 2 T型 n个 − T型 n个 − 1 （参见示例[39]). 其他人很容易建立。 □
定理 7
对于 n个 ≥ 0 , 米 ≥ 三 ，我们有：
（a） 
T型 ^ 米 + n个 = T型 米 − 1 T型 ^ n个 + 2 + ( T型 米 − 2 + T型 米 − 三 ) T型 ^ n个 + 1 + T型 米 − 2 T型 ^ n个 ,
（b） 
T型 ^ 米 + n个 = T型 米 + 2 T型 ^ n个 − 1 + ( T型 米 + 1 + T型 米 ) T型 ^ n个 − 2 + T型 米 + 1 T型 ^ n个 − 三 ,
（c） 
K（K） ^ 米 + n个 = K（K） n个 − 1 T型 ^ 米 + 2 + ( T型 ^ 米 + 1 + T型 ^ 米 ) K（K） n个 − 2 + K（K） n个 − 三 T型 ^ 米 + 1 ,
（d） 
K（K） ^ 米 + n个 = K（K） 米 + 2 T型 ^ n个 − 1 + ( K（K） 米 + 1 + K（K） 米 ) T型 ^ n个 − 2 + K（K） 米 + 1 T型 ^ n个 − 三 。
证明。 
（a） 和（d）可以通过对米，和（c）可以通过对 n个 。 对于（b），替换n个通过 n个 − 三 和米通过 米 + 三 在（a）中。 □
注意，事实上，上述定理的结果对所有整数都成立n个和米，并采取 n个 = 2 在（c）中，我们得到：
K（K） ^ 米 + 2 = T型 ^ 米 + 2 + 2 T型 ^ 米 + 1 + 三 T型 ^ 米
和服用 米 = − 4 在（d）中：
K（K） ^ n个 − 4 = − T型 ^ n个 − 1 + 5 T型 ^ n个 − 三 。
还要注意，因为对于所有整数 n个 , T型 − n个 = 2 T型 − n个 + 三 − T型 − n个 + 4 ，如下所示：
T型 ^ − n个 = 2 T型 ^ − n个 + 三 − T型 ^ − n个 + 4 。
定理 8
对于所有整数 n个 , 以下身份保持不变：
（a） 
T型 ^ n个 + 6 = 7 T型 ^ n个 + 三 − 5 T型 ^ n个 + T型 ^ n个 − 三
（b） 
T型 ^ n个 + 8 = 11 T型 ^ n个 + 4 + 5 T型 ^ n个 + T型 ^ n个 − 4
（c） 
T型 ^ n个 + 10 = 21 T型 ^ n个 + 5 + T型 ^ n个 + T型 ^ n个 − 5
（d） 
K（K） ^ n个 + 6 = 2 K（K） ^ n个 + 三 + K（K） ^ n个 + K（K） ^ n个 − 三
（e） 
K（K） ^ n个 + 8 = 4 K（K） ^ n个 + 4 + K（K） ^ n个 − 4
（f） 
K（K） ^ n个 + 10 = 7 K（K） ^ n个 + 5 − 2 K（K） ^ n个 + K（K） ^ n个 − 5 。
证明。 
对于所有整数n个和米，我们有 T型 n个 + 2 米 = K（K） 米 T型 n个 + 米 − K（K） − 米 T型 n个 + T型 n个 − 米 和 K（K） n个 + 2 米 = T型 米 K（K） n个 + 米 − T型 − 米 K（K） n个 + K（K） n个 − 米 （请参见[44]). 为提供一些价值 米 , 我们得到了结果。 □

4.与Tribonacci和Tribonacci-Lucas Sedenions公司

定义 4 × 4 决定因素 D类 n个 和 E类 n个 , 对于所有整数 n个 , 签署人：
D类 n个 = T型 n个 K（K） n个 K（K） n个 + 1 K（K） n个 + 2 T型 2 K（K） 2 K（K） 三 K（K） 4 T型 1 K（K） 1 K（K） 2 K（K） 三 T型 0 K（K） 0 K（K） 1 K（K） 2 , E类 n个 = K（K） n个 T型 n个 T型 n个 + 1 T型 n个 + 2 K（K） 2 T型 2 T型 三 T型 4 K（K） 1 T型 1 T型 2 T型 三 K（K） 0 T型 0 T型 1 T型 2
定理 9
以下陈述是正确的。
（a） 
D类 n个 = 0 和 E类 n个 = 0 对于所有整数 n个 。
（b） 
44 T型 ^ n个 = 10 K（K） ^ n个 + 2 − 6 K（K） ^ n个 + 1 − 8 K（K） ^ n个 。
（c） 
K（K） ^ n个 = − T型 ^ n个 + 2 + 4 T型 ^ n个 + 1 − T型 ^ n个 。
证明。 
（a） 是结果的特例[45]. 扩大 D类 n个 沿着顶行给出 44 T型 n个 = 10 K（K） n个 + 2 − 6 K（K） n个 + 1 − 8 K（K） n个 现在，（b）如下。扩大 E类 n个 沿着顶行给出 K（K） n个 = − T型 n个 + 2 + 4 T型 n个 + 1 − T型 n个 ，现在，（c）如下。 □
考虑一下顺序 { 单位 n个 } ，由三阶递推关系定义：
单位 n个 = 单位 n个 − 1 + 单位 n个 − 2 + 单位 n个 − 三 , 单位 0 = 单位 1 = 0 , 单位 2 = 1 。
请注意，一些作者称 { 单位 n个 } Tribonacci序列而不是 { T型 n个 } .数字 单位 n个 可以用比奈公式表示：
单位 n个 = α n个 ( α − β ) ( α − γ ) + β n个 ( β − α ) ( β − γ ) + γ n个 ( γ − α ) ( γ − β )
和负数 单位 − n个 ( n个 = 1 , 2 , 三 , … ) 满足递归关系：
单位 − n个 = 单位 n个 + 1 单位 n个 + 2 单位 n个 单位 n个 + 1 = 单位 n个 + 1 2 − 单位 n个 + 2 单位 n个 。
为了获得特殊序列的某些恒等式，矩阵方法是一种非常有用的方法。我们定义平方矩阵M（M）第三个订单为：
M（M） = 1 1 1 1 0 0 0 1 0
使得 det（探测） M（M） = 1 。 请注意：
M（M） n个 = 单位 n个 + 2 单位 n个 + 1 + 单位 n个 单位 n个 + 1 单位 n个 + 1 单位 n个 + 单位 n个 − 1 单位 n个 单位 n个 单位 n个 − 1 + 单位 n个 − 2 单位 n个 − 1 。
为了证明(27)，请参阅[46]. 矩阵公式 T型 n个 和 K（K） n个 可以表示为：
T型 n个 + 2 T型 n个 + 1 T型 n个 = 1 1 1 1 0 0 0 1 0 n个 T型 2 T型 1 T型 0
以及：
K（K） n个 + 2 K（K） n个 + 1 K（K） n个 = 1 1 1 1 0 0 0 1 0 n个 K（K） 2 K（K） 1 K（K） 0 。
矩阵M（M）在中定义和使用[47]. 对于基质配方(28)和(29)，请参阅[48,49].
现在，我们定义矩阵 M（M） T型 和 M（M） K（K） 作为：
M（M） T型 = T型 ^ 4 T型 ^ 三 + T型 ^ 2 T型 ^ 三 T型 ^ 三 T型 ^ 2 + T型 ^ 1 T型 ^ 2 T型 ^ 2 T型 ^ 1 + T型 ^ 0 T型 ^ 1 和 M（M） K（K） = K（K） ^ 4 K（K） ^ 三 + K（K） ^ 2 K（K） ^ 三 K（K） ^ 三 K（K） ^ 2 + K（K） ^ 1 K（K） ^ 2 K（K） ^ 2 K（K） ^ 1 + K（K） ^ 0 K（K） ^ 1 。
这些矩阵 M（M） T型 和 M（M） K（K） 可以分别称为Tribonacci-sedenion矩阵和Tribonaci-Lucas sedenion矩阵。
定理 10
对于 n个 ≥ 0 , 以下内容有效：
（a） 
M（M） T型 1 1 1 1 0 0 0 1 0 n个 = T型 ^ n个 + 4 T型 ^ n个 + 三 + T型 ^ n个 + 2 T型 ^ n个 + 三 T型 ^ n个 + 三 T型 ^ n个 + 2 + T型 ^ n个 + 1 T型 ^ n个 + 2 T型 ^ n个 + 2 T型 ^ n个 + 1 + T型 ^ n个 T型 ^ n个 + 1
（b） 
M（M） K（K） 1 1 1 1 0 0 0 1 0 n个 = K（K） ^ n个 + 4 K（K） ^ n个 + 三 + K（K） ^ n个 + 2 K（K） ^ n个 + 三 K（K） ^ n个 + 三 K（K） ^ n个 + 2 + K（K） ^ n个 + 1 K（K） ^ n个 + 2 K（K） ^ n个 + 2 K（K） ^ n个 + 1 + K（K） ^ n个 K（K） ^ n个 + 1
证明。 
我们通过数学归纳法证明 n个 。 如果 n个 = 0 那么结果就很清楚了。现在，我们假设这是真的 n个 = k个 , 即：
M（M） T型 M（M） k个 = T型 ^ k个 + 4 T型 ^ k个 + 三 + T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 1 T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 1 + T型 ^ k个 T型 ^ k个 + 1 。
如果我们使用(8)，然后针对 k个 ≥ 三 , 我们有 T型 ^ k个 + 三 = T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 1 + T型 ^ k个 。 然后，通过归纳假设，我们得出：
M（M） T型 M（M） k个 + 1 = ( M（M） T型 M（M） k个 ) M（M） = T型 ^ k个 + 4 T型 ^ k个 + 三 + T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 1 T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 1 + T型 ^ k个 T型 ^ k个 + 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 = T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 三 + T型 ^ k个 + 4 T型 ^ k个 + 4 + T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 4 T型 ^ k个 + 1 + T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 三 + T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 1 + T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 1 T型 ^ k个 + 2 = T型 ^ k个 + 5 T型 ^ k个 + 4 + T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 4 T型 ^ k个 + 4 T型 ^ k个 + 三 + T型 ^ k个 + 2 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 三 T型 ^ k个 + 2 + T型 ^ k个 + 1 T型 ^ k个 + 2 。
因此(30)保留所有非负整数 n个 。
(31)可以得到类似的证明。 □
推论 1
对于 n个 ≥ 0 , 以下保持：
（a） 
T型 ^ n个 + 2 = T型 ^ 2 单位 n个 + 2 + ( T型 ^ 1 + T型 ^ 0 ) 单位 n个 + 1 + T型 ^ 1 单位 n个
（b） 
K（K） ^ n个 + 2 = K（K） ^ 2 单位 n个 + 2 + ( K（K） ^ 1 + K（K） ^ 0 ) 单位 n个 + 1 + K（K） ^ 1 单位 n个
证明。 
（a）的证明可以从系数中看出(28)矩阵的 M（M） T型 和(27). （b）的证明可以从系数中看出(29)矩阵的 M（M） K（K） 和(27).
请注意，如果我们替换矩阵，则会得到类似的结果M（M）使用矩阵N个和O（运行）定义单位：
N个 = 1 1 0 1 0 1 1 0 0 和 O（运行） = 0 1 0 0 0 1 1 1 1 。
 □

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

我们感谢审稿人对原稿的仔细阅读，以及对这部作品的介绍提出了宝贵的意见和建议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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数学07 00074 g001 550
图1。sedenions虚数单位的乘法表。
图1。景天想象单位的乘法表。
数学07 00074 g001
表
表1。直接乘法。
表1。直接乘法。
2 n个 - 离子 计算方法倍增添加
四元数基于表达式(5)1612
八元数基于表达式(5)6456
赛德尼昂斯基于表达式(5)256240
表
表2。乘法的有效算法。
表2。乘法的有效算法。
2 n个 - 离子 计算方法倍增添加
四元数中的算法[20]8-
八元数中的算法[21]3288
赛德尼昂斯中的算法[19]122298

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

Soykan Y。Tribonacci和Tribonaci-Lucas Sedenions。数学. 2019; 7(1):74.https://doi.org/10.3390/math7010074

芝加哥/图拉宾风格

Yüksel Soykan。2019.“Tribonacci和Tribonaci-Lucas Sedenions”数学7，编号1:74。https://doi.org/10.3390/math7010074

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