On a Length Problem for Univalent Functions

Nunokawa, Mamoru; Sokół, Janusz; Cho, Nak Eun

doi:10.3390/math6110266

开放式访问第条

关于单叶函数的一个长度问题

通过

马莫鲁·努诺卡瓦

¹，

Janusz Sokół

²

和

Nak Eun Cho公司

^3,*

¹

群马大学数学系，Hoshikuki-cho 798-8，Chuou-Ward，Chiba 260-0808，Japan

²

波兰鲁泽佐大学数学与自然科学学院，地址：35-310，St.Pigo nn Street 1 Prof

^三

韩国釜山608-737，普京国立大学自然科学学院应用数学系

^*

信件应寄给的作者。

数学 2018，6（11），266；https://doi.org/10.3390/math6110266

收到的提交文件：2018年10月11日/修订日期：2018年11月14日/接受日期：2018年11月16日/发布日期：2018年11月19日

（本文属于特刊分数阶积分和导数算子及其应用)

下载版本注释

摘要

:

让克是一个解析函数，在开放单位圆盘中具有归一化。让

我 (第页)

长度为

克 ({z（z） : | z（z） | = 第页})

在本文中，我们给出了克和

我 (第页)

适用于以下情况克不是必需的单价。此外，还讨论了与解析函数长度有关的其他结果。

关键词：

解析函数;星形函数;单叶函数;长度问题

MSC公司：

30C45；30摄氏度80

1.简介

让

一个

是形式的函数族

克 (z（z）) = z（z） + \sum_{n个 = 2}^{\infty} 一_{n个} {z（z）}^{n个}

(1)

在开放单元磁盘中进行分析

D类 = {z（z） \in C类 : | z（z） | < 1}

.让

S公司

表示

一个

由中的所有单叶函数组成

D类

.

让

C类 (第页)

表示的图像曲线

| z（z） | = 第页 < 1

在函数下

克 \in 一个

它包围了这个地区

一个 (第页)

此外，让

我 (第页)

长度为

C类 (第页)

和

M（M） (第页) = {最大值}_{| z（z） | = 第页 < 1} | 克 (z（z）) |

.

如果

克 \in 一个

满足

重新 \{\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}\} > 0 ， z（z） \in D类 ，

然后克据说从起源上看是恒星状的

D类

然后我们写

克 \in {S公司}^{*}

。它是已知的（有关详细信息，请参阅[1，2])那个

{S公司}^{*} \subset S公司

.

本论文的目的是使用一种改进的方法证明，在以下含义中

克 \in {S公司}^{*} \Rightarrow 我 (第页) = O（运行） (M（M） (第页) 日志 \frac{1}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 ，

(2)

哪里

O（运行）

表示Landau符号，假设克是恒星状的单价可以被较弱的改变。结果(2)被基奥证明了[三]. 此外，还研究了解析函数的一些其他长度问题。在中考虑了与单叶函数长度问题有关的几个有趣的发展[4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15]。

2.主要成果

定理 1

设g的形式为(1)假设是这样

|\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| \leq |\frac{1 + z（z）}{1 - z（z）}| ， z（z） \in D类 .

(3)

然后

我 (第页) = O（运行） (M（M） (第页) 日志 \frac{1}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 ，

哪里

M（M） (第页) = \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} | 克 (z（z）) |

和

O（运行）

指Landau的符号。

证明。

让

z（z） = 第页 {e（电子）}^{我 ν}

.我们有

克 \neq 0

在里面

D类 \ {0}

事实上，如果

克 = 0

在里面

D类

，这与假设相矛盾(三). 正在应用[三]（定理1）和定理1的假设，我们有

\begin{matrix} 我 (第页) & = \int_{0}^{2 π} | z（z） 克^{'} (z（z）) | d日 ν = \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| | 克 (z（z）) | d日 ν \\ \leq M（M） (第页) \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| d日 ν \leq M（M） (第页) \int_{0}^{2 π} |\frac{1 + 第页 {e（电子）}^{我 ν}}{1 - 第页 {e（电子）}^{我 ν}}| d日 ν \\ \leq M（M） (第页) (2 π + 4 日志 \frac{1 + 第页}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 . \end{matrix}

□

备注 1

如果g满足定理1的条件，则g在

D类

众所周知，如果

克 \in S公司

，那么接下来就是

\frac{1 - | z（z） |}{1 + | z（z） |} \leq |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| \leq \frac{1 + | z（z） |}{1 - | z（z） |} ， z（z） \in D类

（有关详细信息，请参阅[1]（第1卷，第69页）。

如果

克 \in 一个

满足

重新 \{\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克^{1 - γ} (z（z）) {小时}^{γ} (z（z）)}\} > 0 ， z（z） \in D类

对一些人来说

小时 \in {S公司}^{*}

还有一些

γ \in (0 ， \infty)

，则g被称为γ型Bazilevič函数[13]. γ型Bazilevič函数的类表示为

克 \in B类 (γ)

我们注意到定理1改进了蕴涵(2)作者：基奥[三]它也与托马斯给出的定理3有关[13]。

我们需要以下Tsuji的结果。

引理 1

([16]（第226页）. （定理3）如果

0 \leq 第页 < R（右）

和

z（z） = {e（电子）}^{我 ν}

，然后

\frac{R（右） - 第页}{R（右） + 第页} \leq 重新 \{\frac{R（右） {e（电子）}^{我 ϕ} + z（z）}{R（右） {e（电子）}^{我 ϕ} - z（z）}\} = \frac{{R（右）}^{2} - {第页}^{2}}{{R（右）}^{2} - 2 R（右） 第页 余弦 (ϕ - ν) + {第页}^{2}} \leq \frac{R（右） + 第页}{R（右） - 第页} .

(4)

此外，

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{{R（右）}^{2} - {第页}^{2}}{{R（右）}^{2} - 2 R（右） 第页 余弦 (ϕ - ν) + {第页}^{2}} d日 ν = 1 .

(5)

定理 2

让g是形式(1)假设是这样

|\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| \leq |\frac{1 + z（z）}{1 - z（z）}| ， z（z） \in D类

(6)

和

M（M） (第页 ， β) = \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} | 克 (z（z）) | \leq {|\frac{1 + z（z）}{1 - z（z）}|}^{β} ，

（7）

哪里

1 < β

.然后

我 (第页) = O（运行） (\frac{1}{{(1 - 第页)}^{β}}) 作为 第页 \to 1 ，

哪里

O（运行）

指Landau的符号。

证明。

根据假设(6)和(7)，因此

\begin{matrix} 我 (第页) & = \int_{0}^{2 π} | z（z） 克^{'} (z（z）) | d日 ν = \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| | 克 (z（z）) | d日 ν \\ \leq \int_{0}^{2 π} |\frac{1 + z（z）}{1 - z（z）}| {|\frac{1 + z（z）}{1 - z（z）}|}^{β} d日 ν \leq 2^{1 + β} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{| 1 - z（z） |}^{1 + β}} d日 ν \\ = \frac{2^{1 + β}}{{(1 - 第页)}^{β - 1}} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{1 - 2 第页 余弦 ν + {第页}^{2}} d日 ν . \end{matrix}

发件人(5)，我们有

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{1 - 2 第页 余弦 ν + {第页}^{2}} d日 ν = \frac{2 π}{1 - {第页}^{2}} .

因此，我们得到

\begin{matrix} 我 (第页) & \leq \frac{2^{1 + β}}{{(1 - 第页)}^{β - 1}} \frac{2 π}{1 - {第页}^{2}} \\ = O（运行） (\frac{1}{{(1 - 第页)}^{β}}) 作为 第页 \to 1 . \end{matrix}

因此，我们完成了定理2的证明。□

让我们回顾一下费耶·里兹的以下结果。

引理 2

([16]). 让h在中进行分析

D类

并持续打开

\bar{D类}

.然后

\int_{- 1}^{1} {| 小时 (z（z）) |}^{第页} | d日 z（z） | \leq \frac{1}{2} \int_{| z（z） | = 1} {| 小时 (z（z）) |}^{第页} | d日 z（z） | ，

哪里

第页 > 0

.

定理三。

让g是形式(1)假设是这样

\frac{1 - | z（z） |}{1 + | z（z） |} \leq |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| \leq \frac{1 + | z（z） |}{1 - | z（z） |} ， z（z） \in D类 .

(8)

然后

O（运行） (米 (第页) 日志 \frac{1}{1 - 第页}) \leq 我 (第页) \leq O（运行） (\frac{M（M） (第页)}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 ，

哪里

米 (第页) = \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最小值} | 克 (z（z）) | ， M（M） (第页) = \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} | 克 (z（z）) |

(9)

和

O（运行）

指Landau的符号。

证明。

根据假设，我们有

\begin{matrix} 我 (第页) & = \int_{0}^{2 π} | z（z） 克^{'} (z（z）) | d日 ν = \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| | 克 (z（z）) | d日 ν \\ \geq 米 (第页) \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| d日 ν \end{matrix}

因为

克 (z（z）) \neq 0

在里面

D类 \ {0}

事实上，如果

克 (z（z）) = 0

在里面

D类

，这与假设相矛盾(8). 应用Fejér-Riesz引理2，我们得到

\begin{matrix} 我 (第页) & \geq 米 (第页) \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| d日 ν \geq 2 米 (第页) \int_{- 第页}^{第页} \frac{1 - ρ}{1 + ρ} d日 ρ \\ \geq 2 米 (第页) 日志 \frac{1 + 第页}{1 - 第页} - 2 第页 \\ = O（运行） (米 (第页) 日志 \frac{1}{(1 - 第页)}) 作为 第页 \to 1 . \end{matrix}

同时，我们获得

\begin{matrix} 我 (第页) & = \int_{0}^{2 π} | z（z） 克^{'} (z（z）) | d日 ν = \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| | 克 (z（z）) | d日 ν \\ = M（M） (第页) \int_{0}^{2 π} \frac{1 + | z（z） |}{1 - | z（z） |} d日 ν = 2 π M（M） (第页) \frac{1 + 第页}{1 - 第页} \\ = O（运行） (\frac{M（M） (第页)}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 . \end{matrix}

因此，我们完成了定理3的证明。□

根据定理3，我们得到以下结果。

推论 1

让g是形式(1)假设g在

D类

.那么我们有

O（运行） (米 (第页) 日志 \frac{1}{1 - 第页}) \leq 我 (第页) \leq O（运行） (\frac{M（M） (第页)}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 ，

哪里

米 (第页)

和

M（M） (第页)

由提供(9)分别为。

证明。

根据假设，我们有

\frac{1 - | z（z） |}{1 + z（z） |} \leq |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| \leq \frac{1 + | z（z） |}{1 - | z（z） |} ， z（z） \in D类 ，

这就完成了证明。□

引理三

([17]（第280页）和[18]（第491页）.

\int_{0}^{2 π} \frac{d日 ν}{| 1 - 第页 {e（电子）}^{我 ν} |^{β}} = \{\begin{matrix} O（运行） ({(1 - 第页)}^{1 - β}) & （f） o（o） 第页 t吨 小时 e（电子） c（c） 一 秒 e（电子） 1 < β ， \\ O（运行） (日志 \frac{1}{1 - 第页}) & （f） o（o） 第页 t吨 小时 e（电子） c（c） 一 秒 e（电子） β = 1 ， \\ O（运行） (1) & （f） o（o） 第页 t吨 小时 e（电子） c（c） 一 秒 e（电子） 0 \leq β < 1 ， \end{matrix}

哪里

0 < 第页 < 1

，

0 \leq ν \leq 2 π

，

0 \leq β

和

O（运行）

指Landau的符号。

定理 4

设g的形式为(1)假设是这样

|\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| \leq \frac{1}{1 - | z（z） |} ， z（z） \in D类

(10)

和

|克 (z（z）)| \leq \frac{1}{{| 1 - z（z） |}^{β}} ， z（z） \in D类 .

(11)

然后

我 (第页) \leq \{\begin{matrix} O（运行） ({(1 - 第页)}^{- 三 / 2}) & （f） o（o） 第页 1 < β \leq 三 / 2 ， \\ O（运行） ({(1 - 第页)}^{- 三 / 2} 日志 \frac{1}{1 - 第页}) & （f） o（o） 第页 t吨 小时 e（电子） c（c） 一 秒 e（电子） β = 三 / 2 ， \\ O（运行） ({(1 - 第页)}^{- β}) & （f） o（o） 第页 t吨 小时 e（电子） c（c） 一 秒 e（电子） 三 / 2 < β ， \end{matrix}

哪里

0 < | z（z） | = 第页 < 1

和

O（运行）

指Landau的符号。

证明。

根据假设(10)，因此

克 (z（z）) \neq 0

在里面

D类 \ {0}

.那么我们有

\begin{matrix} 我 (第页) & = \int_{0}^{2 π} |第页 {e（电子）}^{我 ν} 克^{'} (第页 {e（电子）}^{我 ν})| d日 ν = \int_{0}^{2 π} |\frac{z（z） 克^{'} (z（z）)}{克 (z（z）)}| | 克 (z（z）) | d日 ν \\ < \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{1 - | z（z） |}) (\frac{1}{{| 1 - z（z） |}^{β}}) d日 ν \\ = \int_{0}^{2 π} (\frac{1}{| 1 - z（z） |}) (\frac{1}{{| 1 - z（z） |}^{β - 1}}) (\frac{1}{1 - | z（z） |}) d日 ν \\ \leq {(\int_{0}^{2 π} \frac{1}{{| 1 - z（z） |}^{2}} d日 ν)}^{1 / 2} {(\int_{0}^{2 π} (\frac{1}{{| 1 - z（z） |}^{2 β - 2}}) \frac{1}{{(1 - | z（z） |)}^{2}} d日 ν)}^{1 / 2} . \end{matrix}

应用Hayman引理3，我们得到

\begin{matrix} 我 (第页) & \leq {(\frac{1}{1 - {第页}^{2}})}^{1 / 2} (\frac{1}{1 - 第页}) O（运行） (1) \\ = O（运行） (\frac{1}{{(1 - 第页)}^{三 / 2}}) 作为 第页 \to 1 \end{matrix}

为了这个案子

1 < β < 三 / 2

，

\begin{matrix} 我 (第页) & \leq {(\frac{1}{1 - {第页}^{2}})}^{1 / 2} (\frac{1}{1 - 第页}) O（运行） (日志 \frac{1}{1 - 第页}) \\ = O（运行） (\frac{1}{{(1 - 第页)}^{三 / 2}} 日志 \frac{1}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 \end{matrix}

为了这个案子

β = 三 / 2

和

\begin{matrix} 我 (第页) & = {(\frac{1}{1 - {第页}^{2}})}^{1 / 2} (\frac{1}{1 - 第页}) {(\frac{1}{1 - 第页})}^{(2 β - 三) / 2} 作为 第页 \to 1 \end{matrix}

为了这个案子

三 / 2 < β

. □

引理 4

([16]（第227页）. 如果

克 (z（z）) = 单位 (z（z）) + 我 v（v） (z（z）)

在中进行分析

| z（z） | \leq R（右）

，然后

克 (z（z）) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} 单位 (R（右） {e（电子）}^{我 ϕ}) \frac{R（右） {e（电子）}^{我 ϕ} + z（z）}{R（右） {e（电子）}^{我 ϕ} - z（z）} d日 ϕ + 我 v（v） (0) .

(12)

此外，如果

| z（z） | < R（右）

和

v（v） (0) = 0

，然后

| 克 (z（z）) | = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | 单位 (R（右） {e（电子）}^{我 ϕ}) | |\frac{R（右） {e（电子）}^{我 ϕ} + z（z）}{R（右） {e（电子）}^{我 ϕ} - z（z）}| d日 ϕ .

定理 5

让g是形式(1).然后

M（M） (第页) = O（运行） (一个 (第页) 日志 \frac{1}{1 - 第页}) 一 秒 第页 \to 1 ，

(13)

哪里

0 < | z（z） | = 第页 < 1

和

O（运行）

指Landau的符号。

证明。

由此可见

\begin{matrix} M（M） (第页) = \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} |\int_{0}^{z（z）} 克^{'} (秒) d日 秒| = \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} |\int_{0}^{第页} 克^{'} (ρ {e（电子）}^{我 ν}) d日 ρ| . \end{matrix}

正在应用(12)，我们有

\begin{matrix} M（M） (第页) & = & \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} |\frac{1}{2 π} \int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} 重新 克^{'} (t吨 {e（电子）}^{我 ν}) \frac{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} + ρ {e（电子）}^{我 ν}}{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} - ρ {e（电子）}^{我 ν}} d日 ϕ d日 ρ| \\ \leq & \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} \frac{1}{2 π} \int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} |克^{'} (t吨 {e（电子）}^{我 ν})| |\frac{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} + ρ {e（电子）}^{我 ν}}{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} - ρ {e（电子）}^{我 ν}}| d日 ϕ d日 ρ ， \end{matrix}

哪里

0 \leq ρ \leq 第页 < t吨 < 1

然后，应用Schwarz引理，我们得到

\begin{matrix} M（M） (第页) & \leq & \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} {(\frac{1}{2 π} \int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} {|克^{'} (t吨 {e（电子）}^{我 ν})|}^{2} d日 ϕ d日 ρ)}^{1 / 2} {(\int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} {|\frac{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} + ρ {e（电子）}^{我 ν}}{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} - ρ {e（电子）}^{我 ν}}|}^{2} d日 ϕ d日 ρ)}^{1 / 2} \\ \leq & \underset{| z（z） | = 第页 < 1}{最大值} {(我_{1})}^{1 / 2} {(我_{2})}^{1 / 2} ， 说 . \end{matrix}

放

0 < {第页}_{1} < 第页

和

t吨 = \sqrt{(1 + ρ^{2}) / 2}

，我们有

ρ d日 ρ = 2 \sqrt{\frac{1 + ρ^{2}}{2}} d日 t吨 < 2 d日 t吨 .

那么我们有

\begin{matrix} 我_{1} & = & \frac{1}{2 π} \int_{0}^{{第页}_{1}} \int_{0}^{2 π} {|克^{'} (t吨 {e（电子）}^{我 ϕ})|}^{2} d日 ϕ d日 ρ + \frac{1}{2 π {第页}_{1}^{2}} \int_{\sqrt{(1 + {第页}_{1}^{2}) / 2}}^{\sqrt{(1 + {第页}^{2}) / 2}} \int_{0}^{2 π} t吨 {|克^{'} (t吨 {e（电子）}^{我 ϕ})|}^{2} d日 ϕ d日 t吨 \\ \leq & C类 + \frac{1}{2 π {第页}_{1}^{2}} 一个 (\sqrt{\frac{1 + {第页}^{2}}{2}}) \\ = & C类 + \frac{1}{2 π {第页}_{1}^{2}} 一个 (\sqrt{\frac{1 + {第页}^{2}}{2 {第页}^{2}}} 第页) \\ = & O（运行） (一个 (第页)) 作为 第页 \to 1 ， \end{matrix}

哪里C类是一个有界的正常数。另一方面

t吨 \to 1^{-}

，我们有

\begin{matrix} 我_{2} & = & \int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} {|\frac{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} + ρ {e（电子）}^{我 ν}}{t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} - ρ {e（电子）}^{我 ν}}|}^{2} d日 ϕ d日 ρ \\ \leq & \int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} \frac{4}{{|t吨 {e（电子）}^{我 ϕ} - ρ {e（电子）}^{我 ν}|}^{2}} d日 ϕ d日 ρ \\ = & \int_{0}^{第页} \int_{0}^{2 π} \frac{4}{{t吨}^{2} - 2 ρ t吨 余弦 (ϕ - ν) + ρ^{2}} d日 ϕ d日 ρ . \end{matrix}

使用(5)，我们有

\begin{matrix} 我_{2} & \leq & 8 π \int_{0}^{第页} \frac{1}{{t吨}^{2} - ρ^{2}} d日 ρ \\ = & \frac{4 π}{t吨} \int_{0}^{第页} (\frac{1}{t吨 + ρ} + \frac{1}{t吨 - ρ}) d日 ρ \\ = & \frac{4 π}{t吨} 日志 \frac{t吨 + 第页}{t吨 - 第页} \to O（运行） (日志 \frac{1}{1 - 第页}) 作为 第页 \to 1 . \end{matrix}

因此，我们完成了(13).□

备注 2

在定理5中，我们不假设g在

| z（z） | < 1

因此，它改进了Pommerenke的结果[2]。

作者贡献

所有作者贡献均等。

基金

作者谨对评委们对本文前一版本提出的许多宝贵建议表示感谢。本研究由基础科学研究计划通过韩国国家研究基金会（NRF）支持，该基金会由教育、科学和技术部资助（编号：2016R1D1A1A09916450）。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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AMA风格

Nunokawa M，SokółJ，Cho NE。关于单叶函数的长度问题。数学. 2018; 6(11):266.https://doi.org/10.3390/math6110266

芝加哥/图拉宾风格

Nunokawa、Mamoru、Janusz Sokół和Nak Eun Cho。2018.“关于单叶函数的长度问题”数学6，11号：266。https://doi.org/10.3390/math6110266

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关于单叶函数的一个长度问题

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