1.简介
经济学中的博弈论来自冯·诺依曼和摩根斯坦的开创性工作[1]. 博弈论主要关注决策相互影响的参与者的行为。合作博弈的主题也可以被视为联盟形式的博弈。纳什[2]定义了一般两人合作博弈的概念和此类博弈的解的概念。合作意味着玩家拥有完全的通信自由和关于游戏结构的全面信息。年轻[三]研究了合作对策的单调解。合作博弈的单调性原则表明，如果一个博弈发生变化，使得某些参与者对所有联盟的贡献增加或保持不变，那么该参与者的分配不应减少。众所周知的Shapley值是一个独特的对称且有效的解概念，也是单调的。 在合作博弈中，假设联盟的收益是一个实数，也可以表示该联盟下的价值。由于实际市场中的意外情况和波动，收益无法准确计量。换句话说，在现实世界中，回报是不确定的。
基于概率论，Fernández等人研究了随机支付[4]、格拉诺[5]和Suijs等人[6]，其中收益被假设为随机变量。查克拉巴蒂也提出了其他类型的随机博弈[7]阿尔瓦雷兹·梅纳和埃尔南德斯·勒马[8]、Dshalalow和Huang[9]，Dekel等人[10]还有郭和杨[11]. Puerto等人还研究了特征函数取部分序线性空间值的合作博弈的一般模型[12]. 不确定支付的另一个概念是考虑区间值支付，其中假设给定联盟的不确定价值位于有界闭区间，而不是假设它是随机变量。考虑区间值收益的优点是，不确定性的确定很容易通过简单地确定上下端点来完成。然而，通过提供概率分布函数来确定随机支付的不确定性并非易事。
应用区间分析（参考摩尔[13])对于传统的合作博弈，通过参考Branzei等人，建立了所谓的区间值合作博弈[14]，Alparslan Gok等人[15]以及Mallozzi等人[16]. Alparslan Gök等人还研究了具有区间值支付的合作博弈[17]以及其中的参考文献。Alparslan Gök等人在区间值核心和区间值优势核心之间建立了包含关系[17]通过证明区间值核包含在区间值优势核中。由于Alparslan-Gök等人没有建立区间值核心和区间值优势核心的等式[17]本文通过引入不同类型的序，建立了区间值核和区间值优势核的等式。 Branzei等人[18]考虑了由具有区间值索赔的破产情形产生的区间值破产博弈，其中提出了两个区间值Shapley-like值，并利用区间算术运算得到了它们之间的相互关系（参考文献Moore[13])进行了研究。Mallozzi等人[16]引入了一种考虑模糊区间的类核合作对策的解的概念。此外，还提供了一个必要的条件，以确保核心类游戏的非空性。更详细的模糊合作博弈可以参考Mares[19]. 另一方面，Han等人[20]通过定义新的区间序关系，提出了合作对策的区间值核和区间Shapley-like值。Alparslan Gok等人[21]考虑了区间值合作对策的Weber集和Shapley值，并建立了它们与凸区间值合作博弈的区间值核之间的关系。Branzei等人[22]和Alparslan Gok等人[17]研究了区间不确定性下合作对策的区间值核、区间值优势核、区间价值平方优势核和区间值稳定集。Li等人[23,24,25]提出了区间值解的几个概念，如区间值Shapley值、区间值团结值和区间值Banzhaf值，建立了计算区间值核的有效非线性规划方法。Meng等人[26]提出了一种具有区间特征函数的模糊对策的广义形式，其中研究了区间Shapley函数和区间种群单调分配函数。 有界闭区间减法本身不能是零元素。因此，有界闭区间的可加逆元素不存在。在由所有有界区间和闭区间组成的空间中，我们引入了空集的概念，可以用来定义序和几乎相同的概念。我们还引入了有界闭区间的Hukuhara差分概念，用于提出不同类型的核和优势核。本文研究区间值核和区间值优势核之间关系的论点与Alparslan Gök等人的观点完全不同[17]，因为调用了空集和Hukuhara差分的概念。特别是，基于这些设置，我们可以建立间隔值核心和间隔值优势核心的等式，这在Alparslan Gök等人[17]. 在第2节，我们提出了空集的概念，并给出了中有界闭区间的有趣性质这将用于进一步调查。我们还介绍了用于研究区间值核和区间值优势核的许多类型的序。在第3节引入了具有区间值支付的合作博弈的概念。在第4节和第5节，基于中引入的不同订单第2节提出了多种类型的核和优势核。另一方面，利用Hukuhara差异，我们还引入了所谓的H核和优势H核。在第6节研究了核与优势核之间的关系。在不考虑个人理性的情况下第7节，我们还研究了前核与优势前核之间的关系。 2.间隔
我们写作表示中的有界闭区间，其中一是左端点b条是右起点。这个中心属于由平均值定义左首点和右首点。有界闭区间也可以被视为“近似实数”c（c）“使用对称不确定性 ，其中u个是有界闭合区间的半宽度。我们表示为中所有有界闭区间的集合为了方便，为了任何，我们写.
让⊙表示四种基本算术运算中的任何一种在两个有界闭区间之间和。我们定义 自是一个有界闭区间，我们也写和表示的左端点和右端点分别是。
特别是，我们有它说每个是具有对称不确定性的“近似零”因此，我们说是一个间隔零点. The
零间隔定义为. 让收集所有间隔零的。等效地，当且仅当和即。，其中有界闭区间是具有对称不确定性的“近似零”。我们还致电作为null集合在里面也很明显，零间隔在空集合中. 备注 1 在区间加法下，不难检查零集Ω是否闭合。换句话说，对于任何，我们有.
让一和B类是两个有界的闭区间。我们这么说一和B类是几乎相同当且仅当一和B类是相等的。假设他们的共同中心是.然后一和B类都可以被视为“近似实数”. 唯一的区别是不确定性。在这种情况下，如果然后我们说B类比…更不确定一.
对于任何有界闭区间以及任何，我们看到了一和在意义上几乎相同比…更不确定一因此，我们可以在中定义几乎相同的概念如下所示。
定义 1 给定任意两个有界闭区间A和B，我们定义当且仅当存在这样的话.
备注 2. 假设.自，可能会出现以下情况之一：
什么时候;
存在这样的话什么时候和;
存在这样的话什么时候和.
很明显关于平等的更多解释如下所示。我们首先观察到是和中心是。这说明如果然后是一和B类都是一样的。因此，我们可以说方法一和B类对于不同的对称不确定性是相同的。
提议 1 设A和B是两个有界闭区间。
- （i）
如果，然后.
- （ii）
如果对一些人来说，然后.
- （iii）
假设和。然后我们有以下属性。
如果，然后.
如果对一些人来说，然后.
证明。 足以证明第（iii）部分的第二种情况。自和，因此和对一些人来说对于.如果然后，通过添加双方都有哪里 这表明，证明是完整的。 □
定义 2. 设A和B是两个有界闭区间。我们定义了三种二进制关系，如下所示：
当且仅当和;
当且仅当;
当且仅当.
备注 三。 很明显，上述三个二元关系在; 也就是说，它们是。我们也看到了暗示，还有那个暗示.如果有界闭区间A和B不退化，则不能暗示.
定义 三。 设A和B是两个有界闭区间。我们定义了三种二进制关系，如下所示：
当且仅当和;
当且仅当;
当且仅当.
因此，我们还提出以下定义。
定义 4 设A和B是两个有界闭区间。我们定义了三种二进制关系，如下所示： 备注 4 显而易见暗示，即暗示，还有那个暗示.
自可以被视为中的一种“零元素”，我们还定义了以下二元关系。
定义 5 给定任意两个有界闭区间A和B，我们定义对一些人来说。我们可以类似地定义和.严格的订单也可以进行类似的定义。 假设.自，可能会出现以下情况之一：
什么时候;
存在这样的话什么时候和;
存在这样的话什么时候和.
同样的情况也适用于和.
以下不同的及物性关系将用于讨论核心和支配核心的包含。
提议 2. 设A、B和C是有界闭区间。我们有以下属性。
- （i）
如果然后，如果然后.
- （ii）
如果然后，如果然后.
- （iii）
如果然后，如果然后.
- （iv）
如果然后，如果然后.
- （v）
如果然后，如果然后.
- （vi）
如果然后，如果然后;
证明。 为了证明第（i）部分，根据定义，存在这样的话。我们也有因此，我们获得上面写着.未考虑和，我们同样可以得到暗示其他零件也可以类似地获得。这就完成了证明。 □ 备注 5 基于命题2，我们可以使用备注3和4来获得许多其他及物性关系，如下所示：
使用（ii），如果然后，如果然后.
使用（i），如果然后，如果然后;
使用（ii），如果然后，如果然后;
使用（iii），如果然后，如果然后;
使用（iv），如果然后，如果然后;
使用（v），如果然后，如果然后;
3.具有区间值回报的合作博弈
我们考虑一个有限集共名球员。的子集N个被称为联盟。我们表示为所有联盟的集合。让是定义在上的区间值函数.
然后称为具有区间值支付的合作博弈当且仅当.建立联盟S公司由于意外情况关于这个联盟S公司被认为是不确定的。换句话说，地图给每个联盟分配一个有界的闭区间，说明这样的联盟可以在合作中实现什么。
让是一个具有区间值回报的合作博弈。对于任何具有，我们定义了三种类型的超加性，如下所示：
我们这么说是⪰-超加性当且仅当 我们这么说是≿-超加性当且仅当 我们这么说是≽-超加性当且仅当
给定一个有限集个玩家，让表示子集的基数S公司属于N个。因此，我们有.
例子 1 我们考虑一个有n名工人的工厂。假设每个工人都在执行相同的任务。由于出乎意料的不确定性和能力，我可以雇佣的工人美元，声明“在哪里”美元”可以建模为因此，我们设置对于.建立联盟，S工人的合作表明还有额外的好处如果收益取决于联盟S的基数，则每个成员的收益“大约为B美元”。
在这种情况下，区间值收益可以定义如下 定义也很合理.
4.具有区间值回报的合作博弈
我们考虑一个有限集共名球员。的子集N个被称为联盟。我们表示为所有联盟的集合。让是定义在上的区间值函数.然后称为具有区间值支付的合作博弈当且仅当.建立联盟S公司由于意外情况关于这个联盟S公司假设不确定。换句话说，地图给每个联盟分配一个有界的闭区间，说明这样的联盟在合作中可以实现什么。
让是一个具有区间值回报的合作博弈。对于任何具有，我们定义了三种类型的超可加性，如下所示：
我们这么说是⪰-超加性当且仅当 我们这么说是≿-超加性当且仅当 我们这么说是≽-超加性当且仅当
给定一个有限集个玩家，让表示子集的基数S公司属于N个。因此，我们有.
例子 2. 我们考虑一个有n名工人的工厂。假设每个工人都在执行相同的任务。由于出乎意料的不确定性和能力，我可以雇佣的工人美元，声明“在哪里”美元”可以建模为因此，我们设置对于.建立联盟，S工人的合作表明还有额外的好处如果收益取决于联盟S的基数，则每个成员的收益“大约为B美元”。在这种情况下，区间值收益可以定义如下 定义也很合理.
5.具有区间值回报的合作博弈的核心
给定一个有限集我们写表示-乘积集中的维数向量由提供 让是一个具有区间值回报的合作博弈。一套预先插补属于表示和定义为 假设考虑到个人理性。不同的插补属于由定义和 我们可以类似地定义,,和基于不同的二元关系。
很明显,和.
使用备注3，我们可以看到.
让是一个具有区间值回报的合作博弈。为了定义核心属于。我们首先定义反核.
不同类型的反核属于表示和定义如下。在插补集下，我们定义和 在插补集下，我们定义和 自暗示，我们有包含 基于不同的二进制关系，我们可以类似地定义其他类型的防伪。例如，显而易见 现在核心属于定义为相对于相应插补集的反核补集。更准确地说核心 属于由表示和定义和核心属于表示和定义为 给定任意两个有界闭区间一和B类.如果存在另一个有界闭区间C类令人满意的，然后我们说Hukuhara差异之间一和B类存在，我们写很明显和.
基于Hukuhara差异，我们还想定义一个具有区间值支付的合作博弈的防伪和核心。在插补集下，的H-防伪属于表示和定义为和 这个H型芯属于表示和定义为 基于不同的二进制关系，我们可以类似地定义其他类型的H核使用备注3和4，我们可以获得关于不同类型芯和H芯的许多夹杂物。我们省略了细节。
在不考虑个人理性的情况下，我们可以类似地定义预堆芯 和预H型芯 基于预先插补.
例子 4 接示例3，如果然后，针对每个，或者或者Hukuhara的差异不存在。 6.区间值收益合作博弈的支配核心
让是一个具有区间值回报的合作博弈。我们将定义多种类型的优势核心和H-优势核心。
对于和，我们这么说-占主导地位通过联盟S当且仅当对于每个和 我们只是这么说-占主导地位当且仅当存在联盟时S公司这样的话-占主导地位通过S公司. The-优势核心属于，表示为，是插补集那是-非支配的。
对于和，我们这么说-H占主导地位通过联盟S当且仅当对于每个和 我们只是这么说-H占主导地位当且仅当存在联盟时S公司这样的话-H占主导地位通过S公司. The-H优势核心属于，表示为，是插补集那是-H-非支配。
对于和，我们这么说-H占主导地位通过联盟S当且仅当对于每个，并且存在这样的话和胡库哈拉差异 我们只是这么说-H占主导地位当且仅当存在联盟时S公司这样的话-H占主导地位通过S公司. The-H优势核心属于，表示为，是插补集那是-H-非支配。
基于不同的二元关系，我们可以类似地定义其他类型的显性核和H-显性核。例如，显而易见是插补集那是-非支配性，以及是插补集那是-H-非支配。利用备注3和4，我们可以获得关于不同类型显性核和H-显性核的许多包裹体。我们省略了细节。
在不考虑个人理性的情况下，我们可以类似地定义优势预核心 和H-优势预核心 基于预先插补.
例子 5 接示例3，用于和，我们看到了-H占主导地位通过联盟S当且仅当对于每个和和胡库哈拉差异 7.核心与支配核心的关系
我们将研究核（分别为H核）和优势核（分别是H优势核）之间的包裹体和相等性。
提议 三。 给定一个具有区间值支付的合作博弈，在插补集下，包含以下内容：
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
证明。 我们首先证明包含.当.
因此，我们假设。对于，存在这样的话-占主导地位.
根据定义，存在令人满意的对于每个和 因此，我们获得上面写着备注5，即。， 我们同样可以获得包含其他类型的夹杂物也可通过命题2和备注5获得。这就完成了证明。 □
提议 4 给定一个具有区间值支付的合作博弈，在插补集下，包含以下内容：
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
证明。 我们首先证明包含.当。因此，我们假设。对于，存在这样的话 -H占主导地位根据定义，存在令人满意的对于每个, 因此，我们获得上面写着根据命题2。， 其他类型的夹杂物也可以通过命题2和备注5获得。这就完成了证明。 □
命题3和命题4中的内含物位于插补集之下我们可以在不同的插补集下获得类似的内含物。我们省略了细节。
定理 1 让是一个具有区间值回报的合作博弈。假设对于每个具有。那么 证明。 用于证明包含，我们想展示一下 对于根据防伪的定义这样的话即。，对一些人来说.让 自即。，，因此利用命题1的第（ii）部分，我们得到 我们将找到一个插补这样的话-占主导地位通过S公司.
假设即。，，我们定义 然后，根据(2)，我们有上面写着对一些人来说。我们也有 然后，从(三)–(5)，我们获得上面写着事实上.自和，我们有这也意味着即。，对于.让 发件人(1)，我们看到了也就是说对于。来源(三)，我们也有 这表明和 -占主导地位通过S公司.
假设，每个，我们定义 我们同样可以证明和 -占主导地位通过N个.
因此，我们得出结论：，这证明了.
我们同样可以获得包含使用上述论点而不考虑和这就完成了证明。 □
假设合作博弈带区间值的收益是≿-超加的。那么我们有对于每个具有. 定理 2. 让是一个具有区间值回报的合作博弈。假设对于每个具有.然后 证明。 用于证明包含，我们想展示一下 对于根据防伪的定义这样的话和胡库哈拉差异 因此，从(7)，我们获得具有或。我们也有 我们将找到一个插补这样的话-H占主导地位通过S公司.
假设即。，，我们定义 然后，从(10)–(12)，我们获得上面写着事实上. 自和具有或，我们有这也意味着即。，对于.来自(6)，我们看到了对于. 自胡库哈拉差异(8)存在，它说和 -H占主导地位通过S公司. 假设，每个，我们定义 我们同样可以证明和 -H占主导地位通过N个因此，我们得出结论：，这证明了.
利用命题4，我们得到了期望的等式。
我们同样可以获得包含使用上述论点而不考虑和再次使用命题4，我们得到了所需的等式。这就完成了证明。 □
定理 三。 让是一个具有区间值回报的合作博弈。假设对于每个具有.然后 证明。 用于证明包含，我们想展示一下 对于根据防伪的定义这样的话即。，对一些人来说.让 发件人(14)，因此.我们将找到一个插补这样的话-占主导地位通过S公司. 假设即。，，我们定义 然后，根据(15)，我们有上面写着对一些人来说。我们也有 然后，从(16), (17)和(18)，我们获得上面写着事实上. 自和，我们有这也意味着对于。来源(13)，我们看到了对于. 发件人(16)，我们也有这表明和 -占主导地位通过S公司. 假设，每个，我们定义 我们同样可以证明和 -占主导地位通过N个因此，我们得出结论：，这证明了.
利用命题3，我们得到了期望的等式。
我们可以类似地获得包含使用上述论点而不考虑和再次使用命题3，我们得到了所需的等式。这就完成了证明。 □
基于不同的二元关系，我们可以类似地建立包含在核心（分别是H-核心）中的其他类型的优势核心（分别为H-优势核心），如定理1，或其他类型的主导核心（各自是H-优势核），如原理2和3。
我们省略了细节。
例子 6 假设为所有人.然后我们可以证明这一点 利用上述定理，我们得到以下结果：
和;
和;
和.
8.前核与支配前核的关系
现在我们研究了前核（分别为H-前核）和优势前核（分别为H-优势前核）之间的关系。我们将看到不需要额外的不平等。因此，证明是不同的。
提议 5 给定一个具有区间值回报的合作博弈，在插补集合下，包含以下内容：
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
证明。 由于个人理性不考虑在对于很明显，命题3的证明仍然有效。这就完成了证明。 □
提议 6 给定一个具有区间值支付的合作博弈，在插补集下，包含以下内容：
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
和;
证明。 由于个人理性不考虑在对于很明显，命题4的证明仍然有效。这就完成了证明。 □
命题5和命题6中的内含物位于插补集之下我们可以在不同的插补集下获得类似的内含物。我们省略了细节。
定理 4 让是一个具有区间值回报的合作博弈。然后 证明。 用于证明包含，我们想展示一下 对于根据反前核的定义，存在这样的话即。，对一些人来说.让 自，因此利用命题1的第（ii）部分，我们得到 我们将找到一个预插补这样的话-占主导地位通过S公司.
假设即。，，我们定义 然后，根据(19)，我们有上面写着对一些人来说。我们也有 让.
然后，从(20)和(21)，我们获得上面写着事实上. 这表明和 -占主导地位通过S公司.
假设，每个，我们定义 我们同样可以证明和 -占主导地位通过N个.
因此，我们得出结论：，这证明了.
我们同样可以获得包含使用上述论点而不考虑和这就完成了证明。 □
定理 5 让是一个具有区间值回报的合作博弈。然后 证明。 用于证明包含，我们想展示一下 对于根据反前核的定义，存在这样的话和胡库哈拉差异 因此，从(22)，我们获得具有或。我们也有 我们将找到一个插补这样的话-H占主导地位通过S公司.
假设即。，，我们定义 让.
然后，从(25)和(26)，我们获得上面写着事实上. 自和具有或，我们有 自胡库哈拉差异(23)存在，它说和 -H-占主导地位通过S公司. 假设，每个，我们定义 我们同样可以证明和 -H占主导地位通过N个因此，我们得出结论：，这证明了.
利用命题6，我们得到了期望的等式。
我们同样可以获得包含使用上述论点而不考虑和再次使用命题6，我们得到了所需的等式。这就完成了证明。 □
定理 6 让是一个具有区间值回报的合作博弈。然后 证明。 用于证明包含，我们想展示一下 对于根据反前核的定义，存在这样的话即。，对一些人来说.让 发件人(27)，因此.我们将找到一个插补这样的话-占主导地位通过S公司. 假设即。，，我们定义 然后，根据(28)，我们有上面写着对一些人来说。我们也有 让.
然后，从(29)和(30)，我们获得上面写着事实上. 自和，我们有 这表明和 -占主导地位通过S公司.
假设，每个，我们定义 我们同样可以证明和 -占主导地位通过N个因此，我们得出结论：，这证明了.
利用命题5，我们得到了期望的等式。
我们同样可以获得包含使用上述论点而不考虑和再次使用命题5，我们得到了所需的等式。这就完成了证明。 □
基于不同的二元关系，我们可以类似地建立前核（resp.H-pre-cores）和优势前核（resp.H-continuitive-pores）之间的其他类型的关系。我们省略了细节。
例子 7 从示例4和5继续，使用上述定理，我们立即得到以下结果：
和;
和;
和.
9.结论
本文考虑具有区间支付的合作博弈。由于假设收益是封闭的，并且在，需要对任意两个闭合区间进行比较。因此，提出了多种有序和严格有序。根据定义2-5，提出了以下六种订购方式并提出了以下八个严格的顺序 为了研究核心和优势核心，根据(31)，六组插补和六组预插补建议。在这些不同的插补和预插补集合下，我们定义了多种防伪和预防伪分别，其中是订购和是由 然后将核和前核分别定义为反核和前反核在输入集下的补集；也就是说，我们有 我们还考虑了支配核的解概念和前优势核心哪里 由于任何两个闭合区间的差异都不是自然意义上的差异，因此考虑了Hukuhara差异，这导致H核的解概念不同，H预芯，H优势核心和H优势预核心本文的目的是通过引用定理1-3建立核心与支配核心之间的包含和平等关系，以及通过引用定理4-6建立前核心与支配前核心之间的包容和平等关系。
