2.基本定义、符号和事实
让我们首先回顾一下本文中使用的基本术语和一些已知结果。
众所周知，经典的康托集一在宇宙中可以用特征函数表示映射进入集合即，对于 如果和如果的模糊子集由成员函数映射定义进入单位间隔：通过的模糊子集X（X），我们了解地图（其中所考虑的模糊集通过其隶属函数进行识别）。价值观被视为元素的隶属度到模糊集如果然后x个不属于如果然后x个属于如果然后x个可能属于但这并不确定。对于最后一种情况，值越接近1即，发生以下情况的可能性越高x个属于让X（X）成为一个非空集合。通过符号和，我们表示序列的模糊并和模糊交的模糊子集X（X）分别在扎德的意义上[18]; 即。，和符号表示模糊子集的补集属于X（X）即。，在这里，用值1表示常量函数。类似地，符号和将用值指示常量函数和0。此外，这种关系将指示模糊子集的通常顺序关系X（X）即。，当且仅当对于每个互补性满足，对于每个模糊子集属于X（X），条件：和暗示此外，对于任何序列的模糊子集X（X），德摩根法律规定： 和 模糊可测空间[58]是一对哪里是非空集，并且M（M）是模糊的模糊子集代数即。，包含不包括在操作下关闭（即，如果然后和可数上确界（即满足隐含条件然后可以证明，模糊可测空间的概念是可测空间概念的推广从经典测度理论出发；这就足够了哪里是集合的特征函数使用此过程，可以将经典模型嵌入到模糊情况中。模糊集合这样的话被认为是分离的，而模糊集这样的话被认为是W分隔的[59]. 模糊集这样的话称为W-宇宙；模糊集这样的话称为W-空模糊集。可以证明模糊集当且仅当存在模糊集时是W-普遍这样的话参考资料中介绍了以下定义[60]. 定义 1 [60]. 让 是一个模糊可测空间。地图 称为模糊P-测度，如果满足以下两个条件：（i） 对于每个 （ii）如果 是来自M的成对W分离模糊子集序列，则 三胞胎 被称为模糊概率空间。 属于模糊集的模糊子集代数M（M）被视为模糊事件；W分离模糊事件被视为互斥事件。W-宇宙被认为是一个特定的事件，而W-空集被认为是不可能的事件。模糊P-测度具有类似于经典概率测度的性质（有关证明，请参见[60]). 我们在下面介绍其中一些。 - （第1页）
对于每个
- （第2页）
秒是非递减的，即如果具有然后
- （第3页）
对于每个
- （第4页）
让然后为所有人当且仅当
- （第5页）
如果这样的话然后
定义 2 让是一个模糊概率空间。如果然后我们定义： 让是一个模糊P-测度，并且让这样的话然后是地图由方程（5）定义的是一个模糊P-测度。它在家庭中起着条件概率度量的作用M（M）模糊事件。参考文献中介绍了模糊划分的以下定义[61]. 定义 三 [61]. 模糊概率空间的模糊划分 是一家人 具有性质的M的两两W分离模糊集 在模糊概率空间的所有模糊划分类中我们将求精偏序定义如下。如果和是两个模糊分区然后我们说是对（然后写如果存在分区集合的这样的话对于此外，我们设置人们可以很容易地验证家庭是一个两两W分离模糊集族M（M）; 此外，通过性质（P4），我们得到这意味着是的模糊划分它代表了一个由实验实现组成的组合实验和如果是的模糊划分然后我们把
例子 1 让是一个经典的概率空间。如果我们设置哪里是集合的特征函数并定义地图根据公式对于每个然后很容易验证系统是一个模糊概率空间。可测量的分区概率空间的如果我们考虑而不是
定义 4 两个模糊分区和模糊概率空间如果对于
参考文献中介绍了模糊划分的逻辑熵和条件逻辑熵的以下定义[9]. 定义 5 ([9]). 让 是模糊概率空间的两个模糊划分 我们定义了 签署人： 备注 1 很明显，我们可以将方程（6）写成以下形式哪里是由等式（1）定义的逻辑熵函数。方程式（7）可表示为以下形式： 参考中[9]，我们证明了所建议的熵测度的基本性质。具体地说，模糊划分的逻辑熵具有次可加性（即。，对于任意模糊划分属于不具有可加性。它满足以下较弱的性质：如果模糊划分属于在统计上是独立的参考文献中提出了模糊划分的Shannont型熵的定义[29]，如下所示。 定义 6 ([29]). 让 是模糊概率空间的两个模糊划分 我们定义了 签署人： 的条件熵鉴于由以下等式定义： 在定义6中，假设如果对数的底可以是任何正实数；取决于选定的基础b条对数的信息以位为单位(b条=2），自然状态(b条=e（电子）)，或dits(b条= 10). 参考中[29]结果表明，所提出的模糊划分熵具有类似于经典可测划分Shannon熵的性质。具体来说，对于任何模糊划分模糊概率空间它能容纳等式当且仅当模糊划分在统计上是独立的。这意味着模糊划分的Shannon型熵既具有次可加性，又具有可加性。 在接下来的部分中，我们将使用以下已知的Jensen不等式：对于真正的凹函数实数在其域中与非负实数满足条件它认为：如果是一个实凸函数。等式（10）中的等式成立的条件是或是一个线性函数。 3.模糊划分的Tsallis熵
在这一节中，我们定义并研究了模糊划分的Tsallis熵及其条件形式。这里，我们假设是一个模糊概率空间。
定义 7 让是的模糊划分那么它的Tsallis阶熵哪里关于由以下等式定义： 备注 2 为了简单起见，我们写而不是
定义 8 让和是的两个模糊划分我们定义了条件Tsallis序熵哪里属于鉴于作为数字： 例子 2 让我们考虑一下模糊划分哪里是一个W通用。它表示导致特定事件的模糊实验。显然，即，模糊实验的结果是某一事件，其Tsallis熵为零。此外，对于每个模糊划分属于由于属性（P4），我们得到： 让为方程式（3）定义的函数。然后我们可以用以下等效形式写出方程（11）： 可以验证功能是，对于每个凹形和非负形。函数的非负性（有关证明，请参见[56])这意味着Tsallis熵总是非负的。显然，通过插入在方程（11）中，我们得到了逻辑熵如果我们插入在方程（12）中，我们得到了条件逻辑熵此外，作为我们得到了用nats表示的模糊划分的Shannon熵，如以下定理所示。在证明中，我们需要以下命题。 提议 1 让是模糊概率空间的模糊划分然后
- （i）
对于每个
- （ii）
对于每个这样的话
证明。 使用条件（P4）获得权利要求（i）。如果这样的话然后使用部分（i），我们得到： □ 提议 2 让是的模糊划分然后：
- （i）
暗示
- （ii）
和暗示
证明。 让
- （i）
让我们假设一下然后存在一个分区集合的这样的话对于设置对于 然后我们得到：对于 也就是说 - （ii）
让我们假设一下和然后存在一个分区集合的这样的话对于并且有一个分区集合的这样的话对于设置对于 因此，我们获得：对于 也就是说
□
定理 1 让和是的两个模糊划分然后： 证明。 让我们定义一下功能和通过和那么对于任何我们有功能和是可微的，利用命题1，我们得到： 此外，很明显因此，我们可以使用L'Hópital法则，根据该法则假设右手边存在。求函数的导数我们使用身份因此，我们获得： 自使用命题1，我们得到： □ 定理 2 让是的任何模糊划分然后： 证明。 该主张紧跟定理1；设置就足够了 □
在下文中，我们导出了模糊划分的建议熵测度的基本性质。首先，我们展示了函数关于
定理 三。 让是一个给定的模糊划分和为正实数，以便然后暗示
证明。 我们必须证明这一点假设因此，我们获得：哪里以及功能由定义对于任何我们证明了这一点对于每个我们发现自对于因此对于每个因此， □ 备注 三。 作为定理2和3的明显结果，我们在Tsallis熵之间有以下关系和香农熵:对于和对于当然，在前面的不等式中，熵以nats表示。
例子 三。 让然后让是X的模糊子集，定义为对于每个然后这对夫妇哪里是一个模糊的可测量空间。我们定义了模糊P-测度通过等式家庭是模糊概率空间的模糊划分显然，让我们计算模糊划分的熵初步计算表明它具有香农熵nats，逻辑熵和Tsallis熵我们可以看到它的存在因此，所得结果与前面定理中的表述是一致的。此外，我们还有：这与备注3所述一致。
在下面的定理中，我们证明了Tsallis熵的凹性作为的函数秒让我们用符号表示定义在给定模糊可测空间上的全模糊P-测度族证明如果然后，对于每个实数它认为
定理 4 让是模糊概率空间的模糊划分然后，对于每个实数以下不等式成立： 证明。 可以使用函数的凹度进行证明与参考文献中定理5的证明相同[56]. □ 作为定理4的直接结果，我们获得了族上模糊划分的逻辑熵的凹性
定理 5. 让是的任何模糊划分然后当且仅当模糊P-测度是统一的即，当且仅当对于
证明。 为了证明这一说法，我们将Jensen不等式应用于函数自从函数是凹面的，设置和对于在方程式（10）中，我们得到：等式当且仅当自因此： 等式成立当且仅当即，当且仅当对于 □
以下定理表明Tsallis熵不满足可加性；它具有以下称为伪可加性的属性。
定理 6 让模糊划分属于在统计上独立。然后： 证明。 假设 我们通过直接计算证明了等式： □ 定理 7 让是的模糊划分然后意味着不平等
证明。 让我们假设 然后存在一个分区集合的这样的话对于因此，我们有对于让我们考虑一下然后我们有：对于如果我们加上这些关于然后我们得到： 因为在这种情况下，它认为因此： 案例可以用类似的方法证明。□
接下来，我们需要以下建议。
提议 三。 让是的模糊划分和然后： 证明。 我们假设; 因此，对于它认为自从函数为非负值，则如下所示：对于如果我们加上这些关于我们获得： 接下来，我们将Jensen不等式应用于凹函数如果我们在方程（10）中插入和对于然后我们得到：对于由此可见： 通过结合之前的结果，我们得到了断言。□
在下面的定理中，说明了模糊有序划分的Tsallis熵满足亚可加性。如以下示例所示，Tsallis有序熵通常不满足亚可加性的性质。
定理 8 让是的模糊划分和然后
证明。 可以使用命题1和命题3的第（i）部分进行证明，方法与参考文献中定理3的证明相同[56]. □ 例子 4 考虑任何模糊概率空间和两个模糊事件属于具有然后是家庭是的模糊划分具有s值和相应的元素。初步计算表明，模糊划分具有香农熵nats，逻辑熵和Tsallis熵模糊划分具有香农熵nats，逻辑熵和Tsallis熵假设模糊划分和在统计上是独立的。然后是模糊划分具有s值相应元素的。初步计算表明nats（自然状态），和可以看出和另一方面，它认为这意味着Tsallis熵订单的通常不满足亚可加性。
定理 9 让是的模糊划分然后：
- （i）
- （ii）
- （iii）
证明。 让
- （i）
根据提议1，我们有对于因此，我们得出：
考虑以下情况对于 我们有这意味着对于 自对于因此另一方面，对于我们有对于 在这种情况下，因此
- （ii）
- （iii）
设置就足够了在（ii）中□
作为前面定理（i）和（iii）的直接结果，获得了模糊划分的Tsallis熵的以下性质。
定理 10 对于任意模糊分区属于以下不等式成立： 定理 11 （Tsallis熵的链式规则）。让和是的模糊划分放置那么以下等式成立：
- （i）
- （ii）
证明。 可以使用数学归纳法和定理9的性质（ii）证明权利要求（i）。如果我们把在权利要求（i）中，则获得等式（ii）。□
定理 12 让模糊划分属于在统计上独立。然后： 证明。 通过将定理9的属性（iii）与定理6相结合，可以获得该权利要求。□
定理 13 让是的模糊划分那么，对于它认为： 证明。 通过将定理9的属性（iii）与定理8相结合，可以获得该权利要求。□
下面的示例是示例4的延续，它说明了定理13的结果，并显示了条件Tsallis熵订单的一般不具有单调性。
例子 5. 让我们考虑模糊概率空间和分区从上一个示例中。我们计算出Tsallis熵为和通过简单的计算，我们发现和显然，我们已经和这与定理13的断言是一致的。另一方面，我们有和也就是说，条件Tsallis熵订单的一般不具有单调性。
4.模糊动力系统的Tsallis熵
在本节中，我们引入并研究了模糊动力系统的Tsallis熵的概念。
定义 9 [29]. 通过一个模糊动力系统，我们理解了一个四元组 哪里 是模糊概率空间 是具有以下属性的映射：（i） 对于每个 （ii） 对于任何序列 （iii） 对于每个 例子 6 让是一个模糊概率空间是满足以下两个条件的转换：暗示和对于每个如果我们定义映射通过以下等式：对于每个则可以验证系统是一个模糊动力系统。 例子 7 经典动力系统可以看作是一个模糊动力系统如果我们考虑模糊概率空间并定义映射通过对于每个这样，可以将经典模型插入到模糊情况中。
让是一个模糊动力系统是的模糊划分可以证实是的模糊划分事实上，我们已经和 无论何时让是的两个模糊划分然后，根据定义9，我们得到了等式进一步定义对于通过归纳k，通过设置哪里是相同的地图。显然，地图满足上述定义的属性（i）-（iii）。这意味着，对于任何非负整数系统是一个模糊动力系统。
提议 4 让是一个模糊动力系统是的模糊划分这样的话然后
证明。 假设 然后存在一个分区集合的这样的话对于因此，根据定义9中的条件（ii），我们得出对于由此可见 □
定理 14 让是一个模糊动力系统是的模糊划分然后：
- （i）
对于
- （ii）
对于
- （iii）
对于
证明。 性质（i）和（ii）是定义9中条件（i）的明显后果。利用定理9的性质（iii）和数学归纳法从开始我们获得等式（iii）。□
本节的目的是定义Tsallis有序熵一个模糊动力系统。首先，我们证明了以下命题，它起着关键作用。
提议 5. 让是一个模糊动力系统是的模糊划分那么，对于存在以下限制： 证明。 为了证明这一主张，我们使用了参考文献中的定理4.9[62]也就是说如果是非负实数（即。，和对于每个自然数)，然后存在。让我们用表示数字 Tsallis熵总是非负的；因此，对于此外，根据Tsallis熵的次可加性订单的根据定理14和属性（i），我们得到： 因此，存在。□
定义 10 让是一个模糊动力系统是的模糊划分那么，对于我们定义了关于签署人： 定理 15 让是一个模糊动力系统是的模糊划分那么，对于对于任何非负整数k，以下等式成立： 定理 16 让是一个模糊动力系统是的模糊划分那么，对于暗示
证明。 让是的模糊划分这样的话然后，通过将命题2和命题4结合起来，并使用数学归纳法，我们发现对于因此，根据定理7，我们得到：对于由此可见： □ 定义 11 模糊动力系统的Tsallis熵定义了，用于通过以下等式：其中上确界覆盖所有模糊划分属于 例子 8 模糊动力系统的平凡情况是系统哪里是模糊概率空间是身份图。操作是幂等的；因此，对于每个模糊划分属于我们有：模糊动力系统的Tsallis熵是 定义 12 两个模糊动力系统如果存在双射映射，则称为同构从而满足以下条件：
- （i）
保留操作。，对于任何序列和对于每个
- （ii）
对于每个
- （iii）
对于每个
地图称为同构。
提议 6 让同构模糊动力系统是他们之间的同构。让是的模糊划分然后是家人是的模糊划分用Tsallis熵此外，对于它认为
证明。 通过上述假设，我们得出：和无论何时因此，是的模糊划分让我们计算它的Tsallis熵： 我们使用了方程（13）和定义12的条件（ii）。因此，通过使用定义12中的条件（iii）和（i）我们获得： □ 提议 7 让同构模糊动力系统是他们之间的同构。那么，对于相反的情况满足以下属性：
- （i）
对于任何序列
- （ii）
对于每个
- （iii）
对于每个
- （iv）
对于每个
证明。 让是来自的模糊集的序列和地图令人惊讶；因此，存在一个序列这样的话对于并且存在这样的话因此，我们得出：
- （i）
- （ii）
- （iii）
- （iv）
□
定理 17. 让是同构的模糊动力系统并让然后： 证明。 让是的模糊划分和是模糊动力系统之间的同构 然后，根据提案6，家庭是的模糊划分它认为由此可见：因此：不等式左侧的上确界覆盖所有模糊划分属于不等式右侧的上确界覆盖所有模糊划分属于通过命题7的对称性，我们还发现了不等式证明已完成。□ 备注 4 根据前面的定理，如果然后是相应的模糊动力系统是非同构的。这意味着Tsallis熵可以作为区分一些非同构模糊动力系统的工具。
我们用关于发电机的Kolmogorov–Sinai定理的公式来结束本文[62]（另请参阅[11,63])对于模糊动力系统的Tsallis熵的情况。这个定理提供了一个有用的工具（参见[62])用于计算动力系统的熵。 定义 13 模糊划分属于被称为模糊动力系统的生成器如果对于每个模糊划分属于存在一个整数这样的话
定理 18 让成为模糊动力系统的生成器然后
证明。 根据假设，对于每个模糊划分属于存在一个整数这样的话因此，根据定理16和15，我们得到：对于每个模糊划分属于由此可见： 由于逆不等式是直接的，这证明了这一说法。□
